高二数学复数的四则运算2(201911整理)

数学复数运算复数是由实部和虚部组成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，且 i 是虚数单位。

在数学中，复数运算是对复数进行各种算术操作的过程。

本文将介绍复数的四则运算、复数的共轭、复数的模和幅角，以及复数的乘法和除法等内容。

一、复数的四则运算复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

对于两个复数 a+bi 和 c+di，这些运算的计算规则如下：1. 加法：(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 减法：(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 除法：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i需要注意的是，虚部 i 的平方等于 -1，因此在计算过程中可以利用这一性质简化运算。

二、复数的共轭复数的共轭是指实部不变，虚部取负的操作。

对于一个复数 a+bi，它的共轭为 a-bi。

共轭复数的性质如下：1. 一个复数与它的共轭的乘积为该复数的模的平方：(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^22. 一个复数与它的共轭的和为实数：(a+bi) + (a-bi) = 2a三、复数的模和幅角复数的模是指复数到原点的距离，用 |a+bi| 表示，它的计算公式为sqrt(a^2 + b^2)。

而复数的幅角是指复数与正实轴的夹角，用 arg(a+bi) 表示，它的计算公式为 arctan(b/a)。

根据复数的模和幅角，我们可以利用极坐标表示复数。

对于一个复数 a+bi，它可以表示为 |a+bi| * (cos(arg(a+bi)) + i*sin(arg(a+bi)))。

四、复数的乘法和除法复数的乘法和除法可以利用复数的模和幅角进行计算。

两个复数的乘法可以通过将两个复数的模相乘，幅角相加得到新的复数的模和幅角。

3.2 复数的四则运算1. 复数加减法的运算法则：复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d 是实数）z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数乘法的运算法则：( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i.注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律3.复数除法的运算法则：把满足(c +di ）(x +yi ) = a +bi (c +di ≠0)的复数 x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数c +di 的商复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有4.共轭复数的概念z=a+bi (a,b ∈R)与z=a-bi 互为共轭复数记作： 注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数；.)()(dic bi a di c bi a +++÷+或记做z z )z (z z ) (z z z z n n n mn n m n m n m 2121===⋅+z2）实数的共轭复数是它本身。

5.共轭复数的相关运算性质6．复数常用结论（1）（2）1．计算：i i i i i 2121)1()1(20054040++-++--+ 【解析】 2121Z Z Z Z ±=±2121Z Z Z Z ∙=∙()0 22121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Z Z Z Z ()nn Z Z =Z Z =22ba Z Z +=∙bi Z a Z Z 2 Z2=-=+()i i i i i i ii -=+-=-+±=±11 1121210321321-=⋅⋅⋅=+++++++++n n n n n n n n i i i i i i i i i 2321+-=ω设ωωωω1 1 23===则ωωωωωω1123n 13n 3====++n 012=++ωω提示：利用i i i i =±=±20052,2)1(原式＝02．2=（A ）1-+ （B ）122+ （C ）122i -+ （D ）1 【解析】212===- 故选C ； 3. 若012=++z z ，求2006200520032002z z z z +++【解析】提示：利用z z z ==43,1原式＝2)1(432002-=+++z z z z4. 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由【解析】提示：设),(R y x yi x z ∈+=利用复数相等的概念有⎩⎨⎧==++ax y y x 23222 0034222>∆⇒=-++⇒a y y i a a z a 216224||2-±-+=⇒≤⇒ 5. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设yi x z += (x 、y ∈R ，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 将（2）代入（1），整理得281250.x x -+=160,()f x ∆=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围.解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i,于是12z z -=42a i -+,1z =13.13，得a 2－8a ＋7<0，1<a<7.。

2019-2020学年高中数学 复数的四则运算2教案 苏教版选修2-2教学目标 理解并掌握复数的的除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算重点难点重点：复数的除法运算。

难点：复数的除法运算教学过程 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对*12,,,z z z C m n N ∈∈及有: 1212()()m n m nm n mn n n nz z z z z z z z z +===在计算复数的乘方时，要用到虚数单位i 的乘方，对于i 的正整数指数幂，易知 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=一般地，如果*n N ∈，那么我们有 44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-例2:设1322i ω=-+,求证: (1)2310,(2)1ωωω++==2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 3. 复数除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi ∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①待定系数法②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4 计算i i i i 4342)1)(41(++++-课外作业课本66页3。

复数四则运算复数是一种有趣而复杂的数字类型，可以表示一个或多个实数的数字。

复数由一个实数部分和一个虚数部分组成。

一般地，我们可以用z=a+bi（a和b为实数）的形式表示复数。

其中，a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。

复数的四则运算是对复数进行算数操作的基本知识。

一、复数的加法复数的加法即两个复数的相加，它的运算规则是：将两个复数的实部相加，虚部相加，然后结果以新的复数的形式表示。

例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的和，我们有：z1+z2=2+5i+2-3i=4+2i上式中，4+2i即为z1,z2的和。

二、复数的减法复数的减法即两个复数的相减，它的运算规则是：将两个复数的实部相减，虚部相减，然后结果以新的复数的形式表示。

例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的差，我们有：z1-z2=2+5i-2-3i=0+8i上式中，0+8i即为z1，z2的差。

三、复数的乘法复数的乘法即两个复数的相乘，它的运算规则是：用分数形式乘，然后将实部与虚部分别相乘，最后将结果以新的复数的形式表示。

例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的积，我们有：z1z2=(2+5i)*(2-3i)=(2*2-5*3i)+(2*3i+5*2)=4-15i+6i+10=4+i上式中，4+i即为z1，z2的积。

四、复数的除法复数的除法即两个复数的相除，它的运算规则是：将分子分母换成一个复数，然后用乘法规则将分子实部与分母实部相乘，分子虚部与分母虚部相乘，再分别相减，最后将结果以新的复数的形式表示。

例如，计算复数z1=2+5i除以z2=2-3i，我们有：z1/z2=(2+5i)/(2-3i)=(2*2+5*3i)/(2*2-3*3i)-(2*3i+5*2)/(2*2-3*3i)=6+2i/1上式中，6+2i即为z1，z2的商。

综上所述，复数四则运算也就是复数的加法、减法、乘法和除法，其计算规则也是由上述运算规则及其举例来表示。