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函数零点问题解答分析与思考函数的零点，即函数在坐标系中与x轴交点的横坐标值。
在数学中，求解函数的零点是一个常见的问题，也是解决方程、求解实际问题的重要一环。
在这篇文章中，我们将对函数零点问题进行一些分析与思考，探讨不同类型函数的零点求解方法，以及如何利用零点求解问题。
一、基本概念我们来回顾一下函数的零点的基本概念。
对于一个函数f(x)，其零点即为使得f(x)=0的x值。
通常来说，我们可以通过以下几种方法求解函数的零点：1. 图像法：通过绘制函数的图像，找到函数与x轴的交点；2. 方程法：将函数f(x)化为方程f(x)=0，然后通过解方程求解得到零点；3. 迭代法：利用数值计算方法逼近函数的零点。
这些方法都是常见的零点求解方法，在实际问题中也常常会用到。
下面，我们将结合不同类型的函数，来分析如何利用这些方法求解函数的零点。
二、线性函数的零点求解举个例子来说，我们考虑函数f(x)=2x-3，我们需要求解函数f(x)的零点。
我们可以将函数化为方程2x-3=0，然后通过解方程的方法来求解得到x=3/2。
这样，我们就得到了函数f(x)的零点为x=3/2。
接下来，我们来看一下多项式函数的零点求解。
对于一个n次多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中an≠0，我们可以通过多种方法来求解其零点。
我们也可以利用迭代法来逼近多项式函数的零点。
通过不断迭代计算，我们可以逼近多项式函数的零点。
这在计算机科学和数值计算中经常会用到。
四、三角函数和指数函数的零点求解除了线性函数和多项式函数，我们还可以考虑三角函数和指数函数的零点求解。
对于这两类函数，我们通常会采用迭代法来逼近函数的零点。
对于函数f(x)=sin(x)，我们可以通过不断迭代计算，利用泰勒级数展开式来逼近函数的零点。
对于指数函数f(x)=e^x，我们也可以利用迭代法来逼近函数的零点。
五、零点求解在实际问题中的应用我们来思考一下零点求解在实际问题中的应用。
考前送招，不看后悔：零点对称有妙解2017年全国卷考到了下面这道函数题.1命题人的意图全国卷的命题，要考虑到各省市的情况，所以命题比较稳定、可预测.拿小题来说，越靠后的题目会越难，这一点好理解.更重要的事情是，小题难题设置的目标，是考察学生灵活处理新问题的能力，并不是让你死算.要大算的地方有，但不是在这里，比如圆锥曲线综合题就承担了考察学生运算能力的任务.所以，小题要综合运用数形结合、特殊极限、选项比较等综合手段巧解巧算.2多思少算回到本题.观察所给函数的特点.不难看出，这个函数的图象关于x=1对称.既然函数图象关于x=1对称，那么函数的零点也必然关于x=1对称.也就是说，如果在x=1的左边有一个零点，那么在x=1的右边也应该有一个对称的零点.这样说来，零点的个数不应该是偶数个吗？为什么题目告诉我们，只有一个零点呢？稍加思考，我们恍然大悟：原来1就是函数的一个零点.所以f（1）=0，计算得a=½，选C.3故伎重演1：零点、交点的平均值2016年全国卷第12题：分析：由函数方程f（-x）=2-f（x），我们知道，f（x）的图象是关于（1,0）对称的.然后，我们画出y=（x+1）/x，发现它的图象也是关于（1,0）对称的.于是，它们的交点也关于（1,0）对称.故，交点的横坐标的平均值是1，纵坐标的平均值是0.4故伎重演2：反向利用零点对称2013年全国卷第16题.分析：函数f（x）有两个明显的零点：1和-1.因为函数图象关于x=-2对称，所以零点也关于x=-2对称.于是，我们轻松地找到了另外两个零点：-5和-3.这样，我们就能够秒写函数的解析式.求函数的最大值，我们当然可以求导.也可以不求导，还是利用式子的对称性，实现速解.经验证，取等条件可以取到.5今年考不考？大家看到了吗？这一类经典问题，反复考，从不同角度考，正反考，为什么是这样呢？当然，首先是因为，这个内容是函数的重点和热点.更重要的是，教育部考试中心有个专家库，每年从这些库里抽人出题，为保证命题的稳定性，通常每隔几年换一拨人.你可能问我：今年考不考这类的题目？我也不知道.谁知道这拨人换没换呢？准备一下总是有必要的.时间紧迫，如果你身边有参加高考的孩子，转发给他们看看.。
函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数()f x 的零点Þ方程()0f x =的根¾¾¾¾®方程变形方程()()g x h x =的根Þ函数()g x 与()h x 的交点2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x L ，将关于12,,x x L 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。
将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系二、典型例题：例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（）A.()+¥ B.)é+¥ë C.()3,+¥ D.[)3,+¥思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则01a b <<<，设()()f a f b t ==，即()lg 0lg a tt b t=ìï>í=ïî，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg tta t a eb t b e -ì=-=ìïÞíí==ïîî，所以122t t a b e e+=+，而0te >，所以()123,t t e e+Î+¥答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图像判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值。
零点的判定典例精讲例1：函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -⎛⎫⎛⎫-=+⋅--=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()020f =-<11232022f ⎛⎫=+⋅-=< ⎪⎝⎭()12310f e e =+-=->()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,e D.(),e +∞思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
1x →时，()ln 1x -→-∞，从而()f x ⇒-∞，313ln 0222f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：A例3：已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则（）A.()()120,0f x f x <<B.()()120,0f x f x <>C.()()120,0f x f x >< D.()()120,0f x f x >>思路：条件给出了()f x 的零点，且可以分析出()f x 在()1,+∞为连续的增函数，所以结合函数性质可得()()()()10200,0f x f x f x f x <=>=答案：B例4：已知函数()()log 0,1a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈，则n =________思路：由a 的范围和()f x 解析式可判断出()f x 为增函数，所以0x 是唯一的零点。
导数专题从图象的对称性入手解决两函数图象交点问题在函数的零点问题中，有一类题型依附于函数的对称性命题，通过函数图象的对称性分析得到函数零点（图象交点）的对称性，从而求得零点个数（零点之和）等。
【2011课标卷12题】函数11 yx=-的图像与函数2sin(24)y x xπ=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【答案】D【解析】如图函数和的对称中心均是（1,0）它们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。
不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以和为8.【题后反思】该题需要从以下几个方面突破难点：（1）分式函数的对称中心会求么?（2）两图象交点中的特殊点能把握么？（3）能否意识到图象交点的对称性？【2016理数全国Ⅱ卷12题】已知函数()()f x x R∈满足()2()f x f x-=-,若函数1xyx+=与()y f x=的图象的交点为11(,)x y,22(,)x y,…, (,)m mx y,则1()mi iix y=+∑等于( )11yx=-2sin(24)y x xπ=-≤≤1,2345678,,,,,,x x x x x x x x182736452x x x x x x x x+=+=+=+=A.0B. mC. 2mD. 4m【答案】B 【解析】由()()2f x f x -=-,知函数() f x 的图像关于点()0,1对称, 而函数111x y x x+==+的图像也关于点()0,1对称, 因此函数1x y x +=与函数()y f x =图象的交点成对出现, 且关于()0,1对称,则110,m m i i i i x y m ====∑∑,所以()1mi i i x y m =+=∑.【题后反思】在该题中，特别要注意抽象函数所体现出的对称性，充分结合两个函数的公共对称中心解题。
【模考题】在平面直角坐标系xOy 中，如果相异两点),(),,(b a B b a A --都在函数)(x f y =的函数图象上，那么称B A ,为函数)(x f 图象上的一对关于原点对称的点对（B A ,与A B ,为同一点对）。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
