2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期24.2、解一元二次方程、例说配方法的应用素材

24.2.1 解一元二次方程---配方法
学习目标 1、理解掌握一元二次方程的解法； 2、了解什么是配方法？ 3、会用配方法解一元二次方程.
自学指导 1、阅读：教材 2、思考：
（1）了解什么是配方法？
（2）会用配方法解一元二次方程.
合作探究
x2－4x＋1＝0
变形为 （x－2）2=3
变
形
为
这种方程怎
配方时， 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
例1 用配方法解下列方程： （1）x2-10x-11=0
解：移项，得x2-10x=11 配方，得x2-10x+52=11+52 即（x-5）2=36 两边开平方，得x-5=±6. 所以x1=11, x2=-1.
（2）x2+2x-1=0
解：移项，得x2+2x=1 配方，得x2+2x+12=1+12 即（x+1）2=2 两边开平方，得x+1=± 2 . 所以x1=-1+ 2 ， x2=-1- 2
x1 a,x2 a
谈谈你的收获！
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式， 然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方 法叫做配方法. 注意:配方时，等式两边同时加上的是一次项系 数一半的平方.
样解？
• • • •2 a 的形式．（ａ为非负常数）
怎样解方程x2+6x+4=0？
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一 元二次方程的方法叫做配方法.
填空 （1）x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 （2）x2-4x＋ 4 =(x- 2 )2 （3）x2- _6_x＋ 9 =(x- 3 )2
例2 用配方法解方程：2x2+3=6x.

24.2解一元二次方程
解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。

为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。

我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。

在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。

如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。

在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。

1。

24.2 解一元二次方程（1）教学目标【知识与能力】1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.【过程与方法】1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力.【情感态度价值观】1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念及一般形式.【教学难点】1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.课前准备多媒体课件教学过程一、新课引入：导入一:【课件展示】一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?【师生活动】学生思考,教师引导回答下列问题:(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为dm2;(2)题目中的等量关系为;因此,根据题意可列方程;化简可得. 【师生活动】学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨.追问:如何解这个方程?5和-5是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗?(棱长不能为负数,所以正方体的棱长为5 dm)【课件展示】解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2 dm2.根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25,根据平方根的意义,得x=±5.即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).答:其中一个盒子的棱长为5 dm.导入二:1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?2.计算:9的平方根是,的平方根是.3.若x2=36,则x的值是.4.什么是完全平方公式?【师生活动】共同复习平方根的概念和性质及完全平方公式.[设计意图]由实际问题导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.二、新知构建：试着做做【课件展示】1.根据平方根的意义,解下列方程:(1)x2=4;(2)(x+1)2=4.【师生活动】学生独立思考回答,教师规范书写.解:(1)根据平方根的意义得x=±2,∴x1=2,x2=-2.(2)根据平方根的意义得x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.【思考】方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?(方程左边是完全平方式的形式,方程右边是一个非负数.即(x+m)2=n,其中n≥0)【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.【课件展示】2.解下列方程:(1)x2+2x+1=4;(2)x2+2x-3=0.教师引导分析,思考下列问题并回答:(1)方程(2)与方程(1)的区别是什么?(方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式)(2)把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?(移项,得x2+2x=3,根据等式的性质,方程两边同时加1可以化成与(1)的左边相同)(3)能不能配方后解方程?(配方后用直接开平方法可以求解)【师生活动】学生小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解题过程,教师点评.解:(1)原方程可化为(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.(2)原方程可化为x2+2x+1=4,即(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.追加提问:通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?【师生活动】学生思考,教师提示:由方程(x+1)2=4,得到方程x+1=2或x+1=-2,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.(“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程时就是把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的)[设计意图]通过探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识的衔接,同时练习的设计由浅入深,学生易于理解和掌握本节课的学习重点.引导学生对比练习(1)和(2)两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程.做一做【课件展示】先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n是常数,n≥0)的形式,再求出方程的根.(1)x2+2x=48;(2)x2-4x=12;(3)x2-6x+5=0;(4)x2+x-=0.思路一【课件展示】根据完全平方公式填空:(1)x2+2x+()2=(x+)2;(2)x2-4x+()2=(x- )2;(3)x2-6x+()2=()2;(4)x2+x+()2=()2.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.【思考】1.当二次项系数为1时,配方时常数项和一次项系数之间有什么关系?(当完全平方式的二次项为1时,常数项是一次项系数一半的平方)2.以上方程左边能不能化成完全平方的形式?3.你能将以上方程左边化成完全平方形式后求出该方程的解吗?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.解:(1)原方程可化为x2+2x+1=49,即(x+1)2=49,∴x+1=±7,∴x+1=7或x+1=-7,∴x1=6,x2=-8.(2)原方程可化为x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,∴x-2=±4,∴x-2=4或x-2=-4,∴x1=6,x2=-2.(3)原方程可化为x2-6x+9=4,即(x-3)2=4,∴x-3=±2,∴x-3=2或x-3=-2,∴x1=5,x2=1.(4)原方程可化为x2+x+=1,即=1,∴x+=±1,∴x+=1或x+=-1,∴x1=,x2=-.[设计意图]通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础,同时培养学生归纳猜想能力.通过练习,巩固将方程左边化为完全平方式后,直接开平方解一元二次方程的方法,为归纳配方法解方程做好铺垫.思路二【思考】1.观察方程(1)和(2),你能否将方程左边配成完全平方形式?2.方程(1)(2)左边化成完全平方式时,方程右边怎样变化才能使方程仍然成立?3.方程(3)(4)怎样转化成方程(1)(2)的形式?4.你能将方程(3)(4)的左边化成完全平方形式吗?5.请你尝试求出以上方程的解.【师生活动】学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师进行点评.解决过程同思路一.[设计意图]通过教师提出的问题,学生有目的地进行合作交流,寻找解一元二次方程的新的方法,培养学生勇于探索的精神及合作意识,课件展示解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.归纳总结:【课件展示】通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.【思考】你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【师生活动】小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.【课件展示】配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根.[设计意图]通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.例题讲解【课件展示】用配方法解下列方程:(1)x2-10x-11=0;(2)x2+2x-1=0;【师生活动】学生独立完成,小组内交流答案,比一比哪个小组所用时间短,并且正确率高,教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生.解:(1)移项,得x2-10x=11.配方,得x2-10x+52=11+52,即(x-5)2=36.两边开平方,得x-5=±6.所以x1=11,x2=-1.(2)移项,得x2+2x=1.配方,得x2+2x+12=1+12,即(x+1)2=2,两边开平方,得x+1=±.所以x1=-1+,x2=-1-.[设计意图]通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学生的计算能力,培养学生的竞争意识.做一做:【课件展示】对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢?教师引导分析:(1)该方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?(观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方)(2)观察该方程和上边方程有什么区别?(二次项系数不为1)(3)如何把二次项系数化为1?(根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数可得)(4)根据上边的分析,尝试完成解方程.【师生活动】小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.解:移项,得2x2+4x=-1,二次项系数化为1,得x2+2x=-,配方,得x2+2x+1=-+1,(x+1)2=,∴x+1=±,∴x1=-1+,x2=-1-.思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?[设计意图]几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程中掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.【课件展示】用配方法解方程:2x2+3=6x.【师生活动】学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-3x=-.配方,得x2-3x+-,即-.两边开平方,得x-=±.所以x1=,x2=-.[知识拓展]1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.3.方程(ax+b)2=c中,当c<0时,方程没有实数根.4.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).5.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.三、课堂小结：1.依据平方根的概念可解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程.2.通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.2.解一元二次方程的基本思路:降次——把一元二次方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式后两边开平方,使原方程变为两个一元一次方程,3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数a);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方(根据平方根意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).。

解一元二次方程 教学设计教学目标知识与技能：1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。

2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。

过程与方法：1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。

情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。

教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。

难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排4课时教学过程设计第一课时一、复习引入：1．一元二次方程的一般形式是什么？其中a 应具备什么条件？2．042=-x 是一元二次方程吗？其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？（是。

二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4）3．解下列方程：（1）x 2=4 （2）（x+3）2=9学生依次回答上述问题。

师总结强调：（1）象这种通过直接开平方求得x 的值的方法，实际上就是求x 2=a （a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。

（2）对于形如“（x+a）2=b （b≥0）”型的方程，只要把x+a看作一个整体，就可以转化为x 2=b （b≥0）型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。

（3）在对方程（x+3）2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。

要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。

“降次”也是一种数学方法二、试着做做1．如果（x+2）2=9，那么x=_______________。

2．如果（x－3）2=7，那么x=_______________。

3．完全平方公式是什么？4．如果x2+2x+1=4，那么x=_______________。

《24.2 解一元二次方程》一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。

初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。

我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。

而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。

解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。

本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。

【知识与能力目标】1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程。

【过程与方法目标】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系。

【情感态度价值观目标】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点。

【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用。

【教学难点】一元二次方程求根公式的推导。

教学过程一、问题思考：韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一，当比利时数学家提出一个一元45次的方程的求解问题向各国数学家挑战，法国国王把这个问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出22解，答案公布，震惊世界。

像这种高次方程，有没有一个通法，也就是说：对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解，一直是各国数学家都想解决的一个问题。

二、预习交流（独学）1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？总结：用配方法解一元二次方程的步骤：a.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。

b.移项整理得 x2+px=-qc.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。

§28.2 解一元二次方程[教学目标]使学生掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方；使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。

[教学重点] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。

[教学难点 ] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的配方。

[教学关键]会用配方法解数字系数的一元二次方程。

[教学形式] 讲练结合法。

[教学用时] 45′×1[教学过程 ][复习提问]1、在（x+2）2=9中，x+2与9的关系是什么？（x+2是9的平方根。

）（x-3）2=7中，x-3与7的关系是什么？（x-3是7的平方根。

）2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。

（x2-6 x+9=7，x2-6 x+2=0。

）[讲解新课]现在，我们来研究方程：x2+6 x+7=0的解法。

我们知道，方程：x2-6 x+2=0是由方程：（x-3）2=7变形得到的，因此，要解方程：x2-6 x+2=0应当如何变形？这里要求学生做尝试回答：要解方程：x2-6x+2=0，最好将其变形（x-3）2=7。

这是因为，我们会用直接开平方法解方程：（x-3）2=7了。

下面重点研究如何将方程：x2-6 x+2=0，变形为：（x-3）2=7。

这里，不是只研究这一道题解法的问题，而是注意启发学生找出一般性规律。

将方程：x2-6 x+2=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2-2·x·3=－2。

由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上9，即：x2-2·x·3+9=－2+9，（x-3）2=7。

解这个方程，得：x1=3+ x2=3－随后提出：通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

很明显，掌握这种方法的关键是“配方”。

24.2 解一元二次方程（3）教课目的【知识与能力】1.认识因式分解法解一元二次方程的观点.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.能依据一元二次方程的特色 , 灵巧采用解一元二次方程的方法.【过程与方法】1.经历研究用因式分解法解一元二次方程的过程 , 发展合情推理的能力 , 领会转变、降次的思想方法 .2.经过灵巧选择解方程的方法 , 领会解决问题策略的灵巧性和多样性.【感情态度价值观】1. 经过研究因式分解法解一元二次方程 , 鼓舞学生踊跃主动地研究知识的形成过程 , 激发学生的求知欲 , 体验成功的愉悦 .2.经过研究因式分解法解方程 , 培育学生与别人合作的能力 .3.经过选择合适的方法解方程 , 培育学生踊跃参加、主动研究、敢于发布看法的精神.教课重难点【教课要点】会用因式分解法解一元二次方程.【教课难点】能依据一元二次方程的特色, 选择合适的解一元二次方程的方法.课前准备多媒体课件教课过程一、新课导入：导入一 :复习发问 :1.什么是因式分解?因式分解的方法有几种?【师生活动】教师发问 , 学生回答 , 教师评论.2.将以下各式分解因式:(1)5 x2- 4x;(2) x2- 4x+4;(3) x2- 4;(4)(2 x- 1) 2-x2.【师生活动】学生独立达成, 小组内沟通答案, 对出现的错误组长帮忙解决, 老师评论易错点.导入二 :【课件展现】一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住, 修整蔬菜园的花费是30 元/平方米 ,而购置篱笆资料的花费是15 元/米 , 这两项支出正好相等, 求此正方形蔬菜园的边长.【师生活动】学生独立达成后小组沟通答案, 教师巡视过程中帮助有困难的学生, 指引学生思虑如何解方程?解: 设这个正方形蔬菜园的边长为x米, 依据题意可得 30x2=15×4x, 化简可得 x2- 2x=0.配方法或公式法能够解这个方程.,[ 设计企图 ]经过复习因式分解等相关知识, 有益于学生娴熟正确地将多项式进行因式分解从而降低学习本节课的难度; 以实质问题导入新课, 让学生领会数学在实质问题中的应用, 感受数学与生活之间的联系, 激发学生学习兴趣.二、新知建立：[ 过渡语 ]除配方法和公式法之外, 可否找到更简单的方法解这个方程?察看与思虑 :2关于导入二中的方程x - 2x=0,除了能够用配方法或公式法求解, 还能够如何求解呢?察看和剖析小亮的解法 , 你以为有没有道理 ?【课件展现】小亮的思虑及解法 :解一元二次方程的要点是将它转变为一元一次方程, 所以可将方程的左侧分解因式.于是得 x( x- 2)=0 .所以 x=0或 x- 2=0.2- 2x=012方程 x的两个根为 x =0, x =2.【师生活动】学生察看小亮的解法后小组合作沟通, 共同研究解法的正确性 , 教师进行点评.思路二教师指引学生思虑回答以下问题:(1)等式左侧的各项有没有共同因式?能不可以分解因式 ?(2) 假如=0, 那么.AB(3)试试将方程左侧分解因式 , 能不可以达到降次的目的 ?【师生活动】学生在教师的指引下思虑回答以下问题, 教师实时增补 , 学生勇敢试试解该方程,小组合作沟通答案, 并板书过程 , 教师对出现的问题有针对性地解决.解: 原方程可化为x( x- 2)=0 .即 x=0或 x- 2=0.所以 x1=0, x2=2.[ 设计企图 ]经过察看小亮的解法或许在教师指引下察看方程的特色, 经过分解因式达到降次的目的 , 从而求出方程的解 , 让学生亲身经历知识的形成过程, 培育学生察看问题、剖析问题及解决问题的能力 .概括总结 :【思虑】1.上述解方程的方法第一步是如何变形的?2.上述解法中如何达到降次的目的?3.什么样的方程适适用这类方法求解?【师生活动】小组议论沟通 , 教师对学生展现实时指引和评论, 师生共同得出结论.【课件展现】把一元二次方程的一边化为0, 另一边分解成两个一次因式的乘积, 从而转变为两个一元一次方程, 这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法.追问 : 你能总结因式分解法解方程的步骤是什么吗?【师生活动】学生思虑回答, 教师增补 , 概括后课件展现.【课件展现】因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为 0;(2)将方程的左侧进行因式分解 ;(3)令每一个因式为 0, 转变为两个一元一次方程 ;(4)解一元一次方程 , 得原方程的解.[ 设计企图 ]以问题的形式指引学生思虑, 加深对因式分解法解方程的理解和掌握, 让学生体验知识的形成过程 , 充足发挥学生在讲堂上的主体作用, 同时培育学生察看能力及概括总结能力 .做一做【课件展现】用因式分解法解以下方程:(1)2 x2- 5x=0;(2)4 x2- 15x=0;(3) x2- (2 x+1) 2=0.【师生活动】学生独立达成后小组内沟通答案, 学生代表板书解答过程, 教师评论并规范书写过程 .[ 设计企图 ]经过练习进一步娴熟掌握用因式分解法解方程的步骤,提升学生的计算能力,教师规范解答过程, 培育学生谨慎的学习精神.例题解说(教材 43页例 5) 用因式分解法解以下方程:(1)3(x- 1)2=2( x- 1);(2)(x+5)2=49.教师指引剖析 :(1) 方程两边都含有因式( x- 1), 所以移项后方程左侧提公因式法分解因式, 转化为两个一元一次方程求解;(2) 移项后方程左侧是两项的平方差, 利用平方差公式分解因式,转变为两个一元一次方程求解.【学生活动】学生在教师指引后 , 独立达成 ,而后小组沟通答案, 教师帮助有困难的学生,并对学生展现进行评论.2解:(1)原方程可化为3( x- 1) - 2( x- 1)=0,得 x- 1=0或3x- 5=0.x1=1, x2= .(2)原方程可化为 ( x+5) 2- 72=0,( x+12)( x- 2)=0 .得 x+12=0或 x- 2=0.x1=- 12, x2=2.大家说说 :解一元二次方程的方法有哪几种?依据你的学习领会, 说说解方程时如何选择合适的解法.【师生活动】用合适的方法解以下方程:(1)x2+2x- 4=0;(2)3 x2- 4x- 1=0;(3)4 x2- 20x+25=7;(4)(3x- 1)(x- 2)=(4x+1)(x- 2) .【师生活动】学生独立达成, 小组内沟通解法的不一样 , 找寻出合适的解方程的方法, 板书解答过程 , 教师评论.〔分析〕(1) 二次项系数为1, 一次项系数为偶数, 能够用配方法解方程;(2) 方程系数没特点, 用公式法解方程 ;(3) 先将方程化简 , 用公式法解方程 ;(4) 移项后提公因式 , 用因式分解法解方程 . [ 知识拓展]1.当方程的左侧能分解因式, 方程的右侧为0 时 , 经常用因式分解法解一元二次方程, 因式分解法是解一元二次方程的一种简易方法, 要会灵巧运用.2.解一元二次方程时, 四种解法的使用次序是: 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法 ,2一般先考虑用因式分解法, 假如是特别形式( x+a) =b( b≥ 0), 用直接开平方法, 最一般的方法是公式法 , 配方法在题目没有特别要求时一般不用.三、讲堂小结：本节课我们学习了因式分解法解一元二次方程, 请你想想 :1.因式分解法解方程的定义.2.什么形式的方程适适用因式分解法解?3.因式分解法解方程的一般步骤.4.如何选择合适的方法解一元二次方程?。

冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了有理数的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。

这部分内容主要是让学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等。

这些解法不仅是解决一元二次方程的关键，也是进一步学习高中数学的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的解法，他们可能还停留在机械记忆和简单应用的层面，对于解法的原理和适用范围可能还不够清楚。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解一元二次方程解法的原理，提高他们的数学思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，并能灵活运用。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决实际问题的能力，提高他们的数学思维能力。

3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.教学难点：一元二次方程解法的原理和适用范围。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导等教学方法，让学生在探究中学习，提高他们的数学思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等教学手段，帮助学生直观地理解一元二次方程的解法。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元一次方程的解法，引导学生思考如何解决一元二次方程。

2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解法步骤和原理。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解法，互相学习和借鉴。

4.教师引导：教师通过提问、解答疑问等方式，引导学生深入理解一元二次方程的解法。

5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的解法进行解答，巩固知识。

冀教版九年级上册24.2解一元二次方程（配方法）教案迁西三营中学九年级数学学教案姓名学号班级课题24.2解一元二次方程（配方法）课型新授时间2019.8.31 审核九年级数学组主备人张树辉课时第1课时学习目标知识目标：理解直接开平方法、配方法，会用配方法解一些简单数字系数的一元一次方程．能力目标：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．情感目标：通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知.学习重点用配方法解一元二次方程．学习难点用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0，且a≠1）的一元二次方程．学习方式师友互助教具多媒体课件学习过程教学环节学生活动教师活动知识回顾相关知识连接：1、完全平方公式是：________________________________________。

2、如果x² =a （a≥0），则 x= 。

3、一元二次方程的一般形式是：____________________________。

特殊形式：当a≠0,b=0时，形式是______________________。

当a≠0,c=0时，形式是______________________。

当a≠0,b=0,c=0时，形式是______________________。

预习交流：（P37-P39）1.怎样用直接开平方法解一元二次方程?2.怎样用配方法解一元二次方程?教师巡视指导。

（1）x 2-10x-11=0 (2) 0432=-+x x跟踪训练二 : 用配方法解下列方程(1) 2x +2x-1=0 （2）x 2+2x=48思考：对于方程2x 2＋4x+1=0这样的方程，如何用配方法求解呢？（师友交流）2x 2＋4x+1=0例2：用配方法解方程：2x 2+3=6x知识点归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？（师友交流）（1）将方程的二次项系数___________,（2）________（3）________（4）化为____________________________________的形式，（5）用_______________求得方程的解。

24.2 解一元二次方程练习题用适当的法解下列方程：（2）． （1）； （2）；（3）．（4）．1）． 2）． 3）．（1）；（2）； （3）；（4）．（3）()()03232=-+-x x x （4）06262=--x x21440y -=2(1)9x -=2(21)3x +=2(61)250x --=281(2)16x -=210x x +-=23610x x +-=21(1)2(1)02x x ---+=23(1)12x +=2410y y ++=2884x x -=2310y y ++=填空题1、()()023112=++++-m x m x m ，当m=________时，方程为关于x 的一元一次方程；当m__________时，方程为关于x 的一元二次方程2、方程02=-x x 的一次项系数是___________，常数项是__________3、方程062=--x x 的解是_______________________________4、关于x 的方程0132=+-x x _____实数根.（注：填写“有”或“没有”）5、若一个三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为_____________6、 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．解答题：1、（12分）已知一元二次方程0132=-+-m x x .（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根2．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是多少？x 22(21)10m x m x +-+=m3、（10分）已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．4、直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为多少？5、一根铁丝长48cm，围成一个面积为140cm2的矩形，求这个矩形的长和宽分别是多少？6、一个小组有若干个人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，求这个小组有多少人？7、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，求平均每月增长率为多少？8、将进货单价为30元的商品按40元售出时，每天能卖出500个. 已知这种商品每涨价1元，其每天销售量就减少10个，为了每天能赚取8000元的利润，且尽量减少库存，售价应定为多少？9、（11分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？10、（11分）某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获。

24.2 解一元二次方程（1）教学目标【知识与能力】1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.【过程与方法】1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力.【情感态度价值观】1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念及一般形式.【教学难点】1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.课前准备多媒体课件教学过程一、新课引入：导入一:【课件展示】一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?【师生活动】学生思考,教师引导回答下列问题:(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为dm2;(2)题目中的等量关系为;因此,根据题意可列方程;化简可得. 【师生活动】学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨.追问:如何解这个方程?5和-5是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗?(棱长不能为负数,所以正方体的棱长为5 dm)【课件展示】解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2 dm2.根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25,根据平方根的意义,得x=±5.即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).答:其中一个盒子的棱长为5 dm.导入二:1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?的平方根是.2.计算:9的平方根是,4253.若x2=36,则x的值是.4.什么是完全平方公式?【师生活动】共同复习平方根的概念和性质及完全平方公式.[设计意图]由实际问题导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.二、新知构建：试着做做【课件展示】1.根据平方根的意义,解下列方程:(1)x2=4;(2)(x+1)2=4.【师生活动】学生独立思考回答,教师规范书写.解:(1)根据平方根的意义得x=±2,∴x1=2,x2=-2.(2)根据平方根的意义得x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.【思考】方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?(方程左边是完全平方式的形式,方程右边是一个非负数.即(x+m)2=n,其中n≥0)【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.【课件展示】2.解下列方程:(1)x2+2x+1=4;(2)x2+2x-3=0.教师引导分析,思考下列问题并回答:(1)方程(2)与方程(1)的区别是什么?(方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式)(2)把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?(移项,得x2+2x=3,根据等式的性质,方程两边同时加1可以化成与(1)的左边相同)(3)能不能配方后解方程?(配方后用直接开平方法可以求解)【师生活动】学生小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解题过程,教师点评.解:(1)原方程可化为(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.(2)原方程可化为x2+2x+1=4,即(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.追加提问:通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?【师生活动】学生思考,教师提示:由方程(x+1)2=4,得到方程x+1=2或x+1=-2,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.(“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程时就是把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的)[设计意图]通过探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识的衔接,同时练习的设计由浅入深,学生易于理解和掌握本节课的学习重点.引导学生对比练习(1)和(2)两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程.做一做【课件展示】先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n是常数,n≥0)的形式,再求出方程的根.(1)x2+2x=48;(2)x2-4x=12;(3)x2-6x+5=0;=0.(4)x2+x-34思路一【课件展示】根据完全平方公式填空:(1)x2+2x+()2=(x+)2;(2)x2-4x+()2=(x- )2;(3)x2-6x+()2=()2;(4)x2+x+()2=()2.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.【思考】1.当二次项系数为1时,配方时常数项和一次项系数之间有什么关系?(当完全平方式的二次项为1时,常数项是一次项系数一半的平方)2.以上方程左边能不能化成完全平方的形式?3.你能将以上方程左边化成完全平方形式后求出该方程的解吗?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.解:(1)原方程可化为x2+2x+1=49,即(x+1)2=49,∴x+1=±7,∴x+1=7或x+1=-7,∴x1=6,x2=-8.(2)原方程可化为x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,∴x-2=±4,∴x-2=4或x-2=-4,∴x 1=6,x 2=-2.(3)原方程可化为x 2-6x +9=4,即(x-3)2=4,∴x-3=±2,∴x-3=2或x-3=-2,∴x 1=5,x 2=1.(4)原方程可化为x 2+x +14=1, 即(x +12)2=1, ∴x +12=±1,∴x +12=1或x +12=-1,∴x 1=12,x 2=-32.[设计意图] 通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础,同时培养学生归纳猜想能力.通过练习,巩固将方程左边化为完全平方式后,直接开平方解一元二次方程的方法,为归纳配方法解方程做好铺垫.思路二【思考】1.观察方程(1)和(2),你能否将方程左边配成完全平方形式?2.方程(1)(2)左边化成完全平方式时,方程右边怎样变化才能使方程仍然成立?3.方程(3)(4)怎样转化成方程(1)(2)的形式?4.你能将方程(3)(4)的左边化成完全平方形式吗?5.请你尝试求出以上方程的解.【师生活动】 学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师进行点评.解决过程同思路一.[设计意图] 通过教师提出的问题,学生有目的地进行合作交流,寻找解一元二次方程的新的方法,培养学生勇于探索的精神及合作意识,课件展示解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.归纳总结:【课件展示】通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.【思考】 你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【师生活动】 小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.【课件展示】配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根.[设计意图] 通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.例题讲解【课件展示】用配方法解下列方程:(1)x 2-10x-11=0;(2)x 2+2x-1=0;【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,比一比哪个小组所用时间短,并且正确率高,教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生.解:(1)移项,得x 2-10x =11.配方,得x 2-10x +52=11+52,即(x-5)2=36.两边开平方,得x-5=±6.所以x 1=11,x 2=-1.(2)移项,得x 2+2x =1.配方,得x 2+2x +12=1+12,即(x +1)2=2,两边开平方,得x +1=±√2.所以x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.[设计意图] 通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学生的计算能力,培养学生的竞争意识. 做一做:【课件展示】 对于方程2x 2+4x +1=0,如何用配方法求解呢?教师引导分析:(1)该方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?(观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方)(2)观察该方程和上边方程有什么区别?(二次项系数不为1)(3)如何把二次项系数化为1?(根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数可得)(4)根据上边的分析,尝试完成解方程.【师生活动】 小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示. 小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.解:移项,得2x 2+4x =-1,二次项系数化为1,得x 2+2x =-12, 配方,得x 2+2x +1=-12+1, (x +1)2=12,∴x +1=±√22, ∴x 1=-1+√22,x 2=-1-√22.思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?[设计意图] 几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程中掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.【课件展示】用配方法解方程:2x 2+3=6x.【师生活动】 学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生. 解:移项,并将二次项系数化为1,得x 2-3x =-32.配方,得x 2-3x +(32)2=(32)2-32, 即(x -32)2=34.两边开平方,得x-32=±√32. 所以x 1=3+√32,x 2=3-√32. [知识拓展]1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(ax +b )2=c (c ≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.3.方程(ax +b )2=c 中,当c <0时,方程没有实数根.4.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).5.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.三、课堂小结：1.依据平方根的概念可解形如(ax +b )2=c (c ≥0)的一元二次方程.2.通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.2.解一元二次方程的基本思路:降次——把一元二次方程化为(x +h )2=k (k ≥0)的形式后两边开平方,使原方程变为两个一元一次方程,3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数a );(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方(根据平方根意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).。

24.2解一元二次方程第一课时：本节的学习内容是如何用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。

教学过程的具体建议如下。

1．首先让学生回顾平方根的定义，并引导学生体会理解：求一个非负数的平方根实际上就是求x2=a（a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解。

然后让学生尝试完成“试着做做”中三个具有递进关系的题目。

2．可要求学生将“试着做做”中的题目化为一元二次方程的一般形式，再提出问题：你还能求出这些方程的解吗？然后经过学生独立思考，师生合作交流后，一起总结出用配方法解一元二次方程的基本思路。

3．由于用配方法解一元二次方程的关键是正常配方，因此教科书在“做一做”中安排了把几个方程化为（x+m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式的题目，以使学生掌握正确的配方方法。

在学生完成“做一做”中的要求后，可进一步要求他们求出每一个方程的解，使其初步体验用配方法解一元二次方程的步骤。

4．例1可以由师生共同完成，要使学生明白每步变形的依据和目的。

最后给出用配方法解一元二次方程的概念和步骤。

第二课时：本节课是用配方法解一元二次方程的第二课时，主要内容是如何利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。

1．对于例2，可引导学生与上一课时的方程进行比较，让学生思考和探究两者之间如何进行转化，然后师生一起完成解方程的过程。

最后结合“大家谈谈”的内容归纳出用配方法解一元二次方程的一般步骤。

2．让学生独立解答课后练习的部分方程，及时巩固用配方法解方程的一般步骤3．对于例3，要让学生经历独立寻找等量关系、列方程和解方程的过程，同时，要引导学生注意验证方程的解的合理性，并对学生困难的学生给与及时的点拨和引导。

第三课时：学生已经具备了用配方法解一元二次方程的经验，因此，对于求根工式的推导可在教师的引导下，由学生经过自主探究和合作交流的方式来获得。

1．为降低推导求根公式的难度，可让学生结合“做一做”的内容进行自主探究，然后再与小明和小亮的思路进行比较，并针对“大家谈谈”中的问题进行讨论和交流，最后形成统一认识，得出一元二次方程的求根公式。

选择适当方法解一元二次方程干什么事都有诀窍．解一元二次方程也是如此．一元二次方程有四种基本解法:直接开平方法,配方法,求根公式法，因式分解法．在解一元二次方程时,我们应当仔细观察方程的形式和系数特点，选择适当的方法，力求解题过程简洁、明快．例1 解方程3y(y—1）＝2－2y．特点:方程两边都有因式(y－1），宜用分解因式法．简解：原方程即3y（y－1)＝－2（y－1）．移项并分解，得（y－1)（3y+2）＝0．注意:将方程3y（y－1）＝－2(y－1）两边同除以(y－1),得3y＝－2，解得例2 解方程x2－6x－9991＝0．简解：将原方程配方，得（x－3)2＝10000．两边开平方，得x－3＝±100．∴x1＝103，x2＝－97．说明:本题若用因式分解法，则要把9991分解成103×97，这不容易;若用求根公式法,运算量较大．例3 解方程49x2－42x－1＝0．说明：本题用求根公式法计算较繁．特点:本题化一般式比较麻烦．左边两个因式的形式类似,先考虑用换元法化简．例6 解下列方程：（1）17x2－6x－11＝0；(2）（a－b）x2+（b－c）x+（c-a)＝0(a，b,c两两不等)．特点：这两个方程的系数之和都为零．我们知道，如果x＝1是方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根，那么a+b+c=0；反过来也成立：如果a+b+c=0,那么方程ax2+bx+c=0（a≠0)必有一根为1,（另一根为c a）。

这是因为有a+b+c=0，可得b=－a －c ，于是2ax bx c ++可化为20ax ax cx c --+=，可解因式，得（x －1）（ax －c ）=0,所以121,c x x a==。

应用一元二次方程的这个特殊性质，解以上两题就变得十分简捷．（2)∵(a －b)+（b －c ）+（c －a)＝0，由以上几例说明，解题时,仔细观察题目特点，这一步很重要．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

课题：28.2解一元二次方程
题为大问题作铺垫. 学生活动：通过探究与交流，把该方程转化为形如x 2
＋px ＋q ＝0的方程，进而用配方法求解.并总结出转化的方法是：把二次项的系数化为1 课堂练习 解下列方程： 22
2
(1)3250(2)260(3)36 1.
x x y y x x +-=+-=+=；
； 大家谈谈 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？与同学交流各自的想法. 问题三：有一张长方形桌子，它的长为2m ，宽为1m.有一块长方形台布，它的面积是桌子面积的2倍，将台布铺在桌面上时，各边垂下的长相等.求这块台布的长和宽（均精确到0.01m ）. 教师活动：引导学生审题，带领学生通读试题，找到关键语句，分析反映相等关系的语句，提炼相等关系，寻找对问题结果的限制语句
学生活动：按照步骤审题，解决问题，交流心得.
教师活动：在学生解决问题的后期要提示学生在解决实际问题时，要注意检验方程的解是否符合题意，从而确定实际问题的答案.
生的好奇心与求知欲.
提高学生的探索能力，增进学生间的交流能力和合作意识. 巩固配方法解形
如20(0)
ax bx c a ++=≠的方程
有意识的传授应用问题的审题方法，提高学生的建模能力. 小结与作业
课堂 小结
引导学生对配方法进行总结.。

一元二次方程别解
一、一元二次方程的“a、c相乘”解法
定理若方程x2+bx+ac＝0的两根为α，β．则方程ax2+bx+c＝0
证明利用求根公式，x2+bx+ac＝0的两根是
这个定理为我们提供了解一元二次方程的新方法，即要解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）,
只要先求出就是原方程的两根。

由于所解新方程的常数项和二次项系数的积，故可把这种解法称为“a、c相乘”解法．例1 解方程45x2+28x+4＝0．
解先解x2+28x+180＝0．
即（x+18）（x+10）＝0，
∴x1＝-18，x2＝-10．
∴原方程的解为
二、设方程两根为一次项系数的相反数的一半加、减正数k法
例2解方程4x2-15x+9＝0．
解方程两边同除以4，得
由根与系数之间的关系，得
注：这种解法新颖别致，它的一般步骤为：（1）把二次项系数化为1；（2）设方程两根为一次项系数的相反数的一半加、减正数k；（3）由两根之积等于常数，得到关于k的方程，并求出k；（4）求出原方程的根．它的根据是：
由根与系数之间的关系，得。

《解一元二次方程》学以致用，在我们学习到方程的基础知识之后，最重要的本分当然是如何求解了，这部分内容高考占的分数比重很大，联系很多，是初高中关于方程知识的一个过度和升华，学号一元二次方程的求解，是前进的不二选择。

【知识与能力目标】1、掌握一元二次方程的概念；2、识记一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0），并能将任意的一元二次方程化为一般形式；3、能快速、准确地辨别出一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；4、一元二次方程解的计算。

【过程与方法目标】2、经历观察、想象、推理、交流等数学活动，并在活动中丰富对方程的认识，发展空间观念，提高应用意识。

【情感态度价值观目标】3、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】一元二次方程的概念及其一般形式，并会用这些概念解决问题。

【教学难点】一元二次方程解的计算。

教学过程一、复习提问一元一次方程的概念。

二、导入新课1．使一元二次方程左右两边____的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近____，则可大致确定x的取值范围．三、讲授新课知识点一：一元二次方程的解1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( )A．－1 B．1 C．－2 D．02．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是( )A．－1 B．0 C．1 D．23．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝____．224．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是．5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝____．6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝____．7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．知识点二：估算一元二次方程的近似解8．已知x2－101＝0，那么它的正数解的整数部分是( C )A．8 B．9 C．10 D．119．方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是( B )A．－2<x1<－1 B．－1<x1<0C．0<x1<1 D．1<x1<210．已知长方形宽为x cm，长为2x cm，面积为24 cm2，则x最大不超过( D ) A．1 B．2 C．3 D．411.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为( )A．1 B．－1 C．0 D．－212．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是( )A.3<x<3.23 B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.2634 4四、随堂训练 13．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系：h ＝vt －gt2，其中h 是离抛出点所在平面的高度，v 是初速度，g 是重力加速度(g ＝10米/秒2)，t 是抛出后所经过的时间．如果将一物体以25米/秒的初速度向上抛，几秒种后它在离抛出点20米高的地方？五、小结本节主要学习了一元二次方程的定义、一般形式，并学习了如何找出一个一元二次方程的近似解。

优选一元二次方程的解法解一元二次方程,同学们已经学过四种基本方法：开平方法、因式分解法、配方法、公式法．如何针对题目的特点,合理选用这些方法呢？下面结合具体例题来说明这个问题．例题用适当的方法解下列方程：①9（x－1）2=5；②（x+2）(x－2）=1；③（x－3）2+x2=9;⑦x2－2x－m=0（m为常数）;⑧a2x2－7ax+12=0．分析:①易写成x2=a（a≥0）的形式，适于用开平方法解；②可整理成x2=a(a≥0）的形式,因此用开平方法求解较方便；③将9移到左边后有公因式x－3，因此用因式分解法解较好;④左边易分解因式(右边是0）,所以用因式分解法解较好;⑤可化为x2+2x=323，可用配方法求解；⑥前面的三种方法均不易,可直接用公式法解；⑦含有字母系数，须用判别式对有无实数根进行讨论；⑧含有字母系数，须对方程是否是一元二次方程进行分类讨论．③移项后提取公因式得：（x－3）[（x－3）+(x+3）］=0．∴x1=3，x2=0．⑤化原方程为x2+2x=323．配方得:x2+2x+1=324，即（x+1）2=182．∴x+1=±18．∴x1=17，x2=－19．⑥由求根公式,得：当m＜－1时，方程无实数根．由上可以看出，优选一元二次方程解法的步骤是：一分解,二配方,形如x2=a开平方;前面三法均不易，求根公式再用上；字母系数需讨论，分类求解不能忘．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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