北京中考数学专题复习旋转的综合题

中考数学复习图形的旋转一、选择题1．下列图形中是中心对称图形的有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB 的延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是( C )A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC,第2题图),第3题图) 3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( A )A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( A )A.10 B．2 2 C．3 D．25【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1，在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.,第4题图),第5题图) 5．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5)的对应点A′的坐标是( B )A．(2，5) B．(5，2) C．(2，－5) D．(5，－2)【解析】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O，∠AOA′＝90°，∴AO＝A′O.作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°.∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′－∠COA′＝∠COC′－∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′.∴△ACO≌△A′C′O，∴AC＝A′C′，CO＝C′O.∵A(－2，5)，∴AC＝2，CO＝5，∴A′C′＝2，OC′＝5，∴A′(5，2)．故选B.6．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连结AD，BD.则下列结论：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是( D ) A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE＝120°，∠DCE ＝∠BCA＝60°，A C＝CD＝DE＝CE，∴∠ACD＝120°－60°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D.二、填空题7．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是__60°__．,第7题图),第8题图) 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：__将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB(答案不唯一)．__．9．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A恰好落在AC上的点A′处，连结CC′，则∠ACC′＝__110°__．【解析】∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°－2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB＋∠BCC′＝110°.10．如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连结AP并延长交CD于点E，连结PC，则△PCE的面积为__9－53__．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，AP＝AB＝23，∵AD＝23，∴AE＝4，DE＝2，∴CE＝23－2，PE＝4－23，过P作PF ⊥CD 于F ，∴PF ＝32PE ＝23－3，∴△PCE 的面积为12CE ·PF ＝12×(23－2)×(23－3)＝9－5 3.故答案为9－5 3.,第10题图) ,第11题图)11．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，则DE 2＋BG 2＝__2a 2＋2b 2__．【解析】连结BD ，EG ，如图所示，∴DO 2＋BO 2＝BD 2＝BC 2＋CD 2＝2a 2，EO 2＋OG 2＝EG 2＝CG 2＋CE 2＝2b 2，则BG 2＋DE 2＝DO 2＋BO 2＋EO 2＋OG 2＝2a 2＋2b 2.三、解答题12. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别是A (－2，3)，B (－1，2)，C (－3，1)，△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1.(1)在正方形网格中作出△A 1B 1C 1；(2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为__132π__；(3)在y 轴上找一点D ，使DB ＋DB 1的值最小，并求出D 点的坐标．,题图),答图)解：(1)如图所示： (2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为90×π×13180＝132π (3)∵点B ，B 1在y 轴两旁，连结BB 1交y 轴于点D ，设D′为y 轴上异于D 的点，显然D′B ＋D′B 1>DB ＋DB 1，∴当点D 是BB 1与y 轴交点时，DB ＋DB 1最小．设直线BB 1的解析式为y ＝kx ＋b ，依据题意得⎩⎨⎧－k ＋b ＝2，2k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－13，b ＝53，∴y ＝－13x ＋53，∴D (0，53) 13．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .(1)求证：△DEF ≌△DMF ；(2)若AE ＝1，求FM 的长．解：(1)∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD ＋∠DCM ＝180°，∴F ，C ，M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF ＋∠MDF ＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠MDF ＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，∵⎩⎨⎧DE ＝DM ，∠EDF ＝∠MDF ，DF ＝DF ，∴△DEF ≌△DMF (SAS ) (2)由(1)得EF ＝MF ，设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ，∵EB ＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝52，∴FM ＝5214．如图①，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2，宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE ′F ′D ′，旋转角为α.(1)当点D ′恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；(2)如图②，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD ′＝E ′D ；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD ′与△CBD ′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．解：(1)∵DC ∥EF ，∴∠DCD ′＝∠CD′E ＝α，∵sin α＝CE CD′＝CE CD ＝12，∴α＝30° (2)∵G 为BC 中点，∴GC ＝CE′＝CE ＝1.∵∠D′CG ＝∠DCG ＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE ′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D ′CG ＝∠DCE′.又∵CD′＝CD ，∴△GCD ′≌△E ′CD (SAS )，∴GD ′＝E′D (3)能．α＝135°或α＝315°。

中考数学压轴题专题复习——初中数学旋转的综合含详细答案一、旋转1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1MC，∴EG=CG．2（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．2．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．（1）如图1，当a＝42时，求b的值；（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．【答案】（1）42；（2）b＝8；（3）ab＝32．【解析】试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝42，∠ACB＝45°．再CE＝a＝42，可得∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝42，∠ACB＝45°．∵CE＝a＝42，∴∠CAE＝∠AEC＝452︒＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42；（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CFEC CA=，∴4242=，∴CF＝8，即b＝8．（3）ab＝32．提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CFEC CA=，∴4242a=，∴ab＝32．3．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，∴∠BAE=∠FEA，∴AB∥FE，∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B∴∠1＝∠2又AM＝NM，AB＝MG∴△ABM≌△MGN∴∠B＝∠3，NG＝BM∵MG＝AB＝BE∴EG＝AB＝NG∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF∴∠FEC＝∠B=∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°综上所述，∠FEN＝－90°∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值.4．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ON)，且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系．(1)探究发现：当点M，N均在线段OB上时(如图1)，有OM2+BN2＝MN2．他的证明思路如下：第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM．第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2．最后得到OM2+BN2＝MN2．请你完成第二步三角形全等的证明．(2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN=OP．证明△APM≌△ANM，再利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，当点M，N在OB的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵点A(0，4)，B(4，4)，∴OA＝AB，∠OAB＝90°，∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP(SAS)．（2）如图2中，结论仍然成立．理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP(SAS)，∴MN＝PM，∵∠ABN＝∠AOP＝135°，∠AOB＝45°，∴∠MOP＝90°，∴PM2＝OM2+OP2，∴OM2+BN2＝MN2；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．设MN＝2x，则BM＝BN＝x，∵OA＝AB＝4，∠OAB＝90°，∴OB＝42，∴OM＝42﹣x，∵OM2+BN2＝MN2．∴(42﹣x)2+x2＝(2x)2，解得x＝﹣22+26或﹣22﹣26(舍弃)∴MN＝﹣42+46．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s 时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s.试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD cm，∴△BDE的最小周长=CD；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s.综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.6．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．7．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．（1）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长；（2）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；（3）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）【答案】（1）252）点O′8545）；（3）点P′的坐标为（﹣83 5，365．【解析】分析：（1）由点A、B的坐标可得出AB的长度，连接BB′，由旋转可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，进而可得出△ABB′为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出BB′的长；（2）过点O′作O′D⊥x轴，垂足为D，交AB′于点E，则△AO′E∽△ABO，根据旋转的性质结合相似三角形的性质可求出AE、O′E的长，进而可得出点O′的坐标；（3）作点A关于x轴对称的点A′，连接A′O′交x轴于点P，此时O′P+AP′取最小值，过点O′作O′F⊥y轴，垂足为点F，过点P′作PM⊥O′F，垂足为点M，根据旋转的性质结合解直角三角形可求出点O′的坐标，由A、A′关于x轴对称可得出点A′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′O′的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，进而可得出OP的长度，再在Rt△O′P′M中，通过解直角三角形可求出O′M、P′M的长，进而可得出此时点P′的坐标．详解：（1）∵点A（0，4），点B（﹣2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB22OA OB5．在图①中，连接BB′．由旋转可知：AB =AB ′，∠BAB ′=60°，∴△ABB ′为等边三角形，∴BB ′=AB =25． （2）在图②中，过点O ′作O ′D ⊥x 轴，垂足为D ，交AB ′于点E ． ∵AB ′∥x 轴，O ′E ⊥x 轴，∴∠O ′EA =90°=∠AOB ．由旋转可知：∠B ′AO ′=∠BAO ，AO ′=AO =4，∴△AO ′E ∽△ABO ，AE AO ='O E BO ='AO AB，即4AE ='2O E =25，∴AE =85，O ′E =45，∴O ′D =45+4，∴点O ′的坐标为（8545，+4）． （3）作点A 关于x 轴对称的点A ′，连接A ′O ′交x 轴于点P ，此时O ′P +AP ′取最小值，过点O ′作O ′F ⊥y 轴，垂足为点F ，过点P ′作PM ⊥O ′F ，垂足为点M ，如图3所示． 由旋转可知：AO ′=AO =4，∠O ′AF =240°﹣180°=60°，∴AF =12AO ′=2，O ′F =32AO ′=23，∴点O ′（﹣23，6）．∵点A （0，4），∴点A ′（0，﹣4）．设直线A ′O ′的解析式为y =kx +b ，将A ′（0，﹣4）、O ′（﹣23，6）代入y =kx +b ，得： 4236b k b =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：534k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线A ′O ′的解析式为y =﹣53x ﹣4． 当y =0时，有﹣53x ﹣4=0，解得：x =﹣43，∴点P （﹣43，0），∴OP =O ′P ′=43． 在Rt △O ′P ′M 中，∠MO ′P ′=60°，∠O ′MP ′=90°，∴O ′M =12O ′P ′=23，P ′M =32O ′P ′=65，∴点P ′的坐标为（﹣23+235，6+65），即（﹣833655，）．点睛：本题考查了函数图象及旋转变换、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用等边三角形的性质找出BB′的长；（2）通过解直角三角形求出AE、O′E的长；（3）利用两点之间线段最短找出当O′P+AP′取得最小值时点P的位置．8．如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．（1）求证：MN⊥CE；（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE=2MN．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）延长DN交AC于F，连BF，推出DE∥AC，推出△EDN∽△CFN，推出DE EN DN==，求出DN=FN，FC=ED，得出MN是中位线，推出MN∥BF，证CF CN NF△CAE≌△BCF，推出∠ACE=∠CBF，求出∠CBF+∠BCE=90°，即可得出答案；（2）延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，求出BG=2MN，证△CAE≌△BCG，推出BG=CE，即可得出答案．试题解析：（1）证明：延长DN交AC于F，连BF，∵N为CE中点，∴EN=CN，∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，∴DE ∥AC ，∴△EDN ∽△CFN ， ∴DE EN DN CF CN NF== ， ∵EN=NC ，∴DN=FN ，FC=ED ， ∴MN 是△BDF 的中位线，∴MN ∥BF ，∵AE=DE ，DE=CF ，∴AE=CF ，∵∠EAD=∠BAC=45°，∴∠EAC=∠ACB=90°，在△CAE 和△BCF 中，CA BC CAE BCF AE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CAE ≌△BCF （SAS ），∴∠ACE=∠CBF ，∵∠ACE+∠BCE=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，即BF ⊥CE ，∵MN ∥BF ，∴MN ⊥CE ．（2）证明：延长DN 到G ，使DN=GN ，连接CG ，延长DE 、CA 交于点K ，∵M 为BD 中点，∴MN 是△BDG 的中位线，∴BG=2MN ，在△EDN 和⊈CGN 中，DN NG DNE GNC EN NC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EDN ≌△CGN （SAS ），∴DE=CG=AE ，∠GCN=∠DEN ，∴DE ∥CG ，∴∠KCG=∠CKE ，∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，∴∠EAK=60°，∴∠CKE=∠KCG=30°，∴∠BCG=120°，在△CAE 和△BCG 中，AC BC CAE BCG AE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CAE ≌△BCG （SAS ），∴BG=CE ，∵BG=2MN ，∴CE=2MN ．【点睛】考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．9．已知：如图1，将两块全等的含30º角的直角三角板按图所示的方式放置，∠BAC=∠B 1A 1C =30°，点B ，C ，B 1在同一条直线上．（1）求证：AB =2BC（2）如图２，将△ABC 绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB 与A 1C 、A 1B 1分别交于点D 、E ，AC 与A 1B 1交于点F ．当α等于多少度时，AB 与A 1B 1垂直？请说明理由．（3）如图3，当△ABC 绕点C 顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB ∥CB 1，AB 与A 1C 交于点D ，试说明A 1D=CD ．【答案】（1）证明见解析（2）当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直.（3）理由见解析【解析】试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB =BB 1，又因为BB 1=2BC ，得出AB =2BC ;(2) 利用AB 与A 1B 1垂直得∠A 1ED=90°，则∠A 1DE=90°-∠A 1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A 1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA 1=90°-∠A 1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直；(3)由于AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=12AC ，再根据旋转的性质得AC=A 1C ，所以CD=12A 1C ，则A 1D=CD ． 试题解析： （1）∵△ABB 1是等边三角形；∴ AB =BB 1∵ BB 1=2BC∴AB =2BC（2）解：当AB 与A 1B 1垂直时，∠A 1ED=90°，∴∠A 1DE=90°-∠A 1=90°-30°=60°，∵∠B=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACA 1=90°-60°=30°，即当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直.（3）∵AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°，∴∠CDB=90°，即CD 是△ABC 的高，设BC=a ，AC=b ，则由（1）得AB=2a ，A 1C=b ， ∵1122ABC S BC AC AB CD ∆=⨯=⨯， 即11222ab a CD =⨯⨯ ∴12CD b =，即CD=12A 1C ， ∴A 1D=CD. 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．如图，△ABC 是等边三角形，AB=6cm ，D 为边AB 中点．动点P 、Q 在边AB 上同时从点D 出发，点P 沿D→A 以1cm/s 的速度向终点A 运动．点Q 沿D→B→D 以2cm/s 的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题11．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；62【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3，6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3m，6m．∴EG=m+3m=（1+3）m ，∵S △BEG =12•EG•BN=12•BG•EH ， ∴EH=3?(13) m m +=3+3m ， 在Rt △EBH 中，sin ∠EBH=3+36226m EH EB m+==． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，12．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）303343033444S -+≤≤. 【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO ∠=∠，再根据矩形的性质得CBA OAB ∠=∠.从而BAD CBA ∠=∠，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（Ⅲ）3033430334S -+≤≤.详解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C ∠=∠=︒.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴22DC AD AC =- 22534=-=.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE ∠=︒.又点D 在线段BE 上，得90ADB ∠=︒.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO ∠=∠.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB ∠=∠.∴BAD CBA ∠=∠.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t=+-.解得175t=.∴175BH=.∴点H的坐标为17,3 5⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）3033430334S-+≤≤.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.13．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，2+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm ，∴t=14÷1=14s ，综上所述：当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.14．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是线段AB 上的一点（不与A 、B 重合）．过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ．将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF ．设∠BCE 度数为α.（1）①补全图形；②试用含α的代数式表示∠CDA ．（2）若3EF AB = ，求α的大小． （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系．【答案】（1）①答案见解析；②45α︒+；（2）30α=︒；（3）22222AB CF BE =+．【解析】试题分析：（1）①按要求作图即可；②由∠ACB=90°，AC=BC ，得∠ABC=45°,故可得出结论；（2）易证FCE ∆∽ ACB ∆，得3CF AC =FA ，得△AFC 是直角三角形，求出∠ACF=30°，从而得出结论；（3）222A 22B CF BE =+.试题解析：（1）①补全图形．②∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°∵∠BCE=α ∴∠CDA=45α︒+（2）在FCE ∆和ACB ∆中，45CFE CAB ∠=∠=︒ ，90FCE ACB ∠=∠=︒ ∴ FCE ∆∽ ACB ∆ ∴ CF EF AC AB = Q 3EF AB = ∴ 32CF AC = 连结FA ．Q 90,90FCA ACE ECB ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠∴ FCA ECB ∠=∠=α在Rt CFA ∆中，90CFA ∠=︒，3cos FCA ∠= ∴ 30FCA ∠=︒即30α=︒.（3）22222AB CF BE =+15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．（1）如图1，求证：△CDE 是等边三角形．（2）设OD ＝t ，①当6＜t ＜10时，△BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2) ①见解析; ②t＝2或14.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝3，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝3；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．。

专题18二次函数与旋转变换综合问题【例1】（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A （﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A 的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．【例3】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y 轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【例4】．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20小题）1．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022•双流区模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A 在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．（1）求a的值及顶点D的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．3．（2022•灞桥区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+6与x 轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC＝3．（1）求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；（2）将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点（点F在点E的左侧），与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由．4．（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．5．（2022•深圳三模）已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．6．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．7．（2022•沙湾区模拟）如图，抛物线f（x）：y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于点A、B（点A 位于点B左边），与y轴交于点C（0，．（1）求抛物线f（x）的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接线段AC，作∠CAB的平分线AE交抛物线于点E，将抛物线f（x）沿对称轴向下平移经过点C'得到抛物线f'（x）．在射线AE上取点F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120°交抛物线f'（x）于点P．当△ACF为等腰三角形时，求点P的横坐标．8．（2022•灌南县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．9．（2022•红花岗区三模）如图（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段AC 上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：（1）①点E到BC边的距离为；②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为；（不写自变量取值范围）（2）当△BDE的面积为15时，若PC＜AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图（2），抛物线C1过点A、D、B；①点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2，当﹣2a≤x≤﹣a时（a＞0），抛物线C2有最大值2a，求a值．10．（2022•乳源县三模）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．11．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．12．（2021秋•北京期中）定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点（0，0）在抛物线y＝﹣x2+2x上，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点（1，1）也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2+2x关联．（1）已知抛物线C1：y＝（x+1）2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2+2x+1和抛物线C3：y＝2x2+2x+1与抛物线C1是否关联；（2）抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；（3）抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．13．（2021•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD 的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．14．（2022秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，△APD的面积为s，求s 关于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD＝2∠PDC，过点E作EF⊥PD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若，求线段PF的长．15．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A（4，0），∠AOC＝60°，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．给出如下定义：如果抛物线y＝ax2+bx（a≠0）同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2+bx（a≠0）为关于点A，E的“伴随抛物线”．（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为；（2）如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接写出a的取值范围．16．（2020秋•天心区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c 与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．17．（2022•大庆模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F 在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．18．（2022•苏州一模）如图，二次函数y＝x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E 点的坐标．19．（2022•大连模拟）已知抛物线G：y＝（m+1）x2+2（n﹣1）x+n+1（m≠﹣1，m为常数）的对称轴与直线y＝kx+k（k＞0，k为常数）相交于x轴上一点P．（1）求m与n的数量关系；（2）若直线y＝kx+k与y轴交于点Q，且OQ＝OP，①把直线y＝kx+k绕点Q顺时针旋转45°得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若AB＝4，求m的值；②将直线y＝kx+k向上平移2k个单位，得到的直线与抛物线G的两个交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜x2＜2，求m的取值范围．20．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．。

旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4．【解析】【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．【详解】(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为CB的延长线上，a+b；(2)①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD ABCAD EAB AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；(3)如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，∴OA＝2，OB＝6，∴AB＝4，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝2AP＝22，∴最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣42＝22，∴P(2﹣2，2)．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2﹣2，﹣2)时，也满足条件．综上所述，满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为22+4．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．【答案】(1)见解析（2）AD=BE+DE （3）8【解析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE．（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD =112+×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起．（1）操作：固定△ABC，将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定△ABC，若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE 的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR，如图3．探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长．【答案】（1）BE=CD．理由见解析；（2）△CHQ是等腰三角形；（3）2-x．【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出∠ACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CHQ=30°，从而得到∠ACF=∠CHQ，判断出△CHQ是等腰三角形；（3）求出∠CGP=90°，然后利用∠ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CG-CH整理即可得解．试题解析：（1）BE=CD．理由如下：∵△ABC与△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD；（2）∵旋转角为30°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=60°-30°=30°，∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°，∴∠ACF=∠CHQ，∴△CHQ是等腰三角形；（3）∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°，∴CG=CP•cos30°=（x+4），∵△CHQ是等腰三角形，∴CH=2•CQcos30°=2x•=x，∴GH=CG-CH=（x+4）-x=2-x．考点：几何变换综合题．4．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10的概率；（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】（1）13；（2）不公平．【解析】试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．试题解析：（1）共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种，所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为13．（2）不公平，因为小颖获胜的概率为；小亮获胜的概率为512．小亮获胜的可能性大，所以不公平．可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．5．在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．【答案】（1）30°；（2）30°；（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°.【解析】试题分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小.（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，连结DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次证明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，求得答案．试题解析：（1）30°；（2）30°；（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA=40°．∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°．∴∠DCB=∠FCB=20°．①∵AC=CD，AC=FC，∴DC=FC．②∵BC=BC，③∴由①②③，得△DCB≌△FCB，∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，∴∠BAF=40°．∵∠ACD=20°，AC=CD，∴∠CAD=80°．∴∠DAF=20°．∴∠BAD=∠FAD=20°．④∵AB=AC，AC=AF，∴AB=AF．⑤∵AD=AD，⑥∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．∴FD=BD．∴FD=BD=FB．∴∠DBF=60°．∴∠CBD=30°．（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°．考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等边三角形的判定和性质．6．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；62【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3m，6m．∴EG=m+3m=（1+3）m ， ∵S △BEG =12•EG•BN=12•BG•EH ， ∴EH=3?(13)2m m m +=3+32m ，在Rt △EBH 中，sin ∠EBH=3+362246mEHEB m+==． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点（不与点B 、点C 重合），连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系．（2）如图2，当点P 在CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO =15°，BP =4，请求出BQ 的长．【答案】（1）BQ =CP ；（2）成立：PC =BQ ；（3）434-． 【解析】试题分析：（1）结论：BQ =CP ．如图1中，作PH ∥AB 交CO 于H ，可得△PCH 是等边三角形，只要证明△POH ≌△QPB 即可；（2）成立：PC =BQ ．作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．证明方法类似（1）；（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF =3a ，在Rt △PCE 中，表示出PC ，根据PC +CB =4，可得方程(62)24a a ++=，求出a 即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：BQ =CP ．理由：如图1中，作PH ∥AB 交CO 于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠OPB =∠OPQ +∠QPB =∠OCB +∠COP ，∵∠OPQ =∠OCP =60°，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．（2）成立：PC =BQ ．理由：作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠POH =60°+∠CPO ，∠QPO =60°+∠CPQ ，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．∵∠OPC =15°，∠OCB =∠OCP +∠POC ，∴∠POC =45°，∴CE =EO ，设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF =3a ，在Rt △PCE 中，PC =22PE CE + =22(23)a a a ++ =(62)a +，∵PC +CB =4，∴(62)24a a ++=，解得a =4226-，∴PC =434-，由（2）可知BQ =PC ，∴BQ =434-．点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，AOC 30∠=，将一直角三角板()M 30∠=的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．()1将图1中的三角板绕点O 以每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周.如图2，经过t 秒后，ON 落在OC 边上，则t =______秒(直接写结果)．()2如图2，三角板继续绕点O 以每秒5的速度沿逆时针方向旋转到起点OA 上.同时射线OC 也绕O 点以每秒10的速度沿逆时针方向旋转一周，①当OC 转动9秒时，求MOC ∠的度数．②运动多少秒时，MOC 35∠=？请说明理由．【答案】（1）6；（2）①45；②11秒或25秒，理由见解析. 【解析】【分析】(1)因为∠AOC=30°，所以ON 落在OC 边上时，三角板旋转了30°，即可求出旋转时间；(2)在整个旋转过程中，可以看做这样一个追及问题更容易理解，即：ON 绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC 也绕O 点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转； ①9秒时，∠NOC=45°，而OC 旋转了90°，所以∠MOC 的度数就是45°； ②∠MOC=35°时，应分OC 与OM 重合前35°与重合后35°两种情况考虑，分别进行求解即可.【详解】()1AOC 30∠=，而三角板每秒旋转5，∴当ON 落在OC 边上时，有5t 30=，得t 6=，故答案为6；()2①当OC 转动9秒时，COA 30109120∠=+⨯=， 而MOA 309059165∠=++⨯=，又MOC MOA COA ∠∠∠=-，即：MOC 16512045∠=-=，答：当OC 转动9秒时，MOC ∠的度数为45；②设OC 运动起始位置为射线OP(如图1)，运动t 秒时，MOC 35∠=，则MOP 905t ∠=+，COP 10t ∠=，当MOC 35∠=时，有()905t 10t 35+-=或()10t 905t 35-+=，得t 11=或t 25=，因为三角板与射线OC 都只旋转一周，所以不考虑再次追及的情况，故当运动11秒或25秒时，MOC 35∠=．【点睛】本题考查的是用方程的思想解决角的旋转的问题，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．。

2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）1．如图① ，在①ABC 中，AB =AC =4，①BAC =90°，AD ①BC ，垂足为D ．(1)S △ABD = ．（直接写出结果）(2)如图①，将①ABD 绕点D 按顺时针方向旋转得到①A′B′D ，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ 的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ 是正方形．2．如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．3．如图1，在Rt △ABC 中，①A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =3，AB =7，请直接写出△PMN 面积的最大值．4．如图1，①ABC 为等腰直角三角形，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，AD ＝AE ，连接DE ，取BC 边的中点O ，连接DO 并延长到点F ，使OF ＝OD ，连接CF ． （1）请判断①CEF 的形状，并说明理由；（2）将（1）中①ADE 绕点A 旋转，连接CE ，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若AB ＝6，AD ＝4，将①ADE 由图1位置绕点A 旋转，当点B ，E ，D 三点共线时，请直接写出①CEF 的面积．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥．（1）如图1，若CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =；（3）如图3，在（2）的条件下，若CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．6．如图1，矩形ABCD 中，15,20AB BC ==，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转，得到矩形BEFG ．（1）当点E 落在BD 上时，则线段DE 的长度等于________； （2）如图2，当点E 落在AC 上时，求BCE 的面积；（3）如图3，连接AE CE AG CG 、、、，判断线段AE 与CG 的位置关系且说明理由，并求22CE AG +的值；（4）在旋转过程中，请直接写出BCE ABG S S +△△的最大值．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A -，点(0,3),B ABO 绕点B 顺时针旋转，得A BO ''△，点A O 、旋转后的对应点为A O ''、，记旋转角为α．（1）如图①，90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当1OM =时，点N 的坐标为_____； （2）90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当O M BN '+取得最小值时，在图①中画出点M 的位置，并求出点N 的坐标．（3）如图①，P 为AB 上一点，且:2:1PA PB =，连接PO PA ''、，在ABO 绕点B 顺时针旋转一周的过程中，PO A ''的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．8．如图1，①ABC 和①DEC 均为等腰三角形，且①ACB =①DCE =90°，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点P .（1）线段BE 与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由． （2）若已知BC =12，DC =5，①DEC 绕点C 顺时针旋转， ①如图2，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；①在旋转一周的过程中，设①P AB 的面积为S ，求S 的最值．9．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．()1如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：13MN AC =； ()2如图2，将EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边'DE 、'DF 分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当DGP 的面积等于10．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，①ABC=①DEF=90°，①EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 探究一：在旋转过程中， （1）如图2，当1CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．11．如图1，在①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD①DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；①如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．12．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤90°)，连结AE，CG（如图）．(1)求证：①ABE①①CBG．(2)当点E在BD上时，求CG的长．(3)当90∠时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：AEB=︒sin28︒≈，sin62︒≈tan28︒≈tan62︒≈）13．如图，矩形ABCD 中，5,6,==AB BC BCG 为等边三角形．点E ，F 分别为,AD BC 边上的动点，且EF AB ∥，P 为EF 上一动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60︒至BM ，连接,,,PA PC PM GM ．(1)求证：=GM PC ；(2)当,,PB PC PE 三条线段的和最小时，求PF 的长；(3)若点E 以每秒2个单位的速度由A 点向D 点运动，点P 以每秒1个单位的速度由E 点向F 点运动．E ，P 两点同时出发，点E 到达点D 时停止，点P 到达点F 时停止，设点P 的运动时间为t 秒． ①求t 为何值时，AEP △与CFP 相似； ①求BMP 的面积S 的最小值．14．如图1，在Rt ABC 中，90,5∠=︒==C AC BC ，点D 是边BC 上的一点，且BD =，过点D 做BC 边的垂线，交AB 边于点E ，将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，记旋转角为()0360αα︒≤<︒．(1)【问题发现】当0α=︒时，AECD的值为________，直线,AE CD 相交形成的较小角的度数为________； (2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)【问题解决】当BDE 旋转至A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出ACD △的面积．15．在中Rt ABC △中．90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接CF ．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当2BE=，BC=EAB∠=_________°；①猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．=，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出(3)点E在射线CB上运动，BC=，设BE xy与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．16．如图，在①ABC中，AB＝，①A＝45°，AC＝C作直线平行AB，将①ABC绕点A顺时针旋转得到①AB C''（点B，C的对应点分别为B'，C'），射线AB'，AC'分别交直线l于点P、Q．(1)如图1，求BC的长；(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan①APQ；(3)如图3，当点P，Q分别在线段AB'，AC'上时，试探究四边形PQC B''的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．17．已知Rt△ABC中，AC＝BC，①C＝90°，D为AB边的中点，①EDF＝90°，①EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．(1)如图1，当①EDF 绕D 点旋转到DE ①AC 于E 时，易证S △DEF ＋S △CEF 与S △ABC 的数量关系为__________；(2)如图2，当①EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的数量关系，不需证明．18．面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．(1)如图①，当点1O 恰好落在AB 上时， ①此时1CO 的长为__________；①点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标； (2)如图①，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．19．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3sin 5A =．点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD AB ⊥交折线AC ，CB 于点D ，连结BD ，将DBP 绕点D 逆时针旋转90︒得到DEF ．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)用含t 的代数式表示线段PD 的长． (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长． (3)当点F 在ABC 内部时，求t 的取值范围．(4)当线段DP 将ABC 的面积分成1:2 的两部分时，直接写出t 的值．20．如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，AB BC =，AO 是BC 边上的中线，点D 是AO 上一点，DE EO ⊥，E 是垂足，DEO 可绕着点O 旋转，点F 是点E 关于点O 的对称点，连接AD 和CF ．(1)问题发现：如图2，当1ADDO=时，则下列结论正确的是_______．（填序号）①BE CF =；①点F 是OC 的中点：①AO 是BAC ∠的角平分线；①AD ．(2)数学思考：将图2中DEO 绕点O 旋转，如图3，则AD 和CF 具有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)拓展应用：在图1中，若ADx DO=，将DEO 绕着点O 旋转． ①则AD =_______CF ；①若4AB =，1x =，在DEO 旋转过程中，如图4，当点D 落在AB 上时，连结BE ，EC ，求四边形ABEC 的面积．答案21．(1)4(2)四边形APDQ 的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当45α=︒时，四边形APDQ 是正方形．22．(1)AE BD =，AE BD ⊥； (2)结论仍成立23．(1)PM =PN ，PM ①PN ． (2)△PMN 是等腰直角三角形． (3)S △PMN 最大=25224．（1） ①CEF 是等腰直角三角形；（2）成立，（3）18-18+25．（1）（3）8 26．(1)10；(2)42；(3) AE ①CG 221250CE AG =+；(4)30027．（1）（-3，4）；（2）N （-3，92）；（3）最大值为283，最小值为8328．（1）BE =AD ，BE 与AD 互相垂直，（2）①AP =8413；①最小47，最大72 29．（2）顺时针或逆时针旋转60.30．探究一：（1）EP=EQ ；证明见解析；（2）1:2，（3）EP ：EQ=1：m ，①0＜（1）当50cm 2；当75cm 2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．31．(1)①ADF =45°，AD (2)①成立，；①1≤S △ADF ≤4.32．(3)3145S π=33．(3)①73；①34．，45︒；(2)无变化(3)121235．(1)①30；①AC +CF CE ；(2)CA -CF；(3)当点E 在点B 左侧运动时，y =21322x +；当点E 在点B 右侧运动时，y 32+．36．(3)存在；21-37．(1)S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC(2)上述结论S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC 成立(3)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC38．(1)①1.5 ①20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)存在最大值，最大值为6939．(1)3t (2)258 (3)355374t ≤≤40．(1)①①①(2)AD =，①465。

中考数学专题训练之图形的旋转测试题（1）一．选择题（共10小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），连接AB，将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（）A．4B．3√2C．2√5D．52．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△DEF，点B，C在x轴上．下面判断不正确的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠AED＝120°C．OA=√3OF D．DE＝OB+AE 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC=√2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是（）A．√3+1B．2√3C．√3+2D．√2+14．如图，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的B′处得△A'B'C，若∠A＝35°，则∠ACB′的度数为（）A．70°B．55°C．35°D．20°5．若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为（）A．B．C．D．6．如图，△ABC和△AED均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点B在线段ED上，已知AD=4√2，BD＝2，则tan∠BCD的值为（）A．13B．3√1010C．√1010D．37．在平面直角坐标系中，点（3，5）关于原点对称点的坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）8．如图，在△ABC中，∠CAB＝m°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则∠BAB'＝（）A．3m﹣120B．180﹣2m C．3m﹣180D．m﹣309．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（）A．30°B．40°C．50°D．90°10．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1二．填空题（共10小题）11．如图，将△OAB绕点O顺时针旋转40°得到△ODC，点D恰好落在AB上，若∠AOC ＝108°，则∠B的度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，当点D，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD＝4，则△OFC的面积是．13．如图所示的图形绕其中心至少旋转度就可以与原图形完全重合．14．如图，将Rt△AOB置于直角坐标系中，边OB，OA分别在x轴，y轴上，将△AOB绕点A旋转，点D落在边AB上．若∠OAB＝60°，OA＝1，则点C的坐标为．15．如图，E 是正方形ABCD 内一点，将△ABE 绕点B 顺时针旋转与△CBF 重合，若BE =√2，则EF ＝ ．16．如图，在△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，以AC 为边向上作等边△ACD ，连接DB ，当∠ABC ＝ 时，BD 最大，最大值为 ．17．平面直角坐标示中，点（2，﹣4）关于原点O 的对称点是 ．18．如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a 、b ，则b ﹣a ＝ ．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是CB 延长线上一点，BD BC =12，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转45°交线段BC 于点E ，若BD ＝m ，用含m 的式子表示线段AE 的长为 ．20．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转55°后得到△COD ，若∠AOB ＝15°，则∠AOD ＝ ．三．解答题（共5小题）21．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BC ＝1，将△ABC 绕点B 旋转180°，点A 落在点A ′处，求AA ′的长度．22．如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并求出C1点的坐标；（2）将△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB2C2，并求出C2点的坐标．23．综合与探究已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠MAN的两边分别与射线CB，DC 相交于点E，F，且∠MAN＝60°．【初步感知】（1）当E是线段CB的中点时（如图1），AE与EF的数量关系为．【深入探究】（2）如图2，将图1中的∠MAN绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜30°），（1）中的结论还成立吗？说明理由．【拓展应用】（3）如图3，将图2中的∠MAN绕点A继续顺时针旋转，当α＝45°时，求点F到BC 的距离．24．如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，D也是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）先在边AB上画点E，使DE∥BC，再在边AC上画点F，使∠DF A＝∠BFC；（2）先将△ABC绕点D逆时针方向旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，再画点A关于直线∁l C的对称点A′．25．在△ABC中，BD是AC边上的高，AD＝3，CD＝2，BD＝3，点M在AD上，且AM＝2，动点P从点A出发向B运动，速度为每秒1个单位长度．连接PM，作点A关于直线PM的对称点A′，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接CP，当CP⊥AB时，求△BCP的面积．（2）当点A在△ABC内部（不包括边缘）时，直接写出t的取值范围：．（3）若动点P从点A出发，沿折线AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度运动，当MA′∥AB时，求t的值．。

2022年春北师大版九年级数学中考二轮复习《旋转型相似》专题综合训练（附答案）一．选择题1．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（）A．AB：AC B．BC：AC C．AB：BC D．AC：AB2．如图，∠1＝∠2＝∠3，AC，DE交于M，图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′、CC′，已知AB＝c，AC＝b，BC＝a，则BB′：CC′等于（）A．c：b B．a：b C．c：a D．b：c5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．B．C．D．3二．填空题7．如图，已知∠1＝∠2，当＝时，△ABC∽△ADE．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连结DM．以DM为直角边作直角三角形DEM，使得∠DEM＝30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F．若△MDF的面积是△MEF面积的倍，则CM的长为．9．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM；④sin∠CPB＝；其中正确的结论有．（写出所有正确结论的序号）．10．如图，AB＝4，AC＝，∠DAB＝∠DBC＝30°，∠BDC＝90°，ED⊥AD交AB于E，则DE的长是．11．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．12．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝．三．解答题13．感知：如图①，点D是等边△ABC的边AB上的一点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，易证BD＝AE（不用证明）；探究：如图②，点D是Rt△ABC的边AB上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，猜想BD与AE的数量关系，并说明理由；应用：在（2）的条件下，当BD＝1，AB∥CE时，则四边形ABCE的面积为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD．（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．15．如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．16．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．17．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE ＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE．（1）如图1，∠AED＝°；（2）连接CE交直线AB于点F，直线CE交BD于点H．①如图2所示，试说明∠DBA＝∠ECA；②设∠ABC＝α，旋转的角度∠CAE＝β（0°＜β＜360°），当α、β满足什么关系时，△BCF 是等腰三角形．19．如图1，P是四边形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，PD，BD，∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝DB，∠APB＝135°．（1）求证：△BCD∽△APD．（2）若P A＝，PB＝．求PC的长．（3）如图2，∠ABD＝∠PCD＝∠APB＝120°，CP＝CD，AB＝DB，请直接写出P A，PB，PC之间的数量关系．20．在正方形ABCD中，将一块直角三角板的直角顶点放在对角线AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AB、BC于D′、E两点．如图1是旋转三角板后所得到图形中的1种情况．（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD′和PE之间有什么数量关系？并结合如图1加以证明；（2）若将三角板的直角顶点放在对角线AC上的M处，且AM：MC＝2：5，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明．21．把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．（1）问：AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？说明理由．（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．22．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，使DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求的值；（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求出的值．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB＝∠C′AC，AB′＝AB，AC′＝AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴＝．故选：A．2．解：∵∠2＝∠3，∠AME＝∠DMC，∴△AME∽△DMC，∴∠ACD＝∠AED，∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴，∠B＝∠ADE，即，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AMD＝∠EMC，∴△AMD∽△EMC．∴图中相似三角形共有4对．故选：B．3．解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，但不能得出DB＝CE，故选：C．4．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，∴BB′：CC′＝AB：AC＝c：b，故选：A．5．解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E，∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，由勾股定理得AC＝2，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故选：C．6．解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠P AQ＝60°，BA＝F A，P A＝QA，∴∠BAP＝∠F AQ，在△BAP和△F AQ中，，∴△BAP≌△F AQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠F AE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝×＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故选：A．二．填空题7．解：添加条件＝后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，又∵＝，∴△ADE∽△ABC．即△ABC∽△ADE．故答案为：．8．解：如图，过点D作DG⊥AC于G，过点E作EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5，∵∠AGD＝∠ACB＝90°，∠DAG＝∠BAC，∴△ADG∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DG＝3，AG＝4，∴CG＝AC﹣AG＝8﹣4＝4，∵△MDF的面积是△MEF面积的倍，∴FM•DG＝×FM•EH，∴DG＝EH，即EH＝DG＝，在Rt△DEM中，∠DME＝90°，∠DEM＝30°，∴＝tan∠DEM＝tan30°＝，∵∠DMG+∠MDG＝90°，∠DMG+∠EMH＝∠DME＝90°，∴∠MDG＝∠EMH，∴△DMG∽△MEH，∴＝，∴＝，∴MG＝1，∴CM＝CG+MG＝4+1＝5，故答案为：5．9．解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∴∠DAC＝∠EAB，∵＝＝，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠PME＝∠AMD，∴△EMP∽△DMA，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∵MP•MD＝MA•ME，∴＝，∵∠AMP＝∠DME，∴△DEM∽△APM，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∵∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠EAC＝180°﹣（∠DAE+∠CAB）＝90°，∴∠EAC＝∠APC，∵∠ACP＝∠ACM，∴△CP A∽△CAM，∴＝，∴CA2＝CP•CM，∴2CB2＝CP•CM，故③正确；设BE与AC相交于点F，∵△BAE∽△CAD，∴∠ACD＝∠ABE，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠CPB＝∠CAB＝45°，∴sin∠CPB＝，故④错误，所以，正确的结论有：①②③，故答案为：①②③．10．解：连接EC，∵∠ADE＝∠BDC＝90°，∠DAB＝∠DBC＝30°，∴，△ADE∽△BDC，∵∠ADB＝∠ADE+∠EDB，∠EDC＝∠BDC+∠EDB，∴∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，∠ABD＝∠ECD，∵∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠DBC+∠ECB+∠EBD＝90°，∴∠BEC＝90°，∵AB＝4，∴EC＝，∵AC＝，∴AE＝＝，∴DE＝AE＝．11．解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案为：①②③12．解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF（SAS），∴AF＝BF，∴AC＝AF+CF＝BF+CF，∵BF＝11cm，CF＝3cm，∴AC＝14cm，故答案为：14cm．三．解答题13．解：探究：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴，即AE＝2BD．应用：∵BD＝1，∴AE＝2BD＝2，∵△BCD∽△ACE，∴∠CAE＝90°，∵AB∥CE，∴∠ACE＝30°，∴CE＝2AE＝4，AC＝，∠BCE＝90°，∴四边形ABCE为直角梯形，且BC＝AC＝，∴AB＝＝3，∴＝．故答案为：．14．（1）证明：由折叠性质得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°，∴∠AEB＝∠EDF；（2）解：如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动，∵sin∠FCB＝＝，∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大，∴BG越大则sin∠FCB的值越大，∵BG≤FB，∴当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，如图3，当点G与点F重合时，则∠BFC＝90°，此时sin∠FCB＝＝＝，∴sin∠FCB的最大值为；（3）证明：如图3，∵AB2＝AE•BC，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠EAB＝90°，∴△ABC∽△EAB，∴∠ACB＝∠EBA，∵∠EBA+∠CBT＝∠ABC＝90°，∴∠BTC＝90°，∴BE⊥AC，∵△BEA沿着BE折叠得到△BEF，∴A、F关于BE对称，∴AF⊥BE，∴点F在线段AC上．15．（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．16．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．17．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．18．解：（1）90°；（2）①由旋转的性质可知，旋转中心为A点，B与D，C与E分别为对应点，∴AB＝AD，AC＝AE，旋转角∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠DBA＝∠ECA；②如图1，BF＝CF，β＝2α，如图2，BC＝BF，β＝180°﹣α，如图3，BC＝CF，β＝360°﹣4α，如图4，BC＝BF，β＝360°﹣α．19．（1）证明：∵∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝BD，∴△PCD与△ABD都是等腰直角三角形，∴∠CDP＝∠BDA＝45°，∴，∴∠CDB＝∠PDQ，∴△BCD∽△APD；（2）解：∵△BCD∽△APD，∴∠APD＝∠BCD，，∴BC＝，∵∠CPD+∠BP A＝45°+135°＝180°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴∠BCD+∠BPC＝180°，∴∠DCP+∠BCP+∠BPC＝180°，∴90°+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∴1＝PC2，∴PC＝（负值舍去），（3）解：，理由如下：如图，过点C作CE⊥PD于点E，则∠CED＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝＝＝30°，∴DP＝2DE，∴cos∠CDE＝cos30°＝，∴，同理，AB＝BD，∠ABD＝120°，∴∠BDA＝30°，，∴，∠BDA＝∠CDP，∴∠PDA＝∠CDB，∴△PDA∽△CDB，∴＝，∠APD＝∠BCD，∴BC＝，∵∠APB+∠CPD＝120°+30°＝150°，∴∠BPC+∠APD＝360°﹣（∠APB+∠CPD）＝360°﹣150°＝210°，∴∠BPC+∠BCD＝∠BPC+∠BCP+∠DCP＝∠BPC+∠BCP+120°，∴∠BPC+∠BCP+120°＝210°，∴∠BPC+∠BCP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∵BC，∴．20．解：（1）连接PB．∵四边形ABCD是正方形，P是AC的中点，∴CP＝PB，BP⊥AC，∠ABP＝∠ABC＝45°，即∠ABP＝∠ACB＝45°，又∵∠FPB+∠BPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，∴∠FPB＝∠CPE，即△PBF≌△PCE，∴PD′＝PE；（2）MD：ME＝2：5．过点M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分别是F、H，则MH∥AB，MF∥BC，即四边形BFMH是平行四边形．∵∠B＝90°，∴▱BFMH是矩形，即∠FMH＝90°，MF＝BH，∵BH：HC＝AM：MC＝2：5，而HC＝MH，∴＝2：5，∵∠DMF+∠DMH＝∠DMH+∠EMH＝90°，∴∠DMF＝∠EMH．因为∠FD＝∠MHE＝90°，∴△MDF∽△MHE，∴＝＝2：5．21．解：（1）AD＝BE；AD⊥BE．由题可得：CE＝CD；CB＝CA；∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AD⊥BE．（2）BE＝AD；AD⊥BE；证明如下：由题可得：CE＝CD；CB＝CA，∴，又∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB∽△DCA，∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC；又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°即：AD⊥BE；（3）结论成立，仍然证△ECB∽△DCA，得到BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，图3：由∠CP A+∠CAP＝90°，得∠BPF+∠CAP＝90°，又∠EBC＝∠CAD∴∠BPE+∠EBC＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE；图4：由题可知：∠CAD+∠BAF＝120°又∠EBC＝∠CAD∴∠BAF+∠EBC＝120°而∠CBA＝30°，∴∠BAF+∠FBA＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE图5：由∠CPB+∠EBC＝90°，得∠APE+∠EBC＝90°，又∠EBC＝∠CAD，∴∠CAD+∠APE＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE．22．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∠OAN＝∠B＝45°；又∵∠BOM＝∠AON＝90°﹣∠AOM，∴△MBO≌△NAO，∴AN：BM＝1：1＝1．（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，则∠NAO＝∠MBO，又∵∠BOM＝90°﹣∠AOM，∠AON＝90°﹣∠AOM∴∠BOM＝∠AON∴△MBO∽△NAO，∴AN：BM＝AO：BO＝tan∠B＝tan60°＝．。

2022年中考数学复习：旋转综合体专项训练1．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度α得到DEC ，点A ，B 的对应点分别是点D ，E ．(1)如图①，当点E 恰好在AC 边上时，连接AD ，求①ADE 的度数；(2)如图①，当60α=时，若点F 为AC 边上的动点，当①FBC 为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明2．综合与实践问题：如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，GF ⊥CD ，垂足为F ．证明与推断(1)①四边形CEGF 的形状是 ；②AGBE的值为 ； 【探究与证明】(2)在图1的基础上，将正方形CEGF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，并说明理由；【拓展与运用】(3)如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF 在旋转过程中，AG 和GE 的位置关系是 ．3．若①ABC ，①ADE 为等腰三角形，AC ＝BC ，AD ＝DE ，将①ADE 绕点A 旋转，连接BE ，F 为BE 中点，连接CF ，DF ．(1)若①ACB ＝①ADE ＝90°，如图1，试探究DF 与CF 的关系并证明； (2)若①ACB ＝60°，①ADE ＝120°，如图2，请直接写出CF 与DF 的关系．4．在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点A ，点)(0),30B m m AOB >∠=︒．以点O 为中心，逆时针旋转OAB ，得到OCD ，点,A B 的对应点分别为,C D ．记旋转角为α．(1)如图①，当点C 落在OB 上时，求点D 的坐标；(2)如图①，当45α=︒时，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点D 的坐标（直接写出结果即可）．5．如图，30HAB ∠=︒，点B 与点C 关于射线AH 对称，连接AC ．D 点为射线AH 上任意一点，连接CD ．将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接BE ．（1）求证：直线EB 是线段AC 的垂直平分线；（2）点D 是射线AH 上一动点，请你直接写出ADC ∠与ECA ∠之间的数量关系．6．已知如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，△BAC=α（α>90︒），F 为BC 中点，D 为BC 延长线上一点，以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转α得到线段AE ，连接CE ，DE ．(1)补全图形并比较△BAD 和△CAE 的大小； (2)用等式表示CE ，CD ，BF 之间的关系，并证明；(3)过F 作AC 的垂线，并延长交DE 于点H ，求EH 和DH 之间的数量关系，并证明．7．一副三角尺（分别含30°，60°，90°和45°，45°，90°）按如图所示摆放，边OB ，OC 在直线l 上，将三角尺ABO 绕点O 以每秒10°的速度顺时针旋转，当边OA 落在直线l 上时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．（1）如图，①AOD ＝ °＝ ′； （2）当t ＝5时，①BOD ＝ °； （3）当t ＝ 时，边OD 平分①AOC ；（4）若在三角尺ABO 开始旋转的同时，三角尺DCO 也绕点O 以每秒4°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO 停止旋转时，三角尺DCO 也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使①AOC ＝2①BOD ，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG①ADG；∠的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（2）求PAG（3）当12∠=∠时，求直线PE的解析式（可能用到的数据：在Rt中，30°内角对应的直角边等于斜边的一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，等腰Rt①ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CD=．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR①BC交射线BA于点R，连接DR，RF．（1）依题意补全图形；（2）求证：①BDE①①RDF；（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有①BPF为定值，并证明．10．在①ABC中，AB＝AC，①BAC＝90°，D为平面内的一点．（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝2，且①BAD＝30°，AD＝；（2）如图2，当点D在①ABC的外部，且满足①BDC﹣①ADC＝45°，求证：BD AD；（3）如图3，若AB ＝4，当D 、E 分别为AB 、AC 的中点，把①DAE 绕A 点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°）直线BD 与CE 的交点为P ，连接P A ，直接出①P AB 面积的最大值 ．11．已知：①ABC 为等边三角形，且AB ＝4，点D 在直线BC 上运动，线段DA 绕着点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE 和BE ，直线AE 交直线BC 于点F ． （1）如图，当点D 在点C 左侧时，求证：CD ＝BE ；（2）若①ABC 的面积等于①ABF 面积的4倍，直接写出线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，若点E 关于直线AD 的对称点为点G ，连接DG 交线段AC 于点M ，DE 交线段AB 于点N ，连接MN ，直接写出线段MN 的长．12．已知在①ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ＝（1）如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，直接写出点B ，C 的坐标； （2）如图2，过点C 作①MCN ＝45°交AB 于点M ，N ，且AM =1，求MN 的长度；（3）如图3，过点C 作①MCN ＝45°，当点M ，N 分布在点B 异侧时，线段AM ，BN 和MN 满足怎样的数量关系？并给予证明．13．如图，在①ABC 中，AC ＝ BC ，①ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ①BD 于E ．（1）求证：①CAE ＝①CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；①用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．14．把两个等腰直角ABC 和ADE 按如图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0360α︒<<︒）．（1）如图1，BD 与EC 的数量关系是___________，BD 与EC 的位置关系是___________；（2）如图2，（1）中BD 和EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．（3）如图3，当点D 在线段BE 上时，BEC ∠=___________． （4）当旋转角α=__________时，ABD △的面积最大．15．如图，在Rt ①ABC 中，BC ＝4，AC ＝2，①ACB ＝90°，矩形BDEF 的边BF ＝1，BD ＝2，矩形BDEF 可以绕点B 在平面内旋转，连接AE 、BE 、CD ． （1）证明：①ABE ①①CBD ；（2）当A 、E 、F 三点共线时，求CD 的长；（3）设AE 的中点为M ，连接FM ，直接写出FM 的最大值．16．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点A 的坐标为()5,0，点B 的坐标为()0,3，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图①，当点D 落在线段BE 上时，连接AB ，AD 与BC 交于点H ． ①求证：ADB AOB ≅△△； ①求点H 的坐标．（3）点K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE 得面积，直接写出S 的取值范围．17．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6,8,10PA PB PC ===，若将PAC △绕点A 顺时针旋转后得到P AB '△，（1）求旋转角的度数；（2）求点P 与点P '之间的距离； （3）求APB ∠的度数．18．如图在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y 34=-x +b 分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，OA ＝4，①OBA 的外角平分线交x 轴于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）点P 是线段BD 上一点（不与B 、D 重合），过点P 作PC ①BD 交x 轴于点C ，设点P 的横坐标为t ，△BCD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC 的延长线交y 轴于点E ，当PC ＝PB 时，将射线EP 绕点E 旋转45°交直线AB 于点F ，求F 点坐标．19．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为对角线AC 上一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60︒，点E 的对应点为F ，连接BE ，AF ，CF ．（1）求证：B ，C ，F 三点共线；（2）若点G 为BE 的中点，连接AG ，求证：2AF AG =．20．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，△BCD=α°，△ABC+△ADC=180°，AC、BD交于点E．将△CBA 绕点C顺时针旋转α°得到△CDF（点B、A的对应点分别为点D、F）．（1）画出旋转之后的图形（不要求写画法，保留画图痕迹）；（2）求证：△CAB=△CAD；（3）若△ABD=90°，AB=3，BD=4，△BCE的面积为1S，△CDE的面积为2S，求1S:2S的值．参考答案：1．解：①将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到①DEC，E点在AC上，①CA=CD，①ECD=①BCA=30︒，(180︒−30︒)=75︒，①①CAD=①CDA=12又①①DEC=①ABC=90︒，①①ADE=90°-75︒=15︒；(2)①FBC=30︒时，四边形BFDE为平行四边形，①①FBC=①ACB=30︒，①①ABF=①A=60︒，①BF=CF=AF，①ABF是等边三角形，①BF=AB，①将ABC绕点C顺时针旋转60︒得到DEC，①DE=AB，BCE是等边三角形，①DEC=①ABC=90︒，①①CBE=①BEC=60︒，①①EBF=①EBC-①FBC=30︒，①①DEB+①EBF=180︒，①DE=BF，//DE BF，①四边形BFDE为平行四边形．2．①正方形；．理由：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∠BCA ＝45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG ＝∠CFG ＝∠ECF ＝90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE ＝∠ECG ＝45°，∴EG ＝EC ，∴四边形CEGF 是正方形，∵AC BC ,，∴AG ＝AC ﹣CGBC ﹣EC ，∴AG BE(2)结论：AG ，理由：如图2中，连接CC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC由①得四边形GECF 是正方形，∴∠GEC ＝∠ECF ＝90°，GE ＝EC ，∴△EGC 为等腰直角三角形．∴CG CE∴AC CG BC EC=∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CG BE EC∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG ；(3)如图3中，连接CG ，∵∠CEF ＝45°，点B 、E ，∴∠BEC ＝135°．∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°．∴∠AGF ＝∠AGC +∠CGF ＝135°+45°＝180°，∴点A ，G ，F 三点共线，∴∠AGE ＝∠AGF ﹣∠EGF ＝180°﹣90°＝90°，∴AG ⊥GE ，故答案为：AG ⊥GE ．3．(1)DF =CF 且DF ①CF ；延长CF 至点M ，使CF =FM ，连接ME ，MD ，CD ，延长DE 交CB 延长线于点N ，如图1，①BF=EF，CF=FM，①BFC=①EFM，①①BFC①①EFM（SAS），①EM=BC=AC，①FME=①FCB，①BC①EM，①①N=①MEN，在四边形ACND中，①ACB=①ADE=90°，①①N+①CAD=360°-（①ACB+①ADE）=180°，又①①MEN+①MED=180°，①①MED=①CAD，又AD=DE，EM=AC，①①MED①①CAD（SAS），①DM=DC，①MDE=①CDA，①①MDC=①NDC+①MDE=①NDC+①CDA=①ADE=90°，①①DCM为等腰直角三角形，①点F是CM中点，CM=CF，DF①CF；①DF=12(2)DF①CF且CF；延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，如图2，①BF=EF，CF=FM，①BFC=①EFM，①①BFC①①EFM（SAS），①EM =BC =AC ，①FME =①FCB ，①BC //EM ，①①N =①NER ，①①ACB =60°，①①ACN =120°，①①ADE =120°，①①ADN =60°，①①N +①CAD =360°-（①ACN +①ADN ）=180°，①①DER +①DEM =180°，①①DEM =①CAD ，又 AD =DE ，EM =AC ，①①MED ①①CAD （SAS ），①DM =DC ，①MDE =①CDA ，①①DCM 为等腰三角形，①①CDM =①ADE =120°，①F 是CM 的中点，①DF ①CF①60CDF ∠=︒①30DCF ∠=︒①CD =2DE由勾股定理得，222CE DE CD +=①2224CE DE DE +=解得，CF （负值舍去）①DF ①CF 且CF ．4．(1)如图，过点D 作DE OA ⊥，垂足为E ．① 0A ，B m ）0m （＞），① AB OA ⊥，OA =AB m =．① 30AOB ∠=︒，① 22OB AB m ==．在Rt OAB 中，由222OA AB OB +=，得2234m m +=．解得1m =．① 1AB =，2OB =．① OCD 是由OAB 旋转得到的，① 2OD OB ==，30DOC AOB ∠=∠=︒．① 60DOE DOC BOA ∠=∠+∠=︒．① 9030ODE DOE ∠=︒-∠=︒．① 112OE OD ==． 在Rt OED 中，DE =① 点D 的坐标为（．(2)如图，过点C 作CT OA ⊥，垂足为T ．由已知，得45COT ∠=︒．① 9045OCT COT ∠=︒-∠=︒．① OT CT=．① OCD是由OAB旋转得到的，① OC OA==在Rt OTC△中，由222T TO C OC+=，得OT CT=① 点C的坐标为．(3)如图①中，过点D作DJ①OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．①①DOC=30°，①COT=45°，①①DOJ=75°，①①ODJ=90°-75°=15°，①KD=KO，①①KDO=①KOD=15°，①①OKJ=①KDO+①KOD=30°，①OK=DK=2m，KJ，①OD2=OJ2+DJ2，①22=m2+（2m）2，解得m=，①OJ DJ①D⎫⎪⎪⎝⎭．5．（1）证明：连接AE，DB，CB①点B 与点C 关于射线AH 对称，30HAB ∠=︒ ①CD BD =，AC AB =①30HAB HAC ∠∠==︒①260CAB HAC ∠∠==︒①ABC 为等边三角形，60ACB ∠=︒ ①60DCE ∠=︒①DCE ACD ACB ACD ∠∠∠∠-=- ECA DCB ∠=∠①在ECA △和DCB 中，EC DC ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()ECA DCB SAS ≅△△①BD EA =①DC BD EC ==，①AE EC =又AB BC =①EB 垂直平分AC（2）分两种情况来讨论：第一种情况，如图，当点D 在ABE △内部时：①点B 与点C 关于射线AH 对称，①90CFA ∠=︒①90ADC CFA DCB DCB ∠=∠+∠=︒+∠ ①ECA DCB ∠=∠①90ADC ECA ∠=︒+∠第二种情况，如图，当点D 在ABC 外部时： ①点B 与点C 关于射线AH 对称，①90CFA ∠=︒①90ADC CFA DCB DCB ∠=∠-∠=︒-∠ ①ECA DCB ∠=∠①90ADC ECA ∠=︒-∠6．如图，即为补全的图形，根据题意可知BAC DAE α∠=∠=，①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠．(2)由旋转可知AD AE =，①在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()BAD CAE SAS ≅，①BD CE =．①BD BC CD =+，①CE BC CD =+．①点F 为BC 中点，①2BC BF =，①2CE BF CD =+，即2CE CD BF -=．(3)如图，连接AF ，作AN DE ⊥，①AB=AC ，F 为BC 中点，①90AFD ∠=︒，12FAB FAC α∠=∠=． 根据作图可知90AND ∠=︒，①180AFD AND ∠+∠=︒，①A 、F 、D 、N 四点共圆，①AFN ADN ∠=∠．①AD AE =，AN DE ⊥，①EN DN =，11(180)9022AFN ADN DAE α∠=∠=︒-∠=︒-． ①11909022AFN FAC αα∠+∠=︒-+=︒． ①90AFH FAC ∠+∠=︒，且点H 在线段DE 上，①点H 与点N 重合，①EH DH =．7．（1）①180AOD AOB COD ∠=︒-∠-∠，3045AOB COD ∠=︒∠=︒，，①10510560=6300AOD '∠=︒=⨯．故答案为：105，6300；（2）当5t =时，即三角尺ABO 绕点O 顺时针旋转了51050⨯︒=︒，如图，ABO 即为旋转后的图形．由旋转可知50BOM ∠=︒，①180180455085BOD COD BOM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为85；（3）当三角尺绕点O 顺时针旋转到如图所示的ABO 的位置时，边OD 平分①AOC ．①224590AOC COD ∠=∠=⨯︒=︒，①90AOM ∠=︒①90903060BOM AOB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ①60610t ==； 故答案为：6；（4）①当边OA 落在直线l 上时停止运动时， ①180150=1510t -≤． 当OA 和OC 重合时，即有10418030t t +=︒-︒， 解得：757t =． ①当757t ≤时，1801030415014AOC t t t ∠=︒--︒-=︒-， 当757t >时，1030418014150AOC t t t ∠=+︒+-︒=-︒． 当OB 和OD 重合时，即有10418045t t +=︒-︒， 解得：13514t =①当13514t ≤时，1801045413514BOD t t t ∠=︒--︒-=︒-， 当13514t >时，1045418014225BOD t t t ∠=+︒+-︒=-︒． ①可根据2AOC BOD ∠=∠分类讨论，①当13514t ≤时，有15014=2(13514)t t ︒-︒-， 解得：607t =，符合题意； ①当13575147t <≤时，即有150142(14225)t t ︒-=-︒ 解得：1007t =，符合题意； ①当757t >时，即有141502(14225)t t -︒=-︒解得：150157t =>，不符合题意舍； 综上，可知当607t =或1007t =时，2AOC BOD ∠=∠． 8．（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO AD AG AG=⎧⎨=⎩ ①AOG ①ADG （HL ）．（2）在Rt ①ADP 和Rt ①ABP 中，AD AB AP AP=⎧⎨=⎩ ΔΔADP ABP ∴≅（HL ）， 则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠；又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒，PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+．（3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠，又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；∴在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+∴222(2)3OG OG =+ 解得OGG ∴点坐标为0)，3CG =在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+∴222(2)CG CG PC =+， ∴3PC =，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．①如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，GM ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．9．（1）如图，（2）DR ①BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD ∴是等腰直角三角形BD DR ∴=∴①BDE ①①RDF ；（2）如图，当24PB AB ==时，使得对于任意的点D ，总有①BPF 为定值，证明如下，ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==BC ∴=DC =设DE a =，则CD =，①BDE ①①RDF ,DR BD ∴==，FR BR a == ABC 是等腰直角三角形，45EBD ∴∠=︒DR BC ⊥45BRD ∴∠=︒BDR ∴是等腰直角三角形，42BR a ∴==-()4422PR BP BR a a ∴=-=--=①BDE ①①RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值10．证明：（1）如图1，将①ABD 沿AB 折叠，得到①ABE ，连接DE ，①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①①ABC ＝45°，①将①ABD 沿AB 折叠，得到①ABE ，①①ABD ①①ABE ，①AE ＝AD ，BE ＝BD ，①ABE ＝①ABD ＝45°，①BAD ＝①BAE ＝30°，①①DBE ＝90°，①DAE ＝60°，且AD ＝AE ，BE ＝BD ，①①ADE 是等边三角形，DE =，①AD ＝DE =故答案为：（2）如图2，过点A 作AE ①AD ，且AE ＝AD ，连接DE ，①AE ①AD ，①①DAE ＝①BAC ＝90°，①①BAE ＝①DAC ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，①①BAE ①①CAD （SAS ）①①ACD＝①ABE，①①ACD+①DCB+①ABC＝90°，①①DCB+①ABC+①ABE＝90°，①①BOC＝90°，①AE＝AD，AE①AD，①DE=，①ADE＝45°，①①BDC﹣①ADC＝45°，①①BDC＝①ADC+45°＝①EDC，且DO＝DO，①DOB＝①DOE＝90°，①①DOB①①DOE（ASA）①BD＝DE，①BD=；（3）如图3，连接PC交AB于G点①①DAE绕A点旋转①AD=AE，AB=AC,①①DAE=①BAC=90°①①DAB=①EAC①①DAB①①EAC①①DBA=①ECA①①PGB=①AGC①①BPC=①GAC=90°①①BPC为直角三角形①点P在以BC中点M为圆心，BM为半径的圆上，连接PM交AB所在直线于点N，当PM①AB时，点P到直线AB的距离最大，①①BAC=90°①A 、P 、B 、C 四点共圆①PM ①AB ，①N 是AB 的中点①M 是BC 的中点①MN =122AC = ①AB ＝AC ＝4，①CB =22442，①BM =PM =12BC =，①PN ＝2 ，①点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：PN ＝2 ． ①①P AB的面积最大值为12AB ×PN ＝4． 11．（1）证明：ABC 是等边三角形60,BAC AB AC ∴∠=︒=线段DA 绕着点D 顺时针旋转60°得到线段DE ， 60,DAE DA DE ∴∠=︒=ADE ∴是等边三角形DAC DAE CAE BAC CAE EAB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠ 即DAC EAB ∠=∠∴ADC AEB △≌△∴CD BE =（2）ABC 是等边三角形，AB ＝4，则60BAC ∠=︒过点A 作AM BC ⊥，则1302BAH BAC ∠=∠=︒ Rt ABH 中，122BH AB ==AH ∴=142ABC S ∴=⨯⨯△①ABC 的面积等于①ABF 面积的4倍ABF S ∴=△11sin 60422ABF S BF AB =⋅⨯︒=⨯=△ 1BF ∴= ①当F 点在B 点的左侧时，如图，60ACB ABC ∠=∠=︒120ACD ∴∠=︒ADC AEB △≌△ADC AEB ∴∠=∠，BE DC =60ABC ∠=︒60EBF ABE ABC ∴∠=∠-∠=︒60FBE FCA ∴∠=∠=︒又AFC EFB ∠=∠AFC EFB ∴∽FB BE FC AC∴= 4,1AC BC AB BF ====413FC ∴=-=14433FB AC BE FC ⋅⨯∴=== 43CD EB ∴==①当F 点在B 点的右侧时，如图，ADC AEB △≌△60ACD EBA ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒18060EBF ABC ABE ∴∠=︒-∠-∠=︒BE AC ∴∥FEB FAC ∴∽FB BE FC AC∴= 1,4,145FB AC FC BC BF ===+=+=45FB AC BE FC ⨯∴== 45CD EB ∴==综上所述CD 的长为43或45（3）如图，点E 关于直线AD 的对称点为点G ，ADE 是等边三角形60ADE ADG ∴∠=∠=︒，AE AD =AEN ADM ∴∠=∠60=︒60,60MAD DAB CAB EAB DAB DAE ∠+∠=∠=︒∠+∠=∠=︒MAD NAE ∴∠=∠MAD NAE ∴=AM AN ∴=60MAN ∠=︒AMN ∴是等边三角形MN AN ∴=由（2）可得45BE =，FEB FAC ∽ 445525EF BF BF AF FC BC BF ∴====+过点A 作AH BC ⊥，则AH =,2CH HB ==，3HF HB BF =+=AF ∴=425EF AF ∴==AE AF EF ∴=-==60,ABE AEN EAB NAE ∠=∠=︒∠=∠∴BEA ENA ∽BE BA EN EA∴= 则BE EA EN BA ⨯=60,ADN ABE AND ENB ∠=∠=︒∠=∠ADN EBN ∴∽AD AN EB EN∴= 即AN EB EN AD ⨯= BE EA AN EB BA AD ⨯⨯∴= EA AD AN AB⨯∴=AE AD =,4AB =2926142500AN ⎝⎭∴== 即92612500MN =12． 解：（1）如图1，过点C 作CD ①x 轴于D ，①在①ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC＝①4AB = ，①点B （4，0），①CD ①AB ，①AD ＝CD ＝12AB ＝12×4＝2，①点C 的坐标为（2，2）；（2）如图，把①ACM 绕点C 逆时针旋转90°得到①BCM ′，连接M ′N ，①90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，①①ABC 是等腰直角三角形，①①CAB ＝①CBA ＝45°，由旋转的性质得，45AM BM CM CM CAM CBM ACM BCM '''==∠=∠=︒∠=∠'、、，，①454590M BN ABC CBN ∠'=∠+∠'=︒+︒=︒ ，①①MCN ＝45°，①90904545M CN BCN BCM BCN ACM MCN ∠'=∠+∠'=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ ， ①MCN M CN ∠=∠' ，在①MCN 和①M ′CN 中，①CM CM MCN M CN CN CN ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①MCN M CN SAS '≌（）， ①MN M N =' ，在Rt M NB ' 中，222BM BN M N +='' ，①222AM BN MN += ，1AM =，①3MN BN AB AM +=-=，1BM '= ，设MN x =，则BN =3x -，()22213-x x ∴+=，解得：53x =， 53MN ∴=； （3）AM 2+BN 2＝MN 2，证明如下：如图3，把①BCN 绕点C 顺时针旋转90°得到ACN ' ，①90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，①①ABC 是等腰直角三角形，①①CAB ＝①CBA ＝45°，由旋转的性质得，135AN BN CN CN CAN CBN '='=∠'=∠=︒，， ， ①1354590MAN ∠'=︒-︒=︒，①点N '在y 轴上，①①MCN ＝45°，①904545MCN ∠'=︒-︒=︒，①MCN MCN ∠=∠' ，在①MCN 和①MCN ′中，①CN CN MCN MCN CM CM =''⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()MCN MCN SAS ≅' ，①MN MN =' ，在Rt AMN ' 中，222AM AN MN +''= ，①222AM BN MN +＝ ．13．（1）如图1，①90ACB ∠=︒，AE BD ⊥，①90ACB AEB ∠=∠=︒，又①12∠=∠，①CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；①EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又①AC CB =，CAE CBD ∠=∠，①ΔΔACM BCE ≌，①CM CE =，ACM BCE ∠=∠，又①90ACB ACM MCB ∠=∠+∠=︒，①90MCE BCE MCB ∠=∠+∠=︒，①ME =，又①射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且90AEF ∠=︒，①EF AE AM ME BE ==+=.14．解：（1）如图：BD 与EC 的数量关系是相等，理由如下：,AB AC AD AE ==，AB AD AC AE ∴-=-，BD EC ∴=；BD 与EC 的位置关系是垂直，理由如下：AB AC ⊥， 又点,D E 分别在,AB AC 上，BD EC ⊥；（2）成立：理由分别如下：如图：根据旋转的性质可得：,,AD AE AB AC BAD CAE ==∠=∠， ()ABD ACE SAS ∴≌，BD EC ∴=，作BD 的延长线交EC 于点F ，交AC 于点G ，如下图：由ABD ACE SAS △≌△()可知，ABD ACE ∠=∠，AGB FGC ∠=∠，AGB FGC ∴∽，90GAB GFC ∴∠=∠=︒，GF CF ∴⊥，即BD EC ⊥；（3）当点D 在线段BE 上时，90BAD BAC DAC DAC ∠=∠-∠=︒-∠，90CAE DAE DAC DAC ∠=∠-∠=︒-∠，BAD CAE ∴∠=∠，又AB AC =，AD AE =，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆，180135ADB AEC ADE ∴∠=∠=︒-∠=︒，451354590BEC AEC ∴∠=∠-︒=︒-︒=︒；（4）由题意知，点D 的轨迹在以A 为圆心，AD 为半径的圆， 在ABD ∆中，当AB 为底时，点D 到AB 的距离最大时，ABD ∆的面积最大， 故如图所示，当AD AB ⊥时，ABD ∆的面积最大，∴旋转角为90︒或270︒，故答案为：90︒或270︒．15．解：（1）在Rt ①ABC 中，BC ＝4，AC ＝2，①ACB ＝90°，AB ∴=在Rt ①BDE 中，BF ＝1，BD ＝2，BE ∴=121tan ,tan 242ED AC EBD ABC BD BC ∴∠==∠=== EBD ABC ∴∠=∠EBD ABD ABC ABD ∴∠-∠=∠-∠ABE CBD ∴∠=∠24AB BE BC BD ===∴①ABE ①①CBD ；（2）当A 、E 、F 三点共线时，分两种情况讨论： ①90AED ∠=︒，如图，在Rt ①AFB 中，222AB BF AF =+21(2)20AE ∴++=2(2)19AE ∴+=2AE ∴=①ABE ①①CBDAE CD ∴=CD ∴= ①如图，90AFB ∠=︒在Rt ①AFB 中，22220119AF AB BF =-=-=AF ∴=2AE AF EF ∴=+=EBD ABC ∠=∠90EBF ABC ∴∠+∠=︒EBF ABC FBC DBF FBC ∴∠+∠+∠=∠++∠24AB BE BC BD ===∴①ABE ①①CBDAE CD ∴=CD ∴=综上所述，CD =CD =（3）如图，延长EF 至点G ，使得EF =FG ，连接BG ，此时①BEG 是等腰三角形， 当G B A 、、三点共线，此时FM 最大//BD GEG DBA ∴∠=∠9090180DBA FBD GBF G FBD GBF ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒， 此时，G B A 、、三点共线，F M 、分别是BE 、AE 的中点，FM ∴是①EGA 的中位线，111==()222FM AG AB BG ∴+==16．解：（1）如图①中，(5,0)A ，(0,3)B ，5OA ∴=，3OB =，四边形AOBC 是矩形，3AC OB ∴==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，5AD AO ∴==，在Rt ADC 中，4CD ，1BD BC CD ∴=-=，(1,3)D ∴．（2）①如图①中，由四边形ADEF 是矩形，得到90ADE ∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由（①）可知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，()Rt ADB Rt AOB HL ∴≌．①如图①中，由ADB AOB ∆≅∆，得到BAD BAO ∠=∠，又在矩形AOBC 中，//OA BC ，CBA OAB ∴∠=∠，BAD CBA ∴∠=∠，BH AH ∴=，设AH BH m ==，则5HC BC BH m =-=-，在Rt AHC 中，222AH HC AC =+，2223(5)m m ∴=+-，175m ∴=， 175BH ∴=， 17(5H ∴，3)． （3）如图①中，当点D 在线段BK 上时，DEK ∆的面积最小，最小值113(522DE DK ==⨯⨯=当点D 在BA 的延长线上时，①D E K ''的面积最大，最大面积113(522D E KD =⨯''⨯'=⨯⨯=． 17．解：（1）∵P AB ∆'由PAC ∆绕点A 旋转得到，∴P AB PAC ∆≅∆'，∴P AB PAC ∠=∠'，P A PA '=，∵60BAC PAC PAB ∠=∠+∠=︒，∴60P AB PAB ∠+∠='︒，即：60P AP ∠='︒，∴旋转角度数为60︒；（2）如图所示，连接P P '，∵60P AP ∠='︒，P A PA '=，∴P AP ∆'为等边三角形，∴6P P PA '==,即点P 与点P '之间的距离为6；（3）在P PB ∆'中，由（1）得：10P B PC ='=，6P P '=，8PB =，∴222P B P P PB ''=+，∴P PB ∆'为直角三角形，∴90P PB ∠='︒，由（1）得60APP ∠='︒，∴150APB P PB APP ∠=∠+='∠'︒，∴APB ∠的度数为150︒．18．（ 1 ）①OA ＝4，①A （4，0），把A （4，0）代入34y x b =-+， 得：b ＝3，过点D 作DH ①AB 于点H ，则DH ＝DO ，BH ＝BO ，①当x ＝0时，y ＝3，①B （0，3），①OA ＝4，BO ＝BH ＝3，在Rt OAB 中，①5AB ，AD ＝DO +OA ＝DH +4， ①1122ABD S AD OB AB DH =⋅⋅=⋅⋅， ①()1143522DH DH ⨯+⨯=⨯⋅， 解得：DH ＝6，①OD ＝6，①点D 的坐标为（﹣6，0），（2）过点P 作PE ①OD 于点E ，则△DPE ①①DBO ，①点P 在直线BD 上，且点P 的横坐标为t ，①DE ＝t +6，①OD ＝6，OB ＝3，在Rt OBD △中，BD ==①①DPE ①①DBO ， ①DP DE DB DO =，66t +，解得：)6DP t =+， ①PC ①BD ， ①①PDC ①①ODB ， ①PC DP OB OD=，①)6236t PC +=，①)6PC t =+，①)()1115154566=22884BCD S BD PC t t t =⋅⋅=⨯+=++； （3）作PH 垂直于x 轴于点H ，设射线EP 绕点E 逆时针旋转45°交x 轴于点K ，顺时针旋转45°交x 轴于点G ．①①BPC ＝90°，①BOC ＝90°①B ，P ，C ，O 四点共圆，①PC PB =,①45PCB PBC ∠=∠=︒，①①POC ＝①PBC ＝45°，①90PHO ∠=︒,①45HPO POC ∠=∠=︒,①PH ＝HO ，①DH ＝6﹣HO ＝6﹣PH ，①DHP DOB ∽, ①663PH DO PH BO -==， 得PH ＝2，①HC ＝CO ＝1，①OE ＝2，①点(0,2)E -,①①KEP ＝①DBC ，①PEB ＝①BDC ，①①KEP +①PEB ＝①DBC +①BDC ，即①KEO ＝①BCO ，①OE ：GK ＝CO ：BO ＝1：3，①GK ＝6，①K （﹣6，0），设直线KE 的解析式为：y kx b =+，则62y k b b =-+⎧⎨-=⎩，解得：132k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，， ①直线KE 为：y 13=-x ﹣2， 联立方程组：123334y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得x ＝12，y ＝﹣6，①F 1（12，﹣6），①①KEP +①PEG ＝90°，①①DEG ＝90°，①①OEG ＝①ODE ，①OG ：OE ＝OE ：OD ＝1：3，①OG 23=； ①G （23，0）， 设直线EG 的解析式为：y mx n =+， 则20=32m n n⎧+⎪⎨⎪-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩， ①直线EG 的解析式为：y ＝3x ﹣2， 联立方程组：32334y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得x 43=，y ＝2， ①F 2（43，2）， 综上所述：F 的坐标为（12，﹣6）或（43，2）． 19．证明：（1）①四边形ABCD 是菱形，①ABC ＝60°， ①AB ＝BC ＝AD ＝CD ，①ADC ＝①ABC ＝60°，①①ADC 是等边三角形，①AD ＝AC ＝AB ＝BC ，①①ACB 是等边三角形，①①ACB ＝①ACD ＝60°，①①ADC ＝①EDF ＝60°，①①ADE ＝①CDF ，①将线段DE 绕点D 逆时针旋转60︒，点E 的对应点为F ， ①DE DF =,在①ADE 和①CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADE ①①CDF （AAS ），①60DCF DAE ∠=∠=︒,①180DCF BCD ∠+∠=︒，①B ，C ，F 三点共线；（2）如图，过点B 作BH ①AC ，交AG 的延长线于点H ，①BH ①AC ，①①H ＝①GAE ，①ABH ＋①BAC ＝180°，①①ABH ＝120°＝①ACF ，①点G 为BE 的中点，①BG ＝GE ，在①AGE 和①HGB 中，H GAE AGE BGH BG GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AGE ①①HGB （AAS ），由（1）得AE CF =,①AE ＝BH ＝CF ，AG ＝GH ＝12AH ，在①ABH 和①ACF 中，AB AC ABH ACF BH CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABH ①①ACF （SAS ），①AF ＝AH ，①AF ＝2AG ．20．（1）如图①CDF 即为旋转之后的图形；（2）证明：由旋转旋转可知：①CAB ①①CFD ，①①CDF =①CBA ，①F =①CAB ，CA =CF ，①①CBA +①CDA =180°，①①CDF +①CDA =180°，①A 、D 、F 三点共线，①AC =CF ，①①F =①CAD ，①①CAB =①CAD ；（3）过点E 作EM ①AF 于点M ，过点C 作CN ①BD 于点N ， ①①ABE =①AME =90°，在①ABE 和①AME 中，EAB EAM ABE AME AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ①①ABE ①①AME （AAS ），①AM =AB =3，BE =ME ，①①ABD =90°，AB =3，BD =4，①5AD ==,①DM =2，设BE EM x ==，则4DN x =-,①()222x 24x +=-，解得 1.5x =，①BE =1.5，DE =2.5， ①12113::225S S BE CN DE CN =⋅⋅=.。