在数学教学中培养学生元认知能力的策略

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数学元认知及其能力培养初探

作者：李玉龙

来源：《现代教育科学(普教研究)》2008年第01期

摘要：本文介绍了数学元认知的基本概念和构成，明确了元认知在数学教学中的作用。并对数学教学中学生元认知能力的培养策略提出了自己的一些建议。

关键词：数学元认知；数学教学；培养策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1005-5843(2008)01-0100-02

一、数学元认知概念

元认知(-metaeognition)的概念是由美国心理学家弗拉威尔(Flavell)首先提出来的。根据他的观点，元认知是指个体对自身认知过程的认知和意识，对整个认知活动具有检验、调节和评价的功能。可见，元认知实质上是对认知活动的自我意识和自我调节。相对于数学活动这一特殊的认知活动，数学元认知也是客观存在的。区别于数学认知，数学元认知不是以数学材料(如数学问题、数学知识)为认知对象，而是以数学认知过程(如解题过程、学习过程)为认知对象，以监控进程为目标的认知活动。

二、数学元认知组成成分及其关系

(一)数学元认知知识

数学元认知知识是主体具有的数学认知活动的一般性知识，也就是主体对于什么因素影响人的数学认知活动的过程与结果，这些因素是怎样相互作用的等问题的认识。

1 关于数学认知主体的知识，是指数学认知主体关于自己和他人作为认知加工者的所有数学知识。它既包括对存在于数学认知个体内和个体间的认知差异性的认识，也包括对不同数学认知个体间认知相似性的认识。比如，知道自己的数学逻辑推理能力强于计算能力，知道自己的数学思维的深刻性比灵活性好，知道自己解数学难题往往缺乏信心、意志薄弱。

2 关于数学认知任务的知识，是指数学认知主体关于数学认知活动任务的要求、特点等方面的知识。数学认知活动任务是数学认知的客体和对象，是影响数学认知活动的基本因素；任务要求和目的的知识，即对任务目标难度的认识。对影响任务完成、目标实现的关键因素、方式方法的认识。

・６・　中学教研（数学）　２００８年第１２期　

课堂教学中发展学生数学元认知能力的实践　

●俞建国　（杭州市萧山区第二高级中学浙江杭州３１１２５１）　

在科学技术迅猛发展，知识经济迅速兴起的今天，人才　

的创新意识与创新能力显得尤为重要．　

１培养具有创新意识与创新能力的人是中学数学教学的　

首要任务和重要内容　

具有创新意识与创新能力的人才的培养应贯穿于整个　

教育的全过程．根据皮亚杰的认知发展理论，中学生（特别　

是高中生）的认知水平处于形成阶段，此阶段学生的思维水　

平已得到很大的提高，记忆力、想象力、观察力等能力得到　

了迅速的发展，并且思维具有较强的抽象性；他们能够根据　

自己的目标设定和检验假设监控自己的思维活动，并能跳　

出思维的局限性，用新方法鹪决问题；他们已经善于考虑问　

题的多方面和可能性，根据问题进行逻辑性的推理分析，解　

决问题的准确性和有效性也得到了发展．从认知心理方面　

来说，他们已经具备了一定的创造条件．　

创造，从本质上讲就是困难问题的解决过程，是一个发　

现问题、组织问题和解决问题的过程．美国行为科学家马斯　

洛说过：人的创造力有２种，一种是有特殊才能的创造力，　

一种是自我实现的创造力．教育培养学生的创新意识与创　

新能力，应该同时开发这２种创造力．中学生的创造力就是　

运用所学的知识、技能获得知识和解决问题的能力，从更普　

遍意义上来说，中学生的创造力是一种创造潜能．　

创新意识与创新能力的培养是需要从小开始、一步一　

步循序渐进才能完成的．因此可以说，培养学生的创新意识　

与创新能力是中学教学的首要任务．中学数学所学习的数　

学内容大部分是由概念、定理、公式、法则等一系列基础内　

容所构成的知识体系，在这个体系中十分强调数学的科学　

性、严谨性、周密性、深刻性等一系列特征．但这只是数学内　

容的一个方面，它的另一方面是学习过程中的发现、创造、　

丢弃和不承认的认知过程．华罗庚先生曾说过：“难处不在　

于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式　

投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖ｛ｐ　１６３．ｃｏｒｎ…・＊－　一……　……　数学教学通讯（教师版）……　教学研究＞教学反思　例谈中学生数学元认知能力的培养　

在新课改下从事中学数学教学．期　间经历了茫然与彷徨．体验了无所适从　到慢慢摸索的课堂组织教学．期间不乏　出现各种思维的碰撞．学生学习过程中　出现的种种问题更让笔者觉得转变教　学理念并加强培养学生的数学元认知　能力非常必要．　在一次测试当中．笔者安排了这样　一道习题：求解不等式竺　＞　（１）　＋Ｉ　正确解答如下：　解析　原不等式可变为（ａｘ一１）（　１）＞０．　（２）　当ａ＝Ｏ时，（２）式变为　＋ｌ＜０，此时　（１）式解集为（一　，一１）；　１　当ａ＞Ｏ时，—ｌ一＞一ｌ，此时（１）式解集　为（一∞，一１）ｕ　１　，＋ａ。）；　当一１＜口＜ｏ时，　＜一１，此时（１）式解　集为　一　）．　当ａ－－一１时，（２）式变为（ｘ＋１）　＜Ｏ，此　时（１）式解集为（２ｊ；　ａ＜－１时，　＞一ｌ，此时（１）式解集　为　全班只有３人完全做对．仅有３５％左　赵永正　重庆永川中学校４０２１６０　右的学生思路比较完整．学生的典型错　误可概括如下：　ｌＩ不知把（１）式转化成（２）式，把　（１）式看成是含参数的一元二次不等式　的解：　２．在对（２）式进行分类讨论时。忽　略了对ａ＝Ｏ和　一１的讨论：　３．把（２）式的左边展开．然后用判　别式进行讨论．　学生们展示的水平与笔者的预期　产生了较大的落差．这种类型的题有一　定的难度．因为它涉及分类讨论．而分　类讨论本身对中学生来说就是个难点．　然而该类型的题在讲解一元二次不等　式的解法时已经讲过多次．并且是把它　当做重点来讲授的．当看到测试中学生　支离破碎的解答时．笔者的心情是何等　沮丧．当初的成就感在现实面前变得如　此不堪一击．于是．在第二天评讲试卷　时．笔者理直气壮地责问学生“你们不　是说都听懂了吗，都会了吗？”笔者看到　有的学生不好意思地低下了头．有的讪　讪地说“真的忘记了．”　对学生的责难并没有使笔者的心　情愉悦起来．这让笔者陷入了思考：前　段时间讲解的习题学生忘记了不是很　正常吗？难道我们测试的目的是为了考　查学生的记忆力？当所有的知识都逐渐　淡忘之后．数学课堂到底留给学生的是　什么？笔者认为课堂留给学生的不仅仅　是单纯的知识记忆．应该是一种分析问　题、解决问题的能力．一种放之四海皆　可用的能力．当学生具备了这种能力．　不但数学会有长足的进步．其他学科也　会有很大的进步．学生那种“一听就懂．　一做就错”的现象是不是教学上存在一　些盲点和误区所导致的呢　学生个体在学习数学上存在很大　差异性。仅有少数学生思维活跃．课上　能积极回应教师的启发。上课时能勇敢　地展示自我．他们能与教师产生思维碰　撞与互动．激发课堂的活跃氛围．但实　际上．大多数学生的思维处于被动状态．　虽然看到他们积极参与解答．但是他们　只是回答一些孤立的知识点问题或一　些机械的解题过程．教师易被课堂表面　的热闹现象所迷惑．而忽略班级的大多　数学生的状态．导致他们课堂上得到的　有效思维训练有限．这在一定程度上只　是少数优生的“陪学”而已．　若认真研究这些学生的思维特点．　会发现他们的思维随意性大．多处于一一　种“条件——刺激——反应”状态．当离　开了优秀同伴的思维带动以及课堂上　教师精心创设的思维氛围．他们的反应　往往是盲目的．解题时缺乏明确的目标　意识、丰富的策略意识以及积极的调控　意识，在心理学上这些都属于元认知　～　一　教学研究＞教学反思　数学教学通讯（教师版）　投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１６３．ｃｏｒｎ　范畴．元认知是弗拉维尔（Ｆｌａｖｅｌ１）于２０　世纪７０年代提出的一个概念．他认为元　认知就是个体关于自己的认知过程的　知识和调节这些过程的能力．简单地　说．元认知是“关于认知的认知”．是智　力的核心成分．其实．元认知思想在我　国有着悠久的历史．　《学记》一书中写　道：“学然后知不足，教然后知困。知不　足后能自反也：知困然后能自强也．故　日教学相长也．”其中表达的就是元认知　的基本思想．　回顾前面那个不等式的解答过程．　整个思考过程伴随着这样的“隐性语　言”，如：　１．对于（２）的不等式的解法，二次　项的系数是否为零要优先给予考虑．这　样就不易忽略等于零的情形：　２．对。的讨论一定保证彻底：（分类　讨论思想）　３．没必要再把（２）式左边展开；　４．这道题考查的是什么呢？（自控　意识与目标意识）　整个认知过程要带着强烈的计划　性和目标性．伴随着数学思想的应用以　及策略的选择等．这正是数学元认知能　力的体现．通常情况下．只有少数优生　无师自通地具备这种能力．而绝大多数　学生的数学元认知能力不足．进而导致　了学生做题时的“卡壳”．　数学教学的任务之一在于改善和　发展学生的思维能力．心理学研究表　明．元认知是智力开发的突破Ｅｌ和关　键．元认知能力的提高可以弥补其他智　力的差异．作为教师．我们不能被动地　等待学生自觉感悟．因为我们的教学使　命是面向全体学生的．我们在课堂教学　中要主动地开发、培养学生的元认知能　力．使大多数学生摆脱“陪学”状态．　成为真正意义上的学习的主人．　具体地说．数学教学要加强策略性　知识与数学思想方法的教学．在课堂　教学中．教师要善于把习题的“隐性语　言”清晰地提炼出来．充分展示思维过　程．在解题时也要引导学生注意把习题　的条件与结论结合起来．加强学生自控　性与目标性的培养．波利亚在《怎样解　题》中认为，学生在解决数学问题的过　程中应该随时对解题活动进行调节以　（上接第１８页）　学生４：不对，因为边长是正数，应该是０＜　ｃ＜５．　学生５：还是不对，应该是１＜ｃ＜５，因为ｃ的取值范围是１（ｃ＜　７．结果应该是它们的公共部分．　学生６：不对，因为、／丁也在１＜ｃ＜７这个范围内，当６＇－Ｖ　时．ＡＡＢＣ是直角三角形．但是我也说不清ｃ的取值范围．　教师：不错，顺着思路想一下．　学生７：１＜ｃ＜５能保证　Ｇ是锐角，而不能保证厶４，　是锐　角．　学生８：只要保证　，ＬＣ是锐角就可以，因为ＬＢ＞ＬＡ，所　以　Ａ也是锐角．　学生９：答案是、／了＜ｃ＜５．若　ｃ是锐角，求得ｃ＜５；若　Ｂ是　锐角。求得、／丁＜ｃ．又因为１＜ｃ＜５，所以结果应该是它们的公共　部分．　教师：如果是钝角三角形，还能求出ｃ的取值范围吗？　学生１０：是１＜ｃ＜、／　或５＜ｃ＜７．　２４　及评价．国际数学问题专家阿兰一施恩　非尔博士曾对美国学生与数学家在某　个问题解决过程中的差异作过描述：学　生往往在无自我监控的条件下漫无目　的地“试着干”．而专家始终在自我监控　下不断调整自己．表现了灵活而简捷的　思维品质．因此．在例题教学中根据对　例题的讲解和分析．有必要向学生自然　地展现对解题的调节与监控．帮助学生　培养自控性．　另外．促使学生养成良好的解题反　思习惯是开发数学元认知能力的一个　重要手段，可以从“说、写”两个方面抓　起．在课堂上讲完题目．给学生一点时　间．让每个学生自行总结．同桌互诉题　后反思．对一些典型习题．可以让学生　用自己的语言写出对解题思路的感悟．　数学元认知能力的开发与培养对　学生异常重要．在今后的教学中．需要　不断提高学生的元认知水平．把数学　课堂切实落实到培养学生的能力上　来．让学生体会到学习数学的乐趣．让　学生学会用数学的思考方式解决问　题、认识世界．　学生ｌ１：因为一般三角形ｃ的取值范围是１＜ｃ＜５，而锐角三　角形时ｃ的取值范围是、／了＜ｃ＜５．直角三角形时ｃ的值是５或　、／了．所以钝角三角形ｃ的取值范围是１＜ｃ＜、／厂丁或５＜ｃ＜７．　教师：非常好．大家能将这个题目的条件或结论再作些变　化．编出新的题目吗？　学生１２：如果此三角形是等腰三角形，求ｃ的值．　学生１３：如果此三角形是直角三角形，且　Ｃ＝９０ｏ，求斜边　上中线长．　学生１４：如果此三角形是直角三角形，且　Ｃ＝９０。，求斜边　上的高．　当然．并不是所有的问题在解题后都需要反思，解题后的　再思考也没有固定的模式．如果上课教师经常让学生在解题后　再思考．同时给予学生足够的时间和空间，可培养学生做到会　积极思考．会提出问题、发现问题并能解决问题，最终使学生达　到“学会学习”的境界．从而使学生真正成为数学学习的主人．

教师如何促进学生的元认知能力

元认知能力是指个体对自己思维过程的认识与控制，包括对自己学习方式的理解、对学习策略的选择与调整、以及对学习成果的反思。在教育过程中，教师的角色不仅是知识的传授者，更是学生元认知能力发展的引导者和促进者。通过有效的教学策略，教师能够帮助学生更好地认识和调节自己的学习过程，从而提高学习效果和自主学习的能力。

教师在促进学生元认知能力方面，可以从多个方面着手。首先，创建一个积极的学习环境对于学生元认知能力的发展至关重要。教师需要营造一个鼓励探索、讨论和反思的氛围，让学生感到安全，从而愿意表达自己的想法和疑问。当学生能够在一个没有压力的环境中进行交流，他们会更容易意识到自己的思维过程，并乐于尝试不同的学习策略。

在课堂教学中，教师可以通过设计适当的任务来激发学生的元认知意识。例如，教师可以让学生对自己过去的学习经历进行反思，思考哪些策略有效，哪些无效。这样的活动不仅能够帮助学生识别自己的学习习惯与风格，还能促使他们在今后的学习中自觉运用有效的策略。通过鼓励学生进行自我评估，教师能够帮助他们认识到自身的优缺点，从而更有针对性地改善学习方法。

教师还可以通过示范和讲解来提高学生的元认知意识。在教学过程中，教师可以分享自己的思维过程和解决问题的策略，让学生了解如何进行有效的思维和学习。通过教师的示范，学生可以学习到如何选择合适的学习策略并自我监控，例如在阅读时进行预览、提问和总结等。这种示范性学习不仅能够为学生提供具体的操作指南，还能激励学生主动尝试并形成自我监控的习惯。

有效的提问也是促进学生元认知能力的重要手段。在教学过程中，教师可以通过开放性问题引导学生深入思考，引导他们关注自己的思维过程。例如，在学习新的知识点时，教师可以询问：“你是如何理解这个概念的？”“在解题过程中，你是如何判断自己是否走在正确的道路上的？”这些问题能够促使学生反思自己的学习和思维，帮助他们更好地监控与调节自己的学习状态。