数学建模_BP神经网络算法模板

BP神经网络算法预测模型
BP神经网络（Back Propagation Neural Network，BPNN）是一种常
用的人工神经网络，它是1986年由Rumelhart和McClelland首次提出的，主要用于处理有结构的或无结构的、离散的或连续的输入和输出的信息。

它属于多层前馈神经网络，各层之间存在权值关系，其中权值是由算法本
身计算出来的。

BP神经网络借助“反向传播”（Back Propagation）来
实现权值的更新，其核心思想是根据网络的输出，将错误信息以“反馈”
的方式传递到前面的每一层，通过现行的误差迭代传播至输入层，用来更
新每一层的权值，以达到错误最小的网络。

BP神经网络的框架，可以有输入层、隐含层和输出层等组成。

其中
输入层的节点数即为输入数据的维数，输出层的节点个数就是可以输出的
维数，而隐含层的节点数可以由设计者自由设定。

每一层之间的权值是
BP神经网络算法预测模型中最重要的参数，它决定了神经网络的预测精度。

BP神经网络的训练步骤主要有以下几步：首先，规定模型的参数，
包括节点数，层数，权值，学习率等；其次，以训练数据为输入，初始化
权值，通过计算决定输出层的输出及误差；然后，使用反向传播算法，从
输出层向前，层层地将误差反馈到前一层。

针对问题三，本文首先对主要风险因子进行了灰色预测，计算出未来几年水资源总量、降水量、平均气温、生活用水量、工业用水量。

然后采用问题二中的BP神经网络预测每年的缺水量。

最后通过整合往年的数据，运用问题二中的熵值取权的模糊评价模型预测出未来几年内水资源短缺的风险等级。

由于考虑到降水量和地下储水相关系数高，我们依据历年的降水量估测出平水年，偏枯年，枯水年三种不同年份的水资源总量，并应用问题二的风险评价模型进行评估，得到三种不同年份水资源短缺风险等级依次为高，较高，较低。

最后我们分析了南水北调工程对北京市未来两年水资源短缺的风险等级影响，风险等级依次变为低，偏低，无。

针对问题四，我们从北京市水资源现状及分析、北京市严重缺水的原因探究、北京市水资源开发利用对策三个层面向相关行政主管部门提交建议报告，以求帮助其合理规避水资源短缺风险。

关键字：水资源短缺风险、灰色关联度分析、主成分分析，模糊综合评价、BP 神经网络、熵值取权一、问题重述1.1 问题背景水是生命之源，万物之本，是人类生存和发展不可或缺的物质，是地球上最普遍、最常见同时也是最珍贵的自然资源。

水是人类一切生产活动的基础，有水的地方欣欣向荣，水资源枯竭的地方则文明消失。

长期以来，我们注重经济社会发展，却忽略了水资源的承载能力，注重水资源开发利用，却没有同等重视节约和保护。

随着经济社会发展，1.2 问题重述水资源短缺危险泛指在特定的时空环境下，由于来水和用水的不确定性，室区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。

近年来我国水资源短缺问题日趋严重，以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，属严重缺水地区。

虽然政府采取了一些列措施，如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。

但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。

如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

BP神经网络模型第1节基本原理简介近年来全球性的神经网络研究热潮的再度兴起，不仅仅是因为神经科学本身取得了巨大的进展．更主要的原因在于发展新型计算机和人工智能新途径的迫切需要．迄今为止在需要人工智能解决的许多问题中，人脑远比计算机聪明的多，要开创具有智能的新一代计算机，就必须了解人脑，研究人脑神经网络系统信息处理的机制．另一方面，基于神经科学研究成果基础上发展出来的人工神经网络模型，反映了人脑功能的若干基本特性，开拓了神经网络用于计算机的新途径．它对传统的计算机结构和人工智能是一个有力的挑战，引起了各方面专家的极大关注．目前，已发展了几十种神经网络，例如Hopficld模型，Feldmann等的连接型网络模型，Hinton等的玻尔茨曼机模型，以及Rumelhart等的多层感知机模型和Kohonen的自组织网络模型等等。

在这众多神经网络模型中，应用最广泛的是多层感知机神经网络。

多层感知机神经网络的研究始于50年代，但一直进展不大。

直到1985年，Rumelhart等人提出了误差反向传递学习算法（即BP算），实现了Minsky的多层网络设想，如图34-1所示。

BP 算法不仅有输入层节点、输出层节点，还可有1个或多个隐含层节点。

对于输入信号，要先向前传播到隐含层节点，经作用函数后，再把隐节点的输出信号传播到输出节点，最后给出输出结果。

节点的作用的激励函数通常选取S 型函数，如Qx e x f /11)(-+=式中Q 为调整激励函数形式的Sigmoid 参数。

该算法的学习过程由正向传播和反向传播组成。

在正向传播过程中，输入信息从输入层经隐含层逐层处理，并传向输出层。

每一层神经元的状态只影响下一层神经输入层 中间层 输出层 图34-1 BP 神经网络模型元的状态。

如果输出层得不到期望的输出，则转入反向传播，将误差信号沿原来的连接通道返回，通过修改各层神经元的权值，使得误差信号最小。

社含有n 个节点的任意网络，各节点之特性为Sigmoid 型。

只需模仿即可。

就能轻松掌握。

1、BP网络构建（1）生成BP网络net newff PR S S SNl TF TF TFNl BTF BLF PF=(,[1 2...],{ 1 2...},,,)R⨯维矩阵。

PR：由R维的输入样本最小最大值构成的2S S SNl：各层的神经元个数。

[1 2...]TF TF TFNl：各层的神经元传递函数。

{ 1 2...}BTF：训练用函数的名称。

（2）网络训练net tr Y E Pf Af train net P T Pi Ai VV TV=[,,,,,] (,,,,,,)（3）网络仿真=[,,,,] (,,,,)Y Pf Af E perf sim net P Pi Ai TBP网络的训练函数训练方法训练函数梯度下降法traingd有动量的梯度下降法traingdm自适应lr梯度下降法traingda自适应lr动量梯度下降法traingdx弹性梯度下降法trainrpFletcher-Reeves共轭梯度法traincgfPloak-Ribiere共轭梯度法traincgpPowell-Beale共轭梯度法traincgb量化共轭梯度法trainscg拟牛顿算法trainbfg一步正割算法trainossLevenberg-Marquardt trainlmBP网络训练参数训练参数参数介绍训练函数net.trainParam.epochs最大训练次数（缺省为10）traingd、traingdm、traingda、traingdx、trainrp、traincgf、traincgp、traincgb、trainscg、trainbfg、trainoss、trainlm net.trainParam.goal训练要求精度（缺省为0）traingd、traingdm、traingda、traingdx、trainrp、traincgf、traincgp、traincgb、trainscg、trainbfg、trainoss、trainlm net.trainParam.lr学习率（缺省为0.01）traingd、traingdm、traingda、traingdx、trainrp、traincgf、traincgp、traincgb、trainscg、trainbfg、trainoss、trainlm net.trainParam.max_fail 最大失败次数（缺省为5）traingd、traingdm、traingda、traingdx、trainrp、traincgf、traincgp、traincgb、trainscg、trainbfg、trainoss、trainlmnet.trainParam.min_grad 最小梯度要求（缺省为1e-10）traingd、traingdm、traingda、traingdx、trainrp、traincgf、traincgp、traincgb、trainscg、trainbfg、trainoss、trainlmnet.trainParam.show显示训练迭代过程（NaN表示不显示，缺省为25）traingd、traingdm、traingda、traingdx、trainrp、traincgf、traincgp、traincgb、trainscg、trainbfg、trainoss、trainlmnet.trainParam.time 最大训练时间（缺省为inf）traingd、traingdm、traingda、traingdx、trainrp、traincgf、traincgp、traincgb、trainscg、trainbfg、trainoss、trainlm net.trainParam.mc 动量因子（缺省0.9）traingdm、traingdxnet.trainParam.lr_inc 学习率lr增长比（缺省为1.05）traingda、traingdxnet.trainParam.lr_dec 学习率lr下降比（缺省为0.7）traingda、traingdxnet.trainParam.max_perf_inc 表现函数增加最大比（缺省为1.04）traingda、traingdxnet.trainParam.delt_inc 权值变化增加量（缺省为1.2）trainrpnet.trainParam.delt_dec 权值变化减小量（缺省为0.5）trainrpnet.trainParam.delt0 初始权值变化（缺省为0.07）trainrpnet.trainParam.deltamax 权值变化最大值（缺省为50.0）trainrpnet.trainParam.searchFcn 一维线性搜索方法（缺省为srchcha）traincgf、traincgp、traincgb、trainbfg、trainossnet.trainParam.sigma 因为二次求导对权值调整的影响参数（缺省值5.0e-5）trainscg mbda Hessian矩阵不确定性调节参数（缺省为5.0e-7）trainscg net.trainParam.men_reduc 控制计算机内存/速度的参量，内存较大设为1，否则设为2（缺省为1）trainlmnet.trainParam.mu μ的初始值（缺省为0.001）trainlm net.trainParam.mu_dec μ的减小率（缺省为0.1）trainlm net.trainParam.mu_inc μ的增长率（缺省为10）trainlmnet.trainParam.mu_maxμ的最大值（缺省为1e10） trainlm2、BP 网络举例 举例1、%traingd clear; clc;P=[-1 -1 2 2 4;0 5 0 5 7]; T=[-1 -1 1 1 -1];%利用minmax 函数求输入样本范围net = newff(minmax(P),[5,1],{'tansig','purelin'},'trainrp');net.trainParam.show=50;% net.trainParam.lr=0.05; net.trainParam.epochs=300; net.trainParam.goal=1e-5; [net,tr]=train(net,P,T);net.iw{1,1}%隐层权值 net.b{1}%隐层阈值net.lw{2,1}%输出层权值 net.b{2}%输出层阈值sim(net,P)举例2、利用三层BP 神经网络来完成非线性函数的逼近任务，其中隐层神经元个数为五个。

bp算法适应度公式
BP（Back Propagation）算法是一种常用的神经网络训练算法，用于调整神经网络中的权重，以使得网络的输出尽可能地接近期望
的输出。

在BP算法中，适应度公式通常用于衡量神经网络的输出与
期望输出之间的差异，从而指导权重的调整。

适应度公式通常使用
均方误差（MSE）来衡量输出与期望输出之间的差异，其数学表达式
如下：
MSE = 1/n Σ(yi ti)^2。

其中，MSE表示均方误差，n表示样本数量，yi表示神经网络
的输出，ti表示期望的输出。

Σ表示求和符号。

这个公式的含义是，计算神经网络在所有样本上输出与期望输出之间的差异的平方和，
然后取平均值作为适应度值。

除了均方误差外，有时候也会使用交叉熵作为适应度公式，特
别是在处理分类问题时。

交叉熵的数学表达式如下：
Cross Entropy = -Σ(ti log(yi) + (1 ti) log(1 yi))。

其中，Cross Entropy表示交叉熵，ti表示期望的输出，yi表示神经网络的输出。

Σ表示求和符号。

这个公式的含义是，计算神经网络在所有样本上输出与期望输出之间的交叉熵，然后取负数作为适应度值。

总之，适应度公式在BP算法中扮演着重要的角色，它帮助我们衡量神经网络的输出与期望输出之间的差异，指导权重的调整，从而使神经网络逐渐收敛到期望的状态。

在实际应用中，根据具体的问题和数据特点，我们可以选择合适的适应度公式来指导神经网络的训练。

p=p1';t=t1';[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt]=premnmx(p,t); %原始数据归一化net=newff(minmax(pn),[5,1],{'tansig','purelin'},'traingdx');%设置网络,建立相应的BP网络net.trainParam.show=2000; % 训练网络net.trainParam.lr=0.01;net.trainParam.epochs=100000;net.trainParam.goal=1e-5;[net,tr]=train(net ,pn,tn); %调用TRAINGDM算法训练BP 网络pnew=pnew1';pnewn=tramnmx(pnew,minp,maxp);anewn=sim(net,pnewn); %对BP网络进行仿真anew=postmnmx(anewn,mint,maxt); %还原数据y=anew';1、BP网络构建（1）生成BP网络=net newff PR S S SNl TF TF TFNl BTF BLF PF(,[1 2...],{ 1 2...},,,)PR：由R维的输入样本最小最大值构成的2R⨯维矩阵。

S S SNl：各层的神经元个数。

[ 1 2...]{ 1 2...}TF TF TFNl：各层的神经元传递函数。

BTF：训练用函数的名称。

（2）网络训练[,,,,,] (,,,,,,)=net tr Y E Pf Af train net P T Pi Ai VV TV（3）网络仿真=[,,,,] (,,,,)Y Pf Af E perf sim net P Pi Ai T{'tansig','purelin'},'trainrp'2、BP网络举例举例1、%traingdclear;clc;P=[-1 -1 2 2 4;0 5 0 5 7];T=[-1 -1 1 1 -1];%利用minmax函数求输入样本范围net = newff(minmax(P),T,[5,1],{'tansig','purelin'},'trainrp');net.trainParam.show=50;%net.trainParam.lr=0.05;net.trainParam.epochs=300;net.trainParam.goal=1e-5;[net,tr]=train(net,P,T);net.iw{1,1}%隐层权值net.b{1}%隐层阈值net.lw{2,1}%输出层权值net.b{2}%输出层阈值sim(net,P)举例2、利用三层BP神经网络来完成非线性函数的逼近任务，其中隐层神经元个数为五个。

BP神经网络算法的C语言实现代码以下是一个BP神经网络的C语言实现代码，代码的详细说明可以帮助理解代码逻辑：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define INPUT_SIZE 2#define HIDDEN_SIZE 2#define OUTPUT_SIZE 1#define LEARNING_RATE 0.1//定义神经网络结构体typedef structdouble input[INPUT_SIZE];double hidden[HIDDEN_SIZE];double output[OUTPUT_SIZE];double weights_ih[INPUT_SIZE][HIDDEN_SIZE];double weights_ho[HIDDEN_SIZE][OUTPUT_SIZE];} NeuralNetwork;//激活函数double sigmoid(double x)return 1 / (1 + exp(-x));//创建神经网络NeuralNetwork* create_neural_networNeuralNetwork* nn =(NeuralNetwork*)malloc(sizeof(NeuralNetwork));//初始化权重for (int i = 0; i < INPUT_SIZE; i++)for (int j = 0; j < HIDDEN_SIZE; j++)nn->weights_ih[i][j] = (double)rand( / RAND_MAX * 2 - 1;}}for (int i = 0; i < HIDDEN_SIZE; i++)for (int j = 0; j < OUTPUT_SIZE; j++)nn->weights_ho[i][j] = (double)rand( / RAND_MAX * 2 - 1;}}return nn;//前向传播void forward(NeuralNetwork* nn)//计算隐藏层输出for (int i = 0; i < HIDDEN_SIZE; i++)double sum = 0;for (int j = 0; j < INPUT_SIZE; j++)sum += nn->input[j] * nn->weights_ih[j][i];}nn->hidden[i] = sigmoid(sum);}//计算输出层输出for (int i = 0; i < OUTPUT_SIZE; i++)double sum = 0;for (int j = 0; j < HIDDEN_SIZE; j++)sum += nn->hidden[j] * nn->weights_ho[j][i];}nn->output[i] = sigmoid(sum);}void backpropagation(NeuralNetwork* nn, double target)//计算输出层误差double output_error[OUTPUT_SIZE];for (int i = 0; i < OUTPUT_SIZE; i++)double delta = target - nn->output[i];output_error[i] = nn->output[i] * (1 - nn->output[i]) * delta;}//更新隐藏层到输出层权重for (int i = 0; i < HIDDEN_SIZE; i++)for (int j = 0; j < OUTPUT_SIZE; j++)nn->weights_ho[i][j] += LEARNING_RATE * nn->hidden[i] * output_error[j];}}//计算隐藏层误差double hidden_error[HIDDEN_SIZE];for (int i = 0; i < HIDDEN_SIZE; i++)double delta = 0;for (int j = 0; j < OUTPUT_SIZE; j++)delta += output_error[j] * nn->weights_ho[i][j];}hidden_error[i] = nn->hidden[i] * (1 - nn->hidden[i]) * delta;}//更新输入层到隐藏层权重for (int i = 0; i < INPUT_SIZE; i++)for (int j = 0; j < HIDDEN_SIZE; j++)nn->weights_ih[i][j] += LEARNING_RATE * nn->input[i] * hidden_error[j];}}void train(NeuralNetwork* nn, double input[][2], double target[], int num_examples)int iteration = 0;while (iteration < MAX_ITERATIONS)double error = 0;for (int i = 0; i < num_examples; i++)for (int j = 0; j < INPUT_SIZE; j++)nn->input[j] = input[i][j];}forward(nn);backpropagation(nn, target[i]);error += fabs(target[i] - nn->output[0]);}//判断误差是否已达到允许范围if (error < 0.01)break;}iteration++;}if (iteration == MAX_ITERATIONS)printf("Training failed! Error: %.8lf\n", error); }void predict(NeuralNetwork* nn, double input[]) for (int i = 0; i < INPUT_SIZE; i++)nn->input[i] = input[i];}forward(nn);printf("Prediction: %.8lf\n", nn->output[0]); int maiNeuralNetwork* nn = create_neural_network(; double input[4][2] ={0,0},{0,1},{1,0},{1,1}};double target[4] =0,1,1,};train(nn, input, target, 4);predict(nn, input[0]);predict(nn, input[1]);predict(nn, input[2]);predict(nn, input[3]);free(nn);return 0;```以上代码实现了一个简单的BP神经网络，该神经网络包含一个输入层、一个隐藏层和一个输出层。

神经网络的设计实例(MATLAB编程)例1 采用动量梯度下降算法训练BP 网络。

训练样本定义如下：输入矢量为p =[-1 -2 3 1-1 1 5 -3]目标矢量为t = [-1 -1 1 1]解：本例的MATLAB 程序如下：close allclearecho onclc% NEWFF——生成一个新的前向神经网络% TRAIN——对BP 神经网络进行训练% SIM——对BP 神经网络进行仿真pause% 敲任意键开始clc% 定义训练样本P=[-1, -2, 3, 1; -1, 1, 5, -3]; % P 为输入矢量T=[-1, -1, 1, 1]; % T 为目标矢量pause;clc% 创建一个新的前向神经网络net=newff(minmax(P),[3,1],{'tansig','purelin'},'traingdm') % 当前输入层权值和阈值inputWeights=net.IW{1,1}inputbias=net.b{1}% 当前网络层权值和阈值layerWeights=net.LW{2,1}layerbias=net.b{2}pauseclc% 设置训练参数net.trainParam.show = 50;net.trainParam.lr = 0.05;net.trainParam.mc = 0.9;net.trainParam.epochs = 1000;net.trainParam.goal = 1e-3;pauseclc% 调用TRAINGDM 算法训练BP 网络[net,tr]=train(net,P,T);pauseclc% 对BP 网络进行仿真A = sim(net,P)% 计算仿真误差E = T - AMSE=mse(E)pauseclcecho off例2 采用贝叶斯正则化算法提高BP 网络的推广能力。

在本例中，我们采用两种训练方法，即L-M 优化算法（trainlm）和贝叶斯正则化算法（trainbr），用以训练BP 网络，使其能够拟合某一附加有白噪声的正弦样本数据。

“中国矿大出版杯”第五届苏北数学建模联赛题 目 A 题：私家车保有量增长及调控问题 摘 要私人汽车保有量与社会经济发展有着密切的联系，然而，私人汽车保有量的剧增给能源、环境带来了巨大的压力，因此调控汽车保有量显得尤为重要。

本文通过对已有数据的统计分析，根据相关的数学建模知识，解决了题目要求的实际问题。

针对问题一，通过建立并求解熵值法确定了汽车保有量的影响因素。

并以此分别建立了灰色预测模型、BP 神经网络模型，在这两种模型的基础上，进行了优化处理，建立了灰色-神经网络组合模型，并求解出2008-2010年的预测值（见得知加息、上调存款准备金率对私人汽车保有量的影响是温和轻微的。

针对问题三，根据汽车尾气的排放情况，分析了两类汽车的数量、运营里程与废气排放之间的关系，建立了LEAP 模型，并提出可行性方案。

在理想的排放尾气状况下，得到了合理的调控汽车保有量方案。

随后给出了模型的改进方案，并指出模型的优缺点。

最后，结合本文的优越性，我们给政府和消费者提出了一些建议。

关键词： 汽车保有量预测 熵值法 灰色-神经网络 权系数Logistic 关系 LEAP 模型参赛队号 1503目录一、问题的提出 (2)二、背景简述 (2)三、基本假设与符号说明 (3)3.1. 基本假设 (3)3.2. 符号说明 (4)四、问题分析与建模流程 (4)4.1. 问题一的分析 (4)4.2. 问题二、三的分析 (5)五、数学模型的建立与求解 (6)5.1. 确定影响因素模型（熵值法）的建立 (6)5.2. 影响因素的确定 (7)5.3. 私人汽车保有量预测模型的建立 (9)5.4. 私人汽车保有量的预测 (16)5.5. 升息等因素对汽车保有量的影响 (18)5.6. 调控汽车保有量 (21)六、模型的改进 (27)七、模型的评价 (28)八、相关建议 (28)参考文献 (29)附录 (30)一、问题的提出我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。

bp算法流程BP算法流程。

BP（Back Propagation）算法是一种常用的神经网络训练算法，它通过不断地调整神经网络的权重和偏置来最小化神经网络的输出与实际值之间的误差，从而使神经网络能够更好地完成特定的任务。

下面将详细介绍BP算法的流程。

1. 初始化神经网络。

首先，我们需要初始化神经网络的结构，包括输入层、隐藏层和输出层的神经元数量，以及它们之间的连接权重和偏置。

通常情况下，这些参数可以随机初始化，然后通过BP算法来不断调整以适应具体的任务。

2. 前向传播。

在前向传播过程中，输入样本会经过输入层，通过隐藏层逐层传播至输出层，最终得到神经网络的输出结果。

在每一层中，神经元会根据输入和当前的权重、偏置计算出输出，并将输出传递给下一层的神经元。

整个过程可以用数学公式表示为：\[a^l = \sigma(w^la^{l-1} + b^l)\]其中，\(a^l\)表示第l层的输出，\(\sigma\)表示激活函数，\(w^l\)和\(b^l\)分别表示第l层的权重和偏置，\(a^{l-1}\)表示上一层的输出。

3. 计算误差。

在前向传播过程中，我们得到了神经网络的输出结果，接下来需要计算输出结果与实际值之间的误差。

通常情况下，我们会使用均方误差（MSE）来衡量输出结果与实际值之间的差异。

\[E = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y_i o_i)^2\]其中，\(E\)表示总误差，\(n\)表示样本数量，\(y_i\)表示第i个样本的实际值，\(o_i\)表示第i个样本的输出值。

4. 反向传播。

在反向传播过程中，我们需要根据误差来调整神经网络的权重和偏置，以减小误差。

这一过程可以通过梯度下降法来实现，即沿着误差下降最快的方向调整参数。

\[w^l \leftarrow w^l \eta\frac{\partial E}{\partialw^l}\]\[b^l \leftarrow b^l \eta\frac{\partial E}{\partialb^l}\]其中，\(\eta\)表示学习率，\(\frac{\partial E}{\partial w^l}\)和\(\frac{\partial E}{\partial b^l}\)分别表示误差对权重和偏置的偏导数。

BP算法程序实现BP算法（Back Propagation Algorithm，即反向传播算法）是一种用于训练神经网络的常用算法。

它的基本思想是通过不断地调整神经元之间的连接权值，使得网络的输出接近于期望的输出。

在实现BP算法时，需要进行以下几个步骤：1.初始化参数：首先，需要初始化神经网络的权值和偏置，通常可以使用随机的小数来初始化。

同时，需要设置好网络的学习率和最大迭代次数。

2.前向传播：通过前向传播过程，将输入数据输入到神经网络中，并计算出每个神经元的输出。

具体来说，对于第一层的神经元，它们的输出即为输入数据。

对于后续的层，可以使用如下公式计算输出：a[i] = sigmoid(z[i])其中，a[i]表示第i层的输出，z[i]为第i层的输入加权和，sigmoid为激活函数。

3.计算误差：根据网络的输出和期望的输出，可以计算出网络的误差。

一般来说，可以使用均方差作为误差的度量指标。

loss = 1/(2 * n) * Σ(y - a)^2其中，n为训练样本的数量，y为期望输出，a为网络的实际输出。

4.反向传播：通过反向传播算法，将误差从输出层向输入层逐层传播，更新权值和偏置。

具体来说，需要计算每一层神经元的误差，并使用如下公式更新权值和偏置：delta[i] = delta[i+1] * W[i+1]' * sigmoid_derivative(z[i])W[i] = W[i] + learning_rate * delta[i] * a[i-1]'b[i] = b[i] + learning_rate * delta[i]其中，delta[i]为第i层的误差，W[i]为第i层与i+1层之间的权值，b[i]为第i层的偏置，learning_rate为学习率，sigmoid_derivative为sigmoid函数的导数。

5.迭代更新：根据步骤4中的更新公式，不断迭代调整权值和偏置，直到达到最大迭代次数或误差小于一些阈值。

BP 神经网络算法 三层BP 神经网络如图：设网络的输入模式为Tn x x x x ),...,(21=，隐含层有h 个单元，隐含层的输出为Th y y y y ),...,(21=，输出层有m 个单元，他们的输出为Tm z z z z ),...,(21=，目标输出为Tm t t t t ),...,,(21=设隐含层到输出层的传递函数为f ，输出层的传递函数为g于是：)()(1∑∑===-=ni i ij ni iij j x w f xw f y θ：隐含层第j 个神经元的输出；其中1,00=-=x w j θ)(0∑==hj j jk k y w g z ：输出层第k 个神经元的输出此时网络输出与目标输出的误差为∑=-=m k k k z t 12)(21ε，显然，它是jk ij w w 和的函数。

下面的步骤就是想办法调整权值，使ε减小。

由高等数学的知识知道：负梯度方向是函数值减小最快的方向因此，可以设定一个步长η，每次沿负梯度方向调整η个单位，即每次权值的调整为：pqpq w w ∂∂-=∆εη，η在神经网络中称为学习速率 可以证明：按这个方法调整，误差会逐渐减小。

隐含层，隐含层输出向量传递函数输入层，输入向量BP 神经网络（反向传播）的调整顺序为： 1）先调整隐含层到输出层的权值 设k v 为输出层第k 个神经元的输入∑==hj j jkk y wv 0-------复合函数偏导公式若取x e x f x g -+==11)()(，则)1()111(11)1()('2k k v v v v k z z ee e e u g kk k k -=+-+=+=---- 于是隐含层到输出层的权值调整迭代公式为： 2）从输入层到隐含层的权值调整迭代公式为： 其中j u 为隐含层第j 个神经元的输入：∑==ni i ijj x wu 0注意：隐含层第j 个神经元与输出层的各个神经元都有连接，即jy ∂∂ε涉及所有的权值ij w ，因此∑∑==--=∂∂∂∂∂-∂=∂∂m k jk k k k j k k k m k k k k j w u f z t y u u z z z t y 002)(')()(ε于是：因此从输入层到隐含层的权值调整迭代为公式为： 例：下表给出了某地区公路运力的历史统计数据，请建立相应的预测模型，并对给出的2010和2011年的数据，预测相应的公路客运量和货运量。

神经网络算法及模型思维学普遍认为，人类大脑的思维分为抽象（逻辑）思维、形象（直观）思维和灵感（顿悟）思维三种基本方式。

人工神经网络就是模拟人思维的第二种方式。

这是一个非线性动力学系统，其特色在于信息的分布式存储和并行协同处理。

虽然单个神经元的结构极其简单，功能有限，但大量神经元构成的网络系统所能实现的行为却是极其丰富多彩的。

神经网络的研究内容相当广泛，反映了多学科交叉技术领域的特点。

主要的研究工作集中在以下几个方面：（1）生物原型研究。

从生理学、心理学、解剖学、脑科学、病理学等生物科学方面研究神经细胞、神经网络、神经系统的生物原型结构及其功能机理。

（2）建立理论模型。

根据生物原型的研究，建立神经元、神经网络的理论模型。

其中包括概念模型、知识模型、物理化学模型、数学模型等。

（3）网络模型与算法研究。

在理论模型研究的基础上构作具体的神经网络模型，以实现计算机模拟或准备制作硬件，包括网络学习算法的研究。

这方面的工作也称为技术模型研究。

（4）人工神经网络应用系统。

在网络模型与算法研究的基础上，利用人工神经网络组成实际的应用系统，例如，完成某种信号处理或模式识别的功能、构作专家系统、制成机器人等等。

纵观当代新兴科学技术的发展历史，人类在征服宇宙空间、基本粒子，生命起源等科学技术领域的进程中历经了崎岖不平的道路。

我们也会看到，探索人脑功能和神经网络的研究将伴随着重重困难的克服而日新月异。

神经网络和粗集理论是智能信息处理的两种重要的方法,其任务是从大量观察和实验数据中获取知识、表达知识和推理决策规则。

粗集理论是基于不可分辩性思想和知识简化方法,从数据中推理逻辑规则,适合于数据简化、数据相关性查找、发现数据模式、从数据中提取规则等。

神经网络是利用非线性映射的思想和并行处理方法,用神经网络本身的结构表达输入与输出关联知识的隐函数编码,具有较强的并行处理、逼近和分类能力。

在处理不准确、不完整的知识方面,粗集理论和神经网络都显示出较强的适应能力,然而两者处理信息的方法是不同的,粗集方法模拟人类的抽象逻辑思维,神经网络方法模拟形象直觉思维,具有很强的互补性。