湖北省武汉二中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

上学期期末考试高二理科数学试题一、选择题1．准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是（ ）A ．22y x =-B ．24y x =-C ．x y 22=D ．24y x = 【答案】B【解析】试题分析：根据抛物线的定义及标准方程可知，抛物线24y x =-的准线方程为1=x ，所以准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是24y x =-，故选B ．【考点】抛物线的标准方程及简单的几何性质．2．已知()()1,0,2,6,21,2,//,a b a b λλμ=+=-则,λμ的值分别为（ ）A ．11,52B ．5，2C ．11,52-- D ．5,2--【答案】A【解析】试题分析：由题意得，//a b ，所以a xb =，即()()1,0,26,21,2x λλμ+=-，解得11,52u λ==，故选A ．【考点】空间向量的运算．3．26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：若方程22126x y m m +=--表示椭圆，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．【考点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据中位数的概念，中间的数字为数据的中位数，所以5x =；根据平均数的概念可知2418(10)15916.85y +++++=，解得8y =，故选C ．【考点】茎叶图的中位数与平均数．5．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° 【答案】B【解析】试题分析：不妨设11,BB AB ==，则11111()()AB C B AB BB C C CB AB C C AB CB ⋅=+⋅+=⋅+⋅111BB C C BB CB +⋅+⋅20100=-+= ，所以直线1AB 与1C B 所成的角为90 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线所成的角．6．下列结论中，正确的是（ ）①命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的逆否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；②已知 ，，a b c 为非零的平面向量．甲：= a b a c ··，乙：=b c ，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③:(01)=>≠，且x p y a a a 是周期函数，:sin q y x =是周期函数，则p q ∧是真命题；④命题2:320p x x x ∃∈-+≥R ，的否定是：2:320p x x x ⌝∀∈-+<R ，． A ．①② B ．①④ C ．①②④ D ．①③④【答案】C【解析】试题分析：①中，根据命题的逆否关系，可知命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的逆否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；，所以是正确的；②中，乙：= b c ，根据向量的数量积公式，能推出甲：=··ab bc 的等价条件是()()0⋅=⇒⊥--a c b a c b ，反之推不出，所以是正确的；③中，:(01)=>≠，且x p y a a a 不是周期函数， 所以p q ∧是假命题；④中，根据存在性命题的否定可知：命题2:320p x x x ∃∈-+≥R ，的否定是：2:320p x x x ⌝∀∈-+<R ，，所以是正确的．【考点】全称命题与存在命题；命题的否定．7．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，CD 是线段F M 的垂直平分线，所以MP PF =，所以PF PO PM PO +=+MO = （定值），显然MO FO >，所以根据椭圆的定义可推断点P 的轨迹是以,F O 为焦点的椭圆，故选B ． 【考点】椭圆的定义．8．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75C ．85D ．3【答案】A【解析】试题分析：先对2y x =-，求导得2y x '=-，令423y x '=-=-，解得23x =，所以点P 的坐标为24(,)39-，利用点到直线的距离公式得2443()843953d ⨯+⨯--==．【考点】抛物线的几何形式；点到直线的距离公式．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（ ）A ．－1B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意得，第1次判断后循环1,2S i =-=；第2次判断后循环2,33S i ==；第3次判断后循环3,42S i ==；第4次判断后循环4,5S i ==；第5次判断后循环1,6S i =-=；第6次判断后循环2,73S i ==；第7次判断后循环3,82S i ==；第8次判断后循环4,9S i ==；第9次判断不满足98<，终止循环，输出4．故选D ． 【考点】循环结构的计算与输出．10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D【解析】试题分析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，因为线段AB 的中点坐标为(1,1)-，所以212212y y b x x a -=-，因为直线的斜率为011312+=-，所以2212b a =，因为右焦点为(3,0)F ，所以229a b -=，所以2218,9a b ==，所以椭圆的方程221189x y +=． 【考点】椭圆的标准方程；中点弦的应用．11．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．355 C ．553 D ．5 【答案】C【解析】试题分析：依据题意可知双曲线的一条渐近线为2y x a=，即20x ay -=，因为4||=MN ，圆的半径为所以圆心到渐近线的距离为2，即2=，解得a =，所以3c ==，所以双曲线的离心率为c e a ===B ． 【考点】双曲线的简单几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的简单的几何性质，属于基础试题，解题的关键是利用数形结合的方法球的圆心到渐近线的距离，本题的解答中利用圆半径和圆的弦长公式，根据4||=MN ，求得圆心到渐近线的距离为2，再利用原先到直线的距离公式，求解a 的值，则可求解双曲线中c 的值，根据圆锥曲线的离心率可求解双曲线的离心率，其中准确的运算也是重要的一环．12．已知点A （1，2）在抛物线22y px Γ=：上．若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ，则123111k k k -+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【解析】试题分析：因为点()1,2A 在抛物线22y px Γ=：上，所以2221p =⨯，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x Γ=：，设211(,)4y B y ，222(,)4y C y ，所以1121124214y k y y -==+-，122221212444y y k y y y y -==+-， 2322224214y k y y -==+-，所以1122123221111444y y y y k k k +++-+=-+=．【考点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系及直线的斜率公式的综合应用，属于中档试题，解答本题的关键在于把点A 的代入抛物线的方程，确定P 的值，从而得到抛物线的标准方程，再设出点,B C 的坐标，利用直线的斜率公式分别表示出123,,k k k ，通过化简，可计算123111k k k -+的值，其中用斜率公式表示斜率、准确计算、认真化简是解答的一个易错点．二、填空题13．将二进制数110 101（2）转为七进制数，结果为________． 【答案】104（7）【解析】试题分析：245(2)110101112121253=+⨯+⨯+⨯=，把十进制的53化为七进制，则53774÷= ，7710÷= ，1701÷= ，所以结果为(7)104． 【考点】进位制．14．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】785，567，199，810【解析】试题分析：由题意及表知，从随机数表中第8行第7列的数7开始向右读取，所得三位数的编号依次是718,916,955,567,199,810, ，由于850颗种子是按001，002，…，850，所以最先检测的4颗种子的编号依次是785，567，199，810．【考点】数据的收集；随机数表法．15．用计算机随机产生一个有序二元数组x y （，）,满足11,11x y -<<-<<,记事件“1<+y x ”为A ，则P （A ）=______________． 【答案】12【解析】试题分析：在区间11,11x y -<<-<<内任取两个数字,x y 组成有序数对(,)x y ，围成的区域的面积为4；事件“1<+y x ”所成的区域的面积为2，所以事件A 的概率为1()2P A =． 【考点】几何概型．【方法点晴】本题主要考查了利用几何概型求解概率，属于基础试题，解答的关键是确定所对应图形的面积，利用面积比求解几何概型的概率，其中几何概型是一种概率模型，随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关，通常几何概型分为：长度比的几何概型、面积的几何概型、体积比、角度比等几何概型，认真审题、准确计算是解答的关键．16．已知12,B B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴上的两个端点，O 为坐标原点，点A 是椭圆长轴上的一个端点，点P 是椭圆上异于12,B B 的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，给出以下命题，其中所有正确命题的序号是 ．①当P 点的坐标为233a a （-,）时，椭圆的离心率为； ②直线12,PB PB 的斜率之积为定值22a b-；③120PB PB <；④212sin PB PB B ∠的最大值为22a b a +；⑤直线12,PB QB 的交点M 在双曲线22221y x b a-=上．【答案】①④⑤【解析】试题分析：①把点P 的坐标代入椭圆的方程22221x y a b+=，可得225a b =，所以c e a ===，所以是正确的；②设00(,)P x y ，则2200221x y a b +=，所以12200200PB PB y b y b b k k x x a+-⋅=⋅=-，所以不正确；③因为点P 在圆222x y b +=外，所以2220x y b +->，所以120000(,)(,)PB PB x b y x b y =-----222000x y b =+->，所以不正确；④当点P 在长轴的顶点上时，12B PB ∠最小且为锐角，设12B PB ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：222212122222222sin sin sin 2bb b b a b ab r B PB B AB OAB a b a+=≤===∠∠∠+，所以正确；⑤直线1PB 的方程为：00y b y b x x ++=，直线2QB 的方程为00y by b x x --=，两式相乘可得：2222202y b y b x x --=-，化为22221y x b a -=，由于点P 不与12,B B 重合，所以M 的轨迹为双曲线的一部分，所以正确．【考点】椭圆的简单的性质．【方法点晴】本题综合考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、斜率计算公式、正弦定理、三角形的外接圆的半径、直线相交问题、双曲线的标准方程等综合应用，试题难度较大，属于难题，解答关键在于牢记圆锥曲线的几何性质及斜率的计算公式、解三角形的正、余弦定理等知识，做到熟练运用，同时注意圆锥曲线总的最值与范围问题的考查，也是一个圆锥曲线的难点．三、解答题 17．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x∈R 恒成立；命题q ：函数f （x ）＝－（5－2a ）x是减函数，若p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（－∞，－2]． 【解析】试题分析：由关于x 的不等式2240x ax ++>对一切R x ∈恒成立，可得24160a ∆=-<，可解得p ；由函数()()52xf x a =--是减函数，可得521a ->，解得q ，再根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 中一个为真命题，一个为假命题，分情况讨论求解a 的范围．试题解析：设g （x ）＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g （x ）的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0 所以－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2；又f （x ）＝－（5－2a ）x 是减函数，则有5－2a>1，即a<2．所以命题q ：a<2∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假 （1）若p 为真命题，q 为假命题，则222a a -<<⎧⎨≥⎩，此不等式组无解 （2）若p 为假命题，q 为真命题，则222a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或，解得2a ≤-．综上，实数a 的取值范围是（－∞，－2]【考点】复合命题的真假判定及应用．18．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率．【答案】（1）19；（2）34．【解析】试题分析：（1）将一颗骰子先后抛掷2次，含有36种等可能事件，而满足两数之和为5的事件通过列举是4个，所以根据古典概型求得结果；（2）两数中至少一个奇数包含两个数有一个奇数，两个数都是奇数两种情况，这样做起来比较繁琐，可以选用它的对立事件，对立事件是两数均为偶数，通过列举得到结论．试题解析：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P（A）=41 369=；答：两数之和为5的概率为1 9（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P（B）=931364-=；答：两数中至少有一个奇数的概率3 4【考点】古典概型及其概率的计算公式．19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，【答案】（1）0．005；（2）73分；（3）10．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质可列出方程，通过解方程即可得到a的值；（2）由平均数的公式可得平均数为55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10，从而计算出结果即可；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总体中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50,90）之外的人数．试题解析：（1）由频率分布直方图知（2a＋0．02＋0．03＋0．04）×10＝1，解得a＝0．005（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10＝73（分）（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人数依次为0．005×10×100＝5,0．04×10×100＝40,0．03×10×100＝30,0．02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25．故数学成绩在[50,90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋25）＝10【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数的计算．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ∠= ．（1）求证：AD PB ⊥（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角P AB D --的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）取AD 的中点O ，连接,OP OB ，证明AD ⊥平面PQB ，即可证明：AD PB ⊥；（2）方法1、利用AB POQ AB OP ⊥⇒⊥平面，根据二面角的定义得POQ ∠即为二面角P AB D -- 的平面角，在Rt POQ ∆中，求解二面角P AB D --的正切值．方法2、建立空间直角坐标系，求解平面PAB 与平面ABD 的法向量，利用法向量求解二面角的余弦值，从而求解二面角的正切值．试题解析：（1）,PA PD = 取Q 为AD 的中点，AD PQ ∴⊥ 连接DB ,在ABD ∆中，,60AD AB BAD =∠= ,ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，AD BQ ∴⊥,PQ BQ Q PQ =⊂ 平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ， AD ∴⊥平面PQB又PB ⊂ 平面PBQ , AD PB ∴⊥（2）方法（一）解： 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD 由（1）知AD PQ ⊥，PQ PAD ⊆平面 ∴PQ ⊥平面ABCD ,过Q 作QO AB ⊥于O ，连接OPAB PQ ⊥，PQ QO Q = ∴AB POQ AB OP ⊥∴⊥平面, POQ ∴∠即为二面角P AB D --的平面角在Rt PQB ∆中，PQ OQ ==tan 2POQ ∴∠= 故二面角P AB D --的正切值为2 方法（二）解：建系如图Q （0，0，0） P （0，0A （1，0，0）B （00）AB =-（）10AP =-（． 易知平面ABD 的法向量001n =（，，）．设平面APB 的法向量m x y z =（，，）∴00AB m AP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴00x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩∴3m = （．cos ,5n m n m n m ⋅<>===⋅故二面角P AB D --的正切值为2．x【考点】点、线、面的位置关系的判定与证明；二面角的求解．【方法点晴】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明及二面角的求解，属于基础题，解答此类问题的关键在于（1）中，把线线垂直转化为证明线面垂直，从而得到线线垂直，即要证AD PB ⊥，转为求证AD ⊥平面PQB ；（2）中可根据二面角的定义，确定POQ ∠即为二面角P AB D --的平面角，利用直角三角形求解角的正切值或建立空间直角坐标系，转化为空间向量的运算求解二面角的大小．21．如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x y 11,），B （x y 22,）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y 12+的值及直线AB 的斜率．【答案】（1）y x 24=，x =-1；（2）1-．【解析】试题分析：（1）设出抛物线的方程，把点P 代入抛物线的方程求解p ，则可得抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程；（2）设直线PA 斜率为PA k ，直线PB 斜率为PB k ，则可分别表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，进而求得12y y +的值，把,A B 代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB 的斜率．试题解析：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y px 22=点P （1，2）在抛物线上∴=⨯2212p ，得p =2故所求抛物线的方程是y x 24= 准线方程是x =-1（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 则k y x x PA =--≠111221()，k y x x PB =--≠222211() PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴=-k k PA PB由A （x y 11,），B （x y 22,）在抛物线上，得y x 1214=y x 2224= （2）1212122212222(2)4111144y y y y y y y y --∴=-∴+=-+∴+=---，，由（1）—（2）得直线AB 的斜率k y y x x y y x x AB =--=+=-=-≠212112124441()【考点】抛物线简单的几何性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线方程、抛物线标准方程及简单的几何性质的应用，着重考查了运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算、推理能力，属于中档试题，本题的解答中，设出直线,PA PB 的斜率PA k 、PB k ，表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，求得12y y +的值，把,A B 代入抛物线方程两式相减，是解答本题的一个难点和技巧，认真审题、仔细解答是解答的关键．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,过左焦点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，且2F MN ∆的周长为8；过点(4,0)P 且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．【答案】（1）22143y x +=；（2）13[4)4-，；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由题意得可得1c =，由椭圆的定义可求得2a =，再由,,a b c 的关系，可得到椭圆的标准方程；（2）设直线PB 的方程为(4)y k x =-，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得E 的坐标，以及直线AE 的方程，令0y =，运用韦达定理，即可得到所求定点．试题解析：（1）椭圆的方程为22143y x +=（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-由22(4)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得： 2222(43)3264120k x k x k +-+-=由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214k <设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221212223264124343k k x x x x k k -+==++， ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴22222121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++∵2104k <≤，∴28787873443k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈- ， ∴OA OB ⋅ 的取值范围是13[4)4-，．（3）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E （x 2，－y 2）直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：112112()y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()8x x x x x x x -+=+-由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）．【考点】椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程(4)y k x =-代入椭圆的方程，得二次方程2222(43)3264120k x k x k +-+-=，把向量OA OB ⋅的运算转化为二次方程韦达定理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点．。

武汉二中2016—2017学年度上学期期末考试高二数学试卷命题学校：武汉二中 命题教师: 审题教师：试卷满分：150分一、选择题（每小题5分,共60分）1．在武汉二中选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A 、6B 、8C 、10D 、12 2．已知,,a b c R ∈，命题“若3a b c ++=，则2223ab c ++≥”的否命题是(）A 、若3a b c ++≠，则2223a b c ++< B 、若3a b c ++=,则2223a b c ++<C 、若3a b c ++≠，则2223ab c ++≥D 、若2223ab c ++≥，则3a b c ++=3．设()f x 是区间[,]a b 上的函数，如果对任意满足a x y b ≤<≤的,x y 都有()()f x f y ≤，则称()f x 是[,]a b 上的升函数,则()f x 是[,]a b 上的非升函数应满足（ ）。

A 、存在满足x y <的,[,]x y a b ∈使得()()f x f y >B 、不存在,[,]x y a b ∈满足x y <且()()f x f y ≤C 、对任意满足x y <的,[,]x y a b ∈都有()()f x f y >D 、存在满足x y <的,[,]x y a b ∈都有()()f x f y ≤4．阅读右边的程序框图,运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、6 5．已知集合,,A B C 满足{,,}AB a b c =,则满足条件的组合(,)A B 共有（）组.A 、4B 、8C 、9D 、276．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若γαβα⊥⊥,,则βα//其中真命题的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、37．“2a =-”是“直线(2)310a x ay +++=与直线(2)(2)30a x a y -++-=相互垂直”的( ）条件。

精品资料武汉市部分重点中学2016—2017学年度上学期期末测凤高二数学试卷（理科）命题人:武汉市开发区一中 杨詆 审题人:郑志明 -选埒罷M 时12小叭每小题h 分，共60分。

在每小题给出茕四个选或中，只肓项是苻I 合1£目要琳的』（X —Tffl* N 的思体中抽就容盧为斤的样本十当选取简单随机摘样、系统抽样和分层抽样二I gpy 比取样来忙总体屮每个个体锹抽中的抵率分别为例宀""则（° ）1 A. p t 二凯< 口B * k "V piC pi = p^< />） D- #、= P 讦 P3匸已IBSft x 与,黄相关，且由观测数据算fll 样*平均数'=L 5.IB 由该观测数抵算得的I 護性色归方程可雄是（c ）A y =0 +2.3 B. $工2文-2 4C y * - 2J + 9,5D ・ J 二・0.4忑+4-4 3-S<4 «R$t 去听同时进行的3个课外知识讲座•每名同学可自由选择其中的一个讲區*不同去 *«»»<（ R ）< HB. 64 C” 48 D, 24 4 和2个黑球的口袋内任取2个球，那么苴斥而不对立的两个事杵是（<个加球与都是!®球i 》也一于営琲与至少宵一亍红球£ FX 各必・中.・大的ffi£（ 0〉A 轄. 乩 1 HLH^） »卜（F ）st 卜D （"增大 HIB.至少有一个黑球与都是红球 R 恰有一个黑球与恰有两个黑球巴啲*川黑戟之和大于乜川于32■则爬开式中系戳墨大的項是（0 ）• °沖4J 齐 (4,1 ?! ? e*rKi «t f d 鳩大时 j 门)」］rh1 尸 • 1 rc K(n«A.D(e)a^h E< F）童小Q E）先增&械小精品资料精品资料2B.ttX-Nd.cr 1） 布巒度曲线 所示’且 p {x>5）•0X ）228,as 么向IE 方形OABC 中随机投掷lOOQO 个点■则幣人阴仏部分的成的个数的估计值是（K ）（附;机变显£脱从正态分布N （鳥》则P5-XX 尸* “ 二68.26% .+ 2“295. 44% ）匕 65S7G 加28 D. 75390花幕次乒乓球犁打比赛中,康计划毎两名选手各比赛一场，但有3 45选手备比豪了两场之馬就退 出了，这样全部比鞭只进行了 5Q 场"那么£述3名选于之阎比赛的场數題（匚）九 ° bl C. 2 D. 316己知小：P 的坐标Q 』）满足打头, 过点尸的直线彳与圆C^~^y 2 = U 相交⑴八』M〔工耳1,点•则lABIfi^小值是（g ）乩 2 岳 B. 4C J6D + 2 ［1 WIG 年9月4 H C20杭州蠟会正式幵菇虛五国领导人A.B.T.D.E 中除B 与E J 八门•：召18 ■- 单蝕会晤外‘其他领导人购两之问郁浸越独会時.现安排他们住两天的上午八下尸单独辽朗（毎 人却个半天鬟浮进行一次会晤几那么安排他们单独会晤的不同方法共有（A1）A. 48种 玖36种 C 24种 D. 8种的厳小值忠y )A. 4 72 - 3B. 2 75 - 3 二大谢共4小题.每小题5分"共20分。

绝密★启用前2016-2017学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知a +2ii =b +i （a ,b 是实数），其中i 是虚数单位，则a b =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 32．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=−2,S 3=0，则{a n }的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |y =2x ,y ∈A }则A ∩B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,4}D. {1,2,4}4．在平面直角坐标系x O y 中，不等式组{x −y −1≤0x +y −1≤0x ≥−1表示的平面区域的面积为 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 85．命题p :甲的数学成绩不低于100分，命题q :乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示 （ ）A. 甲、乙两人数学成绩都低于100分B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C. 甲、乙两人数学成绩都不低于100分D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分6．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A. 104人B. 108人C. 112人D. 120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为 （ ）A. {1,2}B. {1,3}C. {2,3}D. {1,3,9}8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 72B. 143C. 7D. 149．设曲线x=2y−y2上的点到直线x−y−2=0的距离的最大值为a，最小值为b，则a−b的值为（）A. 22B. 2 C. 22+1 D. 210．函数y=sin x−1x的图象大致是（）A. B.C. D.11．已知ΔA B C的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且A B+A C=A D，则ΔA B C的面积的最大值为（）A. 3B. 4C. 33D. 4312．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，且Q P=PF2,Q F1·Q F2=0，则双曲线C的离心率为（）A. 5−1B. 3C. 3+1D. 5+113．已知tanα=2，则sinα+co sα2sinα+cosα=__________．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题14．若直线(a +1)x −y +2=0与直线x +(a −1)y −1=0平行，则实数a 的值为__________．15．已知x =0是函数f (x )=(x −2a )(x 2+a 2x +2a 3)的极小值点，则实数a 的取值范围是__________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=1,a 2=2,S n +1=a n +2−a n +1(n ∈N ∗)，若不等式λS n >a n 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．三、解答题17．已知向量a =(sin x ,cos x )，b =(cos (x +π6)+sin x ,cos x )，函数f (x )=a ·b ．（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若α∈(0,π2)且cos (α+π12)=13，求f (α)．18．心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．附表及公式：K 2=n (a d −b c )2a b c d a c b d 19．如图,在三棱柱A B C −A 1B 1C 1中，D 为A B 的中点，C D ⊥D A 1,A C ⊥B C ,∠A BB 1=450，A C =B C =B B 1=2．（1）证明：B1D⊥B D；（2）求点A到平面A1C D的距离．20．过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A、B两点，|A B|=855，点P是椭圆C上的动点，且cos∠F1PF2的最小值为35．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(−2,0)的直线l与椭圆相交于M、N两点，求F2B·F2N的取值范围．21．已知函数f(x)=x−ae x+b(a>0,b∈R)．（1）求f(x)的最值；（2）若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2<−2ln a．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y中，直线l:{x=ty=5+2t（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A(0,5)，直线l与曲线C相交于点M、N，求1|A M|+1|A N|的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．（1）若a=1,b=2，解不等式f(x)≤5；（2）若f(x)的最小值为3，求a2b +b2a的最小值．参考答案1．A【解析】解析：由题设可得a +2i =b i −1，则a =−1,b =2，故a b =−2，应选答案A 。

2016-2017学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．122．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=33．设f（x）是区间[a，b]上的函数，如果对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f （x）≤f（y），则称f（x）是[a，b]上的升函数，则f（x）是[a，b]上的非升函数应满足（）A．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]使得f（x）＞f（y）B．不存在x，y∈[a，b]满足x＜y且f（x）≤f（y）C．对任意满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）＞f（y）D．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）≤f（y）4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，则满足条件的组合（A，B）共有（）组．A．4 B．8 C．9 D．276．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分也非必要8．已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（）A．B．C．D．9．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条．A．40 B．60 C．80 D．12010．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（）A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣4，﹣1]D．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最短距离为（）A．B．C．D．12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（）A．2 B．4 C．8 D．16二、填空题（每小题5分，共20分）13．将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为．14．我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且∠BAA1=∠DAA1=60°．则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为．16．如图，A，B为抛物线y2=4x上的两点，F为抛物线的焦点且FA⊥FB，C为直线AB上一点且横坐标为﹣1，连结FC．若|BF|=3|AF|，则tanC=．三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共计70分）17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？（3）求2×3×4×6即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式）18．已知命题p：不等式x2﹣ax﹣8＞0对任意实数x∈[2，4]恒成立；命题q：存在实数θ满足；命题r：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．（1）若p∧q为真命题，求a的取值范围．（2）若命题p、q、r恰有两个是真命题，求实数a的取值范围．19．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥PB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立．求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．22．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．2016-2017学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】分层抽样方法．【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．2．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3【考点】四种命题．【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．【解答】解：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A3．设f（x）是区间[a，b]上的函数，如果对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f （x）≤f（y），则称f（x）是[a，b]上的升函数，则f（x）是[a，b]上的非升函数应满足（）A．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]使得f（x）＞f（y）B．不存在x，y∈[a，b]满足x＜y且f（x）≤f（y）C．对任意满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）＞f（y）D．存在满足x＜y的x，y∈[a，b]都有f（x）≤f（y）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知中关于升函数的定义，结合全称命题否定的方法，可得答案．【解答】解：若f（x）是[a，b]上的升函数，则对任意满足a≤x＜y≤b的x，y都有f（x）≤f（y），故若f（x）是[a，b]上的非升函数，则存在a≤x＜y≤b的x，y，使得f（x）＞f（y），故选：A．4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B5．已知集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，则满足条件的组合（A，B）共有（）组．A．4 B．8 C．9 D．27【考点】并集及其运算．【分析】根据当A=∅，A={a}，A={b}，A={c}，A={a，b}，A={a，c}，A={b，c}，A={a，b，c}等种情况分类讨论，能求出满足条件的组合（A，B）共有多少组．【解答】解：∵集合A，B，C满足A∪B={a，b，c}，∴当A=∅时，B={a，b，c}；当A={a}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{b，c}；当A={b}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}；当A={c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，b}；当A={a，b}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{b，c}，{c}；当A={a，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，b}，{b，c}，{b}；当A={b，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{a，b}，{a}；当A={a，b，c}时，满足条件的B可能是{a，b，c}，{a，c}，{b，c}，{a，b}，{a}，{b}，{c}，∅．∴满足条件的组合（A，B）共有27组．故选：D．6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对3个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则根据平面与平面垂直的判定，可得α⊥β，正确；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则根据三垂线定理可得m⊥l，正确；③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β或α，β相交，不正确．故选C．7．“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分也非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：a=﹣2时，两条直线分别化为：﹣6y+1=0，﹣4x﹣3=0，此时两条直线相互垂直，满足条件；a=0时，两条直线分别化为：2x+1=0，﹣2x+2y﹣3=0，此时两条直线不垂直，舍去；a≠﹣2或0时，由“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”，可得：﹣×=﹣1，解得a=．∴“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B．8．已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，求出AP 长度，即可得出结论．【解答】解：△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，设AC长为1，则AB=2，AP=∴满足∠ACP≤30°的概率为=，故选C．9．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条．A．40 B．60 C．80 D．120【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意，从A到C最短路径有C53=10条，由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，最短路径有C42=6条，即可求出它可以爬行的不同的最短路径．【解答】解：由题意，从A到C最短路径有C53=10条，由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，最短路径有C42=6条，∴它可以爬行的不同的最短路径有10×6=60条，故选B．10．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（）A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣4，﹣1]D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意设出椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．【解答】解：设椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），则，，两式作差可得：，即=，由题意可知，y0≤1，∴k=（y0≤1），则k∈[﹣4，﹣2]．故选：A．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最短距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到直线AB的最短距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（2，0，2），C（0，4，0），设M（a，b，0），0≤a≤4，0≤b≤4，则=（2﹣a，﹣b，2），=（﹣a，4﹣b，0），∵，∴=﹣2a+a2﹣4b+b2=（a﹣1）2+（b﹣2）2=5，∴M为底面ABCD内以O（1，2）为圆心，以r=为半径的圆上的一个动点，∴点M到直线AB的最短距离为：4﹣1﹣=3﹣．故选：C．12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，消去y，运用两根之和，运用双曲线的第二定义可得|AB|，以及P的坐标，计算即可得到．【解答】解：设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，由e=2，即c=2a，b=a．直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，可得（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0，即为（3a2﹣a2k2）x2+4a3k2x﹣4a4k2﹣3a4=0，x1+x2=．则由双曲线的第二定义可得|AB|=|AF+|BF|=2（x1﹣）+2（x2﹣）=2（x1+x2）﹣2a=8，即有2•=8+2a，即=8，①则m=，n=k（m﹣2a）=，弦AB的中垂线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），可得P（，0），则|PF|=|﹣2a|=||，由①可得，|PF|=8．故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为31032（5）．【考点】进位制．【分析】先求出4034与10085的最大公约数．再用这个数值除以5，得到商和余数．再用商除以5，得到余数和商，再用商除以5，得到商是0，这样把余数倒序写起来就得到所求的结果．【解答】解：10085=4034×2+2017，4034=2017×2∴4034与10085的最大公约数就是2017．又∵2017÷5=403 (2)403÷5=80…3，80÷5=16…0，16÷5=3…1，3÷5=0…3，，∴将十进制数2017化为五进制数是31032（5）故答案为：31032（5）14．我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数m=，由此能求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率．【解答】解：包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，基本事件总数n=，我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数为：m=，∴我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率：p===．故答案为：．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA1=2，且∠BAA1=∠DAA1=60°．则异面直线AC与BD1所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立如图所示的坐标系，求出=（3，1，0），=（﹣3，2，），即可求出异面直线AC与BD1所成角的余弦值．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（3，1，0），B（3，0，0），D1（0，2，），∴=（3，1，0），=（﹣3，2，），∴异面直线AC与BD1所成角的余弦值为||=，故答案为：．16．如图，A，B为抛物线y2=4x上的两点，F为抛物线的焦点且FA⊥FB，C为直线AB上一点且横坐标为﹣1，连结FC．若|BF|=3|AF|，则tanC=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，做FH⊥AB于H，求出|FH|，|CH|，即可得出结论．【解答】解：如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，作AA′⊥l（l为抛物线的准线），则|A A′|=|AF|=a，|BB′|=|BF|=3a，|A′B′|=|AD|=a．△CA′A∽△CB′B，可得=，CA=AB=a，做FH⊥AB于H，△ABF三边长为a，3a，a，∴|FH|=a，|AH|=a，∴tanC===，故答案为．三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共计70分）17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？（3）求2×3×4×6即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分析可得144=24×32，进而由约数和公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C41种选法，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有种方法，故可以组成没有重复数字的三位数共有个；（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．分4种情况讨论：①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；共有个被3整除的没有重复数字的三位数，（3）根据题意，144=24×32，则144的所有正约数的和为．18．已知命题p：不等式x2﹣ax﹣8＞0对任意实数x∈[2，4]恒成立；命题q：存在实数θ满足；命题r：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．（1）若p∧q为真命题，求a的取值范围．（2）若命题p、q、r恰有两个是真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）若p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得a的取值范围．（2）根据命题p、q、r恰有两个是真命题，可得满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p为真命题，则对任意实数x∈[2，4]恒成立∴，即a＜﹣2．…若命题q为真命题，则，∴又∵p∧q为真命题，∴命题p，q均为真命题，∴﹣3≤a＜﹣2…..即a的取值范围为[﹣3，﹣2）…（2）若不等式ax2+2x﹣1＞0有解，则当a＞0时，显然有解；当a=0时，ax2+2x﹣1＞0有解；当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，∴不等式ax2+2x﹣1＞0有解等价于a＞﹣1，…∴若命题p、q、r恰有两个是真命题，则必有﹣3≤a＜﹣2或﹣1＜a＜1即a的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（﹣1，1）．…19．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥PB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）推导出PD⊥AB，PD⊥PA，从而PD⊥面PAB，由此能证明PD⊥PB．（2）取AD中点为O，连结CO，PO，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），利用向量法能求出存在M点，即当时，M点即为所求．【解答】证明：（1）∵面PAD⊥面ABCD=AD，AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴PD⊥AB又∵PD⊥PA，∴PD⊥面PAB，∴PD⊥PB．…解：（2）取AD中点为O，连结CO，PO，∵∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则=（1，1，﹣1），=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，﹣1），=（﹣2，﹣1，0）．设=（x，y，z）为面PDC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣2，2），设PB与面PCD所成角为θ，则sinθ==，∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．…（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设，M（0，y'，z'），由（2）知A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，∴，∵BM∥面PCD，为PCD的法向量，∴即∴综上所述，存在M点，即当时，M点即为所求．…21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立．求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，由此能求出比赛两局就结束且甲获胜的概率．（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，由此能求出恰好比赛四局结束的概率．（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．由此能求出甲获胜的概率．【解答】解：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，∴比赛两局就结束且甲获胜的概率为；…（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，∴恰好比赛四局结束的概率为；…（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．∴在整个比赛过程中，甲获胜的概率为．…22．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知，，又a2=b2+c2，解出即可得出．（2）设直线l的方程为y=2x+t，则，可得，根据OP⊥OQ，可得k OP•k OQ=﹣1，解出即可得出．（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，与椭圆方程联立化为（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，利用根与系数的关系可得：为定值5．【解答】解：（1）由已知，，又a2=b2+c2，解得，∴椭圆的方程为．…（2）设直线l的方程为y=2x+t，则由，可得，即∵OP⊥OQ，∴，∴直线l的方程为y=2x±2即2x﹣y±2=0．…（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x=ty+m，联立椭圆方程得：⇒（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）=0，∴…=…∴当且仅当32﹣8m2=2m2+8即时（定值）．即在x轴上存在点E使得为定值5，点E的坐标为或．经检验，当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意．…。

高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 63．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3C．2D．16．为了获得函数y=3cos2x 的图象，只要将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C 的两个焦点，若 PF1⊥PF2，则△ PF1F2的面积为（）A．12B．C．D．10．已知直线 y=﹣2x 1与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段+AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．．已知直线l 过点（﹣，），与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，两点，则11 1 0l=3 A B弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF1| =212）| BF | ，AF ⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为（A．B．C．D．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设，求数列{b n n} 的前 n 项和 T ．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步剖析，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（3）试预计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1 =AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点 N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点 A，B，使∠ AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线 l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线的简单性质．【剖析】第一求出 p，准线方程，而后依据，直接求出结果．【解答】解：设 M （x，y）则 2P=4， P=2，准线方程为 x= =﹣1，解得 x=2．选 B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 6【考点】平行向量与共线向量．【剖析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣ 3，3+2m），∵与平行，∴ 3+2m+9=0，解得m=﹣6．应选： D．3．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．256【考点】等比数列的性质．【剖析】由 a1和19为方程x 2﹣ 10x+16=0 的两根，依据韦达定理即可求出 a1和a12，由数列为正项数列a19的积，而依据等比数列的性质获得 a 和 a19的积等于 a10获得 a10的值，而后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为对于10 的式子，a把 a10的值代入即可求出值．【解答】解：由于 a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，因此 a1?a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得： a10=4，则 a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．应选 C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【剖析】先依据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令两者相等即可求得m 和n的关系，从而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴ 3m2﹣5n2=2m2 +3n2，整理得 m2=8n2，∴ =2双曲线的渐近线方程为y=±=±x应选 D5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4B．3C．2D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【剖析】画出知足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形 ABCD，从而可得可得△ PAB 和△ PAD 都是直角三角形，再由由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，又获得了两个直角三角形△ PCB 和△ PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：知足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出知足条件的直观图如图四棱锥 P﹣ABCD所示，不如令 PA⊥矩形 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD， PA⊥CB，PA⊥ CD，故△ PAB 和△ PAD都是直角三角形．又矩形中 CB⊥AB， CD⊥ AD．这样 CB垂直于平面 PAB内的两条订交直线 PA、 AB，CD垂直于平面 PAD内的两条订交直线PA、AD，由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4 个．应选 A．6．为了获得函数 y=3cos2x的图象，只要将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωxφ）的图象变换．+【剖析】利用 y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（ x）的图象上每一个点横坐标+向右平移个单位长度，可得函数 y=3cos2x的图象，应选： B．7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．【考点】循环构造．【剖析】框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2，在输入 n 的值为10 后，对 i 的值域 n 的值大小加以判断，知足i≤ n，履行，i=i+2，不知足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入 n 的值为 10，框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0和 2，判断 2≤10 成立，履行，i=2+2=4；判断 4≤10 成立，履行= ，i=4 2=6；+判断 6≤10 成立，履行，i=6 2=8；+判断 8≤10 成立，履行，i=8+2=10；判断 10≤10 成立，履行，i=10+2=12；判断 12≤10 不可立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．应选 A．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【剖析】投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰巧发生 k 次的概率计算公式能求出出现正面次数剩余反面次数的概率．【解答】解：投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，∴出现正面次数剩余反面次数的概率：p==．应选： D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C的两个焦点，若PF12 1 2⊥PF，则△ PF F 的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】设 P 的坐标，利用PF1⊥ PF2，成立方程，求出P 的坐标，则△ PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设 P（y， y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣ y）?（y，﹣ y） =0，∴2y2﹣ 6 y2y =，+ =0，∴| |∴△ PF的面积为=2．1F2应选 D．10．已知直线 y=﹣2x+1 与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的地点关系．【剖析】将直线 y=﹣2x+1 与直线 x﹣4y=0 联立，求得中点坐标，由A，B 在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==．【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段 AB 的中点（，），则 x1+x2= ， y1 +y2= ，由 A，B 在椭圆上，+=1，+ =1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==，应选 D．．已知直线l 过点（﹣ 1，0），l 与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，B两点，则11=3A弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【剖析】先找出使弦长 | AB| =2时的状况，再求直线与圆相切时的情况，依据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心 C 是（ 1， 0）半径是，可知（﹣ 1， 0）在圆外要使得弦长| AB|≥ 2，设过圆心垂直于AB 的直线垂足为 D，由半径是，可得出圆心到 AB 的距离是 1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与 x 轴成 60°，斜率为，因此使得弦长的概率为：P==，应选： C．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF11， 2⊥x 轴，则椭圆E的方程为（）| =2| BF|AF A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】利用椭圆的性质求出 A，B 的坐标，代入椭圆方程，联合 1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x 轴，∴ | AF2| =b2，∴A 点坐标为（c，b2），设 B（x， y），则∵| AF1| =2| F1B| ，∴（﹣ c﹣c，﹣ b2） =2（x+c，y）∴ B（﹣ 2c，﹣b2），代入椭圆方程可得： 4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴ b2= ，∴x2+=1．应选： C．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于4．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】依据椭圆+=1 的长轴在x 轴上，焦距为4，可得 10﹣m﹣m+2=4，即可求出 m 的值．【解答】解：∵椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，∴10﹣m﹣ m+2=4，解得 m=4故答案为： 4．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【剖析】推导出 f（ x+3） =﹣ f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数 f（x），x∈R，知足以下性质： f （x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3） =﹣f （x+ ） =f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣ 1） =﹣ f（1）=﹣3．故答案为：﹣ 3．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为①②④．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1，；（3），“φ= +2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（ 2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件；（ 4），判断命题 p、命题 q 的真假即可【解答】解：对于（ 1），∵ cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（ 2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈ R，sinx≤1，为真命题；对于（ 3），“φ= +2kπ（ k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件，故为假命题；对于（ 4），x∈（ 0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ ABC中，若 sinA＞sinB? 2RsinA＞ 2RsinB? a＞ b? A＞ B，故命题 q 为真命题那么命题（?p）∧ q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【剖析】过 N 作 l 的垂线，垂足为Q，则 | NF| =| NQ| ，| PF| =| PM| ，求出 P 的坐标，可得 cos∠MNQ=，即可获得．【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），过 N 作 l 的垂线，垂足为 Q，则 | NF| =| NQ| ，∵ PF的斜率为，∴可得 P（4，4）．∴ M（﹣ 1，4），∴ cos∠MFO=∴cos∠ MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设，求数列{ b n}的前n项和T n．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（1）设出等差数列的公差，由 3a2，S3， a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（ 2）求出等差数列的前n 项和，代入，利用裂项相消法求数列{ b n}的前 n 项和 T n．【解答】解：（1）设数列 { a n} 的公差为 d（d＞0），则 a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵ 3a2， S3，a5成等比数列，∴，即（ 3+3d）2=（3+3d）?（1+4d），解得 d=2．∴a n=1+2（ n﹣ 1） =2n﹣1；（ 2）由（ 1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100 人作进一步剖析，则月收入在[ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（ 3）试预计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、均匀数；频次散布直方图．【剖析】（1）依据频次散布直方图，求出各段的频次，而后再求 [ 2500， 3500）的人数；（2）依据抽样方法，选用抽样的人数，（3）依据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在 [ 1000，1500] 的频次为 0.0008× 500=0.4，且有4000 人，∴样本的容量 n=，月收入在 [ 1500，2000）的频次为 0.0004× 500=0.2，月收入在 [ 2000，2500）的频次为 0.0003× 500=0.15，月收入在 [ 3500，4000）的频次为 0.0001× 500=0.05，∴月收入在 [ 2500，3500）的频次为； 1﹣（ 0.4+0.2+0.15+0.05） =0.2，∴样本中月收入在 [ 2500，3500）的人数为： 0.2×10000=2000．（2）∵月收入在 [ 1500， 2000）的人数为： 0.2×10000=2000，∴再从 10000 人用分层抽样方法抽出100 人，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽取（人）．（3）由（ 1）知月收入在 [ 1000，2000）的频次为： 0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ ）经过证明 BC1平行平面 A1CD 内的直线 DF，利用直线与平面平行的判断定理证明 BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）证明 DE⊥平面 A1DC，作出二面角 D﹣ A1C﹣E 的平面角，而后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点，又 D 是 AB 中点，连接 DF，则 BC1∥DF，由于 DF? 平面 A1CD，BC1?平面 A1 CD，因此 BC1∥平面 A1CD．（Ⅱ）由于直棱柱 ABC﹣ A1 B1C1，因此 AA1⊥ CD，由已知 AC=CB，D 为 AB 的中点，因此 CD⊥AB，又 AA1∩AB=A，于是， CD⊥平面 ABB1 A1，设 AB=2 ，则 AA1=AC=CB=2，得∠ ACB=90°，CD= ，A1D=，DE=，A1E=3故 A1D2+DE2=A1E2，即 DE⊥ A1D，因此 DE⊥平面 A1DC，又 A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠ DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△ A1DC中， DF==，EF==，因此二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值． sin∠DFE=．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数目积的运算．【剖析】（1）利用两个向量的数目积公式，三角恒等变换化简函数的分析式，再利用正弦函数的周期性和单一性，得出结论．（ 2）由 f（）=1，求得 A=，依据 S△ABC =，求得 c=4，再利用余弦定理求得 a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωxsin ωxcosωx﹣+= cos2 ωx+ sin2 ω x=sin（ 2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令 2kπ2x≤2kπ，求得kπ≤x≤ kπ，+≤ ++++故函数的减区间为 [ kπ+，kπ+] ， k∈ Z．（ 2）在△ ABC中，∵ f（） =sin（A+） =1，∴A= ，又 b=1，S△ABC= bc?sinA= ?1?c? = ，∴ c=4，∴ a===．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点A，B，使∠AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（Ⅰ ）由椭圆经过点 M （1，），| F1F2| =2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程．（Ⅱ）设 P（x， y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P 的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线 l 的方程为 y=kx 2，联立，得（ 1 4k2）x2 16kx 12=0，++++由此利用根的鉴别式、韦达定理、向量的数目积，联合已知条件能求出直线的斜率．【解答】 解：（Ⅰ）∵椭圆 C ：+ =1（a ＞b ＞0）经过点 M （1， ）， F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点， | F 1F 2| =2 ，∴，解得 a=2， b=1，∴椭圆 C 的标准方程为．（ Ⅱ）∵ c= ，F 1（﹣，），2（），设 （，），0 FP x y则=（﹣ ） ?（）=x 2 +y 2﹣ 3，∵，∴=x 2+y 2 ﹣3== （ 3x 2﹣8），解得﹣，∵点 P 在第一象限，∴ x ＞0，∴ 0＜ x ＜，∴点 P 的横坐标的取值范围是（ 0， ] ．（ Ⅲ）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 即为 y 轴，A 、B 、O 三点共线，不切合题意，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx 2 ，+联立，得（ 1+4k 2） x 2+16kx+12=0，由△ =（16k ）2﹣48（ 1+4k 2）＞ 0，解得，，，∵∠ AOB=90°，∴=0，∵=x 1x 2 y 1y 2 =x 1x 2 （kx 1 2）（kx 2 2） ==0，+ ++ +解得 k 2=4，知足 k 2＞ ，解得 k=2 或 k=﹣ 2，∴直线 l 的斜率 k 的值为﹣ 2 或 2．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】（1）连接 QF，运用垂直均分线定理可得，|QP|=|QF| ，可得| QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞| EF| =2，由椭圆的定义即可获得所求轨迹方程；（2）假定存在T（t ，0）知足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和鉴别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可获得存在 T（4，0）．【解答】解：（1）连接 QF，依据题意， | QP| =| QF| ，则 | QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞ | EF| =2，故动点 Q 的轨迹Γ是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．设其方程为，可知 a=2， c=1，∴，因此点 Q 的轨迹Γ的方程为；（ 2）假定存在 T（t ，0）知足∠ OTS=∠OTR．设 R（x1，y1），S（x2， y2）联立，得（ 3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，此中△＞ 0 恒成立，由∠ OTS=∠OTR（明显 TS，TR 的斜率存在），故 k TS k TR=0即②，+由 R，S 两点在直线 y=k（x﹣ 1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有 2x1x2﹣（ t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与 k 的取值没关，当且仅当“t=4时“成立，综上所述存在 T（4，0），使适当 k 变化时，总有∠ OTS=∠OTR．2017年 2月 24日。

2017-2018学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3．下列正确的是（）A．若p，q为两个，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：?x∈R，x2+2x≤0则￢p为：?x∈R，x2+2x＞0C．p为真，q为假．则p∧（￢q），（￢p）∨q都是真D．“若￢p，则q”的逆否是“若p，则￢q”．4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为5．在下列中：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（）A．B．C．D．7．如果ξ～B，则使P（ξ=k）取最大值时的k值为（）A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错8．已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．9．若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，则x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6010．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（）A．甲同学：均值为2，中位数为 2 B．乙同学：均值为2，方差小于 1C．丙同学：中位数为2，众数为 2 D．丁同学：众数为2，方差大于 111．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A．B．C． D．12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是______．15．在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ的实数λ的值有______个．16．已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为______．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．18．设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．20．某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在 5.15以上（含 5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在 5.15以上（含 5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+?为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点．2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，即前者能够推出后者，后者不一定能够推出前者．【解答】解：根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以两个时间对立是两个事件互斥的充分不必要条件，故选A．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．3．下列正确的是（）A．若p，q为两个，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：?x∈R，x2+2x≤0则￢p为：?x∈R，x2+2x＞0C．p为真，q为假．则p∧（￢q），（￢p）∨q都是真。

O ππ3π611湖北省武汉二中2016届高三上学期期末考试（理）第I 卷一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则N M ⋂=（ ）A ．{}21<<x xB ．{}31<<x xC ．{}30<<x xD ．{}20<<x x .2．已知向量()525,2,1=-=⋅=等于（ ）A ．5B ．52C ．25D ．53．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为（）A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2） 4．如图给出的是计算1001...614121++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i>100 B.i<＝100C.i>50 D.i<＝505．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的 体积是（ ）A ．334000cm B ．338000cm C ．32000cm D ．34000cm .6．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）A.32,1πϕω== B.32,2πϕω==C.3,1πϕω-== D.3,2πϕω-==7．命题“存在R x ∈，使a ax x 42-+＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 若直线01:=++by ax l ，始终平分圆M ：012422=++++y x y x 的周长，则.()()2222-+-b a 的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．52.D ．109、函数x xy sin 3+=的图象大致是（ ）10．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点，若ABE ∆.是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()+∞,1B ．()2,1C ．()21,1+D ．()21,2+11. 已知)(x f 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当10≤≤x 时，2)(x x f =，如果直线a x y +=与曲线)(x f y =恰有两个交点，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．)(2Z k k ∈C ．)(4122Z k k k ∈-或 D ．)(4122Z k k k ∈+或. 12. 已知数列{}n x ,满足n n x x =+3，*++∈-=)(12N n x x x n n n ，若11=x ，)0,1(2≠≤=a a a x ，则数列{}n x 的前2010项的和为（ ）A ．669B ．670C ．1338D ．1340第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 13．复数iz 4325-=的共轭复数z = ______________ 。

，
9． （5 分）不同的直线 a，b，c 及不同的平面 α，β，γ，下列命题正确的是（ A．若 a⊂ α，b⊂ α，c⊥a，c⊥b 则 c⊥α B．若 b⊂ α，a∥b 则 a∥α
）
C．若 a∥α，α∩β=b 则 a∥b D．若 a⊥α，b⊥α 则 a∥b 10． （5 分）从 1，2，…，9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的 和为奇数的概率是（ A． B． ） C． D．
2． （5 分）下列命题中，正确的一个命题是（
A．“∃ x∈R，使得 x2﹣1＜0”的否定是：“∀ x∈R，均有 x2﹣1＞0” B．“若 x=3，则 x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：“若 x≠3，则 x2﹣2x﹣3≠0” C．“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 D．“若 cosx=cosy，则 x=y”的逆否命题是真命题 3． （5 分）设随机变量 ξ 的分布列为 P（ξ=i）=a（ ）i，i=1，2，3，则实数 a 的 值为（ A．1 ） B． C． D．
C． （0，﹣ ，0） D． （0，2，0） ）
7． （5 分） 在圆的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 中， 若 D2=E2＞4F， 则圆的位置满足 （ A．截两坐标轴所得弦的长度相等 B．与两坐标轴都相切 C．与两坐标轴相离 D．上述情况都有可能 8． （5 分）设 则 a1+a2+…+a2017 的值为（ A．﹣1 B．﹣2 ） C．1 D．2
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D．288
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． （5 分）已知随机变量 ξ 服从正态分布 N（2，σ2） ，若 P（ξ＞﹣2）=0.964， 则 P（﹣2≤ξ≤6）等于 ．

2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

武汉二中2015-2016学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试时间: 2016年1月27日上午8: 00——10: 00 试卷满分: 150分一、选择题: (本大题共12小题; 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在答题卡上. ) 1.两个事件对立是两个事件互斥的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数据(x i , y i )(i ＝1,2, …, n ), 用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71, 则下列结论中不．正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x , y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm, 则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm, 则可断定其体重必为58.79 kg 3.下列命题正确的是( ) A.若p , q 为两个命题, 则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； B.若p 为：2,20x R x x ∃∈+≤, 则p⌝为：2,20x R x x ∀∈+>；C.命题p 为真命题, 命题q 为假命题。

则命题()p q ⌝∧, ()p q ⌝∨都是真命题；D.命题“若p ⌝, 则q ”的逆否命题是“若p , 则q ⌝”.4.从2003件产品中选取50件, 若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件, 剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取, 则每件产品被选中的概率 ( )A.不都相等B.都不相等C.都相等, 且为200350 D.都相等, 且为4015.在下列命题中： ①若向量a b 、共线, 则向量a b 、所在的直线平行； ②若向量a b 、所在的直线为异面直线, 则向量a b 、不共面；③若三个向量a b c 、、两两共面, 则向量a b c 、、共面； ④已知空间不共面的三个向量a b c 、、, 则对于空间的任意一个向量p , 总存在实数,,x y z , 使得p xa yb zc =++；其中正确的命题的个数是（ ）A ．0B ． 1C ． 2D ． 36. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为,,a b c , 当且仅当其中有两个数字的和等于第三 个数字时称为“有缘数”（如213, 341等）. 若{},,1,2,3,4a b c ∈, 且,,a b c 互不相同, 任取一个三位 自然数, 则它是“有缘数”的概率是( )A.12B.13C.23D.347. 如果ξ～B ,1⎛⎫20 ⎪3⎝⎭, 则使P (ξ＝k )取最大值时的k 值为( ) A ．5或6 B ．6或7C ．7或8D ．以上均错8. 已知实数[]1,9x ∈, 执行如图所示的程序框图, 则输出的x 不 小于55的概率为( )A.58B.38C.23D.139. 若()52ax x y++的展开式的各项系数和为243,则52x y的系数为( )A.10B.20C.30D.6010. 若某同学连续三次考试的名次(第一名为1,第二名为2,依次类推且可以有名次并列情况)均不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据, 推断一定不是尖子生的是( ) A.甲同学：均值为2, 中位数为2 B.乙同学：均值为2, 方差小于1 C.丙同学：中位数为2, 众数为2 D.丁同学：众数为2, 方差大于1 11. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45, 且各次射击相互独立, 若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击, 直到有一人击中目标就停止射击, 则停止射击时, 甲射击了两次的概率是（ ）A ．380B ．920C ．925D ．1940012. 已知双曲线的左、右焦点分别是12F F 、,过2F 的直线交双曲线的右支于P Q 、两点,若112PF F F =,且2232PF QF =,则该双曲线的离心率为( )A.43 B.103C.2D.75二、填空题: (本大题共有4个小题, 每小题5分, 共20分. 把正确答案填在答题卡的相应位置. ) 13. 有5名数学实习老师,现将他们分配到高二年级的三个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种（用数字作答）．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人, 将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则()P A B 的值是________．第14题 第15题15. 在一个正方体1111D C B A ABCD -中, P 为正方形1111D C B A 四边上的动点, O 为底面正方形ABCD 的中心, N M ,分别为BC AB ,的中点, 点Q 为平面ABCD 内一点, 线段Q D 1与OP 互相平分, 则满足MN MQ λ=的实数λ的值有_____个16. 已知圆224P x y y +=：及抛物线28S x y =：,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点自左向右顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长度按此顺序构成一个等差数列,则直线l 的斜率为____________三、解答题: (本大题共6个小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. )17. (本小题满分10分)已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e , 若p 、q 有且只有一个为真, 求m 的取值范围. 18. (本小题满分12分)设函数c bx x x f ++=2)(, 其中,b c 是某范围内的随机数, 分别在下列条件下, 求事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”发生的概率. (1) 若随机数,{1,2,3,4}b c ∈；(2) 已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{}10≤≤x x , ,b c 是算法语句4Rand()b =*和4Rand()c =*的执行结果．(注: 符号“*”表示“乘号”)19. (本小题满分12分) 如图, 在三棱柱111ABC A B C -中, AB AC ⊥,顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B , 且1 2.AB AC A B === (1) 证明：平面1A AC ⊥平面1;AB B (2) 求棱1AA 与BC 所成的角的大小；(3) 若点P 为11B C 的中点, 并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值.20.(本小题满分12分)某市一高中经过层层上报, 被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校.该校成立了特色足球队, 队员来自高中三个年级, 人数为50人.视力对踢足球有一定的影响, 因而对这50人的视力作一调查.测量这50人的视力(非矫正视力)后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间, 将测量结果按如下方式分成6组：第一组[)4.75,4.85, 第二组[)4.85,4.95, …,第6组[]5.25,5.35,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.又知：该校所在的省中, 全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布()5.01,0.0064N .⑴试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中 的平均视力状况；⑵求这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人数；⑶在这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人中任意抽取2人, 该2人中视力排名(从高到低)在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望. 参考数据：若ξ～N(μ, σ2),则()P μσξμσ-<≤+= 0.6826,()220.9544P μσξμσ-<≤+=,()330.9974P μσξμσ-<≤+=21. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>6以原点O 为圆心, 椭圆C 的长半轴这半径的圆与直线2260x -+=相切.(1)求椭圆C 标准方程；(2)已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点, 问：在x 轴上是否存在点E , 使2EA EA AB +⋅为定值？若存在, 试求出点E 的坐标和定值, 若不存在, 说明理由.22. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知点(1,2),Q P 是动点, 且三角形POQ 的三边所在直线的斜率满足111.OP OQ PQk k k += （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点D(1,0)任作两条互相垂直的直线12,l l , 分别交轨迹C 于点,A B 和M, N, 设线段,AB MN 的中点分别为,,E F求证：直线EF 恒过一定点.武汉二中2015-2016学年度上学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题：1－5 ADBCB 6－10 ABBCD 11-12 DD 二、填空题13. 90 14.5915.2 16. 三、解答题：17. 解：将方程11222=--m y m x 改写为11222=-+my m x ， 只有当,021>>-m m 即310<<m 时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p 等价于310<<m ；………………………………………………………………………4分 因为双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ， 所以0>m ，且1455<+<m，解得150<<m ，…………………………………6分 所以命题q 等价于150<<m ； ……………………………………………………8分 若p 真q 假，则∅∈m ；若p 假q 真，则1531<≤m 综上：m 的取值范围为1531<≤m ………………………………………………………10分 18.解：由c bx x x f ++=2)(知，事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”，即4.3b c c +≤⎧⎨≤⎩ ······ 1分 (1) 因为随机数,{1,2,3,4}b c ∈，所以共等可能地产生16个数对(,)b c ，列举如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4). 4分事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩包含了其中6个数对(,)b c ，即：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).所以63()168P A ==，即事件A 发生的概率为3.8············································· 7分 (2) 由题意，,b c 均是区间[0,4]中的随机数，产生的点(,)b c 均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积16)(=ΩS . ···································································· 8分事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：115()(14)322S A =⨯+⨯=.10分所以15()152()()1632S A P A S ===Ω，即事件A 的发生概率为15.3212分 19.解：⑴证明：1A B ABC ⊥面,1A B AC ∴⊥,又AB AC ⊥,1AB A B B =,1AC AB B ∴⊥面,1AC A AC ⊂面,1AB B ∴⊥1平面A AC 平面. 4分⑵以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ,()10,4,2B ,()12,2,2C ,()10,2,2AA =,()112,2,0BC B C ==-,1111cos ,288AA BC AA BC AA BC===-,故1AA 与棱BC 所成的角是3π. 8分 ⑶因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P .设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =,则110,0n AP n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩,由()()1,3,20,2,0AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得32020x y z y ++=⎧⎨=⎩,令1z =,则()12,0,1n =-,而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =.则12121225cos ,5n n n n n n ==-=-.由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25. 12分 20.解：⑴由频率分布直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4.8⨯0.1+4.9⨯0.2+5.0⨯0.3+5.1⨯0.2+5.2⨯0.1+5.3⨯0.1=5.03 高于全省喜爱足球的高中生的平均值5.01. 4分⑵由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5.15以上(含5.15)，其频率为0.2,人数为0.2⨯50=10,即这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人数为10人. 6分⑶()5.0130.08 5.0130.080.9974P ξ-⨯<≤+⨯=,即()4.77 5.250.9974P ξ<≤=,()10.99745.250.00132P ξ-∴≥==,0.0013100000130⨯=. 8分所以全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5.25以上.这50人中视力在5.25以上的有0.1⨯50=5人,这50名队员视力在5.15以上(含5.15)的人分为两部分:5人在5.25以上,5人在5.15 5.25. 9分∴随机变量ξ可取0,1,2,于是()252101020459C P C ξ====,()11552102551459C C P C ξ====,()252101022459C P C ξ====.443O(1,3)cb2520121999E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 12分21. 解答.(1)由36=e 得36=a c ,即a c 36=① ………1分 又以原点O 为圆心,椭圆C 的长轴长为半径的圆为222a y x =+ 且与直线0622=+-y x 相切, 所以6)2(2622=-+=a 代入①得c=2, ………2分所以2222=-=c a b .所以椭圆C 的标准方程为12622=+y x ………4分 (2)由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k ………6分 设()()1122,,,A x y B x y ,所以2221222131612,3112kk x x k k x x +-=+=+ ………8分 根据题意,假设x 轴上存在定点E(m,0),使得EB EA EA AB EA AB EA EA ⋅=⋅+=⋅+)(2为定值.则()()()21212211)(,,y y m x m x y m x y m x +--=-⋅-=⋅………9分 =()()()()()()22222221221231610123421k m k m m mk x x m k x x k +-++-=++++-+要使上式为定值,即与k 无关,()631012322-=+-m m m , ………10分得37=m . ……11分 此时, 95622-=-=⋅+m ,所以在x 轴上存在定点E(37,0) 使得AB EA EA ⋅+2为定值,且定值为95-. ……12分22.解：⑴设点P 的坐标为(),P x y ,则OP y k x =,2OQ k =,21PQ y k x -=-,由111.OP OQ PQ k k k += 得1122x x y y -+=-.整理得点P 的轨迹的方程为.()240,2y x y y =≠≠. 4分 ⑵设点,A B 的坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,则点E 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得()2222240k x k x k -++=,()224224416160k k k ∆=+-=+> 因为直线1l 与抛物线交于A,B 两点，所以12242x x k +=+,()121242y y k x x k+=+-=, 所以点E 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-,同理可得F 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时,有222112k k +≠+.此时直线EF 的斜率为:2222221112EF kk k k k k k+==-+-- 所以直线EF 的方程为()222121k y k x k k +=---,整理得()231k y x k=--. 于是直线EF 恒过定点()3,0,当1k =±时,直线EF 的方程为3x =,也过点()3,0.综上所述,直线EF 恒过定点()3,0. 12分。

2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。

2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答题前，请填写姓名和准考证号码。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。

3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。

4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。

为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。

已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。

A。

100B。

150C。

200D。

2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。

无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。

A。

2B。

3C。

5D。

3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。

A。

$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。

$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。

$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。

$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。

武汉二中2016---2017学年度上学期期末考试高二地理试卷命题学校：武汉二中命题教师：试卷满分：100分一、单项选择题：每小题2分，共50分在我国进入“高铁时代”的大背景下，各城市的高铁站建设也方兴未艾，而部分河运却日益衰落。

2014年2月26日，中国首条在高原高海拔和戈壁荒漠地区开通的高速铁路兰新高铁全线开通运营。

汉江全长1 532千米，流域涉及6省市，素有“千里黄金水道”之称。

回答1～2题。

1．兰州等大城市高铁车站远离主城区，布局在城市核心区的边缘，其主要原因是() A．高铁站用地面积广，郊区地价较低，可大大降低成本B．远离主城区，便于旅客集散C．促进高铁站所在郊区的城市化步伐D．位于城乡结合部方便居民出行2．近代以来，汉江航运不断萎缩，下列原因分析正确的是()①新的运输方式的兴起并发展成为主要运输方式②河流落差加大，水流湍急③水库、涵闸和桥梁等工程建设阻碍通航④船舶大型化使干流和下游的部分河段丧失通航能力A．①④B．①②C．②④D．①③据报道，2014年“双十一”期间，“天猫”交易额突破571亿元，越来越多的居民选择从网上购物。

右图是某公司的电子产品生产、销售流程简图。

品3．电子产品是网购的热门产品。

图中电子产品三大仓储基地选址的区位条件是A．劳动力资源丰富，人工成本低B.靠近大学城，科技力量雄厚C.地处大中城市，地价低廉D.接近消费市场，就近配送4．日益发展的网购对商业区发展的影响是A．规模不断缩小B．向城市外缘发展C．向集购物、娱乐、休闲为一体的多功能方向发展D．功能逐渐不明显春分后15天为清明。

据记载，隋唐时的长安（今西安）无冰雪，梅和柑橘都能在关东地区生长，且降水偏多。

读某区域地形图，完成第5—6题。

5．对古时“物至此时皆以洁齐而清明矣”这句话的理解，正确的有①南方地区气温上升，雾气减少②北方地区风沙减少，空气通透性好③北方地区进入雨季，空气清新④北方地区昼变长，大气透明度降低A.①②B.②③C.①③D.②④6．影响杏花村盛产汾酒的主要区位因素有①位于河流沿岸，河水是酿酒的重要水源②位于断层地区，丰富洁净的地下水和泉水是酿酒的重要水源③位于冲积扇地区，地形平坦广阔，土壤肥沃，盛产高粱④位于山前冲积扇，地下水丰富，是酿酒的重要水源A.①②B.②③C.①③D.②④右图为企业迁移与盈利空间变化示意图，SRC表示空间收入曲线，SCC和SCC′表示不同时期的空间成本曲线。

高二第一学期期末考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若集合{}2|20A x x x =--<，且A B A = ，则集合B 可能是A. {}0,1B. {}|2x x <C. {}|21x x -<<D.R2.如果0a b <<，则下列不等式成立的是 A. 11a b < B. 22ac bc < C. 22a b < D. 33a b <3.命题2000",0"x R x x ∃∈->的否定是A. 2,0x R x x ∀∈->B.2000,0x R x x ∃∈-≤C. 2,0x R x x ∀∈-≤D.2000,0x R x x ∃∈-<4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若334,7a S ==，则6S 的值为A. 31B. 32C. 63D. 645.抛物线214y x =-的准线方程是 A. 116y = B. 1y = C. 116y =- D.1y =-6.在下列函数中，最小值是2的函数是A.()1f x x x =+ B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C. ()2233x f x x ++ D.()42x x f x e e =+-7.“5,4m n ==”时“椭圆22221x y m n +=的离心率为35e =”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件8.在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠= ,对角线AC 与BD 相交于点O,PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为45 ，若E 是PB 的中点，则异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为 A. 31020 B. 1020 C. 255 D. 559.已知双曲线C 的中心为坐标原点，()3,0F 是C 的一个焦点，过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，且AB 的中点为()12,15E --，则C 的方程为 A. 22136x y -= B. 22145x y -= C. 22163x y -= D. 22154x y -= 10.在ABC ∆中，,,a b c 分别是A,B,C 的对边，23,22a b ==，且()12cos 0B C ++=，则BC 边上的高等于 A. ()231+ B. ()231- C. 31+ D.31- 11.设数列{}n a 的通项公式cos3n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2016S = A. 2016 B.1680 C. 1344 D.1008 12.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线分别与抛物线相交于点M,N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ,垂足为Q ，则PQ MN 的最大值为 A. 1 B.12 C. 22 D.33 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题“若{}n a 是常数列，则{}n a 是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是 .14.若实数,x y 满足不等式0,0,220,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则12y x -+的取值范围为 .15.在长方体1111ABCD A BC D -中，11,2AD AA AB ===,若E 为AB 的中点，则点E 到面1ACD 的距离是 .16. 设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以线段12,F F 为直径的圆O 与双曲线的一个交点为P,与y 轴交于B,D 两点，且与双曲线的一条渐近线交于M,N 两点，则下列命题正确的是 .（写出所有正确的命题编号）①线段BD 是双曲线的虚轴；②12PF F ∆的面积为2b ；③若120MAN ∠= ，则双曲线C 的离心率为213；④12PF F ∆的内切圆的圆心到y 轴的距离为a .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设命题2:",2"p x R x x m ∀∈+>；命题:q “0x R ∃∈，使200220x mx m ++-≤”.如果命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点()2,M m 在抛物线E 上，且 3.MF =（1）求抛物线E 的方程；（2）过x 轴正半轴上一点(),0N a 的直线与抛物线E 交于A,B 两点，若OA OB ⊥，求a 的值.19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且()()2sin 2sin 23sin .c C b a B a b A =++-（1）求角C 的大小；（2）若4c =，求a b +的取值范围.20.（本题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 中，11,n a S =是数列{}n a 的前n 项和，对任意2,63 2.n n n n N S a a *∈=++（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2231n n n S b n =⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面ABCD ⊥平面SAB ，侧面SAB 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//,,12, 6.AB CD AB BC AB CD BC ⊥===（1）求证：;AB DS ⊥（2）求平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值.22.（本题满分12分）已知()0,1P -是椭圆C 的下顶点，F 是椭圆C 的右焦点，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为Q,满足7.PF FQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过左顶点A 作斜率为()0k k >的直线l 交椭圆C 于点D,交y 轴于点B.已知M 为AD 的中点，是否存在定点N ，使得对于任意的()0k k >都有OM BN ⊥，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.。