习题3-1
1、设(,)XY的分布律为
X Y 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 1/3 a 1/9
求a。
解：由分布律的性质，得1,0ijijpa，即111111691839a，0a，
解得，29a。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)XY的分布函数为(,)Fxy，试用(,)Fxy表示：
（1）{,}PaXbYc；（2）{0}PYb；（3）{,}PXaYb。
解：根据分布函数的定义(,){,}FxyPXxYy，得
（1）{,}{,}{,}(,)(,)PaXbYcPXbYcPXaYcFbcFac；
（2）{0}{,}{,0}(,)(,0)PYbPXYbPXYFbF；
（3）{,}{,}{,}(,)(,)PXaYbPXYbPXaYbFbFab。
3、设二维随机变量(,)XY的分布函数为(,)Fxy，分布律如下：
Y
X
1 2 3 4
1 1/4 0 0 1/16
2 1/16 1/4 0 1/4
3 0 1/16 1/16 0
试求：（1）13{,04}22PXY；（2）{12,34}PXY；（3）(2,3)F。
解：由(,)XY的分布律，得
（1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244PXYPXYPXYPXY；
（2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}PXYPXYPXYPXYPXY
1150016416； （3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}FPXYPXYPXYPXY
1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416PXYPXYPXY。
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考研数学第三章：多维随机变量及其分布
考研将第一时间整理发布考研相关信息，希望对2016考研考生有所帮助。
一、考试内容
1.多维随机变量及其分布
2.二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
3.二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度
4.随机变量的独立性和不相关性
5.常用二维随机变量的分布
6.两个及两个以上随机变量简单函数的分布
二、考试要求
1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.
2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.
3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.
4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
三、复习要点
1. 二维离散型随机变量
同一维离散型随机变量类似，二维离散型随机变量也是要求考生通过题目的信息，解决两个问题，一、两随机变量分别可以取哪些值;二、随机变量取对应值的概率是怎么计算的.应该说，只要考生会写一维离散型随机变量的分布律，那写出二维离散型随机变量的联合分布律难度应该也不是很大.至于边缘分布律和条件分布律，可以在联合分布律的基础上写出.部分考生理解起来觉得抽象的是条件分布律，其实道理仍然是一样的，需要考虑在一个随机变量取定某一值的条件下，另一个随机变量可以取哪些值.另外，在计算一个随机变量X=a时，另一个随机变量Y=b的概率是多少时，无需记忆新的公式，直接带入第一章学习的随机事件的条件概率公式即可.
2. 二维连续型随机变量
联合概率密度，重点掌握：一、概率密度在整个平面上积分是1，它的作用也主要是确定概率密度中的未知参数;二、求二维连续型随机变量落在一个平面区域内的概率，即联合概率密度在该区域上进行二重积分.虽然公式与一维类似，但从计算的难度上讲，二维的会更复杂一点，要求考生会计算二重积分.在此，考生也应该充分地意识到概率与高数还是存在紧密联系的，概率的部分计算需要有一定的高数基础.
第三章多维随机变量及其分布
1. （2016）设随机变量X与Y相互独立且均服从正态分布2(1,)N, 则概率{min(,)1}PXY 14 .
2. （2016）设二维随机变量(,)XY的联合概率密度函数为
1,01,02(,),0,xyxfxy其他
(1) 求边缘概率密度函数()Xfx;
(2) 求条件概率密度函数|(|)YXfyx;
(3) 求概率{1}PXY.
解答: （1）2,01()(,)d.0,Xxxfxfxyy其他 …..............................4分
（2）在01x时: |(,)(|)()YXXfxyfyxfx1,02.20,yxx其他 ........................4分
（3）{1}PXY213021dd.3yyyx ...............................................................2分
3. （2016）已知二维随机变量(,)XY在区域{(,)01,01}Dxyxy上服从均匀分布, 令随机变量1,
0, XYUXY,
(1) 求(,)XY的联合概率密度函数;
(2) 求U的分布律;
(3) 求随机变量ZUX的分布函数()Fz.
解答: （1）1,01,01(,).0,xyfxy其他 ..............................................3分
（2）1{1}{}2PUPXY, 故1{0}2PU, 因此U的分布律为:
U 0 1 P 12 12
.........................................4分
（3）(){}{}FzPZzPUXz
第三章多维随机变量及其分布知识点梳理 1. 联合分布函数与边缘分布函数之间的关系：_______________。 2. 联合分布函数的性质：(1)._______________。 (2)._____________________________________。 (3)._____________________________________。 (4)._____________________________________。 (5).________________________________________________。 3. 二维随机变量的相关性质：
4.
随机变量的独立性：即X与Y相互独立的充要条件是：离散型______________连续性____________________。 5. 随机变量的分布： (1).和分布：___________________________________________。 当X与Y独立时，________________________________。 (2).商分布：___________________________________________。 当X与Y独立时，________________________________。 (3).极值分布：M=max{x,y}：________________________________________。 N=min{x,y}：________________________________________。 一个前提：_________________________。 6. 常见的二维分布： (1).二维均匀分布：_______________________________________。 (2).二维正态分布：________________________________________。 7. 分布的可加性： (1).X~B(m,p),Y~B(n,p),且X与Y相互独立，则X+Y~___________。 (2).X~N),(~),,(222211NY,且X与Y相互独立,则X+Y~______________。 8. 几个常用的事件关系式： (1).{max(X,Y)>C}=__________________。 (2).{max(X,Y)C}=_________________。 (3).{min(X,Y)>C}=___________________。 (4).{min(X,Y)C}=__________________。 9. 相关例题： (1).某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，先从中随机抽取一类型 分布函数 边缘分布 联合密度函数的性质 条件分布 离散型 连续型 件，记为3,2,1,0,1iixi，其他等品若抽到。试求1x与2x的联合分布律。 (2).设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(01}。 (8).设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=A2222yxyxe,求常数A以及条件概率密度)|(|xyfxy。 (9).设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=其他,010,10,2yxyx,求 ①.求P{X>2Y} ②.求Z=X+Y的概率密度 Y -1 0 1 P 31 31 31 (10).设随机变量X与Y相互独立，X有密度函数f(x),Y~B(1,p)。求Z=XY的分布函数。 (11).设随机变量X与Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度。
