一次函数与方程、不等式教案-数学八年级下第十九章19.2一次函数19.2.3人教版

一次函数与一元一次方程教学目标：知识与技能：1.理解一次函数与一元一次方程的关系。

2.会用函数的方法求解一元一次方程。

过程与方法：经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系的过程，体会数形结合的数学思想。

情感态度与价值观：通过教学活动，让学生学会从不同角度认识事物本质的方法，建立自信心，提高学生自主合作探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，让学生体验数学的价值。

教学重点：对一次函数与一元一次方程的关系的理解；应用函数求解一元一次方程。

教学难点：对一次函数与一元一次方程的关系的理解。

教学过程：1.出示学习目标2. 创设情境导入新课我的汽车油箱里还有50L油，汽车每km耗油0.1L,如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L），随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，y与x的函数关系式是什么?请问：当油箱油量为0时，汽车行驶了多少km？（1）如果用方程的方式来解决这个问题，我们可以列方程为（学生回答）（2）如果从刚才我们说的函数的角度来考虑，相当于是求什么？进入新课一：自主探究1. (1)解方程50-0.1x=0(2)当自变量x为何值时，函数y=50-0.1x的值为0？（快速回答：同桌两人各做一个，做完后和同桌交流，也可以两个都做）（初步感知函数与方程的联系）3. (1)解方程50-0.1x=20(2)当自变量x为何值时，函数y=50-0.1x的值为20？（快速回答：同桌两人各做一个，做完后和同桌交流，也可以两个都做）思考：从函数值的角度，你能总结出一次函数和一元一次方程的关系么？（小组内交流）（通过对上述问题的探究，深入的感受一次函数与一元一次方程之间有着密不可分的联系。

学生分小组讨论，培养学生与他人交流的意识，并在小组内听取他人意见，取长补短。

）以小组为单位进行结果汇报，教师在倾听的基础上总结：问题1是解一元一次方程。

问题2是函数问题，但也就是考虑当函数值y=0时，所对应自变量x为何值，也是可以通过解方程50-0.1x=0来解决的。

新人教版八年级数学下册《一次函数与方程、不等式（3）》教学设计一、创建情境问题为了研究某合金资料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这类合金制成的圆球测得有关数据以下：可否据此求出V和t的函数关系？将这些数值所对应的点在座标系中作出．我们发现，这些点大概位于一条直线上，可知V和t近似地切合一次函数关系．我们能够用一条直线去尽可能地与这些点相切合，求出近似的函数关系式．以下列图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应当是(10，1000.3)和(60，1002.3)．V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝，b＝．V＝＋．你也能够将直线稍稍搬动一下，不取这两点，换上更适合的两点．二、研究概括我们曾采纳待定系数法求得一次函数和反比率函数的关系式．可是现实生活中的数目关系是盘根错节的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精准地判断它们是什么函数，需要我们依据经验剖析，也需要进行近似计算和修正，第1页成立比较靠近的函数关系式进行研究．三、实践应用1为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按必定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行察看研究，发现它们能够依据人的身长调理高度．于是，他丈量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，获得以下数据：(1)小明经过对数据研究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）；小明回家后，丈量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为，请你判断它们能否配套？说明原因．解(1)设一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，将表中数据任取两组，不如取(37.0,70.0)和(42.0,78.0)代入，得解得一次函数关系式是y＝＋．(2)当x＝时，y＝×＋＝≠77．答一次函数关系式是y＝＋，小明家里的写字台和凳子不配套．2某企业到果园基地购置某种优良水果，慰劳医务工作者．果园基地对购置量在3000千克以上（含3000千克）的第2页有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该企业租车从基地到企业的运输费为5000元．(1)分别写出该企业两种购置方案的付款?第3页。

19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。

人教版数学八年级下册教学设计 19.2.3《一次函数与方程、不等式》一. 教材分析1.内容解析：本节课的主要内容是一次函数与方程、不等式的关系。

一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数)，其中k为斜率，b为截距。

一次函数与方程、不等式的关系可以通过解析式进行转化。

2.教材结构：本节课首先介绍一次函数的表达式，然后引导学生思考一次函数与方程、不等式的关系，最后通过例题和练习使学生掌握一次函数与方程、不等式的解法。

二. 学情分析1.知识基础：学生在七年级下册已经学习了方程和不等式的解法，对一元一次方程和一元一次不等式的解法有一定的了解。

2.思维特点：八年级的学生已经具备一定的逻辑思维能力，能够理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系。

3.学习动机：学生对于数学知识的应用有一定的兴趣，希望通过学习一次函数与方程、不等式的关系，解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一次函数的表达式，掌握一次函数与方程、不等式的关系，并能够运用一次函数解决实际问题。

2.过程与方法：学生能够通过观察、分析、归纳等方法，探索一次函数与方程、不等式的关系。

3.情感态度价值观：学生能够培养对数学知识的兴趣，增强解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一次函数的表达式，一次函数与方程、不等式的关系。

2.难点：一次函数与方程、不等式的解法，以及如何运用一次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考一次函数与方程、不等式的关系。

2.案例教学法：通过分析例题，使学生掌握一次函数与方程、不等式的解法。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同探索一次函数与方程、不等式的关系，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：笔记本、笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置实际问题，引导学生思考一次函数与方程、不等式的关系。

人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿一. 教材分析《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第19章第2节的一部分。

这部分内容是在学生已经掌握了函数、方程、不等式的基本概念和性质的基础上进行讲解的。

通过这部分的学习，使学生能够掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的解法与应用。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程、不等式的概念和性质有一定的了解。

但是，对于一次函数与方程、不等式的关系，以及如何运用一次函数解决实际问题，还需要进一步的学习和引导。

因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过引导学生自主探索和合作交流，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，提高学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自尊心，使学生感受到数学的实际应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与方程、不等式的关系，一次函数解决实际问题的方法。

2.教学难点：一次函数与方程、不等式的关系的理解，一次函数解决实际问题的方法的运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。

2.教学手段：使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对一次函数与方程、不等式的关系的思考，激发学生的学习兴趣。

2.讲解：通过讲解一次函数与方程、不等式的关系，引导学生理解一次函数解决实际问题的方法。

人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式》是学生在学习了函数、方程、不等式的基本概念和性质后，对一次函数与方程、不等式之间的关系进行深入探讨的一节内容。

本节内容通过实例引导学生理解一次函数与方程、不等式之间的联系，让学生学会运用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了函数、方程、不等式的基本概念和性质，对数学式的运算和变形有一定的掌握。

但部分学生对实际问题的解决能力还不够强，对一次函数与方程、不等式之间的联系还不太理解。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行教学。

三. 教学目标1.理解一次函数与方程、不等式之间的关系。

2.学会运用一次函数解决实际问题。

3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.一次函数与方程、不等式之间的联系。

2.如何运用一次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究一次函数与方程、不等式之间的关系。

2.以实例讲解一次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。

3.分组讨论、合作学习，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的一次函数与方程、不等式的实例。

2.准备教学PPT，展示一次函数与方程、不等式的关系。

3.准备纸笔，供学生进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾函数、方程、不等式的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一次函数与方程、不等式之间的关系，让学生直观地感受一次函数在解决实际问题中的应用。

3.操练（10分钟）教师给出实例，让学生运用一次函数解决实际问题。

学生分组讨论，合作完成任务。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师针对本节课的内容，设计一些练习题，让学生进行巩固练习。

人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式》教学设计教师版一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式》这一节主要介绍了如何利用一次函数解决方程和不等式问题。

学生通过前面的学习已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，本节课将引导学生将一次函数与方程、不等式结合起来，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于一次函数的概念和性质已有初步了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能很好地将函数与方程、不等式联系起来。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将已学的函数知识与方程、不等式知识进行整合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解一次函数与方程、不等式的关系；2.学会利用一次函数解决方程和不等式问题；3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一次函数与方程、不等式的关系；2.难点：如何利用一次函数解决方程和不等式问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一次函数与方程、不等式的关系，激发学生的学习兴趣；2.引导发现法：教师引导学生发现一次函数在解决方程和不等式问题时的作用，培养学生自主学习的能力；3.案例分析法：通过分析具体案例，让学生理解一次函数在实际问题中的应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一次函数与方程、不等式的关系；2.案例素材：准备一些实际问题，用于引导学生分析一次函数在解决方程和不等式问题时的作用；3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一次函数，引导学生思考一次函数与方程、不等式的关系。

2.呈现（10分钟）展示一次函数与方程、不等式的关系，让学生初步了解一次函数在解决方程和不等式问题时的作用。

3.操练（15分钟）分析一些实际问题，让学生运用一次函数解决方程和不等式问题。

教师引导学生总结解题方法，培养学生自主解决问题的能力。

人教版数学八年级下册《19.2.3一次函数与方程、不等式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.2.3一次函数与方程、不等式》这一节主要介绍了如何利用一次函数解决方程和不等式的问题。

教材通过具体的例题和练习题，使学生掌握一次函数与方程、不等式的关系，并能够运用一次函数解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经掌握了函数、方程、不等式的基本概念和性质，具备了一定的数学基础。

但部分学生对一次函数与方程、不等式的关系理解不够深入，需要在教学过程中进行针对性的引导和讲解。

三. 教学目标1.理解一次函数与方程、不等式的关系。

2.学会利用一次函数解决方程和不等式的问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.一次函数与方程、不等式的关系。

2.如何利用一次函数解决方程和不等式的问题。

五. 教学方法采用启发式教学法、案例教学法和小组合作学习法。

通过启发式问题引导学生思考，案例教学法让学生直观地理解一次函数与方程、不等式的关系，小组合作学习法培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材、PPT、黑板。

2.教学案例和练习题。

3.小组合作学习分组。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一次函数图像，引导学生回顾一次函数的性质。

提出问题：“你们认为一次函数与方程、不等式有什么关系？”让学生思考。

2.呈现（15分钟）通过PPT展示一次函数与方程、不等式的关系。

以具体案例为例，讲解一次函数如何解决方程和不等式的问题。

引导学生观察、分析、总结一次函数与方程、不等式的关系。

3.操练（15分钟）让学生分成小组，合作解决一些关于一次函数与方程、不等式的问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，巩固一次函数与方程、不等式的关系。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何利用一次函数解决实际问题？让学生举例说明，分享自己的见解。

19.2.3一次函数与方程、不等式第2课时【教学目标】知识与技能:理解一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系.会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义,会求二元一次方程的解.过程与方法:经历用函数图象表示方程、不等式解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解.(2)求不等式x+1>mx+n的解集.(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.你能解答上面的三个问题吗?这一节我们就来研究这一问题.二、探究归纳活动1:一次函数与一元一次不等式的关系1.探究:我们来看下面两个问题有什么关系?(1)解不等式5x+6>3x+10.(2)当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0?在问题(1)中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0,解这个不等式得x>2.解问题(2)就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题.那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢?它在函数图象上的表现是什么?如何通过函数图象来求解一元一次不等式?[师]我们先观察函数y=2x-4的图象.可以看出:当x>2时,直线y=2x-4上的点全在x轴上方,即这时y=2x-4>0.由此可知,通过函数图象也可求得不等式的解为x>2.由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内,一次函数y=ax+b 的值大于0”之间的关系,实质上是同一个问题.2.归纳:任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.活动2:一次函数与二元一次方程组的关系1.问题:我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用加减法.我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?首先,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.比如可化为根据方程组解的意义和函数的观点,就是求当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等.它反映在图象上,就是求直线y=x+5和y=0.5x+15的交点坐标.因此,我们也可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.2.归纳:(1)一般地,每一个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.(2)含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的方程组的解,是对应的两个一次函数图象交点的坐标.活动3:例题讲解【例1】用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4分析:将不等式转化为kx+b>0的形式,画相应函数y=kx+b的图象,得到相应自变量的取值范围.解:原不等式可化为-x-3>0,画出函数y=-x-3的图象,从图象可以看出,当x<-3时这条直线上的点在x轴上方,即这时-x-3>0,因此不等式的解集是x<-3.总结:用图象法解不等式的步骤(1)把不等式化成ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式.(2)画出一次函数y=ax+b的图象.(3)找出图象与x轴交点的横坐标,不等式的解集就相应得出.【例2】如图,若直线l1与l2相交于点P,则根据图象可得,二元一次方程组的解是______.分析:方程组的解,就是直线l1与直线l2的交点P的坐标.解:∵一次函数y=2x-3的图象l1与y=-x+3的图象l2相交于点P, 点P的坐标是(2,1),∴方程组的解是答案:总结:用图象法确定二元一次方程组的解1.将两个方程都化为y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的形式.2.画出两个函数的图象,确定交点坐标.3.两个一次函数图象交点的坐标是二元一次方程组的解.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系.能把解方程kx+b=0(k ≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次不等式和二元一次方程组,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.如图,直线y=kx+b(k<0)与x轴交于点(3,0),关于x的不等式kx+b>0的解集是() A.x<3 B.x>3 C.x>0 D.x<02.如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是()A.x>0B.x<0C.x>1D.x<13.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为()A.x<B.x<3C.x>D.x>34.两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A(-2,3),则方程组的解是()A.B.C.D.5.如图,如果一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组的解是()A.B.C.D.6.如图,已知一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交于点P,则根据图象可得二元一次方程组的解是________.7.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为________.8.已知两直线y1=2x-3,y2=6-x,(1)在同一坐标系中作出它们的图象.(2)求它们的交点A的坐标.(3)根据图象指出x为何值时,y1>y2;x为何值时,y1<y2.(4)求这两条直线与x轴所围成的△ABC的面积.9.兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:①何时弟弟跑在哥哥前面?②何时哥哥跑在弟弟前面?③谁先跑过20 m?谁先跑过100 m?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8,10,13,15题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次不等式、与二元一次方程组的关系.1.关于一次函数与一元一次不等式的关系,教师通过实例引导学生通过分析一次函数与一元一次方程的关系,关键抓住一次函数图象与x轴的交点坐标,x轴上方的部分y的值大于0,下方的部分y的值小于0,就得到了一次函数与一元一次不等式的关系.同时引导学生分析得出一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系与区别.2.关于一次函数与二元一次方程组的关系,教师通过实例引导学生分析得出:二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成,而每个一次方程的图象都是一条直线;两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解, 也就是这个二元一次方程组的解.并让学生通过练习验证.。

19。

2.3 一次函数与方程、不等式1。

教材分析（1）内容、地位、联系：《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第十九章第二节的内容。

本节课的主要内容是对之前学过的知识进行回顾复习的同时，着重建立了一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的有效联系,站在更高的角度进行动态分析，利用一次函数的图象求一元一次方程的解、一次不等式的解集和二元一次方程组的解，使新旧知识融会贯通，加大学生对已经学过的相关内容之间联系的认识，进一步体验函数的重要性，发挥函数对相关内容的统率作用，其中渗透了数形结合的思想，为后继学习奠定了基础，在初中学段有很重要的地位和作用。

（2)课标要求：理解一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的关系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义。

2。

教材处理把教材问题3的内容放到开始位置，处理意图是激发学生的学习兴趣，轻松引入课题.3. 教学目标（1)学情分析从认知状况来说，学生在此之前已经掌握了一次函数的概念和解析式的一般形式，会画一次函数的图象,而且通过前面的学习学生能够初步建立一次函数模型来解决一些简单的数学问题，但是把一元一次方程、一次不等式的联系和二元一次方程组利用函数图象联系在一起,结合数形结合的思想，来理解它们之间的关系，这对于我们的学生来说，会有点困难.（2）教学目标制定结合学情我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：<1>理解一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的关系，鼓励学生积极主动地参与讨论,感受发现问题和解决问题带来的愉悦。

〈2>能根据一次函数的图象求一元一次方程的解、一次不等式的解集和二元一次方程组的解，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.经历用函数图象表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数,以数释形”的数形结合思想，鼓励学生积极与他人交流、合作，从而激发学生探究数学知识的兴趣。

19.2 一次函数19.2.3 一次函数与方程、不等式教学目标一、基本目标【知识与技能】1．用函数观点认识一元一次方程．2．理解一次函数与二元一次方程(组)的关系．3．会利用函数图象解二元一次方程组．【过程与方法】会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系，处理一些较为复杂的问题，领会数形结合的思想．【情感态度与价值观】经历对实际问题建立数学模型的过程，体验数形结合的作用和一次函数模型的价值．二、重难点目标【教学重点】1．函数观点认识一元一次方程．2．应用函数图象求解一元一次方程．【教学难点】综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这就相当于已知直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，确定这条直线与x 轴交点的横坐标的值．2．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤：(1)将一元一次方程转化为一次函数；(2)画出一次函数的图象；(3)找出一次函数的图象与x轴的交点，其横坐标即为一元一次方程的解．3．由于任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0(或小于0)时，求相应的自变量的取值范围．而已知函数值y >0(或y <0)，求自变量x 的取值范围，其实质就是解不等式kx ＋b >0(或kx ＋b <0)．若用函数图象解不等式kx ＋b >0(或kx ＋b <0)，就是求函数图象在x 轴上方(或下方)时所对应的横坐标．4．一元一次不等式y 1≤kx ＋b ≤y 2(y 1，y 2都是已知数，且y 1<y 2)的解集就是直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2那条线段所对应的自变量的取值范围．5．二元一次方程与一次函数是“数”与“形”的关系．二元一次方程y ＝kx ＋b 的解就是一次函数y ＝kx ＋b 图象上的点的坐标；一次函数y ＝kx ＋b 图象上的点的坐标就是二元一次方程y ＝kx ＋b 的解；二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2的解是两直线y ＝k 1x ＋b 1与y ＝k 2x＋b 2的交点坐标；求两直线l 1：y 1＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，直线l 2：y 2＝k 2x ＋b 2( k 2≠0)的交点，就是解关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为( )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3【互动探索】(引发学生思考)一次函数与一元一次方程有什么关系？ 【分析】∵直线y ＝kx ＋b 经过点(2,3)，(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2k ＋b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1. 令x ＋1＝0，解得x ＝－1. 【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴的交点的横坐标的值．【例2】对照图象，请回答下列问题： (1)当x 取何值时，2x －5＝－x ＋1? (2)当x 取何值时，2x －5＞－x ＋1?(3)当x 取何值时，2x －5＜－x ＋1?【互动探索】(引发学生思考)一次函数与一元一次不等式有什么关系？【解答】(1)由图象可知，直线y ＝2x －5与直线y ＝－x ＋1的交点的横坐标是2，所以当x ＝2时，2x －5＝－x ＋1.(2)由图象可知，当x ＞2时，直线y ＝2x －5落在直线y ＝－x ＋1的上方，即2x －5＞－x ＋1.(3)由图象可知，当x ＜2时，直线y ＝2x －5落在直线y ＝－x ＋1的下方，即2x －5＜－x ＋1.【互动总结】(学生总结，老师点评)从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝k 1x ＋b 1的值大于(或小于)一次函数y ＝k 2x ＋b 2的值的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝k 1x ＋b 1在直线y ＝kx 2＋b 2上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【例3】直角坐标系中有两条直线：y 1＝35x ＋95，y 2＝－32x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交x 轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B .(1)求A 、B 两点的坐标；(2)用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，3x ＋2y ＝12；(3)求△PAB 的面积．【互动探索】(引发学生思考)(1)分别令y ＝0，求出x 的值即可得到点A 、B 两点的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式计算即可得解．【解答】(1)令y 1＝0，则35x ＋95＝0，解得x ＝－3，∴点A 的坐标为(－3,0)． 令－32x ＋6＝0，解得x ＝4，∴点B 的坐标为(4,0)．(2)如图所示，方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.(3)∵AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7， ∴S △PAB ＝12×7×3＝212.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．活动2 巩固练习(学生独学)1．若关于x 的方程ax －b ＝0(a ≠0)的解为x ＝3，则一次函数y ＝ax －b (a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为( B )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(a,0)D ．(－b,0)2．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点(2,0)，点(0,3)．有下列结论：①关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为x ＝2；②关于x 的方程kx ＋b ＝3的解为x ＝0；③当x ＞2时，y ＜0；④当x ＜0时，y ＜3.其中正确的是( A )A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④3．如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，且k ≠0)与正比例函数y ＝ax (a 为常数，且a ≠0)相交于点P ，则不等式kx ＋b ＜ax 的解集是x ＞2.4．如图，已知直线l 1：y ＝3x ＋1与y 轴交于点A ，且和直线l 2：y ＝mx ＋n 交于点P (－2，a )，根据以上信息解答下列问题：(1)求a 的值；(2)不解关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，y ＝mx ＋n ，请你直接写出它的解；(3)若直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x ＞3，求直线l 2的函数解析式．解：(1)∵(－2，a )在直线y ＝3x ＋1上， ∴当x ＝－2时，a ＝－5.(2)方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5.(3)∵直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x ＞3， ∴直线l 2过点(3,0)．又∵直线l 2过点P (－2，－5)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，－2m ＋n ＝－5， 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3，∴直线l 2的函数解析式为y ＝x －3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】某销售公司推销一种产品，设x (单位：件)是推销产品的数量，y (单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x 的取值范围．【互动探索】(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程(组)，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的交点的横坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围．【解答】(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40,1600)代入解析式，可得k ＝40， ∴方案一y 关于x 的解析式为y ＝40x . 设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ， 把(40,1400)和(0,600)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝20，b ＝600，∴方案二y 关于x 的解析式为y ＝20x ＋600.(2)根据两直线相交，可得40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，故两直线交点的横坐标为30. 当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类识图题，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一次函数与一元一次方程的关系 2．一次函数与一元一次不等式的关系 3．用图象法求二元一次方程组的解4．应用一次函数与方程、不等式解决实际问题 练习设计请完成本课时对应训练！。