初中数学图形相关问题公开课讲义
part 1 棱柱的特征
1、知识点
（1）棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱，其中相邻两个侧面的交线
叫做侧棱。
棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点。
棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。
（2）①若棱柱的底面是 n 边形，它的侧棱就是 n 条，它的棱就是 3n 条，顶
点有 2n 个，共有（n+2）个面。
② n 棱锥共有 2n 条棱，1个顶点，（n+1）个面。
③空间多面体欧拉公式：顶点数（V） + 面数（F）- 棱数（E） = 2
2、典型例题
例题1 【概念基础】在下列结论中，错误的是（）
A.棱柱的侧面数与侧棱数相同
B.棱柱的棱数一定是3的倍数
C.棱柱的面数一定是奇数
D.棱柱的顶点一定是偶数
例题2 【棱柱综合·2011台湾】如右图为一直棱柱，其中两
底面为全等的梯形，其面积和为16；四个侧面均为长方形，
其面积和为45.若此棱柱的体积为24，则所有边的长度和为
（）
A.30
B. 36
C.42
D.48
例题3 【欧拉公式·2010宁波】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中
顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉
公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）
四面体44
长方体8612
正八面体812
正十二面体201230
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
（4）图2足球虽然是球体，但实际上足球表面是由正五
边形，正六边形皮料组成的多面体加工而成每块正五边
形皮料周围都是正六边形皮料；每两个相邻的多边形恰
有一条公共的边；每个顶点处都有三块皮料，而且都遵
循一个正五边形、两个正六边形的规律，请你利用（1）
中的关系式，求出一个足球中各有多少块正五边形、正
六边形的皮料．
part 2 图形运动
1、图形旋转
（1）经典口诀：点动成线，线动成面，面动成体
（2）常见旋转体
①长方形绕它的一边旋转一周形成圆柱
．．；
②直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成圆锥
．．；
③一枚硬币在桌面上竖直快速旋转一周形成球．；
2、图形变换
常见变换通常有平移、旋转、翻折、镶嵌（拼接）等方式；用简单图形通过有机结合可以拼出复杂美观的图形组合；经过变换后的图形形状、大小不变，只是位置发生了变化。
平移：将一个图形沿某一个方向移动一定的距离。
●经过平移，对应点所连的线段平行且相等（或在同一条直线上）；
●对应线段平行且相等（或在同一条直线上）；
●对应角相等；
翻折：将一个图形沿某一条直线翻折后形成的图形。
●翻折后得到的图形与原图形形状相同、大小不变，并且对应角、
对应线段相等；
●折痕所在的直线即为翻折前后两个图形的对称轴.；
●翻折后, 图形对应点的连线段被对称轴垂直且平分；
旋转：基本图形绕一点旋转成平面图案或一条直线为轴旋转形成几何体。
●旋转不改变图形形状；
●图形上的每一点都绕旋转中心转动了相同的角度；
●人意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角；
●对应点到旋转中心的距离相等；
3、经典例题
例题1 【图形运动·2012姜堰月考】如图，先将图（1）中的图形平移到图（2）的方格中，然后绕右下角的顶点旋转180°到图（3）的方格中，再翻折到图（4）的方格中．
例题2 【2016春•盐城校级月考】按下列要求画图：
将图①中的直角三角形向右平移到图②方格中对应的位置上；再将平移后的图形沿直线l翻折到图③的方格中；最后将翻折的图形绕点P旋转180°到图④的方格中．
part 3 展开与折叠图
1、正方体展开与折叠
（1）展开类型：1-4-1（6个）、1-3-2（3个）、2-2-2（1个）、3-3（1个）；
（2）展开一个正方体需要剪开
．．7．条棱
．．；
（3）相对的两个面展开后不可能相邻；
2、直棱柱的展开与折叠
直棱柱的底面是两个形状相同的多边形，侧面都是长方形，并且长方形的一边（侧棱）都相等。
3、棱锥的展开与折叠
棱锥的展开图可以剪开某些侧棱或者底棱而得到，展开图会有多种。
（1）三棱锥展开图示例
（2）四棱锥展开图示例
4、经典例题
例题1 【立方体折叠与展开·太原】如图是一个正方体的平面展开图，这个正方体是（）
A．B．C．D．
例题2【立方体展开图·惠山月考】下列图形是正方体的展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是（）
A．（1）和（2）B．（1）和（3）C．（2）和（3）D．（3）和（4）例题3 【柱体展开图·乳山市期末】如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体
的侧面积．
例题4【•希望杯改编】如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求x、y的值．
