2019版高考数学一轮复习 选修系列 13.4 算法与程序框图 理1．算法与程序框图 (1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． ②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． (2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形． 2．三种基本逻辑结构3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能(2)条件语句①程序框图中的条件结构与条件语句相对应．②条件语句的格式a．IF—THEN格式b．IF—THEN—ELSE格式(3)循环语句①程序框图中的循环结构与循环语句相对应．②循环语句的格式a．UNTIL语句b．WHILE语句【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( ×)(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定．( ×)(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( ×)(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( √)(5)5＝x是赋值语句．( ×)(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．( √)1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.否则执行第(4)步．(4)输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是( )A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C.2．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于( )A．7 B．12 C．17 D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C. 3．(2017·广州调研)下列赋值能使y的值为4的是( )A．y－2＝6 B．2*3-2=yC．4=y D．y＝2*3-2答案 D解析 赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量．4．(2017·太原月考)如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6?B ．k ≤7?C ．k ≤8?D ．k ≤9?答案 B解析 第一次执行循环，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S ＝720，k ＝7，此时满足条件．5．若执行如图所示的程序框图，输入N ＝13，则输出S 的值为________．答案1213解析 由题意可知，S ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(112－113)＝1213.题型一 顺序结构与条件结构 命题点1 顺序结构例1如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？解(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，f(x)＝－x2＋4x.则f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)最大值＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.命题点2 条件结构例2 执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]答案 A解析 根据程序框图可以得到分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]． 引申探究若将本例中判断框的条件改为“t ≥1”，则输出的s 的范围是什么？解 根据程序框图可以得到，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，此时－5≤s <3；当1≤t ≤3时，s ＝3t ∈[3,9]．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s 属于[－5,9]． 思维升华 应用顺序结构与条件结构的注意点 (1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的． (2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．(高考改编)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为________．答案 2解析 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2. 题型二 循环结构命题点1 由程序框图求输出结果例3 (2016·全国乙卷)执行右面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x 答案 C解析 执行题中的程序框图，知 第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1，x 2＋y 2<36； 第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，x 2＋y 2>36，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.命题点2 完善程序框图例4 (2017·保定质检)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A ．i >10?B ．i <10?C ．i >11?D ．i <11?答案 A解析 经过第一次循环得到s ＝12，i ＝2，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到s ＝12＋14，i ＝3，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到s ＝12＋14＋16，i ＝4，此时的i 不满足判断框中的条件；…；经过第十次循环得到s ＝12＋14＋16＋…＋120，i ＝11，此时的i 满足判断框中的条件，执行输出，故判断框中的条件是“i >10？”． 命题点3 辨析程序框图的功能例5 如果执行如图的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A．A＋B为a1，a2，…，a N的和B.A＋B2为a1，a2，…，a N的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数答案 C解析不妨令N＝3，a1<a2<a3，则有k＝1，x＝a1，A＝a1，B＝a1；k＝2，x＝a2，A＝a2；k＝3，x＝a3，A＝a3，故输出A＝a3，B＝a1，故选C.思维升华与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18 C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1 跳出循环，输出v＝18，故选B.题型三基本算法语句例6 阅读下面两个算法语句：WHILE＋图1LOOP UNTIL ＋图2执行图1中语句的结果是输出________；执行图2中语句的结果是输出________．答案i＝4 i＝2解析执行图1中语句，得到(i，i·(i＋1))的结果依次为(1,2)，(2,6)，(3,12)，(4,20)，故输出i＝4.执行图2中语句的情况如下：i＝1，i＝i＋1＝2，i·(i＋1)＝6<20(是)，结束循环，输出i＝2.思维升华解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．(2015·江苏改编)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析I＝1，S＝1；S＝1＋2＝3，I＝1＋3＝4＜8；S＝3＋2＝5，I＝4＋3＝7＜8；S＝5＋2＝7，I＝7＋3＝10＞8.退出循环，故输出S＝7.19．程序框图中变量的取值典例执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的A等于( )A．2 047 B．2 049C．1 023 D．1 025错解展示解析将每次运算的A值用数列{a n}表示，将开始的A＝1看作a0，则a1＝2a0＋1＝1，a2＝2a1＋1＝3，…∴a10＝2a9＋1＝210－1＝1 023.答案 C现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2 047.答案 A纠错心得程序框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序.于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 第一次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝6，n ＝1； 第二次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝10，n ＝2； 第三次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝20，n ＝4，满足题意，结束循环．2．(2016·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．8B ．9C ．27D ．36 答案 B解析 ①S ＝0＋03＝0，k ＝0＋1＝1，满足k ≤2； ②S ＝0＋13＝1，k ＝1＋1＝2，满足k ≤2；③S ＝1＋23＝9，k ＝2＋1＝3，不满足k ≤2，输出S ＝9.3．如图，若依次输入的x 分别为5π6、π6，相应输出的y 分别为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定答案 C解析 由程序框图可知，当输入的x 为5π6时，sin 5π6>cos 5π6成立，所以输出的y 1＝sin5π6＝12；当输入的x 为π6时，sin π6>cos π6不成立，所以输出的y 2＝cos π6＝32，所以y 1<y 2. 4．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.5．(2017·成都调研)定义某种运算，ab 的运算原理如图所示．设S ＝1x ，x ∈[－2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为( )A ．2B ．－1C ．4D ．3 答案 A解析 由题意可得，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，－2≤x ≤1，1，1<x ≤2，∴S (x )max ＝2，S (x )min ＝0， ∴S (x )max －S (x )min ＝2.6．(2015·课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．14答案 B解析 由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则 第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4；第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4；第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4；第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束． 故选B.7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.1305)答案 24解析 n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598<3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3<3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6>3.1，满足条件，退出循环，输出n的值为24.8．以下给出了一个程序，根据该程序回答：(1)若输入4，则输出的结果是________；(2)该程序的功能所表达的函数解析式为________． 答案 (1)15 (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3解析 (1)x ＝4不满足x <3，∴y ＝x 2－1＝42－1＝15.输出15. (2)当x <3时，y ＝2x ，当x >3时，y ＝x 2－1；否则， 即x ＝3，y ＝2. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3.9．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．答案 7解析 本题计算的是这8个数的方差，因为a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44，所以S ＝－2＋－2＋－2＋－2＋02＋22＋32＋428＝7.10．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为：(1)____________；(2)______________．答案(1)n3<1 000 (2)n3≥1 000解析第一个图中，n不能取10，否则会把立方等于1 000的正整数也输出了，所以应该填写n3<1 000；第二个图中，当n≥10时，循环应该结束，所以填写n3≥1 000.11．(2017·武汉质检)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.12．(2016·抚州质检)某框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是________．答案 k >8?解析 由题意可知输出结果为S ＝20，第1次循环，S ＝11，k ＝9，第2次循环，S ＝20，k ＝8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为“k >8？”．13．(2016·长沙模拟)运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．答案 [－7,9]解析 该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1.当x <－1时，由0≤3－x ≤10可得－7≤x <－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10恒成立； 当x >1时，由0≤x ＋1≤10可得1<x ≤9. 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]．*14.(2016·宣城模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f x.程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0152 016，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是________．(填序号)①n ≤2 015？ ②n ≤2 016? ③n >2 015？ ④n >2 016?答案 ②解析 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0， 得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ，即g (x )＝1x 2＋x ＝1xx ＋＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n ) ＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 由1－1n ＋1>2 0152 016，得n >2 015. 故可填入②.。
