5.IIR数字滤波器三种结构形式的软件实现 - 数字信号处理实验报告
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计算机与信息工程学院验证性实验报告一、实验目的（1）掌握IIR 数字滤波器设计的方法；（2）掌握IIR 数字滤波器直接型、级联型和并联型的基本特点并根据给定的传递函数形式正确选择是否采用直接型、级联型和并联型； （3）熟悉直接型、级联型和并联型的编程方法。
二、实验仪器计算机，MATLAB 软件三、实验原理一个IIR 滤波器的系统函数给出为：10010110...()();1()1...MnM nn M NNnN n n b zb b z b z B z H z a A z a z a z a z---=---=+++====+++∑∑ 其中n b 和n a 是滤波器系数。
不失一般性假定01a =。
如果 0N a ≠，N 就是这个IIR 滤波器的阶。
其差分方程表示是：1()()()MNm m m m y n b x n m a y n m ===---∑∑有三种结构用于实现一个IIR 滤波器。
（1）直接型：结构数字滤波器按给出的差分方程式直接与以实现。
有两种型式：直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构。
直接型结构用两个行向量来描述：含有系数{}n b的向量b 和含有系数{}n a 的向量a ，MATLAB 中其结构实现是用filter 函数。
（2）级联型：将系统函数H(z)写成具有实系数的二阶的乘积。
即将分子分母多项式分解为它们各自的根，然后将一对复数共轭根或者任意两个实数根组合成二阶多项式。
一般假定N 为偶数，有：1011111001112,1,20121,1,2...()1...1...1...11MM N N M M NN Kk k k k k b b z b z H z a z a z b bz z b b b a z a z B z B z b A z A z ------------=+++=++++++=+++++=++∏式中K 是等于,1,2,1,2,,,,2k k k k NB B A A 都是代表实数的二阶系数。
整个滤波器作为双二阶的级联实现。
已知直接型滤波器系数{}n b 和{}n a ，必须求得系数{}{}0,,,,k i k i b B A 。
MATLAB 中用函数dir2cas 来完成。
然后利用函数casfiltr 实现级联型式。
（3）并联型：这种型式中，利用部分分式展开将系统函数H(z)写成二阶节之和：101111,0,11210,1,2...()1...1MM N N KM Nk k k kk k k b b z b z H z a z a z B B z C zA z A z ---------=+++=++++=+++∑∑其中K 是等于,1,2,1,2,,,,2k k k k NB B A A ，是代表实数的二阶系数。
MATLAB 中用函数dir2par 将直接型系数{}n b 和{}n a 转换为并联系数{},k i B 和{},k i A 。
然后，利用函数parfiltr 实现并联形式。
四、实验步骤（1）编制以下给出的IIR 数字滤波器直接型、级联型和并联型结构的单位脉冲响应，单位阶跃响应及频率特性的程序。
（2）利用所编的程序，对以下IIR 数字滤波器，给出三种结构形式下的滤波器结构及信号流图，并画出此结构下单位脉冲响应和单位阶跃响应曲线。
1234123413112718()161224z z z z H z z z z z ---------+++=++-- 六、实验程序b=[1,-3,11,27,18]; a=[16,12,2,-4,-1];delta=[zeros(1,10),1,zeros(1,10)];%产生冲激函数 hdir=filter(b,a,delta); [b0,B,A]=dir2cas(b,a);hcas=casfiltr(b0,B,A,delta); n=[0:40];x1=exp(-0.5.*n).*cos(n.*(pi./2)); y1=filter(b,a,x1);y2=casfiltr(b0,B,A,x1); y3=parfiltr(b,B,A,x1); figurestem(x1,'.'),title('x1') figuresubplot(2,2,1:2),plot(y1),title('直接型')subplot(2,2,3),plot(angle(y1)),title('直接型相频特性') subplot(2,2,4),plot(abs(y1)),title('直接型幅频特性') figuresubplot(2,2,1:2),plot(y2),title('级联型')subplot(2,2,3),plot(angle(y2)),title('级联型相频特性') subplot(2,2,4),plot(abs(y2)),title('级联型幅频特性') figuresubplot(2,2,1:2),plot(y3),title('并联型')subplot(2,2,3),plot(angle(y3)),title('并联型相频特性') subplot(2,2,4),plot(abs(y3)),title('并联型幅频特性')function y = casfiltr(b0,B,A,x);% CASCADE form realization of IIR and FIR filters % ----------------------------------------------- % y = casfiltr(b0,B,A,x); % y = output sequence% b0 = gain coefficient of CASCADE form% B = K by 3 matrix of real coefficients containing bk's % A = K by 3 matrix of real coefficients containing ak's % x = input sequence %[K,L] = size(B); N = length(x); w = zeros(K+1,N);w(1,:) = x;for i = 1:1:Kw(i+1,:) = filter(B(i,:),A(i,:),w(i,:));endy = b0*w(K+1,:);function y = parfiltr(C,B,A,x);% PARALLEL form realization of IIR filters% ----------------------------------------% [y] = parfiltr(C,B,A,x);% y = output sequence% C = polynomial (FIR) part when M >= N% B = K by 2 matrix of real coefficients containing bk's% A = K by 3 matrix of real coefficients containing ak's% x = input sequence%[K,L] = size(B);N = length(x);w = zeros(K+1,N);w(1,:) = filter(C,1,x);for i = 1:1:Kw(i+1,:) = filter(B(i,:),A(i,:),x);endy = sum(w);function [b0,B,A] = dir2cas(b,a);% 直接型到级联型的型式转换(复数对型)% --------------------------------------------------------- % [b0,B,A] = dir2cas(b,a)% b = 直接型的分子多项式系数% a = 直接型的分母多项式系数% b0 = 增益系数% B = 包含各bk的K乘3维实系数矩阵% A = 包含各ak的K乘3维实系数矩阵% compute gain coefficient b0b0 = b(1); b = b/b0;a0 = a(1); a = a/a0;b0 = b0/a0;%M = length(b); N = length(a);if N > Mb = [b zeros(1,N-M)];elseif M > Na = [a zeros(1,M-N)]; N = M; else NM = 0; end %K = floor(N/2); B = zeros(K,3); A = zeros(K,3); if K*2 == N; b = [b 0]; a = [a 0]; end%broots = cplxpair(roots(b)); aroots = cplxpair(roots(a)); for i=1:2:2*K Brow = broots(i:1:i+1,:); Brow = real(poly(Brow)); B(fix((i+1)/2),:) = Brow; Arow = aroots(i:1:i+1,:); Arow = real(poly(Arow)); A(fix((i+1)/2),:) = Arow; end七、实验结果051015202530354045-0.50.51x151015202530354045-0.500.511.5直接型0204060024直接型相频特性02040600.511.5直接型幅频特性51015202530354045-0.500.511.5级联型0204060024级联型相频特性02040600.511.5级联型幅频特性51015202530354045-2002040并联型020406024并联型相频特性02040602040并联型幅频特性教师签名：年 月 日。
