二元一次方程组的巧妙解法

二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．
一、代入法
2x+5y=－21
例1、解方程组
x+3y=8
3x－4y=9
例2、解方程组
9x－10y=3
※解题方法：
①编号：②变形③代入④求x（或y）：；⑤求y（或x）：⑥联立：
三、加减消元法
2x+3y=14
例3、解方程组
4x－5y=6
3(x+2)+(y －1)=4 例4 解方程组
3(x+2)+(1－y)=2
※解题方法：
①编号 ②系数相等
③相加（或相减） ④求值 ⑤求另值 ⑥联立
3．精选真题强化练习：
解二元一次方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=+52y x 4
y 2x
（2）⎩⎨⎧==+112y -3x 12y x。

解二元一次方程组的基本方法是消元，而我们熟知的方法就是代入消元法和加减消元法，但这两种方法都比较繁琐．下面通过加减消元法的解答过程探讨更简单直接的方法．例．解方程组的解．加减消元法解答过程：······························①两式作差，得···························②··························③将③代入，得··························④所以，原方程组的解为：【解析】由方程组的解可知，，的分母均为，我们可先求二者的分母，而该值亦是②式中的系数，再由①式形式，我们可以通过把原方程组中的两个方程的，的系数写成如下形式：·····························⑤交叉相乘相减，得到二者的分母．再求的分子，即②式右边的数值，可由得到．事实上，用替换⑤中计算可得．即求的值时，用常数列相应替换的系数列．同样地，求的分子，可由得到．即求的值时，则在⑤中用常数列相应替换的系数列计算可得．通过上述推导，我们得到解二元一次方程组的简单方法：，．其中，，，．【注】作为，的分母，因此要求方程组才有解．事实上，二元一次方程组的解可看成两直线和的交点的横纵坐标，而条件“”告诉我们两直线相交，因此方程组有唯一解．而当时，则两直线平行或重合，相应地，方程组要么有无穷多解要么无解．。

⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。

2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。

4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。

加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。

二元一次方程组的解法技巧在我们的生活中，数学可真是一门神奇的学科，尤其是二元一次方程组。

听起来复杂，其实也没那么可怕，咱们可以把它想象成两个朋友在一起讨论谁来买午餐的问题。

就像王小明和李小红，他们每次出去吃饭都要聊聊自己钱包里的钱和想吃的东西。

王小明说：“嘿，我有20块钱，咱们去吃炸鸡吧。

”李小红却说：“我也有20块钱，咱们可以吃披萨！”这样两个人就需要找到一个方案，既能让他们的总钱数合在一起，又能吃到大家都喜欢的美食。

这时候，咱们就得用到二元一次方程组了。

你看，咱们设王小明的钱为x，李小红的钱为y，那就能得到两个方程：x + y = 40，还有他们想吃的东西的成本，比如炸鸡和披萨的价格。

这样就形成了一个小小的数学挑战。

解决这个问题其实就像吃火锅，先把锅里的底料煮开，再慢慢加入配菜，最后就能吃得津津有味。

解这个方程组时，有两种常用的方法，大家伙儿一定听说过。

第一种就是代入法。

想象一下，王小明心急如焚，想知道自己能吃多少炸鸡，他就把李小红的那部分钱给代入进去。

这样，咱们可以把y替换成40x。

然后，就只需要简单地计算出炸鸡的数量，这简直跟做数学题一样简单。

就像你心里有数了，赶紧去点外卖，结果一看，这价格还真合适，心里那种美滋滋的感觉，不就是解题的乐趣吗？再说说消元法，哎，这个就有点儿像打麻将。

你得先把牌理顺，才能出牌。

咱们先写出两个方程，把它们整理一下，然后找到一个变量，比如y，直接把它消掉。

结果就会出现一个新的方程，像一块儿美味的蛋糕等着你去切。

解决完一个，另一个也就迎刃而解，最后王小明和李小红就能一起高高兴兴地吃到心仪的午餐，何乐而不为呢？别忘了，解二元一次方程组的过程中，不可避免地会有一些小坑。

比如有些人一看方程就头大，没关系，咱们可以从简单的开始，慢慢来，犹如学骑自行车一样，起初总是摔跤，但只要坚持，最终你就能飞驰在路上。

还有就是细心点，千万别弄错数字，稍不留神就可能把炸鸡的价格算成了披萨的，这可就麻烦了。

例谈解二元一次方程组中的数学思想方法成晓明解二元一次方程组的基本思想是消元，求解的主要方法是代入消元法和加减消元法.但是对于一些比较特殊的方程组，仅有这些方法是不够的，下面结合一些典型的例题进行分析，向同学们介绍几种解二元一次方程组常用的思想方法.一、转化思想例1解方程组5x+y=6，①3x-2y=1.②【解析】观察方程组中x、y的系数的特点，可以将方程①变形为y=6-5x③，然后将③代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，先求出x，进而再求出y的值.或者将方程①×2+②消去y，然后得到关于x的一元一次方程求解.例2解方程组7x-11y=7，①17x-13y=-7.②【解析】观察方程组中x、y的系数，既不简单，也不存在倍数关系，用代入消元法和加减消元法数据都相对复杂，再次观察系数，发现①+②可得24x-24y=0，化简得x=y③，再利用代入消元法求解就非常简单了.说明：转化思想就是将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识、研究新问题的常用的基本方法.解二元一次方程组实际上就是通过“消元”（代入消元、加减消元）的手段化“二元”为“一元”.二、整体思想例3解方程组3x-2（x+2y）=3，①11x+4（x+2y）=45.②【解析】方程①和②中都含有（x+2y），可以将（x+2y）看作一个整体，①×2+②，从而消去（x+2y），达到消去y的目的.例4解方程组3x+2y-2=0，①■-2x=-3.②【解析】方程①和②中都含有（3x+2y），可以将（3x+2y）看作一个整体，把方程①变形为3x+2y=2③，然后将方程③代入方程②，从而消去（3x+2y），达到消去y的目的.说明：解数学题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个小问题，然后逐一解决.然而这种思考方法常常导致解题过程繁杂，运算量大.这时可将注意力和着眼点放在其问题的整体上，突出对问题整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握并解决问题，这就是整体思想.三、数形结合思想例5如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，求其中每一个小长方形的面积.【解析】图形中隐含着长和宽的两个关系：一是每块小长方形地砖的长是宽的3倍，二是长与宽的和为60厘米，由此可以设未知数并列方程求出地砖的长和宽，进而求出每一个小长方形的面积.例6小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形.咳！怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！你能求出小长方形的长和宽吗？【解析】本题中有两个未知量：长方形的长与宽，而小明和小红的两个拼图恰好给出了两个等量关系：图1中得到：长×3=宽×5，图2中得到：宽×2-长=2，由此可以设未知数并列方程求出长方形的长和宽，说明：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化.几何问题代数化.上面所举的两例都是巧妙地运用拼图，建立起小长方形的长与宽的关系，将数与形有机结合起来，突破了用语言描述数量关系的常规，突出了数形结合思想的应用.四、类比思想例7已知方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.请你用较简便的方法解方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9.【解析】如果将方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9中的（a-1）、（b+2）看做是一个整体，那么a-1=x，b+2=y，因为方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.所以a-1=2.3，b+2=1.2.这样就可以求出方程组的解了.说明：在平时的数学学习中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习，类比思想其实就是知识的迁移，就是一类问题的解决方法对另一类问题的影响，在学习的过程中，我们应当注意迁移意识的培养.例8有同学在解方程组22x+27y=4，7x+9y=3时，采用了如下的解法：原方程组化为x+3（7x+9y）=4，①7x+9y=3.②将②代入①得x+3×3=4，所以x=-5，把x=-5代入②求得y=■，所以原方程组的解为x=-5，y=■.请你用这种方法解方程组3x+5y=2，①11x+20y=6.②【解析】方程②可以变形为4（3x+5y）-x=6③，然后把方程①代入方程③，这样就可以达到消去y的目的.说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使知识的记忆变得自然和顺畅，从而可以激发起学习的创造力.五、换元思想例9解方程组4（x+y）-5（x-y）=2，■+■=6.【解析】设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组4m-5n=2，■+■=6.方程组形式较为简单，可以先求出m、n，再求出x、y.说明：换元法通过用一个字母表示一个整体的方法进行变量的替换，将问题进行转化，从而起到化繁为简、化难为易的目的.。

二元一次方程的解法•二元一次方程的解：•使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

•二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。

一、消元法•“消元”是解二元一次方程的基本思路。

所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。

这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

•如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8•消元方法：•代入消元法(常用）•加减消元法（常用）•顺序消元法（这种方法不常用）•例：•x-y=3 ①•｛•3x-8y=4②•由①得x=y+3③•③代入②得•3（y+3)-8y=4•y=1•所以x=4•则：这个二元一次方程组的解•x=4•｛•y=1(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 ①｛14x+13y=40②②-①得x-y=-1x=y-1 ③把③代入①得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入③得x=1所以:x=1,y=2最后 x=1 ，y=2，解出来特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

(二)代入法是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中如：x+y=590y+20=90%x带入后就是：x+90%x-20=590(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。

（三）另类换元例：x:y=1:4①5x+6y=29②令x=t,y=4t方程2可写为：5t+24t=2929t=29t=1所以x=1,y=4二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

二元一次方程组及其解法
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的等式组成的方程组，通常的一般式表示为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f 都是已知数，x、y 都是未知数。

解法有以下几种：
1. 消元法：通过变换方程式将一个未知数消去，再代入另一个方程求解。

2. 代入法：选择其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，代入另一个方程中求解。

3. 公式法：利用二元一次方程组的公式解法求解。

4. 矩阵法：用矩阵运算的方法求解方程组。

以上四种方法都可以求得二元一次方程组的解，一般解的形式为一个有序二元组 (x, y)。