2020-2021年北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题(含解析)

2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数一．选择题（共23小题）1．（2020秋•通州区期末）“，”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020秋•通州区期末）已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．（2020秋•通州区期末）已知为第三象限角，则下列判断正确的是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）下列各角中与终边相同的角是 A ．B ．C ．D ．5．（2020秋•顺义区期末）单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，从起始位置转过的角是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•海淀区校级期末）可化简为 A ．B ．C ．D ．7．（2020秋•东城区期末）若扇形的半径为1，周长为，则该扇形的圆心角为 A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•东城区期末）已知，则 A ．B ．C ．D ．9．（2020秋•海淀区校级期末）已知，，，那么的值为 A ．2B ．C ．D ．10．（2020秋•丰台区期末）已知，，则的值为 26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=()tan y x =sin ||y x =|sin |y x =π()θ()sin 0θ>cos 0θ>sin tan 0θθ⋅>sin 2tan 0θθ⋅>60︒()300-︒240-︒120︒390︒O e P A OP OA ()245π-125π145π245πsin 2021︒()sin 41︒sin 41-︒cos 41︒cos 41-︒π()π1π-2π-12π-tan 1α=-222sin 3cos (αα-=)74-12-1234222cos 3sin 1αα-=3(2πα∈-)π-tan α()2-1212-3sin 5α=2παπ<<tan α()A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•西城区校级期末）已知角的终边经过点，那么 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•顺义区期末）“是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020秋•通州区期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度14．（2020秋•朝阳区期末）设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为 A ．505B ．506C ．507D ．50815．（2020秋•朝阳区期末）已知，均为第一象限角，则“”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020秋•大兴区期末）等于 A ．B ．CD ．117．（2020秋•顺义区期末）在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，若，则 )A ．BC ．D ．18．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，周期为且为偶函数的是 A ．B ．C ．D ．19．（2020秋•海淀区校级期末）已知，则的取值可以为 ABC ．D ．20．（2020秋•海淀区校级期末）如图，一个摩天轮的半径为，轮子的最低处距离地面3434-4343-α(3,4)P -sin (α=)3545-3434-sin θ3πθ=()cos 2y x =sin 2y x =()4π4π2π2π()4|sin|2xf x π=1x 2x ⋯n x 12n x x x <<⋯<12231|()()||()()||()()|2021n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋯⋯+-=n ()αβαβ<sin sin αβ<()3tan4π()1-αβy x =1cos 3α=-sin (β=1313-π()()tan 2f x x =()sin cos f x x x=()cos(2)2f x x π=+22()cos sin f x x x=-3sin()sin()2παπα--+=cos sin αα-()10m 2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于的时间大约是 A ．8分钟B ．10分钟C ．12分钟D ．14分钟21．（2020秋•海淀区校级期末）函数，，的值域为 A ．B ．C ．D ．22．（2020秋•丰台区期末）函数在区间上的最大值为 A ．B ．1CD ．223．（2020秋•顺义区期末）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，，分别是半径，及扇形弧上的三个动点（不同于，，三点），则关于的周长说法正确的是 A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值二．填空题（共12小题）24．（2020秋•通州区期末） ．25．（2020秋•通州区期末）已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为 ；面积为 ．26．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．27．（2020秋•大兴区期末）已知角终边与单位圆的交点为，则 ； ．28．（2020秋•顺义区期末）已知是第三象限角，且， ．29．（2020秋•顺义区期末） ．P P O 17m ()sin()2y x π=+(3x π∈-5]6π()1[2[1[,1]2-1[2-()2sin(6f x x π=-[,32ππ()2-OPQ r 4πA B C OP OQO P Q ABC ∆()5sin6π=αx P tan α=α1()2cos α=sin()απ+=α4cos 5α=-sin α=sin()4π-=30．（2020秋•海淀区校级期末）若角与角的终边关于直线对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为 31．（2020秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则 ．保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则 ．32．（2020秋•丰台区期末）若函数的一个零点为，则 ．33．（2020秋•丰台区期末） ．34．（2020秋•朝阳区期末）若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 ．35．（2020秋•通州区期末）若，是第二象限的角，则 ．三．解答题（共13小题）36．（2020秋•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值．37．（2020秋•通州区期末）已知函数，再从①，；②，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．（Ⅰ）求；（Ⅱ）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；（Ⅲ）求函数在，上的最大值和最小值．38．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）写出函数的振幅、周期、初相；（Ⅱ）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）．β23πα=y x =βxOy αOx 12(,)13P m tan α=α2πβcos β=()sin(2)()22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=ϕ=5tan4π=()cos(2)f x x ϕ=+3x π=ϕ4sin 5α=αtan 2α=2()2sin cos(2)13f x x x π=+--()6f π[0,]2x π∈()f x ()f x (0)m m >cos 2y x =m 212()2cos sin f x x x ωω=+11ω=22ω=11ω=21ω=(0)f ()f x ()f x [0]2π()2sin(26f x x π=+()f x ()f x39．（2020秋•通州区期末）已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求．40．（2020秋•通州区期末）（1）若，求的值；（2）已知锐角，满足，若，求的值．41．（2020秋•顺义区期末）已知函数．（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值．42．（2020秋•大兴区期末）（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）若，求的一个值．43．（2020秋•海淀区校级期末）已知关于的方程的两根为和，．（1）求实数的值；（2）求的值．44．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．45．（2020秋•朝阳区期末）已知函数αβ1(2A B tan βcos()πα+sin()αβ-3tan 4α=-sin cos sin cos αααα+-αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=cos β1()sin(2)23f x x π=-x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-x 1sin ,(,)32πααπ=∈tan αcos 2sin()x x x ϕ-=+ϕx 21204x bx -+=sin θcos θ3(,)44ππθ∈b 2sin cos 1cos sin θθθθ+-xOy αOx O e 1)2sin αsin()2πα-(0,)2πα∈()sin(sin )f x x αα=-()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的单调递增区间．46．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围．47．（2020秋•大兴区期末）已知函数．（Ⅰ）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；（Ⅱ）说明函数的图象可以通过的图象经过怎样的变换得到？（Ⅲ）若，写出的值．48．（2020秋•东城区期末）已知函数，其中．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（Ⅰ）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间的最大值和最小值．条件①：函数最小正周期为；条件②：函数图象关于点对称；条件③：函数图象关于对称．2π(0)1f =-(03f π-=()f x ()f x ()f x ()2cos()sin 3f x x x π=-()f x ()f x ()f x [0]m m ()3sin(26f x x π=+()y f x =()y f x =sin y x =003(),[2,3]2f x x ππ=∈0x ()sin()f x x ωϕ=+0,(0,)2πωϕ>∈()f x ()f x [0,2π()f x π()f x (,0)6π-()f x 12x π=2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：等价于或，所以“，”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了三角方程的求解，属于基础题．2．【分析】根据三角函数的周期性进行判断即可．【解答】解：①的周期，满足条件．②是偶函数，图象不具备周期性，不满足条件．③的周期，则的周期，满足条件，故选：．【点评】本题主要考查三角函数周期的判断，结合三角函数的周期公式是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】由的范围逐一核对四个选项得答案．【解答】解：为第三象限角，，，，故，错误；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题考查三角函数值的符号，是基础题．4．【分析】把角化为对于，，，的形式，再判断即可．【解答】解：对于，，与是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角．故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．5．【分析】利用一周为，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．【解答】解：因为一周为，1sin 2α=1sin 2α=26k παπ==52,6k k Z παπ=+∈26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=A tan y x =T π=sin ||y x =sin y x =2T π=|sin |y x =T π=B θθ tan 0θ∴>sin 0θ<cos 0θ<A B sin tan 0θθ⋅<C sin 2tan 2sin cos tan 0θθθθθ⋅=>D D 360k α⨯︒+k Z ∈[0α∈︒360)︒A 300136060-︒=-⨯︒+︒60︒B 2401360120-︒=-⨯︒+︒60︒C 120︒60︒D 390136030︒=⨯︒+︒60︒A 2π2π故10分钟转了，所以每分钟就转了，故24分钟转了，所以从起始位置转过的角是．故选：．【点评】本题考查了角的概念的理解和应用，解题的关键是求出每分钟转的弧度数，属于基础题．6．【分析】直接利用诱导公式化简即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．7．【分析】计算扇形的弧长，再求扇形弧长所对的圆心角．【解答】解：扇形的半径为1，周长为，所以扇形的弧长为，扇形弧长所对的圆心角为．故选：．【点评】本题考查了计算扇形弧长所对的圆心角应用问题，是基础题．8．【分析】利用“弦化切”及其平方关系化简已知等式即可得出．【解答】解：因为，则．故选：．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可求解．【解答】解：因为，可得，，因为，，所以．故选：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．2π2105ππ=242455ππ⨯=OP OA 245πD sin 2021sin(3606139)︒=︒⨯-︒sin(139)sin139sin 41=-︒=-︒=-︒B π2π-221ππ-=-C tan 1α=-222222222232321312sin 3cos 1(1)12sin cos tan sin cos tan αααααααα--⨯--====-++-+B 22222cos 3sin 2(1sin )3sin 1αααα-=--=21sin 5α=24cos 5α=3(2πα∈-)π-sin α=cos α=sin 1tan cos 2ααα==-D10．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可得，．【解答】解：，，，则．故选：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【解答】解：由于角的终边经过点，，，，，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【解答】解：推不出，不是充分条件，推出，是必要条件，故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．13．【分析】利用诱导公式化简函数为，然后利用函数图象的平移推出正确选项．【解答】解：因为函数，所以可由的图象，向左平移个单位长度，得到函数的图象．故选：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数图象的平移变换，注意三角函数的平移原则为“左加右减上加下减”．14．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．【解答】解：由的值域可得，，即，故，即，当时，，当时，，故正整数的最小值为507．cos αtan α 3sin 5α=2παπ<<4cos 5α∴==-sin 3tan cos 4ααα==-B sin αα(3,4)P -3x ∴=4y =-||5r OP ==4sin 5y r α∴==-B sin θ=3πθ=3πθ=sin θ=B cos 2y x =sin(2)2y x π=+cos 2sin(22y x x π==+sin 2y x =4πsin[2()]sin(2)cos 242y x x x ππ=+=+=B ()4|sin|2xf x π=()f x 12|()()|4f x f x -…20214(1)n -…sin y x =()[0f x ∈4]12|()()|4f x f x -…12231|()()||()()||()()|4(1)n n f x f x f x f x f x f x n --+-+⋯+--…20214(1)n -…506n =4(1)20202021n -=<507n =4(1)20242021n -=>n故选：．【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．15．【分析】举例说明前面不能推后面，后面不能推前面，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：取、，、均为第一象限角，且，但，、均为第一象限角，，取、，但，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了三角不等式，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．16．【分析】利用诱导公式得到：．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．17．【分析】设的终边经过点，则由题意的终边经过点，利用任意角的三角函数的定义即可得解．【解答】解：在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，设的终边经过点，则的终边经过点，，．故选：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性即可求解．【解答】解：，函数的周期为，故不满足题意；，函数的周期为，，是奇函数，故不满足题意；，是奇函数，故不满足题意；，最小正周期为且为偶函数，故满足题意．故选：．【点评】本题考查了函数的周期性以及函数的奇偶性，是基础题．C 60α=︒390β=︒αβαβ<sin sin αβ>αβsin sin αβ<390α=︒60β=︒αβ>αβ<sin sin αβ<D 3tantan 44ππ=-3tan tan()tan 1444ππππ=-=-=-B α(,)m n β(,)n m αβy x =∴α(,)m n β(,)n m 1cos 3α==- 1sin 3β∴==-D ()tan 2f x x =2πA ()sin cos sin 2f x x x x ==π()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-B ()cos(2)sin 22f x x x π=+=-C 22()cos sin cos 2f x x x x =-=πD D19．【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：因为所以，整理得，所以①当时，②当时，，则故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．【分析】根据题意求出此人相对于地面的高度函数，利用，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间即可．【解答】解：由题意知，，解得，所以在时摩天轮上某人所转过的角为，所以在时此人相对于地面的高度为，由，得，解得，所以，且，所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 ．故选：．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．21．【分析】利用诱导公式将函数化简，再由余弦函数的性质即可求值域．【解答】解：，3sin()sin()3cos sin 2παπααα--+=+=223cos sin cos sin 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩210cos 10αα++=cos α=-cos α=sin α=cos sin αα-=cos α=sin α=cos sin αα-=C ()h t ()17h t …230T πω==15πω=t 15t πt 10sin12(0)15h t t π=+…10sin 121715t π+…1sin 152t π…56156t πππ… (52522)t (255)1022-=m B sin(cos 2y x x π=+=因为，，所以，，即函数的值域为，．故选：．【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的最值，属于基础题．22．【分析】直接利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值．【解答】解：由于，所以，则：，故．所以当故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．【分析】将、分别关于半径，对称的线段为，，将的周长的最值转化为三条线段的最值进行分析求解即可．【解答】解：将、分别关于半径，对称的线段为，，则的周长，当，，，共线时取等号，故的周长有最小值，最大值无限趋近，但取不到，故无最大值．故选：．(3x π∈-5]6πcos [x ∈1][1]B [,32x ππ∈[,663x πππ-∈1sin()[62x π-∈()f x ∈2x π=C AC BC AP AQ AC ''BC 'ABC ∆BC AB AC '++''AC BC AP BQ AC ''BC 'ABC ∆L BC AB AC BC AB AC C C =++='++'''''…C 'A B C ''ABC ∆OPQ ∆C【点评】本题考查了三角形周长最值的求解，涉及了线段求和的最值的解法，解题的关键是将其中两条线段作对称，当三条线段共线时找到最值，属于中档题．二．填空题（共12小题）24．【分析】利用诱导公式化简求值即可得解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．25．【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再计算扇形的面积．【解答】解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，所以该扇形的半径为；面积为．故答案为：1，1．【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用问题，是基础题．26．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．27．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．【解答】解：由于角终边与单位圆的交点为，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．28．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解．【解答】解：因为是第三象限角，且，所以．故答案为：．51sin sin()sin 6662ππππ=-==1221||2l r α===221121122S r α=⋅=⨯⨯=扇形 αx P 1tan 2α∴==12α1(2cos α=1sin()sin 2απα+=-=-12-α4cos 5α=-3sin 5α==-35-【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．29．【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导该公式的应用，属于基础题．30．【分析】由已知利用终边相同的角的概念即可求解．【解答】解：角的取值集合是，，角与角的终边关于直线对称，可得，，可得角的取值集合是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．31．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．【解答】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则，则，保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中应用，属于基础题．32．【分析】由函数的零点代入，由三角函数的值及的范围，可得的值．【解答】解：因为函数的一个零点为，所以，可得，，又因为，所以，故答案为：【点评】本题考查三角函数的性质及零点与方程根的关系，属于基础题．sin(sin 44ππ-=-=α2{|23k πααπ=+}k Z ∈β23πα=y x =2222(23346k k ππππβππ=+-⨯-=-+k Z ∈β{|26k πββπ=-+}k Z ∈{|26k πββπ=-+k Z ∈}αβOx x αOx 12(,)13P m 513m ==121213tan 5512α==α2πβ12cos cos()sin 213πβαα=+=-=-1251213-ϕϕ()sin(2)(22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=sin(2)06πϕ⋅+=3k πϕπ=-k Z ∈22ππϕ-<<3πϕ=-3π-33．【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果．【解答】解：，故答案为：1．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．34．【分析】余弦函数的图象的对称性，求得常数的一个取值．【解答】解：函数的图象关于直线对称，，，令，可得常数，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．35．【分析】先求出的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：因为为第二象限的角，又，所以，，，故答案为：．【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．三．解答题（共13小题）36．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的变换，变形成正弦型函数，进一步求出结果；（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值；（Ⅲ）利用函数的图象的平移变换的应用和函数的对应关系的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数．所以．（Ⅱ）由于，所以，所以当时，，当时，．（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，5tan tan 144ππ== ϕ ()cos(2)f x x ϕ=+3x π=23k πϕπ∴⨯+=k Z ∈1k =3πϕ=3πtan αα4sin 5α=3cos 5α=-sin 4tan cos 3ααα∴==-22tan 24tan 217tan ααα==-24721()2sin cos(2)1cos 22cos 2sin(2)326f x x x x x x x ππ=+--=+-=-1()sin()6362f πππ=-=[0,]2x π∈52[,]666x πππ-∈-0x =1()(0)2min f x f ==-3x π=()()13max f x f π==()f x (0)m m >所得函数的图象与函数的图象重合，故，解得，当时，．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，属于基础题．37．【分析】若取①：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．（Ⅲ）由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解其最值．若取②：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用函数的周期性和对称性即可求解．（Ⅲ）由题意可求，利用二次函数的性质即可求解其最值．【解答】解：若取①，（Ⅰ），；（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，，函数在，．若取②，（Ⅰ），；()sin(22)6g x x m π=+-cos 2y x =22()62m k k Z πππ-=+∈()3m k k Z ππ=+∈0k =3min m π=()f x 52444x πππ+……0sin 1x ……11ω=22:ω=2()2cos sin 2cos 2sin 21)14f x x x x x x π=+=++=++(0)1124f π∴=+==()14f x x π=++ ()f x ∴22T ππ==8x π=02x π……∴52444x πππ+……∴()f x [02π112π+=+()f x [0]2π5104π+=11ω=21:ω=222171()2cos sin 22sin sin 2(sin )84f x x x x x x =+=-+=--2171(0)2(0)284f ∴=-⨯-=（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，上的最大值为：，函数在，上的最小值为：．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，属于中档题．38．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式的形式，根据振幅为，周期，初相为，可得答案．（Ⅱ）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期，的大致图象即可．【解答】解：（Ⅰ）由于，可得函数的振幅为2、周期为、初相为．（Ⅱ）列表如下：0200在一个周期内的图象如图所示：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．39．【分析】先由已知求出，角的大小，进而可以对应各个问题逐个求解．【解答】解：由已知可得：，2171()2(sin )84f x x =-- ()f x ∴2T π=2x π=02x π……0sin 1x ∴……∴()f x [02π178()f x [0]2π21712(1184-⨯-=sin()y A x ωϕ=+A 2T πω=ϕ[02]π()2sin(26f x x π=+()f x π6π26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 2-()f x αβ,34ππαβ==（Ⅰ），，故，；（Ⅱ）故．【点评】本题考查了三角函数的定义以及求解三角函数值，考查了学生的运算能力，属于基础题．40．【分析】（1）弦化切即可求解；（2）根据已知求出对应的三角函数值，利用配凑法求出的值，由此可以求解．【解答】解：（1）因为，则；（2）因为锐角，满足，，则，，则，，所以，所以【点评】本题考查了两角和与差的三角函数求值的问题，涉及到角的范围，考查了学生的运算能力，属于基础题．41．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．【解答】解：（1）函数，所以函数的最小正周期为．令，解得，tan tan14πβ==1cos()cos(cos332πππαπ+=+=-=-tan 1β=1cos()2πα+=-sin()sin cos cos sin sin coscossin3434ππππαβαβαβ-=-=-12-=sin()αβ-=cos 2β3tan 4α=-31sin cos tan 1143sin cos tan 1714αααααα-+++===-----αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=(,)2παβπ+∈(0,)2παβ-∈sin()αβ+==1cos()7αβ-==cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-11111472=-⨯+=cos β==1()sin(223f x x π=-22T ππ==222()232k x k k Z πππππ-+-+∈……5()1212k x k k Z ππππ-++∈……故函数的单调递增区间为．（2）由于，所以，故，当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．42．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．（Ⅱ）利用二倍角的正弦公式化简已知等式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，可得，可得（Ⅱ）若，可得，可得的一个值为．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．43．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出的值即可；（2）由的值，利用完全平方公式求出的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出值．【解答】解：（1）方程的两根为、，，，，，，即，，解得：（负值舍去），5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈[,]44x ππ∈-52[,]366x πππ-∈-11()[,]24f x ∈-12x π=-12-4x π=141sin ,(,)32πααπ=∈cos α==sin tan cos ααα==cos 2sin()x x x ϕ=+152(cos )2sin(2sin()26x x x x πϕ=+=+ϕ56πbb sin cos θθ± 21204x bx -+=sin θcos θsin cos 2b θθ∴+=1sin cos 08θθ=> 3(,)44ππθ∈(42ππθ∴+∈)πsin cos )04πθθθ+=+>22221(sin cos )sin cos 2sin cos 1284b θθθθθθ∴+=++=+⨯=b =则（2），，．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．44．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义与诱导公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，根据，可得，进而得出及其周期、及其单调性．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，所以．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以，所以，令，由得，，且的最小正周期为，即，于是，所以，由周期函数的定义可知，函数的最小正周期为．（在求周期时，直接用公式获得答案的，同样给分）由得，，所以函数的单调递增区间是．（9分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45．【分析】（Ⅰ）若函数满足条件③，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件③；b =22213(sin cos )sin cos 2sin cos 1284θθθθθθ-=+-=-⨯= sin cos θθ∴-=sin cos θθ+ ∴22sin cos 1(sin cos )cos sin cos sin θθθθθθθθ++==--1sin 2α=(0,)2πα∈α()f x 1sin 2α=cos α=sin()cos 2παα-==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1sin 2α=(0,2πα∈6πα=1()sin(26f x x π=-126z x π=-x R ∈z R ∈sin y z =2πsin(2)sin z z π+=11sin(2)sin(2626x x πππ-+=-11sin((4))sin()2626x x πππ+-=-()f x 4π2||T πω=122,2262k x k k Z πππππ-+-+∈……2444,33k x k k Z ππππ-++∈……()f x 24[4,4],33k k k Z ππππ-++∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x（Ⅱ）由条件①，利用周期公式可求，由条件②，可得，由条件④，可得，结合范围，可求，可得函数解析式；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④，（Ⅱ）由条件①，可得，又因为，可得，由条件②，可得，由条件④，可得，又因为，所以，所以；（Ⅲ）由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．46．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可．（Ⅱ）根据函数的单调性进行求解即可．（Ⅲ）根据函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），即函数的周期．（Ⅱ）由，，得，，即，，即函数的单调递增区间为，，，1ω=2A =()06f π-=02πϕ<<3πϕ=()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x ()f x 22||ππω=0ω>1ω=2A =(2sin()033f ππϕ-=-+=02πϕ<<3πϕ=()2sin()3f x x π=+22232k x k πππππ-++……k Z ∈52266k x k ππππ-+……k Z ∈()f x 5[26k ππ-2]()6k k Z ππ+∈sin()y A x ωϕ=+21()2(cos )sin sin cos 2f x x x x x x x=+=+11cos 21sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x π-==-+=-22T ππ==222232k x k πππππ--+……k Z ∈522266k x k ππππ-+……k Z ∈51212k x k ππππ-+……k Z ∈[12k ππ-5]12k ππ+k Z ∈由，，得，，即，，即函数的单调递减区间为，，．（Ⅲ）当时，函数的递增区间为，，若函数在，上单调递增，则，即实数的取值范围是．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性，单调性的性质是解决本题的关键，是中档题．47．【分析】（Ⅰ）用五点法作函数在一个周期上的简图；（Ⅱ）根据函数的图象变换规律，可得结论；（Ⅲ）由正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）列表：0300描点，连线，作图如下：（Ⅱ）法一：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，再将得到的图象向左平移得到．法二：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，3222232k x k πππππ+-+…k Z ∈51122266k x k ππππ++……k Z ∈5111212k x k ππππ++……k Z ∈5[12k ππ+1112k ππ+k Z ∈0k =[12π-512π()f x [0]m 5012m π<…m 5012m π<…sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 3-sin y x =3sin y x =123sin 2y x =12π()3sin(2)6f x x π=+sin y x =3sin y x =再将得到的图象向左平移得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到．（Ⅲ）若，则，即，或，，即，或，，又，所以或或．【点评】本题主要考查五点法作函数的图象，函数的图象变换规律以及正弦函数的性质，属于中档题．48．【分析】（Ⅰ）根据所选条件确定函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求得的单调递增区间；（Ⅱ）由正弦函数的性质即可求得最值．【解答】解：选择条件①②解答如下：（Ⅰ）由函数最小正周期，得．又图象关于点对称，有，又已知，故．因此．，解得，．所以的单调递增区间为．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．如果选择条件①③解答如下：由函数最小正周期，得．又函数图象关于对称，有，6π3sin(6y x π=+12()3sin(2)6f x x π=+03()2f x =033sin(2)62x π+=02266x k πππ+=+k Z ∈052266x k πππ+=+k Z ∈0x k π=k Z ∈03x k ππ=+k Z ∈0[2x π∈3]π02x π=03x π=73πsin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x (,0)6π-sin[2()]06πϕ⨯-+=(0,)2πϕ∈3πϕ=()sin(23f x x π=+222,232k x k k Z πππππ-+++∈由……51212k x k ππππ-++……k Z ∈()f x 5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈02x π (423)33x πππ+……232x ππ+=12x π=()f x 4233x ππ+=2x π=()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x 12x π=sin(2)112πϕ⨯+=±。

2020-2021 北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1． 已知会合 A ｛2， 1, 0，1, 2｝， B x | ( x 1)(x2) 0 ,则 AI B（ ）A ．1,0B ． 0,1C ．1,0,1D ． 0,1,2． 已知奇函数 y f (x) 的图像对于点 ( ,0) 对称，当x [0, ) 时， f ( x)1 cos x，222则当 x5,3 ] 时， f (x) 的分析式为（）(2A ． f ( x) 1 sin xB ． f (x)1 sin xC ． f (x) 1 cosxD ． f ( x)1 cos x3． 设会合 A x |2x 1 1 ， By | ylog 3 x, x A ，则 e B A（） A ． 0,1B ． 0,1C ．0,1D ．0,14． 已知 alog 1 15b11， ， c 6 3 ，则（）3 44A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c a5． 已知函数f ( x ) ln x ，若 af (2) ， bf (3) ， cf (5) ，则 a ， b ， c 的大小关x系是（ ）A ． b c aB ． b a cC ． a c bD ． c a b6． 函数fxlog 1 x 2 2x 的单一递加区间为（）2． ,1． 2,． ,0．1,ABCD7． 已知函数 fxlog 2 x 1 xff x 3 的零点个数为（ ）x 4x ，则 yAB C D ． 3． 4． 5 ． 68． 已知函数 f(x)＝log 1 x, x 1,则 f ( f (1)) ) 等于 (2)2 4 x , x 1,2A ． 4B ．－ 2C ． 2D ． 19． 已知 a log 3 2 ， b 20.1 ， c sin 789o ，则 a ， b ， c 的大小关系是A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c axxa=m ，若函数 f 10． 已知函数 f （ x ）=x （ e +ae ﹣）（ x ∈ R ），若函数 f （ x ）是偶函数，记 （x ）为奇函数，记 a=n ，则 m+2n 的值为（ ） A ．0B ． 1C ． 2D ．﹣ 1x1, x1,011．若函数f x{4，则 f(log 43) ＝()4x , x0,11B．1C． 3D．4A．4312．函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，在 ( －∞， 0] 上是减函数且f（ 2） =0 ，则使 f（ x）<0 的 x 的取值范围（）A．（－∞， 2）B．（ 2， +∞）∞ - 2 2 +∞D．（－22C．（－，）∪（，），）二、填空题213．已知函数f x x 2 , x0，则对于 x 的方程f2x af x0 a0,3x 3 , x 0的全部实数根的和为_______.14．己知函数f x x22ax1 a 在区间 01，上的最大值是2, 则实数a______. 15．若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 (－∞， 0]上是减函数，且f(2)＝ 0，则使得 f(x)<0的 x 的取值范围是 ________．16．已知 f (x) ? g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f ( x)g( x)2x x ，则f (1)g(1)__________ .17．a 1.10.1， b log 12， c ln 2 ，则a，b，c从小到大的关系是________.2218．已知y f ( x)x2是奇函数，且 f （1） 1，若 g( x) f ( x) 2，则 g( 1)___．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）知足函数关系（为自然对数的底数，k、 b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计 192 小时，在 22的保鲜时间是48 小时，则该食品在33的保鲜时间是小时 .20．已知函数f ( x)2x ,0x1,则对于 x 的方程4x f ( x)k 0 的全部根的和1f ( x1),1x 3,2的最大值是 _______.三、解答题21．定义在,00,上的函数 y f x知足 f xy f x f 1，且函数yf x在,0 上是减函数.（1）求f 1 ，并证明函数y f x是偶函数；（2）若f 2 1 ，解不等式 f 24f1 1 .x x22． 已知函数 f ( x) ln( x 2 ax 3) .(1) 若 f (x) 在 (,1] 上单一递减，务实数a 的取值范围；(2) 当 a 3 时，解不等式f (e x ) x .23． 已知函数 f ( x)ax 2 (b 8) xa ab 的零点是 -3 和 2(1) 求函数 f ( x) 的分析式 .(2) 当函数 f ( x) 的定义域是[0,1] 时求函数 f ( x) 的值域 .24． 已知函数 f ( x)2 x , x, m, 此中 0 , m 1.lg x1, xm,（Ⅰ）当 m 0 时，求函数 yf ( x) 2 的零点个数；（Ⅱ）当函数 y f 2( x)3 f ( x) 的零点恰有 3 个时，务实数 m 的取值范围 .25． 已知函数 f ( x)2 x k 2 x ， g ( x) log a f (x)2x （ a 0 且 a 1 ），且f (0) 4 .（1）求 k 的值；（2）求对于 x 的不等式 g ( x) 0 的解集；（3）若 f ( x)t 8 对 x R 恒建立，求 t 的取值范围 .2x26． 设函数 f ( x)3x ，且 f (a 2)18 ，函数 g( x)3ax4x ( x R) ．（1）求 g( x) 的分析式；（2）若方程 g( x) － b=0 在 [－ 2，2] 上有两个不一样的解，务实数b 的取值范围．【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．A 分析： A【分析】【剖析】【详解】由已知得 Bx | 2 x 1 ，因为 A ｛2， 1, 0，1, 2｝，所以 AB 1,0 ，应选 A ．2．C分析： C【分析】【剖析】当 x5,3时， 3x0,2, 联合奇偶性与对称性即可获得结果.2【详解】因为奇函数 y f x 的图像对于点,0对称，所以f x f x0 ，2且 f x f x，所以 f x f x，故 f x 是以为周期的函数 .当 x 5,3时， 3x0,，故 f3x 1 cos 3x1cosx 22因为 f x是周期为的奇函数，所以f3x f x f x故 f x1cosx ，即 f x1cosx ，x5,32应选 C【点睛】此题考察求函数的表达式，考察函数的图象与性质，波及对称性与周期性，属于中档题. 3．B分析： B【分析】【剖析】先化简会合A,B, 再求e B A得解 .【详解】由题得 A x |2x 1 20{ x | x 1} ，B y | y 0 .所以 e B A { x | 0 x1} .应选 B【点睛】此题主要考察会合的化简和补集运算，考察指数函数的单一性和对数函数的值域的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平.4．C分析： C【分析】【剖析】第一将 b 表示为对数的形式，判断出b 0，而后利用中间值以及对数、指数函数的单一性比较3与 a, c 的大小，即可获得a, b, c的大小关系.2【详解】因为 5b1 ，所以 b log 5 1 log 5 1 0 ，4 4又因为 alog 1 1 log 3 3,log 3 3 3 ，所以 a 1,3log 3 4 ，3 423113 313,2 ，又因为 c63,83 ，所以 c22所以 ca b .应选： C. 【点睛】此题考察利用指、对数函数的单一性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单一性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或许负的状况可利用中间值进行比较.5．D分析： D【分析】【剖析】能够得出 a1 ln 32, c 1 ln 25 ，从而得出 ＜ ，相同的方法得出 ＜ ，从而得出 ，10 10c a a b ab ，c 的大小关系． 【详解】af 2ln 2ln 32 , c f 51ln 5 ln 25,依据对数函数的单一性获得a>c,2 105 10bf 3ln 3 ,又因为 a f 2ln 2 ln8， bln 3ln 932 6 f 3，再由对数函数36的单一性获得 a<b,∴ c ＜a ，且 a ＜ b ；∴ c ＜ a ＜ b ．应选 D ． 【点睛】考察对数的运算性质，对数函数的单一性．比较两数的大小常有方法有：做差和 0 比较，做商和 1 比较，或许结构函数利用函数的单一性获得结果.6．C分析： C 【分析】【剖析】求出函数fxlog 1 x 2 2x 的定义域，而后利用复合函数法可求出函数y f x 的2单一递加区间 . 【详解】解不等式 x 2 2x0 ，解得 x 0 或 x 2 ，函数 y f x 的定义域为 ,0 U 2,.内层函数 u x 2 2x 在区间 ,0 上为减函数，在区间2,上为增函数，外层函数ylog 1u在 0,上为减函数，2由复合函数同增异减法可知，函数f x log 1 x 22x 的单一递加区间为 ,0 .2应选： C.【点睛】此题考察对数型复合函数单一区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考察计算能力，属于中等题 .7．C分析： C【分析】【剖析】由题意，函数y f f x3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，设t f x ，则 f t 3 ，作出 f x 的图象，联合图象可知，方程f t 3 有三个实根，从而可得答案 .【详解】由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x3 的实数根个数，设 tf x ，则 ft3 ，作出 f x 的图象，f t3 有三个实根 t 11 ， t 21 4 ，以下图，联合图象可知，方程， t 34则 fx1 有一个解， f x1 有一个解， f x4 有三个解，4故方程 f fx 3 有 5个解.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，此中解答中合理利用换元法，联合图象，求得方程 ft 3 的根，从而求得方程的零点个数是解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力，以及数形联合思想的应用.8．B分析： B【分析】1112 4 22 2 4，则 f f4log 1 4 2 ，应选B.f f2229．B分析： B【分析】【剖析】【详解】33 3 ，由对数函数的性质可知a log 3 2log 33442由指数函数的性质b20.11，由三角函数的性质c sin 7890sin(23600690 )sin 690sin 600，所以c (3,1)，2所以 a c b ，应选 B.10．B分析： B【分析】试题剖析：利用函数f（ x） =x（ e x+ae﹣x）是偶函数，获得g（x） =e x+ae﹣x为奇函数，而后利x x x x﹣﹣为偶函用 g（0） =0，能够解得 m．函数 f（ x） =x（ e +ae ）是奇函数，所以g（ x） =e +ae数，可得 n，即可得出结论．x x x x x x解：设 g（ x） =e﹣﹣g（ x） =e﹣为奇函+ae，因为函数f（ x） =x（ e +ae ）是偶函数，所以+ae数．又因为函数 f （ x）的定义域为R，所以 g（ 0） =0，即 g（0） =1+a=0，解得 a=﹣ 1，所以 m=﹣ 1．因为函数x x xxf（ x） =x（ e+ae﹣）是奇函数，所以g（ x） =e +ae﹣为偶函数所以（ e﹣x+ae x） =e x+ae﹣x即（ 1﹣ a）（ e﹣x﹣e x）=0 对随意的x 都建立所以 a=1，所以 n=1，所以 m+2n=1应选 B．考点：函数奇偶性的性质．11．C分析： C【分析】【剖析】依据自变量范围代入对应分析式，化简得结果.【详解】f(log43) ＝4log43 =3,选 C.【点睛】此题考察分段函数求值，考察基本求解能力，属基础题.12．D分析： D【分析】【剖析】依据偶函数的性质,求出函数f x 0在 ( －∞， 0] 上的解集 , 再依据对称性即可得出答案 .【详解】由函数 f,2 f 20,∞ 0]是减函数 ,所x 为偶函数所以 f又因为函数 f x 在(－，以函数 f x0 在(－∞，0]上的解集为2,0, 由偶函数的性质图像对于y 轴对称,可得在(0,+∞x0 的解集为(0,2),综上可得 , f x0 的解集为(-2,2). ) 上f应选 :D.【点睛】此题考察了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题 .二、填空题13．【分析】【剖析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的全部根之和从而可求出原方程全部实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象分析： 3【分析】【剖析】由2f x af x可得出f x 0和 f x a a0,3，作出函数y f x的图0象，由图象可得出方程 f x0 的根，将方程 f x a a0,3 的根视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程根之和，从而可求出原方程全部实根之和.f x a a0,3的全部【详解】Q f 2 x af x 0 0 a 3 ， f x 0 或 f x a 0 a 3 .方程 f x a 0 a 3 的根可视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，作出函数 y f x 和直线 y a 的图象以下列图：由图象可知，对于x 的方程 f x0 的实数根为2、3.因为函数 y x22x 2 对称，函数 y x 3 的图象对于直线 x 3的图象对于直线对称，对于 x 的方程f x a 0a 3 存在四个实数根x1、 x2、 x3、 x4以下图，且 x1 x22， x3x4 3 ，x1x2x3 x4462，22所以，所求方程的实数根的和为2 3 2 3 .故答案为： 3 .【点睛】此题考察方程的根之和，实质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的重点，考察数形联合思想的应用，属于中等题.14．或【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系分类议论求出最大值且等于2解对于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；立即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】此题考察二次函数的图像与分析：1或 2.【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系，分类议论求出最大值且等于2，解对于a的方程，即可求解 .【详解】函数 f x x22ax1 a( x a)2a2a1，对称轴方程为为 x a；当 a0 时，f ( x)max f(0)1a2, a1；当 0a1, f ( x) max f(a)a2a12，即a2a 1 0, a15（舍去），或 a =1-5（舍去）；22当 a 1 时， f (x)max f(1)a 2 ，综上 a 1 或 a2.故答案为 :1或2.【点睛】此题考察二次函数的图像与最值，考察分类议论思想，属于中档题.15．(－ 22)【分析】【详解】∵函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数且在 (－∞ 0)上是增函数又 f(2) ＝0∴f(x) 在(0＋∞)上是增函数且 f( － 2)＝f(2) ＝0∴当－２＜ x ＜2 时f(x) ＜ 0 即 f(x) ＜分析：(－ 2,2)【分析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在( －∞， 0) 上是增函数，又f(2)＝0，∴ f(x)在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，且f(－2) ＝f(2)＝ 0，∴当－２＜x＜ 2 时， f(x)＜ 0，即f(x)＜ 0的解为 (－ 2,2)，即不等式的解集为(－ 2,2), 故填 (－ 2,2).16．【分析】【剖析】依据函数的奇偶性令即可求解【详解】 ?分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性属于简单题分析：32【分析】【剖析】依据函数的奇偶性，令x1即可求解.【详解】Q f (x) ?g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) g ( x) 2x xf ( 1) g( 1) f (1)g (1) 2 1 13,2故答案为：32【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，属于简单题.17．【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解获得答案【详解】由题意依据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以 abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛分析： b c a【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b, c 的取值范围，即可求解，得到答案 .【详解】由题意，依据指数函数的性质，可得a 1.10.1 1.101，由对数函数的运算公式及性质，可得b log212log21(1)211，2221ln 2ln e 1，c ln 2 ln e，且c2所以 a， b， c 从小到大的关系是b c a .故答案为： b c a .【点睛】此题主要考察了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，此中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a, b, c 的取值范围是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题.18．-1【分析】试题分析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性分析： -1【分析】试题分析：因为 y f (x) x2是奇函数且 f (1)1，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．19．24【分析】由题意得：所以时考点：函数及其应用分析： 24【分析】由题意得： {e b192e22k48 1 , e11k1，所以 x33 时，e22kb,4819242ye33k b(e11k )3e b119224 .8考点：函数及其应用.20．5【分析】【剖析】将化简为同时设可得的函数分析式可适当k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可适当 k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大此时根分别为：当时分析： 5【分析】【剖析】2x ,0x 1,2x ,0 x1,12x ,1将 f (x)1 f ( x化简为 f ( x)x2, 同时设1),1 x 3,4212x, 2x3,164x f (x) g( x) ，可得g (x)的函数分析式，可适当k 等于 8 时与g (x)的交点的全部根的和的最大，可得答案 .【详解】2x,0x 1,2x ,0 x1,1 2x,1解：由 f ( x)1f ( x1),1 x可得： f ( x)x 2,3,421 2x ,2 x 3,168x ,0 x 1,设 4x f (x)g (x) ， g( x)18x ,1 x 2,41 8x, 2 x 3,16由 g( x) 函数的性质与图像可得，当 k 等于 8 时与 g( x) 的交点的全部根的和的最大，此时根分别为：当 0 x 1 时， 8x 18 ， x 1 1，当 1 x2时，18x 28 ， x 2 5 ，43 当 2 x3时，18x 38 ， x 37 ，163此时全部根的和的最大值为： x 1 x 2x 3 5 ，故答案为： 5.【点睛】此题主要考察分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行议论，属于中档题.三、解答题．（ ）f 1 0，证明看法析；（2） [1,2) (2,3]211【分析】【剖析】（1）依据函数分析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也能够获得 f x 与fx之间的关系，从而证明；（2）利用函数的奇偶性和单一性，合理转变求解不等式即可【详解】.（1）令 y1 0 ，则 f x1f xf 1 ，xx1x 得 f 1f x f x0 ，再令 x 1， y1 ，可得 f 1 f 1 f1 ，得 2 f 1f 1 0 ，所以 f1 0，令 y1，可得 f xfxf1f x ，又该函数定义域对于原点对称， 所以 fx 是偶函数，即证 .（2）因为f 2 1，又该函数为偶函数，所以f 21.因为函数 f x 在,0 上是减函数，且是偶函数所以函数 fx 在 0,上是增函数 . 又f 24f1 f 2x 4 xf 2x 4 ，xxx所以 f2x 4f 2 ，等价于2x 4 0, 2x 4 0,2x4 或2x42,2,解得 2 x 3 或 1 x 2 .所以不等式f2 4f1 1的解集为 [1,2)(2,3] .xx【点睛】此题考察抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单一性求解不等式 .22． (1) 2 a 4 ； (2) x x 0 或 x ln3【分析】 【剖析】（1 ）依据复合函数单一性的性质 ,联合二次函数性质即可求得 a 的取值范围 .（2 ）将 a3 代入函数分析式 ,联合不等式可变形为对于e x 的不等式 ,解不等式即可求解 .【详解】（1）Q f ( x) 在 (,1] 上单一递减,依据复合函数单一性的性质可知y x2 ax 3需单一a1递减则21a30解得2a4.（2）将a 3 代入函数分析式可得 f (x) ln( x23x 3)则由f (ex )x,代入可得ln e2 x3e x3x同取对数可得e2x3e x3e x 即 (e x )24e x30 ,所以 (e x1) e x30即 e x1或e x3x0或 x ln 3 ,所以原不等式的解集为x x 0或x ln 3【点睛】此题考察了对数型复合函数单一性与二次函数单一性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法 ,属于中档题 .23．（ 1）f (x)3x23x18 （2）[12,18]【分析】【剖析】【详解】（1）Q 3 2b 8, 3 2 a ab a3, b 5 , f x3x2 3 x 18 a a（ 2）因为 f x3x23x 18 张口向下，对称轴x1, 在0,1 单一递减，2所以当x 0, f max x 18,当x1, f min x12所以函数 f (x) 的值域为[12,18]【点睛】此题将函数的零点、分析式、最大小值等相关知识与性质有机整合在一同，旨在考察函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依照函数零点与方程的根之间的关系，求出函数分析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形联合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．24．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）0,1 100【分析】【剖析】 （I ）当 m0时，由 f (x)2 0 ，联合分段函数分析式，求得函数的零点，由此判断出yf (x) 2的零点的个数 .（II ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0，解得 f (x) 0 （依据分段函数分析式可知 fx 0 ，故舍去.）或 f ( x)3 .联合分段函数分析式，求得f ( x) 3 的根，联合分段函数f x 的分段点，求得 m 的取值范围 .【详解】x,0,（Ⅰ）当 m 0 时， f (x)2 , xlg x 1, x0.令 yf ( x) 20，得 f (x) 2 ，则 | lg x | 1 2 或 2|x|2.解 | lg x | 12 ，得 x 10 或 1，10解 2|x| 2 ，得 x1 或 x 1（舍） .所以当 m0 时，函数 yf (x)2 的零点为 1，1，10，共 3 个.10（Ⅱ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0 ，得 f ( x) 0 或 f ( x) 3 .由题易知 f ( x) 0恒建立 .所以 f (x)3一定有 3 个实根，即 | lg x |13 和 2|x|3共有 3个根.①解 2|x| 3 ，得 xlog 2 3 或 x log 2 3 1（舍），故有 1 个根 .②解 |lg x | 1 3 ，得 x 100 或 x 1 ，100要使得两根都知足题意，则有 m 1.100又 0, m 1 ，所以 0, m 1.100所以实数 m 的取值范围为0,1.100【点睛】本小题主要考察分段函数零点个数的判断，考察依据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题 .25． (1) k3； (2) 当 a 1 时， x ,log 2 3 ；当 0 a 1时， x log 2 3,；(3), 13【分析】【剖析】（1）由函数过点0,4 ，待定系数求参数值；（2）求出g x 的分析式，解对数不等式，对底数进行分类议论即可.（3）换元，将指数型不等式转变为二次不等式，再转变为最值求解即可.【详解】（1）因为f ( x)2x k 2 x且f (0)4，故： 1k 4 ，解得 k 3 .（2）因为g (x)log a f ( x)2x，由（ 1），将f x代入得：g x log a (3n 2 x ?) ，则log a(3n 2x ?) 0 ，等价于：当 a1时，3n 2x 1 ，解得x,log 2 3当 0 a 1时，3 2 x 1 ，解得x log 2 3,.n（3）f ( x)t8在R上恒建立，等价于：2x2x 28n2x t30 恒建立；令 2x m ，则m0,，则上式等价于：m28m t 30 ，在区间0,恒建立 .即：t m28m 3 ，在区间0,恒建立，又m28m3m4213 ，故：( m28m 3) 的最小值为：-13，故：只要 t13即可 .综上所述， t,13.【点睛】此题考察待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒建立问题求参数范围，属函数综合问题 .26．（ 1）g( x) 2x4x，（2） b 3 , 1164【分析】试题剖析：（ 1）；此题求函数分析式只要利用指数的运算性质求出 a 的值即可，（2）对于同时含有 a x, a2 x的表达式，往常能够令进行换元，但换元的过程中必定要注意新元的取值范围，换元后转变为我们熟习的一元二次的关系，从而解决问题．试题分析：解：（1）∵f ( x)3x，且 f (a 2)18 ∴∵∴（2）法一：方程为令，则1t 4 -4且方程为在有两个不一样的解．设 y t t 2(t 1 )21，y b两函数图象在1, 4 内有两个交点244由图知 b 3 , 1时，方程有两不一样解．164法二：方程为，令，则1t4 4∴方程在1,4上有两个不一样的解．设 f (t )t 2t b,t1, 4 44=1-4b01 b410b 3{ f164f (4)0b12解得 b 3 , 1164考点：求函数的分析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数分析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的种类（如一次函数，二次函数，指数函数等），便可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的分析式时，必定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，防止犯错．。

绝密★启用前2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A =，则UA（）A ．{}1,3B ．{}5,7,9C ．{}1,3,5,7,9D ．∅答案：B【分析】根据集合的运算直接求解即可 解：由全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A = 则5,7,9UA故选：B2．设命题:,10P x x ∃∈+≥R ，则P ⌝为（） A ．,10x x ∀∈+≥R B ．,10x x ∃∈+<R C ．,10x x ∀∈+<R D ．,10x x ∃∉+≥R答案：C【分析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论. 解：命题:,10P x x ∃∈+≥R ，则P ⌝为：,10x x ∀∈+<R 故选：C3．已知实数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．11b a> B ．22a b > C ．0b a -> D ．b a a b <答案：A【分析】根据图象可得0b a <<，逐一分析选项，即可得答案.解：对于A ：由图象可得0b a <<，所以11b a>，故A 正确； 对于B ：因为0b a <<，所以22a b <，所以B 错误； 对于C ：因为b a <，所以0b a -<，故C 错误；对于D ：当2,1b a =-=-时，满足0b a <<，此时2,1b a ==， 所以2,2a b b a =-=-，即b a a b =，故D 错误， 故选：A4．三个实数0.33a =，0.32b =，lg 0.3c =的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>答案：B【分析】利用对数函数的单调性得出c 与0的大小关系，利用指数函数的单调性得出b 与1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.解：0.30221b =>=，lg 0.3lg10c =<=，0.33a =，因此，b a c >>.故选：B.5．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的大致区间是（） A ．()1,2 B ．()2,3C ．(3,4)D ．()4,5答案：A【分析】利用零点存在性定理结合(1)(2)0f f <可得解. 解：函数()ln 23f x x x =+-为增函数，且(1)2310f =-=-<，()2ln 2430f =+->，(1)(2)0f f <由零点存在性定理可知函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的一个区间为()1,2. 故选：A.点评：思路点晴：应用零点存在性定理求解.6．“sin 2α=”是“3πα=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案． 解：3sin 2θ=推不出3πθ=，所以“3sin α=”是“3πα=”非充分条件，3πθ=推出3sin θ=，“3sin α=”是“3πα=”必要条件.故选：B ．点评：本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．7．单位圆O 圆周上的点P 以A 为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角是（）A ．245π-B ．125πC ．145πD ．245π答案：D【分析】根据题意可出关于α的等式，即可求得结果.解：设24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角α，由题意可得22410απ=，解得245πα=. 故选：D.8．在平面直角坐标系中，角α、角β的终边关于直线y x =对称，若1cos 3α=-，则sin β=（）A ．13B ．223C ．223±D ．13-答案：D【分析】由题意可知，点()sin ,cos αα在角β的终边上，由此可求得sin β的值.解：由三角函数的定义可知，点()cos ,sin αα在角α的终边上， 由于角α、角β的终边关于直线y x =对称，则点()sin ,cos αα在角β的终边上，所以，221sin 3sin cos βαα==-+.故选：D.9．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至10000，则C 大约增加了（） A ．11% B ．22%C ．33%D ．100%答案：C【分析】根据题意，分别表示出SN等于1000和10000时对应的12,C C ，相比即可求得答案. 解：由题意得SN比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计. 所以21232log log 1000l g 1010o 3W W W C ===，22242log l 10000104g 0l 1o og W W W C ===所以22214104 1.log lo 33g 3310W W C C ==≈， 所以C 大约增加了33%. 故选：C10．如图，已知OPQ 是半径为r ，圆心角为4π的扇形，点A 、B 、C 分别是半径OP 、OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O 、P 、Q 三点），则关于ABC 的周长说法正确的是（）A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值答案：C【分析】作出点C 关于OQ 的对称点1C ，作出点C 关于OP 的对称点2C ，利用1C 、B 、A 、2C 四点共线时，ABC 的周长取得最小值可得出结论.解：如下图所示，作出C 关于OQ 的对称点1C ，作出点C 关于OP 的对称点2C ，连接1BC 、2AC ，由对称性可知1BC BC =，2AC AC =， 由于4POQ π∠=，则1222C OC POQ π∠=∠=，12OC OC r ==，则122C C r =，所以，ABC 的周长为21122AC BC AB AC BC AB C C r ++=++≥=， 当且仅当1C 、B 、A 、2C 四点共线时，等号成立，但ABC 的周长无最大值. 因此，ABC 的周长有最小值，无最大值. 故选：C.点评：思路点睛：本题考查三角形周长的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用四点共线时取得最值来求解. 二、填空题 11．sin 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________. 答案：22-【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.解：sin sin 442ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-. 12．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域是___________. 答案：{1x x >且2}x ≠【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.解：由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以定义域为：{1x x >且2}x ≠故答案为：{1x x >且2}x ≠13．已知α是第三象限角，且4cos 5α=-，sin α=___________. 答案：35【分析】由平方关系结合角所在象限可得sin α=，将条件代入可得答案. 解：已知α是第三象限角，4cos 5α=-，则3sin 5α===- 故答案为：3514．若函数()f x 在其定义域上单增，且零点为2，则满足条件的一个()f x 可能是____________.(写出满足条件的一个()f x 即可) 答案：()2f x x =-【分析】根据函数的单调性及零点，写出满足题意的一个函数即可. 解：根据()f x 在其定义域上单增，且零点为2，即(2)0f =， 可写出一个函数()2f x x =-. 故答案为：()2f x x =-15．已知函数()f x 的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数()f x 的说法：①((1))3f f =； ②(2)(0)f f >；③()211,[0,4]f x x x x =--+∈；④0a ∃>，不等式()f x a ≤的解集为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号) 答案：①③【分析】根据图象，可求得(1)f 的值，即可判断①的正误；根据图中数据及()f x 在[1,4]上的单调性，可判断②的正误；分别讨论14x ≤≤和01x ≤<两种情况，求得()f x 解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式()f x a ≤解集，即求()f x a =的根，根据()f x 解析式，即可判断④的正误，即可得答案.解：对于①：由图象可得：(1)0f =，所以((1))(0)3f f f ==，故①正确； 对于②：(0)(4)3f f ==，且()f x 在[1,4]上为单调递增函数，所以(2)(4)3f f <=， 所以(2)(0)f f <，故②错误；对于③：当14x ≤≤时，()2112(1)11f x x x x x x =--+=--+=-，(1)0,(4)3f f ==，满足图象；当01x ≤<时，()2112(1)133f x x x x x x =--+=--+=-，(0)3f =，斜率3k =-，满足图象，故③正确；对于④：由题意得()f x a ≤的解集为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，即()f x a =的根为1,23， 根据()f x 解析式可得1()23f =，当14x ≤≤时，令12x -=，解得3x =，所以解集为1[,3]3，故④错误. 故答案为：①③三、解答题16．已知集合{}13A x x =<<，{}24B x x =<<，{}0C x x a =<<. （1）求AB ，A B ；（2）若A C ⊆，求实数a 的取值范围.答案：（1）()1,4A B ⋃=，()2,3A B ⋂=（2）3a ≥ 【分析】（1）由交集和并集运算直接求解即可. （2）由A C ⊆，则3a ≥解：(1)由集合{}13A x x =<<，{}24B x x =<< 则()1,4A B ⋃=，()2,3A B ⋂=（2）若A C ⊆，则{}{}130x x x x a <<⊆<<，所以3a ≥ 17．已知不等式2520ax x -+<的解集是M. （1）若1M ∈，求实数a 的取值范围；（2）若122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式()22360ax a x -++-<的解集.答案：（1）(,3)-∞；（2）3{2x x <或2}x > 【分析】（1）根据1M ∈，代入不等式成立，即可求得a 的范围； （2）根据M 可得1,22为方程2520ax x -+=的两根，利用韦达定理，可求得a 的值，代入所求，即可求得答案.解：（1）因为1M ∈，所以215120a ⨯-⨯+<，解得3a <，所以实数a 的取值范围为(,3)-∞（2）因为122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以1,22为方程2520ax x -+=的两根，由韦达定理可得1222a⨯=，解得2a =， 所以不等式()22360ax a x -++-<即为22760x x -+-<，即22760x x -+>，所以(2)(23)0x x -->，解得32x <或2x >， 所以方程的解集为：3{2x x <或2}x >. 18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R (单位：元)关于月产量x (单位：台)满足函数21400,1400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩. （1）将利润()P x (单位：元)表示为月产量x 的函数；(利润=总收入-总成本) （2）若称()()g x xP x =为月平均单件利润(单位：元)，当月产量x 为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？答案：（1）()2130020000,1400210060000,400x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩；（2）当月产量为200时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元.【分析】（1）本题可分为1400x ≤≤、400x >两种情况，然后根据“利润=总收入-总成本”即可得出结果；（2）本题首先可根据()()g x x P x =得出()20000300,1400260000100,400xx xg x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，然后分为1400x ≤≤、400x >两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. 解：（1）当1400x ≤≤时，利润()2220000100300200114000202P x x x x x x --=--=+-；当400x >时，利润()800002000010010060000P x x x =--=-+，故()2130020000,1400210060000,400x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩.（2）因为()()g x x P x =，所以()20000300,1400260000100,400xx xg x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，当1400x ≤≤时，()200002000030022300x x x x g x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝-⎭+因为220000200x x +≥=，当且仅当200x =时取等号，所以()200003001002x x g x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝+⎭，当200x =时，()g x 取最大值100；当400x >时，()60000100g xx =-+，()g x 为单调递减函数， 此时()()40050g g x <=，综上所述，当月产量为200时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元. 点评：关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题. 19．已知函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）当x ∈R 时，求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值，并指出相应x 的值. 答案：（1）T π=，单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=-时函数取得最小值12-，4x π=时函数取得最大值14.【分析】（1）根据周期公式计算，用整体代换法化简222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即可得出单调递增区间；（2）用整体代换法得当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x ，当232x ππ-=-时函数取得最小值12-，当236x ππ-=时函数取得最大值14.解：解：（1）()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x所以当232x ππ-=-即12x π=-时函数取得最小值12-， 当236x ππ-=即4x π=时函数取得最大值14. 点评：求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.20．已知函数2()4x mf x x +=-是定义在()2,2-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()2,2-上是减函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<. 答案：（1）2()4x f x x =-；（2）详见解析；（3）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）本题可根据()()f x f x -=-求出()f x 的解析式；（2）本题可在()2,2-上任取1x 、2x 且12x x >，然后通过转化得出12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，即可证得结论；（3）本题首先可根据奇函数性质将()()10f t f t -+<转化为()()1f t f t -<-，然后根据减函数性质转化为212221t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩，最后通过计算即可得出结果.解：（1）因为2()4x mf x x +=-，所以2()4x m f x x -+-=-， 因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 即2244x m x m x x +-+-=--，解得0m =，2()4xf x x =-. （2）在()2,2-上任取1x 、2x ，且12x x >，则()()()()22122112122222121244()()4444x x x x x x f x f x x x x x ----=-=---- ()()()()()()()()()()2212212112211212122222221212124444444444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--===-----+--， 因为2140x -<，2240x -<，1240x x +>，210x x -<，所以12())0(f x f x -<，12()()f x f x <，()f x 在区间()2,2-上是减函数.（3）因为()f x 是定义在()2,2-上的奇函数和减函数，所以()()10f t f t -+<即()()1f t f t -<-，()()1f t f t -<-，则212221t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩，解得122t <<，不等式()()10f t f t -+<的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭.点评：关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足()()f x f x =-，奇函数满足()()f x f x -=-，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.21．设集合*S ⊆N ，且S 中至少有两个元素，若集合T 满足以下三个条件：①*T ⊆N ，且T 中至少有两个元素；②对于任意,x y S ∈，当y x ≠，都有xy T ∈；③对于任意,x y T ∈，若y x >，则yS x∈；则称集合T 为集合S 的“耦合集”. （1）若集合{}11,2,4S =，求集合1S 的“耦合集”1T ；（2）若集合2S 存在“耦合集”2T ，集合{}21234,,,S p p p p =，且4321p p p p >>>，求证：对于任意14i j ≤<≤，有2j ip S p ∈；（3）设集合{}1234,,,S p p p p =，且43212p p p p >>>≥，求集合S 的“耦合集”T 中元素的个数.答案：（1）{}12,4,8T =；（2）证明见详解；（3）5个 【分析】（1）根据“耦合集”定义可得.（2）由条件②可知2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ；由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈同理其它比得证； （3）由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理343141,P P P P ==，故{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.解：解：（1）由已知条件②得1T 的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以{}12,4,8T =； （2）证明：因为{}21234,,,S p p p p =，由已知条件②得2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈，同理得324442222211123,,,,P P P P PS S S S S P P P P P ∈∈∈∈∈，所以对于任意14i j ≤<≤，有2j ip S p ∈； （3）因为43212p p p p >>>≥，由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理342311,P P P P P P ==，所以343141,P P P P ==，又因为T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，所以{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.点评：解题关键是正确理解“耦合集”的定义.。

北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。

2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}，则集合(∁U A)∩B=()A. {4,6}B. {2,4}C. {2}D. {4}2.不等式的解集为()A. B.C. D.3.若x<3，则√9−6x+x2−|x−6|的值是()A. −3B. 3C. −9D. 94.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(m,m+3)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −2B. 2C. −7D. 75.若b<0<a，d<c<0，则()A. ac>bdB. ac >bdC. a−c>b−dD. a−d>b−c6.袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是()A. 35B. 12C. 25D. 1107.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，当x∈[−1,1]时，f(x)=1−x2，若函数g(x)=log5x，则ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(0,5]内的零点的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 58.已知函数f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，f(x){2|x−1|−1,0<x≤212f(x−2),x>2则函数g(x)=xf(x)−1在[−6,+∞)上的所有零点之和为()A. 7B. 8C. 9D. 109.若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．()A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要10.方程的解为等于()A. 1B. eC. 10D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 若命题“∃x 0∈R ，2x 02−3mx 0+9<0”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．12. 幂函数y =f(x)的图象经过点(−2, −18)，则满足f(x)=64的x 的值是______ ．13. 在△ABC 所在平面内一点P ，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，延长BP 交AC 于点D ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=_______．14. 已知函数f(x)=x 3+sinx +m −3是定义在[n,n +6]上的奇函数，则m +n = ______ ． 三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）15. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 (1) ；乙组数据的平均数是 (2) ．16. 设函数f(x)={log 2x,x >0x 2+x,x ≤0，则f[f(−2)]= ，方程f(x)=2的解为 ．四、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40)，[40,50)，…[90,100]，整理得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；(Ⅱ)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；(Ⅲ)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90,100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ (1)试以a ⃗ ，b ⃗ 为基底表示DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CG ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)若AD =2，AB =3，∠DAB =60°，求BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗19. 孝感为中国生活用纸之乡．为庆祝“2021年中国孝感纸都节”，在开幕式现场进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“孝感纸都”和“纸都孝感”两种标志，摇匀后抽奖，规定：参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“孝感纸都“即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次．已知从盒中抽取两个小球不都是“纸都孝感”标志的概率为35． (1)求盒中印有“纸都孝感”标志的小球个数； (2)求某位嘉宾抽奖两次的概率．20. 某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已 知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别 年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A 产品 10 m 5 100B 产品204960其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[3,4].另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．21. 已知集合A=，其中}，B=}，且A B=R，求实数的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查补集、交集的求法，属于基础题．先求出集合B和∁U A，由此能求出集合(∁U A)∩B．解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}={2,4}，∴∁U A={1,4,5,6}，则集合(∁U A)∩B={4}．故选：D．2.答案：A解析：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的数学思想，解答此类题的关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负的取符号法则．解：故不等式的解集为。

2020-2021学年北京市海淀区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={n2|n∈Z}，B={n+12|n∈Z}，则下列图形中能表示A与B关系的是()A. B.C. D.2.命题p：∀x∈(0,+∞)，e x>x+1+12x2，则￢p为()A. ∀x∈(0,+∞)，e x≤x+1+12x2B. ∃x0∈(0,+∞),e x0<x0+1+12x02C. ∀x∈(0,+∞)，e x<x+1+12x2D. ∃x0∈(0,+∞),e x0≤x0+1+12x023.函数是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是A. B.C. D.4.某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取管理人员()A. 200人B. 30人C. 70人D. 40人5.下列四个命题中正确的是()A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|C. 若x>2，则函数y=x+1x有最小值2D. 若a<b<0，则a2<ab<b26.同时掷两个骰子，向上的点数不相同的概率为()A. 56B. 16C. 23D. 137.函数f(x)=√x −(14)x 的零点所在的区间为( )A. (0,14)B. (14,12)C. (12,1)D. (1,2)8.对于直线m ，n 和平面α，β，α⊥β的一个充分条件是( )A. m ⊥n ，m//α，n//βB. m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂αC. m//n ，n ⊥β，m ⊂αD. m//n ，m ⊥α，n ⊥β9.已知正实数，且，则的最小值为( )A.B.C.D. 510. 出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3km (不含3 km)；3 km 到7 km (不含7 km)按1.6元/ km 计价；7 km 以后按2.2元/ km 计价，到目的地结算时还需付1元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程12.2 km)，需付车费 ( )(精确到1元)A. 26元B. 27元C. 28元D. 25元二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 已知不等式ax 2+bx +2<0的解集是(1,2)，则a +b 的值为______． 12. 某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图).S 1、S 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S 1______S 2.(填“>”、“<”或“=”)13. 已知函数f(x)=2+log 3x ，x ∈[1,9]，函数y =[f(x)]2+f(x 2)的最大值为______ ． 14. 一种计算装置，有一个数据输入口A 和一个运算输出口B ，执行的运算程序是： ①当从A 口输入自然数l 时，从B 口输出实数12，记为f(1)=12；②当从A 口输入自然数n(n ≥2)时，在B 口得到的结果f(n)是前一结果f(n −1)的n−1n+1倍．通过计算f(2)、f(3)、f(4)的值，归纳猜想出f(n)的表达式为______ ．15. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累计计算：全月应纳税所得额 税率%不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超过4500元至9000元的部分20%某人一月份应交纳此项税款300元，则他当月工资、薪金所得是 元． 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16. 集合A ={y|y =√16−x 2}，B ={x|m ≤x <1+3m}． (1)当m =1时，求A ∩B ，∁R A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求m 的范围．17. 已知函数f(x)对任意的a ，b ∈R ，都有f(a +b)=f(a)+f(b)，并且当x >0时，f(x)>0． (1)求证：f(x)是R 上的增函数；(2)若f(4)=6，解关于m 的不等式f(3m 2−m −2)<3．18. 在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市A ，城市B 进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市A 比赛时，甲队胜乙队的概率为35，平乙队的概率为15；在城市B 比赛时，甲队胜乙队的概率为13，平乙队的概率为16，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．(Ⅰ)求两场比赛甲队恰好负一场的概率； (Ⅱ)求两场比赛甲队得分X 的分布列．19. 已知二次函数的定义域为[−1,2]，(1)若，求函数的值域；(2)若 >0，且函数是[−1,2]上的单调函数，求的范围及此时函数的最值．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查集合的关系，考查Venn图，属于基础题．根据集合A，B所表达的意思，进行分析，进而可得结果．解：根据题意，由于集合A={n2|n∈Z}，B={n+12=12(2n+1)|n∈Z}，根据集合的元素n是整数集可知，集合A是12的整数倍，集合B是12的奇数倍，故B⫋A，故选A．2.答案：D解析：解：因为原命题为全称命题，所以其否定为特称命题；即：∃x0∈(0,+∞)，e0x≤x0+1+12⋅x02；故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，以及特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.答案：D解析：试题分析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)且f(0)=0，可变形为：f(−x)+ f(x)=0，f(−x)−f(x)=−2f(x)，f(x)⋅f(−x)≤0，而由f(0)=0，由知D不正确．故选D考点：函数奇偶性点评：本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．4.答案：B解析：解：某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，应抽取管理人员：300×1501500=30(人)．故选：B．按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，利用分层抽样的性质能求出应抽取管理人员的数量．本题考查抽取的管理人员的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：A，均为正数，才能相乘，不正确；B，若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|，正确；C，若x>2，则函数y=x+1x 有最小值2+12=52，不正确；D，a=−2，b=−1时不成立．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.答案：A解析：解：同时掷两个骰子，向上的点数共有36种不同情况，分别为：其中向上的点数相同的事件共有6种，故向上的点数相同的概率P=636=16，故向上的点数不相同的概率P=1−16=56，故选：A列举出所有情况，及出现相同点数的情况数，先求出向上点数相同的概率，进而利用对立事件概率减法公式，得到答案．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn ．7.答案：B解析：解：根据题意可计算得f(0)=−1<0，f(14)=12−(14)14<0，f(12)=√12−(14)12>0，所以函数的零点所在区间为(14,12)， 故选：B ．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解． 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．8.答案：C解析：对于C 项：∵m//n ，n ⊥β，∴m ⊥β， 又m ⊂α，∴α⊥β．9.答案：A解析：试题分析：因为，正实数，且，所以，=，故选A 。

2020-2021学年北京市昌平区高一(上)期末数学复习卷2一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知集合A ={−1,1}，B ={−1,2}，则A ∪B =( )A. {−1}B. {1,2}C. {−1,1，2}D. {−1,−1,1，2}2. 已知角α的终边经过点P(−3,4)，则sinα的值等于( )A. −35B. 35C. 45D. −453. sin 225°=( )A. −12B. −√22C. −√32D. −14. 已知向量a ⃗ =(−1,m)，b ⃗ =(2,1).若向量a ⃗ +b ⃗ 与b ⃗ 垂直，则实数m 的值为 ( )A. −3B. 3C. −12D. 125. 下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递增的是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=2|x|C. f(x)=log 21|x|D. f(x)=|1x+1|6. 已知a =(53)0.2，b =(23)10，c =log 0.36，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. a >c >b7. 若二次函数y =x 2+2x +(m +3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−2]C. (−∞,4)D. (4,+∞)8. 要得到函数y =sin(2x −π3)的图象，只要将函数y =sin(2x +π3)的图象( )A. 向左平行移动π3个单位B. 向左平行移动π6个单位C. 向右平行移动π3个单位D. 向右平行移动π6个单位9. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为AD 中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 45a⃗+310b⃗ B. 45a⃗+1310b⃗ C. −45a⃗−310b⃗ D. 34a⃗+14b⃗10.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y=80(12)t−a10+b(a,b为常数).通常这种热饮在40℃时口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为()A. 35minB. 30minC. 25minD. 20min二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.设集合A=｛x｜x>0｝，B=｛x｜−2<x<1｝，则A∩B=__________12.lg32−lg4lg2+(27)23=________.13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=1，|2a⃗−b⃗ |=1，则|b⃗ |=__________．14.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω=______；φ=______．15.若函数f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)=f(x)+2(x−1)，则f(x)的解析式为______．16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−ax+a，其中a∈R，若f(x)的值域是R，则a的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知角α是第二象限角，sin(α)=35，tan(α+β)=1，求cos2α及tanβ的值．18.已知函数f(x)=cos2(x−π6)−sin2x，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π12, π6]上的最大值和最小值．19.已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3−x)．(1)求函数y=f(x)的定义域并判断奇偶性；(2)若f(2m−1)<f(m)，求实数m的取值范围．20.为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：(1)根据行驶里程数按1元/公里计费；(2)当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；(3)租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t∈[20,60](单位：分钟).由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：将上述租车时间的频率视为概率．(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式；(2)公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？21.已知函数f(x)，若在定义域内存在x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则称x0为函数f(x)的局部对称点．(1)若a，b，c∈R，证明函数f(x)=ax3+bx2+cx−b必有局部对称点；(2)是否存在常数m，使得定义在区间[−1,2]上的函数f(x)=4x+2x+m有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合A={−1,1}，B={−1,2}，则A∪B={−1,1，2}．故选：C．根据并集的定义写出A∪B．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵已知角α的终边经过点P(−3,4)，由任意角的三角函数的定义可得x=−3，y=4，r=5，∴sinα=yr =45，故选C．由任意角的三角函数的定义可得x=−3，y=4，r=5，由此求得sinα=yr的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，3.答案：B解析：本题考查诱导公式及特殊角三角函数值，属于基础题．由sin(α+π)=−sinα及特殊角三角函数值解之．解：sin225°=sin(45°+180°)=−sin45°=−√22，故选B．4.答案：A解析：本题考查向量垂直的充要条件，向量加法和数量积的坐标运算．可求出a⃗+b⃗ =(1,m+1)，根据(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，即可得出(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．。

2020-2021学年北京师大附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1.设集合M ={x|x 2−2x ≤0}，N ={x|x <1}，则M ∩N =( )A. {x|x <1}B. {x|−2≤x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|−2≤x ≤0}2.已知向量 a ⃗ =(−2,1)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值等于( )A. 1B. −1C. −4D. 43.在△ABC 中，“sinA <cosB ”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.为了得到函数y =√2sin(2x +π4)的图象，可以将函数y =√2sin2x 的图象( )A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位 C. 向右平移π8个单位D. 向左平移π8个单位5.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 5B. 4C. 3D. 26.已知函数f(x)=sin2x ，要得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象，只需将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度7.已知向量a ⃗ =(x −3,2)，b ⃗ =(1,1)，则“x >1”是“a ⃗ 与b ⃗ 夹角为锐角”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC 中，已知2ccosC =√3bcosA +√3acosB ，则C 的值为( )A. 30︒B. 60︒C. 60︒或120︒D. 30︒或150︒9. 已知函数，若对任意 2，都有<0成立，则的取值范围是( )A. (0, ]B. (，1)C. (1,2)D. (−1,2)10. 已知函数y ={x 2+1−2x (x >0)(x <0)，使函数值为5的x 的值是( )A. −2B. 2或−52C. 2或−2D. 2或−2或−52二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知正方形ABCD 的边长为2，若在该正方形内任取一点P ，则使得AP ≤1的概率为______ ． 12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A 在第二象限，cosα=−35，则点A 的坐标为______．13. 已知sin(α+45°)=√55，则sin2α= ______ ．14. 已知△ABC 为边长3的正三角形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 设M 是△ABC 内一点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘，定义f(M)=(m,n,p)，其中m 、n 、p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f(M)=(12,x,y),则1x +4y 的最小值是____________． 16. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7，D 是边BC 上一点，且DC =2DB ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 化简： ①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)．18. 已知α，β均为锐角，且sinα=35，sin(α−β)=−√1010．(1)求tan(α−β)的值； (2)求cosβ的值．19. 在△ABC 中，BC =√6，| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． (1)求证：△ABC 三边的平方和为定值；(2)当△ABC的面积最大时，求cosB的值．20.向量a⃗=(cos23°，cos67°)，向量b⃗ =(cos68°，cos22°)．(1)求a⃗⋅b⃗ ；(2)若向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ ，求u⃗的模的最小值．21.已知f(x)的值域为[38,49]，求y=√1−2f(x)的值域．22.已知二次函数f(x)=−x2+ax−a2+1(a∈R)(1)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值f(x)max；(2)在(1)的条件下，记f(x)max=g(a)，求g(a)的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由一元二次不等式的解法得：因为x2−2x≤0，解得0≤x≤2，即M={x|0≤x≤2}，又N={x|x<1}，所以M∩N={x|0≤x<1}，故选：C．由一元二次不等式的解法得：M={x|0≤x≤2}，由集合的交集的运算得：M∩N={x|0≤x<1}，得解．本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：向量a⃗=(−2,1)，b⃗ =(x,2)，若a⃗⊥b⃗ ，可得−2x+2=0，解得x=1．故选：A．利用向量的垂直关系，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，考查计算能力．3.答案：A解析：解：①若sinA<cosB，∴cos(π2−A)<cosB，在△ABC中，A，B，C∈(0,π)，∴π2−A>B，∴A+B<π2，∴C>π2，△ABC中，π2<C<π，∴△ABC为钝角三角形．②若△ABC为钝角三角形，当角B为钝角，则cosB<0，sinA>0，∴“sinA<cosB”不成立．∴在△ABC中，“sinA<cosB”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．在△ABC 中，若sinA <cosB 时，根据诱导公式和三角函数的单调性，可知A +B <π2，C >π2，所以△ABC 为钝角三角形；反之不一定成立．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及三角函数单调性的综合应用，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.答案：D解析：解：将函数y =√2sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得函数y =√2sin(2x +π4)的图象， 故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．由向量加法的平行四边形法则可求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解：由向量加法的平行四边形法则可得，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2+(−1)×1=5． 故选：A ．6.答案：B解析：解：把函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π8个单位长度，即可得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：a ⃗ ⋅b ⃗ =x −3+2=x −1，若a ⃗ 与b ⃗ 同向共线， 则b ⃗ =λa ⃗ ，λ>0， 则{x −3=λ2=λ，得x =5，当x=5时，满足x>1，但此时两个向量关系，夹角为0°，则a⃗与b⃗ 夹角为锐角不成立，若a⃗与b⃗ 夹角为锐角，则a⃗⋅b⃗ =x−1>0，则x>1，成立，即“x>1”是“a⃗与b⃗ 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：A．根据向量夹角与向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与数量积的关系是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：由2ccosC=√3bcosA+√3acosB，得2sinCcosC=√3sinBcosA+√3sinAcosB，即2sinCcosC=√3sin(A+B)=√3sinC，则cosC=√3，2∵0°<C<180°，∴C=30°．故选：A．，再由C的范围得答案．利用正弦定理化边为角，再由两角和的正弦化简，可得cosC=√32本题考查两角和与差得正弦，考查三角形的解法，是基础题．9.答案：A<0可知函数单调递减，解析：解：由f(x1)−f(x2)x1−x2则满足，即，∴，故选A．10.答案：B解析：解：当x>0时，x2+1=5，解得x=2．当x<0时，−2x=5，解得x=−52．故选：B．利用已知条件列出方程求解即可．本题考查函数的零点的应用，考查计算能力．11.答案：π16解析：解：当点P满足|PA|≤1时，P在以A为圆心、半径为1的圆内其面积为S′=14π×12=π4∵正方形ABCD边长为2，得正方形的面积为S=22=4∴所求概率为P=S′S =π16．故答案为：π16．由扇形面积公式，结合题意算出满足条件的点P对应的图形的面积，求出正方体ABCD的面积并利用几何概型计算公式，即可算出所求概率．本题在正方形中求点P满足条件的概率，着重考查了扇形面积、正方形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．12.答案：(−35,4 5 )解析：解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A在第二象限，cosα=−35，则点A的纵坐标为sinα=√1−cos2α=45，故点A的坐标为(−35,45 )，故答案为：(−35,4 5 ).由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点A的坐标．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．13.答案：−35解析：解：sin(α+45°)=√55，可得√22(sinα+cosα)=√55，可得12(1+2sinαcosα)=15． ∴sin2α=−35．故答案为：−35．利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果． 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．14.答案：−92解析：本题考查平面向量的数量积的定义，考查向量夹角的概念，属于基础题． 运用向量的数量积的定义，注意夹角为π−B ，运用公式计算即可得到． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−B)．故答案为：−92．15.答案：18解析：解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘， 得|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 所以S △=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =1， ∴x +y =12，则1x +4y =2(x+y x +4x+4y y)=2(5+y x +4xy )≥18，当且仅当{x =16y =13时，1x +4y的最小值为18． 故答案为：1816.答案：−83解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7， 所以cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB×BC=2×2×√7=2√7，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×√7×2√7)+73=−83； 故答案为：−83．首先利用余弦定理求出∠B 的度数，然后将所求利用三角形的边表示，利用数量积公式解答． 本题考查了余弦定理解三角形、向量的三角形法则以及平面向量的数量积的计算；关键是求出B 的余弦值，注意向量的夹角与三角形内角的关系．17.答案：解：①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)=sinαcosα⋅sinα⋅cosα =sin 2α. ②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)=cos 2α−tanα−sinα=cos 2α+1cosα．解析：本题考查利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值，是基础题． ①直接利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可． ②利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可．18.答案：解：(1)∵α,β∈(0,π2)，∴−π2<α−β<π2.…(2分)又sin(α−β)=−√1010，∴−π2<α−β<0…(4分)∴cos(α−β)=3√1010，∴tan(α−β)=−13…(7分)(2)∵α为锐角，sinα=35，∴cosα=45. …(8分)∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)…(12分) =45×3√1010+35×(−√1010)=9√1050. …(14分)解析：(1)确定−π2<α−β<0，求出cos(α−β)=3√1010，即可求tan(α−β)的值；(2)利用cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)，即可求cosβ的值． 本题考查两角和与差的三角函数，考查角的变换，正确运用公式是关键． 19.答案：(1)证明：∵| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴AB ⋅AC ⋅cosA =2， 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cosA ， 代入数据可得(√6)2=AB 2+AC 2−4，整理可得AB 2+AC 2=10， ∴△ABC 三边的平方和AB 2+BC 2+AC 2=10+6=16为定值； (2)由(1)知AB 2+AC 2=10，∴AB ⋅AC ≤ AB 2+AC 22=5，当且仅当AB=AC时取“=”号，∵AB⋅AC⋅cosA=2，∴cosA=2AB⋅AC，∴sinA=√1−cos2A=√ 1−4AB2⋅AC2，∴△ABC的面积S=12AB⋅AC⋅sinA=12AB⋅AC⋅√ 1−4AB2⋅AC2=12√AB2AC2−4 ≤ 12√25−4=√212，当且仅当AB=AC时取“=”号．∵AB2+AC2=10，∴当AB=AC时，AB=AC=√5，∴cosB= BC2 AB=√62√5=√3010解析：(1)由数量积定义和余弦定理整体可得AB2+AC2=10，代值可得答案；(2)由(1)知AB2+AC2=10，由基本不等式和三角形的面积公式可得S的最小值，以及取最小值时的条件，由三角函数的定义可得．本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角函数定义，属中档题．20.答案：解(1)a⃗⋅b⃗ =cos23°⋅cos68°+cos67°⋅cos22°=cos23°⋅sin22°+sin23°⋅cos22°=sin45°=√22．(2)由向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，得m⃗⃗⃗ =λb⃗ (λ∈R)，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ =a⃗+λb⃗=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°)=(cos23°+λsin22°,sin23°+λcos22°)，|u⃗|2=(cos23°+λsin22°)2+(sin23°+λcos22°)2=λ2+√2λ+1=(λ+√22)2+12，∴当λ=−√22时，|u|有最小值为√22．解析：(1)利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用三角函数的诱导公式及两角差的余弦公式化简数量积．(2)利用向量共线的充要条件将m⃗⃗⃗ 用b⃗ 表示，利用向量模的平方等于向量的平方求出u⃗的模的平方，利用二次函数最值的求法求出最小值．本题考查向量的数量积公式、向量共线的充要条件、三角函数的诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二次函数的最值的求法．21.答案：解：∵38≤f(x)≤49，∴−89≤−2f(x)≤−34，∴19≤1−2f(x)≤14， ∴13≤y ≤12∴y 的值域为：[13,12]解析：根据f(x)的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得y 的值域． 本题考查不等式的性质，函数的值域，属于基础题． 22.答案：解：(1)f(x)=−x 2+ax −a 2+1的对称轴为x =a 2，当a 2≥1即a ≥2时，f(x)在[−1,1]递增，可得f(1)=a 2，当a 2≤−1即a ≤−2时，f(x)在[−1,1]递减，可得f(−1)=−32a ，当−1<a 2<1，即−2<a <2时，f(x)的最大值为f(a 2)=a 24−a 2+1， 综上可得 f(x)max ={ a 2,a ≥2a 24−a 2+1,−2<a <2−32a,a ≤−2． (2)a ≥2时，g(a)=a 2单调递增，∴g(a)的最小值为g(2)=1；−2<a <2时，g(a)=a 24−a 2+1=14(a −1)2+34，且a =1∈(−2,2)，∴g(a)的最小值为g(1)=34；a ≤−2时，g(x)=−32a 单调递减，∴g(a)的最小值为g(−2)=3．综上，g(a)的最小值为34．解析：(1)求出二次函数的对称轴，通过对称轴是否在区间内，结合函数的单调性求解函数的最值．(2)利用(1)得到函数的最值的分段函数，然后求解分段函数的最小值即可．本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2020-2021学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{1，0}B．{0，1}C．{1，0，1}D．{1，0，1，2} 2．命题“∀x＞0，sin x≤1”的否定是（）A．∀x＞0，sin x＞1B．∀x≤0，sin x＞1C．∃x＞0，sin x＞1D．∃x≤0，sin x＞13．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝sin x B．C．y＝﹣x3D．y＝lgx4．函数f（x）＝x3﹣x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知函数f（x）＝x2+cos x．若x1+x2＝0，则（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）+f（x2）＝0D．f（x1）﹣f（x2）＝06．已知a＝0.5，b＝0.50.6，c＝log0.60.5，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a7．已知函数y＝f（x）可表示为（）x0＜x＜22≤x＜44≤x＜66≤x≤8y1234则下列结论正确的是（）A．f（f（4））＝3B．f（x）的值域是{1，2，3，4}C．f（x）的值域是[1，4]D．f（x）在区间[4，8]上单调递增8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级y（单位：dB）与声强度I （单位：W/m2）之间的关系为y＝10lg，其中基准值I0＝10﹣12W/m2．若声强级为60dB 时的声强度为I60，声强级为90dB时的声强度为I90，则的值为（）A．10B．30C．100D．10009．已知α，β均为第一象限角，则“α＜β”是“sinα＜sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．设函数f（x）＝4||，若存在实数x1，x2，…，x n，满足当x1＜x2＜…＜x n时，|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+……+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|＝2021，则正整数n的最小值为（）A．505B．506C．507D．508二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．函数f（x）＝+lg（x﹣1）的定义域为．12．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为．13．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则tanα＝．14．若函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象关于直线对称，则常数φ的一个取值为．15．设a＜b＜0，给出下列四个结论：①a+b＜ab；②2a＜3b；③2a＜2b；④a|a|＜b|b|．其中所有正确结论的序号是．16．已知函数．①当m＝0时，f（x）的值域为；②若对于任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．（Ⅰ）求（∁U A）∩B；（Ⅱ）设非空集合D＝{x|a＜x＜2a+3，a∈R}，若D⊆∁U A，求实数a的取值范围．18．已知函数只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为2π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④．（Ⅰ）请指出f（x）同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求f（x）的单调递增区间．19．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象与函数y＝cos2x的图象重合，求实数m的最小值．20．设函数，且f（2）＝12．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）判断f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）＝a恰有三个实数解，写出实数a的取值范围（不必证明）．21．“函数φ（x）的图象关于点（m，n）对称”的充要条件是“对于函数φ（x）定义域内的任意x，都有φ（x）+φ（2m﹣x）＝2n”．若函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2﹣ax+a+1．（Ⅰ）求f（0）+f（2）的值；（Ⅱ）设函数．（ⅰ）证明函数g（x）的图象关于点（2，﹣4）对称；（ⅱ）若对任意x1∈[0，2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{1，0}B．{0，1}C．{1，0，1}D．{1，0，1，2}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．2．命题“∀x＞0，sin x≤1”的否定是（）A．∀x＞0，sin x＞1B．∀x≤0，sin x＞1C．∃x＞0，sin x＞1D．∃x≤0，sin x＞1解：命题是全称命题，则否定是特称命题，即∃x＞0，sin x＞1，故选：C．3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝sin x B．C．y＝﹣x3D．y＝lgx解：A．y＝sin x是奇函数，当0＜x＜1时，函数为增函数，满足条件B．函数的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．C．当0＜x＜1时，函数为减函数，不满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：A．4．函数f（x）＝x3﹣x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：函数f（x）＝x3﹣x﹣7是连续函数，∵f（2）＝8﹣1﹣7＝﹣1＜0，f（3）＝27﹣2﹣7＝18＞0，∴f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（2，3）．5．已知函数f（x）＝x2+cos x．若x1+x2＝0，则（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）+f（x2）＝0D．f（x1）﹣f（x2）＝0解：函数f（x）＝x2+cos x，所以f（﹣x）＝（﹣x）2+cos（﹣x）＝x2+cos x＝f（x），故函数f（x）为偶函数，又因为x1+x2＝0，所以x1＝﹣x2，则f（x1）＝f（﹣x2）＝f（x2），所以f（x1）﹣f（x2）＝0．故选：D．6．已知a＝0.5，b＝0.50.6，c＝log0.60.5，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解：根据y＝0.5x在R上单调递减得0.5＝0.51＜0.50.6＜0.50＝1，根据y＝log0.6x在（0，+∞）上单调递减得log0.60.5＞log0.60.6＝1，所以a＜b＜c．故选：A．7．已知函数y＝f（x）可表示为（）x0＜x＜22≤x＜44≤x＜66≤x≤8y1234则下列结论正确的是（）A．f（f（4））＝3B．f（x）的值域是{1，2，3，4}C．f（x）的值域是[1，4]D．f（x）在区间[4，8]上单调递增解：由题意知f（4）＝3，得f（f（4））＝f（3）＝2，故A错误，函数的值域为{1，2，3，4}，故B正确，C错误，f（x）在定义域上不单调，故D错误，8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级y（单位：dB）与声强度I （单位：W/m2）之间的关系为y＝10lg，其中基准值I0＝10﹣12W/m2．若声强级为60dB 时的声强度为I60，声强级为90dB时的声强度为I90，则的值为（）A．10B．30C．100D．1000解：根据题意，声强级y（单位：dB）与声强度I（单位：W/m2）之间的关系为y＝10lg，则有且，故30＝90﹣60＝，则＝，所以＝103＝1000．故选：D．9．已知α，β均为第一象限角，则“α＜β”是“sinα＜sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：取α＝60°、β＝390°，α、β均为第一象限角，且α＜β，但sinα＞sinβ，α、β均为第一象限角，sinα＜sinβ，取α＝390°、β＝60°，但α＞β，所以“α＜β”是“sinα＜sinβ”的既不充分也不必要条件．故选：D．10．设函数f（x）＝4||，若存在实数x1，x2，…，x n，满足当x1＜x2＜…＜x n时，|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+……+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|＝2021，则正整数n的最小值为（）A．505B．506C．507D．508解：由y＝sin x的值域可得f（x）∈[0，4]，即|f（x1）﹣f（x2）|≤4，故|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤4（n﹣1），即2021≤4当n＝506时，4（n﹣1）＝2020＜2021，当n＝507时，4（n﹣1）＝2024＞2021，故正整数n的最小值为507．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．函数f（x）＝+lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．解：由题意，得，解得x＞1，故函数f（x）的定义域是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．12．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为1．解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝2，所以由基本不等式可得，xy≤（）2＝1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故xy最大值为1．故答案为：1．13．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则tanα＝．解：∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，∴tanα＝＝．故答案为：．14．若函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象关于直线对称，则常数φ的一个取值为．解：∵函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象关于直线对称，∴2×+φ＝kπ，k∈Z，令k＝1，可得常数φ＝，故答案为：．15．设a＜b＜0，给出下列四个结论：①a+b＜ab；②2a＜3b；③2a＜2b；④a|a|＜b|b|．其中所有正确结论的序号是①③④．解：由于a＜b＜0，故﹣a＞﹣b＞0，对于①：由于a＜0，b＜0，所以ab＞0，a+b＜0，故a+b＜ab，故①正确；对于②：当a＝﹣1.1，b＝﹣1时，所以2a＞3b，故②错误；对于③：由于函数y＝2x为单调递增函数，所以2a＜2b，故③正确；④由于a＜b＜0，所以|a|＞|b|，﹣a＞﹣b＞0，整理得（﹣a）|a|＞（﹣b）|b|，所以a|a|＜b|b|，故④正确．故答案为：①③④．16．已知函数．①当m＝0时，f（x）的值域为（0，1）；②若对于任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m的取值范围是[，2]．解：①当m＝0时，f（x）＝＝1﹣，变形可得2x＝，则＞0，解得0＜y＜1，即函数的值域为（0，1），②根据题意，f（x）＝＝1+，若f（a），f（b），f（c）的值总可作为某一个三角形的三边长，则f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，当m﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a）＝f（b）＝f（c）＝1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当m﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，则有1＜f（a）＜1+m﹣1＝m，同理1＜f（b）＜m，1＜f（c）＜m，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥m，解得1＜m≤2．当m﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，m＜f（a）＜1，同理m＜f（b）＜1，m＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2m≥1，解得m≥，则≤m＜1，综上，m的取值范围为[，2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．（Ⅰ）求（∁U A）∩B；（Ⅱ）设非空集合D＝{x|a＜x＜2a+3，a∈R}，若D⊆∁U A，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|1＜2x＜16}＝{x|0＜x＜4}．∴∁U A＝{x|x≤﹣1或x≥3}，∴（∁U A）∩B＝{x|3≤x＜4}．（Ⅱ）∵非空集合D＝{x|a＜x＜2a+3，a∈R}，D⊆∁U A，∴或，解得﹣3＜a≤﹣2或a≥3．∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣2]∪[3，+∞）．18．已知函数只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为2π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④．（Ⅰ）请指出f（x）同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求f（x）的单调递增区间．解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则f（0）＝A sinφ＝﹣1，这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件③，所以函数f（x）只能满足条件①，②，④，（Ⅱ）由条件①，可得＝2π，又因为ω＞0，可得ω＝1，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（x+）；（Ⅲ）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，可得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．19．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象与函数y＝cos2x的图象重合，求实数m的最小值．解：（Ⅰ）函数＝．所以f（）＝sin（）＝﹣．（Ⅱ）由于，所以，所以当x＝0时，，当x＝时，．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，所得函数g（x）＝sin（2x+2m﹣）的图象与函数y＝cos2x的图象重合，故（k∈Z），解得m＝（k∈Z），当k＝0时，．20．设函数，且f（2）＝12．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）判断f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）＝a恰有三个实数解，写出实数a的取值范围（不必证明）．解：（Ⅰ）根据题意，函数，若f（2）＝12．则f（2）＝4+＝12，解可得m＝16，故m＝16；（Ⅱ）f（x）在区间（2，+∞）上的单调性为增函数，证明：设x1＞x2≥2，则f（x1）﹣f（x2）＝（x12+）﹣（x22+）＝（x12﹣x22）+＝（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣]，又由x1＞x2≥2，则（x1﹣x2）＞0，（x1+x2）＞4＞，则有（x1+x2）﹣＞0，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在区间（2，+∞）上的单调性为增函数，（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论，f（x）＝x2+，若关于x的方程f（x）＝a恰有三个实数解，即y＝f（x）的图象与直线x＝a有3个交点，实数a的取值范围是（12，+∞）．21．“函数φ（x）的图象关于点（m，n）对称”的充要条件是“对于函数φ（x）定义域内的任意x，都有φ（x）+φ（2m﹣x）＝2n”．若函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2﹣ax+a+1．（Ⅰ）求f（0）+f（2）的值；（Ⅱ）设函数．（ⅰ）证明函数g（x）的图象关于点（2，﹣4）对称；（ⅱ）若对任意x1∈[0，2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）由函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，可得f（x）+f（2﹣x）＝4，则f（0）+f（2）＝4；（Ⅱ）（ⅰ）证明：∵g（x）＝，x∈（﹣∞，2）∪（2，+∞），∴g（4﹣x）＝＝，∴g（x）+g（4﹣x）＝+＝＝﹣8．即对任意的x∈（﹣∞，2）∪（2，+∞），都有g（x）+g（4﹣x）＝﹣8成立．∴函数g（x）的图象关于点（2，﹣4）对称．（ⅱ）∵g（x）＝＝﹣4﹣，易知g（x）在（﹣，1）上单调递增，∴g（x）在x∈[﹣，1]时的值域为[﹣1，4]．记函数y＝f（x），x∈[0，2]的值域为A．若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[﹣，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则A⊆[﹣1，4]．∵x∈[0，1]时，f（x）＝x2﹣ax+a+1，∴f（1）＝2，即函数f（x）的图象过对称中心（1，2）．（1）当≤0，即a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增．由对称性知，f（x）在（1，2）上单调递增．∴函数f（x）在（0，2）上单调递增．易知f（0）＝a+1．又f（0）+f（2）＝4，∴f（2）＝3﹣a，则A＝[a+1，3﹣a]．由A⊆[﹣1，4]，得，解得﹣1≤a≤0．（2）当0＜＜1，即0＜a＜2时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增．由对称性，知f（x）在（1，2﹣）上单调递增，在（2﹣，2）上单调递减．∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，2﹣）上单调递增，在（2﹣，2）上单调递减．∴结合对称性，知A＝[f（2），f（0）]或A＝[f（），f（2﹣）]．∵0＜a＜2，∴f（0）＝a+1∈（1，3）．又f（0）+f（2）＝4，∴f（2）＝3﹣a∈（1，3）．易知f（）＝﹣+a+1∈（1，2）．又f（）+f（2﹣）＝4，∴f（2﹣）∈（2，3）．∴当0＜a＜2时，A⊆[﹣1，4]成立．（3）当≥1，即a≥2时，函数f（x）在（0，1）上单调递减．由对称性，知f（x）在（1，2）上单调递减．∴函数f（x）在（0，2）上单调递减．易知f（0）＝a+1．又f（0）+f（2）＝4，∴f（2）＝3﹣a，则A＝[3﹣a，a+1]．由A⊆[﹣1，4]，得．解得2≤a≤3．综上可知，实数a的取值范围为[﹣1，3]．。

2020-2021学年北京市丰台区高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共15小题，共60.0分）1.己知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2=1}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {−1,1}D. {0,1，2}2.关于角度，下列说法正确的是()A. 时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°；B. 第一象限角一定是锐角；C. 三角形的内角必是第一或第二象限角；D. 若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角．3.已知α是第二象限角，且cosα=−45，得tanα=()A. 43B. −43C. −34D. 344.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(x)的解析式为()A. f(x)=2xB. f(x)=x2C. f(x)=2xD. f(x)=x+25.已知函数f(x)=log2x+11−x，若x1∈(1,2)，x2∈(2,+∞)，则()A. f(x1)<0，f(x2)<0B. f(x1)<0，f(x2)>0C. f(x1)>0，f(x2)<0D. f(x1)>0，f(x2)>06.8 23−lg100的值为()A. 4B. 2C. 1D. 237.要得到函数y=sin(2x−π3)的图象，只需将y=sin2x的图象()A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位 D. 向右平移π6个单位8.已知cosα=−35(α∈(π2,π))，则tan(α+π4)=()A. −17B. 17C. −7D. −439. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若cosα=−37，则cosβ=( )A. 37B. −37C. 2√107D. −2√10710. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =√3，E 是CD 的中点，那么AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 4B. 2C. √3D. 111. 设x 0是函数f(x)=2x +3x −7的零点，且x 0∈(k,k +1)(k ∈Z)，则k 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且4OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，那么( ) A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 13. 函数f(x)=3sinx−x x 2+1在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.14. 已知α∈(π2,π)，2sin 2α+1=cos 2α，则sin 2α= ( )A. √35B. −45C. √55D. 4515. 已知命题p ：∃x ∈R,log 3x ≥0，则( )A. ¬P ：∀x ∈R,log 3x ≤0B. ¬P ：∃x ∈R,log 3x ≤0C.¬P ：∀x ∈R,log 3x <0D.¬P ：∃x ∈R,log 3x <0二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）16. 已知函数f(x)={3x −13(x ≥0)2x (x <0)，则f[f(3)]的值为______ ．17. 计算：cos11π3=___________18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，那么函数ω=______，φ=______．19.行驶中的汽车刹车时要继续往前滑行的一段距离叫做刹车距离．某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/ℎ)满足关系y=nx100+x2400，n∈N.现做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中5<y1<7，13<y2<15，则n=________．三、解答题（本大题共4小题，共24.0分）20.已知函数f(x)=3|x|+1(1)判断f(x)的奇偶性；(2)画出f(x)的草图；(3)解方程：f(x)=3．21.已知向量|a⃗|=2，b⃗ =(−12,√32)，且a⃗与b⃗ 夹角为2π3，(1)求|a⃗+2b⃗ |；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．22.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x2+3sin2x+12，x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间．23.已知函数f(x)，若在定义域内存在x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则称x0为函数f(x)的局部对称点．(1)若a，b，c∈R，证明函数f(x)=ax3+bx2+cx−b必有局部对称点；(2)是否存在常数m，使得函数f(x)=4x−m2x+1+m2−3有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={−1,1}；∴A∩B={−1,1}．故选：C．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：本题考查了任意角的概念和象限角、轴线角，属于基础题．根据角的概念，逐一判定即可得出结论．解：对于A：时钟经过两个小时，时针按顺时间方向旋转60°，因而转过的角为−60°，故A不正确，对于B：90°为第一象限角，但不是锐角，故B错误，对C：直角三角形的直角不是第一，也不是第二象限角，故C错误，对D：α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角，根据象限性质故D正确，故选D．3.答案：C解析：解：∵α是第二象限角，且cosα=−45，∴sinα=√1−cos2α=35，则tanα=sinαcosα=−34．故选C根据α是第二象限角，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出tanα的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．。

2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题一．选择题（共23小题）1．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是( ) A ．()2x f x -=B ．3()f x x =C ．()f x lgx =D ．1()f x x=2．（2020秋•通州区期末）函数,0()(03,0x a x f x a a x x ⎧=>⎨->⎩且1)a ≠在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．1[,1)3D ．1(0,]33．（2020秋•西城区校级期末）函数|(1)|y lg x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）如果()f x 是定义在R 上的函数，使得对任意的x R ∈，均有()()f x f x -≠-，则称该函数()y f x =是“X -函数”．若函数sin cos y x x a =++是“X -函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．[1-，1]D ．[2-，2]5．（2020秋•朝阳区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( )A ．sin y x =B ．y =C ．3y x =-D ．y lgx =6．（2020秋•西城区期末）函数11y lgx x =+-的定义域是( ) A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0，1)(1⋃，)+∞D ．[0，1)(1⋃，)+∞7．（2020秋•石景山区期末）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是( ) A ．11y x=- B ．2x y =C ．(1)y ln x =+D ．2x y -=8．（2020秋•朝阳区期末）已知函数()y f x =可表示为( )24x <46x <68x234则下列结论正确的是( ) A ．(f f （4）)3= B ．()f x 的值域是{1，2，3，4} C ．()f x 的值域是[1，4]D ．()f x 在区间[4，8]上单调递增9．（2020秋•东城区期末）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为( )A ．52-B ．32-C ．32D ．5210．（2020秋•海淀区期末）下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．2y x =-B ．12y x =C ．1y x -=D ．3y x =11．（2020秋•丰台区期末）下列函数是奇函数的是( ) A ．()2x f x =B ．2()log f x x =C ．2()f x x =D ．3()f x x =12．（2020秋•西城区校级期末）以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是( )A ．4()f x x =B ．()f x =C ．1()()2x f x =D ．12()log ||f x x =13．（2020秋•石景山区期末）已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．0C ．1D ．214．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象． 给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是( )A．①③B．①④C．②③D．②④15．（2020秋•石景山区期末）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是()A．B．C．D．16．（2020秋•海淀区校级期末）如图是函数sin(0)A x y是图象上任意一点，过点A作x轴的=的图象，(,)y x xπ平行线，交其图象于另一点(B A，B可重合）．设线段AB的长为()f x，则函数()f x的图象是()A．B．C ．D ．17．（2020秋•昌平区期末）已知函数2()f x x k =-．若存在实数m ，n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为( )A ．(1-，0]B ．(1,)-+∞C ．(2-，0]D ．(2,)-+∞18．（2020秋•西城区校级期末）已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，满足f （2）1=且对于定义域内任意x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立，那么f （2）f +（4）的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．419．（2020秋•通州区期末）已知函数()(1)(1)f x ln x ln x =++-，则()(f x ) A ．是奇函数，且在(0,1)上单调递增 B ．是奇函数，且在(0,1)上单调递减 C ．是偶函数，且在(0,1)上单调递增 D ．是偶函数，且在(0,1)上单调递减20．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，值域为区间[2，)+∞的是( ) A ．2()2f x x =B ．()21x f x =+C ．()||2f x x =+D ．1()f x x x=+21．（2020秋•大兴区期末）已知函数5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则a 的范围是( )A ．(,0)-∞B ．[4-，)+∞C ．(,4)-∞-D ．[4-，0)22．（2020秋•海淀区校级期末）已知偶函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，若a f =（1），b f =（2），1()2c f =-，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>23．（2020秋•东城区期末）若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．2()f a f <（a ） B ．1()()f a f a<C ．f （a ）(2)f a <D ．2()(1)f a f a <-2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】由基本初等函数的性质逐一判断即可．【解答】解：对于A ，()2x f x -=为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，3()f x x =为奇函数，且在R 上是增函数，符合题意； 对于C ，()f x lgx =为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D ，1()f x x=为奇函数，在(0,)+∞上是减函数，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题． 2．【分析】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：若函数在R 上为减函数， 则满足00130a a a <<⎧⎨-⎩，即0113a a <<⎧⎪⎨⎪⎩，得103a<， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．【解答】解：由10x ->得1x >，即函数的定义域为(1,)+∞，排除A ，B ，D ， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域是否满足，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．4．【分析】根据题意，设()sin cos f x x x a =++，则有()()2cos 2f x f x x a +-=+，结合“X -函数”的定义可得方程()()2cos 20f x f x x a +-=+=无解，结合余弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设()sin cos f x x x a =++，则()sin()cos()sin cos f x x x a x x a -=-+-+=-++， 则()()2cos 2f x f x x a +-=+，若函数()y f x =是“X -函数”，即()()2cos 20f x f x x a +-=+=无解， 又由cos [1x ∈-，1]，必有1a <-或1a >，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解“X -函数”的含义，属于基础题． 5．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．【解答】解：A ．sin y x =是奇函数，当01x <<时，函数为增函数，满足条件B ．函数的定义域为[0，)+∞，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．C ．当01x <<时，函数为减函数，不满足条件．D ．函数的定义域为(0,)+∞，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：A ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．6．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，则010x x >⎧⎨-≠⎩，即01x x >⎧⎨≠⎩，即函数的定义域为(0，1)(1⋃，)+∞，故选：C ．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题． 7．【分析】可看出前三个选项的函数在(1,1)-上都是增函数，从而只能选D ． 【解答】解：11y x=-，2x y =和(1)y ln x =+在(1,1)-上都为增函数，2x y -=在(1,1)-上是减函数． 故选：D ．【点评】本题考查了反比例函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 8．【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可． 【解答】解：由题意知f （4）3=，得(f f （4）)f =（3）2=，故A 错误， 函数的值域为{1，2，3，4}，故B 正确，C 错误， ()f x 在定义域上不单调，故D 错误，故选：B ．【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本题的关键，是基础题． 9．【分析】根据题意，由函数的解析式求出1()2f 的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．【解答】解：根据题意，当0x >时，()2f x x =-，则113()2222f =-=-，又由()f x 为奇函数，则113()()222f f -=-=，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 10．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质是否满足进行判断即可． 【解答】解：A ．函数为偶函数，不满足条件．B ．函数的定义域为[0，)+∞，为非奇非偶函数，不满足条件．C ．函数为奇函数，且当0x >时，1y x=为减函数，满足条件． D ．函数为奇函数，当0x >时为增函数，不满足条件．故选：C ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数的性质是解决本题的关键，是基础题． 11．【分析】根据题意，依次分析选项函数的奇偶性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()2x f x =，是指数函数，不是奇函数，不符合题意， 对于B ，2()log f x x =，是对数函数，不是奇函数，不符合题意， 对于C ，2()f x x =，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意， 对于D ，3()f x x =，是奇函数，符合题意， 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题． 12．【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断即可． 【解答】解：对于A ，函数在(0,)+∞递增，不合题意； 对于B ，函数不是偶函数，不合题意； 对于C ，函数不是偶函数，不合题意；对于D ，函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减，符合题意； 故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．13．【分析】由奇函数定义得，(1)f f -=-（1），根据0x >的解析式，求出f （1），从而得到(1)f -． 【解答】解：()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)f f -=-（1）， 又当0x >时，21()f x x x=+，f ∴（1）2112=+=，(1)2f ∴-=-，故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．14．【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．15．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的12比较． 【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口， 当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可得结果． 故选：B ．【点评】本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则V （这里的V 是漏斗中剩下液体的体积）与t 成正比（一次项），根据圆锥体积公式13V =兀2r h ，可以得出2H at bt =+中，a 为正数，另外，t 与r 成反比，可以得出H at =^2bt +中，b 为正数．所以选择第二个答案．16．【分析】根据线段AB 的长和x 之间的关系，通过取特殊点及某一段上的x 的值，得出相应的函数值，从而判断出正确选项即可． 【解答】解：当2x π=时，A ，B 两点重合，此时()0f x =，故排除C ，D ；当(0,)2x π∈时，()2f x x π=-是关于x 的一次函数，其图象是一条线段，故选：A ．【点评】考查导函数的图象与图象变化，以及识图能力，体现了数形结合的思想，属基础题．17．【分析】求出函数()f x 在定义域上单调递增，由此建立方程f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩220x x k --=的两个不相等的非负实数根，再由124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩，求出k 的范围．【解答】解：由函数2()f x x k =-，可知函数()f x在区间上单调递增， 要使得函数()f x在区间上的值域为，只需f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩m k n k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩220x x k --=的两个不相等的非负实数根， 所以124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩，解得10k -<，即实数k 的取值范围为(1-，0]， 故选：A ．【点评】本题考查了二次函数的性质，涉及到一元二次方程的实数根的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．【分析】由f （4）(22)f f =⨯=（2）f +（2）2f =（2），可得f （4）2=，从而得到所求． 【解答】解：f （4）(22)f f =⨯=（2）f +（2）2f =（2）， f ∴（4）2=．f ∴（2）f +（4）123=+=，故选：C ．【点评】本题考查抽象函数的应用，求出f （4）2=，是解题的关键，是基础题． 19．【分析】由已知结合函数奇偶性定义及复合函数的单调性进行检验即可判断． 【解答】解：2()(1)(1)(1)f x ln x ln x ln x =++-=-， 则()()f x f x -=， 故()f x 为偶函数，当01x <<时，2()(1)f x ln x =-单调递减， 故选：D ．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题． 20．【分析】由题意，求出各个函数的值域，可得结论．【解答】解：由与2()20f x x =，故它的值域为[0，)+∞，故A 错误；由于()21011x f x =+>+=，故它的值域为(1,)+∞，故B 错误； 由于()||22f x x =+，故它的值域为[2，)+∞，故C 正确； 由于1()f x x x=+，当0x >时，()2f x ，当0x < 时，()2f x -， 故它的值域为[2，)(+∞-∞⋃，2]，故D 错误， 故选：C ．【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．21．【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得051a a <⎧⎨+⎩，解之即可得答案．【解答】解：因为函数5,1()1,1ax x f x x x +⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，所以051a a <⎧⎨+⎩，解得40a -<，即a 的取值范围为[4-，0)．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．22．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：因为偶函数()f x 在(,0)-∞上单调递减， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为a f =（1），b f =（2），11()()22c f f =-=，又12102>>>， 则b a c >>． 故选：C ．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质比较函数值的大小，属于基础题． 23．【分析】可取1a =，从而可判断出选项A ，B 都错误；可得出2a a <，根据()f x 是R 上的减函数可得出f （a ）(2)f a >，从而判断C 错误，这样只能选D ．【解答】解：1a =时，21,a a a a==， ∴21()(),()()f a f a f a f a==，A ∴，B 都错误；0a >，2a a <，()f x 是R 上的减函数，f ∴（a ）(2)f a >，即C 错误；22213(1)1()024a a a a a --=-+=-+>，21a a ∴>-，且()f x 是R 上的减函数，2f a f a∴<-，即D正确．()(1)故选：D．【点评】本题考查了举反例说明不等式不成立的方法，减函数的定义，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2021北京高一数学上学期期末汇编：函数的应用一．选择题（共13小题）1．（2020秋•海淀区期末）已知函数5()2x f x x=-，下列区间中含有()f x 的零点的是( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)2．（2020秋•西城区校级期末）设0x 是函数()4f x lnx x =+-的零点，则0x 所在的区间为( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．（2020秋•朝阳区期末）已知函数2()cos f x x x =+．若120x x +=，则( ) A ．12()()f x f x < B ．12()()f x f x >C ．12()()0f x f x +=D ．12()()0f x f x -=4．（2020秋•西城区期末）从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%．如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是( ) A ．50.2x =B ．5(1)0.8x -=C ．50.2x =D ．5(1)0.8x -=5．（2020秋•朝阳区期末）函数3()7f x x x =--的零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．（2020秋•朝阳区期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级y （单位：)dB 与声强度I （单位：2/)W m 之间的关系为010Iy lg I =，其中基准值122010/I W m -=．若声强级为60dB 时的声强度为60I ，声强级为90dB 时的声强度为90I ，则9060I I 的值为( ) A ．10B ．30C ．100D ．10007．（2020秋•顺义区期末）函数()23f x lnx x =+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)8．（2020秋•大兴区期末）方程430x e x +-=的解所在的区间是( ) A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)249．（2020秋•房山区期末）已知函数||,0()12,lnx x e f x x x e e<⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(0,)e B ．(1,)eC ．(1,2)eD ．(,2)e e10．（2020秋•海淀区期末）植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示．现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是( )A ．(0x y ka b k =+>，0a >，且1)a ≠B ．log (0a y k x b k =+>，0a >，且1)a ≠C ．(0)ky b k x=+> D ．2(0)y ax bx c a =++>11．（2020秋•丰台区期末）已知函数22,0()11,0x x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．（2020秋•石景山区期末）已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 的零点的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,)+∞13．（2020秋•西城区校级期末）已知函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[1-，0)B ．[0，)+∞C ．[1-，)+∞D ．[1，)+∞二．填空题（共8小题）14．（2020秋•通州区期末）果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x 千克，小王付款后剩余现金为y 元，则x 与y 之间的函数关系为 ；x 的取值范围是 ．15．（2020秋•西城区期末）若方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．（2020秋•西城区期末）已知函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩，那么f （2）= ；当函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是 ．17．（2020秋•东城区期末）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过18米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池，其底面由两个长方形组成（如图所示）．若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为 ， ．18．（2020秋•海淀区校级期末）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64(ppm ppm 为浓度单位，1ppm 表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度()y ppm 与排气时间t （分钟）之间存在函数关系72(mt y m -=为常数）．求得m = ；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，那么至少需要排气 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．19．（2020秋•昌平区期末）已知函数12,()2||,x x a f x a x x a -⎧<=⎨-⎩．（Ⅰ）若1a =，则函数()f x 的零点是 ；（Ⅰ）如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =，称实数a 为函数()f x 的包容数． 在给出的①12；②1；③32三个数中，为函数()f x 的包容数是 ．（填出所有正确答案的序号） 20．（2020秋•石景山区期末）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ①10()0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x =；③2()|1|f x x =-；具有性质P 的函数的个数为 ．21．（2020秋•朝阳区期末）已知函数2()21x x mf x +=+．①当0m =时，()f x 的值域为 ；②若对于任意a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 ．三．解答题（共11小题）22．（2020秋•顺义区期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,1400280000,400x x x R x ⎧-⎪=⎨⎪>⎩． （1）将利润()P x （单位：元）表示为月产量x 的函数；（利润=总收入-总成本） （2）若称()()P x g x x=为月平均单件利润（单位：元），当月产量x 为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？23．（2020秋•东城区期末）已知函数211,2()2(1),2x f x x log x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-⎩．（Ⅰ）求(f f （3）)的值并直接写出()f x 的零点； （Ⅰ）用定义证明()f x 在区间(,2)-∞上为减函数．24．（2020秋•昌平区期末）已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=有两个不等实根． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅰ）设方程的两个实根为1x ，2x ，且21212()()120x x x x +-+-=，求实数m 的值； （Ⅰ）请写出一个整数m 的值，使得方程有两个正整数的根．（结论不需要证明）25．（2020秋•西城区期末）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以x （单位：吨，100150)x 表示下一个销售季度内的市场需求量，y （单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润． （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅰ）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围．26．（2020秋•大兴区期末）已知函数()x f x a =，()a g x x =，其中0a >且1a ≠，(1)2f -=． （Ⅰ）求函数()f x 和()g x 的解析式；（Ⅰ）在同一坐标系中画出函数()f x 和()g x 的图象； （Ⅰ）设()()()h x f x g x =-，写出不等式()0h x >的解集．27．（2020秋•东城区期末）中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是1θ，环境温度是0θ，则经过时间t （单位：分）后物体温度θ将满足：010()kt e θθθθ-=+-⋅，其中k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml 初始温度为98C ︒的水在19C ︒室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：（Ⅰ）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t （单位：分）关于冷却后水温θ（单位：C)︒的函数关系，并选取一 组数据求出相应的k 值（精确到0.01)．（Ⅰ）“碧螺春”用75C ︒左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，200ml 水煮沸后在19C ︒室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．（A ）5（B ）7（C ）10（参考数据：79 4.369ln =，71 4.263ln =，66 4.190ln =，61 4.111ln =，56 4.025)ln =28．（2020秋•西城区期末）设函数()f x 的定义域为R ．若存在常数(0)m m ≠，对于任意x R ∈，()()f x m mf x +=成立，则称函数()f x 具有性质Γ．记P 为满足性质厂的所有函数的集合． （Ⅰ）判断函数y x =和2y =是否属于集合P ？（结论不要求证明）（Ⅰ）若函数()x g x =，证明：()g x P ∈； （Ⅰ）记二次函数的全体为集合Q ，证明：PQ =∅．29．（2020秋•大兴区期末）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格p （元)的关系如图；③每月需要各种开支2000元．（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？（Ⅰ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额． （Ⅰ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？30．（2021•崇明区二模）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件，需另投入成本为()C x 当年产量不足80件时，21()103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80件时10000.()511450C x x x=+-（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完． （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件)的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 31．（2020秋•朝阳区期末）设函数2()()mf x x m R x=+∈，且f （2）12=． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅰ）判断()f x 在区间(2,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅰ）若关于x 的方程()f x a =恰有三个实数解，写出实数a 的取值范围（不必证明）．32．（2020秋•海淀区期末）函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数k ，对任意的x D ∈，总有|()()|f x f x k --，则称函数()f x 具有性质()P k ．（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P （1），并说明理由． ①()2021f x =； ②()g x x =；（Ⅰ）已知()f x 为二次函数，若存在正实数k ，使得函数()f x 具有性质()P k ．求证：()f x 是偶函数； （Ⅰ）已知0a >，k 为给定的正实数，若函数2()log (4)x f x a x =+-具有性质()P k ，求a 的取值范围．2021北京高一数学上学期期末汇编：函数的应用参考答案一．选择题（共13小题）1．【分析】利用函数的解析式，求出f （1），f （2）的值，再利用函数零点的判定定理分析即可得到答案． 【解答】解：因为函数5()2x f x x=-，所以15(1)2301f =-=-<， 253(2)2022f =-=>， 所以f （1）f （2）0<，根据函数零点的判定定理可得，函数()f x 在区间(1,2)上有零点． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，解题的关键是求出区间端点的函数值，判断函数值的乘积是否异号．2．【分析】由函数的解析式可得f （2）0<，f （3）0>，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点0x 所在的区间． 【解答】解：0x 是函数()4f x lnx x =+-的零点，f （2）220ln =-<，f （3）310ln =->，∴函数的零点0x 所在的区间为(2,3)，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3．【分析】根据奇偶性的定义先判断函数()f x 为偶函数，然后利用120x x +=，得到12x x =-，再结合()f x 为偶函数即可得到答案．【解答】解：函数2()cos f x x x =+，所以22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 故函数()f x 为偶函数， 又因为120x x +=， 所以12x x =-，则122()()()f x f x f x =-=，所以12()()0f x f x -=． 故选：D ．【点评】本题考查了函数性质的应用，涉及了函数奇偶性的判断，解题的关键是判断出函数为偶函数，属于基础题．4．【分析】根据题意，逐年列出生产总值能耗，即可得到答案． 【解答】解：设2015年该企业单位生产总值能耗为a ， 则2016年该企业单位生产总值能耗为(1)a x -， 2017年该企业单位生产总值能耗为2(1)a x -， 该企业单位生产总值能耗为3(1)a x -， 该企业单位生产总值能耗为4(1)a x -， 该企业单位生产总值能耗为5(1)a x -， 由题设可得5(1)0.8a x a -=， 故5(1)0.8x -=． 故选：D ．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，涉及了根据实际问题选择函数类型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型，属于基础题．5．【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可． 【解答】解：函数3()7f x x x =--是连续函数， f （2）81710=--=-<， f （3）2727180=--=>， f ∴（2）f （3）0<，由零点判定定理可知函数的零点在(2,3)． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题． 6．【分析】根据题意，得到9009010I lgI =且6006010Ilg I =，然后利用对数的运算性质和运算法则进行求解，即可得到答案．【解答】解：根据题意，声强级y （单位：)dB 与声强度I （单位：2/)W m 之间的关系为010Iy lgI =，则有9009010I lgI =且6006010Ilg I =， 故906090600000309060101010()I I I Ilg lg lg lg I I I I =-=-=-， 则90609009000060603()I I I I Ilg lg lg lg I I I I I =-=⨯=， 所以39060101000I I ==． 故选：D ．【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了对数的运算，解题关键是利用对数的运算法则和运算性质对等式进行变形，属于基础题．7．【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，再通过计算f （1）、f （2）的值，发现f （1）f ⋅（2）0<，即可得到零点所在区间． 【解答】解：()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，f （1）20=-<，f （2）210ln =+>，f ∴（2）f ⋅（1）0<，根据零点存在性定理，可得函数()23f x lnx x =+-的零点所在区间为(1,2)．故选：A ．【点评】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．8．【分析】()43x f x e x =+-，()f x 是增函数，0x 是()f x 的零点，由11()()042f f <，可得结论．【解答】解：设()43x f x e x =+-，显然()f x 是(0,)+∞上的增函数，0x 是连续函数()f x 的零点．因为1411()43044f e =+⨯-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，11()()042f f <， 故01(4x ∈，1)2，故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．9．【分析】由题意画出图形，不妨设a b c <<，则(2,0)a ∈-，再由f （b ）f =（c ）求得1bc =，则答案可求． 【解答】解：作出函数||,0()12,lnx x ef x x x e e<⎧⎪=⎨-+>⎪⎩的图象如图，不妨设b c a <<，则(,2)a e e ∈，由f （b ）f =（c ），得||||lnb lnc =，即lnb lnc -=， ()0ln bc ∴=，则1bc =． (,2)abc a e e ∴=∈．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10．【分析】对应各个选项的函数结合图象逐个分析即可求解． 【解答】解：由函数图象可知函数单调递增，但是趋于平缓， 选项A ：若(0,1)a ∈，则它在(0,)+∞递减，(1,)a ∈+∞，它在(0,)+∞上递增且递增速率变大，故A 错误，选项B ：若(0,1)a ∈，则它在(0,)+∞递减，(1,)a ∈+∞，它在(0,)+∞上递增且递增速率变小，B 正确，选项C ：当0k >时，kx在(0,)+∞递减，C 错误， 选项D ：当0a >时，它开口向上，不符合已知，D 错误， 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象以及函数的单调性，考查了学生对函数性质的理解，属于中档题． 11．【分析】根据22,0()11,0x x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩，分0x 和0x >两种情况，求出()f x 的零点．【解答】解：因为22,0()11,0x x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩，所以当0x 时，由220x x -=，可得0x =， 当0x >时，由110x-=，解得1x =， 所以()f x 的零点个数为2．故选：C ．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 12．【分析】函数()f x 在其定义域上连续，同时可判断f （4）0<，f （2）0>；从而判断． 【解答】解：函数26()()log f x f x x x==-，在其定义域上连续， f （4）3202=-<， f （2）310=->；故函数()f x 的零点在区间(2,4)上， 故选：C ．【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．13．【分析】由()0g x =得()f x x a =--，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由()0g x =得()f x x a =--， 作出函数()f x 和y x a =--的图象如图：当直线y x a =--的截距1a -，即1a -时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数()g x 存在2个零点， 故实数a 的取值范围是[1-，)+∞， 故选：C ．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键． 二．填空题（共8小题）14．【分析】根据题意，直接列出函数关系式，根据题意求出x 的最值，即可得到x 的取值范围．【解答】解：由题意可得x 与y 之间的函数关系为3000 2.5y x =-， 由题意可知，最少买100千克，最多买300012002.5=千克， 所以x 的取值范围为[100，1200]． 故答案为：3000 2.5y x =-；[100，1200]．【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，解题的关键是正确理解题意，属于基础题． 15．【分析】利用根的分布以及韦达定理列出关于a 的不等式组，求解即可得到答案． 【解答】解：设方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根为1x ，2x ， 则10x >，20x >，所以21212(2)4102010a x x x x a ⎧=--⨯⋅>⎪-⎪+=->⎨⎪=>⎪⎩， 解得01a <<，故实数a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．【点评】本题考查了根的分布问题，涉及了根与系数关系的应用，属于基础题．16．【分析】利用函数的解析式求解函数值即可得到第一问；画出函数的图象，通过数形结合求解a 的范围即可． 【解答】解：函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩，f （2）0.52log 2log 21==-=-； 函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩的图象如图：函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，(1a ∈-，0]． 故答案为：1-；(1-，0]．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．17．【分析】设原蓄水池的长、宽、高分辨为a 、b 、h ，重建价格为y ，根据题意有150ab =，且018a <，018b <，写出造价关于b 的关系式，利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设原蓄水池的长、宽、高分辨为a 、b 、h ，重建价格为y ， 根据题意有150ab =，且018a <，018b <， 则重建的池壁造价为1(23)300y ah bh =+⨯， 重建的池底造价为2801508012000y ab =⨯=⨯=， 12300(3)30012000y y y b h b=+=+⨯+， 当3003b b=，即10b =时，y 取得最小值，此时1501510a ==，1800012000min y h =+． 故答案为：15，10．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是基础题． 18．【分析】（1）直接把点(4,64)代入72mt y -=，即可求得m 的值； （2）由题意，构造不等式，求解得答案．【解答】解：（1）函数72(mt y m -=为常数）经过点(4,64)， 74642m -∴=，解得14m =； （2）由（1）得1742t y -=，由174122t -， 解得32t ．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 故答案为：（1）14；（2）32． 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是基础题． 19．【分析】（Ⅰ）把1a =代入函数解析式，分段求解得答案；（Ⅰ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性求得值域，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）1a =时，函数12,1()2||,1x x f x x x -⎧<=⎨-⎩，当1x <时，由120x -=，得x ∈∅； 当1x 时，由2||0x -=，解得2x =． ∴若1a =，则函数()f x 的零点是2；（Ⅰ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集， 当12a =时，由12x <，得1()2x f x -=∈，由12x ，得()1(f x x =-∈-∞，1]2，而(0，(2-∞，1]2，不满足题意；当1a =时，由1x <，得1()2(0,1)x f x -=∈， 由1x ，()2(f x x =-∈-∞，1]， 而(0，1)(⊆-∞，1]，满足题意； 当32a =时，由32x <，得1()2x f x -=∈， 由32x，得()3(f x x =-∈-∞，3]2， 而(0(⊆-∞，3]2，满足题意．综上可得函数()f x 的包容数是②③． 故答案为：（Ⅰ）2；（Ⅰ）②③．【点评】本题考查函数零点的求法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题． 20．【分析】直接利用题中给出的函数()f x 具有性质P 的定义，对选项中的三个函数逐一分析判断，是否存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，即可得到答案． 【解答】解：函数10()0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，因为函数()f x 为奇函数，可找到关于原点对称的点，比如11x =，21x =-，则有1(1)11(1)(1)()0222f f f +--+-===， 故选项①具有性质P ； 函数2()f x x =，假设存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=， 即2221212()22x x x x ++=，解得12x x =，与假设矛盾， 故不存在，故选项②不具有性质P ；函数2()|1|f x x =-，故函数()f x 为偶函数，且(0)1f =， 令2()|1|1f x x =-=，解得x =则存在12x x ==(0)1f f ===， 故选项③具有性质P ．所以具有性质P 的函数的个数为2个． 故答案为：2．【点评】本题考查了函数与方程的应用，涉及了新定义的理解，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题． 21．【分析】①1()121xf x =-+，变形可得21xy y =-，由指数函数的性质可得01y y >-，求出y 的取值范围，即可得答案； ②1()121x m f x -=++，由三角形三边关系可得f （a ）f +（b ）f >（c ）对于a ∀，b ，c R ∈都恒成立，分三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k 转化为f （a ）f +（b ）的最小值与f （c ）的最大值的不等式，进而求出实数m 的取值范围．【解答】解：①当0m =时，21()12121x x xf x ==-++， 变形可得21x y y =-，则01yy>-，解得01y <<，即函数的值域为(0,1)，②根据题意，21()12121x x xm m f x +-==+++， 若f （a ），f （b ），f （c ）的值总可作为某一个三角形的三边长， 则f （a ）f +（b ）f >（c ）对于a ∀，b ，c R ∈都恒成立，当10m -=，()1f x =，此时，f （a ）f =（b ）f =（c ）1=，构成一个等边三角形的三边长，满足条件． 当10m ->，()f x 在R 上是减函数，则有1f <（a ）11m m <+-=，同理1f <（b ）m <，1f <（c ）m <， 由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得2m ，解得12m <． 当10m -<，()f x 在R 上是增函数，m f <（a ）1<， 同理m f <（b ）1<，m f <（c ）1<， 由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得21m ， 解得12m，则112m <， 综上，m 的取值范围为1[2，2]．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数单调性的判断以及值域的计算，属于难题．三．解答题（共11小题）22．【分析】（1）利用利润公式直接解出；（2）将()g x 表示出来，利用基本不等式，即可求解．【解答】解：（1）当1400x 时，2211()400200001003002000022P x x x x x x =---=-+-；当400x >时，()800001002000060000100P x x x =--=-； 2130020000,1400()260000100,400x x x P x x x ⎧-+-⎪∴=⎨⎪->⎩； （2）由（1）知，120000300,14002()60000100,400x x xg x x x⎧--+⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，当1400x时，120000()300()30021002g x x x =-+-=，当且仅当200002x x=，即200x =时取等号； 当400x >时，60000()10050g x x=-<，此时无最值； 故x 取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元． 【点评】本题考查了函数的应用，基本不等式的应用，属于基础题． 23．【分析】（Ⅰ）利用分段函数的表达式，代入求解即可． （Ⅰ）利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f （3）2log 21==，则(f f （3）)f =（1）11012=+=-，()f x 的零点为1和2． （Ⅰ）1x ∀，2(,2)x ∈-∞，且12x x <，则21121212121111()()1(1)2222(2)(2)x x f x f x x x x x x x --=+-+=-=------， 由122x x <<，得210x x ->，120x -<，220x -<， 所以12()()0f x f x ->， 即12()()f x f x >，所以()y f x =在区间(,2)-∞上为减函数．【点评】本题主要考查分段函数的应用，结合函数单调性的定义是解决本题的关键，是基础题． 24．【分析】（Ⅰ）根据根与系数的关系得到关于m 的不等式，求出m 的范围即可； （Ⅰ）求出122(1)x x m +=+，得到关于m 的方程，解出即可； （Ⅰ）写出满足条件的m 的值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：△224(1)4(3)0m m =+-->， 解得2m >-，故m 的取值范围是(2,)-+∞； （Ⅰ）由题意：122(1)x x m +=+， 故21212()()120x x x x +-+-=， 即24(1)2(1)120m m +-+-=， 解得1m =或52m =-，由（Ⅰ）得：2m >-，故1m =；（Ⅰ）满足要求的6m =，此时13x =，211x =．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想，是基础题． 25．【分析】（Ⅰ）直接由题意分段写出[100x ∈，130]和(130x ∈，150]时的利润函数即可；（Ⅰ）由（Ⅰ）知，当(130,150)x ∈时，利润y 为65000元，不少于57000元，当[100x ∈，130]时，求解不等式8003900057000x -，即可得到x 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当[100x ∈，130]时， 500300(130)80039000y x x x =--=-，当(130x ∈，150]时，50013065000y =⨯=． 80039000,[100,130]65000,(130,150)x x y x -∈⎧∴=⎨∈⎩；（Ⅰ）由（Ⅰ）知，当(130,150)x ∈时，利润y 为65000元，不少于57000元， 当[100x ∈，130]时，由8003900057000x -，解得120x ．故下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围为[120，150]．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查一次不等式的解法，正确理解题意是关键，是基础题． 26．【分析】（Ⅰ）对于()f x ，由(1)2f -=可得a 的值，即可得()f x 、()g x 的解析式，即可得答案， （Ⅰ）由（Ⅰ）的结论，作出函数的图象，（Ⅰ）求出()h x 的解析式，分析()h x 的单调性以及1()02h =，据此可得()0h x >的解集，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，()x f x a =，1(1)2f a --==， 则有12a =，则1()()2x f x =，12()g x x ==（Ⅰ）由（Ⅰ）的结论：1()()x f x=，()g x =其图象如图：（Ⅰ）1()()()()2x h x f x g x =-=0x ，即()h x 的定义域为[0，)+∞，1()()2x f x =在[0，)+∞上为减函数，12()g x x =[0，)+∞为增函数，则()h x 在[0，)+∞上为减函数，且1122111()()()0222h =-=，若()0h x >，必有102x <，即不等式的解集为[0，1)2．【点评】本题考查函数的图象以及函数单调性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题． 27．【分析】（Ⅰ）把已知等式变形，化为1001t ln k θθθθ-=-，分别把三组数据代入，即可求得k 值；（Ⅰ）由（Ⅰ）得792019t lnθ=-，取75θ=求得t 值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由010()kt e θθθθ-=+-⋅，得010kt e θθθθ--=-，即010kt lnθθθθ--=-，1001t ln k θθθθ-=-． 在环境温度为019C θ=︒，选取从198C θ=︒下降到90C θ=︒所用时间约为2分钟这组数据， 有179271ln k =，即79710.052ln ln k -=≈；选取从198C θ=︒下降到85C θ=︒所用时间约为3.4分钟这组数据， 有1793.466ln k =，即79660.053.4ln ln k -=≈；选取从198C θ=︒下降到80C θ=︒所用时间约为5分钟这组数据， 有179561ln k =，即79610.055ln ln k -=≈．故0.05k ≈；（Ⅰ）200ml 水煮沸后在19C ︒室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B ． 理由如下： 由（Ⅰ）得792019t lnθ=-， 当75C θ=︒时，有20(7956) 6.88t ln ln =⨯-≈．所以200ml 水煮沸后在19C ︒室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳． 故选：B ．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是中档题．28．【分析】（Ⅰ）根据性质Γ的定义判断y x =与2y =是否具有性质Γ，由此判断出函数y x =和2y =是否属于集合P ；（Ⅰ）先根据定义证明函数()x g x =具有性质Γ，然后即可证明()g x P ∈； （Ⅰ）将问转化为证明二次函数不具备性质Γ，利用反证法进行证明即可； 【解答】（Ⅰ）解：函数y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（Ⅰ）证明：因为()x g x =，不妨令()()g x m mg x +=，所以x m x m +=，所以m m =，关于m 的方程有解，2m =，所以函数()x g x =具有性质Γ， 则()g x P ∈；（Ⅰ）证明：根据题意可知，PQ =∅等价于二次函数不具备性质Γ，假设存在二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠具备性质Γ，所以存在常数(0)m m ≠对于任意x R ∈都有()()f x m mf x +=成立， 即22()()a x m b x m c amx bmx cm ++++=++成立，即222(2)ax am b x am bm c amx bmx cm +++++=++成立， 所以22a am am b bm am bm c cm =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得0a =，0b =，1m =，这与假设中的0a ≠矛盾， 所以假设不成立， 故二次函数不具备性质Γ， 所以PQ =∅．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．29．【分析】（Ⅰ）利用该店经营的利润只能保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支以及每月所需的各种开支，据此列出方程，即可确定商品的价格；（Ⅰ）设月利润和除职工最低生活费的余额为L ，列出L 与售价P 的函数关系式，根据函数的性质求出L 取最大值时自变量P 的值，即可确定商品的价格；（Ⅰ）企业乙脱贫即还清5.8万元的转让价格和5万元的无息贷款，要求最早脱贫时间，由（2）中P 的值，根据题意设可在n 年后脱贫，则此n 年经营的利润5000058000+，求出n 的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据图象，当1420P 时，设Q kP b =+， 将点(14,22)和(20,10)代入， 则有14222010k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得250k b =-⎧⎨=⎩，则250Q P =-+；当2026P 时，设Q mP n =+， 将点(20,10)和(26,1)代入，则有2010261m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得 1.540m n =-⎧⎨=⎩，所以 1.540Q P =-+；则250,14201.540,2026P P Q P P -+⎧=⎨-+<⎩，若商品的价格应定为P 元时，该店刚好能够维持职工生活， 则有100(14)36002000P Q -=+，分两种情况：第一种：当1420P 时，即100(14)(250)36002000P P --+=+，解得118P =，221P=（舍)； 第二种：当2026P 时，即100(14)( 1.540)36002000P P --+=+，解得122P =，2563P =（舍)， 故为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在[18，22]元范围内；（Ⅰ）设月利润和除职工最低生活费的余额为L ，则100(14)2000L P Q =--，分两种情况：第一种：当1420P 时，即2100(14)(250)3600200780072000P P P P --+-=-+-， 则当780019.52(200)P -==⨯-时，L 有最大值， 此时4(200)(7200)78007800360040504(200)L ⨯-⨯--⨯=-=⨯-； 第二种：当2026P 时，即2100(14)( 1.540)2000150610058000P P P P --+-=-+-， 则当6100612(150)3P -==⨯-时，L 有最大值， 此时4(150)(58000)610061002200020164(150)3L ⨯-⨯--⨯=-=⨯-， 因为2405020163>， 所以当19.5P =元时，月利润扣除最低生活费的余额最大为4050元；（Ⅰ）可设在n 年后脱贫，由题意可得12(40503600)5000058000n -+，解得20n ，故乙只依靠该店，不能在3年内脱贫．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，要求学生能够从图象上准确地获取信息，解题的关键是正确理解题意，构建数学模型，属于中档题．30．【分析】（1）分两种情况进行研究，当080x <<时，投入成本为21()103C x x x =+（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当80x 时，投入成本为10000.()511450C x x x=+-（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当080x <<时，利用二次函数求最值，当80x 时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）①当080x <<时，根据年利润=销售收入-成本，2211()50102504025033L x x x x x x ∴=---=-+-； ②当80x 时，根据年利润=销售收入-成本，。

绝密★启用前2020-2021学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a x与y＝log a x的图象是（）A．B．C．D．3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．B．y＝2x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x5．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＜D．＞6．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．0 C．1 D．27．已知函数f（x）＝，在下列区间中，包含f（x）的零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）8．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．10．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题）.11．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5＝0”的否定是．12．函数的定义域为13．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为．14．设f（x）＝，则f（f（﹣2））＝．15．设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②f（x）＝x2；③f（x）＝|x2﹣1|；具有性质P的函数的个数为．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A＝{x|﹣5＜x≤}，B＝{x|x＜1或x＞2}，U＝R．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求A∩（∁U B）．17．某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图：（Ⅰ）求甲在比赛中得分的均值和方差；（Ⅱ）从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．18．对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（Ⅰ）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断之间的大小关系．19．已知函数f（x）＝log2|x|．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并给予证明．20．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，∴A∩B＝{2，4}，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a x与y＝log a x的图象是（）A．B．C．D．解：a＞1时，函数y＝a x与y＝log a x的均为增函数，故选：B．3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．4．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．B．y＝2x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x解：，y＝2x和y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上都为增函数，y＝2﹣x在（﹣1，1）上是减函数．故选：D．5．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＜D．＞解：∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴．故选：D．6．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣1）＝﹣f（1），又当x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（1）＝12+1＝2，∴f（﹣1）＝﹣2，故选：A．7．已知函数f（x）＝，在下列区间中，包含f（x）的零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）解：函数f（x）＝f（x）＝，在其定义域上连续，f（4）＝﹣2＜0，f（2）＝3﹣1＞0；故函数f（x）的零点在区间（2，4）上，故选：C．8．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b解：1＜log37＜2，b＝21.1＞2，c＝0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．9．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：B．10．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A．B．C．D．解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53＝10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，∴每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1﹣＝，故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．11．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5＝0”的否定是对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0 ．解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5＝0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12．函数的定义域为[0，1）解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．13．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为0.55 ．解：由频率分布直方图得：日销售量不低于50件的频率为：1﹣（0.015+0.03）×10＝0.55．∴估计日销售量不低于50件的概率为0.55．故答案为：0.55．14．设f（x）＝，则f（f（﹣2））＝．解：∵函数f（x）＝，∴f（f（﹣2））＝f（）＝，故答案为：15．设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②f（x）＝x2；③f（x）＝|x2﹣1|；具有性质P的函数的个数为 2 ．解：函数，因为函数f（x）为奇函数，可找到关于原点对称的点，比如x1＝1，x2＝﹣1，则有，故选项①具有性质P；函数f（x）＝x2，假设存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，即，解得x1＝x2，与假设矛盾，故不存在，故选项②不具有性质P；函数f（x）＝|x2﹣1|，故函数f（x）为偶函数，且f（0）＝1，令f（x）＝|x2﹣1|＝1，解得，则存在，使得，故选项③具有性质P．所以具有性质P的函数的个数为2个．故答案为：2．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A＝{x|﹣5＜x≤}，B＝{x|x＜1或x＞2}，U＝R．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求A∩（∁U B）．解：（Ⅰ）∵集合A＝{x|﹣5＜x≤}，B＝{x|x＜1或x＞2}，∴A∩B＝{x|﹣5＜x＜1}．（Ⅱ）∵U＝R，B＝{x|x＜1或x＞2}，∴∁U B＝{x|1≤x≤2}．∴A∩（∁U B）＝{x|1≤x≤}．17．某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图：（Ⅰ）求甲在比赛中得分的均值和方差；（Ⅱ）从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．解：（Ⅰ）甲在比赛中得分的均值为，方差为，（Ⅱ）甲得分在20分以下的6场比赛分别为7，8，10，15，17，19．从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：（7，8），（7，10），（7，15），（7，17），（7，19），（8，10），（8，15），（8，17），（8，19），（10，15），（10，17），（10，19），（15，17），（15，19），（17，19），共15种，其中抽到2场都不超过均值的情形是：（7，8），（7，10），（7，15），（8，10），（8，15），（10，15），共6种，所以抽到2场都不超过均值的概率为P＝．18．对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（Ⅰ）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断之间的大小关系．解：（Ⅰ）因为3×7＜11×2，所以（2，7）的“下位序对”是（3，11）；（Ⅱ）因为（a，b）是（c，d）的“下位序对”，所以ad＜bc，因为a，b，c，d均为正数，，所以，同理可证，综上所述，．19．已知函数f（x）＝log2|x|．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并给予证明．解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝log2|x|，则有|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，＝log2|﹣|＝log2（﹣）＝；（Ⅱ）f（x）＝log2|x|，其定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）＝log2|﹣x|＝log2|x|＝f（x），则f（x）为偶函数；（Ⅲ）f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，证明：当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝log2（﹣x），设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）＝log2（﹣x1）﹣log2（﹣x2）＝log2，又由x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，所以＞1，所以f（x1）﹣f（x2）＝log2＞0，故f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．20．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝50x﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝50x﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）＝．（2）①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元。

北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{1,0,1}A =-，集合{}21B x N x =∈=，那么A B =（ ）A. {1}B. {0,1}C. {1,1}-D. {1,0,1}-【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B ，集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{1,0,1}A =-，{}{}211B x N x =∈==，所以AB ={}1.故选：A.2. 已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（ ）A. 52-B. 32-C.32D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而根据已知条件完成求解. 3. 若扇形的半径为1，周长为π，则该扇形的圆心角为（ ） A. π B. 1π-C. 2π-D.12π- 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先求解出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长公式求解出扇形的圆心角. 【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，弧长为l ， 因为21l r r π+=⎧⎨=⎩，所以2l π=-，所以221l r παπ-===-， 故选：C.4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若a b >，则22a b >B. 若0a b >>，则22ac bc >C. 若a b <，0c >，则ac bc >D. 若0a b <<，0c >，则c ca b> 【答案】D 【解析】 分析】采用举例的方法判断A ；根据0c 的情况判断B ；根据不等式的性质判断CD ，由此确定出真命题.【详解】A ．取1,2a b ==-，此时a b >，2214a b =<=，故为假命题； B ．当0c时，220ac bc ==，故为假命题；C ．因为,0a b c <>，所以a c b c ⋅<⋅，所以ac bc <，故为假命题；D ．因为0a b <<，所以110a b >>，又因为0c >，所以c ca b>，故为真命题， 故选：D.5. 已知tan 1α=-，则222sin 3cos αα-=（ ） A. 74-B. 12-C.12D.34【答案】B 【解析】 【分析】弦化切后，代入tan 1α=-可求得结果.【详解】222sin 3cos αα-=22222sin 3cos sin cos αααα-+222tan 3tan 1αα-=+222(1)31(1)12⨯--==--+。

北京市石景山区2020—2021学年高一上期末数学试卷含答案解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4，5}，那么M∩N=（）A．∅B．{1，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．{2，3}2．sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）A．f（x）= B．f（x）=lgx C．f（x）=|x| D．f（x）=e x4．下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2cosx B．y=x2sinx C．y=2﹣x D．y=|lnx|5．若要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，能够把函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一段图象如图所示，则ω=（）A．B．C．D．7．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．已知函数假如f（x）=3，那么x的值是（）A．1 B．C．D．9．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．10．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[x+]=[x]C．[2x]=2[x]D．[x]+[x+]=[2x]二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11．log25，2﹣3，三个数中最小的数是．12．已知||=||=1，，则平面向量与夹角的大小为．13．在△ABC中，∠A=90°，且，则边AB的长为．14．股票交易的开盘价是如此确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由运算机依照这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）依照以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．卖家意向价（元） 2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元） 2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100三、解答题共6个小题，每小题8分，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知向量，向量．（Ⅰ）若向量与向量垂直，求实数k的值；（Ⅱ）当k为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向依旧反向．16．A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．17．已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）（1）若函数f（x）在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；（2）将函数f（x）图象上所用的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象不通过第二象限，求a的取值范畴．18．某同学用五点法画函数在某一ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 3 ﹣3 0（Ⅰ）请将表数据补充完整，并直截了当写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．19．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数y=f （x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．20．定义：关于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判定f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范畴．2020-2021学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4，5}，那么M∩N=（）A．∅B．{1，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．{2，3}【考点】交集及其运算．【专题】运算题；规律型；集合．【分析】直截了当利用交集的求法，求解即可．【解答】解：集合M={1，2，3}，N={2，3，4，5}，那么M∩N={2，3}．故选：D．【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．2．sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】运算题．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．【解答】解：sin210°=sin=﹣sin30°=﹣．故选B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练把握诱导公式是解本题的关键．3．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）A．f（x）= B．f（x）=lgx C．f（x）=|x| D．f（x）=e x【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出给出函数的定义域，然后依次求出选项中四个函数的定义域，比对后即可得到答案．【解答】解：要使函数y=有意义，则x＞0，因此函数y=的定义域为（0，+∞）．选项中给出的函数的定义域为{x|x≠0}；f（x）=lgx的定义域为（0，+∞）；f（x）=|x|的定义域为R；f（x）=e x的定义域为R．因此与函数y=有相同定义域的是函数f（x）=lgx．故选B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域确实是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础题．4．下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2cosx B．y=x2sinx C．y=2﹣x D．y=|lnx|【考点】函数奇偶性的判定．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】依照偶函数的定义进行判定即可．【解答】解：A．f（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx=f（x），则函数为偶函数，满足条件．B．f（﹣x）=（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx=﹣f（x），则函数为奇函数，不满足条件．C．函数为单调递减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：A．【点评】本题要紧考查函数奇偶性的判定，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．5．若要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，能够把函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】运算题；三角函数的图像与性质．【分析】函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），再由函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣）=3sin2（x﹣），故要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移个单位即可，故选：A．【点评】本题要紧考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律的应用，属于基础题．6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一段图象如图所示，则ω=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】运算题；规律型；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用函数的图象，求出ω，然后求解φ的值．【解答】解：由题意可知：T=4，∴，ω=，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象的变换与应用，差不多知识的考查．7．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】运算题．【分析】依照函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．【解答】解：依照函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选B．【点评】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．8．已知函数假如f（x）=3，那么x的值是（）A．1 B．C．D．【考点】分段函数的应用．【专题】运算题；规律型；解题思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】判定分段函数的值域，然后列出方程求解即可．【解答】解：函数可得x≤﹣1时，x+2≤1，﹣1＜x＜2时，x2∈[0，4），现在：x2=3，解得x=．x≥2时，2x≥4．综上x=．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值以及方程根的关系，是基础题．9．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取专门值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】关于函数的选择题，从专门值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[x+]=[x]C．[2x]=2[x]D．[x]+[x+]=[2x]【考点】函数的值．【专题】运算题；压轴题；新定义．【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案．【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，因此A选项为假．对B，设x=1.8，则[x+]=2，[x]=1，因此B选项为假．对C，x=﹣1.4，则[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，因此C选项为假．故D选项为真．故选D．【点评】本题考查函数的求值，明白得题意，特值处理是关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11．log25，2﹣3，三个数中最小的数是2﹣3．【考点】对数值大小的比较．【专题】运算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵log25＞log24=2，2﹣3=，=＞1，∴log25，2﹣3，三个数中最小的数是2﹣3．故答案为：2﹣3．【点评】本题考查三个数中最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．12．已知||=||=1，，则平面向量与夹角的大小为60°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】运算题．【分析】利用向量的数量积公式：两向量的模与它们的夹角余弦的乘积，列出方程求出夹角余弦，求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ，则∵θ∈[0，π]∴θ=60°故答案为60°【点评】本题考查利用向量的数量积公式表示出向量的夹角余弦，进一步求出向量的夹角．13．在△ABC中，∠A=90°，且，则边AB的长为1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】运算题；平面向量及应用．【分析】依照直角三角形中三角函数的定义，可得cosB==，由此结合题意算出||2=1，解之即可得到边AB的长．【解答】解：∵△ABC中，∠A=90°，∴cosB==又∵，可得=﹣∴，即化简得||2=1，解之得||=1，即边AB的长为1故答案为：1【点评】本题给出直角三角形中向量的数量积的值，求边的长度．着重考查了三角函数在直角三角形中的定义和向量的数量积等知识，属于基础题．14．股票交易的开盘价是如此确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由运算机依照这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）依照以下数据，这种股票的开盘价为 2.2元，能够成交的股数为600．卖家意向价（元） 2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元） 2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100【专题】运算题；探究型；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别运算出开盘价为2.1、2.2、2.3、2.4元买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论．【解答】解：依题意，当开盘价为2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，现在能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，现在能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，现在能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，现在能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积存，属于中档题．三、解答题共6个小题，每小题8分，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知向量，向量．（Ⅰ）若向量与向量垂直，求实数k的值；（Ⅱ）当k为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向依旧反向．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】运算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求出与的坐标．（Ⅰ）直截了当由向量垂直的坐标表示列式求实数k的值；（Ⅱ）由向量共线的坐标运算求得k值，代入向量验证是同向依旧反向．【解答】解：∵，，∴=（1﹣3k，2+2k），=（10，﹣4），（Ⅰ）若向量与向量垂直，则10（1﹣3k）﹣4（2+2k）=0，解得：k=；（Ⅱ）若向量与向量平行，则﹣4（1﹣3k）﹣10（2+2k）=0，解得：k=﹣3．现在=（10，﹣4），=（10，﹣4），两向量同向．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量平行和垂直的坐标运算，是中档题．16．A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．【考点】同角三角函数差不多关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）依照角θ的终边与单位交点为（cosθ，sinθ），结合同角三角函数关系和sinθ=，可得B点坐标；（2）由（1）中结论，结合诱导公式化简，代入可得答案．【解答】解：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），则y=sinθ=．x=﹣=﹣，即B点坐标为：（2）∵===．【点评】本题考查的知识点是同角三角函数差不多关系的运用，诱导公式，难度不大，属于基础题．17．已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）（1）若函数f（x）在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；（2）将函数f（x）图象上所用的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象不通过第二象限，求a的取值范畴．【考点】对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化；对数函数的值域与最值．【专题】运算题；函数的性质及应用．【分析】（1）易知函数f（x）在[2，3]上单调，从而可知log a2+log a3=2；从而解得．（2）函数f（x）=log a x y=log a（x+2）y=log a（x+2）﹣1；从而可得；从而解得．【解答】解：（1）∵函数f（x）在[2，3]上单调，又∵函数f（x）在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，∴log a2+log a3=2；即log a6=2；解得，a=；（2）函数f（x）=log a x y=log a（x+2）y=log a（x+2）﹣1；∵y=log a（x+2）﹣1的图象不通过第二象限，∴；解得，a≥2．【点评】本题考查了对数函数的运算及图象的变换应用，属于基础题．18．某同学用五点法画函数在某一ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 3 ﹣3 0（Ⅰ）请将表数据补充完整，并直截了当写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【专题】运算题；图表型；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）由x∈，可得2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象即可求得f（x）在区间上的最小值为﹣3．【解答】解：（Ⅰ）依照表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=﹣，ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 3 0 ﹣3 0函数表达式为f（x）=3sin（2x﹣）．（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）∵x∈，∴2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）=3sin（2x﹣）∈[﹣3，]．∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）在区间上的最小值为﹣3．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，是中档题．19．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数y=f （x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．【考点】函数的图象；二次函数在闭区间上的最值．【专题】运算题；作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）化简f（x）=x|x﹣2|=，从而作其图象，并写出单调增区间；（Ⅱ）化简f（x）=，分类讨论以确定函数的单调性，从而比较以确定函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|=，故作其图象如右图，函数y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=，①当1＜＜2，即2＜a＜4时，f（x）在[1，]上是增函数，在（，2]上是减函数；而f（1）=a﹣1，f（2）=2a﹣4，故f（1）﹣f（2）=a﹣1﹣2a+4=3﹣a，故当2＜a≤3时，f（1）≥f（2），故f min（x）=f（2）=2a﹣4；当3＜a＜4时，f（1）＜f（2），故f min（x）=f（1）=a﹣1；②当a≥4时，f（x）在[1，2]上是增函数，故f min（x）=f（1）=a﹣1；综上所述，f min（x）=．【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用．20．定义：关于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判定f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范畴．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则依照定义验证条件是否成赶忙可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范畴，可得答案．【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R）时，方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，因此f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，因此方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．令t=2x，t∈[，2]，则﹣2m=t+设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．因此t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．因此﹣m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]．【点评】本题要紧考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．2021年2月3日。

一．选择题（共6小题）1．（2020秋•西城区期末）若a b >，则一定有( )A ．11a b < B ．||||a b > C >D ．33a b >2．（2020秋•房山区期末）已知x ，y R ∈，且0x y >>，则下列结论正确的是( )A ．11x y > B ．1122x y >C ．11()()33x y > D ．33log log x y <3．（2020秋•东城区期末）下列命题为真命题的是( )A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，则22ac bc >C ．若a b <，0c >，则ac bc >D ．若0a b <<，0c >，则cca b >4．（2020秋•石景山区期末）若0a b >>，0c d <<，则一定有( )A ．abc d > B ．abc d < C ．abd c < D ．a bd c >5．（2020秋•海淀区期末）已知a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是() A ．22a b > B ．11a b < C ．||||a c b c > D ．c a c b -<-6．（2020秋•丰台区期末）若a b >，0c <，则下列不等式成立的是( )A ．22ac bc >B ．a bc c > C ．a c b c +<+ D ．a b c >-参考答案一．选择题（共6小题）1．【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于A ，若0a b >>，则11a b>，故A 错误； 对于B ，若0a b >>，则||||a b <，故B 错误；对于C ，若0a b >>，则22a b <，故C 错误；对于D ，若a b >，则33a b >显然成立，故D 正确．故选：D ．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．2．【分析】根据条件取2x =，1y =，可排除ACD ；由不等式的基本性质即可判断B ．【解答】解：由x ，y R ∈，且0x y >>，取2x =，1y =，则ACD 不成立；当0x y >>时，根据不等式的基本性质可知1122x y >成立，故B 正确．故选：B ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3．【分析】根据各选项的条件，取特殊值即可判断ABC ；由不等式的基本性质，即可判断D ．【解答】解：A ．由a b >，取1a =，1b =-，则22a b >不成立，故A 是假命题； B ．当0c =时，22ac bc >不成立，故B 是假命题；C ．由a b <，0c >，取1a =，2b =，1c =，则ac bc >不成立，故C 是假命题；D ．由0a b <<，可知11a b >，又0c >，∴c c a b>，故D 是真命题． 故选：D ． 【点评】本题考查了不等式的基本性质和命题真假的判断，属基础题．4．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：0c d <<， ∴11d c<， 又0a b >>， ∴a b d c<． 故选：C ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5．【分析】根据条件取1a=，1b=-，0c=，即可排除错误选项；由不等式的基本性质，即可判断D．【解答】解：由a，b，c R∈，且a b>，取1a=，1b=-，0c=，则选项ABC错误．由a b>，得a b-<-，c a c b∴-<-成立，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．6．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：a b>，0c<，22 ac bc ∴>，ac与bc大小关系不确定，a c b c+>+，a与b c-的大小关系不确定．则下列不等式成立的是A．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2021北京高三数学上学期期末汇编：函数一．选择题（共8小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数，则的值为 A．B ．C ．3D ．52．（2020秋•西城区期末）已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么 A ．（2）B ．（2）C ．（2）D ．（2）3．（2020秋•丰台区期末）下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意，都有；②存在区间，在区间上单调递减的函数是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•丰台区期末）若函数，则函数的值域为 A ．，B ．，C ．，，D ．5．（2020秋•东城区期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．7．（2020秋•石景山区期末）“”是“函数为奇函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020秋•西城区期末）设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得（c ）（c ），则称函数和在上具有性质．现有三组函数：2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩…1(())2f f ()1232()f x ()f 2=f 2=-f 2>-f 2<-x ()()f x f x -=-D ()f x D ()sin y x =3y x =211y x =+y lnx=2,0()2,0x x x f x x ⎧-=⎨<⎩…()f x ()[01)(-∞0](-∞0)(0⋃1)(,1)-∞(0,1)()2x y -=y lnx =1y x =sin y x=(0,)+∞()sin y x =3y x =2x y -=||y ln x =ϕπ=sin(2)y x ϕ=+()()f x ()g x D c D ∈f g +0=()f x ()g x D P①，；②，；③，．其中具有性质的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二．填空题（共5小题）9．（2020秋•房山区期末）函数的定义域为 ．10．（2020秋•石景山区期末）函数的定义域为 ．11．（2020秋•东城区期末）函数的定义域是 ．12．（2020秋•顺义区期末）已知函数，能说明既是偶函数又在区间上单调递减的一组整数，，的值依次是 ．13．（2020秋•东城区期末）已知函数，，，其中表示不超过的最大整数．例如：，，．① ；②若对任意，都成立，则实数的取值范围是 ．()f x x =2()g x x =()2x f x -=()x g x e =-2()f x x =-()2x g x =P ()(21)2y ln x =++()f x lnx =+()f x lnx =+2()f x ax bx c =++()f x (0,)+∞a b c [sin ][cos ]()23x x f x =+[0x ∈2]π[]x x [1]1=[0.5]0=[0.5]1-=-2(3f π=()f x x a >+[0x ∈2]πa2021北京高三数学上学期期末汇编：函数参考答案一．选择题（共8小题）1．【分析】推导出，从而，由此能求出的值．【解答】解：函数，，．故选：．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】根据题意，由函数的图象可得，结合函数的奇偶性可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象，，则有，又由为奇函数，则（2），则有（2）（1），故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数图象的应用，属于基础题．3．【分析】由基本初等函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．【解答】解：对于，为奇函数，满足①，且在区间，上单调递减，满足②，故符合题意；对于，为奇函数，满足①，但在上单调递增，不满足②，故不符合题意；对于，为偶函数，不满足①，故不符合题意；对于，为非奇非偶函数，不满足①，故不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4．【分析】根据分段函数的解析式即可求出每段上的范围，然后即可得出的值域．【解答】解：时，；时，，的值域为：．故选：．【点评】211()log 122f ==-1(((1)2f f f =-1(())2f f 2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩…211()log 122f ∴==-113(())(1)2122f f f -=-=+=B (2)(1)2f f -<-=(2)(1)2f f -<-=(2)(1)2f f -->--=-()f x f (2)f =--f f >2=-C A sin y x =(2π)πA B 3y x =R B C 211y x =+C D y lnx =D A ()f x ()f x ()f x 0x …20x -…0x <021x <<()f x ∴(,1)-∞D本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．5．【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．【解答】解：对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，但在区间上单调递减，不符合题意；对于，为奇函数，由正弦函数的图象可知，在区间上单调递增，符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．6．【分析】由基本初等函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】解：对于，是奇函数，但在区间上不单调，不符合题意；对于，是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为偶函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．7．【分析】函数奇偶性的性质，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若函数为奇函数，则，，“”是“函数为奇函数的”充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．8．【分析】在选项①②③中分别判断方程是否有非零实数解，即可得到答案．【解答】解：因为，，所以，则，符合题意，故选项①正确；因为，，A 2x y -=B y lnx =C 1y x=(0,1)D sin y x =sin y x =(0,1)D A sin y x =(0,)+∞B 3y x =(0,)+∞C 12()2x x y -==D ||y ln x =B sin(2)y x φ=+k φπ=k Z ∈∴φπ=sin(2)y x φ=+A ()()0f x g x +=()f x x =2()g x x =2()()f x g x x x +=+(1)(1)110f g -+-=-+=()2x f x -=()x g x e =-所以，()()20x x f x g x e -+=+-=可得，即，解得，不符合题意，故选项②不正确；因为，，所以，则（2）（2），符合题意，故选项③正确．故选：．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．二．填空题（共5小题）9．【分析】根据对数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，，故答案为：，．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．10．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．11．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，，故答案为：，．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．12．【分析】根据题意，时，函数，为二次函数，结合二次函数的性质可得且1()02x x e -=(2)1x e =0x =2()f x x =-()2x g x =2()()2x f x g x x +=-+f g +22220=-+=B x 210x +>12x >-1(2-)+∞1(2-)+∞100x x +⎧⎨>⎩…0x >()f x (0,)+∞(0,)+∞100x x -⎧⎨>⎩…1x …[1)+∞[1)+∞0a ≠2()f x ax bx c =++0a <0b =，据此写出一组符合题意整数即可．【解答】解：根据题意，时，函数，为二次函数，若是偶函数，则其对称轴，则，又在区间上单调递减，必有，综合可得：且，故满足题意的一组整数，，的值依次是，0，1（答案不唯一）．故答案为：，0，1（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于基础题．13．【分析】①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及的定义，可得所求值；②由题意可得对任意，都成立，分别讨论在各个象限和坐标轴的取值情况，结合的定义，可得所求范围．【解答】解：①；②若对任意，都成立，即为对任意，都成立，当或时，或；当时，；当时，；当时，；当时，，，可得；同理可得当时，可得；当时，可得；当时，可得．综上可得，的取值范围是，．故答案为：；，．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义0a ≠2()f x ax bx c =++()f x 02b x a=-=0b =(0,)+∞0a <0a <0b =a b c 1-1-[]x [sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-[0x ∈2]πx []x 221[sin ][cos ][]0133224()2332333f πππ--=+=+=+=()f x x a >+[0x ∈2]π[sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-[0x ∈2]π0x =2x π=()134f x x -=+=42π-2x π=()21322f x x ππ-=+-=-x π=14()133f x x ππ-=+-=-32x π=1333()12222f x x ππ-=+-=-02x π<<sin (0,1)x ∈cos (0,1)x ∈0023222a ππ+-=-…2x ππ<<014233a ππ-+-=-…32x ππ<<1135323262a ππ--+-=-…322x ππ<<10323222a ππ-+-=-…a (-∞32]2π-43(-∞32]2π-[]x的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。