二元一次方程组的解法复习课PPT

X=2Y+70 （3）买4支铅笔、3支圆珠笔共花了元．
2.甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制 作12件已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每 人每天可制作几件？
、B两地相距36千米，甲从A地步行 到B地，乙从B地步行到A地，两人同 时相向出发，4小时后两人相遇，6小 时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的 2倍，求二人的速度？
有多少个未知数？
知道b,则可知k,若题目中不准给出b的值,则需 要知道什么可求出k? 多给一对x、y的值.
要求两个未知数,就要知两个相等关系.
1.如果在y=kx+b中,已知x=80,y=195,再给出
x=50时,y=123,能否确定k? 试求出k.
1129355800kkb b 2.如果在y=kx+b中,已知x=80,y=200,再给出k与
解: (1) 设45座客车x辆，学生y 人。
45x+15=y 解得： x=5
60(x-1)=y
y=240
(2)因为，220/45< 300/60，所以因尽可能租用45座的车 45+15=60，所以只需将原计划中的一辆45座车换成一辆 60座的车即可共需:220X4+300=1180元.
1. 小冬和小华为了响应学校假期里”要多 读书”活动,各自购买了图书若干册,如果小 冬借给小华5册,那么两人的书相等;如果小 华借给小冬20册,那么小冬的书比小华的书 多5倍,问小冬,小华各自购买了书多少册?
•
• “某商场，计划用60000元从厂家购进 若干部手机，以满足市场需求，已知 该厂家生产三种不同型号的手机，出 厂价分别为甲种每部1800元，乙种每 部600元，丙种型号手机每部1200元.
（1）若商场同时购进其中两种不同型 号的手机共40部，并将60000元恰好 用完.请你帮助商场计算一下如何购买.

1 1
为解的二元一次方程：
_______.(只要写出一个方程，不要写成方程组！)
知识点三 二元一次方程组的概念
要点：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一 次方程组
例1 下列属于二元一次方程组的是（ ）
x y 0
A.
y
1
2
B.xy
y z
4 1
xy 4
x2 y 4
知识点六
变式 用加减消元法解下列方程组：
(1).42xx
y 4 5y 23
x
(2).
3 x
2
y 4 y 3
1 1
(3).57xx
6y 4y
9 5
x
(4).
x
3 3
y y
x x
4 4
y y
5 11
知识点七 列二元一次方程组解决实际问题
要点：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 1.审：认真审题，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确 已知量、未知量； 2.设：设出两个未知数，可直接设，也可间接设； 3.列：根据等量关系列出方程组； 4.解：求出所列方程组的解； 5.验：检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验其是否符合题意，不符 合的要舍去； 6.答：写出答案，包括单位名称。
C.3x y 1
D. x y 2
知识点三
判断是否是二元一次方程组的注意事项： 二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组 而言的，组成方程组的各个方程不必都含有两个未知数， 只要共含有两个未知数即可。
知识点三
变式1 下列属于二元一次方程组的是（ ）
2x y 1
A.
y
2z

2
与绝对值、乘方、算术平方根的结合
练、如果∣y + 3x - 2∣ +
求 x 、y 的值.
5 x 2 y 2 = 0，
与二元一次方程的定义的结合
例、若方程
5x
2mn
4y
3m 2 n
9
是关于x、y的二元一次方程， 求m、n的值。
互为相反数的数：相加等于0
例：在二元一次方程 4 x 3 y 14中，
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 一元 基本思路: 消元: 二元
2、用代入消元法解方程的主要步骤是什么？ 一元
变形 代入 求解
用一个未知数的代数式
写解
表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
x 5 y 8 ③ 解 : 原 方 程 组 可 化 为: x 3 y 4 ④ ③+④，得 2 y 4 y 2
3( x y ) 2( 2 x y ) 8 解方程组 x y x y 1 4 2
① ②
把 y 2代入④ , x 3 2 4,
x 2. x 2 原 方 程 组 的 解 是: y 2
14 x 3 y 84 ③ 解 : 原 方 程 组 可 化 为: 10 x 3 y 48 ④ ③-④，得 4 x 36 x 9
2x 3 y 2x 3 y 7 4 3 解方程组 2 x 3 y 2 x 3 y 8 2 3
① ②
把 x 9代入④ ,10 9 3 y 48, y 14 .
x9 原 方 程 组 的 解 是: y 14
用代入法解下面的方程
4

x 90 y
B、48y 15x
x y 90 C、 30x 24y
y 90 x D、 2(15 x) 24y
例1. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上
市销售,该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或者
粗加工16吨,现计划用15天完成加工任务,该公司应安
例2. 某中学组织初一同学春游,原计划租用45座客车 若干辆,但有15人没有座位;如果租用同样数量的60座 客车,则多出一辆,且其余客车恰好全满.已知45座客车 用租金为每辆220元,60座客车用租金为每辆300元,试 问: (1)初一年级人数是多少?原计划租用45座客车多 少辆?(2)要使每个同学都有座位,怎样租用车辆更合算?
2.解二元一次方程组 解一元一次方程
消元转化 (代入消元、加减消元)
3.数学解题中,问题中未知数的个数＿等＿于相等 关系的个数
4.列方程解应用题的步骤：
审题；设；列；解；检；答。
作业：
1、作业本复习题 2、课后目标与评定
1. 小冬和小华为了响应学校假期里”要多 读书”活动,各自购买了图书若干册,如果小 冬借给小华5册,那么两人的书相等;如果小 华借给小冬20册,那么小冬的书比小华的书 多5倍,问小冬,小华各自购买了书多少册?
相等.
4.已知x=m+1,y=m-1满足方程3x-y+m=0.由此你可以知 道什么？
答:知道m.把x=m+1,y=m-1代入方程3x-y+m=0,得 3(m+1)-(m-1)+m=0.
m4 3
5.已知|x+2y+5|+(x-y+1)2=0,求(x+y)2的值.
解： 两个非负数的和为0时,这两个有理数只 可能都为0,所以由题意,得

迭代法
总结词
通过不断迭代逼近的方式来求解二元一次方程组的近似 解
详细描述
迭代法是一种求解二元一次方程组的近似解的方法，其 基本思路是通过不断迭代逼近的方式来求解二元一次方 程组的近似解。这种方法的关键是选择合适的迭代公式 和迭代初始值，同时要注意迭代过程中的收敛性问题。 迭代法在一些特定情况下可以求解非线性方程组，但在 一般情况下，其求解效率和准确度不如前三种方法。
05
解二元一次方程组的软件工具
MathWorks MATLAB
MATLAB是一款由MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据 可视化、数据分析以及数值计算。
MATLAB可以用来求解线性方程组，其中包括二元一次方程组，同时它也提供了 丰富的工具箱用于高效地解决特定问题。
Apache POI
2
方程组中每个方程至少包含两个未知数，且每 个方程都是一次方程，即未知数的次数为1。
3
二元一次方程组常常用于解决各种实际问题中 的数量关系问题。
二元一次方程组解法的发展历程
01
二元一次方程组解法的发展历程：解二元一次方程组可以追溯到古代数学，其 发展历程非常悠久。
02
古代数学家们通过各种方法和技巧来求解二元一次方程组，如唐代数学家李冶 的“天元术”和元代数学家朱世杰的“四元术”等。
加减消元法
总结词
通过两个方程式之间的加减运算，消去其 中一个未知数，从而将二元一次方程组转 化为一元一次方程组
详细描述
加减消元法是求解二元一次方程组的另一 种常用方法，其基本思路是通过两个方程 式之间的加减运算，消去其中一个未知数 ，从而将二元一次方程组转化为一元一次 方程组。这种方法的关键是选择合适的两 个方程式进行加减运算，同时要注意加减 过程中不要出现增解或漏解的情况。

x y 49 方程组 12x:18y 1:2 .
.
11
3.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最 远路程为3千米，超过3千米的部分按每千
米另收费。甲说：“我乘这种出租车走了 11千米，付了17元。” 乙说：“我乘这种 出租车走了23千米，付了35元。” 这种出 租车的起步价是多少元？超过3千米后，每 千米的车费是多少元？
.
12
错解: 设这种出租车的起步价是x元, 超过3千米后，
每千米的车费是y元.
3 x (11 3) y 17
3
x
( 23
3) y
35
x 5 3 y 1 .5
答:
这种出租车的起步价是 每千米的车费是1.5元.
5 3
元, 超过3千米后，
.
13
4. 某商场用2500元购进A、B两种新型节能 台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如 下表所示：
.
3
课前检测
1、某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，
花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种
奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种
奖品各买x多y少30 件？若设购买甲种奖品xxy件30，乙种奖品
y 件，则方程组正确的是（ B ） 12x16y400
12x16y 400
A、 1x2xy136y0400 B、 1x6xy132y0400 C、 1x2xy1x21xy16463yy00400030 D 、 1x6xy124y0030
.
9
1、陈老师打算购买气球装扮学校“六一”活动会场, 气球的种类有笑脸和爱心两种, 两种气球的价格 不同, 但同一种气球的价格相同, 由于会场布置 需要, 购买时以一束(4个气球)为单位, 已知第一、 二束气球的价格如图所示, 则第三束气球的价格

3 1
，乙看错了②中的b，解得
x
y
5 4
试求a2018
(
b )2017的值。 10
9.若方程组
3x x 3
y y
1 1
3a的解满足x+y=0， a
求a的取值.
10.某商品按定价销售，每个可获利45元， 现在按定价的8.5折出售8个，所能获得的 利润与按定价每个减价35元出售12个所获 得的利润一样，问这种商品每个的进价与 定价是多少元？
课堂小结：
通过本节课的学习你收获到了那些？
巩固训练
1、下列方程中属于二元一次方程的是( )
4
1
1
A.2x+3y=z
B. +y=5
x
C. 2 x2+y=0
D.y= (x+8)
2
5x y 18 3程、组已甲知和方方程程组乙甲,你认9x为下7 y列的21说和法方中程正乙确9的x-是7y(=21,)不通过解方
（4）
3x
32x
22y 1 1 2 y
5 33
8. A市至B市的航线长1200km，一架飞机 从A市顺风飞往 B市需2小时30分，从B市 逆风飞往A市需3小时20分。求飞机的平 均速度与风速。
变形训练
1.若方程组
x y 3
x
y
1
x my 2
与
nx
y
3
方程组同解，
则 m=＿＿＿，n=＿＿＿
2 1
5.解பைடு நூலகம்程组
ax by cx 7 y
2 8
而正确的解是
x
y
3 2
时,一学生把c看错而得到 那么a、b、c的值是(•

x 1
所以原方程组的解是
y
1
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
解:由①+②得:
5x=10
x＝2
把x＝2代入①，得： y＝3
x 2
所以原方程组的解是
y
3
直接加减消元法
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
由①+②得: 5x=10
2x-5y=7
①
2x+3y=-1 ②
4、写出方程组的解
随堂练习： 你解对了吗？
1、用代入消元法解下列方程组
⑴
y=2x x=4 x+y=12 y=8
x=y—2-5
⑵
x=5 y=15
4x+3y=65
x+y=11
3x-2y=9
⑶
x=9 ⑷
x=3
y=2 x-y=7
y=0
x+2y=3
能 力 检 验 解二元一次方程组
（1）
2a b 18, a 3b 2.
（2） 2x y 5, 3x 4y 2.
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/21
1
1
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y
的二元一次方程，求m 、n 的值.
解： 根据已知条件可
列方程组：
2m + n = ①
13m – 2n = ②
由①得：1 n = 1 – ③
by ay
3 3
的解是
x 2
y
1
，则 a b 的值是
．
7.已知关于x，y方程组
2x 3x
3y 5y

3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
等式性质
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
分析: ①左边
②左边 = ①右边 ②右边
拓展
如何利用加减法解方程组35xx
6 4
y y
42 10
通过本节课的学习，你有哪 些收获？
通过本节课的学习，你还有 疑惑吗？
P32 练习：解下列方程组
谢谢！
两个方程
4x+6y=14
只要两边 分别相减就可以消去未知数 x
练一练
（二）用加减法解二元一次方程组。
⑴ 5x+y=7 3x-y=1
⑵ 4x-3y=5 4x+6y=14
答案：xy
1 2
答案：xy
2 1
练一练
3、已知
x 2
y
1
的解，则 a b
是二元一次方程aa组xx Fra bibliotekby by
7 1
的值为（ -1 ）
3x 5y 3x 4y = 5 23
3x 5y 3x 4y 18
注意符号
9y 18 y 2
将y=-2代入①,得 3x 5 2 5
x5
用括号将两个式子相减，注意减去前面是负 号的项，去括号要变号。
解方程组:
3x 3x
5 4
y y
5 23
① ②
解:由①-②得:
9y 18 y 2
问题：利用加减消元法直接解二元一
次方程组的前提条件是什么？

分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系： (1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米 (2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米 解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。 根据题意，得
3x=3y+150 1.5x+1.5y=150 解这个方程组即可。
本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。
例1．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团 中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处 下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公 里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地， 必须在什么时候出发?
二、讲解
例1．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团 中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处 下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公 里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地， 必须在什么时候出发?
分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需 要多少个小时?
4.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上 的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得 新数比原来的三位数大99，求这个三位数。 分析：怎样设未知数?直接设可以吗?
这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上 数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?
2．列方程组解实际问题，提高分析问题、解决问题 的能力。
重点、难点 1．重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。 2．难点；找出等量关系列出二元一次方程组.
一、复习提问
1.知识结构 二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法。 2．注意事项 (1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一 次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关 系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组， 从而解决一些简单的实际问题。 (2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消 元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和 加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特 点灵活选定。 (3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答， 检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要 的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。