最新高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全

数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合（一）集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3.集合的表示：（1）常用数集及其记法（2）列举法（3）描述法4、集合的分类：有限集、无限集、空集5.1.子集、真子集、空集；2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集；3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（一）函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2.常用的函数表示法及各自的优点：○1解析法：必须注明函数的定义域；○2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)定义域一致.求函数值域方法 :（先考虑其定义域）（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.2. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据.(2) 画法:描点法;图象变换法常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）→B（象集）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2)各部分的自变量的取值情况；(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（二）函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.定义的变形应用：如果对任意的12,x x D∈，且21xx≠有0)()(1212>--xxxfxf或者2121(()())()0f x f xxx -->，则函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对任意的12,x x D ∈，且21x x ≠有2121()()0f x f x x x -<-或者2121(()())()0f x f xxx --<，则函数)(x f 在区间D 上是减函数. 注意：函数的单调性是函数的局部性质. （2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .3.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f [g (x )]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 4．函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； （2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aa n m nm nm ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；（2）()r s r s a a =),,0(R s r a ∈>；（3）()r r ra b ab =(0,)a r R >∈． （二）指数函数及其性质1．指数函数的概念： 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [（a>1）或 )]a (f ),b (f [(0<a<1)； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =.二、对数函数（一）对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log . 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数 （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Malog M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log)(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式可得下面的结论：（1）b m nb a nam log log =； （2）a b balog 1log =． （三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：xy 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0a >，且1a ≠． 2、对数函数的图象和性质：a>1 0<a<132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567811定义域：(0,)+∞定义域：(0,)+∞值域为R值域为R 在R 上递增在R 上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三、幂函数1．幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2．幂函数性质归纳：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）当0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. 2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3．函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 二、函数的应用解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.数学必修2各章知识点总结第一章 空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）结 构 特 征 性质 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲共顶点.面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台 （1）两底面相互平行； （2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.2、空间几何体的三视图三视图定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）表面积相关公式 表面积相关公式棱柱 2S S S =+侧全底 圆柱 222S r r h ππ=+全（r ：底面半径，h ：高） 棱锥 S S S =+侧全底圆锥 2S r r l ππ=+全（r ：底面半径，l ：母线长） 棱台S S S S =++侧全上底下底圆台22('')S r r r l r l π=+++全（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）（2）柱体、锥体、台体的体积公式体积公式体积公式 棱柱 V S h =底高圆柱 2V r h π=棱锥 13V S h =底高圆锥 213V r h π=棱台1('')3V S SS Sh =++圆台221('')3V r rr r hπ=++ （3）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系1、空间点、直线、平面之间的位置关系 （1）平面① 平面的概念： 平面是无限伸展的.② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.点与直线的关系：点A 在直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l.直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α.（2）平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,ABC ABC α⇒不共线确定平面,l P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩公理2的三条推论：推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.（3）空间直线与直线之间的位置关系公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行①空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. ②异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线③异面直线所成角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补. （4）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a α⊂； a ∩α＝A ；a ∥α . （5）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点，记作α∥β.相交——有一条公共直线，记作α∩β＝b.2、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行⇒线面平行) 符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行），用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. *（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行），*（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理β aαb（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）用符号表示为：α∥β，a ⊂β//a α⇒（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行） 用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a ,β∩γ＝b //a b ⇒ 3、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.（线线垂直→线面垂直）用符号表示为：l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α⇒l ⊥α性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 用符号表示为：a ⊥α，b ⊥α⇒ //a b②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直→面面垂直）用符号表示为：a ⊂α，α⊥β⇒α⊥β.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直→线面垂直）用符号表示为：αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥⇒a β⊥. 4、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. （2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0.②平面的垂线与平面所成的角：规定为90.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.*垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.即ta n k α=.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当[)时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在. ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=③设1122(,),A x y B xy ，（），则线段AB 中点坐标公式为1212(,)22x x y y ++ 2、直线的方程注意：各式的适用范围; ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）.（2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线）①平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=++C y B x A （C 为参数） ②垂直直线系：垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=+-C y A x B （C 为参数） ③过定点的直线系:（ⅰ）斜率为k 的直线系方程为()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；*（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中.3、两直线平行与垂直已知111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否. 4、两条直线的交点0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 相交，交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解.方程组无解21//l l ⇔； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合5、距离公式：(1)平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离为|P 1P 2|＝222121()()x x y y -+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||P P x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||P P y y =-； (2)平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离为d ＝|Ax0＋By0＋C|\r(A2＋B2).(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(其中A ，B 不同时为0，且C 1≠C 2)间的距离为d＝|C1－C2|\r(A2＋B2).第三章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程()()222rb y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a ，b ，r ；若利用一般方程， 需要求出D ，E ，F.另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3、直线与圆的位置关系：位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d<r △>0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0（利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长222||d r AB -=（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】；(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定.设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含； 当0=d时，为同心圆.注意：已知两圆相切，两圆心与切点共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点. 5.空间直角坐标系（1）定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O -xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.（2）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)Mxyz （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）（3）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性.3、集合的表示：(1){ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2). 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列举法与描述法。

常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

6、集合的分类：(1)．有限集含有有限个元素的集合(2)．无限集含有无限个元素的集合(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。

即A⊆A②如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

可编辑修改精选全文完整版高中数学必修一公式整理一、几何公式1、直线：(1) 直线的方程是y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距；(2) 直线的斜率的计算公式：斜率K=（点1的纵坐标减去点2的纵坐标）除以（点1的横坐标减去点2的横坐标）。

2、平面图形(1) 三角形三边关系：任意一边长加上另外两边长，总长度要大于第三边。

(2) 三角形面积公式：面积 = （底边×高）÷2(3) 矩形的面积公式：面积 = 长×宽(4) 圆的面积公式：面积= π × 半径×半径二、代数公式1、平方差(1) 一元二次方程的解法：ax²+bx+c=0，解法为:x={-b±√(b²-4ac) }/2a(2) 二元二次方程的解法：ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0，解法为：x=(-be+√(b²-4ac)(-de+√(d²-4af))/（2a）；y=(2a(-be+√(b²-4ac))/（-de+√(d²-4af))。

2、二次函数(1) 二次函数公式：y=ax²+bx+c，其中a不等于0(2) 二次函数的对称轴：x轴的方程为： x= -b/2a(3) 二次函数的极值的计算：极值的 x 值为： -b/2a , 极值的 y 值为：y=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c三、数列公式1、等差数列公式(1) 求和公式：Sn=n(a1+an)/2，其中n为项数，a1为首项，an为末项；(2) 首项公式：a1=Sn/n-(n-1)d，其中n为项数，Sn为该数列的前n项和，d为公差；(3) 末项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差；(4) 公差公式：d=(an-a1)/(n-1)，其中an为末项，a1首项，n为项数；2、等比数列的公式(1) 求和公式：Sn=a1（1-qn）/（1-q），其中a1为首项，q为公比，n为项数；(2) 首项公式：a1=Sn（1-q）/（1-qn），其中Sn为该数列的前n项和，q为公比，n为项数；(3) 末项公式：an=a1q（n-1），其中a1为首项，q为公比，n为项数；(4) 公比公式：q=(an/a1)^（1/（n-1）），其中an为末项，a1首项，n 为项数；。

数学必修1-5常用公式及结论必修1: 一、集合１、含义与表示：(１)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性(２)集合的分类;有限集，无限集 （3）集合的表示法:列举法,描述法,图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。

记作A B ⊆ 真子集:若A 是Ｂ的子集,且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则Ａ是Ｂ的真子集，记作Ａ≠⊂B 集合相等:若:,A B B A ⊆⊆,则A B =3. 元素与集合的关系:属于∈ 不属于：∉ 空集:φ4、集合的运算：并集：由属于集合Ａ或属于集合Ｂ的元素组成的集合叫并集,记为 AB交集:由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集,记为AB补集:在全集Ｕ中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集,记为U C A５.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个； 6．常用数集:自然数集:Ｎ 正整数集:*N 整数集：Z 有理数集:Q 实数集：R 二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 <=＞ f (– x ） = – f （ x ） ,偶函数 <=> f (–x ） = f （ ｘ ）(注意定义域)2、性质：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形;（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性１、定义：对于定义域为Ｄ的函数f ( x ),若任意的x １, x 2∈D,且x １ < ｘ2① f （ x 1 ） < f ( x 2 ) ＜=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) ＜ ０ ＜＝> ｆ ( x ）是增函数② f ( x 1 ) > ｆ ( x ２ ) ＜=＞ f ( x 1 ) – f ( x 2 ） > 0 <=> ｆ ( x )是减函数2、复合函数的单调性: 同增异减三、二次函数ｙ = ax 2 +b ｘ + c （0a ≠)的性质1、顶点坐标公式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22， 对称轴:a bx 2-=，最大（小）值:a b ac 442-2.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (２)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; （3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则：（１）ａm• a n ＝ ａｍ+ n ，(2)nm n m aa a -=÷,(3)( a m ) n =a m n （４）（ ab ） ｎ= ａ n • b n（5) n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）a 0＝ 1 ( ａ≠0)（７)n n a a 1=- （8）m n m n a a =(9）m n m naa 1=-2、根式的性质(１）na =．(2）当na =; 当n 为偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.4、指数函数ｙ = a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：Ｒ ； 值域:（ 0 , +∞) （２）图象过定点（０，1）5.指数式与对数式的互化: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>． 五、对数与对数函数1对数的运算法则：(１）a b = N <=> b ＝ log a N （２)lo ｇ a 1 = 0（3）l ｏg a a = １（４)lo ｇ a a b = b(5)alog a Ｎ= Ｎ（6)lo ｇ a (MN ） = lo ｇ a M ＋ lo ｇ a N (７)l ｏｇ a (NM) = l ｏg a M -- l ｏg a Ｎ(8）lo ｇ a N b ＝ b ｌog a Ｎ （9）换底公式：log a N ＝aNb b log log(１0)推论 log log m na a nb b m=（0a >,且1a >,,0m n >，且1m ≠,1n ≠， 0N >). (1１）l ｏｇａＮ =aN log 1（12）常用对数：lg N = log 10 N （１3）自然对数：ln A = ｌog e Ａ （其中 e = 2.７１8２８…) 2、对数函数y = ｌog ａ ｘ (a > ０且a ≠1)的性质:（1)定义域:( 0 , ＋∞) ； 值域:Ｒ （2)图象过定点（1，0)六、幂函数y = ｘ a 的图象:（1) 根据 a例如: y = x 2 21x x y == 11-==x xy 七.图象平移:若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位, 得到函数b a x f y +-=)(的图象； 规律:左加右减，上加下减八. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ,有(1)xy N p =+.九、函数的零点：１.定义:对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。

高一数学必修一知识点1、集合{a1，a2...an}子集个数公式：，真子集个数公式：2、重要不等式：3、基本不等式：4、一元二次函数、方程、不等式f（x）=ax²+bx+c。

对称轴：图像顶点坐标：与x轴有交点时x1= x2=x1+x2= x1x2=若a>0 ，x1>x2，f（x）>0的解集：5、函数单调性。

若x1>x2，当单调递增；当单调递减。

6、函数奇偶性。

当是奇函数；当是偶函数。

7、指数运算（a>0,b>0）a r a s= （a r）s= （ab）r=8、对数运算(a>0，a≠1，M>0，N>0)=log a MN= log a MNlog a M n =对数换底公式：log a b=9、方程f（x）=0有实数解⇔函数y=f（x）有⇔函数y=f（x）的图像与x轴有函数零点存在定理：y=f（x）在[a,b]上连续，f（a）f（b）<0，那么y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c ϵ（a，b），使得f（c）=0，这个c也是方程f（x）=0的解。

10、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）sin （π＋α）= sin （-α）=cos （π＋α）= cos （-α）=tan （π＋α）= tan （-α）=sin （π-α）= sin （2π-α）=cos （π-α）= cos （2π-α）=tan （π-α）= tan （2π-α）=sin （2π+α）= sin （2π-α）=cos （2π+α）= cos （2π-α）=2、三角恒等变换sin （α+β） = sin （α-β）=cos （α-β） = cos （α+β）= Sin2α =cos2α= = = tan （α-β）= tan （α+β）=tan2α =sin ²= cos ²=tan ²= 2α 3、同角平方和公式：4、y=asin α+bcos α辅助角公式：5、A （x1,y1），B （x2,y2）两点间距离公式：6、勾股定理： 2α2α2α。

1 2)(x 是偶函数； )(x f 是奇函数。

3）.(0,1,0)a a N >≠>. 1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).).).二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量4、同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin . 5、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．6、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.7、二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.公式变形： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+=sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2xk k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函 数性 质9、辅助角公式（化一公式）)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 10.正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=11.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.12.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.13、三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 14、a 与b 的数量积(或内积)θcos ||||b a b a ⋅=⋅15、平面向量的坐标运算(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +. (3)设a =),(y x ，则22y x a +=16、两向量的夹角公式设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则121cos ||||x a ba b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).17、向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=.)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.*平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212x x y y +.三、数列18、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).19、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；20、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 21、等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 22、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.四、不等式23、xy y x ≥+2。

高一数学常用公式及结论必修1：一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。

记作A B ⊆ 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠⊂B 集合相等：若：,A B B A ⊆⊆,则A B =3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：∉ 空集：φ4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；6.常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数2、复合函数的单调性: 同增异减三、二次函数y = ax 2+bx + c （0a ≠）的性质1、顶点坐标公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22， 对称轴：a bx 2-=，最大（小）值：a b ac 442-2.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则：（1）a m ? a n = a m + n ，（2）n m n m a a a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n =a n ?b n（5） n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=- （8）m n m n a a =（9）m n m naa 1=-2、根式的性质（1）()n n a a =.（2）当n 为奇数时，n n a a =； 当n 为偶数时，,0||,0n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.4、指数函数y = a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）5.指数式与对数式的互化： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 五、对数与对数函数 1对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N = N（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (NM) = log a M -- log a NY0 X 1 a >YX 1 0 < a <（8）log a N b= b log a N （9）换底公式：log a N = aNb b log log （10）推论 log log mn a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log a N =aN log 1（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）六、幂函数y = x a的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .例如： y = x 2 21x x y == 11-==x xy 七.图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； 规律：左加右减，上加下减 八. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.九、函数的零点：1.定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。

高中数学必考知识点归纳整理高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。

高中数学必修5知识点1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR A B C===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c A B C =；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C ++===++．3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc A ab C ac B ∆AB ===．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．注：在C ∆AB 中，则有 （1）A B C π++=（2）,,.a b c a c b b c a +>+>+> （3）sin sin A B A B a b >⇔>⇔> 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 13、常数列：各项相等的数列．14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项． 19、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()111()n a a n d dn a d An B =+-=+-=+．20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-； ④11n a a n d -=+；⑤n ma a d n m-=-． 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+．22、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=； ②()22111()222n n n d dS na d n a n An Bn -=+=+-=+． ③n S An B n =+⇒n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 23、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶． ②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．③若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列. 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．注：等比数列中每一项都不等于零，其奇数项符号相同，偶数项符号相同。

精品文档高一数学常用公式及结论必修 1：一、集合 1、含义与表示： (1)集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 (2) 集合的分类；有限集，无限集 ( 3)集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意 x A ，都有 x B ，则称 A 是B 的子集。

记作 A B 真子集：若 A 是 B 的子集，且在 B 中至少存在一个元素不属于 A ，则 A 是 B 的真子集， 记作 A B 集合相等：若： A B,B A ,则 A B3. 元素与集合的关系：属于 不属于： 空集：4、集合的运算：并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为 AB交集：由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为 A B 补集：在全集 U 中，由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集，记为 C U A5．集合 {a 1,a 2, ,a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n – 1个；非空子集有 2n –1个； 6. 常用数集：自然数集： N 正整数集： N * 整数集： Z 有理数集： Q 实数集： R 二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 <=> f (– x) = –f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x) = f ( x )(注意定义域)2、性质：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形； ( 2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形；(3) 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； ( 4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性2、复合函数的单调性 : 同增异减2三、二次函数 y = ax 2+bx + c( a 0)的性质1、定义：对于定义域为 D 的函数 f ( x ) ，若任意的 x 1, x 2∈D ，且 x 1 < x 2① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ②f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 1、顶点坐标公式： b ,4ac b 2 2a , 4a对称轴： x b ，最大(小)值： 2a 4ac b 24a2. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f (x) ax 2 bx c(a 0); (2)(3) 两根式f (x) a(x x 1)(x x 2)(a 0)四、指数与指数函数 顶点式 f(x) a(x h)2 k(a 0);1、幂的运算法则： 1) a m ? anm + nm n= a，(2)a a mna ，m n3)( a m ) nm n (4)n n n ( ab ) =a ? b5)a nbn a 0n (6)a 0 = 1 ( a≠0)b7) a n8)n a mmna n9) a m2、根式的性质 ( 1) ( na)n a.(2)当n 为奇数时，n a n a ；n n a,a 0当n为偶数时，n a n |a| a,a a,a00x10)推论 log a m b n n log a b ( a 0,且a 1, m,n 0,且m 1,n 1, N 0). a m2、对数函数 y = log a x (1)定义域： ( 0 , +∞) (a > 0 且 a ≠ 1) 的性质： 值域： R七. 图象平移：若将函数 y f(x)的图象右移 a 、上移 b 个单位， 得到函数 y f (x a) b 的图象； 规律：左加右减，上加下减 八 . 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N ，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有 y N(1 p)x . 九、函11)log a N =1log N a12)常用对数： lg N = log 10N (13)自然对数： ln A = log e A (其中 e = 2.71828⋯)精品文档 4、指数函数(a > 0 且 a ≠1) 的性质： 值域： ( 0 , +∞ )2)图象过定点( 0， 1)5. 指数式与对数式的互化： log a N b 五、对数与对数函数1 对数的运算法6) b b log a Na b = N <=> b = log a N(2)log a 1 = 0(3)log a a = 1( 4) log a a b= b(5)a= NM7)log a () = log a M -- log a Nlog a(MN) = log a M + log a N8)log a N b = b log a N9)换底公式： log a N =log b Nlog b a2)图象过定点( 1， 0)Xa b数的零点： 1.定义：对于 y f(x)，把使 f (x) 0的X 叫 y f(x)的零点。

高中数学 必修1知识点1 第一章 函数概念2 （1）函数的概念3 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在4 集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对5 应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．6 ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．7 ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 8 （2）区间的概念及表示法9 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足10 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合11 叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记12 做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．13注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须14 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． 15 （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：16 ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．17②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．18 ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．19 ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． 20 ⑤tan y x =中，()π⑥零（负）指数幂的底数不能为零．22 ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初23 等函数的定义域的交集．24 ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数25 [()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．26 ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． 27 ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 28 （4）求函数的值域或最值29 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中30 存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质31 是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：32 ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．33 ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围34 确定函数的值域或最值．35 ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程36 2()()()0a y x b y x c y ++=37则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值38 域或最值．39 ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．40 ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问41 题转化为三角函数的最值问题．42 ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． 43 ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． 44 ⑧函数的单调性法．45（5）函数的表示方法4647表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．48解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两49个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．50（6）映射的概念51①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B52中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫53做集合A到B的映射，记作:f A B→．54②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，那么我们把a Ab B55元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．56（6）函数的单调性57①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一58 个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．59 ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =60 为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，61则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．62 （7）打“√”函数()(0)af xx a x=+>的图象与性质63()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，64 分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． 65 （8）最大（小）值定义66 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存67在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；68 （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．69②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都70 有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作71 max ()f x m =．72 （9）函数的奇偶性73 ①定义及判定方法74函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=f(x)．．．．．．．,那么函数f(x)叫做偶函．．数．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．75 ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相76 反．77 ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个78 偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 79 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 80 〖2.1〗指数函数81 【2.1.1】指数与指数幂的运算 82 （1）根式的概念83 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次84 n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 负的n 次方根用符85号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．86 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；87 当n 为偶数时，0a ≥．88 ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，89 (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． 90（2）分数指数幂的概念91 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于92 0．93②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数94 指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 95 （3）分数指数幂的运算性质96 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ 97③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 98 【2.1.2】指数函数及其性质 99 （4）指数函数100101 〖2.2〗对数函数102 【2.2.1】对数与对数运算 103 （1）对数的定义104 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N105叫做真数． 106 ②负数和零没有对数．107 ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 108 （2）几个重要的对数恒等式109 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．110 （3）常用对数与自然对数111 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 112（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么113①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= 114③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =115⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a bN N b b a =>≠且 116【2.2.2】对数函数及其性质 117 （5）对数函数118(6)反函数的概念119 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果120 对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式121 子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯122 上改写成1()y f x -=． 123 （7）反函数的求法124 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； 125③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． 126 （8）反函数的性质127 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．128②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． 129③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． 130 ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 131 〖2.3〗幂函数 132 （1）幂函数的定义133一般地，函数y xα134=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象157 分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点158 对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．159 ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．160③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函161 数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．162④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中163 ,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则164 qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．165 ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，166 其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直167 线y x =下方．168 〖补充知识〗二次函数 169 （1）二次函数解析式的三种形式170 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：171 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法172 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．173 ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． 174 ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． 175 （3）二次函数图象的性质176①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是177 24(,)24b ac b a a--． 178②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，179 2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，180当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．181③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点182 ********(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． 183（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布184 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但185 尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）186 的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．187 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从188以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函189 数值符号． 190 ①k ＜x 1≤x 2 ⇔191192 ②x 1≤x 2＜k ⇔193194 ③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0195196 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔ 197198199 ⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑200 f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合201202203⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 204 此结论可直接由⑤推出．205 （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值206 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．207 （Ⅰ）当0a >时（开口向上） 208 ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2b q a ->，则()m f q = 209210 211 212 213 214 215 216 217 ①若02b x a -≤，则()M f q =b ()f p 218 219 220 221 2222230x 0x225226 (Ⅱ)当0a <时(开口向下) 227 ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2bq a ->，则()M f q = 228229 230 231 232 233 234235 236 237 ①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b xa->，则()m f p =．238 239 240 241 242 243244ff fx246 第三章 函数的应用247 一、方程的根与函数的零点248 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数249 ))((D x x f y ∈=的零点。

必修 1 数学知识点会合间的基本运算1 、 一般地，由全部属于会合 A 或会合 B 的元素构成的会合，称为会合 A 与B 的并集.记作： A B .2 、 一般地，由属于会合 A且属于会合 B 的全部元素构成的会合，称为A 与B 的交集 .记作： AB子集：对随意 x A ，都有 xB ，则称 A 是 B 的子集。

记作 A B 真子集：若 A 是 B 的子集，且在 B 中起码存在一个元素不属于 A ，则 A 是 B 的真子集，记作 AB 会合相等：若：AB, BA ,则A B自然数集： N 正整数集： N *整数集： Z 有理数集： Q 实数集： R奇偶性1 、 f x f x ，那么就称函数 fx 为偶函数 .偶函数图象对于 y 轴对称 .2 、 fxf x ，那么就称函数f x 为奇函数 .奇函数图象对于原点对称 .第二章、基本初等函数（Ⅰ） §、指数与指数幂的运算1、 一般地，假如 x na ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根。

此中 n 1,n N .2、 当 n 为奇数时， n a na ；当 n 为偶数时， n a n a .n1⑴ a mma n am n N *m；⑵n0 ；0, ,,1aan n⑴ arasar sa 0, r , s Q ；⑵ a rsarsa 0, r , s Q ⑶ ab ra rb ra 0,b 0, r Q .§、指数函数及其性质1、 记着图象： ya x a 0, a1复合函数的单一性 : 同增异减三、二次函数 y = ax 2 +bx + c （ a0 ）的性质1、极点坐标公式：b , 4ac b 2 ， 对称轴：xb ，最大（小）值： 4ac b 22a 4a2a 4a2.二次函数的分析式的三种形式 (1)一般式 (3)两根式f ( x) ax 2 bx c(a 0) ; (2)极点式 f ( x) a( x h)2 k (a 0) ; f ( x) a( x x 1 )( x x 2 )(a 0) .§、对数与对数运算1、 a xN log a N x ；2、 a log a Na .3、 log a 1 0 ，log a a 1.4、当 a0, a 1, M0, N0 时：⑴log a MNlog a M log a N ；⑵ log a M log a M log a N ；⑶ log a M n nlog a M .N换底公式：log c b1log a b a 0, a 1, c 0, c 1, b 0 .;log a b a 0, a 1, b 0, b 1 .log c a log b a记着图象：y log a x a 0, a1§、幂函数1、几种幂函数的图象：1、幂的运算法例：（ 1） a m a n = a m + n，（ 2）a m a n a m n，（3）( a m)n= a m n（4）( ab )n= a n b nna n n n1（ 5）a（6） a 0= 1 ( a ≠0)（）an1（） a m m a n（）amb b n7a n89m a n必修 2 数学知识点⑴圆柱侧面积；S侧面 2 r l⑵圆锥侧面积：S侧面r l⑶圆台侧面积： S侧面r l R l⑷体积公式：V柱体S h； V锥体1S h ；V台体1S上S上S下S下 h 33⑸球的表面积和体积：S球 4 R2，V球4R3. 3第三章：直线与方程y2y1 1、倾斜角与斜率：k tanx2x12、直线方程：⑴点斜式：y y0k x x0⑵斜截式：y kx b⑶两点式：y y1x x1 y2y1x2x1⑷一般式：Ax By C0⑴ l 1 // l 2A1B2A2B1 ；B1C2B2 C1⑵ l1和 l 2订交A1B2A2B1；⑶ l1和 l 2重合A1 B2A2B1 ；B1C2B2 C1⑷ l 1l 2A1 A2B1B20 .5、两点间距离公式：P1 P2x2x12y2y12 6、点到直线距离公式：3、对于直线：d Ax0By0CA2B2l1 : y k1x b1 , l 2 : y k2 x b2有：⑴ l 1 // l 2k1k 2 ；b1b2⑵ l 1和 l 2订交k1k2⑶ l 1和 l 2重合k1k 2 ；b1b2⑷ l 1 l 2k1 k21.4、对于直线：l1 : A1x B1 y C10,有：l 2 : A2 x B2 y C20第四章：圆与方程1、圆的方程：⑴标准方程：x a 2y b 2r 2⑵一般方程： x 2y 2Dx Ey F0.2、两圆地点关系： d O1O2⑴外离： d R r ；⑵外切： d R r ；⑶订交： R r d R r ；⑷内切： d R r ；⑸内含： d R r .3、空间中两点间距离公式：P1 P2x2x12y2y12z2z12必修 4 数学知识点第一章、三角函数2、l.§、随意角r1、正角、负角、零角、象限角的观点.3、弧长公式：l n RR .2、与角终边同样的角的会合：1802k , k Z .n R 21 lR .4、扇形面积公式：S§、弧度制3602 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度§、随意角的三角函数1、设是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P x, y，那么：2、设点A x0, y0为角终边上随意一点，那么：（设 r x02y02）siny 0， cosx 0 ， tan y0 .rrx 03、 sin ， cos ， tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.4、 引诱公式一：sin 2k sin ,§、同角三角函数的基本关系式cos 2k cos , （此中： k Z ）、 平方关系： sin 22tan2ktan .1cos1.sin2 、 商数关系： tan.cos§、三角函数的引诱公式 1 、 引诱公式二：sin sin , coscos ,tantan .2 、引诱公式三：§、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 、 coscos cos sin sin2 、 sinsin cos cos sin3 、 sin sin coscos sin4 、 tan tan tan .1 tan tan5 、 tantan tan .1 tan tan§、二倍角的正弦、余弦、正切公式1 、 sin 22 sin cos，变形： sincos 12 sin 2 .2 、 cos2cos 2 sin 22 cos 211 2sin 2，变形 1： cos 21 cos2 ，2 变形 2： sin21 cos2 .2 3 、 tan 22 tan.1 tan2sin sin ,cos cos ,tantan .3、引诱公式四：sin sin ,cos cos ,tantan .4、引诱公式五：sincos ,2cossin .25、引诱公式六：sincos ,2cossin .2必修 5 数学知识点函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域R R{x| x ≠ +k π,k∈ Z}2值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数增区间 [- π +2kπ , 2k π]减区间 [2k π ,π+2k π ]增区间 [-+2kπ ,( k ∈Z )增区间+2kπ ]单一性22(-+k π , +k π) 3减区间 [+2kπ ]22 +2kπ ,( k∈ Z ) 22对称轴x =+ k π( k∈ Z )x = k π ( k ∈ Z )无2对称中( kπ ,0 ) ( k ∈ Z )(+ k π ,0 )( k ∈ Z )( k ,0 ) ( k ∈ Z )心22二、平面向量1、向量的模计算公式：（ 1）向量法： | a | =a a2 a；（ 2）坐标法：设a =（ x，y），则 |a | =x 2y 2 2、单位向量的计算公式：（ 1）与向量a =（ x，y）同向的单位向量是x,y；x2x2y 2y 2（ 2）与向量a =（ x，y）反向的单位向量是x,y；x2y 2x 2y 23、平行向量规定：零向量与任一直量平行。

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

高一数学必修一全册知识点（定义、公式、定理）第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同注意：B一集合。

⊆/B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊇/A或B2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A A②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A B, B C ,那么 A C④如果A B 同时 B A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交 集 并 集 补 集 定 义由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ∉∈且韦 恩 图 示A B图1AB图2性质 A A=A A Φ=Φ A B=B A A B ⊆A A B ⊆B A A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇Ａ A B ⊇B(C u A) (C u B)= C u (A B) (C u A) (C u B)= C u (A B) A (C u A)=U A (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

按住C t r l键单击鼠标左打开配套名师教学视频动画播放必修1数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N或+N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。

记作BA⊆.2、如果集合BA⊆，但存在元素Bx∉，则称集合A是集合B的真子集.x∈，且A记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有n2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：BA Y.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：BA I.3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。

高中数学必修5知识点1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR A B C===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c A B C =；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C ++===++．3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc A ab C ac B ∆AB ===．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．注：在C ∆AB 中，则有 （1）A B C π++=（2）,,.a b c a c b b c a +>+>+> （3）sin sin A B A B a b >⇔>⇔> 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 13、常数列：各项相等的数列．14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项． 19、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()111()n a a n d dn a d An B =+-=+-=+．20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-； ④11n a a n d -=+；⑤n ma a d n m-=-． 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+．22、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=； ②()22111()222n n n d dS na d n a n An Bn -=+=+-=+． ③n S An B n =+⇒n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 23、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶． ②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．③若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列. 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．注：等比数列中每一项都不等于零，其奇数项符号相同，偶数项符号相同。

必修1数学知识点第一章、集合与函数概念 §、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法. §、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集.§、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。