平行四边形的性质1

平行四边形的性质1

课时作业(四十一)

[第六章 1 第1课时 平行四边形的边和角的性质]

课堂达标 夯实基础 过关检测

一、选择题

1．如图K－41－1，在▱ABCD中，M是BC延伸线上的一点．假定∠A＝135°，那么∠MCD的度数是( )

链接听课例3归结总结

A．45° B．55°

C．65° D．75°

图K－41－1 图K－41－2

2．如图K－41－2，假定△ABC的周长是22 cm，AC＝8 cm，那么▱ABCD的周长为( )

A．26 cm B．22 cm C．24 cm D．28 cm

3．[2021·宜宾]在▱ABCD中，假定∠BAD与∠CDA的平分线交于点E，那么△AED的外形是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不能确定

4．如图K－41－3，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延伸线于点F，那么AE＋AF的值等于( )

A．2 B．3 C．4 D．6

图K－41－3 图K－41－4

5．如图K－41－4，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，那么图中阴影局部的面积为( )

A．3 B．6 C．12 D．24

二、填空题

6．[2021·常州]如图K－41－5，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，那么∠CDB＝________°.

链接听课例3归结总结

图K－41－5 图K－41－6

7．如图K－41－6，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，假定点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，那么点B的坐标是________．8．如图K－41－7，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.假定∠1＝20°，那么∠2的度数为__________．

图K－41－7 图K－41－8

9．如图K－41－8，在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，那么∠GFE的度数是________．

三、解答题

10．2021·无锡如图K－41－9，在▱ABCD中，E，F区分是边BC，AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.链接听课例3归结总结

图K－41－9

11．如图K－41－10，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.假定AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，求▱ABCD的面积．

图K－41－10

12．如图K－41－11，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF.

(1)请你写出图中一切的全等三角形；

(2)试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明．

图K－41－1113．[2021·曲靖]如图K－41－12，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，衔接EF，M，N是线段EF上的两点，且EM＝FN，衔接AN，CM.

(1)求证：△AFN≌△CEM；

(2)假定∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．

图K－41－12

14．如图K－41－13，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延伸线于点E.

(1)求证：BE＝CD；

(2)衔接BF，假定BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．

图K－41－13

素养提升 思想拓展 才干提升

[折叠效果]

如图K－41－14，在▱ABCD中，点E，F区分在边DC，AB上，DE＝BF，把▱ABCD沿直线EF折叠，使得点B，C区分落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，衔接DG，B′G.

求证：(1)∠1＝∠2；

(2)DG＝B′G.

图K－41－14教员详解详析

[课堂达标]

1．[答案] A

2．[解析] D ∵△ABC的周长为22 cm，∴AB＋BC＋AC＝22 cm.又∵AC＝8 cm，

∴AB＋BC＝14 cm.由平行四边形对边相等知▱ABCD的周长为28 cm.

3．[答案] B

4．[解析] C ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，∴∠F＝∠DCF.∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠DCF，∴∠F＝∠FCB，∴BF＝BC＝8，同理：DE＝CD＝6，∴AF＝BF－AB＝8－6＝2，AE＝AD－DE＝8－6＝2，∴AE＋AF＝4.应选C.

5．[解析] C 经过观察和结合平行四边形的性质，得S阴影＝12×6×4＝12.

6．[答案] 40

7．[答案] (7，4)

[解析] 依据平行四边形的性质及点A和点C的坐标求出点B的坐标即可．详细进程如下：

∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A坐标是(6，0)，点C坐标是(1，4)，

∴BC＝OA＝6，6＋1＝7，∴点B的坐标是(7，4)．故答案为(7，4)．

8．[答案] 110°

[解析] 由平行四边形得∠CAB＝∠1＝20°.由BE⊥AB，得∠ABE＝90°.依据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠2＝∠CAB＋∠ABE＝20°＋90°＝110°.

9．[答案] 115°

[解析] 由折叠的性质可得∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE.

∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，

∴∠AEC＝130°，∴∠FEC＝65°.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠DFE＋∠FEC＝180°，

∴∠DFE＝115°，∴∠GFE＝115°.

10．证明：在▱ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠C.∵E，F区分是边BC，AD的中点，∴AF＝CE.在△ABF和△CDE中，AB＝CD，∠A＝∠C，AF＝CE，∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠ABF＝∠CDE.

11．解：∵▱ABCD的周长＝2(BC＋CD)＝40，

∴BC＋CD＝20.①

∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝4，AF＝6，

∴S▱ABCD＝4BC＝6CD，

整理，得BC＝32CD.②

联立①②，解得CD＝8，

∴▱ABCD的面积＝AF·CD＝6CD＝6×8＝48.

12．解：(1)△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF.

(2)(答案不独一)证明△ABE≌△CDF如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.13．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN＝∠CEM.

又∵FN＝EM，AF＝CE，

∴△AFN≌△CEM(SAS)．

(2)∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF＝∠ECM.∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，

∴107°＝72°＋∠ECM，

∴∠ECM＝35°，∴∠NAF＝35°.

14.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠AEB＝∠DAE.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD.

(2)∵AB＝BE，∠BEA＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4.∵BF⊥AE，

∴AF＝EF＝2，∴BF＝AB2－AF2＝42－22＝2 3.∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E.在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF，∴△ADF≌△ECF(AAS)，∴△ADF的面积＝△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面

积＝12AE·BF＝12×4×2 3＝4 3.

[素养提升]

[解析] (1)依据四边形ABCD是平行四边形得出DC∥AB，推出∠2＝∠FEC.由折叠的性质可知∠1＝∠FEC＝∠2，即可得出答案；

(2)由(1)得EG＝FG，由▱ABCD的性质，可知∠DEG＝∠EGF.由折叠知EC′∥B′F，进而可得∠B′FG＝∠EGF，由和折叠得出DE＝B′F，证△DEG≌△B′FG即可．

证明：(1)∵在▱ABCD中，DC∥AB，

∴∠2＝∠FEC.

由折叠的性质得∠1＝∠FEC，

∴∠1＝∠2.

(2)∵∠1＝∠2，

∴EG＝FG.

∵AB∥DC，

∴∠DEG＝∠EGF.

由折叠知EC′∥B′F，

∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠DEG＝∠B′FG.

∵DE＝BF＝B′F，

∴△DEG≌△B′FG(SAS)，

∴DG＝B′G.