随机信号分析课件352页PPT

由 E [ X ( t 1 ) X ( t 2 ) ] R X ( t 1 ,t 2 ), T t 1 ,t 2 T
得
S X () T li m 2 1 T T T T T R X (t1 ,t2 )e j (t2 t1 )d t1 d t2
1T t
S X () T li m 2 T T t
两个结论 1、
QA Ex2(t)
随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时 间平均得到。
若随机过程广义平稳
QAEx2(t)Ex2(t)
2、
Q 1
2
SX()d
若随机过程广义平稳
Ex2(t)21 SX()d
3.1.3功率谱密度与复频率面
在系统分析中，常用复频率表示更为方便.
sj
S X ( )
T T R X ( t,t ) d te j d
SX() Tli m 21T TTRX(t,t)dtejd ARX(t,t) ejd
对于广义A 平R 稳X(随t,t机过)程2 1 SX()ejd
RX(t,t)RX()
ARX(t,t) ARX() RX()
则
SX ()
RX
[x (t)]2 d t x (t)2 1 X X ()e j tdd t
1
2
XX(
)x(t)ejtdtd
21 XX()XX ()d
2 1 XX(
2
)d
[x(t)]2dt
非周期时间函数的帕塞瓦等式
如果x(t)表示的是电压，则上式左边代表x(t)在
S X()S 0(2N 2 M d 2 c N 2M 2 22N 2 M 2 2L L d 2 c22 2 d 0 c0)
SX(s)a2((s s a b 1 1 ))L L((s s a b 2 2N M ))
零极点的性质：
ab
1 a²为实数
2 SX（s）在虚轴上无极点。
(,)时间内的总能量。因此等式右边的被积函 数表示了信号能量按频率分布的情况，称为能谱密 度。
3.1.2随机过程的功率谱密度 样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率
是有限的
Qlim1 T x(t)2dt T 2T T
因此，可以研究随机过程的功率谱。
样本函数x(t)的截取函数
x(t)
xT
(t)
jω
10(s 5)(s 5)
(s2)(s2)(s 6)(s 6)
6 52
O
256
σ
3.2平稳随机过程功率谱密度的性质 3.2.1功率谱密度的性质 1、功率谱密度为非负的，即
SX () 0
SX()Tli mEXX2(TT,)2
2、功率谱密度是ω的实函数。 3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，
3 SX（s）中M<N。
3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系
功率谱密度的表达式为
其中
SX()Tli mEXX2(TT,)2
XX(T, ) xT(t)ejtdt
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
取集合平均可得
E 2 1 T T T x 2 (t)d t E 2 T * 1 2 X X (T , )2 d
随机过程的平均功率
T li m 2 1 T T TE x2(t) d t2 1 T li m E X X 2 (T T , )2 d
Q T li m 2 1 T T TE x 2 (t) d t 2 1 S X ()d
即
SX()＝ SX(－ )
截取函数x T ( t ) 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质
XX *(T,)XX(T,)
于是
XX
(T,)
2
XX
(T,)
X
* X
(T,)
X X *(T ,)X X (T ,)X X (T ,)2
4、功率谱密度可积，即
SX()d
3.2.2 谱分解定理
功率谱表示成两个多项式之比
()e
j
d
RX
()
1
2
SX
()ej
d
维纳－辛钦定理
平稳随机过程的相关函数和功率谱密度皆为偶函数
SX() 2 0 RX()cosd
RX
()
1
0 SX()cosd
例3. 考虑随机电报信号。它是广义平稳随机过程。 具有自相关函数为
R X ()A e ， A 0,0
求过程的功率谱密度。
解： 利用维纳---辛钦公式，并分两段进行积分
1、x(t)在(,)范围内满足狄利赫利条件；
2、x(t)绝对可积，即
x(t)dt
3若x(t)代表信号，则x(t)信号的总能量有限，
即
2
x(t) dt
满足上述三个条件，则x(t)的傅立叶变换存在。
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XX() x(t)ejtdt
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
x(t)21 XX()ejtd
则可以得到
S X (s)
最简单的情况是σ=0，s=jω。
S X ( s ) 沿复频率面s在虚轴j ω的变化与 S X ( )
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致，各自 的函数形式并不相同。
【例题】
SX()410(10225)24
用复频率表示功率谱。
解：
SX(s)SX(js)
10(s2 5) s4 10s2 24
x(t) 0
t T 其他
-T
T
t
截取函数的傅立叶变换
XX(T, ) xT(t)ejtdt xT(t)21 XX(T,)ejtd
截取函数应满足帕塞瓦定理
Tx(t)2dt1
T
2
XX(T,
2
)d
两边同除以2T可得
1Tx2(t)d t 1
2 T T
2 T * 2
2
X X (T , )d
在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随 机信号是否存在某种谱特征？回答是可以，不过在 随机信号情况下，必须进行某种处理以后，才能应 用傅立叶分析这一工具。因为一般随机信号的样本 函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件，即
x(t)dt
3.1 随机过程的谱分析 3.1.1确定性信号谱分析的简单回顾
x(t)是时间t的非周期函数，x(t)的傅立叶变换 存在的充要条件是：