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第40讲 隐零点利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的推断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的推断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,依据其数值计算的差异可分为以下两类:(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.(2)能够推断其存在但是无法干脆表示的,称为隐零点.对于隐零点问题,由于涉及敏捷的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑推断和奇妙的不等式应用,对学生的综合实力要求比较高,往往是考查的难点.我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下:第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方程()00f x '=,并结合()f x 的单调性,通过取特别值靠近的方式得到零点的范围.其次步:以一阶导函数零点0x 为分界点,说明导函数()f x '在0x 左、右两边的正、负号,进而得到()f x 的极值表达式()0f x .第三步:将零点方程()00f x '=适当变形,整体代人极值式子()0f x 进行化简证明. 有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),推断其范围(用零点存在性定理),最终整体代人即可.请留意,进行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用幂函数替换,这是简化函数的关键.无参隐零点问题隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数()f x ,导函数方程()0f x '=的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为:第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程()0f x '=的根为0x . 其次步:写出零点等式()00f x '=成立. 第三步:取点找出留意确定0x 的合适范围。
第四步:把零点等式变形反带回()f x ,进行简化,从而求解.【例1】已知函数()()23e ,91xf x xg x x =+=-.证明:()()f x g x >.【解析】证明：设()()()()23e 91,3e 29xx h x f x g x x x h x x =-=+-+='+-为增函数,∴可设()00h x '=.()()06137h h e o =''-<=->()00,1x ∴∈.当0x x >时,()0h x '>.当0x x <时,()0h x '<.()02min 000()3e 91x h x h x x x ∴==+-+.又00003e 290,3e 29x x x x +-=∴=-+.()()22min 0000000()29911110110h x x x x x x x x ∴=-++-+=-+=--.()()()0000,1,1100x x x ∈∴-->, ()()min ()0,h x f x g x ∴>>.【例2】已知函数()()e ln 2xf x x =-+,求证:()0f x >.【解析】证明：()1e 2xf x x =-+'在区间(2-,)∞+上单调递增, 又()()10,00f f -'',()0f x ∴'=在()2,∞-+上有唯一实根0x ,且()01,0x ∈-.当()02,x x ∈-时,()0f x '<. 当()0,x x ∞∈+时,()0f x '>. 从而当0x x =时,()f x 取得最小值. 由()00f x '=,得()00001e ,ln 22x x x x =+=-+,()()()()200000110022x f x f x x f x x x +∴=+=>∴>++.【例3】已知函数()2ln f x x x x x =--.证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且()220e2f x --<<.【解析】证明：()()2ln ,22ln f x x x x x f x x x =-'=---. 设()22ln h x x x =--, 则()12h x x'=-. 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '<. 当1,2x ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时,()0h x '>. ()h x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增.又()()21e 0,0,10,2h h h -⎛⎫><=⎪⎝⎭()h x ∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭零点只有0x ，在1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭零点只有1,且当()00,x x ∈时,()0h x >.当()0,1x x ∈时,()0h x <.当()1,x ∞∈+时,()0h x >. ()()f x h x '=,0x x ∴=是()f x 在()0,1上的唯一极大值点.由()00f x '=得()00ln 21x x =-.()()0001f x x x ∴=-.由()00,1x ∈得()0104f x <<. 0x x =是()f x 在()0,1的最大值点,由()()11e 0,1,e 0f --∈'≠得()()120e e f x f -->=.()220e 2f x --∴<<.含参隐零点问题含参函数的隐零点问题:已知含参函数(),f x a ,其中a 为参数,导函数方程(),f x a '=0的根存在,却无法求出,其解题步骤为:第一步:设方程(),0f x a '=的根为0x .其次步:写出零点等式(),0f x a '=成立时,含0,x a 的关系式. 第三步:取点找出0x 的合适范围,该范围往往和a 有关. 第四步:反带回()f x 进行求解,通常可以消参.【例1】设函数()2eln xf x a x =-.(1)探讨()f x 的导函数()f x '零点的个数. (2)证明:当0a >时()22lnf x a a a+. 【解析】(1)()f x 的定义域为()()20,,2e (0).xaf x x x∞+>'=-①当0a 时,()()0,f x f x '>'没有零点. ②当0a >时,2e x 单调递增,ax-单调递增.()f x ∴'在()0,∞+单调递增.又()0f a '>,当b 满意04a b <<且14b <时,()0f b '<,故当0a >时,()f x '存在唯一零点.(2) (证明)由(1)题,可设()f x '在()0,∞+的唯一零点为0x ,当()00,x x ∈时,()0f x '<. 当()0,x x ∞∈+时,()0f x '>.故()f x 在()00,x 单调递减,在()0,x ∞+单调递增,∴当0x x =时,()f x 取得最小值,最小值为()0f x .由于0202e 0x ax -=, ()000222ln 2ln 2a f x ax a a a x a a∴=+++. 故当0a >时,()22ln f x a a a+.【例2】已知函数()()e ln xf x x m =-+.当2m 时,证明:()0f x >.【解析】证明：函数()f x 的定义域为(),m ∞-+,则()()e 11e x xx m f x x m x m+-=-=++'. 设()()e 1xg x x m =+-.()()1e 0x g x x m =++'>, ()g x ∴在(),m ∞-+上单调递增.又()()210,22e 12110m g m g m --=--=-⨯->()0g x ∴=在(),m ∞-+上有唯一实根0x .当()0,x m x ∈-时,()()0,0g x f x <<'.当()0,x x ∞∈+时,()()0,0g x f x >>',从而当0x x =时,()f x 取得最小值为()0f x . 由方程()0g x =的根为0x ,得()00001e ,ln x x m x x m=+=-+ 故()(0000011)2f x x x m m m x m x m=+=++--++,当且仅当01x m +=时,取等号.又2m 时,()00f x ∴.()00f x 取等号的条件是01x m +=,001e x x m=+及2m =同时成立,这是不行能的,()00f x ∴>,故()0f x >.【例3】已知函数()()()1e ,ln 1xf x xg x k x k x +==++.(1)求()f x 的单调区间.(2)证明:当0k >时,方程()f x k =在区间()0,∞+上只有一个零点. (3)设()()()h x f x g x =-,其中0k >,若()0h x 恒成立,求k 的取值范围. 【解析】(1)()1e x f x x +=,()()111e e 1e x x x f x x x +++∴'=+=+,令()0f x '>得1x >-. 令()0f x '<得1x <-.故()f x 的单调减区间为(),1∞--,单调增区间为()1,∞-+. (2)证(明)设()()1e x t xf x k x k +=-=-,0k >,则()()11ex t x x +=+'.由(1)题可知()t x 在()1,∞-+上单调递增,又()()()1100,ee 10k k t k t k k k k ++=-=-=-,()t x ∴在()0,∞+上只有一个零点.故当0k >,方程()f x k =在区间()0,∞+上只有一个零点. (3)由题意得()()()()1eln 1,(0,0)x h x f x g x x k x k x x k +=-=--+>>,()()()1111e e x x k x h x x k x k x x+++∴=+-=⋅'--. 令()0h x '=,则1e0x x k +-=.由(2)题得()1e,0x t x x k k +=->,在区间()0,∞+上单调递增且只有一个零点.不妨设()t x 的零点为0x ,则当()00,x x ∈时,()0t x <,即()h x '<0,此时()h x 单调递减.当()0x x ∞∈+时,()0t x >,即()h x '>0,此时()h x 单调递增,∴函数()h x 的最小值为()0h x ,且()()010000e ln 1x h x x k x k x +=--+.由010e 0x x k +-=得00e 1x kx =+,故 ()()0001ln1ln e x k h x k k k x k k k +=--+=-.依据题意()00h x ,即ln 0k k k -, 解得0e k <.故实数k 的取值范围是(]0,e .隐零点求最值利用隐零点求最值的步骤:第一步:求出一阶导函数()f x ',并判定其单调性(也可利用二阶导函数来判定). 其次步:利用零点存在定理判定()f x '存在零点,写出零点方程()00f x '=,并确定零点取值范围()0:,x a b ∈.第三步:通常极值就是最值,写出最值表达式()0f x .第四步:零点等式变形代人最值表达式,这里常用到一个指对互化的变形方式:00000011e 0e e 1x x x x x x -=⇔=⇔=⇔ ()0000ln e ln 0x x x x =+=【例1】求函数()ln 1(0)e xx x F x x x ++=>的最大值.【解析】由已知得()()()()()()2211e 1e ln 1e 1ln .e x x x xx x x x x F x x x x x x ⎛⎫+-+⨯+'+ ⎪⎝⎭=-++=令()ln (0)x x x x ϕ=+>,则()110x xϕ=+>' ∴函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增.()1110,110e eϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴存在01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()000ln 0x x x ϕ=+=,其中0000ln 0e 1x x x x +=⇔=(指对互化).∴当00x x <<时,()()0,0x F x ϕ'.当0x x >时,()()0,0x F x ϕ><'.()F x ∴在()00,x 上单调递增,在()0,x ∞+上单调递减.()000max 00ln 1() 1.ex x x F x F x x ++∴===【例2】求()()e 1ln 2,x F x x x x =--+>0时的最小值. 【解析】()()()111e 1e e 11e ,0.x x x x x F x x x x x x x x +⎛⎫=-+-=+-=+'-> ⎪⎝⎭ ()1e ,0x h x x x=->.令()21e 0xh x x =+>'. ()()0,h x 在∞∴+上单调递增.()120,1e102h h⎛⎫∴==-⎪⎝⎭，存在唯一的1,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()01e0xh xx=-=当()()0,0,0.x x h x F x时即'<<<<()(),0,0x x h x F x当时即'>>>.故()F x在()00,x上单调递减,在(),x∞+上单调递增.()00min00000()e1ln2e ln2x xF x x x x x x=--+=--+,由于()01e0xh xx=-=得0e1xx=,再对0e1xx=两边取对数得00ln0x x+=.min000()e ln21023xF x x x x∴=--+=-+=.【例3】求()1lne2xxxxϕ+=-+的最大值.【解析】()()222211ln ln ee,0.xx x x xxx xx xϕ'⋅-+--=-=>令()()()()2211ln e,2e e e20(0)x x x xx x x x x x x x xx x则μμ=--=--+=--+<>'，()()0,x在μ∞∴+单调递减又()12e11e0,1e0,eμμ-⎛⎫=->=-<⎪⎝⎭由零点存在性定理知,存在唯一零点()0200001,1,0,ln e.exx x x x使即μ⎛⎫∈=-=⎪⎝⎭两边取对数可得()000ln ln2lnx x x-=+,即()()0000ln ln ln lnx x x x-+-=+.由函数lny x x=+为单调增函数可得00ln ,x x =-()()00,0,0.x x x x 当时μϕ'∴当0x x >时，()()0,0x x μϕ<<'.()x ϕ∴在()00,x 上单调递增,在()0,x ∞+上单调递减.()()00000001ln 11e 221x x x x x x x x ϕϕ+-∴=-+=-+=.隐零点求参数取值范——参变分别参变分别法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,就是按参变分别的基本步骤.不同的只是分别参数之后求最值时,无法精确地求出极值,只能用隐零点的方式求出一个范围,所以所求最值也只是一个范围.这一类题目,会有一个明显的特征,就是所求参数通常为正整数,只有这样,参数才能取到一个确定的值。
高中数学奥赛经典讲解教案
主题：解析几何
目标：通过本节课的学习，学生能够掌握解析几何中常见的定理、方法和技巧，提高解题能力。
一、引言（5分钟）
介绍解析几何的概念和作用，引导学生明确本节课的学习目标。
二、知识讲解（30分钟）
1. 直线方程的一般式和点斜式，以及两点式的转化和应用；
2. 圆的一般式方程和标准式方程的求解方法；
3. 解析几何中常见的定理和性质，如相交直线垂直的判断条件、圆与直线的相交关系等。
三、例题讲解（20分钟）
1. 根据已知条件，用解析几何方法求解直线方程或圆的方程；
2. 利用解析几何中的性质和定理解决几何问题。
四、练习与讨论（20分钟）
学生独立解答几道题目，然后与同学讨论、交流解题思路，并请学生展示解题过程。
五、总结与拓展（10分钟）
总结本节课所学内容，强调解析几何在数学竞赛中的重要性，并鼓励学生多加练习。
六、作业布置（5分钟）
布置相关习题作业，巩固本节课所学内容。
七、课后反馈（5分钟）
学生提交作业并讲解答案，教师及时反馈学生的表现，帮助学生改进解题方法。
注：本教案仅为范本，实际教学过程中应根据学生的掌握程度和学习节奏做出调整。
格点问题[赛点直击]1．格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x 轴和y 轴，且设一个方格的边长为1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。
因此，格点又称为整点。
2．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。
3．格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
4．格点关于格点的对称点为格点。
5．设格点多边形内部有I 个格点，边界上有p 个格点，则格点多边形的面积为S=I+P/2-1（见例5）。
[赛题精析]例1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最小值是 （ ）A ． D ．120130 思路点拨：可以引进整点坐标，利用点到直线的距离公式，建立整点到直线距离的二元函数。
通过对距离函数最值的探求获得问题的解。
而不同角度的探求又能得到不同的解法。
解法一 已知直线可写成25x-15y+12=0整点到直线的距离为()00,x y d 由，均可为整数知必为整数，从而为无理数，否定C,D. 0x 0y 00251512x y -+d 若选A ，则002515121x y -+=即0025151x y -=±有00251513x y -=-或00251511x y -=-但是5的倍数，不会取-13，-11。
故否定A ，从而选B ()00002515553x y x y -=-解法二 距离d 的大小完全有来确定，当最小时，d 12152500+-y x 12152500+-y x 也相应的取最小值。
由于是5的倍数，故)35(515250000y x y x -=-。
另一方面，当时，.d 212152500≥+-y x 4,200-=-=y x 212152500=+-y x ∴取最小值。
故选B 。
85343452=评注：（1）直线上设有格点，因为如果有，则0121525=+-y x 是5的倍数，与 相矛盾。
⾼中数学竞赛讲义——格点问题格点问题[赛点直击]1．格点，是指⽅格纸上纵线和横线的交点，如果取⼀个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x 轴和y 轴，且设⼀个⽅格的边长为1，那么，格点就是平⾯直⾓坐标系中宗横坐标都为整数的点。
因此，格点⼜称为整点。
2．坐标平⾯内顶点为格点的三⾓形称为格点三⾓形，类似地也有格点多边形的概念。
3．格点多边形的⾯积必为整数或半整数（奇数的⼀半）。
4．格点关于格点的对称点为格点。
5．设格点多边形内部有I 个格点，边界上有p 个格点，则格点多边形的⾯积为 S=I+P/2-1（见例5）。
[赛题精析]例1 平⾯上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最⼩值是（）A B ．120 D ．130 思路点拨：可以引进整点坐标，利⽤点到直线的距离公式，建⽴整点到直线距离的⼆元函数。
通过对距离函数最值的探求获得问题的解。
⽽不同⾓度的探求⼜能得到不同的解法。
解法⼀已知直线可写成25x-15y+12=0整点()00,x y 到直线的距离为d =由0x ，0y 均可为整数知00251512x y -+必为整数，从⽽d 为⽆理数，否定C,D. 若选A ，则002515121x y -+=即0025151x y -=±有00251513x y -=-或00251511x y -=-但()00002515553x y x y -=-是5的倍数，不会取-13，-11。
故否定A ，从⽽选B 解法⼆距离d 的⼤⼩完全有12152500+-y x 来确定，当12152500+-y x 最⼩时，d 也相应的取最⼩值。
由于)35(515250000y x y x -=-是5的倍数，故212152500≥+-y x 。
另⼀⽅⾯，当4,200-=-=y x 时，212152500=+-y x .∴d 取最⼩值85343452=。
故选B 。
评注：（1）直线0121525=+-y x 上设有格点，因为如果有，则)53(5152512x y y x -=+-=是5的倍数，与相⽭盾。
格点问题[赛点直击]1．格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x 轴和y 轴，且设一个方格的边长为1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。
因此，格点又称为整点。
2．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。
3．格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
4．格点关于格点的对称点为格点。
5．设格点多边形内部有I 个格点，边界上有p 个格点，则格点多边形的面积为 S=I+P/2-1（见例5）。
[赛题精析]例1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最小值是 （ ）A B ．120 D ．130思路点拨：可以引进整点坐标，利用点到直线的距离公式，建立整点到直线距离的二元函数。
通过对距离函数最值的探求获得问题的解。
而不同角度的探求又能得到不同的解法。
解法一 已知直线可写成25x-15y+12=0整点()00,x y 到直线的距离为d =由0x ，0y 均可为整数知00251512x y -+必为整数，从而d 为无理数，否定C,D. 若选A ，则002515121x y -+=即0025151x y -=±有00251513x y -=-或00251511x y -=-但()00002515553x y x y -=-是5的倍数，不会取-13，-11。
故否定A ，从而选B 解法二 距离d 的大小完全有12152500+-y x 来确定，当12152500+-y x 最小时，d 也相应的取最小值。
由于)35(515250000y x y x -=-是5的倍数，故212152500≥+-y x 。
另一方面，当4,200-=-=y x 时，212152500=+-y x .∴d 取最小值85343452=。
故选B 。
评注：（1）直线0121525=+-y x 上设有格点，因为如果有，则)53(5152512x y y x -=+-=是5的倍数，与 相矛盾。
高中竞赛数学教案
目标：通过本课程的学习，学生将能够掌握高中竞赛数学的基本概念和解题技巧，提高数学思维能力和解题能力。
时间：2课时
教学内容：
1. 引入：介绍竞赛数学的概念和重要性，激发学生学习的兴趣。
2. 知识点讲解：主要介绍一些常见的竞赛数学题型，如整数、方程、不等式等，并讲解解题方法和技巧。
3. 练习及讲解：组织学生做一些竞赛数学题目，然后逐步讲解解题过程和方法。
4. 拓展练习：通过一些拓展练习，帮助学生将所学知识应用到更复杂的题目中。
5. 总结：对本课的内容进行总结，并强调重点和难点，为下一节课的学习做准备。
教学方法：
1. 示范教学法：老师通过讲解和演示解题过程，指导学生掌握竞赛数学的解题技巧；
2. 合作学习法：组织学生小组合作，共同解决问题，促进学生之间的交流和合作；
3. 循序渐进法：由简单到复杂，逐步引导学生掌握竞赛数学的基本知识和解题方法。
教学资源：
1. 竞赛数学教材及习题册；
2. 竞赛数学模拟试题；
3. 多媒体教学设备。
教学评估：
1. 观察学生在课堂上的表现，包括积极性、思维能力和解题能力；
2. 组织小测验，测试学生对所学知识的掌握程度；
3. 布置作业，检查学生对所学知识的理解和应用能力。
扩展活动：
1. 组织学生参加校内外的数学竞赛活动，锻炼学生的竞赛能力；
2. 组织学生参加数学讨论会，激发学生的数学兴趣和思维能力；
3. 鼓励学生自主学习，探索数学的奥秘。
高中数学竞赛培训教案
教学目标：通过本次培训，学生能够掌握竞赛所需的数学知识和解题技巧，提高数学竞赛
的应试能力。
教学内容：本次培训主要围绕高中数学竞赛的常见题型展开，包括数列、概率、几何、代
数等知识点。
教学步骤：
第一步：复习基础知识
讲解数学竞赛常见题型，包括选择题、填空题、解答题等，帮助学生理清基础知识，打好
基础。
第二步：讲解数学竞赛解题技巧
介绍数学竞赛解题的基本思路和方法，包括适时放弃、灵活运用、多角度思考等技巧。
第三步：解析典型题目
通过解析一些典型的数学竞赛题目，引导学生掌握解题技巧，提高解题速度和正确率。
第四步：练习题目
让学生进行有针对性的练习，巩固所学知识和技巧，提高解题能力。
第五步：总结反思
让学生对本次培训进行总结和反思，查漏补缺，为下次培训做好准备。
教学方法：讲解结合练习、小组合作、讨论交流等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。
教学工具：教材、习题、黑板、投影仪等。
教学评价：通过练习题目和考试测验，评估学生的学习情况和提高空间，及时调整教学方案，确保教学效果。
教学改进：根据学生的反馈和评价意见，不断改进教学方法和内容，提高竞赛培训的质量
与效果。
以上是本次高中数学竞赛培训教案范本，希最能达到预期目标，提高学生的数学竞赛能力。
教 学 内 容 格点与面积重 点 难 点 图形的特点教 学 目 标 初步认识图形的特点针对性授课格点与面积 在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形面积大小。
例题与方法 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？求下图中各图形的面积。
求下左图中图形的面积。
求右图中图形的面积。
练习与思考求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中图形的面积第3讲：火柴棒游戏[知识要点]用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减，会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。
[例题精讲一：摆图形]例题1：用三根火柴棒可以摆出一个三角形，如图，加两根，摆出两个三角形。
练习1：1、摆一个正方形要4根火柴棒，如图：，你能用7根火柴棒摆出两个正方形吗？2、摆一个三角形要用3根火柴棒，摆3个三角形至少需要多少根火柴棒？3、把两根火柴棒添在那里，可以摆出5个正方形？例题2：用16根火柴棒摆成的四个相等的正方形（如图）。
减少1根，还可以拼成四个正方形，你会吗？如果减少2根呢？练习2：1、用12根火柴棒，摆成四个大小一样的正方形，怎么摆？2、图中有几个正方形？最少要添上几根火柴棒就能得到8个正方形？例题3：下图是由5根火柴棒摆成的图形，请你移动其中的3根成这样的图形：移动3根练习3：1、第一排有1根火柴棒，第二排有2根，第三排有3根，请你移动2根，变为第一排3根，第二排2根，第三排1根。
2、如下图，由火柴棒摆了两只倒扣的杯子，请移动4根火柴棒，把杯口正过来。
3、下面的3个三角形是用9根火柴棒搭成的，你能用9根火柴棒搭出5个三角形吗？例题4：用12根火柴摆成一个田字形：（1）拿去两根火柴棒，变成两个正方形；（2）移动三根火柴棒，变成三个正方形。
数学学科竞赛教案高中
教学目标：通过本次数学学科竞赛教学，让学生掌握解决数学问题的方法和技巧，培养学生的数学思维和创新能力。
一、教学内容：解题方法与技巧
二、教学重点与难点：
1.掌握常见解题技巧，如数学归纳法、递推法等；
2.培养学生观察问题的能力，运用逻辑推理解决数学问题。
三、教学步骤：
1.导入：通过一个简单的数学问题引起学生的兴趣，激发学生的求知欲；
2.讲解：讲解常见解题技巧及方法，并通过例题演示解题过程；
3.练习：让学生进行实际操作练习，巩固所学内容；
4.反馈：对学生的练习情况进行及时反馈，指导学生进一步学习；
5.总结：总结解题技巧，并鼓励学生在平时的学习中多运用这些技巧。
四、教学工具：黑板、教材、习题册等
五、教学方法：示范教学法、实践教学法
六、教学评价：根据学生的解题情况、课堂表现等进行评价，并及时给予指导和帮助。
七、教学反思：通过本次竞赛教学，发现学生在数学问题解决过程中存在的问题，并进一步完善教学内容，提高教学效果。
40点、线、面、体教案第一章：点的概念与性质1.1 教学目标让学生理解点的定义和性质。
让学生掌握点的坐标表示方法。
让学生学会点的运动和变换。
1.2 教学内容点的定义和性质：点是空间中的一个位置，没有长度、宽度和高度。
点的坐标表示方法：在二维平面上，点可以用一对有序数对(x, y) 表示；在三维空间中，点可以用一对有序数对(x, y, z) 表示。
点的运动和变换：点的平移、旋转和缩放。
1.3 教学方法采用讲解、示例和练习相结合的方法进行教学。
使用图形软件或板书进行演示和讲解。
1.4 教学步骤1.4.1 点的定义和性质引入点的概念，讲解点的定义和性质。
使用图形软件或板书展示不同类型的点，如原点、坐标轴上的点等。
1.4.2 点的坐标表示方法讲解点的坐标表示方法，包括二维和三维空间中的坐标表示。
使用示例和练习帮助学生理解和掌握坐标表示方法。
1.4.3 点的运动和变换讲解点的平移、旋转和缩放变换。
使用图形软件或板书进行演示和讲解。
让学生进行练习，掌握点的运动和变换方法。
第二章：线的基本概念与性质2.1 教学目标让学生理解线的定义和性质。
让学生掌握线的坐标表示方法。
让学生学会线的运动和变换。
2.2 教学内容线的定义和性质：线是由两个点确定的，有限长度的几何对象。
线的坐标表示方法：在二维平面上，线可以用两个点的坐标表示；在三维空间中，线可以用两个点的坐标表示。
线的运动和变换：线的平移、旋转和缩放。
2.3 教学方法采用讲解、示例和练习相结合的方法进行教学。
使用图形软件或板书进行演示和讲解。
2.4 教学步骤2.4.1 线的定义和性质引入线的概念，讲解线的定义和性质。
使用图形软件或板书展示不同类型的线，如直线、曲线等。
2.4.2 线的坐标表示方法讲解线的坐标表示方法，包括二维和三维空间中的坐标表示。
使用示例和练习帮助学生理解和掌握坐标表示方法。
2.4.3 线的运动和变换讲解线的平移、旋转和缩放变换。
使用图形软件或板书进行演示和讲解。
40点、线、面、体教案第一章：点的概念与性质1.1 点的基本概念定义：点是空间中没有长度、宽度和高度的对象。
点的特点：无形状、无大小、只有位置。
1.2 点的坐标表示直角坐标系：使用(x, y)表示点在平面上的位置。
空间坐标系：使用(x, y, z)表示点在空间中的位置。
第二章：线的基本概念与性质2.1 线段的定义与性质定义：线段是由两个端点和它们之间的所有点组成的一条有限长度的直线。
线段的性质：有两个端点、长度是固定的。
2.2 直线的定义与性质定义：直线是由无数个点组成，这些点在同一直线上。
直线的性质：无限长、无宽度、两点确定一条直线。
第三章：面的基本概念与性质3.1 平面与平面的性质定义：平面是由无数个点组成，这些点在同一平面上。
平面的性质：无限大、无厚度、两个平面相交有一条公共直线。
3.2 直线与平面的关系直线与平面相交：直线与平面有一个公共点。
直线与平面平行：直线与平面没有公共点。
第四章：体的基本概念与性质4.1 基本立体图形的定义与性质定义：基本立体图形是由平面图形沿一条直线移动形成的立体图形。
常见的基本立体图形：正方体、长方体、球体、圆柱体、圆锥体。
4.2 立体图形的表面与体积表面：立体图形的表面是由平面图形组成的。
体积：立体图形的体积是由空间区域围成的。
第五章：点、线、面、体的关系5.1 点、线、面、体的相互关系点：是线、面、体的基本组成单位。
线：由点组成，是面、体的边界。
面：由线组成，是体的表面。
体：由面组成，是空间中的实体。
5.2 点、线、面、体的运算点的运算：点的加法、减法、乘法、除法。
线的运算：线的长度、角度、平行线、垂直线。
面的运算：面积、周长、平行面、垂直面。
体的运算：体积、表面积、重心、对称性。
第六章：点的分布与坐标系6.1 点的坐标系直角坐标系：由两条垂直的数轴（x轴和y轴）组成，用于表示平面上的点。
空间坐标系：由三条垂直的数轴（x轴、y轴和z轴）组成，用于表示空间中的点。
高中数学竞赛辅导教学教案：解题技巧与策略分析1. 引言数学竞赛在高中阶段已经成为一项非常重要的活动，对于提升学生的数学素养和解题能力有着重要的促进作用。
本教案旨在为教师提供一些解题技巧和策略分析，帮助他们更好地辅导学生参加数学竞赛。
2. 解题技巧2.1 理清问题结构•了解问题要求，明确要求找到的是什么；•分析问题所给条件，在脑海里形成问题的思维模型；•注意辨别信息之间的含义和关系，避免被很多冗余信息误导。
2.2 探索问题背景知识•在解决具体问题前，了解相关背景知识；•学习经典问题或者典型例题，在实践中总结出有效的方法。
2.3 运用多种不同方法•尝试运用不同方法来解决同一个问题；•发现方法之间的联系和区别，培养灵活性。
2.4 分析特殊情况•设想可能出现的特殊情况，进行推算、验证；•分析特殊情况下解题方法是否适用。
2.5 更好地组织解题步骤•将解题过程记录下来，形成思维导图或者步骤清单；•提供学生自主查漏补缺的机会。
3. 策略分析3.1 制定合理的时间管理策略•合理分配各个问题的解题时间，避免过度耗时；•练习平衡速度和准确性，有效掌握节奏。
3.2 提高思维灵活性和创造力•培养学生解决不同类型数学问题的能力；•引导学生思考数学背后原理和规律，培养创造力。
3.3 学会与他人合作解题•培养合作精神，加强小组协作能力；•分工合作，互相补充优势，在短时间内快速完成解题任务。
3.4 注重错题的分析和复习•对于竞赛中出现的错误以及无法完成的问题进行深入剖析；•系统化归纳错误类型，制定相应提高策略。
4. 总结与反思本教案致力于提供一些解题技巧和策略分析给高中数学竞赛辅导教师，帮助他们更好地辅导学生参加数学竞赛。
理清问题结构，探索问题背景知识，运用多种不同方法，分析特殊情况以及更好地组织解题步骤是解题的重要技巧。
制定合理的时间管理策略，提高思维灵活性和创造力，学会与他人合作解题以及注重错题的分析和复习是成功参加数学竞赛的关键策略。
学科：奥数教学内容：格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
40点、线、面、体教案第一章：点的概念与性质1.1 教学目标：让学生理解点的定义和性质。
让学生掌握点的坐标表示方法。
1.2 教学内容：点的定义：点是空间中没有长度、宽度和高度的对象。
点的性质：点是几何图形的基本组成部分，具有唯一性、无限可分性和不可度量性。
点的坐标表示方法：在直角坐标系中，点可以用一对有序实数表示。
1.3 教学方法：采用讲解、示例和练习相结合的方法，让学生理解点的概念和性质。
通过坐标系的绘制和点的坐标表示，让学生掌握点的坐标表示方法。
1.4 教学资源：直角坐标系图示。
点的坐标表示练习题。
1.5 教学评价：通过课堂提问和练习题，评估学生对点的概念和性质的理解程度。
通过坐标表示的练习题，评估学生对点的坐标表示方法的掌握程度。
第二章：线的概念与性质2.1 教学目标：让学生理解线的定义和性质。
让学生掌握线的方程表示方法。
2.2 教学内容：线的定义：线是由两个或多个点按照一定顺序连接而成的对象。
线的性质：线具有无限延长性、不可度量性和方向性。
线的方程表示方法：直线和曲线可以用方程来表示，方程中含有未知数和运算符。
2.3 教学方法：采用讲解、示例和练习相结合的方法，让学生理解线的概念和性质。
通过直线的方程表示和曲线的方程表示，让学生掌握线的方程表示方法。
2.4 教学资源：直线和曲线的方程示例。
线的方程表示练习题。
2.5 教学评价：通过课堂提问和练习题，评估学生对线的概念和性质的理解程度。
通过线的方程表示的练习题，评估学生对线的方程表示方法的掌握程度。
第三章：面的概念与性质3.1 教学目标：让学生理解面的定义和性质。
让学生掌握面的方程表示方法。
3.2 教学内容：面的定义：面是由多个线按照一定规则连接而成的二维图形。
面的性质：面具有无限延展性、不可度量性和封闭性。
面的方程表示方法：平面和曲面可以用方程来表示，方程中含有未知数和运算符。
3.3 教学方法：采用讲解、示例和练习相结合的方法，让学生理解面的概念和性质。
课题：数格点算面积活动目标：1、通过这次活动，让学生经历画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；2、让学生在“活动”中学，通过实际操作获得亲自体验，积累直接经验.强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；3、通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，理解解决问题的过程和方法：让学生经历从特殊到一般，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的思维方法.活动准备：网格纸若干张.活动内容：一、概念介绍网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻的平行线之间的距离相等.这样两组平行线的交点称为格点.水平线和垂直线围成的每个小正方形的边长称为“一个单位长度”，图中每个小方格就是一个面积单位.假如一个多边形的顶点都在格点上，则这种多边形叫做格点多边形.活动：计算右图中格点五边形ABCDE的面积S并说说你的计算方法.还有其他简捷的方法计算格点五边形ABCDE的面积吗？假设格点多边形的面积为S，点数为L，试用N、L的代数式表示S.三：探究活动活动一：(1)如图①②③都是满足N=0的格点多边形，请你在图④中再画出一个N=0的格点多边形.(2)思考：N=0时，S与L有什么关系？活动二、三、四：分三大组分别完成探究S、L、N的关系. 活动二：研究N=1的格点多边形，探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=1的格点多边形.活动三：研究N=2的格点多边形，探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=2的格点多边形.活动四：研究N=3的格点多边形，探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=3的格点多边形.四、总结规律五、公式应用：计算以下格点多边形的面积.（看谁算得快）备用网格六、小结与质疑今天我学到了. 我还有疑问.。
高中数学中的格点问题随着计算机技术的发展，高考中出现了很多以计算机为背景的试题，其中格点（整点）问题成为一个热点.所谓格点（或整点）就是在坐标平面上横、纵坐标都是整数的点，这类试题注意以计数为主，借助坐标概念，格点问题解答都很有特色.例1 （2011年北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R），记N（t）为ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）.A{9，10，11} B{9，10，12}C{9，11，12}D{10，11，12}答案 C例2 （2011年安徽）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线.答案①③⑤例3 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么满足不等式：(|x|-1)2+(|y|-1)212x,x+y=60的整数解的个数.线段OA有21个整点，线段AB上有21个整点，线段OB上有61个整点.因此所求三角形上有21+21+61-3=100（个）整点.注释对于问题（1），△OAB及其内部区域有(61+1)×212=31×21=651（个）整点.（2）考虑下右图，△OCD及其内部区域有(61+1)×212=31×21（个）整点.因此所求整数解的个数为612+612-2×31×21+1=61×31-42×31+1=590.例5 xy平面上，顶点的坐标（x,y）满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x,y是整数的三角形有多少个？解由题设知，在xy平面上有16个整点，共有C316=560（个）三点组，要从中减去那些三点共线的.平面上有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8条线上含有8C34=32（个）三点共线的三点组（如图（1））.类似的，在斜率为±1的线上三点共线的三点组有2C34+4C33=8+4=12（个）（如图（2））.此外，没有其他的三点共线的三点组，所以，组成的三角形的个数是560-32-12=516（个）.例6 （2011年江苏）设整数n≥4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.（1）记An为满足a-b=3的点P的个数，求An；（2）记Bn为满足13(a-b)是整数的点P的个数，求Bn.解析（1）因为满足a-b=3，a,b∈{1,2,3,…,n},a>b的每一组解构成一个点P,所以An=n-3.（2）设13(a-b)=k∈N*，则a-b=3k，0。
第40讲 格点本节主要内容有格点的概念,及格点在解题中的应用．格点,又叫整点,指的是在直角坐标系中,每个坐标都是整数的点．或者直接在平面上取两组互相垂直的平行线(在空间中就取三组互相垂直的平行平面),相邻的两条平行线的距离相等,这两组平行线的交点就是格点．当一个多边形的所有顶点都是 两组互相垂直的平行线,相邻的两条平 行线的距离相等,这两组平行线的交点就是格点．关于格点多边形,有下列定理:定理1 (皮克定理)设格点多边形内部有N 个格点,边界上有L 个格点,则其面积 S =N +12L －1．(证明略)定理2 边与两轴平行的正方形(顶点不一定是格点),如果其面积大于1,则其内部至少有一个格点． 证明 如图,设点A 、B 的横坐标分别为a ,b ,则r ＝b －a ＞1．若a 为整数,则a ＋1＜b ,而a ＋1为整数,此时,直线x ＝a ＋1穿过正方形ABCD 内部；若a 不是整数,[a ]是不超过a 的最大整数,{a }＝a －[a ],有0＜{a }＜1,此时a ＝[a ]＋{a }＜[a ]＋1＝a －[a ]＋1＝a ＋1－[a ]＜b －[a ]＜b ．即直线x ＝[a ]＋1穿过正方形内部．总之,正方形内部有一条竖直格线穿过． 同理,正方形内部有一条水平格线穿过．即其正方形内部有一个格点．A 类例题例1 ⑴ 内部不含格点的圆,其面积≤π2． ⑵ 内部恰有一个格点的圆,其半径不大于1．分析 本题是定理2的一个直接应用．⑴证明 如果圆的面积＞π2,则其半径＞12其内接正方形边长＞1．由定理2可知其内部必有格点．故证． ⑵ 证明 设⊙O 有内部恰有一个格点,且其的半径＞1．圆心O 必在某个格点正方形ABCD 内或在其边上．从而A 、B 、C 、D 至少有三点在⊙O 外或⊙O 上．于是相对的两个顶点A 、C 或B 、D 同在⊙O 外或⊙O 上,例如B 、D 在⊙O 外(或⊙O 上)．于是BO ≥1,DO ≤1．即O 应在以B 、D 为圆心,1为半径的圆外(或边界上),又在正方形ABCD 内部,这是不可能的．例2 ⑴ 找出内部恰有0个、1个、2个、3个、4个格点的面积最大的圆．⑵ 能否找到内部恰有5个格点的面积最大圆？⑴解 (如图)内部恰有0个格点的面积最大圆的半径＝12；x内部恰有1个格点的面积最大圆的半径＝1；内部恰有2个格点的面积最大圆的半径＝52； 内部恰有3个格点的面积最大圆的半径＝526； 内部恰有4个格点的面积最大圆的半径＝102． ⑵解 如左图画的是内部有5个格点且过4个格点的圆,其半径＝2．但这圆不是内部有5个格点的面积最大圆．如右圆,取内部恰有四个格点的面积最大圆(虚线画的圆),其圆心为O ,点P 1、P 2、P 3、…、P 8等8个格点在此圆上,其半径＝102＞2． 可以作一个圆使原来四个在圆内的格点仍在此圆内,且使P 1在圆内而原来在圆上的其他格点都在圆外．为此取P 1P 8、P 2P 3的垂直平分线l 1、l 2,则在这两条直线围出的右上平面内的点,到P 1的距离比到P 8的距离小,到P 2的距离比到P 3的距离小,再作P 2P 8的垂直平分线l 3,则l 3上的点到P 2、P 8距离相等,现在l 3上靠近点O 取一点Q ,以Q 为圆心,QP 2为半径画一圆,显然,此圆内恰有5个格点．只要点Q 充分接近O ,则⊙Q 的半径充分接近102,但圆内恒有5个格点．即没有圆内恰有5个格点而面积最大的圆．情景再现1．内部不含格点的正方形,其面积≤2．2．找出内部恰有1个,2个格点的面积最大的正方形．B 类例题例3 求证:对任何n (n ∈N ),可以作一个圆,恰盖住n 个格点(格点在圆内部)．分析 只要能证明,平面上存在一点,到所有格点的距离两两不等．为此,可以利用“无理数不等于有理数”来解．证明 取一点,其两个坐标都是无理数,例如取点W (2,3),先证明,以W 为圆心,任意长为半径作的圆,至多通过一个格点．设某个以W 为圆心的圆通过两个格点(m ,n ),(p ,q )(m ,n ,p ,q ∈Z ),则(m －2)2+(n －3)2＝(p －2)2+(q －3)2．展开整理得,m 2+n 2－p 2－q 2＝22(p －m )+23(q －n )．左边是有理数,右边当且仅当p ＝m ,q ＝n 时为有理数．故证．于是可知以W 为圆心的圆至多通过一个格点．现考虑,平面上所有的点与W 的距离,这些距离没有两个相等．把所有的格点与点W 的距离按从小到大排队0＝r 0＜r 1＜r 2＜r 3＜…＜r n ＜…．取线段r ,满足r n ＜r ＜r n +1,以W 为圆心,r 为半径作圆,则此圆内恰有n 个格点．说明 本题即是辛泽尔定理,利用本题的结果可以解1987年的全国高中联赛题二试第2题．l例4 若a 与b 是互质的正整数,证明⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b －1)a b ＝12(a －1)(b －1)． 分析 研究数[ka ](k ,a ∈N *)的几何意义:取函数y ＝kx ,这是一条直线,在直线上取一点(a ,ka ),在连结点(a ,0)与点(a ,ka )的线段上(不含点(a ,0)而含点(a ,ka )时),恰有[ka ]个格点． 证明 取直线y ＝a bx (右图中以a ＝5,b ＝9为例)． 对于k ＝1,2,…,b －1,由(a ,b )＝1,知b |/ ak ．所以直线y ＝a bx 与x ＝k (k ＝1,2,…,b －1)的交点都不是格点． 而⎣⎢⎡⎦⎥⎤ka b 表示线段x ＝k (y ∈(0,ka ])上的格点的个数,所以,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b －1)a b 表示以O (0,0),A (b ,0),B (b ,a )为顶点的三角形内部的格点数．由于线段y ＝a b x (x ∈(0,b )上没有格点,由对称性知,△OAB 内部的格点数等于矩形OABC (其中点C 坐标为(0,a ))内部格点数的一半．而矩形OABC 内部的格点数＝(a －1)(b －1)(共a －1行,b －1列)．从而⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b －1)a b ＝12(a －1)(b －1)． 说明 本题所证明的恒等式称为厄尔米特恒等式．本题是把《高斯函数》中的内容与格点联系起来的一个定理．例5 若每边长均为整数,三边不等且最大边长为n 的三角形共有600个,求n ．分析 先列出相关条件,把相关条件转化为平面上满足这些条件的格点数．解 设三边长为x ,y ,n ,且x ＜y ＜n ,则有x +y ＞n ．本题可以理解为满足y ＜n ,y ＞x ,x +y ＞n 的区域中恰有600个整点．故在坐标系内作直线y ＝x ,x ＋y ＝n ,y ＝n ,若A (n ,0),B (n ,n ),C (0,n ),AC 、OB 的交于点P ．由这三条直线围成的三角形PBC 即为所求区域．正方形内共有(n －1)2个格点,线段AC 、OB 内各有n －1个格点,当n 为奇数时,P 不是格点,当n 为偶数时,P 是格点． 由对称性,ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPCO 、ΔPOA 内的格点数相等．故有 (n －1)2－2(n －1)＋k ＝600×4．(n 为偶数时k ＝1,n 为奇数时,k ＝0)即 n 2－4n ＋3＝2400－k ． 当n 为奇数时,(n －2)2＝2401＝492,所求正整数解为n ＝51． 当n 为偶数时,(n －2)2＝2400,无整数解．所以 n ＝51．情景再现3．⑴ 如图⑴,在一个棋盘形的街区图中,纵线与横线都表示街道,有人沿此街道从(0,0)直到(n ,m ),问使路程最短的走法有多少种? ⑵ 如图⑵,仍在此街道图中,如果在点(p ,q )与(n ,m )(n ,m )(p ,q +1)(0≤p ≤n ,0≤q ≤m －1)间的街道(图中用粗线标出)戒严,禁止通行,则从(0,0)到(n ,m )的最短走法有多少种？4．试设计一种染色方法,把所有的平面整点染色,每一整点染成红色、白色或黑色中的一种颜色,使:⑴每一种颜色出现在无穷多条与横轴平行的格线上；⑵对任意白点A ,红点B ,黑点C ,必可找到一个红点D ,使ABCD 为平行四边形．(1986年全国高中联赛)5．中国象棋的“马”可以从一个1×2矩形的一个顶点跳到相对的顶点上(不妨称之为1×2马)．问一个中国象棋的马能否从其起点A 出发,不重复不遗漏地跳遍半个棋盘？6．在一个n ×n 的方格纸上任意选定同一行的相邻两个方格A 与B ,在左面的A 格中放了一枚棋子,它可以向上、右、和斜左下的格子走,试证明:对任何正整数n (n >1),这枚棋子不能走遍所有的格子并最后走到B ,而且每个格子都只走过一次．C 类例题例 6 起点为(0,0),终点为(2n ,0)(n ∈N*)的折线由(p ,q )→(p +1,q ±1)类型的线段构成．集合A 表示该折线除起点与终点外与y =0还有一个公共点,但位于y =0上方的折线集合；集合B 表示该折线除起点与终点外与y =0没有公共点,且位于y =0上方的折线集合． 求证:card(A )=card(B )．证明 对于每个A 中的任意一条折线l ,设它与x 轴 (除起点与终点外)的交点为(2k ,0)．此点把l 分成两部分:前段l 1与后段l 2,现把l 2中从(2k ,0)到(2k ＋1,1)的一节截出放到从(0,0)到(1,1),并把前段l 1按(0,0)到(1,1)的向量平移,这样就得到了一条B 中的折线．反之,对于每条B 中的折线l ,它至少有两次与直线y ＝1相交．第一次交于(1,1),设第二次交于点(2k ＋1,1),这两点把l 分成三段．一段是从(0,0)到(1,1),一段是从(1,1)到(2k ＋1,1),一段是从(2k ＋1,1)到(2n ,0),现把第一段移至(2k ,0)到(2k ＋1,1),第二段按(1,1)至(0,0)的向量平移,则得到了一条A 中的折线． 这说明A 中的折线与B 中的折线有一个一一对应关系． ∴ card(A )＝card(B )．例7 在平面直角坐标系中,任取6个格点Pi (x i ,y i )(i =1,2,3,4,5,6)满足:⑴ |x i |≤2,|y i |≤2(i =1,2,3,4,5,6)；⑵ 任何三点不在一条直线上．试证明:在以P i (i =1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面积不大于2．(1992年全国高中数学联赛试题)分析 满足要求的格点共25个,设法把它们分组,使同组三个格点连成三角形面积不超过2,再研究可能取点的情况．证明如图,满足条件的格点只能是图中A、B、…、Y这25 Array个格点中的6个．把这25个格点分成三个矩形:矩形AEFJ、KOWU、MNYX．若所取的6个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中,则此三点即满足要求．若三个矩形中均无所取6点中的3点,则必是某个矩形中有所取的2个点．⑴若E、F、D、G、O、R、W中有所取的点,则此点与矩形MNYX中的两点满足要求；⑵若上述7点均未取,则A、B、C、H、I、J中必有两点,此时若L、K中有所取的点,则亦有三点满足要求；⑶若L、K亦未取,则必在P、Q、V、U中取了2点,矩形ACHJ中取了2点:此时取P、Q 两点,或Q、V两点,或V、U两点,或U、P两点,或Q、U两点,则无论ACHJ中取任一点,与之组成三角形面积均满足要求．若取P、V两点,则矩形ACHJ中必有一点异于C,取此点与P、V满足要求．综上可知,必有满足要求的3点存在．例8 平面上有限点集的集合S．其中每个点的坐标都是整数,是否可以把这个集合中的某些点染红色,其余点染白色,使得与纵横坐标轴平行的每一条直线L上所包含的红、白点的个数至多相差1个？分析本题不外以下三种结果:1˚对于一切n∈N*,均无法染成,此时要给出证明；2˚对于一切n∈N*,均可以染成,此时要给出一个染色的方法；3˚对于某些n∈N*,可以找到染色方法；而对于另一些n∈N*,则无法染成；此时要给出分类的标准,并对无法染成的给出证明,对可以染成的给出染色方法．为了证明本题,可以先看最简单的情况,n＝1,2,3等,于是可以考虑用数学归纳法证明本题．证明用数学归纳法证明:若n=1,则可以将此点任意染成红色或白色．若n=2,则可把这两个点一个染红一个染白．即n=1,2时命题成立．设当n＝k(k∈N*)时都有满足上述要求的染法,当n=k+1时,①若某一条纵线(或横线)上有奇数个点,则将此直线上的点去掉1个,此时,共余下k个点,可以有满足上述要求的染法．由于去掉一个点后,这条直线上有偶数个点,故这条线上的其余点染成红白各半,而该点所在横线上的红白点或相等或相差1个,如果相等,则可把这点任意染色,如果红白相差1个,则染成较少个数的颜色,于是有满足要求的染法．②如果任一条横线与纵线上都有偶数个点,不妨在某条横线l1与纵线m1相交处的点被去掉,对于余下的这k个点,由归纳假设知必有合要求的染色方法,此时去掉点所在横线l1与纵线m1上都有奇数个点,必为某色多1,现只要说明,这两条线上是同色点多1即可．设l1上红点多1,先不看l1,统计其余横线上的红白点数,由于其余横线上都是偶数个点,因此,都染成红白各半,所以这k个点染色时,红点总数应多1个．再不看m1,统计其余纵线上的红白点数,由于其余纵线上也全为偶数个点,故也是红白各半,但由于红点总数多1个,故m1上点必染成红点多1个．于是可以把去掉的点补回,并染白,就得到了满足要求的染色法．根据数学归纳原理知,对于任何n∈N*,均有符合要求的染色法．情景再现7．设三角形的三边长为正整数l ,m ,n ,且l ≤m ≤n ．⑴当n =9时,有多少个这样的三角形？⑵对于一般的n 的值,有多少个这样的三角形？8．给定一个正45边形,在它的每个顶点上标上0,1,2,…,9这十个数字中的一个．另一方面,由这10个数字中的不同的数字组成了任意的数对,问能否找到这样的一种标数法,使得对于每一个数对都有一条边与之对应,且这条边两端标的数字就是这个数对．习题401．一个平行四边形的三个顶点是格点,则其第四个顶点也是格点．2．若有一个无限大的棋盘及一匹1×n 的“超级马”(即一步从某个1×n 格点长方形的一个顶点跳到与之相对的顶点,中国象棋的“马”是1×2马),问n 应该满足什么条件,才能使它从某个格点跳到任一格点．3．在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是有理数的点称为有理点,若α为无理数,则过(α,0)的所有直线中,有且只有1条直线至少通过两个有理点．4．各边的长都为整数的三角形,其三边的和为50,这样的三角形有多少种？5．对任意正整数n ,连结原点O 与点A n (n ,n +3),用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点),试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．(1990年全国高中数学联赛,原题是填空题)6．给定一个n ×n 的格点阵,以此阵中的格点为顶点的格点正方形有多少个？7．若每边长均为整数,三边不等且最大边长为n 的三角形共有600个,求n ．8．设n >0,给定平面区域P ＝{(x ,y )|x >0,y >0,且xy ≤n }．求证:P 内格点的个数S =2x ∈N *0＜x ＜n ∑⎣⎢⎡⎦⎥⎤n x －[]n 2． 9．设有一条平面闭折线A 1A 2…A n A 1,它的所有顶点都是格点(即纵、横坐标都是整数的点),且|A 1A 2|=|A 2A 3|=…=|A n -1A n |=|A n A 1|．证明:n 为偶数．(1986年第1届国家集训队训练题)10．某次共有18名学生参加选举,每人投1票,投给2名侯选人中的1人,投票完毕后,由1名学生逐张开票,1名学生记录开票的结果．若最后侯选人甲得到11张票．问在开票过程中,甲得票数始终不少于乙的开票方法有多少种？11．把边长为1的正三角形ABC 的各边分为n 等分,过各分点作平行于其他两边的平行线,将这个三角形分成小正三角形,各小三角形的顶点称为结点,在每个结点上放置一个实数,已知:⑴A 、B 、C 上放置的数分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等),⑵在每个有公共边界的两个最小三角形组成的菱形中,两组相对顶点上放置的数的和相等．试求:⑴放置最大数与放置最小数的点之间的最短距离r ；⑵ 所有结点上放置的数的总和S ．(第二届国家冬令营)12．试求格点凸32边形周长的最小值．本节“情景再现”解答:1．证明 若正方形的面积＞2,则其边长＞2,其内切圆的直径＞22．而此内切圆的边与坐标轴平行的内接正方形边长＞1,于是,由定理2,此正方形内部至少有一个格点．矛盾．2．解 内部恰有一个格点的正方形边长＝2,3．解:⑴图中用粗线标出了一种走法．显然,长一种满足要求的走法都包含了n 段短横线与m 段短竖线．故可以考虑给出n +m 个位置,在这些位置中选择n 个位置给“横”,其余m 个位置给“竖”．于是所求的走法数为Cn n ＋m ． ⑵ 从(0,0)到(p ,q )有Cp p ＋q 种走法,从(p ,q +1)到(n ,m )有C n －p n ＋m －p －q －1种方法； ∴ 共有C n n ＋m －C p p ＋q ·C n －p n ＋m －p －q －1种方法． 4．解 把每个点的横坐标与纵坐标的和记在此格点旁,凡记数被4除余0、余2的点染红,被4除余1的点染白,被4除余3的点染黑．此时每条格线上都有三种颜色的点．设取了白点A (4k ＋r ,4k ＋1－r ),5．解 把棋盘的格点染成红蓝两色:相邻的点染色都不同,如图中画圈的点染红,未画圈的点染蓝．则马只能从某色点跳到不同色的点．图中共有23个红点,22个蓝点．故若马从蓝点出发,跳遍棋盘,若最后跳到蓝点,则跳过的蓝点应比红点数多1个,若最后跳到红点,则红点与蓝点个数相等,但图中红点多1个,故不存在这种跳法．6．证明 设向上走x 步,向右走y 步,向斜左下走z 步,共经过m (m ＝n 2)个格点(包括A 、B ),则若能走,可得x ＝z ,y ＝z +1,x +y +z ＝m －1,即3z ＝m －2,故 n 2＝3z +2≡2(mod 3),但平方数被3除的余数不可能为2．故证．7．⑴解 取x =l ,y =m ,则有x ≤y ≤9,x +y >9．这可用直角坐标系内的区域表示:即直线x +y =9,y =x ,y =9这三条直线围成的三角形的内部及部分边界上的整点数即为解数．现考虑由x =0,x =9,y =0,y =9这四条直线围成的正方形,其内部及边界上共有10×10=100个格点．直线y =x 上在正方形内部的格点有一半满足要求,直线x +y =9上的点不满足要求,这两条直线的交点不是格点．直线y =9上有点(1,9),(2,9),…,(9,9)满足要求．故这100个格点中恰有14满足要求． ∴共有25个满足条件的三角形．⑵解:对于一般的n 值,当n 为奇数时,三角形数=14(n +1)2． 当n 为偶数时三角形数由于y =x 与x +y =n 的交点是格点,故三角形数=14((n +1)2－1)． 总之,对于一切n ,三角形数=[14(n +1)2]． 8．解 先考虑数0,它可以组成9个数对(0,1),(0,2),(0,3),…,(0,9)．如果这9个数对都要出现,则由于一个顶点只连了两条边,故0至少要在5个顶点上标记才有可能．同理,1、2、3、……,9都至少要在5个顶点标记才行,这样这个多边形至少要有50个顶点．故这个正45边形不可能出现满足要求的标记法．“习题40”解答:1．解:由于平行四边形对角线互相平分,故设其顶点坐标依次为(x i ,y i ),(i ＝1,2,3,4),且(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x 3,y 3)为格点,则x 4＝x 1＋x 3－x 2,y 4＝y 1＋y 3－y 2,故(x 4,y 4)也是格点．2．解 把此棋盘按上题的方法染色,当n 为奇数时,马只能从某色点跳到同色点而不能跳到异色点,故当n 为奇数时,不可能．当n 为偶数时,只要说明马能从一点跳到其相邻的点即可,如图,马从(0,0)先跳到(1,n ),再跳到(n +1,n －1),(1,n －2),…,(1,0)．即跳到相邻的点．于是可以跳到任意一点(图中画的是一个1×4“超级马”)． 3．证明 经过(α,0)的与x 轴垂直的直线l 可写为x =α,此直线上所有点的横坐标都等于α,故都不是有理点．经过(α,0)的且不与x 轴垂直的直线l 可写为y =k (x －α)．设l 经过两个有理点(m ,n ),(h ,g )．(m ,n ,h ,g 都是有理数,m ≠h ),则n =k (m －α),g =k (h －α),n －g =k (m －h ),由知m ≠h ,且k ＝n －g m －h为有理数． 若n －g ≠0,则k ≠0．此时,由m －α为无理数,故k (m －α)为无理数．与n 为有理数矛盾．故n －g =0,此时直线为y =0,经过无穷多个有理点．即经过(α,0)的直线有且只有一条经过至少两个有理点．4．解:设三边长分别为x 、y 、z ,由于对称性,可设x ≤y ≤z ,可得x ＋y ＋z ＝50⇒z ＝50－x －y ； 故有 y ≥x , ①x ＋y ＞z 即x ＋y ＞25, ②y ≤z ⇒x ＋2y ≤50, ③问题即是满足条件①②③的整数解有多少组？ 问题转化为求由条件①②③确定的平面区域中整点的个数．易于计数得解为52种．5．解 线段OA n 的方程为y ＝n +3nx (0≤x ≤n ),故f (n )等于该线段内的格点数． 若n ＝3k (k ∈N *),则得y ＝k +1k x (0≤x ≤n )(k ∈N *),其内有两个整点(k ,k +1),(2k ,2k +2),此时f (n )=2；若n ＝3k ±1(k ∈N *),则由于n 与n +3互质,故OA n 内没有格点,此时f (n )=0．∴ f (1)+f (2)+…+f (1990)=2[19903]=1326． 6．解 把这些正方形分为两类:①边与格线平行的正方形；②边不与格线平行的正方形．① 边与格线平行的正方形:边长为k 的这类正方形有(n －k ) 2个；②边不与格线平行的正方形:它们都是前一种正方形的内接正方形:每个边长为k 的第一类正方形,其一条边内都有k －1个格点,每个这种格点都对应一个内接正方形,从而都有k －1个内接的正方形．所以,共有格点正方形的总数(1,0)S =k =1∑n －1k (n －k )2=n 2k =1∑n －1k －2n k =1∑n －1k 2+k =1∑n －1k 3 ＝n 2⨯12n (n －1)－2n ⨯16(n －1)n (2n －1)+14n 2(n －1)2 ＝112n 2(n －1)[6n －4(2n －1)+3(n －1)] ＝112n 2(n 2－1)． 7．解 设三边长为x ,y ,n ,且x <y <n ,则有x +y >n ,本题可以理解为满足y <n ,y >x ,x +y >n 的区域中恰有600个整点．故在坐标系内作直线y =x ,x +y =n ,y =n ,由这三条直线围成的三角形PBC 即为所求区域．正方形内共有(n －1)2个格点,线段AC 、OB 内各有n －1个格点,当n 为奇数时,P 不是格点,当n 为偶数时,P 是格点． 由对称性,ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPCO 、ΔPOA 内的格点数相等．故 (n －1)2－2(n －1)+k =600×4．(n 为偶数时k =1,n 为奇数时,k =0) ∴ n 2－4n +3 =2400－k ． 当n 为奇数时,(n －2)2=2401=492,解为n =51． 当n 为偶数时,(n －2)2=2400,无整数解．∴ n =51．8．解 本题即,当0<x <n ,x ∈N*时,[n k ]可以表示直线x =k(0<k <n )上满足0<y <n k 的格点数,x ∈N *0＜x ＜n ∑⎣⎢⎡⎦⎥⎤n x 表示直线x >0,x ≤n 及y >0,y ≤n x表示的区域内的格点数．由对称性,也表示x >0,x ≤n y及y >0,y ≤n 表示的区域内的格点数,此二区域的并集即区域P ,但其中由x =0,y =0,x =n ,y =n 围成的正方形区域内的格点被计算了两次,从而应该减去其中的格点数一次．故得证．9．证明 令A i (x i ,y i )(i =1,2,…,n ,x i ,y i ∈Z ),则(x 2－x 1)2+(y 2－y 1)2= (x 3－x 2)2+(y 3－y 2)2=…= (x n －x n －1)2+(y n －y n －1)2= (x 1－x n )2+(y 1－y n )2．令αi =x i +1－x i ,βi =y i +1－y i ,αi 2+βi 2=M (i =1,2,…,n ,x n +1=x 1,y n +1=y 1),则α1+α2+…+αn =0,β1+β2+…+βn ＝0,若αi 、βi 全为偶数,则可在上面三式中约去2的最低次幂,因此可以假定αi 、βi 中至少有一个为奇数．由于奇数的平方mod 4后余1,故M ≡1或2(mod 4)．①若M ≡1(mod 4),则每对αi 、βi 中都必有一奇一偶,此时α1+α2+…+αn +β1+β2+…+βn ＝偶数+n 个奇数=0,故n 为偶数．②若M ≡2(mod 4),则每个αi 、βi 都是奇数,于是α1+α2+…+αn 为n 个奇数之和=0,仍得n 为偶数．故证．10．解 取一直角坐标系,用单位格点正方形的对角线来表示每张票投票的结果,若所开的1张票选甲,则用斜率为1的对角线表示,若选乙,则用斜率为－1的对角线表示．…,第一张票从原点开始连线,以后每开一张票都是接着前面已连的线连线(若第k －1张票已连线到(k －1,p ),而第k 张票选甲,则连(k －1,p )与(k ,p +1)表示,若选乙,则连(k －1,p )与(k ,p －1)表示)．于是开票的过程可用一条连结(0,0)与(18,4)的折线表示其中4=11－(18－11),折线的每一小段都是单位格点正方形的对角线．这样的折线共有C 1118条． 若在某一次甲得票少于乙,则此折线与直线y ＝－1相交．仍由反射原理得所求应为矩形ABPD 内的最短折线数,这样的折线共有C 1218条． ∴ 甲得票数始终不少于乙的开票方法有C 1118－C 1218种． 11．解 如图,结点上放置的数标在结点旁．则a +d =x 1+y 1,x 1+y 2=y 1+d ,∴ a －y 1=x 1－d =y 1－y 2=…,即,同一条线上注的数成等差数列．∴ 若a 、b 、c 互不相等,则r =1；若a 、b 、c 中有两个相等时,r = 3 2 (n 为偶数),或r =34+14n2 (n 为奇数)． ⑵ 把三角形绕中心旋转120︒,240︒,所得标数和不变,而每个结点三次标数之和都是a +b +c ,∴ 结点总个数=1+2+3+…+(n +1)= 12(n +1)(n +2)； ∴ S =16(n +1)(n +2)(a +b +c )． 12．解 如图,取点(±1,0),(0,±1),(±1,±1),(±1,±2),(±1,±3),(±2,±1),(±3,±1),(±2,±3),(±3,±2)共32个点从原点向此32个点引向量,得32个方向互不相同的向量．现按逆时针方向从(1,0)表示的向量开始,按这些向量与x 轴正方向所成角从小到大的顺序,依次把这32个向量连结成一个凸32边形,由于这些向量的和为零向量,故这32个向量可连成一条闭折线,该闭折线围成一个凸32边形,由于每个向量起点与终点都是格点,故此32边形是格点多边形．由于任一凸多边形中,不能有两边的向量方向相同．故这个32边形周长最小．所求最小周长为4(1+2+25+210+213)．AO x y a b cd x y 2121。
