人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》教学设计(课例)

数列教案二：斐波那契数列的性质与应用引言：斐波那契数列是数学上一种非常有趣的数列，被广泛运用在各个领域中。

它的前几项是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……（后面的项依次为前面两项之和）。

在本文中，我们将介绍斐波那契数列的性质与应用。

一、斐波那契数列的性质1.黄金分割比：斐波那契数列的性质之一是黄金分割比。

定义为，将一个线段分成两段，较长的一段与整个线段的比值等于较短的一段与较长的一段的比值，该比值为φ （phi），即：$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi$其中，a 和 b 分别为较长和较短的线段。

斐波那契数列中，相邻两个数的比值逐渐趋近于黄金分割比，即：$\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, ……$这个比值在美学和建筑学中应用广泛。

2.递归性：斐波那契数列的定义是：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。

这个定义具有递归性质，即当前的某一项可以由前面的两项推导而来。

这个递归特性可以简化许多计算程序。

3.对称性：斐波那契数列具有左右对称性，即第 n 个项与第 (n+1)个项在黄金分割比两侧的距离是相等的。

例如：F(6)=8=F(7)-F(5)F(7)=13=F(6)+F(5)F(8)=21=F(7)+F(6)……由此可见，斐波那契数列在建筑学和对称性的应用上正好符合黄金分割比的几何形态。

二、斐波那契数列的应用1.斐波那契螺旋线：斐波那契数列可以绘制成螺旋线，称为斐波那契螺旋线。

它有以下性质：（1）外形美观，符合数学美学；（2）螺旋线与出生生长的自然界中普遍存在的螺旋形态极为相似；（3）斐波那契螺旋线可以用于编程、、图像处理等领域。

2.斐波那契数列的金融应用：（1）股票投资：斐波那契数列被广泛应用于股票市场。

2009年瑞安市中小学（幼）教师参评案例学段：□高中、□初中、□小学、□幼儿园学科：数学学校：瑞安市职业中专*名：***文章题目：无“书”也精彩——《斐波那契数列》教学案例无“书”也精彩——《斐波那契数列》教学案例一．案例背景职业高中学生的数学成绩普遍较差，学习积极性不高，如果教师不能激发学生的学习兴趣，教学活动将越来越难以开展，教学效果也将越来越差。

如何使学生在课堂中“抬头”，参与到教学活动中，是职业高中数学教师需要解决的问题。

为了激发学生的学习兴趣，许多教师尝试了各种方法，取得很好的效果。

我在这方面也做了一些努力。

比如一堂《斐波那契数列》课，在无“书”，即没有教材的情况下，我借助计算机网络，在教学中尝试教学方法的改变，引导学生应用新的学习方式，使更多的学生参与到教学活动当中。

人民教育出版社出版的职高数学（基础版）教材中没有斐波那契数列这一节内容，但学生在连续学完“等差数列”和“等比数列”之后，思想上明显产生“倦意”，课堂也变的非常沉闷，如果按正常的教学安排进行数列这一章复习，学习效果肯定很差。

如何激发学生对数列知识的兴趣？如何拓展数列知识？在看到人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学⑤》（必修）第二章“数列”的“阅读与思考”——斐波那契数列，并在网络上搜索到很多有关该数列的资料之后，我想为什么不给学生上一节《斐波那契数列》。

考虑到学生的实际水平，我把上课的重点放在认识斐波那契数列和斐波那契数列的应用上；向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想；指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题；培养学生的观察能力、探究发现的能力、解决实际问题的能力、审美意识。

二．案例描述我上《斐波那契数列》这堂课，在教学的过程中，有几个改变：(1)上一堂教科书上没有的知识课,而学习内容让学生自己上网搜寻。

(2)让学生来讲授课的部分内容。

(3)利用网络上丰富的图片，动画，知识描述吸引学生。

斐波那契数列大单元教学设计教学目标：1、学生经历探究兔子繁殖问题的过程，在优化解决问题方法的过程中找到斐波那契数列的规律，并感性认识数列。

2、学生在探究规律的过程中感受化难为易的数学思想方法。

3、从数列的认识延伸到斐波那契螺旋的认识，感受斐波那契数列的神奇，体会自然现象背后的数学原理，感受数学与生活的联系，感受数学之美。

教学重点：斐波那契数列规律的探索，初步认识数列教学难点：斐波那契数列规律的探索课前准备：多媒体课件、记号笔、正方形板贴。

一、情境导入师：同学们看，这是什么？生：小兔子师：喜欢兔子吗？我们班学生也喜欢兔子，为了养好兔子，他专门去查阅了相关资料，其中一句话引起了他的好奇心。

师：兔子成长快，且繁殖能力强。

有多强，猜一猜？生：一次能生7--8只！师：你认为它生那么多（生那么快）师：我们来看一下资料是怎么说的？谁来读一下？（找学生读）生：一对刚出生的小兔，一个月后就能成长为大兔，长大后再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都会生下一对小兔。

师：你能读懂吗？学生叙述问：一对儿是什么意思？师：我们把一公一母叫一对儿。

假如说，这对兔子基因就是这么好，一生就是一对，按照这个繁殖速度，你能提出什么数学问题？生提问题：一年后会有多少兔子？两年，五年......师：同学们提的问题都很有价值，是啊，繁殖了这么多兔子，那一年后会有多少对呢？这节课我们先来研究这个问题。

师：怎么样？能解答吗？快速解答在纸上！二、合作探究一探：算式我们一起来看一下这位同学的，展示：算式12*1=12（对），你是怎么想的？生解释师：其他同学赞同吗？生1：第一个月还是小兔子，没长大还不能生小兔子！师：看来，这位同学忽略了小兔长大兔的时间。

生2：不赞成，因为小兔长大了还能生兔子。

师：也就是说这个同学忽略了，小兔子长大也能生兔子，兔子的兔子还能生兔子......所以用乘法是不对的。

师：看来这个问题比我们想象的还要复杂！仅靠这样的计算，能解决吗？生：解决不了师：是啊，不过科学探索的道路上不会一帆风顺的，出现错误很正常，我们还要感谢这两位同学，让我们对题目的理解更加深刻了！师：既然计算不行，那怎么办？生：画图师：没错，根据以往的经验，当遇到较复杂的问题时，我们通常会用画图的方法来帮助思考，那我们先试着画图来解决一下。

《奇妙的斐波那契数列》教学设计龙泉小学王芳【教学内容】新课标人教版小学数学六（下）第65页阅读资料“奇妙的斐波那契数列”。

【教学目标】1、了解斐波那契的生平，认识斐波那契数列，发现斐波那契数列部分规律，解决著名的兔子问题。

2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，会利用从易入难的数学思想解决问题，培养良好的思维品质。

3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感的同时发现大自然与数学的联系，发现数学中的美，发现大自然中的数学，发现生活中的数学，提高学习数学的兴趣。

【教学重点】：斐波那契数列的获得及规律，解决兔子问题。

【教学目标】：会利用从易入难的数学思考方法解决问题。

【教学资源准备】：PPT课件、兔子图片【教学方法】：独学、群学相结合；小组合作，自主探索。

【教学流程】一、谈话导入今天的数学老师想一改常规，不需要大家打开数学书，上课之前老师想给大家介绍一位伟大的数学家，同时也是老师认为历史上最聪明的养兔人——斐波那契先生（板书）。

二、故事引入，提出问题1、斐波那契到底是一个什么样的人呢？我们来了解下ppt出示阅读材料（阅读简介）2、出示问题：（1）在斐波那契先生领养了一对兔子，在与兔子相处了一年之后，他提出了伟大的兔子问题，我们来看看。

引导学生齐读，并同桌内说说题目的意思，指名汇报。

（2）看来这个问题有点难，遇到难题怎么办？遇到难题我们也不能放弃，不能绕道，当然也不能硬拼。

遇到难题老师就想起了一个人，他说过一句话对我们解决难题很有帮助！老子，一个大思想家，一个大智者。

天下难事必做于易！（板书）知道这句话得意思吗？（提示：“于”是从的意思）3、合作探究（1）那对这个问题，同学们认为，是推导第10,11,12个月容易一些呢？还是第1,2,3，4，5个月容易研究一些呢？（2）那我们就从1 ，2 ，3 ，4 ，5月开始，小组合作研究。

你可以用文字描述每个月的兔子的状态，也可以画图，列表描述，然后解决这个问题！（提示：画图的话大小兔子可以用符号区别表示）（3）独立思考——小组合作交流——小组初步展示（4）引导规范：我们一起来研究一下这个兔子的变化状况！（1—3月）用实物展示每个月兔子的状况！（用剪好的兔子在黑板上贴出并规范前后关系的表示方法）（5）小组展示第4、5、6月兔子变化情况，并说明兔子的来历（6）发现规律。

Fibonacci数列教案罗萍一、教学目标：1. 让学生了解Fibonacci数列的定义和性质。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学美的欣赏能力，培养学生的创新思维。

二、教学内容：1. Fibonacci数列的定义及通项公式。

2. Fibonacci数列的性质及应用。

3. Fibonacci数列与黄金分割的关系。

三、教学重点与难点：1. Fibonacci数列的定义及通项公式的推导。

2. Fibonacci数列性质的理解与应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究Fibonacci数列的性质。

2. 利用信息技术辅助教学，展示Fibonacci数列在自然界中的实例。

3. 开展合作学习，让学生在讨论中加深对Fibonacci数列的理解。

五、教学过程：1. 导入：介绍Fibonacci数列的历史背景，激发学生的兴趣。

2. 新课：讲解Fibonacci数列的定义，引导学生推导通项公式。

3. 案例分析：分析Fibonacci数列在自然界中的应用，如植物叶序、动物繁殖等。

4. 性质探索：引导学生发现Fibonacci数列的性质，如递推关系、黄金分割等。

5. 练习巩固：布置相关习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结：对本节课内容进行总结，强调Fibonacci数列的重要性。

7. 拓展：引导学生思考Fibonacci数列在其他领域的应用，如艺术、经济学等。

8. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。

10. 评价与反馈：对学生学习效果进行评价，及时给予反馈，促进学生改进学习方法。

六、教学评价1. 评价方式：采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习效果。

2. 评价内容：a. 学生对Fibonacci数列定义和性质的理解。

b. 学生运用Fibonacci数列解决实际问题的能力。

c. 学生在讨论和探究中的参与度。

d. 学生的作业完成情况及创新能力。

《斐波那契数列》教学设计杨遇春教学背景：《斐波那契数列》是江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页的阅读材料，是学生在学习完数列（主要是等差数列和等比数列）后安排的一节课外学习内容。

考虑到本节内容学生自学有一定难度，同时本节课对培养学生学习数学的兴趣，提高自己对数列的认识和后续学习都很有帮助，而且本课所强调的自主探索、合作交流的学习能力在我们的学生中还有待进一步提高，因此我决定用一节课引导学生学习本节内容。

多媒体技术是现代课堂教学的重要手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，是提高课堂效率、丰富课堂内容的有效途径。

在本节课我主要借助PowerPoint演示加网络搜索的方法教学，用PowerPoint来向学生展示本节的主要学习思路和大纲，然后问题引导学生用网络搜索引擎查找问题答案展开学习。

教学目标：1．使学生了解了斐波那契数列；2．向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想；3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题。

教学重点：认识斐波那契数列教学过程：1、斐波那契数列的由来（创设情景，引入主题）先用PowerPoint让学生看一个有趣的问题：有一个人第一月底时在一间房子里放了一对刚出生的小兔，小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，次后每个月生一对小兔。

如果不发生死亡，那么到年底这个人有多少对兔子先由学生自己思考，我不急于公布答案，而是与同学们共同做如下研：我们用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数（用PowerPoint逐月显示，加以讲解，务必要学生理解递推的本质）第1月底○第2月底◎第3月底◎○第4月底◎○◎第5月底◎○◎◎○第6月底◎○◎◎○◎○◎记第n 月底的兔子对数为n F ，则：1F =1，2F =1，3F =2，4F =3，5F =5，6F =8，…观察数列{n F }规律很容易发现，从第三项起，每一项都是它前两项的和，即2n F + = 1n F + + n F （n ∈N ＊） 这样很容易知道年底共有144对兔子。

（2）第五个月、第六个月有多少对兔子呢，你们愿意自己尝试着研究一下吗？把你研究的过程记录在这张纸上，咱们比一比，看谁的研究成果能让人一眼就看得懂、看得明白，拿出纸笔，开始吧！（完成的和周围同学说说，大家互相学习）哪位同学愿意来给大家讲讲自己的作品？他画的什么意思，听明白了吗？孩子，我有个问题：咱们研究的是兔子，你怎么画了这么多图形啊？（简单、好画）是这样吗？你们也是这样画的吗？还有画的不一样的吗？来看看这几位同学画的，也都是用了各种图形、符号，我们研究兔子，你们想到用图形代替，这种数学的思维意识非常好。

比较一下这几种不同的画法，你有什么想法吗？（展台同时展示几种不同的方法）（生评价）生1：画兔子的，麻烦、慢生2：用三角、圆、四边形的，不能一眼看出哪个是大兔哪个是小兔。

生3：用大圆和小圆的，用“大”“小”字的，一下就能看出哪个是大兔哪个是小兔。

我们研究的成果不仅要自己懂，还要让所有看图的人都懂。

在面对“第5个月第6个月有多少对兔子”这个比较复杂的问题时，我们通过画图就能简洁的、清晰的理解题意，其实在我们学习数学的过程中，有很多问题都可以借助图形、符号进行研究并帮助我们解决问题。

（课件验证）现在我们请小兔子们亲自为同学们演示一下，想看吗？月月月月月月现在如果要算算6月有多少对兔子，你能用一个算式表示吗？11235112358斐波那契螺旋——黄金螺旋黄金矩形大自然中的斐波那契数列 ）除了动物，哪里还会有呢？①看，这是什么？松果里有螺旋吗？种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列8 种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列13大自然中的斐波那契数列有13条逆时针螺旋和21条顺时针螺旋有13条顺时针螺旋和21条逆时针螺旋大自然中的斐波那契数列大自然中的斐波那契数列21条和34条最多可达89条和14434条和55条条和89条它的种子也排列成？（两组交错的斐波那契螺旋）一般是34和55条螺旋一组，还有和89条螺旋一组的，目前植物学家发现最多是条螺旋一组。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《斐波那契数列的应用》课题设计一、课题的确定：孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。

二、课题的布置与指导：《斐波那契数列的应用》是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以《兔子的繁殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力以及大自然造物的神奇。

我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以《兔子的繁殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。

前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。

于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。

第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。

孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。

第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。

而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。

我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。

《斐波那契数列的应用》课题设计一、课题的确定：孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。

二、课题的布置与指导：《斐波那契数列的应用》是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以《兔子的繁殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力以及大自然造物的神奇。

我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以《兔子的繁殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。

前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。

于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。

第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。

孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。

第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。

而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。

我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。

三、课堂实录：（一）、导入：师：大家喜欢数学吗？问大家一个问题：我们天天在学习数学，那你知道我们为什么要学习数学吗？其实根本原因有三：计算、应用、激发灵感。

数学是一门研究规律的科学，我们通过学习数学可以提高我们的逻辑思维能力、思辨能力和创造力，可以让我们越变越聪明，数学在我们的生活中无处不在。

《斐波那契数列》主题探究教学设计方案一、概述本主题为人教课标必修5第二章——《数列》中关于有阅读与思考的内容．本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性．斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质．使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识．二、教学目标分析1．进一步巩固数列的相关知识，加深对数列的认识，能在具体问题情境中，发现数列的关系，并能用有关知识解决相应的问题．2．初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值，开拓视野，激发学习数学的兴趣，提高自身的文化素养和创新意识．三、学习者特征分析学生已经掌握数列、等差、等比数列的知识，能在具体的情境问题中，发现数列中特殊的关系：等差或等比关系，能用相关知识解决相应的问题．部分学生有一定的自主学习能力、协作学习能力．但应用意识不强，创新能力不强，因此需要一定的指导．学生具有一定的计算机运用能力，能够通过网络搜索相关资源，能借助计算机解决相应的问题．四、教学策略选择与设计主要采用网络探究，小组协作的方式，在复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契数列的历史、应用、特征，教师做好指导、协调工作，对于学生探究结论给予相应评价．五、教学资源与工具设计1．人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5；2．网络课件；3．斐波那契数列计算器；4．网络型多媒体教室．六、教学过程本主题共需1个课时．具体安排如下：（一）问题引入由学生计算，教师给予相应的指导．如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？提示：每月底兔子对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，50个月后是12586269025 对．这就是著名的斐波那契数列．或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线……都遵循这个数列．你能写出以后的项吗？设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性认识．（二）数列知识1．数列的起源人们对数列的研究主要源于生产、生活的需要，以及出于对自然数的喜爱．数是刻画静态物体下的量，一系列的数刻画物体的变化情况，这些按一定顺序排列着的一列数称为数列（sequence of number）．数列是刻画离散过程的重要数学模型，在生活中经常遇到的存款利息、细胞分裂等问题都与数列有关．在古希腊，对毕氏学派而言，万物都是数．他们将数用小石子排列成各种形状，可以排成三角形的小石子数称为三角形数，可以排成正方形的小石子数称为正方形数．三角形数：正方形数：五边形数：每种多边形数均是一个数列．设计意图：让学生对于数列的起源有所了解，便于理解研究数列的意义．2．数列的相关知识让学生快速梳理数列的基本知识：（1）数列的一般形式：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,321n a a a a ，简记为}{n a ．（2）数列的表示方法：（1）列表法；（2）图象法；（3）通项公式法． （3）数列的分类： 项数有限无限：⎩⎨⎧无穷数列有穷数列项数的随序号的变化情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧摆动数列常数列递减数列递增数列（4）数列通项公式：)(n f a n =；主要方法：①观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系．②化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）． ③逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列）．例如：数列}{n a 中，n a a a n n 2,111=-=-，求n a ．④逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）．例如：数列}{n a ，12,111-=÷=-n na a a n n ，求n a ． ⑤正负相间：利用n)1(-或1)1(--n ．⑥（隔项有零：利用]1)1[(21+-n或]1)1[(211+--n ．（5）数列求和的主要方法①利用等差或等比的求和公式．②利用通项列项求和．③错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和． ④倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导． ⑤配对法：适合某些正负相间型的数列． 学生思考：若我们分别以n n n P T S ,,来代表下图的正方形数、三角形数及五边形数，你能发现求出通项公式吗？三者的关系呢？（可以借助图形特点）教师给予适当的指导． 提示：由上图我们不难看出：2n S n =． 而2)1(+=n n T n ． 每个正方形数都可以看成两个三角形数的和1-+=n n n T T S ．n 个 n 个 n 个n 个n 个观察五角形数可以知道1)(32)-(3741)13(]}1)1(3[{)13(11+++⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅=+++-+=++=-+n n ••••••••n n P n p P n n n即2)13(22)1(3)23(23)23(11-=-+=-=-=-=∑∑==n n n n n •••n T n•••k k P n nk nk n设计意图：让学生回顾数列的基本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握，灵活应用数列解决相应问题．3．数列与函数的关系 让学生回顾．数列可以看成是定义域为正整数集*N （或它的有限子集）的函数．当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数．数列具有函数的一般性质，可以借助数形结合的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等．设计意图：回顾函数与数列的关系，进一步加深认识研究数列的角度和意义． 4．特殊数列让学生填写下列表格： 名称 等差数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常种数列的理解和应用，通过系统比较能更好的理解．（三）斐波那契教师适当的加以介绍，可以在让学生利用互联网收集相关资料．中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭．因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学．成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛．斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究．他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展．他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料．回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）．《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家．继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作．《算经》在当时的影响是相当巨大的．这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作．在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”．斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌．他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏．在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明．书中记载的一个有趣的问题：理想中的兔子繁殖问题，兔子每个月对数就构成了著名的斐波那契数列．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数}{n F ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，...命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用．1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究数列．设计意图：了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神．（四）斐波那契数列特性小组探究，归纳总结结论，可以参照提示，对于能力较强的小组可以进一步探究其它性质．教师对于各小组的探究过程加以评价．斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， …… 1．通项公式观察斐波那契数列项数之间有什么关系？提示：从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用n F 表示第n 项，则有)3(21≥+=--n ••F F F n n n ．通过递推关系式⎩⎨⎧≥+==--)3(2,1121n ••F F •••••••••n F n n n ，我们可以一步一个脚印地算出任意项，不过，当n 很大时，推算是很费事的．我们必须找到更为科学的计算方法．你能否寻找到通项公式，借助网络资源，能否给予证明？提示：1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n S 25125151，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式．可以利用归纳法证明．网络资源：求斐波那契数列的通项公式． 2．项间关系根据下列问题分组探究，写下探究的结果．有能力的学生可以继续研究其他性质．提供斐波那契数列计算器的网页．斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究部分性质： （1）问题：观察相邻两项之间有什么关系？相邻两项互素，（1,+n n F F ）（2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， … 第3项、第6项、第9项、第12项、……的数字，有什么共同特点？ 提示：能够被 2 整除．第4项、第8项、第12项，能够被 3 整除．第 5项、第 10 项、……的数字，能够被 5 整除． 你还能发现哪些类似的规律？ （3）23211+=++⋅⋅⋅+++n n F F F F F如果你把前五加起来再加 1，结果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加 1，就会得出第八项．那么前 n 项加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 项呢？提示：1 + 1 +2 +3 + 5 + 1 = 13 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21由于每一项都是其前两项的和，所以23211+=++⋅⋅⋅+++n n F F F F F（4）如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？1 +2 + 5 = 81 +2 + 5 + 13 = 21 1 + 1 + 3 + 8 = 131 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34 提示：我们可以得到下列的结果：n n F F F F 21231=+⋅⋅⋅++- 122421+=+⋅⋅⋅+++n n F F F F你是否能给出证明？（5）不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项．22 + 32 = 4 + 9 = 13 32 + 52 = 9 + 25 = 34 82 + 132 = 64 + 169 = 233试试看其它的情形．12212++=+n n nF F F 是不是都成立呢？（6）更不可思议的是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？ 提示：3．黄金分割动手做一下：把斐波那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项， 得到一个新的数列，并画出图象，分析新数列的特点．提示：1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618， .....下图中横轴为 n 的值，纵轴为n n F F 1+的取值：1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 11 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 11 12 8 13 3 5n n F F 1看起来好像会趋近某个定值，大约为 1.61……．这为人所知作为金黄比率, 并且因此斐波那奇的序列并且称金黄序列， 开普勒发现斐波那契数列的黄金比率．4．探究其它特性利用斐波那契数列计算器和互联网，每小组探究斐波那契数列的其它性质，然后利用网络搜索所得到的性质，是否已经被发现。

76[2014.7]数学探究性课题学习是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。

这个过程，包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。

一、斐波那契数列的探究式教学设计（1）学情及学习任务分析。

斐波那契数列是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第37页的阅读材料，是学习完数列概念与表示方法后安排的一节课外学习内容。

斐波那契数列是个较复杂的数列，有奇妙的性质，有有趣的通项公式，有广泛的应用价值。

如果按教材上的安排来探究斐波那契数列，学生可能难以全面理解。

因此，笔者将它放到数列这一章的末尾来学习。

（2）教学目标设计。

通过了解斐波那契数列，激发学生的学习兴趣，体会抽象数学概念的实际意义；通过展示生活中的数学，让学生欣赏数学的外在美和体会数学的内在美，欣赏数学的艺术美；通过证明斐波那契数列的通项公式，体会构造法的神奇；让学生学会在现代技术条件下如何从网络上选择知识、学习知识进而解决问题。

（3）教学重点与难点。

让学生全方位了解斐波那契数列是重点，证明斐波那契数列的通项公式是教学难点。

（4）教学过程设计。

①展示情景，引发问题。

通过欣赏小说《达芬奇密码》片断，引起学生探究“1332211185”的欲望。

②学生自学教材，解决问题。

通过自学教材内容，操作(13-3-2-21-1-1-8-5)→（1-1-2-3-5-8-13-21）,学生恍然大悟，原来“1332211185”是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……的前8项打乱排列次序之后形成的一串数。

学生猜想斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，因为他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。

③小组自主探究，合作交流。

分小组探究下列情景中的问题：斐波那契数列的原型———兔子繁殖问题，斐波那契数列与植物生长，斐波那契数列与动物生长，斐波那契数列与螺线。

人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》教学设计(课例)课题：斐波那契数列年级：六年级学科：数学设计者：未知教学目标：1.知识与技能：使学生了解斐波那契数列的由来、特点和规律，并感受斐波那契数列与自然的神秘联系。

2.过程与方法：培养学生的观察、分析、概括及探究能力。

3.情感、态度和价值观：向学生展示生活中的数学，使学生在欣赏的同时，感受数学的神奇，产生热爱数学、热爱自然的情感。

同时培养学生科学研究的态度和方法。

教学过程：一、探究数列：1.情境引入：老师出示兔子的图片，引导学生探究斐波那契数列。

如果刚开始第一个月有1对小兔，到了第5个月兔子怎么样？到了第8个月呢？这是怎么回事呢？2.探索研究：1）学生读懂了关于小兔子的问题，老师出示大兔子、小兔子的图片，让学生用图来摆出这段话的意思。

学生可以通过生贴生讲的方式，将每个月之间的关系、每对兔子之间的关系摆出来，让同学们能够清晰地理解。

2）老师引导学生自己尝试着研究第五个月、第六个月有多少对兔子。

学生可以记录下自己的研究过程，与周围的同学交流，互相研究。

学生可以用各种图形、符号来代替兔子，这种数学的思维意识非常好。

老师可以展示几种不同的方法，让学生比较并评价。

我们可以用大圆和小圆来区分大兔和小兔。

当面对“第5个月第6个月有多少对兔子”这个复杂的问题时，我们可以通过画图来清晰地理解题意。

在研究数学的过程中，我们可以利用图形和符号来解决许多问题。

现在，让我们看看如何计算6月有多少对兔子。

我们可以先看4月和5月的情况。

4月的2对大兔到5月仍然是大兔，而1对小兔则长大了。

因此，5月有3对大兔和2对小兔。

接着，5月的3对大兔到6月仍然是大兔，而2对小兔则也长大了。

因此，6月有5对大兔和3对小兔。

我们可以用算式3+5=8来表示这个结果。

那么，如何知道6月一定有3对小兔呢？我们可以通过观察5月的3对大兔来得知。

同样地，我们可以通过观察4月的兔子数来得知5月和6月的情况。

神奇的斐波那契数列一、教学目标1、了解斐波那契数列的有关数学文化；了解斐波那契数列通项公式的推导方法；理解斐波那契数列在数列中的地位。

2、通过研究斐波那契数列相关资料，让学生体验收集、分析材料的一般方法，掌握学会学习的一般技能；通过利用斐波那契数列数列知识研究高中数学知识、现实生活中的应用等问题，让学生在应用中掌握斐波那契数列的数学思想，培养学生应用知识分析问题能力和创新解决实际问题的能力3、通过展示斐波那契数列的数学史，激发学生学习数学的热情态度，塑造良好的人文底蕴；通过介绍斐波那契数列在现实生活中的应用，激发学生的勇于探索、积极思考、追求科学的学习品质；通过互联网技术呈现、感知人类探索数学在万物中的联系、养成良好的审美情趣，促使学生树立献身科学的人生观与回报社会的价值观。

二、教学重难点1、教学重点斐波那契数列及其性质2、教学难点斐波那契数列通项公式的推导三、教学方法学生讨论探究式与教师启发引导式四、学情分析在新课程理念下,初中数学课程目标、课程的内容、教学方式、学习方式等在高中都发生了较大的变化,高一学生在知识、能力、情感态度等方面具备一些新的特点,高一学生主要存在以下特点：目标高远，动力不足、探索学习方法的意识不强、高中学习适应性比较差、学习自觉性和毅力不足、学习方法不得当、运算能力差、学习和复习的效率低、认识水平有待提高。

但探究新知识欲望较强，感性认知多于理性认知，所以本节基于以上学生特点而设置，复合学生的最近认知与发展观。

本课是教材必修五第二章数列第一小节“数列的概念与通项公式”后的阅读与思考的内容，在数列章头封面背景也是呈现了一些斐波那契数列在大自然中的实例，所以有探讨的价值，也有利于激发学生的兴趣，为学生后续数列的学习带来求知欲。

斐波那契数列内容丰富，一节课是不可能全面的呈现斐波那契数列与其应用，本课从学生认知的最近发展区出发来安排教学设计，让学生能对斐波那契数列尽可能的认知，并能运用本节知识解决相关问题，也体现数学源于生活，服务于生活的理念。