For pers onal use only in study and research; not for commercial use
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For pers onal use only in study and research; not for commercial
use
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
椭圆
点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角.
PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
若
F0(X
若
P0(X0
2
x
,y0)在椭圆一亍
a
2
、x
,y0)在椭圆一2
a
2
2
2
2
y
-
b
y
-
b
=1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂•辔=1.
a b
=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦
2 x 椭圆
一2 a
2
x 椭圆一
2 a
2
2
2
2
y
b
y
-
b
=1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 -
=1 ( a > b> 0)的焦半径公式：
P1P2的直线方程是°2 - =1.
a b
戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2
tan—
|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点，
A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF.
2 2 2
2
-2
y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2
y^ - ―02
-
a b
a b a b
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支)
2 2
5.
若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1.
a b
a b
2 2
6.
若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2
^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P
2，则切点弦
P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y
=
11. AB 是椭圆
即
K
AB
2
2
a 2
b 2
b 2X 0
—2 。
a y °
=1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB =
b 2
~2 ，
a
12.
F 0(X o ，
y o )在椭圆
2 2
7占=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止
a 2
b 2
13.
F 0(x 0,y °)在椭圆
1 .
a b a b
X 2 y 2
双曲线 2 2 =1 ( a > 0,b > 0)的左右焦点分别为
F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点 .F 1PF 2 ，则双曲线的焦点
角形的面积为
a b
2
二b cot
2
x 2 y 2 双曲线— 2 =1 (a > 0,b > o )的焦半径公式：(F 1 ( -C,0) , F 2
(C,0)
a b
当M (冷，y °)在右支上时，| MR 卜a , | MF 2卜ex g — a . 当 M(x g ,y o )在左支上时，|MF 1|=-ex g a ,| MF 21= -ex^ - a
设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点,
则MF 丄NF.
2 2
10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和AQ 交于点N ,_则MF 丄NF.
11.
2
X
AB 是双曲线—
a
2
y b 2
=1 ( a > 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦，
M
(X 0,y 0)为AB 的中点，_则K OM
b 2X 0 12. 若
P 0(X Q
, y 0)在双曲线
13. 若P 0(x o , y 0)在双曲线
2
2
a 2
b 2
2
2 2
, 2_ 1
a b
X o X y o y 2 _
a 2
x (a > 0,b > 0)内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 2 一
a 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组
椭 圆
(a > 0,b > 0)内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 K AB ■ ■ 2―-，即 K
AB 2
ay 。
ay 。
2
2
=准 __y_ -2 — a b 2 2 y x °x y °y
b
a 2
b 2 b 2 7.
8.
9.
S.F 1
PF
2
1.
P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是
