高等代数II知识考点整理●线性映射●线性映射●定义V,U是\mathbb{K}上的线性空间，\varphi : V\rightarrow U●\varphi(\alpha +\beta )=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)●\varphi(k\alpha )=k\varphi(\alpha)●双射\varphi : V\rightarrow U,单射且满射●单射\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)\Rightarrow \alpha=\beta●满射/映上的映射任意\beta \in U，存在\alpha \in V,使得\varphi(\alpha)=\beta●逆映射●双射存在逆映射●同构●定义●两个空间存在线性双射，则为同构●映射到自身的双射为自同构●命题●gf=1_A,fg=1_B，则f是双射且g是f的逆射f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow A●线性映射\varphi : V\rightarrow U●\varphi(0)=0●\varphi(k\alpha +l\beta )=k\varphi(\alpha)+l\varphi(\beta)线性映射等价命题●若\varphi同构，逆映射也是同构●线性映射运算●运算●加法●(\varphi+\psi)(\alpha)=\varphi(\alpha)+\psi(\alpha)●数乘●(k\varphi)(\alpha)=k\varphi(\alpha)●线性映射空间●定义●\mathcal{L}(V,U)：V到U的线性映射全体●共轭空间●V\rightarrow \mathbb{K}的线性函数空间●有限维时称为对偶空间●命题●线性映射空间是线性空间●共轭空间是线性空间●代数●定义●是线性空间●乘法封闭并满足●乘法结合律●存在单位元●分配律●数乘相容●命题●\mathcal{L}(V)是\mathbb{K}上的代数●线性映射复合一般不满足交换●线性映射与矩阵●相似●定义n阶方阵A,B●存在n阶非异阵P，B=P^{-1}AP●则A \approx B●命题●相似是一种等价关系●表示矩阵E=(e_1,e_2,\cdots,e_n)是V的基，F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)是U的基●\varphi:V\rightarrow U●\varphi(E)=FA●A为表示矩阵●定理●线性映射\varphi=\psi\Leftrightarrow\psi(e_i)=\varphi(e_i),i=1,2,\cdots,nV\rightarrow U,\{e_i\}为V的一组基●\{B_i\}\subset U,有且仅有一个线性映射,满足\varphi(e_i)=\beta_i,i=1,2,\cdots,n●\mathcal{L}(V,U)到M_{m\times n}(\mathbb{K})存在一个线性同构T●存在交换图●保持乘法：T(\varphi\psi)=T(\varphi)T(\psi)●T的性质●T(I_V)=I_n●\varphi为自同构\Leftrightarrow T(\varphi)可逆●T(\varphi^{-1})=T(\varphi)^{-1}●表示矩阵和过渡矩阵\varphi \in \mathcal{L}(V)，基\{e_i\}到\{f_i\}过渡矩阵为P●B=P^{-1}APA是\varphi在\{e_i\}的表示矩阵，B是在\{f_i\}的表示矩阵●像与核●定义线性映射\varphi:V\rightarrow U●像Im\varphi=\varphi(V)\subset U●映射的秩像的秩●dim\varphi=dim Im\varphi●核Ker\varphi=\{v\in V|\varphi(v)=0\}\subset V●零度核的秩●限制子空间V'\subset V,U'\subset U●\varphi':V'\rightarrow U'映射法则与\varphi相同●命题●像与核都是子空间●线性映射为满射\Leftrightarrowdim\varphi=dimU●线性映射为单射\Leftrightarrow零度为0●线性映射为单射，则限制映射也是单射●dim\varphi=rank(A),dim Ker\varphi=n-rank(A)A为表示矩阵，dimV=n，dimU=m●线性映射维数公式：dim Ker\varphi+dim Im\varphi=dimV●线性映射可逆\Leftrightarrow为单射或是满射●不变子空间●定义●子空间U经变换后的空间仍在U内\varphi(U)\subseteq U●可把映射限制在U上，记为\varphi|_U●命题●像与核是不变子空间●将r维不变子空间的基扩充为n维空间的基，表示矩阵形状如下●\left[\begin{matrix} A_{(r)} & B\\ O& D_{(n-r)} \end{matrix}\right]●逆命题成立表示矩阵形状为分块上三角阵，则左上角的矩阵的基生成不变子空间●子空间的直和表示矩阵为分块对角阵V=V_1\oplus V_2●多项式●次数deg●定理●deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)●无零因子f(x)\neq 0,g(x)\neq 0\Rightarrow f(x)g(x)\neq 0●消去律f(x)\neq 0,f(x)g(x)=f(x)h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)●常数倍不改变次数deg(cf(x))=degf(x),c\in \mathbb{K}/\{0\}●多项式的和的次数小于其中最大的次数deg(f(x)+g(x))\leqmax\{deg f(x),deg g(x)\}●整除●命题●f(x)|g(x)\Rightarrow cf(x)|g(x)●f(x)|f(x)●f(x)|g(x),g(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●f(x)|g(x),f(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x)●f(x)|g(x),g(x)|f(x)\Rightarrow f(x)=cg(x)●定理●f(x)=g(x)q(x)+r(x)确定f(x),g(x)，得到唯一分解deg r(x)<deg g(x)●g(x)|f(x)\Leftrightarrow g(x)除f(x)后余式为0●最大公因式●定义●d(x)=(f(x),g(x))●d(x)|f(x),d(x)|g(x)●任一公因式h(x)|d(x)●最小公倍式●定义●m(x)=[f(x),g(x)]●f(x)|m(x),g(x)|m(x)●任一公倍式m(x)|l(x)●定理●辗转相除法d(x)=(f(x),g(x))，存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)●gck.运算可交换((f(x),g(x)),h(x))=(f(x),(g(x),h(x)))=(f(x),g(x),h(x))●同乘t(x),公因子也乘t(x)(f(x),g(x))=d(x)\Rightarrow (t(x)f(x),t(x)g(x))=t(x)d(x)●多项式乘积分解为最小公倍式与最大公因式f(x)g(x)=(f(x),g(x))[f(x),g(x)]●互素定理●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow存在u(x),v(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1●除以公因子后两式互素(f(x),g(x))=d(x),f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x)\Rightarrow(f_1(x),g_1(x))=1●与g(x)互质的多项式乘积也与g(x)互质(f_1(x),g(x))=(f_2(x)|g(x))=1\Rightarrow (f_1(x)f_2(x),g(x))=1●互素因子乘积也是因子f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x),(f_1(x),f_2(x))=1\Rightarrow f_1(x)f_2(x)|g(x)●(f(x),g(x))=1,f(x)|g(x)h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●中国剩余定理●设 \left\{f_{i}(x) \mid i=1, \cdots, n\right\} 是两两互素的多项式, a_{1}(x),\cdots, a_{n}(x) 是 n 个多项式, 则存在多项式 g(x), q_{i}(x)(i=1, \cdots,n) , 使得 g(x)=f_{i}(x) q_{i}(x)+a_{i}(x) 对一切 i 成立.●因式分解●可约多项式●定义●可分解为次数更小的两个多项式的乘积●定理●不可约多项式一定是其他多项式的因子或者互素●不可约多项式具有素性p(x)|f(x)g(x)\Rightarrow p(x)|f(x)或p(x)|g(x)●不可约多项式可整除某多项式乘积，必可整除其中一个因子●f(x)一定能分解为数域上有限个不开约多项式之积，且分解因子在相伴意义上唯一●f(x)=c p_{1}(x)^{e_{1}}p_{2}(x)^{e_{2}}\cdot\cdot\cdot p_{m}(x)^{e_{m}}p_i(x)为首一不可约多项式●f(x)没有重因式\Leftrightarrow (f(x),f'(x))=1●f(x)/d(x)没有重因式且不可约因式与f(x)相同（不计重数）d(x)=(f(x),f'(x))●多项式函数●定理●一定存在分解f(x)=(x-b)g(x)+f(b)b\in \mathbb{K},f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x]●不可约多项式次数大于1则没有根●n次多项式最多只有n个根●不超过n次的多项式f(x)和g(x)，若有n+1个点相等，则f(x)=g(x)●复系数多项式●代数基本定理●复数域上次数大于零的多项式至少有一个复数根●推论●复数域上一元n次多项式一定有n个复根（包括重根）●复数域上不可约多项式都是一次多项式●复数域上多项式一定可分解为一次因式乘积●Vieta定理●数域上若有n个根x_i,i=1,2,\cdots,n●\sum_{i=1}^{n} x_{i}=-\frac{a_{1}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j \leq n}^{n} x_{i} x_{j}=\frac{a_{2}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j<k \leq n}^{n} x_{i} x_{j} x_{k}=-\frac{a_{3}}{a_{0}}●\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots●x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{n}}{a_{0}}●实系数多项式●定理●虚部不为0的复根成对出现●推论●实数域上的不可约多项式为一次或二次多项式●实数域上的多项式可分解为有限个一次或不可约二次因式乘积●有理系数多项式●定理●整系数多项式根为\frac{q}{p}的必要条件为q\mid a_0,p\mid a_np,q互素●整系数多项式在有理数域上可约，则可分解为两个次数较低的的整数多项式之积●Eisenstein 判别法●整系数多项式f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}● a_{n} \neq 0, n \geq 1, p 是一个素数.●若 p \mid a_{i}(i=0,1, \cdots, n-1) , 但 p \nmid a_{n} 且 p^{2}\nmid a_{0},●则 f(x) 在有理数域上不可约.●本原多项式●定义●各系数最大公约数为1●Gauss 引理●本原多项式之积仍是本原多项式●多元多项式●字典排列法元下标；元次数●定理●乘积首项为因子首项乘积●无零因子●消去律●非零多项式不恒为零●多元多项式相等等价于作为函数相等●对称多项式●定义●互换任意两个元位置多项式不变●初等对称多项式●\begin{aligned}&\sigma{}_{1}={{x}}_{1}+{{x}}_{2}+\cdots{{x}}_{n}=\sum_{i=1}^{n}{x}_{i},\\&\sigma_{2} =x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots+x_{n-1}x_{n}=\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}, \\& \cdots \: \cdots\\&\sigma_{n}=x_1x_2\cdots x_n. \\&\end{aligned}●定理●对称多项式基本定理对称多项式被以初等对称多项式为元的多元多项式唯一表示●Newton公式●引理●\begin{aligned}f\left(x\right)& =\quad(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=\quad x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_n,\end{aligned}●记 s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k(k\geq1);s_0=n●则 x^{k+1}f'(x)=(s_0x^k+s_1x^{k-1}+\cdots+s_k)f(x)+g(x)degg(x)<n●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\cdots+(-1)^{k-1}s_1\sigma_{k-1}+(-1)^kk\sigma_k=0k\le n-1●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\dots+(-1)^ns_{k-n}\sigma_n=0k\ge n●结式与判别式●公因式不为1(有公共根)的充要条件d(x)=(f(x),g(x))\neq 1\Leftrightarrow 存在f(x)u(x)=g(x)v(x)且满足deg u(x)<degg(x),deg v(x)<deg f(x)●结式/ Sylvester 行列式●定义●\begin{array}{l}f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}\\g(x)=b_{0}x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m} \end{array}●R(f, g)=\left|\begin{array}{ccccccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots &\cdots & a_{n} & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_{0} & a_{1} & \cdots & \cdots &a_{n-1} & a_{n} & \cdots & 0 \\0 & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots & a_{n-2}& a_{n-1} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots &\cdots & a_{n} \\b_{0} & b_{1} & b_{2} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m}& \cdots & 0 \\0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m-1} &b_{m} & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots& \cdots & b_{m}\end{array}\right|●R(f,g)为f(x),g(x)的结式或称 Sylvester 行列式●定理●复数域上有公根\Leftrightarrow R(f,g)=0●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow R(f,g)=0●R(f(x),g(x)(x-\lambda))=(-1)^nf(\lambda)R(f,g),R(f(x),x-\lambda)=(-1)^nf(\lambda)●R(f,g)=a_0^m b_0^n\prod\limits_{i=1}^m\prod\limits_{i=1}^n(x_i-y_j).结式的根表示，f(x)的根为x_1,x_2,\cdots,x_n,g(x)的根为y_1,y_2,\cdots,y_m●判别式●定义●判别式：\Delta(f)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}a_0^{-1}R(f,f')f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\quad●定理●\Delta(f)=a_0^{2n-2}\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)^2判别式的根表示●重根\Leftrightarrow \Delta(f)=0●特征值与特征向量●定义●映射●\varphi(x)=\lambda x●\lambda是线性变换\varphi的一个特征值●x是\varphi关于特征值\lambda的特征向量●矩阵●A\alpha=\lambda\alpha\Leftrightarrow (\lambda I_n-A)\alpha =0●\lambda是表示矩阵A的一个特征值●x的坐标\alpha是A关于特征值\lambda的特征向量●特征子空间V_\lambda为对应特征值的特征向量形成的不变子空间●特征多项式|\lambda I_n-A|●定理●相似矩阵有相同特征多项式●tr|A|=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n●|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n●任一复方阵相似于一上三角阵●f为多项式,f(A)的特征值为f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)●g为多项式,g(A)=O\Rightarrow任一特征值满足g(\lambda)=0●A^{-1}的特征值为\lambda_1^{-1},\lambda^{-1}_2,\cdots,\lambda^{-1}_n●对角化●定理●n阶A相似于对角阵\Leftrightarrow A有n个线性无关的特征向量●n维线性空间V上的线性变换\varphi●\varphi存在对角阵的表示矩阵(可对角化)\Leftrightarrow \varphi有n个线性无关的特征向量●\varphi的k个不同特征值对应的特征子空间为直和V_1+ V_2+\cdots+ V_k=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●\varphi有n个不同的特征值(特征多项式没有重根)\Rightarrow可对角化●\varphi可对角化\Leftrightarrow V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●度数与重数●一个特征值的度数小于等于重数●可对角化\Leftrightarrow 有完全的特征向量系任一特征值度数等于重数●极小多项式●定义●适合矩阵A的最小次数的非零首一多项式●定理●极小多项式可整除适合A的多项式●极小多项式唯一●相似矩阵极小多项式相同●分块对角阵的极小多项式等于各块极小多项式的最小公倍式●(x-\lambda)可整除极小多项式●极小多项式和特征多项式有相同的根(不计重数)●Cayley-Hamilton 定理●f是n阶矩阵A的特征多项式●f(A)=O●特征值估计●戈式圆盘第一定理●R_i=\sum\limits_{i\neq j}|a_{ij}|复平面上，第i行去对角元的模的和●|z-a_{ii}|\leqslant R_i表示复平面上一个圆盘，每个圆盘内有一个特征值。
