第２７卷第２期 ２０１１年４月 大 学 数 学
ＣｏＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２７。№．２ Ａｐｒ．２０１１
旋转抛物面的新定义及其性质
崔美华
（盐城师范学院数学科学学院，江苏盐城２２４００２）
［摘 要］从点的轨迹的角度，将碾 中的旋转抛物面定义为：碾。中到一定点与到一定平面（点不在平面 上）距离相等的点的轨迹．同时引入旋转抛物面的焦点、准平面、准线等概念，并在此基础上证明关于旋转抛物 面的焦点弦、准平面、顶点、对称轴、切平面之间的若干重要性质． ［关键词］旋转抛物面；定义；性质；焦点弦；切平面 ［中图分类号］Ｏ１８２．２ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０２—０１９２－０７
在平面解析几何中，抛物线的定义为：到一定点与到一条定直线（点不在直线上）距离相等的点的轨
迹．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．在此定义下，证明了抛物线的许多重要性质，对 推动工农业生产、国防科技的发展具有很大的作用．而三维空间中的旋转抛物面，并没有专门的定义，只
是将其看成一般旋转面的一种，而一般旋转面的定义是：一条定曲线绕一条定直线旋转而成的轨
迹 引．在这种定义下讨论旋转抛物面的性质有一定的局限性．因此，本文将从点的轨迹的角度来重新
定义旋转抛物面，并相应地引入旋转抛物面的焦点、准平面、准线等概念，进而在此基础上证明出类似抛
物线的许多具有重要价值的性质．
首先求 。中到一定点与到一定平面（点不在平面上）距离相等点的轨迹方程．
设Ｐ为定点Ｆ到定平面丌的距离．以定点Ｆ到定平面丌的垂线为ｚ轴，垂线段中点为原点，建立空
间直角坐标系，于是可设定点的坐标为Ｆ（Ｏ，０， ），定平面 的方程为 一一等．再设Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）是满足
条件的动点，则由ｊＰＦＩ—ｄ 一 ，得
一 外
化简得 ｚ ＋ 一２ｐｚ． （１） 方程（１）表示旋转轴为 轴的旋转抛物面．
反之，设Ｐ（ｘ，Ｙ，ｚ）是满足方程（１）的点，则 ，．
第 1 页 共 2 页 EDCBA
旋转的定义和性质
1.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2、如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是
（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
3、如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角α的大小可以是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4、如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为 （ ）
A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2）
5．如图，△ABC、△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC和DE分别是底边，图中△ 与△ 可以通过以点 为旋转中心，旋转角度为 得到．其中∠BAD=∠ ，CE= ．
6．如图，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，得到矩形FECG，分别连接AC、FC、AF，若AB=3，BC=2，则 AF= ．
7．如图所示，把△ABC绕点C顺时针转35°得到△FEC，EF交AC于点D，若∠FDC=90°，则∠A= ．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
8．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△DOE，若点A坐标为（a，b），则点D的坐标为 ．
3．2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用；
2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题．(重点，难点)
一、情境导入
飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？
二、合作探究
探究点一：旋转的定义
【类型一】
旋转的认识
如图，将左边叶片图案旋转180°后，得到的图形是(
)
解析：将叶片图案旋转任何角度和A、B中的图案均不重合；不旋转或旋转360°后和C中的图案重合，不合要求；顺时针或逆时针旋转180°后只和D中的图案重合，故选D.
【类型二】 旋转图形的识别
下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？
解析：由旋转对称图形的定义逐一判断求解．
解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形．
方法总结：判断一个图形是否是旋转对称图形，其关键是要看这个图形能否找到一个旋转中心，且图形能绕着这个旋转中心旋转一定角度与自身重合．
【类型三】 旋转角的判断
如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(
)
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角∠BOD＝90°.故选C.
探究点二：旋转的性质
【类型一】
旋转性质的理解
如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？ (3)AF的长度是多少？
(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
解：(1)旋转中心是A点．
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.
3.2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
【学习目标】
通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】
重点：掌握旋转的定义和基本性质，并利用数学知识解释生活中的旋转现象.
难点：探索旋转的不变性.旋转角的性质，对应点到旋转中心的距离相等.
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要的条件是平移的____________.
2、平移作图的步骤：①确定平移的___________,②找出_________,③确定关键点的_______,④按原图顺序连接对应点
3、阅读教材：P75—P76第3节《图形的旋转》
二、教材精读
4、旋转的定义
在平面内，将一个图形绕着一个_____沿_________转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为_________，转动的角称为________.旋转不改变图形的___________.
实践练习：日常生活中，我们经常见到以下情景:①钟表指针的转动；②汽车方向盘的转动；
③打气筒打气时，活塞的运动；④传送带上瓶装饮料的移动.其中属于旋转的是 ___ .
5、如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移到什么位置？
（3）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？
（4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？再找一个具有这种关系的角。
归纳：选择图形的性质：旋转不改变图形的 和 ，但图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的 。旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离 __
；对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ；对应线段________，对应角___________.
