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曲线和方程 曲线和方程（1）一、知识小结1．曲线和方程的概念：在直角坐标系中，如果曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与方程(),0F x y =的实数解集之间具有以下两个关系：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程(),0F x y =的解；（2）以方程(),0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点，那么曲线C 上的点与方程(),0F x y =的解是一一对应的，此时把方程(),0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(),0F x y =的曲线．定义中条件（1）说明曲线上没有哪个点的坐标不满足方程，即曲线上所有点都适合这 个条件而毫无例外，即曲线具有纯粹性；条件（2）说明适合条件的点都有在这条曲线上而无一遗漏，也就是说曲线具有完备性．由曲线与方程的关系可以知道，曲线的方程实质就是这条曲线上的任意一点的横坐标x 与纵坐标y 之间的等量关系． 注意点：数形结合分析问题．2．点与曲线的关系的判断：若曲线C 的方程(),0F x y =，则点()()()0000000,,,0P x y C F x y C F x y ∈⇔∈⇔=，即要判断一个点是否在曲线上，只要把点的坐标代入曲线方程，如果满足方程，则点在曲线上；如果不满足方程，则点不在曲线上．注意点：用代入法来解决问题．3．求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（建系）； （2）设曲线上任意一点的坐标为(),x y （设点）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式（列式）；（4）用坐标x ，y 表示这个等式，并化方程为最简形式（化简）；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（证明）．注意点：要检验，防止出现增解或失解．4．求曲线的方程的一般方法：（1）直接法：根据题意与条件，设出动点坐标，直接列出相关等式，然后化简得结果；（2）代入法：设出动点坐标，然后找出相关点的了解，利用相关点的规律，从而得出动点之间关系的等式；注意点：过程中要保持等价变形，这样可省略检验环节．5．曲线的交点的求法：如果曲线1C 、2C 的方程分别为()1,0F x y =、()2,0F x y =，则点()00,0P x y =是曲线1C 、2C 交点的充要条件是()()100200,0,0F x y F x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 由曲线上点的坐标和它的方程的实数解之间的对应关系可知，两条曲线交点的坐标应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解．方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．因此，求曲线的交点坐标就是求曲线的方程所组成的方程组的解．注意点：代数与几何方法要结合．6．解析几何的本质：用代数的方法来研究几何问题，具体来说就是用方程的思想来解决曲线的问题．其中会涉及两个主要问题：（1）已知曲线，求相应的方程；（2）已知方程，画出相应的曲线，并研究其相关的性质．二、应用举例：例1、方程()()211y a x b x c =-+-+的曲线过原点的条件是 ．例2、到两坐标轴距离的积为2的动点轨迹方程是 ．例3、已知定点()4,0Q ，P 为曲线224x y +=上一个动点，那么线段PQ 中点的轨迹方程是_____________．曲线和方程 曲线和方程（2）一、应用举例例4、设P 为曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是_____________．例5、直线53y x =-被曲线22y x =截得的线段长是___________．例6、已知直线y kx k =-+与曲线22y x x =-． （1程是________________；（2）直线与曲线相交而得交点的中点轨迹方程是____________．例7、长为a 的线段的两端点分别在直线y x =和y x =-上运动，则线段中点的轨迹为 ．例8、若直线0mx y m -+=与抛物线243y x x =-+的取值范围为__________．例9、已知两点()()2,02,0M N -、，点P 0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点P 的轨迹方程为例10、直线2y kx =-交曲线28y x =于A 、B 两点，若弦AB 中点的横坐标为2，则k =________．一、应用举例：1．选择题例11、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）． （A ）210x y +-= （B ）210x y +-= （C ）230x y +-= （D ）230x y +-=例12、设有一组圆()()()224:1320k C x k y k k k -++-=≠，则下列四个命题中正确的是（ ）．（A ）存在一条定直线与所有的圆均相切 （B ）所有的圆均不经过原点（C ）存在一条定直线与所有的圆均不相交 （D ）存在一条定直线与所有的圆均相交例13、设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）． （A ）()223310,02x y x y +=>> （B ）()223310,02x y x y -=>> （C ）()223310,02x y x y -=>>（D ）()223310,02x y x y +=>>例14、直线2y k =与曲线2222918k x y k x +=(),0k k ∈≠R 且且0)k ≠的公共点的个数为( )． （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42．解答题例15、（1）求曲线(,)0C f x y =：关于点(),a b 对称的曲线的方程；（2）若直线1y kx =+与曲线220x y x ky ++-=的两个交点的横坐标之和为零，求k 的值．例16、已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程．一、应用举例：1．解答题例17、已知△ABC 的两个顶点()8,0B -，()0,0C ，顶点A 在曲线22160x y x +-=上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．例18、过原点作曲线21y x =+的割线12OPP ，求弦12P P 的中点P 的轨迹方程．例19、k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例20、（1）画出方程1x -（2）曲线)122y x =-≤≤与直线()24y k x =-+有两个交点时，试求出实数k 的取值范围．例21、若两条曲线的方程是()1,0F x y =和()2,0F x y =，交点为()000,P x y ， （1）证明：方程()()12,,0F x y F x y λ+=的曲线也经过0P （λ为任意实数）； （2）求经过曲线2230x y x y ++-=和22330x y y ++=的交点的直线方程．例22、已知曲线2:1C y x mx =-+-，点()3,0A ，()0,3B ，求曲线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件．曲线和方程（4）一、应用举例：1．解答题例17、已知△ABC 的两个顶点()8,0B -，()0,0C ，顶点A 在曲线22160x y x +-=上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．例18、过原点作曲线21y x =+的割线12OPP ，求弦12P P 的中点P 的轨迹方程．例19、k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例20、（1）画出方程1x -（2）曲线)122y x =-≤≤与直线()24y k x =-+有两个交点时，试求出实数k 的取值范围．例21、若两条曲线的方程是()1,0F x y =和()2,0F x y =，交点为()000,P x y ， （1）证明：方程()()12,,0F x y F x y λ+=的曲线也经过0P （λ为任意实数）； （2）求经过曲线2230x y x y ++-=和22330x y y ++=的交点的直线方程．例22、已知曲线2:1C y x mx =-+-，点()3,0A ，()0,3B ，求曲线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
高二数学课本《选修1-1第二章圆锥曲线与方程》高二数学课本《选修1-1》第二章圆锥曲线与方程在本章中，我们将探索圆锥曲线与方程之间的关系。
圆锥曲线是平面几何中的重要主题，而通过引入方程，我们可以更精确地描述这些曲线的性质。
一、引言圆锥曲线是平面几何中的一个基本主题。
椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线都是平面上的点满足某种条件的轨迹。
通过引入方程，我们可以对这些曲线进行精确的描述和分类。
二、基本概念1.圆锥曲线的定义：圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个动点在满足某种条件的限制下，沿着一条具有特殊形状的轨迹运动所形成的图形。
2.圆锥曲线的方程：对于每种圆锥曲线，我们可以使用一个二元二次方程来表示。
例如，椭圆方程可以表示为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中a、b、c、d是椭圆的主要参数。
三、主要内容1.椭圆的定义和方程：椭圆是一种常见的圆锥曲线，它描述了一个动点在两个固定点（焦点）之间移动的轨迹。
椭圆的方程可以写为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。
2.双曲线的定义和方程：双曲线也是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和无穷远点之间的轨迹。
双曲线的方程可以写为(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。
3.抛物线的定义和方程：抛物线是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和一条直线（准线）之间的轨迹。
抛物线的方程可以写为y^2 = 2px或x^2 = 2py，其中p是抛物线的焦参数。
4.圆锥曲线的性质：通过观察圆锥曲线的方程，我们可以得出一些重要的性质，例如范围、对称性和离心率等。
这些性质有助于我们更好地理解和应用圆锥曲线。
四、方法与技巧1.代数方法：通过代入坐标到圆锥曲线的方程中，我们可以得到点的位置，从而通过代数方法解决问题。
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
高二数学双曲线知识点汇总双曲线是高二数学中重要的一章，它是解析几何的重要内容之一。
在本文中，将对双曲线的定义、性质以及相关公式进行详细的总结与汇总，以帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。
1. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的曲线，其定义为平面上所有点到两个不相交定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线有两种类型：横向双曲线和纵向双曲线，具体形状与焦点之间的距离差有关。
2. 双曲线的标准方程横向双曲线的标准方程为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为焦点到原点的距离，b为垂直于主轴的距离。
纵向双曲线的标准方程为：y²/a² - x²/b²= 1，其中a和b的含义同上。
3. 双曲线的焦点、准线和直径横向双曲线的焦点为(±c,0)，准线为x = ±a，直径为两焦点间的距离，即2c。
纵向双曲线的焦点为(0, ±c)，准线为y = ±a，直径同样为2c。
4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的一个重要属性，表示焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。
对于横向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/a，而对于纵向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/b。
5. 双曲线的对称性和渐近线横向双曲线关于y轴对称，纵向双曲线关于x轴对称。
双曲线还有两条渐近线，横向双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x，纵向双曲线的渐近线方程为y = ±a/b * x。
6. 双曲线的图像特点当双曲线的焦点位于原点时，曲线两支在原点相交；当焦点位于x轴上时，曲线两支分离，称为“非奇异双曲线”；当焦点位于y轴上时，曲线两支开口向下，称为“奇异双曲线”。
7. 双曲线的参数方程双曲线也可以通过参数方程来表示。
最新高二数学知识点归纳(4篇)最新高二数学知识点归纳1一、直线与圆：1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。
当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2、斜率：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tan α.过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线的斜率k=（y2-y1）/（x2-x1），另外切线的斜率用求导的方法。
3、直线方程：（1）点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为（2）斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为4、直线与直线的位置关系：（1）平行A1/A2=B1/B2注意检验（2）垂直A1A2+B1B2=05、点到直线的距离公式；两条平行线与的距离是6、圆的标准方程：圆的一般方程：注意能将标准方程化为一般方程7、过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与轴垂直的直线.8、直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题.①相离②相切③相交9、解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形）直线与圆相交所得弦长二、圆锥曲线方程：1、椭圆：①方程（a>b>0）注意还有一个；②定义：|PF1|+|PF2|=2a>2c；③e=④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；a2=b2+c2；2、双曲线：①方程（a，b>0）注意还有一个；②定义：||PF1|-|PF2||=2a<2c；③e=；④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c；渐进线或c2=a2+b23、抛物线：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向；②定义：|PF|=d焦点F（，0），准线x=-；③焦半径；焦点弦=x1+x2+p；4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：三、直线、平面、简单几何体：1、学会三视图的分析：2、斜二测画法应注意的地方：（1）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。
高二数学各章知识点归纳总结高二数学是学生在数学学科中的重要阶段，它涵盖了各种基础概念和重要知识点。
为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点，下面将对高二数学各章的知识进行归纳总结。
一、函数与方程1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用公式、图像和表格等形式来表示。
2. 一次函数与二次函数一次函数的形式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
二次函数的形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
3. 指数与对数函数指数函数的形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
对数函数是指数函数的逆运算，形式为y=logₐx，其中a为底数，x为真数。
4. 三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的三角函数。
它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
5. 方程的求解线性方程、二次方程、指数方程、对数方程和三角方程等的求解方法需要根据具体情况选择合适的方法，并注意正确运用等式性质和变形法则。
二、数列与数学归纳法1. 数列的基本概念数列是按一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
数列可以是等差数列、等比数列或其他特殊数列。
2. 等差数列与等差数列求和公式等差数列的通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
等差数列的前n项和公式为Sn=(2a₁+(n-1)d)n/2。
3. 等比数列与等比数列求和公式等比数列的通项公式为an=a₁q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
等比数列的前n项和公式为Sn=a₁(1-q^n)/(1-q)。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，它分为基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是验证当n=1时命题成立，归纳步骤是假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
三、平面向量1. 向量的基本概念与表示向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
向量的表示方法有坐标表示、数量表达和单位向量表示等。
高二双曲线的基本知识点总结双曲线是数学中的一种重要曲线，它在高中数学中也是一个重要的学习内容。
本文将对高二双曲线的基本知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、双曲线的定义和基本属性双曲线可以通过平面上一对直角坐标轴以及两个焦点和一个给定的常数e来定义。
它具有以下基本属性：1. 双曲线有两条分支，分别接近于两条渐近线，渐近线的斜率分别是正无穷和负无穷。
2. 与坐标轴的交点是曲线的特殊点，它们被称为顶点和焦点。
3. 双曲线在顶点处对称。
4. 双曲线的离心率e大于1。
二、双曲线的方程和图像特点1. 标准方程双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。
当x轴为对称轴时，a为x轴上的顶点到焦点的距离。
当y轴为对称轴时，b为y轴上的顶点到焦点的距离。
2. 图像特点双曲线的图像呈现两个向外打开的分支，两个分支在顶点处相交，顶点是双曲线的对称中心。
双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴相交于双曲线的两个顶点，与x轴交点对应的坐标为(-a, 0)和(a, 0)，与y轴交点对应的坐标为(0, -b)和(0, b)。
三、双曲线的参数方程和焦点及直径方程1. 参数方程双曲线的参数方程为：x = asecθ，y = btanθ，其中θ是参数。
2. 焦点及直径方程双曲线的焦点坐标可通过以下公式计算：(±ae, 0)，其中e为离心率。
双曲线的一个焦点到曲线上任意一点的距离是常数c，满足c^2 = a^2 + b^2。
四、双曲线的性质和应用1. 双曲线的准线和离心率双曲线的准线是通过焦点的渐近线。
离心率e决定了双曲线的形状，当离心率接近于1时，双曲线的形状趋近于直线，离心率越大，双曲线的形状越扁平。
2. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述电磁场的分布和力学系统中的轨迹，也可以用于描述经济增长模型中的边际效应。
高二数学圆锥曲线方程知识点归纳
高二数学圆锥曲线方程知识点归纳
在现实学习生活中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺为大家整理的高二数学圆锥曲线方程知识点归纳，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
1、椭圆：①方程(a0)注意还有一个;②定义: |PF1|+|PF2|=2a ③ e= ④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c; a2=b2+c2 ;
2、双曲线：①方程(a,b0) 注意还有一个;②定义: ||PF1|-|PF2||=2a ③e= ;④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c;渐进线或c2=a2+b2
3、抛物线：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向; ②定义:|PF|=d焦点F( ,0),准线x=- ;③焦半径 ; 焦点弦=x1+x2+p;
4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
5、注意解析几何与向量结合问题：1、 , . (1) ;(2) .
2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a||b|cos叫做a与b的'数量积，记作ab，即
3、模的计算：|a|= . 算模可以先算向量的平方
4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用
【高二数学圆锥曲线方程知识点归纳】。
高二数学学科知识点汇总一、函数与方程1. 实数与复数1.1 实数的性质和运算法则1.2 复数的定义和运算法则2. 一元二次函数2.1 一元二次函数的定义和性质2.2 一元二次方程的解法及应用3. 二次函数与二次方程3.1 二次函数的图像与性质3.2 二次函数的最值和零点3.3 二次方程的解法和应用4. 指数与对数函数4.1 指数函数的定义和性质4.2 对数函数的定义和性质4.3 指数方程和对数方程的解法5. 三角函数与三角方程5.1 三角函数的定义和性质5.2 三角函数的图像和变换5.3 三角方程的解法及应用二、空间与立体几何1. 空间几何基本概念1.1 空间几何的公理与定理1.2 点、线、面及其相互关系2. 空间图形的性质与分类2.1 线段、角的性质与分类2.2 三角形的性质与分类2.3 四边形的性质与分类3. 空间立体图形3.1 平行线与平面的关系3.2 空间中的立体图形与四面体3.3 空间中的立体图形与棱柱、棱锥、圆锥、球等4. 空间的解析几何4.1 三维坐标系的表示和应用4.2 空间点、线、面的位置关系和距离计算4.3 空间几何问题的解析几何方法三、概率与统计1. 随机事件与概率1.1 随机事件的概念与性质1.2 概率的定义和计算1.3 互斥事件与对立事件2. 随机变量与概率分布2.1 随机变量的定义和分类2.2 离散型随机变量及其概率分布2.3 连续型随机变量及其概率密度3. 统计与抽样调查3.1 总体与样本的概念3.2 随机抽样与抽样分布3.3 参数估计与假设检验4. 统计图与图表解读4.1 统计图的图示和构造4.2 图表解读与数据分析四、解析几何与向量代数1. 平面解析几何1.1 平面的一般方程和法线方程1.2 点、直线和圆的位置关系1.3 直线与平面的交线问题2. 空间解析几何2.1 空间的一般方程和法线方程2.2 空间曲线的方程和参数方程2.3 空间的平面与直线的位置关系3. 向量代数基础知识3.1 向量的概念与性质3.2 向量的坐标表示和运算法则3.3 向量的数量积和向量积4. 向量的应用4.1 向量与几何运动4.2 向量与平面图形的性质4.3 向量与立体几何的应用五、数列与数学归纳法1. 数列的基本概念1.1 数列的定义和性质1.2 数列的分类和常用记号2. 等差数列与等比数列2.1 等差数列的性质和通项公式2.2 等比数列的性质和通项公式2.3 等差数列与等比数列的应用3. 数学归纳法3.1 数学归纳法的基本原理3.2 利用数学归纳法证明不等式和恒等式3.3 利用数学归纳法解决应用问题文章到此结束，内容涵盖了高二数学学科的重要知识点，通过对每个知识点的介绍和讲解，使读者能够全面了解和掌握这些知识，提升数学学科的学习效果和成绩。
高二数学知识点归纳全套数学是一门理性和逻辑性极强的学科，它涉及了众多的知识点和概念。
在高中数学中，数学知识的深度和广度都得到了迅速的提升。
为了帮助同学们更好地掌握高二数学的知识，本文将对高二数学的各个知识点进行归纳和总结，方便大家复习和巩固。
一、函数与方程1. 函数的概念和性质1.1 函数的定义及表示方法1.2 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等1.3 函数的图像与变换：平移、伸缩、翻折等2. 一元二次函数2.1 一元二次函数的定义和性质2.2 一元二次函数的图像和性质2.3 一元二次函数的应用：最值问题、解析几何等3. 线性规划3.1 线性规划的基本概念和模型3.2 解线性规划的方法和步骤3.3 线性规划的应用：生产调度、资源分配等二、三角函数与解三角形1. 三角函数的概念和性质1.1 三角函数的定义和表示方法1.2 三角函数的周期性和图像特点1.3 三角函数的性质和基本关系2. 解三角形的方法2.1 正弦定理和余弦定理的引入与应用2.2 解直角三角形和一般三角形的方法和步骤 2.3 应用题：高空抛物线、航行导航等三、平面向量1. 向量的概念和表示1.1 向量的定义和基本性质1.2 向量的表示方法和运算规则1.3 向量的共线、共面和垂直的判定方法2. 平面向量的应用2.1 平面向量在几何中的应用：线段中点、四边形性质等 2.2 平面向量在物理中的应用：力的合成、平衡条件等2.3 平面向量的应用题：运动问题、力的分解等四、导数与微分1. 函数的导数与微分1.1 导数的定义和性质1.2 导数的计算方法：基本函数求导法、复合函数求导法等1.3 微分的概念和应用：近似计算、极值问题等2. 函数的导数与函数图像2.1 函数的单调性与极值2.2 函数的图像与导数的关系：增减性、凹凸性等2.3 应用题：最值问题、曲线的切线与法线等五、不等式与极限1. 不等式的基本性质和解法1.1 不等式的性质：加减法则、乘除法则等1.2 不等式组和绝对值不等式的解法1.3 应用题：优化问题、区间判断等2. 极限的概念和性质2.1 极限的定义和基本性质2.2 数列极限和函数极限的计算方法2.3 应用题：无穷大与无穷小、函数的连续性等六、统计与概率1. 统计的基本概念和应用1.1 统计的基本概念：样本、频率等1.2 统计的应用：数据收集、数据分析等1.3 统计图的绘制与解读：直方图、折线图等2. 概率的概念和性质2.1 概率的基本概念和计算方法2.2 事件与概率的关系：互斥事件、独立事件等2.3 应用题：生日悖论、齐次概率等综上所述，高二数学涵盖了函数与方程、三角函数与解三角形、平面向量、导数与微分、不等式与极限以及统计与概率等知识点。
数学高二双曲线全部知识点笔记一、引言双曲线是高二数学中的一个重要概念，通过研究双曲线的性质和特点，可以帮助我们更好地理解函数图像和方程的解。
本文将全面介绍高二数学中涉及的双曲线知识点，以帮助学生们更好地掌握相关内容。
二、双曲线的定义与性质1. 双曲线的定义：双曲线是平面上的一类曲线，其定义为平面上满足特定条件的点集。
2. 双曲线的方程：当双曲线的中心为原点(0,0)时，其方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]或\[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \]其中，a和b分别为双曲线的半轴长度。
3. 双曲线的性质：- 双曲线关于x轴和y轴对称；- 双曲线存在两条斜渐进线；- 双曲线上的点到两个焦点的距离差等于常数2a；- 双曲线的焦点到曲线的任意一点的距离差等于常数2a。
三、双曲线的图像与特殊情况1. 双曲线图像的分类：- 当\[ 0 < a < b \]时，双曲线开口于x轴和y轴；- 当\[ a > b > 0 \]时，双曲线开口于y轴和x轴；- 当\[ a = b \]时，双曲线变为一对直线。
2. 双曲线图像的特殊情况：- 缺口双曲线：当\[ b^2 - a^2 > 0 \]时，双曲线的两个分支之间存在缺口；- 无缺口双曲线：当\[ b^2 - a^2 < 0 \]时，双曲线的两个分支之间不存在缺口。
四、双曲线的参数方程1. 普通双曲线的参数方程：\[ x = a\sec{t} \]、\[ y = b\tan{t} \]2. 缺口双曲线的参数方程：\[ x = a\sec{t} \]、\[ y = b\tan{t} \pmc \]（其中c为双曲线的偏移量）3. 无缺口双曲线的参数方程：\[ x = a\cosh{t} \]、\[ y = b\sinh{t} \]五、双曲线的常见问题及解法1. 求双曲线的焦点坐标和方程的参数：- 焦点坐标可通过\[ 2ae = 1 \]和\[ e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \]计算得到；- 双曲线的参数a和b可通过已知焦点坐标计算。
高二数学新高考知识点归纳在高二学习中，数学是一门重要的学科，也是高考必考科目之一。
为了帮助同学们更好地掌握数学知识，下面将对高二数学新高考知识点进行归纳。
一、函数与方程1. 一次函数与二次函数- 函数的概念与性质- 一次函数与二次函数的图像特征和性质- 函数的增减性与奇偶性- 一次函数与二次函数的应用题目2. 线性规划- 线性规划的基本概念和求解方法- 线性规划的应用题目二、三角函数1. 三角函数的概念与性质- 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特征和性质 - 三角函数的周期与性质2. 三角函数的变换- 正弦函数与余弦函数的平移与伸缩变换- 三角函数的复合与反函数三、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与计算方法- 导数的几何意义与物理意义2. 函数的最值与极值- 函数极值的判定条件与求解- 函数最值的求解四、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列- 等差数列与等比数列的概念与性质- 等差数列与等比数列的求和与通项公式2. 数列极限- 数列极限的概念与性质- 数列极限的求解方法五、几何与空间几何1. 二次曲线与圆- 抛物线、椭圆、双曲线的基本性质- 圆的基本性质与相关定理2. 立体几何- 空间直线与平面的位置关系- 空间几何体的体积与表面积计算六、概率论1. 事件与概率- 事件的基本概念与性质- 概率的计算方法与性质2. 概率与统计- 随机变量与概率分布- 统计与抽样调查以上就是高二数学新高考的知识点归纳。
通过系统学习这些知识点，同学们能够更好地应对高二数学学习和应试，为高考取得好成绩奠定坚实的基础。
同学们在学习中应注重理论与实践的结合，多做习题和应用题目，加深对知识点的理解与掌握。
祝愿同学们在数学学习中取得优异的成绩！。
高二数学前两章知识点归纳一、函数与方程函数的定义：给定两个数集，称有序数对集合为函数，数的集合称为定义域，数集称为值域。
常见函数类型：1. 一次函数：y = kx + b- 斜率：k = Δy/Δx- 截距：b = y - kx2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)- 顶点坐标：(h, k)，其中 h = -b/2a，k = f(h) = f(-b/2a)- 对称轴：x = -b/2a- 开口方向：a > 0 时开口向上，a < 0 时开口向下3. 幂函数：y = x^a (a ≠ 0, x > 0)- 定义域：x > 0- 值域：y > 0（a > 0），y > -∞（a < 0）4. 指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)- 定义域：全体实数- 值域：y > 0（a > 1），y > -∞（0 < a < 1）5. 对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)- 定义域：x > 0- 值域：全体实数二、三角函数1. 基本关系：- sinθ = 对边/斜边- cosθ = 临边/斜边- tanθ = 对边/临边2. 基本性质：- 周期性：sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx，tan(x+π) = tanx - 对称性：sin(-x) = -sinx，cos(-x) = cosx，tan(-x) = -tanx- 正弦函数与余弦函数的关系：sin(x+π/2) = cosx，cos(x-π/2) = sinx3. 幅角关系：- sin(π/2-θ) = cosθ，cos(π/2-θ) = sinθ- sin(π-θ) = sinθ，cos(π-θ) = -cosθ- sin(3π/2-θ) = -cosθ，cos(3π/2-θ) = -sinθ- sin(2π-θ) = -sinθ，cos(2π-θ) = cosθ4. 三角函数的图像变换：- y = a*sin(bx+c) + d 为正弦函数的纵向伸缩和平移变换形式- y = a*cos(bx+c) + d 为余弦函数的纵向伸缩和平移变换形式综上所述，高二数学前两章所学习的内容主要包括函数与方程、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
