- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量，其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在？
30
二、常用分布的数学期望
1） 单点分布
E c
2）两点分布
E p
3）二项分布 ~ B(n, p) E np
4）普阿松分布 ~ P( ) 5）几何分布 ~ G( p)
2）几何分布的无记忆性
定理：设 服从几何分布 G( p) ，m为任意整数，则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注：背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2，3 1
定义1：设（, F, P）是概率空间, =()是 定义在上的实值函数， 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2（离散型随机变量）
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为：
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立？为什么？
19
§2.3 随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数
问题：已知随机变量的分布，令=f(), 求的分布。 定理1 设是(，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 可测函数，则=f()也是(，F，P)上的的一个随机量.
方法： Ci {(a j , bk ) : f (a j , b) ci }
P( ci ) P{( ,) Ci }
P{ a j , bk }
(a j ,bk )Ci
24
例3（，）的分布列如下表：
1 1 2
526
1 20 20 20
2
331
20 20 20
求 ， ，max( ,)的概率分布
表格形式：
y1 y2 y j
x1
p11 p12 p1 j
x2
p21 p22 p2 j
xi
pi1 pi2 pij
11
3. 二维联合分布列的性质
10 非负性 pij 0 (i, j 1,2,) 20 正则性 pij 1
ij
4. 二维随机变量的边际分布
基本性质
称一维随机变量 ,的概率分布为( ,)关于 ,的边际分布。
定义1 设 1,2是,样,本n 空间上的n个离散型随 机变量，则称n维向量(1,2,是,n上) 的一个n维离散型随
机变量或n维随机向量。
二维随机向量( ,)
2. 联合分布
10
定义2 设 ( ,是)一个二维离散型随机变量， 称 P( xi , y j ) pij i, j 1,2,
( ,)的联合分布（列）。
(3)
i 1
Eg( , ) g( xi , y j ) pij (4)
i1 j1
40
3.数学期望的性质
1) Ec c
2) E(k ) kE
n
n
3）E( i ) E(i )
i 1
i 1
4）E(12n ) E1 E2En
1， ， n独 立
41
例10 某人有一笔资金，可投入两个项目：房产 和商业，其收益都与市场状态有关. 若把未来市场 划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2、 0.7、0.1.通过调查，该投资者认为投资于房产的收益X （万元）和投资于商业的收益Y （万元）的分布分别为：
P( xi ) pi
(i 1,2,)
称为随机变量的分布列（分布律）
表示为：
x1 x2
P p1 p2
xi pi
或：
x1 p1
x2 p2
xi pi
3
例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，
装配仪器时，从这批元件任取一只，如果是废品，
扔掉再取，直到取出正品，令表示取出正品之前
34
问题2：已知(,)的联合分布:
P( xi , y j ) pij i, j 1,2,
求： g( , ) 的数学期望
公式：Eg( , )
g( xi , y j ) pij
(3)
i 1 j1
35
例6 设 ( ,)服从二维两点分布，分布列为：
0
1
0
p
0
10
q
求：E() E( )
36
四、二维随机变量的数学期望
32
三、随机变量函数的数学期望
问题1：已知随机变量的分布列
p{ xi } pi , i 1,2,
求： g( ) 的期望
公式： E Eg( ) g( xi ) pi
(2)
i 1
33
例5 设的分布列为：
2 1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求 E E( 2) E 2
P( xi ) pij pi
j1
P( y j ) pij p j
i 1
i 1,2, j 1,2,
12
求边际分布的方法：
y1 y2 y j
pi .
x1
p11 p12 p1 j
p1
x2
p21 p22 p2 j
p2
xi
pi1 pi2 pij
pi
p. j
p.1 p.2 p.j
求证： ~ B(m n, p)
例5 设随机变量 ,相互独立，且 ~ P(1), ~ P(2)
求证： ~ P(1 2 ) 注： 以上两个体的结论都可以当成定理使用。
27
§2.4 数学期望的定义及性质
一、数学期望的定义
引例1 （分赌本问题）17世纪中叶，一位赌徒向法国数 学家帕斯卡提出了一个是他苦恼已久的分赌本问题 ：甲， 乙两赌徒赌技相同，各出赌资50法郎，每局中无平局，他 们约定谁先赢三局，则得全部赌资100法郎，当甲赢了二 局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如 何分才算公平？
5
p. j
2 5
3
51
例3 教材 例2.7
例4 教材 例2.8
17
二、随机变量的独立性
定义4 设 ( ,的 )联合分布为
P( xi , y j ) pij i, j 1,2, 若： P( xi , y j ) P( xi )P( y j ) i, j
则称随机变量，是相互独立的。
18
13
例1 设随机变量X在1，2，3，4 四个数中等可能 地取值，另一个随机变量 Y 在1至X中等可能地取一 整数值。试求（ X ， Y） 的联合分布律。
Y X
1
2
3
4
1
1/4
0
0
0
2
1/8
1/8
0
0
3
1/12 1/12
1/12
0
4
1/16 1/16
1/16
1/16
14
例2 袋中装有2只白球与3只黑球，现分别进行有放 回和不放回地摸球，每次摸一球，设，分别表示 第一，二次摸出的白球数，求（，）的联合分布 和边际分布。 解：可能的取值为（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）
22
例1 已知的分布列为：
2 1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求
2
sin(
)
1
的分布列
2
例2 教材例2.11
23
三、二维离散型随机变量函数的分布
问题2：已知随机变量(,)的分布列为:
P( xi , y j ) pij i, j 1,2,
求 f (，)的概率分布
例9 一次掷10枚骰子，求所得总点数的数学期望。
39
【数学期望】
1.定义
一维： E ˆ xi pi
(1)
i 1
二维： E( , ) ˆ（E , E )
E xi pij xi pi
ij
i
E y j pij y j p j（2）
ij
j
2.函数的期望
Eg( ) g( xi ) pi
25
P
5/ 20 2/ 20 6/ 20 3/ 20 3/ 20 1/ 20
( , ) (1,1) (1,1) (1,2) (2,1) (2,1) (2,2)
2 0 1 1 3 4 0 2 3 3 1 0
max( ,) 1 1 2 2 2 2
26
例4 设随机变量，相互独立，且 ~ B(n, p), ~ B(m, p)
试证明服从Poisson分布。 例9 (P70,例2.6)由该商店过去的销售记录知道某种商
品每月的销售数可以用参数=10的Poisson分布来描述,
为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少
应进某种商品多少件?
8
5. 几何分布 ~ G( p)
P( k) pqk1，k 1,2,
注：1）背景
0
1
P 1 p p
c
P1
5
3 二项分布 ~ B(n, p)
P( k ) Cnk pk qnk k 0,1,2,, n
注：1）二项分布的背景 注：2）二项分布的最可能值问题 结论：1）当 (n 1) p 不是整数时，最可能只是 [(n 1) p] 结论：2）当 (n 1) p m是整数时，最可能只是
