等式的性质

【基础知识精讲】等式和它的性质

等式是数学中的重要研究对象，它是从客观世界中存在的相等关系中抽象出来的.所以等式的实质是用含有等号的式子来表示相等关系.运用等式的性质可以对等式进行变形.本章的学习重点————解一元一次方程，实际上就是等式变形.

1．关于等式的概念

首先看下面这样的式子：

2+3=3+2，3+x=5,a(b+c)=ab+ac,

S=21ah,m+2m=3m.

它们都是用等号连接两个代数式而成.像这种用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.

等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律，运算法则等.所以等式可以表示不同的意义.

我们看上面的几个等式，在等式m+2m=3m里,不论m等于任何数值，左边和右边的值总是相等.在等式a(b+c)=ab+ac中，不论a，b，c各等于任何数值，左边和右边也总是相等的.

一个等式，不论用何数值代替其中的字母，它的左、右两边的值总是相等，这样的等式叫恒等式.由数字组成的等式，都是恒等式.

一个等式，只取某些数值代替等式中的字母时，等式才成立，而取另外一些数值代替等式中的字母时，等式不成立，这样的等式叫做条件等式.如x+3=5,S=21ah等.

综上所述，等式可以分成两类：即恒等式和条件等式.我们接下来要学习的方程就是条件等式.

为方便起见，在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.一般说，等式的左边和右边都是代数式，但等式不是代数式.等式含有等号，代数式不含等号.

2．关于等式的性质

等式性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.

等式性质2 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式.

例如：3x-2=8是一个等式.

3x-2+2=8+2 (等式两边都加上2)

利用等式的性质解方程的几点思考

打开五年级上册的数学教材一看，第五单元就是解方程，仔细一看内容，和我小时候所学的用四则运算关系解方程截然不同。以前也听过五年级的数学老师讲过，用等式的性质解方程太复杂了，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会。

一、新课程为什么要用等式的基本性质解方程

过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”．等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时．早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。

但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。

既然一到中学就被取代，并将彻底遗忘．为什么就不能改变，寻找一条新的可持续发展的出路呢?

现在，为了减少过渡性的、很快被淘汰的知识，为了避免中小学数学教学各自教一套，避免中学“另起炉灶”，为了促进学习的正迁移，将等式基本性质作为小学解方程的依据，使中小学解方程的思路得到基本统一，解释趋于一致。这是一项很有意义的改革，值得我们为之尝试、探索，积累经验。

通过实践还进一步发现，以等式基本性质为依据，有利于凸显等量关系，有助于渗透初步的方程思想和初步的数学建模思想。这些则是改革初衷之外的收获了。

二、利用等式的性质解方程的一些困惑

利用等式的性质解方程，对于小学数学教师来说需面对并妥善解决一系列的教学实际问题。只知道要过河，如果没有可操作的过河方法，仍然无济于事。

1．如何理解“等式的基本性质”?

新课程下的小学数学概念性的东西不多，一般都是在例题中或者练习中依靠学生自己归纳总结，而新教材对于等式的基本性质确实给出了明确的解释（见小学数学五年级上册第64页和第65页），对于这一性质，有的老师将其称为“天平原理”或者“天平平衡原理”，这都是可行的，学生理解起来也相对形象一些。

《等式的性质》导学案

教学目标： 时间：

1、通过天平演示保持平衡的几种变换情况，学生初步认识等式的基本性质。

2、知道等式和方程之间的关系。

教学重、难点

用自己的话阐述天平保持平衡的几种变换情况，发现等式保持不变的规律。

一、温故知新

1.下列各式哪些是等式？

2b=12 6+7＜17 68÷2=34 23×4+8 23＞3a-b 12×5=60

2.填空

因为 40＋20=（ ），

所以（40＋20）＋（ ）=60＋2.8；

（40＋20）－5.6=60－（ ）；

（40＋20）×（ ）=60×2；

（40＋20）÷5=60÷（ ）。

二、设问导读

1.阅读课本64页天平游戏。

（1）天平两边平衡，说明了什么？

（2）如果在平衡的天平两边同时加上或减去同样的物品，天平还保持平衡吗？

（3）从天平保持平衡的现象中你知道等式的性质是什么吗？

2.阅读课本65页天平游戏。

（1）如果将平衡的天平两边的物品数量分别扩大到原来的相同倍数，天平还保持平衡吗？

（2）如果将平衡的天平两边的物品数量分别缩小到原来的几分之一，天平还保持平衡吗？

（3）从天平保持平衡的现象中你知道等式还有什么性质吗？除以任何数都可以吗？

三、自学检测

1、天平两边的（ ）同时扩大或缩小相同的（ ）数，天平保持平衡。

2、等式两边都加上或减去（ ）的数，等式（ ）； 四、分层训练

1.利用等式的性质连一连。

a+b=c a+b+35=m+a

b+35=m 5ad=bd

5a=b 3a=2b

《等式的性质》教案

雷亚丽

学情分析：学生在小学阶段初步接触了方程以及等式，学会了解未知数系数较为简单的简易方程，在初中阶段，我们要在小学阶段的基础上加深方程知识的学习，等式的性质是学习方程的重要前提。

教学目标：

知识与技能：会利用等式的两条性质解方程。

过程与方法：利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质。

情感态度与价值观：培养学生参与数学活动的自信心、合作交流意识。

教学重点：了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程。

教学难点：由具体实例抽象出等式的性质。

教学过程：

引入新课：

算一算：能否用估算法求出下列方程的解

(1) x+2=12 (2) 2x +5= 21 (3) 23x=230 (4) 2500+900x = 15000

方程(1)(3)的解可以观察得到,但是仅靠观察来解比较复杂的方程(2)(4)就比较困难.因此,我们还要讨论怎样解方程．

新授：

1. 什么是等式

方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质．

请问，什么是等式？

举个例子：

（1）x - 2 = 4 (2) 1+2=3 (3) m+n=n+m

像这样用等号“=”表示相等关系的式子叫等式．

在等式中，等号左（右）边的式子叫做这个等式的左（右）边．

小试牛刀：

①4+x=7， ② 2x<5, ③ 3x+1, ④ a+b=b+a, ⑤ a2+b2 ⑥ L=2πr ⑦ 1+2=3, ⑧ 2/3 ab,

⑨ S= 1/2ab, ⑩ 2x-3y

上述这组式子中，( )是等式， ( ) 不是等式，为什么？

那么，像2x+5=21这种稍微复杂的方程我们应该如何解呢？下面我们一起来讨论学习等式的性质吧！