高二数学圆锥曲线知识点整理

圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法

一、常用方法技巧

1、参数无关法

把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

2、特殊到一般法

根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

3、关系法

对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

二、手电筒模型解题步骤

1、概念：只要任意一个限定AP与BP条件（如APBPkk定值，+APBPkk定值），直线AB依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。

2、解题步骤：

第一步：由AB直线ykxm，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；

第二步：由AP与BP关系，得到一次函数kfm或mfk；

第三步：将kfm或mfk代入ykxm，得到yykxx定定.

三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤

第一步：设其中一条直线的斜率为1k，求出直线方程；

第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；

第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；

第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。

四、圆锥曲线的切点弦方程

1、过抛物线220ypxp外一点00,Mxy作抛物线的切线，切点弦方程为00yypxx； 2、过椭圆222210xyabab外一点00,Mxy作椭圆的切线，切点弦方程为00221xxyyab；

高二上期数学知识整理

1 平面解析几何（直线、圆和圆锥曲线）

一、曲线与方程

1．平面解析几何研究的主要问题：

①根据已知条件求出表示平面曲线的方程；②通过方程，研究平面曲线的性质

平面解析几何研究的方法——坐标法

2．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：

在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程0),(yxf的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线

【定义的理解】设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|0),(yxf }，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：

(1)MP(xy)QPQ(2)(xy)QMPQP0000∈，∈，即；，∈∈，即．

显然，当且仅当且，即时，才能称方程，PQQPP=Qf(xy)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．

【练习】（1）已知曲线C上的点的坐标都是方程0),(yxf的解，下列命题正确的是 （ CD不确定 ）

A、满足方程0),(yxf的点都在曲线C上 B、方程0),(yxf是曲线C上的方程

C、曲线C是满足方程0),(yxf的曲线 D、方程0),(yxf的曲线包含曲线C上的任意一点

（2） 命题“坐标满足方程0yxf，的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是（B）

A、曲线C上的点的坐标都满足方程0yxf，．

B、坐标满足方程0yxf，的点有些在C上，有些不在C上．

高二数学课本《选修1-1第二章圆锥曲线与方程》

高二数学课本《选修1-1》第二章圆锥曲线与方程

在本章中，我们将探索圆锥曲线与方程之间的关系。圆锥曲线是平面几何中的重要主题，而通过引入方程，我们可以更精确地描述这些曲线的性质。

一、引言

圆锥曲线是平面几何中的一个基本主题。椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线都是平面上的点满足某种条件的轨迹。通过引入方程，我们可以对这些曲线进行精确的描述和分类。

二、基本概念

1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个动点在满足某种条件的限制下，沿着一条具有特殊形状的轨迹运动所形成的图形。

2. 圆锥曲线的方程：对于每种圆锥曲线，我们可以使用一个二元二次方程来表示。例如，椭圆方程可以表示为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中a、b、c、d是椭圆的主要参数。

三、主要内容

1. 椭圆的定义和方程：椭圆是一种常见的圆锥曲线，它描述了一个动点在两个固定点（焦点）之间移动的轨迹。椭圆的方程可以写为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

2. 双曲线的定义和方程：双曲线也是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和无穷远点之间的轨迹。双曲线的方程可以写为(x-a)^2/b^2

- (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。 3. 抛物线的定义和方程：抛物线是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和一条直线（准线）之间的轨迹。抛物线的方程可以写为y^2 =

2px或x^2 = 2py，其中p是抛物线的焦参数。

4. 圆锥曲线的性质：通过观察圆锥曲线的方程，我们可以得出一些重要的性质，例如范围、对称性和离心率等。这些性质有助于我们更好地理解和应用圆锥曲线。

四、方法与技巧

1. 代数方法：通过代入坐标到圆锥曲线的方程中，我们可以得到点的位置，从而通过代数方法解决问题。

高 二 数 学 期 末 复 习 三

（圆锥曲线综合问题）

一、知识回顾

1．直线与圆锥曲线的位置关系：

在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.

注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0”.

②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.

2．弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则2222||1||1||xABkxxka，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则1221||1||AByyk

211||yka，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。

注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。

3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率0202yaxbk；在双曲线22221xyab中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率0202yaxbk；在抛物线22(0)ypxp中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率)0(00yypk。

注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.

4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.