等差和等比数列前n项和公式

等比数列的前n项和

一．等比数列前n项和公式

1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

【例1】 在等比数列{an}的前n项和为Sn，

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

[解] 由题意知

 a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得 a1＝5，q＝5或 a1＝180，q＝－56.

从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1 080×1－－56n11.

(2) a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；

[解]法一：由题意知 a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得 a1＝8，q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.

法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.

(3) a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.

[解]因为a2an－1＝a1an＝128，

所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．

从而 a1＝2，an＝64或 an＝2，a1＝64.

又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q为2或12.

(4) a1＝1，S3＝34，求S4.

[解] ∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝34，

∴q≠1，1－q31－q＝34，整理可得，q2＋q＋14＝0，解得，q＝－12，

则S4＝1－q41－q＝1－1161＋12＝58.

跟踪训练1．(1) 在等比数列{an}中，若a1＝2，an＝162，Sn＝112，求n和q；

1

等比数列及其前n项和

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn） 1－q ＝a1－anq1－q.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

【微点提醒】

1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.( )

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )

(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a(1－an)1－a.( )

2

(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )

等差数列和等比数列的通项公式和求和公式

等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们都有着重要的应用和计算方法。下面，我们来详细介绍一下等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

一、等差数列

等差数列是指数列中相邻两项之差都是一个常数。它的通项公式和求和公式如下：

1. 通项公式

设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：

an = a + (n - 1)d

其中，a表示首项，n表示项数，d表示公差。

2. 求和公式

设等差数列的首项为a，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：

Sn = (a + an)n / 2

其中，Sn表示等差数列的和。 等差数列的通项公式和求和公式在许多实际问题中有着重要的应用。例如，假设某人每天存钱，第一天存1元，之后每天比前一天多存2元，问第n天存了多少钱？这个问题可以看做是一个等差数列求和的问题。根据等差数列的通项公式和求和公式，我们可以轻松地计算出第n天存的钱数。

二、等比数列

等比数列是指数列中相邻两项之比都是一个常数。它的通项公式和求和公式如下：

1. 通项公式

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：

an = a * r^(n - 1)

其中，a表示首项，n表示项数，r表示公比。

2. 求和公式

设等比数列的首项为a，末项为an，公比为r，项数为n，则等比数列的求和公式为：

Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)

其中，Sn表示等比数列的和。

等比数列的通项公式和求和公式在许多实际问题中也有着重要的应用。例如，我们常见的利滚利问题就可以通过等比数列来解决。通过等比数列的通项公式和求和公式，我们可以轻松地计算出利滚利问题中的本金和利息的总和。

总结起来，等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，并且在实际问题中有着广泛的应用。等差数列的通项公式和求和公式可以帮助我们计算等差数列的每一项和总和，等比数列的通项公式和求和公式同样可以帮助我们计算等比数列的每一项和总和。掌握了这些公式，我们就能更好地应用数学知识解决各种实际问题。

等比数列的和与差

数列是数学中一种重要的概念，它在不少领域都有广泛的应用。其中，等差数列和等比数列是最常见的数列类型之一。本文将对等差数列和等比数列的和与差进行详细阐述。

一、等差数列的和与差

等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。如果数列的首项为a，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：

an = a + (n-1)d

其中，an表示数列的第n项。等差数列的和可以通过以下两种方法计算。

1.1 等差数列的求和公式

等差数列的求和公式可以用来计算数列的前n项和Sn。具体公式如下：

Sn = n/2 * (a + an)

其中，Sn表示数列的前n项和，n表示项数。

1.2 等差数列的差值计算公式

等差数列的差值可由以下公式计算：

d = an - a

其中，d表示等差数列的公差。 二、等比数列的和与差

等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。如果数列的首项为a，公比为r，则数列的通项公式可以表示为：

an = ar^(n-1)

其中，an表示数列的第n项。等比数列的和可以通过以下两种方法计算。

2.1 等比数列的求和公式

等比数列的求和公式可以用来计算数列的前n项和Sn。具体公式如下：

Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)

其中，Sn表示数列的前n项和，n表示项数。

2.2 等比数列的差值计算公式

等比数列的差值可由以下公式计算：

r = an / a

其中，r表示等比数列的公比。

三、等差数列与等比数列的比较

等差数列与等比数列在求和和差值方面存在一些区别。

3.1 求和公式比较 对于等差数列的求和公式，可以直接通过项数n、首项a和公差d来计算前n项和Sn。而对于等比数列的求和公式，除了需要项数n、首项a和公比r外，还需要进行幂运算。因此，在计算上等差数列的求和公式相对简洁。

3.2 差值计算公式比较

等差数列的公差可以直接通过通项公式中的两项计算得出，而等比数列的公比则需要通过通项公式中的两项相除计算得出。因此，等差数列在计算差值时相对更为直观。