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二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
1.4 二次根式1.下列二次根式是最简二次根式的是 (D ) A .√32 B .√43C .√1.5D .2√102.[易错题]√4的算术平方根是 (B ) A.±√2 B.√2C.±2D.23.下列等式正确的是 (A ) A .(√3)2=3 B .√(−3)2=-3C .√33=3D .(-√3)2=-3 4.计算:√5+12-1×√5+12= (B ) A.0 B.1 C.2 D.√5−12【解析】√5+12-1×√5+12=√5+1−22×√5+12=√5−12×√5+12=(√5)2−124=1. 5.实数a 在数轴上的位置如图所示,则√(a −4)2+√(a −11)2 化简后为(A )A.7B.-7C.2a -15D.无法确定【解析】由数轴可知5<a <10,∴√(a −4)2+√(a −11)2=a -4+11-a =7.6.[数学文化]已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,为求其面积,中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron)给出求其面积的海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c),其中p =12(a +b +c );我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S =12√a 2b 2−(a 2+b 2−c 22)2.若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是 (B ) A .3√158B .3√154C .3√152D .√152【解析】∵三角形的三边长分别为2,3,4,∴p =12×(2+3+4)=92,由海伦公式得S =√92×52×32×12=3√154;或由秦九韶公式得S =12√22×32−(22+32−422)2=3√154.7.(2022·合肥三十八中一模)函数y=√1−2x的自变量的取值范围是x≤12.8.(2021·天津)计算(√10+1)(√10-1)的结果等于9.9.若x=√2−12,则4x2+4x=1.解法1:直接代入求值;解法2:整体代入求值.10.[创新思维]在如图的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格的实数之积为6√2.【解析】由题意可知,第一行三个数的乘积为3√2×2×√3=6√6,设第二行中间的数为x,第三行第一个数为y,则√3xy=6√6,解得xy=√6√3=6√2.11.化简:√12+14×√−643-15√13.解:原式=2√3+14×(-4)-15×√33=2√3-1-5√3=-1-3√3.12.已知x=2-√3,y=2+√3.(1)求x2+y2-3xy的值;(2)若x的整数部分是m,y的小数部分是n,求5m2-n的值.解:(1)∵x=2-√3,y=2+√3,∴x+y=4,xy=1,∴x2+y2-3xy=(x+y)2-5xy=42-5×1=11.(2)∵1<√3<2,∴0<2-√3<1,3<2+√3<4,∴m=0,n=2+√3-3=√3-1,∴5m2-n=5×02-(√3-1)=1-√3.13.(2021·湖南娄底)若2,5,m 是某三角形三边的长,则√(m −3)2+√(m −7)2等于 (D ) A.2m -10 B.10-2m C.10D.4【解析】由题意,得3<m <7,∴原式=m -3+7-m =4.14.设a =√7+√6,b =√7-√6,则a 2023b 2022的值是 √7+√6 .【解析】由题意,得ab =(√7+√6)(√7-√6)=1,∴a 2023b 2022=a ·(ab )2022=√7+√6. 15.先观察下列各式,然后回答问题:第1个等式:√32−12=√8×1; 第2个等式:√52−32=√8×2; 第3个等式:√72−52=√8×3; 第4个等式:√92−72=√8×4; …(1)第6个式子是 √132−112=√8×6 ;(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示),并证明. 解:(2)第n 个等式是√(2n +1)2−(2n −1)2= √8n .证明:左边=√(4n 2+4n +1)−(4n 2−4n +1)= √8n =右边,∴等式成立. 16.观察以下等式: 第1个等式:√1+13=2√13; 第2个等式:√2+14=3√14; 第3个等式:√3+15=4√15; 第4个等式:√4+16=5√16; 第5个等式:√5+17=6√17;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式: √6+18=7√18; (不用化简)(2)写出你猜想的第n 个等式: √n +1n+2=(n +1)√1n+2 (n 为正整数,用含n 的式子表示),并证明; (3)利用(2)中的结论化简: √2021+12023×√2023. 解:(2)证明:左边=√n(n+2)+1n+2=√n 2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2. ∵n 为正整数,∴n +1>0,∴左边=(n +1)√1n+2=右边,∴等式成立.(3)√2021+12023×√2023=2022√12023×√2023=2022.。
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新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】(1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的有关概念、性质1．实数及其分类实数可以按照下面的方法分类：实数还可以按照下面的方法分类：要点诠释：整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称实数．2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．要点诠释：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．3．相反数实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零．一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．要点诠释：两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数．4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数．5．实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．6．有理数的运算(1)运算法则(略)．(2)运算律：加法交换律 a+b＝b+a；加法结合律 (a+b)+c ＝a+(b+c)； 乘法交换律 ab ＝ba ；乘法结合律 (ab)c ＝a(bc)； 分 配 律 a(b+c)＝ab+ac ．(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减． 算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 要点诠释：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．零的算术平方根是零． 要点诠释：从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法把一个数记成±a ×10n的形式(其中n 是整数，a 是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数．考点二、二次根式、分式的相关概念及性质 1．二次根式的概念≥0) 的式子叫做二次根式．2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 要点诠释：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1（2）a a +-互为有理化因式；一般地a a +-（3. 3．二次根式的主要性质（1）0(0)a a ≥≥； （2）()2(0)a a a =≥；（3）2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；（4）积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，；（5）商的算术平方根的性质：(00)a aa b b b=≥>，. 4． 二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并． (2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．要点诠释：二次根式的混合运算：1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. 5．代数式的有关概念(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．代数式的分类：(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式． (3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式． 整式包括单项式和多项式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义． 6．整式的运算(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项．(2)整式的乘法：①正整数幂的运算性质：m n m n a a a +=；()m n mn a a =；()m mm ab a b =；m n m n a a a -÷=(a ≠0，m ＞n)．其中m 、n 都是正整数．②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．③乘法公式：22()()a b a b a b +-=-； 222()2a b a ab b ±=±+．④零和负整数指数：在mnm na a a-÷=(a ≠0，m ，n 都是正整数)中，当m ＝n 时，规定01a =；当m ＜n 时，如m-n ＝-p(p 是正整数)，规定1pp a a-=． 7．因式分解（1）因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简． （2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc ＝m(a+b+c)．②运用公式法：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±；③十字相乘法：2()x a b x ab +++()()x a x b =++．（3）因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解． 要点诠释：因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式（1）分式的概念 形如AB的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，注意B 的值不能为零． （2）分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．A A MB B M ⨯=⨯，A A MB B M÷=÷．(其中M 是不等于零的整式) （3）分式的运算 ①加减法：a b a b c c c ±±=，a c ad bcb d bd ±±=． ②乘法：ac acb d bd=． ③除法：a c a d adb d bc bc÷==． ④乘方：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）．要点诠释：解分式方程的注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题．【典型例题】类型一、实数的有关概念及运算1．实数2-，0.3，172，π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（33256、、，…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.【答案】A ；【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，2，π-都是无限不循环小数， 故共有2个无理数.【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含π的数；③看似循环但实际不循环的小数；④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 举一反三：【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】【变式】如图，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )．A ．32--B ．－31-C ．32+-D ．31+【答案】A.2．计算：(1)23220.2549403⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； (2)85(2)25-⨯ ．【思路点拨】注意在第（1）题中，32-与3(2)-的不同运算顺序和4499÷⨯的运算顺序. 【答案与解析】(1)23220.2549403⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦480.2549409⎛⎫=-⨯-÷⨯- ⎪⎝⎭9249402(8140)4⎛⎫=--⨯⨯-=--- ⎪⎝⎭24143=--=-．(2)85(2)25-⨯444442525(425)25100252500000000=⨯⨯=⨯⨯=⨯=．【总结升华】在进行有理数运算时，要注意运算的顺序，要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，寻求简捷的运算途径．举一反三： 【变式】2517( 2.4)58612⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭；【答案】2517( 2.4)58612⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭21.50.4 1.4 1.5 1.42.95=--+-=--=- ．3． 若x-3+x-y+1=0，计算322x y+xy +4y .【思路点拨】几个非负数相加和为0，则这几个非负数必定同时为0，进而求出x 、y 的值. 【答案与解析】依题意得30,10,x x y -=⎧⎨-+=⎩解得3,4,x y =⎧⎨=⎩∴3222224x y+xy +y(x +xy+)y(x+)(x+)(3)410.44222y y y y y ====+⨯=【总结升华】2a ,(a 0)a a ≥，这三个非负数中任意几个相加得0，则每一个都得0.举一反三：【变式】已知|1|80a b ++-=，则a b -= ．【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性，两个非负数的和为0，所以这两数都为0.因为|1|80a b ++-=，所以a=-1,b=8. a b -=﹣9.类型二、分式的有关运算4．对于分式211x x -+，当x 取何值时，(1)分式有意义? (2)分式的值等于零?【思路点拨】当分母等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义；当分子等于零，并且分母不等于零时，分式的值等于零. 【答案与解析】(1)由分母x+1＝0，得x ＝-1．∴ 当x ≠-1时，分式211x x -+有意义．(2)由分子210x -=，得1x =或1x =-． 而当x ＝-1时，分母x+1＝0； 当x ＝1时，分母10x +=．∴ 当x ＝l 时，分式211x x -+的值等于零．【总结升华】讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．类型三、二次根式的运算5．（2014春•平泉县校级期中）已知a=，求﹣的值．【思路点拨】先利用因式分解原式进行化简，再进行约分和利用二次根式的性质计算，由于a==4﹣2，则a ﹣4＜0，所以原式可化简为a ﹣3+，然后把a 的值代入计算即可． 【答案与解析】 解：原式=﹣=a ﹣3﹣， ∵a==4﹣2， ∴a ﹣4＜0， ∴原式=a ﹣3+=a ﹣3+， =4﹣2﹣3+=2﹣．【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了分式的混合运算．举一反三：【变式】计算：2(1848)(212)(23)+---；【答案】2(1848)(212)(23)+---(3243)(223)(2263)=+---+646662452623=+---+=-．6．当x 为何值时，下列式子有意义？ （1）32x -； （2）125xx -+． 【思路点拨】第（1）题中，根号外的负号与根号是否有意义无关；第（2）题中，因为与分式有关，因此要综合考虑x 的取值范围．【答案与解析】（1）320x -≥，即32x ≤． ∴ 当32x ≤时，32x --有意义． （2）120x -≥，且x+5≠0，∴ 当12x ≤，且x ≠-5时，125x x -+有意义．【总结升华】要使偶次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义分母不为0.举一反三：【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】 【变式】下列说法中，正确的是( )A ．3的平方根是3B ．5的算术平方根是5C ．－7的平方根是7-±D ．a 的算术平方根是a【答案】B.类型四、数与式的综合运用7．（2014秋•崂山区校级期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：（1）观察图形，填写下表：图形 （1） （2） （3）… 黑色瓷砖的块数 4 7… 黑白两种瓷砖的总块数 15 25… （2）依上推测，第n 个图形中黑色瓷砖的块数为 ；黑白两种瓷砖的总块数为 （都用含n 的代数式表示）（3）白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．【思路点拨】找规律题至少要推算出三个式子的值，再去寻求规律，考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 【答案与解析】解：（1）填表如下：图形 （1） （2） （3）… 黑色瓷砖的块数 4 7 10… 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 …（2）第n 个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1；黑白两种瓷砖的总块数为10n+5； （3）能，理由如下：10n+5﹣（3n+1）﹣（3n+1）=2015，精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 解得：n=503答：第503个图形．【总结升华】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律．举一反三：【变式】如图所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？22(57)3153++=(cm).【答案】路径①的长为路径②的长为22(37)5125++=22(35)7113++=(cm). 113。
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
第四讲 因式分解【基础知识回顾】 一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式 整式的积【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】 2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= , ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点， 找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】考点一：因式分解的概念对应训练1．（2015•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．a （x-y ）=ax-ay B ．x 2+2x+1=x （x+2）+1 C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3 D ．x 3-x=x （x+1）（x-1） 考点二：因式分解例2 （2015•无锡）分解因式：2x 2-4x= ． 例3 （2015•南昌）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2-xy+x=x （x-y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a-b ）2 C ．x 2-2x+4=（x-1）2+3 D ．ax 2-9=a （x+3）（x-3） 例4 （2015•湖州）因式分解：mx 2-my 2．（ ）（ ）对应训练2．（2015•温州）因式分解：m2-5m= ．3．（2015•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）24．（2015•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．考点三：因式分解的应用例5 （2015•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．对应训练5．（2015•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a3b-2a2b2+ab3= ．【2016中考名题赏析】1．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子2．（2016•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4 3．（2016•长春）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）4．（2016•聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2 5．（2016•台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．226．（2016•滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3【真题过关】一、选择题1．（2015•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x-1 C．x2-1 D．x2-6x+9 2．（2015•佛山）分解因式a3-a的结果是（）A．a（a2-1）B．a（a-1）2C．a（a+1）（a-1）D．（a2+a）（a-1）3．（2015•恩施州）把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是（）A．y（x2-2xy+y2）B．x2y-y2（2x-y）C．y（x-y）2D．y（x+y）2二、填空题4．（2015•自贡）多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是．5．（2015•太原）分解因式：a2-2a= ．6．（2015•广州）分解因式：x2+xy= ．7．（2015•盐城）因式分解：a2-9= ．8．（2015•厦门）x2-4x+4=（）2．第五讲分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做分式【名师提醒：①若则分式AB无意义②若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。
专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。
中考数学一轮复习精品讲义二次根式人教新课标版本章小结小结本章学习重难点【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【本章难点】a≥0)是一个非负数的理解，对等式)2＝a(a≥0)a(a≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．小结3 学法指导1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力．知识网络结构图a b（a≥0（a≥0，b一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x3的值最小？最小值是多少？分析00，因为3是常数，3+的最小值为3.0，33≥，∴当9x+1=0，即19x=-3有最小值，最小值为3.0（a≥0）.专题2 二次根式的化简及混合运算||a=这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是（）13=====分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A==B=，C选项逆用平方差公式可求得2+（=4-5=-1，而D选项=.故选A.例3计算200620071)1)的结果是（）1分析本题可逆用公式（ab）m=a m b m及平方差公式，将原式化为20061)]1) 1.=故选D.例4 书知2228442142x x y x x x y x x++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值，但要注意所得x 的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22222872442,22277214222142277142214214.22y x y x ++∴=--=+∴===【解题策略】 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例5 223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）.22353252-302-502223)(25)|23||25|(23)(25)48.a a a a a a a a a a a ∴∴∴=--=---=-+-=-解：≤≤，≤≤，≥，≤,原式（ 【解题策略】 2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例 6 已知实数，a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-8所示，化简222||()().a a c c a b -+-解：由a ，b ，c 在数轴上的位置可知：0,00,0,||||||||()().c a b a c c a a a c c a b a a c c a b a a c c a b a b ∴+-∴=-++--=-++---=-++-+-=-＜＜＞＜＜原式【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简. 专题2 二次根式的化简及混合运算图21-8127 |1||1||1||2|.10,201,2,-112,2x x x x x x x x x x x +=+=+--+=-==-=-例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)2 1.x x x x x x x x x x x +∴=++=+∴=++-=-①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.原式210,20,x x x +-③当≥时，＞≥1)(2) 3.3(1)21(12)3(2).x x x x x x ∴=+--=--⎧⎪∴=--⎨⎪⎩原式（＜，原式≤＜，≥ 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知3,12,.a b ab +=-=求 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a ，b 的符号，本题中没明确告诉，a ，b 的符号，但可从a +b =-3，ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3，ab =12，∴a ＜0，b ＜0.b a ∴==-=-=- 【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a ，b 的符号，把所求的式子化简，直接代入. 专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简 例9的运算结果应在 （ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果，原式4==+，由于，即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知mnm nm n-+的值.解：∵9＜13＜16，343，即m =3，3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题 专题4 配方法【专题解读】a |化简. 例11|=====规律·方法 一般地，对于a ±可采用观察法进行配方，即找出x ，y (x ＞y ＞0)，使得xy =b ，x +y =a，则2a ±===.例12 若a ，b 为实数，且b15的值.分析 本题中根据b15可以求出a ，b. 解：由二次根式的性质得3503350..5305a a a a -⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，150,0.b a b a b ∴=∴+-，＞＜a b b aab ab==+-⎛=-⎝=当3215.55a b====，时，原式【解题策略】对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13解：令x22x=，∴x2=（3）（3x x∴==＞，专题6 代入法【专题解读】通过代入求代数式的值.例14已知222400,5760,.a b ab==222332400,5760 2.42400, 2.42400,1000,10, 2.41024,26.a b ab b aa b aa a b====∴=∴=∴=∴=⨯====解：由，两式相除得，专题7 约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15======例16).x y ≠====解：原式三、思想方法专题 专题8 类比思想 【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.12（（解：（1）原式=（1+2（2）原式【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y中，自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，是二次根式，所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x，则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为21x -32-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.2||a a =进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.例20 若化简2|1|816x x x ---+25x -，则x 的取值范围是 （ ） A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-，由此可知|1|1x x -=-，且|4|4x x -=-，由绝对值的意义可知10x -≥，且40x -≥，所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.【解题策略】 2a |a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.22(57)3153++=22(37)5125++=22(35)7113++=(cm). 113规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.2011中考真题精选 一、选择题1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A 、51B 、5.0C 、5D 、50 考点：最简二次根式．图21-10专题：计算题． 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：A 、51=55，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 B 、5.0= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 C 、，是最简二次根式；故此选项正确；D. 50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故此选项错误故选C ．此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. （2011•江苏徐州，5，21x -x 的取值范围是（ ） A 、x≥1 B 、x ＞1 C 、x ＜1 D 、x≤1 考点：二次根式有意义的条件。
知识点01：二次根式的基本性质与化简【高频考点精讲】1．二次根式有意义的条件（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
2．二次根式的基本性质（1）≥0；a≥0（双重非负性）。
（2）（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。
（3）＝a＝3．二次根式的化简（1）利用二次根式的基本性质进行化简。
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知识点02：同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。
①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。
知识点03：二次根式混合运算与化简求值【高频考点精讲】1．二次根式的混合运算顺序：先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
3．二次根式的运算结果要化为最简二次根式。
四、二次根式的应用【高频考点精讲】二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念，性质和运算方法。
检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.61一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•西宁）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．（2分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．×＝C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．|m|＝m5．（2分）（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣16．（2分）（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠27．（2分）（2023•内蒙古）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（2分）（2023•内蒙古）下列运算正确的是（）A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6C．+＝D．÷＝9．（2分）（2021•荆门）下列运算正确的是（）A．（﹣x3）2＝x5B．＝xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+110．（2分）（2020•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•哈尔滨）计算的结果是．12．（2分）（2022•济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（2分）（2021•哈尔滨）计算﹣2的结果是．14．（2分）（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为．15．（2分）（2023•池州模拟）要使式子有意义，则x的取值范围为．16．（2分）（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．17．（2分）（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）18．（2分）（2023•临汾模拟）计算：＝．19．（2分）（2023•锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为．20．（2分）（2023•大同模拟）计算（）（）的结果等于．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•陕西）计算：．22．（6分）（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．23．（8分）（2023•龙岩模拟）（1）计算：；（2）解不等式组：．24．（8分）（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）25．（8分）（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．26．（8分）（2023•晋城模拟）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．＝，＝＝＝3+像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．任务：（1）的有理化因式；﹣2的有理化因式是．（2）写出下列式子分母有理化的结果：①＝；②＝．（3）计算：+……+．27．（8分）（2023•晋城模拟）问题：先化简，再求值：2a+，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+＝2a+……（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a+＝6+＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．28．（8分）（2023•天山区校级模拟）计算：（1）；（2）．。
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第4讲二次根式第 4 讲二次根式一、知识清单梳理知识点一：二次根式重点点拨及对应举例（ 1）二次根式的观点：形如a(a≥0)的式子 .失分点警告：当判断分式、二次根式构成的复（ 2）二次根式存心义的条件：被开方数大于或等于 0.合代数式存心义的条件时，注意保证各部分都存心义，即分母不为0，被开方数大于等于 01. 相关观点（ 3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整1等.例：若代数式存心义，则 x 的取值式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方x 1的因数或因式范围是 x ＞1.利用二次根式的两重非负性解题：（ 1）两重非负性：（1）值非负 : 当多个非负数的和为0 时，可得①被开方数是非负数，即a≥0；各个非负数均为0.如 a 1 +b 1=0，②二次根式的值是非负数，即a ≥0.则 a=-1， b=1.（2）被开方数非负 : 当互为相反数的两个数同注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平2.二次根式方根、二次根式 .的性质(2)两个重要性质：a a0① ( a)2＝ a(a≥0)；② a2＝ |a|＝a ；a0 (3)积的算术平方根：ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；(4)商的算术平方根：a ab (a≥0， b＞ 0)．b知识点二：二次根式的运算3.二次根式的先将各根式化为最简二次根式，再归并被开方数同样的二次根式．加减法4.二次根式的（ 1）乘法： a · b =ab ( a≥0，b≥0)；乘除法（ 2）除法：a a(a≥0， b＞ 0)．b=b5.二次根式的运算次序与实数的运算次序同样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．混淆运算时出此刻二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=a1 +1 a,则 a=1,b=0.例：计算：3.142＝；2＝；3.142224=；=2；442993例：计算： 2 832＝3 2.注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：32＝1；3232 4.2322运算时，注意察看，有时运用乘法公式会使运算简易 .例：计算： ( 2 +1)(2-1)= 1 .1。
