工程测试技术+习题答案
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第一章
三、计算题
1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。
解答:
000
2200000
224211()d sin d sin d cos T
T
T T
x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T
T ωT ωπ
====-==
⎰⎰⎰
2
222
00
rms
000
111cos 2()d sin d d 22
T T T
x x ωt
x x t t x ωt t t T T T
-====⎰⎰⎰
1-3求指数函数的频谱。
解答:
(2)22022
(2)
()()(2)2(2)a j f t j f t
at j f t
e A A a j
f X f x t e
dt Ae e
dt A a j f a j f a f -+∞
∞
---∞-∞
-====
=-+++⎰⎰πππππππ
2
2
()(2)
k X f a f π=
+
Im ()2()arctan
arctan
Re ()X f f
f X f a
==-πϕ
1-5求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。
单边指数衰减信号频谱图
f
|X (f )|
A /
φ(f
) f
0 π/2
-π/2
0cos ()0
ωt t T x t t T
⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩
解:0()
()cos(2)x t w t f t =π
w(t)为矩形脉冲信号
()2sinc(2)W f T Tf =π
()
002201cos(2)2j f t j f t
f t e e
πππ-=
+ 所以002211()()()22j f t
j f t x t w t e w t e -=+ππ
根据频移特性和叠加性得:
000011
()()()
22
sinc[2()]sinc[2()]
X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f 0,同时谱线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
1-6 求指数衰减信号0()sin at
x t e
ωt -=的频谱
f
X (f )
T
f
-f 0 被截断的余弦函数频谱
解答:
()0001sin()2j t j t
t e e j
-=
-ωωω
所以()001()2j t j t
at
x t e e e j
--=-ωω
单边指数衰减信号1()(0,0)at
x t e
a t -=>≥的频谱密度函数为
112
2
1()()j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a ∞
∞
----∞
-===
=++⎰⎰ωωω
ωω
根据频移特性和叠加性得:
[]001010222200222
000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]
a j a j X X X j j a a a a j a a a a ⎡⎤
---+=
--+=-⎢⎥
+-++⎣⎦
--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
指数衰减信号
指数衰减信号的频谱
图
1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡00cos ()m ωt ωω>。
在这个关系中,函数f (t )叫做调制信号,余弦振荡
0cos ωt
叫做载波。试求调幅信号
0()cos f t ωt 的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若0m ωω<时将会出现什
么情况?
解:0()
()cos()x t f t t =ω
()[()]F f t =ωF
()
0001cos()2j t j t
t e e
-=
+ωωω 所以0011
()()()22
j t j t x t f t e f t e -=+ωω
根据频移特性和叠加性得: 0011
()()()22
X f F F =
-++ωωωω
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频ω0,同时谱线高
度减小一半。
f
X (f )
ω
-ω0
矩形调幅信号频谱 图1-27 题1-7图
ω
F (ω)
f (t )
0 t -ωm
ωm