高考双曲线知识点大全

高考数学考点归纳之 双曲线

一、基础知识

1．双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.

当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.

❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

2.双曲线的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的

标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的

标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．

3．双曲线的几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)

范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R

对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率

e＝ca＝ 1＋b2a2∈(1，＋∞) e是表示双曲线开口大小的

一个量，e越大开口越大. 渐近线 y＝±bax

y＝±abx

a，b，c的关系 a2＝c2－b2

二、常用结论

(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．

(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．

(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

双曲线抛物线知识点⼤总结绝对好和全

第⼆章 2.3 双曲线

双曲线

标准⽅程（焦点在x 轴）)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 标准⽅程（焦点在y 轴）

)0,0(122

22>>=-b a b

x a y 定义

第⼀定义：平⾯内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（⼩于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。{}a MF

MF M 22

1

=-()212F F a <

第⼆定义：平⾯内与⼀个定点F 和⼀条定直线l 的距离的⽐是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离⼼率。

范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈

对称轴x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b

对称中

⼼ 原点(0,0)O

焦点坐标1(,0)F c - 2(,0)F c

1(0,)F c - 2(0,)F c

焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c =

顶点坐标

（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a )x

y P

1

F 2

F x

y P xy

P

1F

2F

x

y

x

y

P

1

F 2

F x

y

x

y

P

1F 2F x

y P

离⼼率 e ac

e (=

>1)= 准线⽅

程 ca x 2±

=

c

a y 2

±

=

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca 2

2

顶点到准线的

距离

顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为ca a 2

-

顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a ca +2

焦点到准线的

距离

焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为ca

c 2

-

焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c ca +2

渐近线

⽅程x a b y ±= x b a y ±=

共渐近

线的双曲线系⽅程k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-2

⾼中数学双曲线知识点及题型总结（学⽣版）

双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：

①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数）

）这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表⽰焦点F 2所对应的⼀⽀； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表⽰焦点F 1所对应的⼀⽀；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是⼀直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到⼀定点F 的距离与它到⼀条定直线l 的距离之⽐是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准⽅程：12222=-b y a x 和12222=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）.这⾥2

22a c b -=，其中|1F 2F |=2c.

要注意这⾥的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准⽅程判别⽅法是：如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y 项的系数是正数，

则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不⼀定⼤于b ，因此不能像椭圆那样，通过⽐较分母的⼤⼩来判断焦点在哪⼀条坐标轴上.4.求双曲线的标准⽅程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准⽅程后，运⽤待定系数法求解.

5.曲线的简单⼏何性质

22

a x －22b

y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R

⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中⼼对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线⽅程为12222=-b y a x ?渐近线⽅程?=-02222b y a x x a

双曲线知识点总结

双曲线，作为数学中的一种重要曲线形式，在高中数学学习中扮演了重要角色。它们不仅在数学里具有丰富的性质和应用，而且在物理学、工程学以及经济学等领域也有广泛的应用。本文将对双曲线的定义、特性以及一些常见的应用进行总结。

一、双曲线的定义及基本特性

双曲线是通过平面上的点P到两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的几何位置构成的曲线。其中，F1和F2被称为焦点，2a被称为双曲线的焦距。

与椭圆相比，双曲线的形状更加开放，两个分支分别向无穷远延伸。双曲线还具有以下特性：

1. 双曲线的离心率大于1。离心率是一个用来衡量曲线形状的参数，对于双曲线而言，离心率大于1可以区分它与椭圆的不同。

2. 双曲线的对称轴是过两个焦点F1和F2的直线，对称轴上的点到两个焦点的距离之差等于2a。

3. 双曲线的渐近线是通过焦点F1和F2的直线。

二、双曲线的标准方程及参数方程

双曲线的标准方程可以表示为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 或 y^2/b^2 -

x^2/a^2 = 1。其中，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。 双曲线的参数方程可以表示为： x = a·cosh(t)，y = b·sinh(t) 或 x =

a·sinh(t)，y = b·cosh(t)。其中，t取遍所有实数。

通过标准方程和参数方程，我们可以方便地描述并研究双曲线的性质和变化规律。

三、双曲线的应用

1. 物理学中的应用

双曲线在物理学中有广泛的应用。例如，在电磁学中，双曲线的场线可以用来描述电荷间的相互作用，以及电磁波的传播规律。在热力学中，则可以用双曲线来表示一维热传导的过程。

2. 工程学中的应用

在工程学中，双曲线也发挥着重要作用。例如，在桥梁设计中，悬链线的形状可以用双曲线描述。双曲线的对称性和渐近线性质使得它成为了设计优美而稳定的桥梁曲线。

3. 经济学中的应用

双曲线在经济学中的应用较为复杂，但却具有重要意义。例如，价格弹性就可以用双曲线来表示，帮助经济学家研究价格与需求关系，从而指导市场调控和政策制定。