《向量的线性运算》教案(1)

初中数学教案向量的线性运算与应用初中数学教案：向量的线性运算与应用一、引言向量作为数学中重要的概念之一，在几何和代数中都有广泛的应用。

本次教案旨在教授初中学生向量的线性运算与应用知识，帮助学生更好地理解和掌握向量的特性和运算规则。

二、教学目标1. 理解向量的概念和性质。

2. 掌握向量的线性运算规则，包括向量的加法、减法和数乘。

3. 能够应用向量的线性运算解决简单的几何和代数问题。

三、教学内容与步骤一、向量的概念和性质介绍向量是由大小和方向组成的有向线段，可以用箭头表示。

引导学生观察向量的表示方法，理解向量有向性和对应的数学表示。

二、向量的线性运算1. 向量的加法- 定义向量的加法。

- 讲解向量相加的几何和代数含义。

- 展示向量加法的运算规则和示例。

2. 向量的减法- 定义向量的减法。

- 探讨向量减法的几何和代数含义。

- 演示向量减法的运算规则和实例。

3. 向量的数乘- 解释向量的数乘概念。

- 讨论数乘对向量的影响。

- 展示向量数乘的规则和示例。

4. 线性运算综合应用- 教授综合应用问题的解决方法。

- 引导学生应用向量的线性运算解决几何和代数问题。

- 提供不同难度的练习题供学生训练。

四、教学评价和总结将学生的练习和解答进行批改，并对学生的答题情况进行评价。

总结本堂课的教学内容，并对学生在本课中需要加强的知识点进行强调。

五、延伸拓展1. 引导学生进行向量的线性运算思维拓展。

2. 鼓励学生探索更多关于向量的运算和应用问题。

3. 提供一些相关的课外阅读推荐，加深学生对向量概念的理解和兴趣。

六、教学反思对本次教学进行反思和总结，思考教学中存在的问题，并制定下一步的改进计划。

七、参考资料- 数学八年级上册教材- 数学教学参考书籍- 网络教学资源注意：以上文档以合同形式写成，旨在提供向量的线性运算与应用的教学内容和步骤。

请根据实际情况和教学需要进行适当调整和修改，以达到最佳教学效果。

高中必修二数学教案《向量的线性运算》教材分析本节课是人教版B版必修二第六章第一单元第五节的内容，包括平面向量的加法、减法、数乘，以及由此衍生出的平面向量的共线定理等内容。

这一节是前一部分学习的总结，同时是后面学习的基础。

学情分析1、就学习内容而言，高一学生经过前几节课的学习，已经对平面向量的概念、向量的线性运算的概念有了初步的认识。

2、就学习能力而言，如何使用平面向量，利用平面向量的线性运算解决问题，解决问题时应该注意哪些地方，这是一个能力提升的问题，教学希望利用本节课达到这一目的。

教学目标1、理解并掌握平面向量的加法、减法的运算法则和几何意义。

2、掌握平面向量共线定理，并能熟练应用。

3、渗透化归思想、整体思想，培养发散思维和逆向思维能力。

教学重点掌握平面向量的线性运算并能熟练应用。

教学难点掌握平面向量共线定理并能熟练应用。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两者可以进行混合运算。

例如，对于任意向量a ，式子（6a ）+（2a ）是有意义的。

二、过程1、向量的加法与数乘向量的混合运算一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法。

因此，（6a ）+（2a ）可以简写成6a +2a 。

另外，不难看出6a +2a = 8a 。

一般地，对于实数λ与μ，以及向量a ,有Λa + μa = （λ+μ）a这可以通过对λ，μ以及λ+μ的符号进行讨论得到。

例如，当λ，μ都是正数时，不难看出λa + μa 和（λ+μ）a 的方向都与a 的方向相同，而且模都等于（λ+μ）|a |，所以此时Λa + μa = （λ+μ）a 。

如图6-1-22所示，下面我们来考虑3a +3b 与3（a +b ）之间的关系。

在图6-1-22中，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3a ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3b ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3a +3b ，注意到∠DEF = ∠ABC ，|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以△DEF ∽△ABC ，因此DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而有DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3（a +b ），即3a + 3b = 3（a +b ）一般地，对于任意实数λ，以及向量a 与b ，有λ（a + b ）= λa +λb2、向量的线性运算不难看出，向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算。

高中数学平面向量的线性运算教学设计教材分析本节首先从数及数的运算谈起,有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现.类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。

教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算.平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。

其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。

由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点.类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。

因此，与数的运算的类比,是学习向量的线性运算的重要方法。

向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。

2.2。

1 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容。

其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量。

在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件。

24.7向量的线性运算 教案一、教学目标1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果.2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合．二、教学重点及难点线性运算的意义，线性组合的概念；线性组合的简单应用.三、教学用具准备三角尺、多媒体演示设备四、学情分析本节内容是前面所学向量知识的整理和运用.通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算.在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合的概念．六、教学过程设计（一） 新课导入我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（二）探索新知例题1 已知两个不平行的向量,求作：23+，2-.解:略例题2 已知两个不平行的向量.,b a 求作：).227()(--+揭示概念 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如b a 23+，2-、)5(3+等，都是向量的线性运算. 如果,是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么y x +叫做,线性组合.如,两个不平行的向量，向量,23+=，这时就说OE 可由,的线性组合表示.例题3 如图，点M 是△CAB 的边AB 的中点.设=，=，试用.,b a 的线性组合表示向量CM（三）巩固练习书本P49 练习24.7（1）（四）课堂小结（五）作业布置练习册24.7（1）_ C _ E_A →a→a →b。

《向量的线性运算》教学设计一、教材分析1、本单元的教学内容的范围本单元包括向量的概念、向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量共线的条件与轴上向量坐标运算，共5小节内容。

2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用站在数学学科角度来看平面向量，向量的运算（包括中学阶段的平面向量与空间向量）是在数的运算的基础上对运算的发展;向量的两重性使得向量成为几何问题代数化的一个重要组成部分，这对数字化时代研究几何问题提供了一个良好的手段;平面向量为研究三角函数、解析几何等提供了工具作用;平面向量是空间向量的基础。

《向量的线性运算》作为平面向量的第一个单元的教学内容，既是《平面向量》这一模块的重要知识，也是学习本模块其他知识的基础。

3．本单元的教学内容总体教学目标(1）通过实例,了解平面向量的实际背景。

(2）理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示。

（3）通过实例，掌握向量的加法、减法以及数乘向量运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义。

（4）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.（5）通过学习使学生初步体会向量所具有的代数和几何的两重性。

4．本单元的教学内容重点和难点分析本单元的教学重点包括向量的概念、向量的线性运算和平行向量基本定理;难点是向量的概念.通过学习使学生建立起向量的概念是学习向量知识的一个重要目标,因而向量的概念是教学的一个重点内容；向量的线性运算不仅是本单元的教学重点也是本模块的教学重点;通过学习平行向量基本定理不仅能加深对向量概念的理解，而且平行向量基本定理在向量知识体系和数学的其他分支中都有广泛的应用,因此平行向量基本定理应是本单元的一个教学重点。

向量作为一个新的概念，学生开始接触时自然会感到困难,加之2.1。

1小节中不仅概念多,而且还有自由向量和位置向量的干扰,更使得向量的概念难上加难，因此向量的概念是学生学习的一个难点。

当然，学生对向量的加法、减法运算及平行向量基本定理的理解会产生一定的困难，但学生如果很好的理解了向量的概念，则着几个难点的难度会随之降下来。

《向量的线性运算》教学设计◆教学目标（1）掌握向量的加法与数乘向量的混合运算，提升学生的直观想象和数学运算核心素养．（2）了解向量线性运算的性质及其几何意义，借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养．◆教学重难点◆教学重点：掌握向量的加法与数乘向量的混合运算．教学难点：向量线性运算的性质及其几何意义．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第147－150页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设的答案：（1）本节主要研究向量的加法与数乘向量的混合运算及向量的线性运算．（2）本小节教材设置了两个内容，先给出了向量加法与数乘向量的混合运算，然后给出了向量加法、减法与数乘向量的混合运算．之所以安排第一个内容，一方面是为了使知识学习简单、直观，从而有利于问题的研究解决，另一方面也是因为向量的减法可以转化为向量的加法理清楚本节和上节的关系，为后面后续学习打好基础，做好铺垫．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1、形成定义问题2：之前我们学习了向量的数乘运算及加减法运算，其结果都是向量，那么是否可以进行混合运算，如果可以的话，其结果如何呢？又是遵循什么运算法则呢？试举例说明？师生活动：学生回顾之前学习的向量加减法运算及数乘运算，回答问题，并举例．预设的答案：向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两者可以进行混合运算．例如，对于任意向量a ，式子62a a +（）（）是有意义的．一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法．因此，62a a +（）（）可以简写成62a a +．另外，不难看出628a a a +=．设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．引语：而本节要讲的内容即为向量的线性运算．（板书：向量的线性运算）教师讲解：一般地，对于实数λ与μ，以及向量a ，有()a a a λμλμ+=+． 问题3：33a b +与3()a b +是否相等？如何理解两者之间的这种关系？师生活动：学生自己做出向量，并进行运算，得出结论，教师总结发言．预设的答案：3,3,33,DE a EF b DF a b ===+注意到,||3||,||3||DEF ABC DE AB EF BC ∠=∠==，所以~DEF ABC ∆∆，因此，//,||3||DF AC DF AC =，从而有3,DF a b =+（）即333()a b a b +=+．设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．教师讲解：一般地，对于任意实数λ，以及向量a 与b ，有()a b a b λλλ+=+．三、初步应用例1 化简：52()a b a b +++师生活动：学生通过学习上述运算法则，自己尝试解答问题．预设的答案：原式=52252273a b a b a a b b a b +++=+++=+．设计意图：通过实际例子加强对公式的理解和巩固．问题4：尝试解决如下运算：[(2)](6)a b a -+、-2a b -（）？ 师生活动：学生自己做出向量，并进行运算，得出结论．预设的答案：[(2)](6)(2)66(2)7(2)72a b a a b a a a b a b a b-+=+-+=++-=+-=--2-2a b a b -=+（）设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加减法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．教师讲解：向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算．向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．由于向量的加法满足交换律与结合律，减去个向量可以看成加上这个向量的相反向量．事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号．初步应用例2：化简下列各式：（1）2()2();(2)()2();a b a b a b c a b c +---+-+-+113234;(4)()()()()32a b a a b a b λμλμ-⨯+⨯+-+-+（）师生活动：学生根据学习的公式自己进行运算．预设的答案：（1）原式=22224a b a b b +-+=；（2）原式=-22233a b c a b c a b c -++-+=-+；（3）原式=224a b a a b -+=-（4）原式=a b a b λμλμλμλμ+-++-+-（）（）（）（）=[()()][()()]2(2)22a b a b a b λμλμλμλμλμλμ++-+--+=+-=-设计意图：与向量有关的运算化简，教师可带领学生分别作图作出各向量，验证所得结果是否相等．培养学生利用几何求解相关向量的问题，进一步渗透数形结合的数学思想．例3如图6－1－23所示， 已知22,,33AD AB AE AC ==求证：23DE BC =．师生活动：先让学生利用初中的平面几何知识进行解决（要用到相似三角形的知识，学生对此应该是比较熟悉的），然后再呈现教材中的向量证明方法，最后再让学生把两种方法进行对比，让学生发现利用向量解决问题的优势．预设的答案：由已知得2222()3333DE AE AD AC AB AC AB BC =-=-=-= 设计意图：引导学生注意到向量表达式所蕴含的内容有时更丰富一些，比如中，既体现了线段AD 和AB 的位置关系，又体现了它们的长度之间的关系实际教学时，即要求学生证明初中学过的中位线定理，然后再与初中的证明方法进行类比．例4 已知M 为线段AB 的中点，且O 为任意一点，求证：12OM OA OB =+（）师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由M 为线段AB 的中点可知,AM MB =因此,OM OA OB OM -=-从而有2OM OA OB =+，即1()2OM OA OB =+ 设计意图：利用向量的混合运算进行命题的证明．例5 已知1()2OM OA OB =+，求证：M 为线段AB 的中点． 师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答． 预设的答案：由1()2OM OA OB =+可知2OM OA OB =+，因此,OM OA OB OM -=-，从而有AM MB =，即M 为线段AB 的中点．设计意图：引导学生运用例4的方法解决问题，最后得到M 为线段中点的充要条件， 这样的处理也能培养学生的数学素养．这一充要条件是高中阶段平面向量中最重要的内容之一，教师一定要让学生高度重视．,32AB AD =教师讲解：重要结论：M 为线段AB 的中点的充要条件是1()2OM OA OB =+． 例6 已知A ，B ，C 是三个不同的点，,23,35OA a b OB a b OC a b =-=-=-，求证：A ，B ，C 三点共线．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为23()2,AB OB OA a b a b a b =-=---=-（）35()24AC OC OA a b a b a b =-=---=-（）所以2,AC AB =因此A ，B ，C 三点共线．设计意图：引导学生运用本节知识证明三点共线的方法，但是注意选择的向量不同，给出来的答案可能会不同．巩固练习1、 （1）化简：（2a ＋3b －c ）－（3a －2b ＋c ）＝________．（2）已知向量a ，b ，x ，且（x －a ）－（b －x ）＝x －（a ＋b ），则x ＝________． 师生活动：（1）可类比实数运算中的合并同类项方法化简；（2）可类比解方程方法求解．预设的答案：（1）－a ＋5b －2c （2）0 [（1）（2a ＋3b －c ）－（3a －2b ＋c ）＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －2c ．（2）因为（x －a ）－（b －x ）＝x －（a ＋b ），所以2x －a －b ＝x －a －b ，即x ＝0．] 设计意图：通过巩固训练的设置，加深概念的理解和应用．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）向量的加法与数乘向量的混合运算是什么？（2）什么是向量的线性运算？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：（1）一般地，对于实数λ与μ，以及向量a ，有()a a a λμλμ+=+．（2）向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算．向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确向量加减法和数乘向量的混合运算以及向量的线性运算．．布置作业：教科书第150页练习A1，2，3题．练习B1，2，3题。

向量的线性运算【三维目标】：一、知识与技能1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。

2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.4.初步体会数形结合在向量解题中的应用.二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。

最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点与难点】：重点：如何作两个向量的和向量难点：对向量加法定义的理解.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.学法指导数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【复习】：1.向量的概念2.平行向量、相等向量的概念。

【情景设置】：利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为→--OA，从景点A到景点B的位移为→--AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB●这里，向量→--OA,→--OB,→--OC三者之间有什么关系？二、研探新知1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

中等专业学校2023-2024-1教案AC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做，记作a ＋b ，即 AB ＋BC =AC 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做Aaab中等专业学校2023-2024-1教案AD=BC，AB＋AD=AB＋BC=ACD CAC所表示的向AB与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，AB表示船速，AC为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际行速度，22=+=22AD AB AC+125中等专业学校2023-2024-1教案+++=AB BC CD DE AE：判断下列各等式是否正确：AB BC CD DA ++=二．向量的减法：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做-(-a)=a ， ,a b ，如果a 是b 与另一个向量x 相加 ，即b x a +=；那么怎样求出x ?由作图得出：图b BC a +=；即：a b BC -=；图3：()a b AC +-=；即：a b AC -=. 向量的减法：在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. CBAbaa-b图1图2,,AB AD AC 表,BD DC,,a b c ；求作：a b c -+ a b c --提示：可以用减去一个向量等于加上这个向量 的相反向量来考虑作图D B A中等专业学校2023-2024-1教案。

向量的线性运算【教学目标】理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算.【教学重难点】向量的运算律.【教学过程】一、问题导入在之前的学习中我们已经认识了向量的加法、减法以及数乘运算，那么，向量能否像数字一样进行加、减、乘的混合运算呢？二、新知初探1．向量的线性运算【例】（1）若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝________．（2）化简下列各式：①3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；②12[(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ]－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；②2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a ．【解】（1）由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a ．故填4b －3a ．（2）②原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a ．②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. ③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c ．【教师小结】向量线性运算的方法：（1）向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．2．利用已知向量表示相关向量【例】（1）如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB→＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A ．12a －bB ．12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12b（2）如图所示，D ，E 分别是②ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC→＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.【解】（1）选D ．DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AD → ＝AB →－12AD →＝a －12b ．（2）由三角形中位线定理，知DE ＝12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a ． CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b ． MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ． 【教师小结】用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法（2）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．3．利用向量判断三点共线【例】已知非零向量e 1、e 2 不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．【证明】因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB → .所以AB →，BD→共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． 【教师小结】利用向量判断三点共线的方法：一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB→＝λAC →(或BC →＝λAB→等)即可． 三、课堂总结向量的线性运算：（1）向量的加法与数乘向量的混合运算一般地，对于实数λ与μ，以及向量a ，有λa ＋μa ＝(λ＋μ)a ．一般地，对于任意实数λ，以及向量a 与b ，有λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．（2）向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．四、课堂检测1．下列命题中正确的个数是( )①AB→＋BA →＝0；②AB →－AC →＝BC →；②0·AB →＝0. A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选A ．由两相反向量的和为零向量知②正确；由向量的减法运算法则知，AB→－AC →＝CB →，②错； 由数乘向量的意义知0·AB→＝0，③错； 即正确的个数是1，故选A ．2．在②ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→＝( ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解析：选A ．法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ．法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ． 3．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2．其中，向量a ，b 一定共线的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ 解析：选A ．对于②，b ＝－a ，有a ②b ；对于②，b ＝－2a ，有a ②b ；对于②，a ＝4b ，有a ②b ；对于②，a 与b 不共线．4．若|a |＝5，b 与a 方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b ．解析：由题意知a ＝－57b ．答案：－57。

向量的线性运算【教课目的】1．经过经历向量加法的研究，掌握向量加法观点，联合物理学实质理解向量加法的意义。

能娴熟地掌握向量加法的平行四边形法例和三角形法例，并能做出已知两向量的和向量。

2．在应用活动中，理解向量加法知足互换律和联合律及表述两个运算律的几何意义。

掌握有特别地点关系的两个向量的和，比方共线向量、共起点向量、共终点向量等。

3．经过本节内容的学习，认识事物之间的相互转变，培育数学应意图识，领会数学在生活中的作用。

培育类比、迁徙、分类、概括等能力。

4．经过研究活动，掌握向量减法观点，理解两个向量的减法就是转变为加法来进行，掌握相反向量。

5．学会剖析问题和创建地解决问题。

能娴熟地掌握用三角形法例和平行四边形法例做出两向量的差向量。

6．经过经历研究数乘运算法例及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。

【教课重难点】1．向量加法的运算及其几何意义。

2．对向量加法法例定义的理解。

3．向量的减法运算及其几何意义。

4．对向量减法定义的理解。

5．实数与向量积的意义。

6．实数与向量积的运算律。

7．两个向量共线的等价条件及其运用。

8．对向量共线的等价条件的理解运用。

【教课过程】一、求若干个向量的和的模（或最值）的问题往常按以下步骤进行：（1）找寻或结构平行四边形，找出所求向量的关系式；（2）用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。

二、知识梳理：1．向量的加法定义：如图 3，已知非零向量 A ．B，在平面内任取一点A，作AB =a，BC =b，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记作 a+b，即 a+b= AB + BC = AC。

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

2．向量加法的法例：（1）向量加法的三角形法例。

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法例。

运用这一法例时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。

学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题第6讲-平面向量的线性运算学习目标1．理解实数与向量相乘的意义，会画实数与向量相乘所得的向量，会进行向量的线性运算和化简算式；2．知道向量加法、实数与向量相乘的有关运算律；3．知道平行向量定理，知道向量的线性表示和向量的分解的意义．教学内容1、平面向量的有关概念（1）向量的基本要素：大小和方向 （2）表示方法 用有向线段来表示向量。

有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。

用字母a r 或AB uuur 表示。

（3）模：向量的长度，记作a或|AB | （4）特殊的向量零向量a ＝0 ｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1（5）相等的向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等的向量。

（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量。

（只要方向相同或相反，与长度无关）由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

规定零向量与任何向量共线。

2、向量数乘运算及其几何意义（1）实数与向量的积 定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a 。

B A a r其大小和方向规定如下：大小：a a方向：λ>0时，a 与a 方向相同；λ<0时，a 与a 方向相反。

特别地，当0 或0 a 时0 a 。

（2）运算律：设a 、b 为任意向量， 、 为任意实数，则有：结合律：a a )()( ；第一分配律：a a a )(；第二分配律：b a b a )( 总结：对于任意向量a 、b 及任意实数 、 ,恒有b a b a 2121)( 。

3、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，及其各运算的性质运算类型几何方法运算性质向量的加法1、平行四边形法则2、三角形法则a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u ru u r u u u r向量的减法三角形法则)(b a b aBA ABOB OA AB u u r u u r u u r向量的数乘1、a 是一个向量,满足:2、 >0时,a 与a 同向; <0时,a 与a 异向;=0时, a =0a a )()(a a a )(b a b a )(a ∥b a b复习： 向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：（与实数加法类似） 练习：1、如图，矩形ABCD 中，E 、M 、F 、N 是AB 、DC 的三等分点，设,AB a DA b u u u r u u u r r r 试用向量,a b rr 表示向量,AE AD u u u r u u u r .AE MB2、下面给出四个命题中不正确的是（ ）A ．对于实数m 和向量,a b r r 恒有：()m a b ma mb r r r rB ．对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na r r rC ．对于实数m 和向量,a b r r，若ma mb r r ，则有a b r rD ．对于实数,m n 和向量a r ，若(0)ma na a r r r r，则m n 3、计算：11323(2)8()63443a b c a b c r r r rr r .4、如果向量,,a b x r r r 满足关系式3()5()a b b x r r r r ，试用向量,a b rr 表示向量x r .4、向量平行定理向量平行定理：向量b 与非零．．向量a 共线当且仅当有唯一．．．．．．．一个实数 ，使得 a b 。

基本内容 平面向量的分解知识精要1. 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。

2. 一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么 c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成b y a xc +=的形式，其中x 、y 是实数。

3. 向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，b n a m c +=（m ，n 是实数），那么向量c 就是a m 与b n 的合成；也可以说向量c 分解为a m 、b n 两个向量，这时向量a m 、与b n 是向量c分别在a 、b 方向上的分向量，a m +b n 是向量c 关于a 、b 的分解式。

4. 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上进行分解。

精解名题例1. 如图，平行四边形ABCD 是以向量AB =a 、AD =b 为边的平行四边形，AC,BD 相交于点O ，又DM =31DO ，ON =31OC 。

试用a 、b 表示AM ，AN 和MN 。

解：∵DB =AB -AD =61a -61b ∴AM =AD +DM =61a +65b ∵AC =a +b ∴AN =32AC =32a +32b ∴MN =AN -AM =21a -61b 例2. 如图，已知两个不平行的向量a 、b 如下，求作：3a +2b ，a -2b解：在平面内任取一点O ，做b OB a OA ==,，再做b OD a OC 23==，，以OC ，OD 为邻边，作平行四边形OCED ，则b a OE 23+=，作向量b a DA DA 2-=，则。

例3. 设M 、N 、P 是△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BM=41BC ，CN=41CA ，AP=41AB ，连接MN 、NP 、PM.设AB =a ，AC =b ，分别求出向量MN 、MP 、PN 关于a 、b 的分解式。

∵BC =AC -AB =b -a , MC =43BC =43(b -a ) ∴=+=21-43 =-=-21-41 PN =AN -AP =43b -41a备选例题例1. 点M 是△CAB 的边AB 的中点。

向量的线性运算教案介绍：本教案旨在向学生介绍向量的线性运算，包括向量的加法、减法、标量乘法和内积。

通过引导学生进行具体的实践操作和问题解决，帮助他们理解向量的线性运算的概念和规则，并培养他们的应用能力。

一、概念介绍向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头表示。

向量的加法、减法、标量乘法和内积是向量的基本运算。

二、向量的加法1. 向量的加法满足交换律和结合律。

示例1：已知向量a = (2, 1)和向量b = (3, -1)，求a + b。

解析：根据向量的加法规则，将a和b的对应分量相加，得到结果向量c = (2+3, 1+(-1)) = (5, 0)。

三、向量的减法1. 向量的减法是指将被减向量转化为负向量，然后与减向量进行加法运算。

示例2：已知向量a = (5, 3)和向量b = (2, 1)，求a - b。

解析：根据向量的减法规则，将b取负后与a相加，即可得到结果向量c = (5-2, 3-1) = (3, 2)。

四、向量的标量乘法1. 向量的标量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个标量。

示例3：已知向量a = (2, 4)和标量k = 3，求ka。

解析：将向量a的每个分量都乘以标量k，得到结果向量c = (2*3,4*3) = (6, 12)。

五、向量的内积1. 向量的内积（点积）是指将两个向量对应分量相乘再相加的结果。

示例4：已知向量a = (3, 2)和向量b = (1, 4)，求a · b。

解析：将向量a和b的对应分量相乘再相加，得到结果c = (3*1 +2*4) = 11。

六、综合练习1. 针对以上四种向量的线性运算，设计一些实际问题，引导学生进行综合练习和解决。

总结：通过本教案的学习，学生应该能够理解和掌握向量的线性运算，包括加法、减法、标量乘法和内积。

在实际问题中，可以灵活运用这些概念和规则，解决与向量相关的计算和分析问题。

课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。

第二章平面向量(向量线性运算)知识点一：向量的概念1．向量(有向线段): 既有大小又有方向的量叫做向量.2．向量的表示方法:(1)字母表示法: 如等.(2)几何表示法: 用一条有向线段表示向量.如等.3．向量的有关概念向量的模: 向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的长度).零向量: 长度为零的向量叫零向量.单位向量: 长度等于1个单位的向量.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量(平行向量): 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.规定: 与任一向量共线.练习1．判断下列各命题是否正确：(1)若，则；（）(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则由可以推出四边形为平行四边形；（）(3)若，则;（）(4)如果两向量相等，则且.（）2. 下列说法正确的个数是( )①向量，则直线直线②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既是有向线段；④在平行四边形中，一定有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3．下列说法中正确的个数有（ ）①零向量的长度为0；②零向量与任一向量平行；③零向量的方向是任意的； ④非零向量a 的单位向量是a a ±． A .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．命题“若c b b a //,//，则c a //” （ ）（A ）总成立 （B ）当0≠a 时成立 （C ）当0≠b 时成立 （D ）当0≠c 时成立5．把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）（A ）一条线段（B ）一段圆弧 （C ）圆上一群孤立点 （D ）一个单位圆6．若向量a 与b 为相反向量，则下列命题中正确的个数有（ ）①b a // ②b a = ③b a -= ④0=+b a（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则、多边形法则2．运算律：①交换律：； ②结合律：3． a + 0 = 0+ a= a知识点三：数乘向量1. 向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1) 长度： ||||||λλ=a a ；(2) ①当时，的方向与的方向相同； ②当时.的方向与的方向相反； ③当时，.2. 数乘的运算律：(1) ()()λμλμ=a a ;(2) ()λμλμ+=+a a a ;(3) ()λλλ+=+a b a b .练习1. 如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示2. 化简 （1）（AB +CD ）+BC（2）（AD +MB ）+（BC +CM ）3. 在平行四边形ABCD 中，BC +DC +BA 等于 （ ）A.BCB.DAC.ABD.AC4. 如图5—5，在ABCD 中，已知a AB =，b DB =，则=AD _______，=AC _______。

高等数学教案：向量及其线性运算第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算本授课单元教学目标或要求：理解向量的概念及其表示，会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质重点：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质难点：向量线性运算基本性质的证明和理解对学生的引导及重点难点的解决方法：从中学平面解析几何中代数与几何的关系入手，指出可以用代数方法帮助研究几何问题，从而提出建立空间坐标系的重要性；引入向量的相关概念，定义向量的线性运算并给出其几何解释。

本节的难点为向量运算基本性质的证明与理解问题，首先应该通过力学实例给出向量加法的物理学实例，从而引入向量加法的定义，完成从实例到抽象定义的转化；然后在几何上给出向量加法的平行四边形法则和三角形法则，说明其等价性，完成从抽象到具体几何解释的转化，为后续证明打好基础；接着定义向量与数的乘法，并给出几何解释；最后利用向量运算的几何解释证明向量线性运算的结合律与分配律。

例题：例1 化简例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.其他例题见PPT本授课单元教学手段与方法：讲授教学与多媒体教学相结合本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）P301 5.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P289---P294注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。