2018版高中数学 第三章 函数的应用章末复习课学案 新人教A版必修1

a>0， ff（（kk12））><00，， f（k3）>0.
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，

第三章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0 B．小于0C．无法判断D．等于零2．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是()A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4 D．4，－13．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()4．方程x3＋3x－3＝0的解在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．以上均不对5．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(2,16)，(2,8)，(2,4)内，那么下列命题中正确的是()A．函数f(x)在区间(2,3)内有零点B．函数f(x)在区间(2,3)或(3,4)内有零点C．函数f(x)在(3,16)内无零点D．函数f(x)在区间(4,16)内无零点6．已知f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是()A.(－1,0)C．(1,2) D．(2,3)7．在一定范围内，某种产品的购买量y t与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000 t，每吨为800元；购买2 000 t，每吨为700元；一客户购买400 t，单价应该是()A．820元B．840元C．860元D．880元8．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2008年的湖水量为m，从2008年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为()A．y＝0.9x50B．y＝(1－0.1x50)mC．y＝0.9x50·m D．y＝(1－0.150x) m9．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<α<x2，则() A．f(x1)f(x2)>0 B．f(x1)f(x2)<0C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对10．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则()A．k＝0 B．k>0C ．0≤k <1D ．k <011．若|x |≤1时，y ＝ax ＋2a ＋1的值有正有负，则a 的取值范围为( )A ．a ≥－13B ．a ≤－1C ．－1<a <－13D ．以上都不是12. 如右图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，△APM 的面积函数的图象形状大致是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水______吨．14．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．15．若一元二次方程f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的两根x 1、x 2满足m <x 1<n <x 2<p ，则f (m )·f (n )·f (p )________0.(填“>”、“＝”或“<”)16．如果函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个不同的零点，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)用二分法求方程x 3＋3x －5＝0的一个近似解(精确度0.1)．18．(12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．19．(12分)某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h 后，再以50 km/h的速度返回A地，将汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再将车速v (km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．20．(12分)已知一元二次方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根x1，x2满足0<x1<1，1<x2<2，求k的取值范围．21．(12分)某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨，若蓄水池向居民小区不间断地供水，且t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24)．问：(1)供水开始几小时后，蓄水池中的水量最少？最少水量为多少吨？(2)若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天的24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象，并说明理由．22．(14分)某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？第三章 章末检测 答案1．C 2.D 3.C4．A [ 将函数y 1＝x 3和y 2＝3－3x 的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在(0,1)内．]5．D6．B [令φ(x )＝f (x )－g (x )，φ(0)＝f (0)－g (0)<0，φ(1)＝f (1)－g (1)>0，且f (x )，g (x )均为[－1,3]上连续不断的曲线，所以φ(x )的图象在[－1,3]上也连续不断，因此选B.]7．C 8.C9．D10．D [在同一坐标系中画出y 1＝|x |和y 2＝－k ，若f (x )有两个零点，必有－k >0，即k <0.] 11．C [由于|x |≤1时，y ＝ax ＋2a ＋1的值有正有负，则有f (－1)·f (1)<0，即(a ＋1)·(3a ＋1)<0，解得－1<a <－13.] 12．A [如题图所示，当0≤x ≤1时，y ＝S △APM ＝12·x ·1＝12x ； 当1<x ≤2时，y ＝S △APM ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34； 当2<x ≤2.5时，y ＝S △APM ＝12(52－x )×1＝54－12x . 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.图象为A.]13．9解析 设该职工该月实际用水为x 吨，易知x >8.则水费y ＝16＋2×2(x －8)＝4x －16＝20，∴x ＝9.14．－12和－13解析 2和3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，所以a ＝5，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1.令g (x )＝0，得x 1＝－12，x 2＝－13. 15．<解析 ∵a >0，∴f (x )的图象开口向上，∴f (m )>0，f (n )<0，f (p )>0，∴f (m )·f (n )·f (p )<0.16．a >1解析 研究函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)的零点，即相当于研究方程a x ＝x ＋a 的根． 分别画出y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，如图(1)(2)所示，可结合图象得a >1.17．解 令f (x )＝x 3＋3x －5，则f (0)＝－5，f (1)＝－1，f (2)＝9，f (3)＝31.所以f (x )∵∴x 0可取为1.125(不唯一)．18．解 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意知：c ＝3，－b 2a＝2. 设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，∴(－b a )2－2c a ＝10，∴16－6a＝10， ∴a ＝1.代入－b 2a＝2中，得b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.19．解 汽车离开A 地的距离x (km)与时间t (h)之间的关系为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ， t ∈[0，2.5)，150， t ∈[2.5，3.5)，150－50(t －3.5)， t ∈[3.5，6.5].它的图象如图甲．车速v (km/h)与时间t (h)的函数关系式为v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， t ∈[0，2.5)，0， t ∈[2.5，3.5)，－50， t ∈[3.5，6.5].它的图象如图乙．20．解 令f (x )＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2，则由已知条件可知，此抛物线与x 轴有两个交点(x 1,0)，(x 2,0)，且0<x 1<1,1<x 2<2， 并且开口向上，根据题意，画出其大致图象如图．由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋2>0，7－k －13－k ＋2<0，28－2k －26－k ＋2>0，解得－2<k <43.即k 的取值范围为(－2，43)． 21．解 (1)设t 小时后蓄水池中水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t ， 令6t ＝x ，则0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即开始供水6小时后蓄水池中水量最少，最少水量为40吨．(2)由400＋10x 2－120x <80，得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323， ∵323－83＝8， ∴在一天的24小时内，有8小时供水紧张．22．解 (1)设表示前20天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 1t ＋m ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝k 1×0＋m 6＝k 1×20＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝15m ＝2，即P ＝15t ＋2； 设表示第20天至第30天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为 P ＝k 2t ＋n ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧ 6＝k 2×20＋n 5＝k 2×30＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝－110n ＝8， 即P ＝－110t ＋8. 综上知P ＝⎩⎨⎧15t ＋2， 0≤t <20－110t ＋8， 20≤t ≤30 (t ∈N )． (2)由表知，日交易量Q 与时间t 满足一次函数关系式，设Q ＝at ＋b (a 、b 为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝3610a ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝40. 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝40－t (0≤t ≤30且t ∈N )．(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2×(40－t )， 0≤t <20⎝⎛⎭⎫－110t ＋8×(40－t )， 20≤t ≤30 (t ∈N )． 即y ＝⎩⎨⎧ －15t 2＋6t ＋80， 0≤t <20110t 2－12t ＋320， 20≤t ≤30 (t ∈N )．当0≤t <20时，函数y ＝－15t 2＋6t ＋80的图象的对称轴为直线t ＝15， ∴当t ＝15时，y max ＝125；当20≤t ≤30时，函数y ＝110t 2－12t ＋320的图象的对称轴为直线t ＝60， ∴该函数在[20,30]上单调递减，即当t ＝20时，y max ＝120.而125>120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元．。

知识点一函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－14，0)B.(0，14)C.(14，12)D.(12，34) 答案 C解析 ∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (34)＝e 43>0， ∴f (14)·f (12)<0.跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B解析 设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1， g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110(t －60)2－40，20＜t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元. 跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *， 即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.数形结合思想在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是______.解析 易知函数f (x )的图象如图所示：由图可知0<k <1. 答案 0<k <1跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1答案 D解析 在同一坐标系内分别画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－x －1的图象，由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.转化与化归思想例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.。

第三章函数的应用学案新人教A版必修1_3.1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．[提出问题]函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3.问题2：判断f (0)·f (2)与f (2)·f (4)的符号． 提示：∵f (0)＝3，f (2)＝－1，f (4)＝3， ∴f (0)·f (2)<0，f (2)·f (4)<0. [导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．[例1] (1)(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x－3；(4)f (x )＝1－log 3x . [解] (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是x ＝－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x ＝log 23.所以函数f (x )＝2x－3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3， 所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是x ＝3. [类题通法]函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝x －x 2－4x ＋x －3；(3)f (x )＝4x＋5； (4)f (x )＝log 3(x ＋1)．解：(1)令－x 2－4x －4＝0，解得x ＝－2，所以函数的零点为x ＝－2. (2)令x －x 2－4x ＋x －3＝0，解得x ＝1，所以函数的零点为x ＝1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点． (4)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0，所以函数的零点为x ＝0. 3.1 函数与方程 第三章 函数的应用[例2] (1)不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10)[解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32<0，f (7)＝lg 7－97<0，f (8)＝lg 8－98<0，f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910>0，∴f (9)·f (10)<0.∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．[答案] (1)A (2)D [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[活学活用]若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：选C 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120－0>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.[例3] (1)函数f (x )＝ln x －x －1的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)判断函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2. [答案] C(2)[解] 法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点，又f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点． [类题通法]判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进行判断； 法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．[活学活用]判断函数f (x )＝x －3＋ln x 的零点个数． 解：法一：令f (x )＝x －3＋ln x ＝0， 则ln x ＝3－x ，在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝ln x 与y ＝－x ＋3的图象， 如图所示：由图可知函数y ＝ln x ，y ＝－x ＋3的图象只有一个交点，即函数f (x )＝x －3＋ln x只有一个零点．法二：因为f (3)＝ln 3>0，f (2)＝－1＋ln 2＝ln 2e<0，所以f (3)·f (2)<0，说明函数f (x )＝x －3＋ln x 在区间(2,3)内有零点． 又f (x )＝x －3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．10.因函数图象不连续造成判断失误[典例] 函数f (x )＝x ＋1x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点，故选A.[答案] A [易错防范]1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f (x )＝x ＋1x的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f (－1)<0，f (1)>0，得出错误的答案B.2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f (a )·f (b )<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．[活学活用]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0有2个零点．[随堂即时演练]1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：选A 观察图象可知A 中图象表示的函数没有零点． 2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e －2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2、3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12、－13，即为函数g (x )的零点．答案：－12，－134．方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析：令f (x )＝ln x ＋2x －8，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (3)＝ln 3－2<0，f (4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k ＝3. 答案：35．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．2．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是( ) A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B 设f(x)＝0.9x－221x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．3．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( )A．a>0 B．a≤0C．a≥0 D．a<0解析：选B 函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b解析：选C∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a ，b 必在α，β之间，只有C 满足． 5．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示，由图可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析：令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案：27．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0.答案：(－1,0)8．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x－x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？ 解：因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f＝5－2a >0，a >1，解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝4>0，f＝5－2a <0，f＝40－12a <0，f＝68－16a >0，解得103<a <174.3．1.2 用二分法求方程的近似解[提出问题]在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”．问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？ 提示：应猜400与800的中间值600. 问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示：能． [导入新知] 1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： 第一步，确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε. 第二步，求区间(a ，b )的中点c . 第三步，计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二至四步．[化解疑难]利用二分法求方程近似解的过程图示[例1] (1)) A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x－1C ．y ＝log 3xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )[解析] (1)(2)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．[答案] (1)D (2)C[类题通法]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[活学活用]已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3解析：选D 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.[例2][解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.[类题通法]利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[活学活用]证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解.因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.[例3] 0.1)．[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．[类题通法]用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[活学活用]求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．解：分别画函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625)；因为2.625－2.562 5＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.11.对精确度的理解不正确导致错误[典例] 用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[解析] 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．[答案] 0.75(答案不唯一)[易错防范]1．由于f(0.625)<0，f(0.75)>0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.75－0.625|>0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误．2．利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(a n，b n)的长度应小于精确度．[活学活用]用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：由表中数据可知：f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.而|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.1.∴零点x0∈(1.556 2,1.562 5)可取零点为1.556 2(或1.562 5)．答案：1.556 2或(1.562 5)[随堂即时演练]1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1解析：选C 因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：选A ∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．A.3．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.254．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)5．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.[课时达标检测]一、选择题1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A正确．2．用二分法求图象是连续不断的函数f (x )在x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析：选B 因为f (1.5)>0，f (1.25)<0，所以f (1.5)·f (1.25)<0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)．3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：选A ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( ) A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375D ．1.437 5解析：选D 由参考数据知，f (1.406 25)≈－0.054，f (1.437 5)≈0.162，即f (1.406 25)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43 75，故选D.5．已知曲线y ＝(110)x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A ．(0，12)B.12 C ．(12，1)D ．(1,2)解析：选A 设f (x )＝(110)x－x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12－12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然有f (0)·f (12)<0.二、填空题6．某方程有一无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D 等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由3－12n <0.1，得2n －1>10，∴n －1≥4，即n ≥5.答案：57．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 答案：48．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确到0.1)”时，设f (x )＝lgx ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8.那么他再取的x 的4个值依次是________________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5 三、解答题9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．10．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0，∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，f(0.812 5)＝0.073>0.∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.3.2函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：问题1：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值有什么共同的变化趋势？ 提示：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值增大． 问题2：函数f (x )，g (x )，h (x )增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f (x )＝2x增长的最快，其次是g (x )＝x 2，最慢的是h (x )＝log 2x .[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x(a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n(n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，就有log a x <x n<a x(a >1，n >0)． [化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势[例1] 1234[解析] 从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．故填y 2.[答案] y 2 [类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x(a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n(n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.1y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 011)，g (2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x.(2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<6<x 2,2 011>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴f (2 011)>g (2 011)． 又g (2 011)>g (6)，∴f (2 011)>g (2 011)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4. 由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例] 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x[解析] 指数爆炸式形如指数函数．又e>2， ∴1100e x 比100·2x增大速度快． [答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100e x 增大速度快的错误结论．2．函数y ＝a ·b x＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)图象的增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的。

第三章单元复习从容说课函数的零点与用二分法求方稈的近似解是新课标新增内容,在学习了函数的概念及其性质和研究了具体函数的基础上，引入函数的零点及解，一方面使函数与方程得到了完美的统一，另一方血使函数的应用问题的求解思路更广阔以及函数与方程思想更具活力.学习数学知识的冃的,就是运用数学知识处理、解决实际问题,运用数学知识解决实际问题是毎年高考必考内容之一，因此，函数模型及其应用是本章的重点，也是高考考杏的热点，它给出的思想方法，在其他数学章节屮都能应用.将所学的知识用于实际是个很复杂的过程，不但要求理解、掌握知识和思维方法，而且要求具备较强的分析、综合能力，还需要运用自己的生活经验和体会，这样才能理解实际问题屮的数量关系并确定它们间的数学联系（函数关系），将实际问题抽彖、概括为典型的数学问题•应用数学知识解决了数学问题示，还要分析理论的解适M实际问题的状况等等，这实际是对一个人的索质水平高低的考查，因此本单元知识是高屮数学的一大难点.三维目标一、知识与技能1.了解方程的根与函数零点的关系，理解函数零点的性质.2.掌握二分法，会用二分法求方程的近似解.3•了解直线上升、指数爆炸、对数增长，会进行指数函数、对数函数、幕函数增长速度的比较.4.能熟练讲行数学建模，解决有关函数实际应用问题.二、过程与方法1.培养学生分析、探究、思考的能力，进一步培养学生综合运用基木知识解决问题的能力.2.能恰当地使用信息技术工具，解决有关数学问题.三、情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，培养他们合作、交流、创新意识以及分类讨论、抽象理解能力.教学重点应用函数模型解决冇关实际问题.教学难点二分法求方程的近似解，指数函数、对数函数、幕函数增长速度的比较.教具准备多媒体、课时讲义.课时安排1课时教学过程一、知识冋顾（一）第三章知识点L函数的零点，方程的根与函数的零点，零点的性质.2.二分法，用二分法求函数零点的步骤.3.几类不同增长的函数模型（直线上升、指数爆炸、对数增长），指数函数、对数函数、幕函数增长速度的比较.4.函数模型，解决实际问题的基木过程.(二)方法总结1.函数尸/'(X)的零点就是方程.f &) =0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.2.—元二次方稈根的讨论在高屮数学屮应用广泛，求解此类问题常有三种途径：(1)利用求根公式；(2)利川二次函数的图彖；(3)利用根与系数的关系.无论利用哪种方法，根的判别式祁不容忽视，只是由于二次函数图彖的不间断性，有些问题屮的判别式已隐含在问题的处理Z屮.3.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数y=f (x)定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过正数5即使得*一对£。

3.1.1 函数的概念课程标准(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一函数的概念要点二同一个函数如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷.要点三区间及有关概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：2.特殊区间的表示助学批注批注❶抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．批注❷只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．批注❸这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a <b.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．( )2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是( )A B C D3．区间(0，1)等于 ( )A．{0，1}B．{(0，1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 函数的概念例1 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是( )(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( ) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积方法归纳1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤2．判断一个对应关系是否为函数的方法巩固训练1 (多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝√xD．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0题型 2 求函数值(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x 例2 [2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝11+x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．方法归纳求函数值的2种策略巩固训练2 已知函数f(x)＝x+1.x+2(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．题型 3 求函数的定义域例3 求下列函数的定义域．； (2)y＝√x2−2x−3；(1)y＝2＋3x−2(3)y＝√3−x·√x−1； (4)y＝(x－1)0＋√2.x+1方法归纳求函数定义域的常用策略巩固训练3 (1)函数f (x )＝√1+x −1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，+∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，+∞)D ．R(2)函数f (x )＝√−x 2+6x −5的定义域为________．题型 4 同一函数的判断例4 下面各组函数中表示同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(√x )2B ．f (t )＝|t |，g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 2−1x−1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．巩固训练4 下列函数中与函数y ＝x 2是同一函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )43．1.1 函数的概念新知初探·课前预习[教材要点]要点一实数集 任意一个数x 唯一 要点二定义域 对应关系 要点三1．(a ，b ) (a ，b ]2．(－∞，＋∞) [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，a ] (－∞，a )[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：只有D 的函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点，故选D. 答案：D 3．答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)A 中至少存在一处如x ＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A 中至少有一个元素在集合B 中对应的元素不唯一，故A 不是函数图象，其余B ，C ，D 均符合函数定义．(2)对于选项B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．答案：(1)BCD (2)A巩固训练1 解析：选项A 中，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有唯一确定的数y 与之对应，故是A 到B 的函数．选项B 中，对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．选项C 中，集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．选项D 中，对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．答案：ABD例2 解析：(1)∵f (x )＝11+x ，∴f (2)＝11+2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11，∴f (g (3))＝f (11)＝11+11＝112.巩固训练2 解析：(1)f (2)＝2+12+2＝34； (2)∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.例3 解析：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x−2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)要使函数有意义，需x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，即函数的定义域为{x |x ≥3或x ≤－1}．(3)函数有意义，当且仅当{3−x ≥0，x −1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)函数有意义，当且仅当{x −1≠0，2x+1≥0，x +1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．巩固训练3 解析：(1)由{1+x ≥0x ≠0，解得：x ≥－1且x ≠0.∴函数f (x )＝√1+x −1x 的定义域是[－1，0)∪(0，+∞)． (2)由－x 2＋6x －5≥0，得x 2－6x ＋5≤0，(x －1)(x －5)≤0， 解得1≤x ≤5，所以函数的定义域为[1，5]. 答案：(1)A (2)[1，5]例4 解析：对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，而g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，g (x )＝√x 2＝|x |，这两个函数是同一个函数；对于C ，f (x )＝x 2−1x−1的定义域为{x |x ≠1}，而g (x )＝x ＋1的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D ，f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ≠0}，而g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．答案：B巩固训练4 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A。

第二节函数模型及其应用第一课时整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排2课时教学过程第1课时作者：林大华导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.,⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型与对数函数相关.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年… ④列表画出函数图象．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性． ⑦让学生自己比较并体会．⑧其他与对数函数有关的函数模型． 讨论结果：①y ＝x .②y ＝x 2.③y ＝(1＋5%)x.图1 图2 图3⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b (直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，抛物线型)，y ＝ka x＋b (指数型)．⑥从表格和图象得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫做对数型函数． 应用示例例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数y ＝40(x ∈N *)进行描述；方案二可以用函数y ＝10x (x ∈N *)进行描述；方案三可以用函数y ＝0.4×2x －1(x ∈N *)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况．图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数． ②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ ③由此得出怎样的结论．答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数． ②让我们体会每天回报数的增长变化．③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.图5根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于＋50＝200，∴x＝375；在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图6)．图6观察函数的图象，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图象都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图象始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x >20时，y >5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x >x 0时，y >5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图象(图7)，由函数图象可知它是递减的，因此图7f (x )<f (10)≈－0.316 7<0，即log 7x ＋1<0.25x .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x<0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%. 变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %(x >0)，销售数量就减少kx %(其中k 为正实数)．目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个．(1)当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加．．．．时k 的取值范围． 解：依题意，价格上涨x %后，销售总金额为y ＝a (1＋x %)·b (1－kx %)＝ab10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]．(1)取k ＝12，y ＝ab 10 000(－12x 2＋50x ＋10 000)，所以x ＝50，即商品价格上涨50%，y 最大为98ab .(2)因为y ＝ab10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]，此二次函数的开口向下，对称轴为x ＝501－kk，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x |x >0}的一个子集内增大时，y 也增大．所以501－k k>0，解得0<k <1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过x 块玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．(lg3≈0.477 1)解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k ＝0.9k ；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k ＝0.92k ；光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k ＝0.93k ；光线经过x 块玻璃后强度为0.9xk .∴y ＝0.9x k (x ∈N *)．(2)由题意：0.9x k ＜k 3.∴0.9x＜13.两边取对数，x lg0.9＜lg 13.∵lg0.9＜0，∴x ＞lg 13lg0.9.∵lg 13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图8所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？图8解：①说法正确． ∵关系为指数函数，∴可设y ＝a x (a >0且a ≠1)．∴由图知2＝a 1. ∴a ＝2，即底数为2.②∵25＝32>30，∴说法正确． ③∵指数函数增长速度越来越快， ∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题3.2A组1、2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材．。

⼈教统编部编版⾼中数学必修⼀A版第三章《函数概念与性质》全章节教案教学设计（含章末综合复习）【新教材】⼈教统编版⾼中数学必修⼀A版第三章教案教学设计3.1《函数的概念及其表⽰》教材分析：课本从引进函数概念开始就⽐较注重函数的不同表⽰⽅法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表⽰⽅法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两⽅⾯的结合得到更充分的表现，使学⽣通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想⽅法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作⽤．在研究图象时，⼜要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的⼀种推⼴，这与传统的处理⽅式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学⽣将更多的精⼒集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到⼀般的思维过程．教学⽬标与核⼼素养：课程⽬标1、明确函数的三种表⽰⽅法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应⽤.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利⽤图像表⽰函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。

教学重难点：重点：函数的三种表⽰⽅法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数，什么才算“恰当”？分段函数的表⽰及其图象．课前准备：多媒体教学⽅法：以学⽣为主体，采⽤诱思探究式教学，精讲多练。

教学⼯具：多媒体。

教学过程：⼀、情景导⼊初中已经学过函数的三种表⽰法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表⽰法定义是？优缺点是？要求：让学⽣⾃由发⾔，教师不做判断。

⽽是引导学⽣进⼀步观察.研探. ⼆、预习课本，引⼊新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表⽰两个变量之间函数关系的⽅法有⼏种？分别是什么？2.函数的各种表⽰法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是⼀个还是⼏个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学⽣独⽴完成，以⼩组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。

A．0<g(a)<f(b) B．f(b)<g(a)<0 C．f(b)<0<g(a) D．g(a)<0<f(b) 13．(15分)已知函数y＝|3x－1|，试问k为何值时，方程|3x －1|＝k无解？有一解？有两解？
答案 11.解：设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，有两种情 况． 第一种情况，如下图(1)，mf1＋<20>，0，
答案 9．2 解析：设g(x)＝2a－ax，h(x)＝(x－1)2，注意到g(x)的图象 恒过定点(1，a)，画出它们的图象，无论a>1还是0<a<1，g(x) 与h(x)的图象都必定有两个交点．
答案
10．解：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－
1，符合题意；当a>0时，此函数图象开口向上，又f(0)＝－ 1<0，结合二次函数图象知符合题意；当a<0时，此函数图象开 口向下，又f(0)＝－1<0，
13．解：
答案
作出y＝|3x－1|的图象，如图所示． 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方 程无解；
答案 |3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同 交点，所以方程有两解．综上所述，当k<0时方程无解；当k＝ 0或k≥1时方程有一解；当0<k<1时方程有两解．
lg3>0，f
72 ＝
7 2
＋lg
7 2
－3＝
1 2
＋lg
7 2
>0，又f(x)是(0，＋∞)上的单
调递增函数，故选C.

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第三章函数的应用章末分层突破［自我校对］①方程f(x）＝0的实数x②f（a）·f（b)＜0③x轴④有零点⑤二分法⑥方程f（x)＝0的根⑦函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标⑧越来越慢⑨越来越快，爆炸式增长函数的零点与方程的根1.方程f(x）＝0函数y＝f（x)有零点，在解决函数与方程问题时，要注意三者之间的关系，在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化，同时还要注意使用函数的性质，如函数的单调性、奇偶性等．2．确定函数零点的个数或所在区间的两个基本方法：(1）利用零点的存在性定理，(2）数形结合转化为函数图象的交点问题．函数f(x）＝错误!x－错误!的零点所在区间为( )A。

错误!B。

错误!C。

错误!D．（1,2）【精彩点拨】利用零点判定定理分别判断端点值的符号关系．【规范解答】∵f错误!＝错误!－错误!<0,f错误!＝错误!－错误!＞0,∴f错误!f错误!〈0。

所以，函数的零点所在的区间为错误!,故选B.【答案】B［再练一题]1．设函数f(x）是定义在R上的奇函数,当x>0时,f（x）＝e x＋x－3,则f（x）的零点个数为（)A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵函数f（x)是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，所以0是函数f(x)的一个零点，当x＞0时，令f（x）＝e x＋x－3＝0，则e x＝－x＋3，分别画出函数y＝e x,和y＝－x ＋3的图象，如图所示,有一个交点,所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知,当x＜0时,函数f（x）也有一个零点．综上所述,f（x）的零点个数为3个，故选C。

章末检测一、选择题1.函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A.(－2,－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案 B解析 ∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (－1)·f (0)＜0.又函数f (x )在(－1,0)上是连续的，故f (x )的零点所在的一个区间为(－1,0).2.下列函数一定能用“二分法”求其零点的是( )A.y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)B.y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)C.y ＝2xD.y ＝k x(k ≠0，k 为常数) 答案 A解析 C ，D 没有零点，对于y ＝ax 2＋bx ＋c ，当Δ＝b 2－4ac ＝0时，不能用二分法.3.某产品的利润y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝－2x 2＋40x ＋300，则利润y 取最大值时，产量x 等于( )A.10B.20C.30D.40答案 A解析 y ＝－2(x －10)2＋500，当x ＝10时，y 取最大值.4.已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋c ，若(a －b 2)2>c ，则函数f (x )的零点( ) A.不存在B.有且只有一个C.一定有两个D.个数不确定 答案 C解析 令g (x )＝(x －a )(x －b )，则其图象是顶点坐标为(a ＋b 2，－(a －b 2)2)的抛物线，而f (x )＝g (x )＋c ，所以f (x )的图象是由g (x )的图象向上平移c 个单位得到的，又(a －b 2)2>c ，故f (x )的顶点仍然在x 轴的下方，所以f (x )有两个零点，故选C.5.一高为H 、满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的( )答案 B解析 由鱼缸的形状可知，水的体积随着h 的减小，先减少的慢，后减少的快，又减少的慢.6.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.所以函数有两个零点.故选C.7.某种动物的数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年有( )A.300只B.400只C.500只D.600只答案 A解析 由a log 2(1＋1)＝100，得a ＝100，则100log 2(7＋1)＝300.8.若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间[0,16]，[0,8]，[0,4]，[0,2]内，那么下列说法中正确的是( )A.函数f (x )在区间[0,1]内有零点B.函数f (x )在区间[0,1]或[1,2]内有零点C.函数f (x )在区间[2,16]内无零点D.函数f (x )在区间[1,16]内无零点答案 C解析 由题意得，函数零点在[0,2]内，故在[2,16]内无零点.9.已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( )A.2B.3C.4D.与a 的值有关答案 A解析 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示.由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根.故选A.10.某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，n ≤10，100，0<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( ) A.600元 B.900元 C.1 600元 D.1 700元答案 D解析 ∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元).又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元).故选D.二、填空题11.用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________.答案 (2,3)解析 设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，有f (2)f (3)＜0，则下一个有根区间是(2,3).12.已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－5，－2，则a ＝_______，b ＝_______.答案 110 －710解析 由根与系数的关系得－5＋(－2)＝b a ，(－5)×(－2)＝1a ，解得a ＝110，b ＝－710. 13.直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围是_______________.答案 1＜a ＜54 解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0， 作出图象，如图所示.此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54. 14.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a (a 为常数)，如图所示.根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t ＞0.1 (2)0.6 解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a 过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， ∴a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t ＞0.1).(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时，学生才能回到教室.三、解答题15.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝x 2＋x ＋2；(3)f (x )＝x 3＋1.解 (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，可解得x ＝－18，或x ＝1，所以函数f (x )的零点为－18和1. (2)因为f (x )＝x 2＋x ＋2，令x 2＋x ＋2＝0，Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实数解.所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点.(3)因为f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)，令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1.所以函数f (x )的零点为－1.16.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600. (2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600. 当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.17.已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t ,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t .(视区间[a ，b ]的长度为b －a )解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数.∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0， ∴－20≤q ≤12.(2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8. ①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小，∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，∴t ＝15－172； ②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上f (10)最大，f (8)最小，∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t <10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小，∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172，8,9满足条件. 18.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km).(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城.如果不会，请说明理由.解 (1)由图象可知，当t ＝4时， v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24(km). (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2； 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.。

3.3.1 函数的单调性与导数1.掌握函数的单调性与导数的关系.(难点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与导数阅读教材P89～P90“思考”部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)2.一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件.( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×[小组合作型](1)f (x )＝x 3－2x 2＋x ； (2)f (x )＝3x 2－2ln x ；(3)f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0).【导学号：97792043】【精彩点拨】 在定义域内解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，确定单调区间. 【自主解答】 (1)函数的定义域为R ， ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＞0，解得x ＞1或x ＜13.因此f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞). 令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. (2)函数的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x.令f ′(x )＞0，即2·3x 2－1x＞0，解得－33＜x ＜0或x ＞33. 又x ＞0，∴x ＞33；令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1x ＜0，解得x ＜－33或0＜x ＜33， 又x ＞0，∴0＜x ＜33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33.(3)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax.①当a ＞0时，f ′(x )＝x ＋a x＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，由f ′(x )＝x ＋a x ＞0，得x ＞－a ；由f ′(x )＝x ＋a x＜0，得0＜x ＜－a ，所以当a ＜0时，函数的单调递增区间是()－a ，＋∞，单调递减区间是(0，－a ).综上，当a ＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＜0时，单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a ).利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集.如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使f ′(x )＝0，其余点恒有f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)，则f (x )仍为增函数(减函数).[再练一题]1.(1)函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 (2)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________.【解析】 (1)y ′＝3x 2－2x －1，令y ′>0，得x <－13或x >1，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞). (2)令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，πf (x )的图象只可能是( )图3­3­1【精彩点拨】观察导函数图象→fx ＞0时f x 递增fx ＜0时f x 递减→|fx较大小f x变化较快慢→得正确选项【自主解答】 由导函数图象知，在[a ，b ]上，f ′(x )＞0.故f (x )在[a ，b ]上单调递增，又在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上，|f ′(x )|越来越大，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上增长越来越快；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上，|f ′(x )|越来越小，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上增长越来越慢，故选D.【答案】 D研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[再练一题]2.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图3­3­2所示，则导函数y ＝f ′(x )可能为( )【导学号：97792044】图3­3­2【解析】由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确.【答案】 D[探究共研型]【提示】不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件.探究2 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？【提示】(1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值.【精彩点拨】(1)转化为f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范围；(2)由f′(x)＜0，求单调减区间，对比已知，求a的值.【自主解答】(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.(2)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，无减区间，不满足条件. ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3； 当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数. ∴3a3＝1，即a ＝3.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路1.将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.2.先令f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.[再练一题]3.(1)若函数f (x )＝x 2－ax在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＞－2 B.a ≥－2 C.a ≤－2 D.a ＜－2【解析】 f ′(x )＝2x ＋a x2.令f ′(x )≥0，即2x ＋a x2≥0，a ≥－2x 3，由于g (x )＝－2x 3在(1，＋∞)上满足g (x )＜g (1)＝－2， ∴要使a ≥－2x 3在(1，＋∞)上恒成立，应有a ≥－2.故选B. 【答案】 B(2)若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围. 【解】 f ′(x )＝3ax 2＋1.①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0－12a ≤0，所以a ＞0. 综上，a ≥0.1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y ＝－x 2B.y ＝x e xC.y ＝x 2－xD.y ＝－x ＋ln x【解析】 对于y ＝x e x，y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )>0， ∴y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数. 【答案】 B2.已知二次函数f (x )的图象如图3­3­3所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )图3­3­3【解析】 根据图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)， 则f ′(x )＝2ax (a <0).故选B. 【答案】 B3.函数f (x )＝(x －1)e x的单调递增区间是________. 【解析】 f ′(x )＝(x －1)′e x ＋(x －1)(e x )′＝x e x， 令f ′(x )＞0，解得x ＞0，故f (x )的增区间为(0，＋∞). 【答案】 (0，＋∞)4.若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是_______.【导学号：97792045】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意知f (x )在R 上单调递增，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.【答案】 m ≥135.设f (x )＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数.若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围.【解】 对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax＋ax22，若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1. 即a 的取值范围为(0,1].。

第三章 函数的应用（复习）1. 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函数观点处理问题的意识；2. 结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.86113 复习1：函数零点存在性定理.如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.复习2：二分法基本步骤.①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε； ②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．复习3：函数建模的步骤.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.二、新课导学 ※ 典型例题例1已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2)，求m 的取值范围.例2 某工厂生产某产品x 吨所需费用P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P =1000+5x +110x 2，Q =a +xb.（1）试写出利润y 关于x 的函数；（2）若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a 、b 的值.例3（1（2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y（℃）关于时间()x s的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.（3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？※动手试试练1. 某种商品现在定价每年p元，每月卖出n件，因而现在每月售货总金额np元，设定价上涨x成，卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍．（1）用x和y表示z；（2）若y=23x，求使售货总金额保持不变的x值．练2. 如图，在底边BC =60，高AD =40的△ABC 中作内接矩形MNPQ ，设矩形面积为S ，MN =x . （1）写出面积S 以x 为自变量的函数式，并求其定义域； （2）求矩形面积的最大值及相应的x 值.三、总结提升 ※ 学习小结零点存在定理及二分法；函数建模.※ 知识拓展数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。

时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 按照自己的活法，快乐的生活，活得像自己就好了，何必在意那么多，勇敢地走自己的路，让别人说去吧。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 阴谋陷害别人的人，自己会首先遭到不幸。——伊索 爬上最高的境界，你会陡然发现：那里的景色竟然是你司空见惯的。 泉水，奋斗之路越曲折，心灵越纯洁。 别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。 你不能左右天气，但你能转变你的心情。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 每天告诉自己一次，“我真的很不错”。 本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。 命运是不存在的，它不过是失败者拿来逃避现实的借口。 相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 通往光明的道路是平坦的，为了成功，为了奋斗的渴望，我们不得不努力。 抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。 把脸一直向着阳光，这样就不会见到阴影。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 骄

模块检测一、选择题1.已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B 等于( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1} 答案 B解析 ∵A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}且1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}.2.若全集U ＝{1,2,3,4}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )A.3个B.5个C.7个D.8个答案 C解析 由题意知A ＝{1,3,4}，则A 的真子集共有23－1＝7(个).3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A.y ＝x －2B.y ＝x －1C.y ＝x 2D.y ＝x 31 答案 A解析 由于y ＝x －1和y ＝x 13都是奇函数，故B 、D 不合题意.又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 不合题意.y ＝x －2＝1x 2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意.A.①②④B.①②③④C.②④D.①②③ 答案 C5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x －1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.6.设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A.－3B.－1C.1D.3答案 A解析 由函数为奇函数，得f (0)＝20＋b ＝0⇒b ＝－1，故当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2－1)＝－3.7.已知a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c 答案 D解析 ∵a ＝0.32∈(0,1)，b ＝log 20.3＜0，c ＝20.3＞1.∴c ＞a ＞b .8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A.{1,3}B.{－3，－1,1,3}C.{2－7，1,3}D.{－2－7，1,3} 答案 D解析 令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}.9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋5，x <1，1＋1x ，x ≥1在R 上单调，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[4，＋∞)D.[2,4] 答案 D解析 当x ≥1时，f (x )＝1＋1x为减函数， 所以f (x )在R 上应为单调递减函数.要求当x <1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a 2≥1，即a ≥2， 并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围为[2,4].10.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (4－log 220)＝f (log 245) ＝24log 52＋15＝1.故选A. 二、填空题11.计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 答案 13解析 lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝⎛⎭⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13. 12.函数f (x )＝4－x 2＋1lg (x －1)的定义域是________. 答案 (1,2)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，x －1＞0，x －1≠1.则⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤2，x ＞1，x ≠2，∴f (x )的定义域是(1,2).13.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈_______.(填区间) 答案 (2,3)解析 ∵f (2)f (4)＜0，f (2)f (3)＜0，∴f (3)f (4)＞0，故x 0∈(2,3).14.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________________.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0. 当x ＞0时，由x 2－4x ＞x 得x ＞5； 当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x 得－5＜x ＜0， 故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞). 三、解答题 15.计算： (1)⎝⎛⎭⎫33823-－⎝⎛⎭⎫5 490.5＋(0.008)23-÷(0.02)21-×(0.32)21； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫82723－⎝⎛⎭⎫49921＋⎝⎛⎭⎫1 000823÷50×4210＝49－73＋25×152×4210＝－179＋2＝19. (2)原式＝12(lg 2)2＋12lg 2(1－lg 2)＋ ⎝⎛⎭⎫12lg 2－12 ＝12(lg 2)2＋12lg 2－12(lg 2)2＋1－12lg 2＝1. 16.已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}.(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围.解 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}.A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}.(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3].17.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －x 2.(1)求函数f (x )的解析式，并画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出单调区间和值域.解 (1)设x <0，则－x >0，因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. 图象如图所示.(2)由图可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)，值域为(－∞，1].18.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20≤x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20≤x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x ) ＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x ) ＝－13(x －100)2＋10 0003， 所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.。