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函数的单调性(1)师

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练习：
证明函数 f ( x)
x 1 在 (,2) 上是增函数. x2
例3 证明：
证明函数 f ( x ) x
4 在(2,+∞)上是增函数. x
【学习感悟】
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南通市第二中学助学案
高中数学 必修① 编写 马淑芳 审核
【自主训练】
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性. 函数 图像 增区间 减区间
设函数 y f ( x) 的定义域为 A ,区间 I A 。 增函数： 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1, , x2 ， 当 x1 x2 时， 都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说 f ( x) 在区间 I 上是 减函数： 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1, , x2 ， 当 x1 x2 时， 都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说 f ( x) 在区间 I 上是 函数的单调性定义 如果函数 y f ( x) 在区间 I 上是 ，
2
单调递增区间，并用定义证明
4.求证：函数 f ( x)
x 在区间 (1,) 上为单调减函数。 1 x2
5. 判断 f ( x) x x ，并证明
3
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（黑色笔为集体备课修改意 见，红色笔为教师二次备课内 容。 ）
【自主梳理】
阅读教材 p37---p40 理解单调递增、 单调递减和单调区间的概念 并完成以下问题。. 问题 1.画出下列函数的图象，观察其变化规律： y （1） f ( x) x 1 从左至右图象上升还是下降 _______ ○ 1 2 在区间 _________________ 上，随着 ○ x 的增 -1 1 x 大， f ( x) 的值随着 ________________ 。 -1 y （2） f ( x) 2 x 1 1 从左至右图象上升还是下降 ______ ○ 2 在区间 ____________ 上，随着 x 的增 ○ 1 大， f ( x) 的值随着 _____________。 2 -1 1 x （3） f ( x) x -1 1 在区间 ____________ 上， f ( x) 的 ○ y 值随着 x 的增大而增大。 2 在区间 ____________ 上， f ( x) 的 ○ 1 值随着 x 的增大而减小。 -1 函数的单调性概念 -1 1 x
结合 y (-∞,0)∪(0,+∞).
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（ 3 ） . 对 函 数 yLeabharlann 1 , 取 x1 1, x
x2 2 ， 则
f ( x1 ) 1 f ( x2 )
说函数 y=
1 ，满足当 x1 x2 时 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 2
南通市第二中学助学案
高中数学 必修① 编写 马淑芳 审核
课题： 函数的单调性 （1） 执教：
课型： 授课时间：
新授
集体备课与二次备课 时间： 地点：
【学习目标】
（1）理解增（减）函数的概念及单调性、单调区间的概念； （2）能根据函数图象判断其单调区间； （3）初步掌握用定义证明一些简单函数单调性的方法。
y f ( x) 是增函数还是减函数 .(注意： 1.单调区间的书写； 2.
各单调区间之间的关系)
练习 1.画出函数的图象,并写出单调区间
y x 2 3
(1) (2)
y
1 x
1 图象探讨下列说法是否正确？ x 1 1 （1）函数 y 是减函数； （2）函数 y 的单调递减区间是 x x
y kx b(k 0)
y
k (k 0) x
y
k (k 0) x
y ax2 bx c(a 0) y ax2 bx c(a 0)
2.画出函数 f ( x) x 2 的图像， 根据图像写出 f ( x) 的单调区 间 3.画出函数 f ( x) x 4 x 5 的图像，根据图像写出 f ( x) 的
1 在定义域上是增函数对吗？为什么？ x
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性， 是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据 增减函数的定义来证明它的单调性呢？ 例 2 证明函数 f ( x ) 证明：
2 1 在 (,0) 上是减函数. x
总结：利用定义证明函数 f ( x) 在给定的区间 D 上的单调性的 一般步骤：
那么就说函数 y f ( x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间
I 叫做 y f ( x) 的
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南通市第二中学助学案
高中数学 必修① 编写 马淑芳 审核
想一想： 增函数的定义中，把“当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ”改为 “当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ”,行吗? 增函数的定义中，把“当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ”改为 “存在 x1 x2 ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) ”,行吗? 增函数的定义中，“当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ”反映了 函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点? 函数 y f ( x) 在区间 I 上具有单调性， 说明了函数 y f ( x) 在 区间 I 上的图象有什么变化趋势？ 例 1．如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数 y f ( x) 的图象， 根据图象写出 y f ( x) 的单调区间，及在每一单调区间上，

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函数的单调性(一)

函数的单调性(一)

x) = x 1
y
f ( x) = x 2
o
x
o
x
o
x
试用符号语言表述函数y=f(x)在区间D上是增函数.
y
y = f ( x)
f(x1)
o x1 x2
f(x2)
x
讨论：在函数
f ( x) = x 2
y
（ - ， ） 的定义域 上， 取
f ( x) = x 2
求a的取值范围
变式：已知f ( x)是(0,2)上的减函数，若f (a 1) f (3a)
求a的取值范围
例4：求证：函数f ( x) = 2 x 2 3在区间(-,0)是增函数
变式：讨论函数f ( x) = ax 2 3在区间(-,0)的单调性 并证明
a 例5：讨论函数f ( x) = x (a 0)的单调性 x
(4)若函数f ( x)在区间[1,2]和(2,3]上为增函数 则函数在[1,3]上为增函数
例2、已知函数f ( x)是在(0, )上的增函数 求f (a +1)与f (1)的大小关系
2
变式、已知函数f ( x)是在(0, )上的增函数 讨论f (a 2 3)与f (2a)的大小关系
例3：已知f ( x)是R上的减函数，若f (a 1) f (3a)
1 (1)已知函数f ( x) = ,因为f (1) f (2), 所以f ( x)是增函数 x
例1、判断下列说法是否正确
(2)若函数f ( x)满足f (1) f (2), 则函数f ( x)在区间[1,2]上为增函数
1 (3)因为f ( x) = 在区间(,0)和(0, )上都是减函数 x 所以f ( x)在( ,0) (0, )上是减函数
函数单调性的性质

函数单调性的性质

函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有，0)()(2121>--x x x f x f（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，0)()(2121<--x x x f x f（3） 函数的单调性还有以下性质．1．函数y ＝－f （x ）与函数y ＝f （x ）的单调性相反．2．当f （x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝)(1x f 与y ＝f （x ）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等． 4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。

如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。

5..若()f x ≠0，则函数()1f x 与()f x 具有相反的单调性,. 6. 若()f x >O ，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。

若 ()f x <0，函数()f x 与函数()f x 具有相反的单调性7。

.函数()f x 在R 上具有单调性，则()f x -在R 上具有相反的单调性。

复合函数的单调性。

如果函数 ()x g u = A x ∈ B u ∈ ()u f y = ()B C ⊆ D y ∈，则()[]x g f y =称为x 的复合函数。

解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u 的定义域与值域的作用。

复合函数的单调性的判断：同增异减。

函数单调状况 内层函数()u g x = 增 增 减 减 外层函数()y f u = 增 减 增 减 复合函数增减减增题型一：求函数的单调区间及该区间上的单调性1.求下列函数的增区间与减区间(1) y ＝|x 2＋2x －3| 1122---=x xx y32y 2+--=x x2.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？题型二：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性例1.若函数y ＝ax , y ＝bx-在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在（0,＋∞）上是 ________（填单调性）．例2.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．答案：在(- 4，0)上单调递减。

数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(一))教师版

数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(一))教师版

，(1,0-，()0,1，1,+∞⎡⎣b a ⎤⎥⎦，,0b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,b a ⎛- ⎝，⎡-⎢⎣上单调递增（减），则数()f x 在区间[],b --上单调递增（减）； 上单调递增（减），则数)在区间[]-上单调递减（增）。

【注意】书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭【典型例题分析】例1、判断函数()21xf x x =-在区间()1,1-上的单调性。

【解析】利用函数的单调性的定义判读即可。

【答案】()21xf x x =-在区间()1,1-上单调递减。

变式练习1：已知()3f x x x =+，判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性，并证明。

【解析】直接利用函数单调性的定义判断。

【答案】()f x 在(),-∞+∞是增函数【点拨】用定义研究函数的单调性时，所取12,x x 应是指定区间上的任意两值，对差()()12f x f x -的变形主要有因式分解或配方、通分、分子有理化等方法，确定差的符号时要注意12,x x 的所在范围，另外，有字母系数（即参数）的要注意字母对单调性的影响（如y kx b =+）变式练习2：证明：函数()1f x x x=+在()0,1上是减函数。

证明略例2、求下列函数的单调区间 （1）()210y x x x =+< （2）221x y x -=+ （3）223y x x =-++ 【解析】 利用常见函数的单调性及函数图像求解 【答案】（1）单调减区间(),0-∞ （2）单调增区间()()1,,,1-+∞-∞- （3）单调增区间为]([],1,0,1-∞- 单调减区间为[])1,0,1,-+∞⎡⎣例3、已知()f x 为偶函数，且当x ∈)0,+∞⎡⎣时单调递减，求()22f x x -()1x ≤的单调区间。

【解析】根据外层函数的单调区间，对内层函数的单调区间进行相应分段。

函数的单调性教案

函数的单调性教案

函数的单调性教案函数的单调性教案一、基本概念函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

如果对于任意的 x1 和 x2，当 x1<x2 时，f(x1)<f(x2)，则函数 f(x) 称为递增函数；如果对于任意的 x1 和 x2，当 x1<x2 时，f(x1)>f(x2)，则函数 f(x) 称为递减函数。

二、学习目标1. 掌握函数的单调性的概念和判断方法。

2. 能够分析函数的图象，判断其单调性。

三、教学过程1. 导入新知识（1）老师出示一张包含递增函数和递减函数图象的海报，要求学生观察，并思考这两种函数的特点和区别。

（2）学生回答后，老师引导学生总结递增函数和递减函数的定义，并引入函数的单调性的概念。

2. 问题探究（1）老师出示一个函数的曲线图，让学生观察，并思考这个函数在哪个区间上递增，在哪个区间上递减。

（2）学生回答后，老师引导学生思考判断函数在定义域上的单调性的方法。

（3）学生讨论后，老师引导学生总结判断函数单调性的方法：①分析函数在定义域上的导数的正负性。

如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。

②分析函数的图象。

如果函数的图象呈现上升趋势，则函数在该区间上递增；如果函数的图象呈现下降趋势，则函数在该区间上递减。

3. 解决问题（1）老师出示几个有关函数的问题，让学生分析函数的单调性，并给出解答：①已知函数 y=x^2-2x+1，判断函数的单调性。

②已知函数 y=2x^3-3x^2+6，判断函数的单调性。

③已知函数 y=e^x-x，判断函数的单调性。

（2）学生上台讲解解题思路和答案，并与全班一起讨论和纠正。

4. 拓展练习（1）学生自行从教材中选择几道题目，进行解答，并相互交流。

5. 归纳总结（1）老师带领学生回顾所学内容并进行总结，强调函数的单调性的判断方法。

（2）学生进行笔记的整理和归纳。

四、教学反思通过本节课的教学，学生能够清楚地理解了函数的单调性的概念和判断方法，掌握了判断函数单调性的基本技巧。