2019届高考数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(一)(含解析)

2019届高考数学（文）二轮复习小题专练（7）1、已知集合{}{}22,1,0,1,2,|20A B x x x =--=--<,则A B ⋂= ( ) A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,2 D. {}1,0,1,2-2、复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于原点对称,且12z i =+,则212(1)1z z -+等于( )D.3、已知抛物线24y x =的焦点为F ,过点F和抛物线上一点(2,M 的直线l 交抛物线于另一点N ,则:NF FM 等于( ) A. 1:2 B. 1:3C. 1:D. 1:4、函数()log 42a y x =++ (0a >且1a ≠)的图象恒过点A ,且点A 在角α的终边上,则sin 2α= ( ) A. 513-B. 1213-C.1213 D. 9135、已知0x >,不等式12x x +≥,243x x +≥,3274x x +≥,…,可推广为1n ax n x+≥+,则a 的值为( ) A. 2n B. n n C. 2n D. 222n -6、函数()()()2ln ln f x x e x e x =+-+的图像大致为()A.B.C.D.7、在三角形ABC 中,已知4,1,AB AC ==三角形ABC 则AB AC ⋅= ( ) A. 2± B. 4± C. 2 D. 48、“1x >”是“44x x+≥”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9、如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.18C.12D.36 10、函数 ()()()0,0,0f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示,则下列有关()f x 性质的描述正确的是( )A. 7,,Z 122122k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦为其减区间 B. ()f x 向左移12π可变为偶函数C. 23πϕ=D. 7,Z 12x k k ππ=+∈为其所有对称轴 11、设,x y 满足约束条件210{100x y x y m --≤+≥-≤,若目标函数2z x y =-的最小值大于5-,则m 的取值范围为( )A.111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.113,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()3,2-D.(),2-∞12、已知函数()3231f x ax x =-+,若() f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围为( ) A. ()2,+∞ B. ()1,+∞ C. (),2-∞- D. (),1-∞-13、已知某校随机抽取了100名学生,将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校有3000名学生,则在本次体育测试中,成绩不低于70分的学生人数约为__________14、△ABC 中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c .D 是BC 边的中点,且AD =8sin a B =,1cos 4A =-,则△ABC 面积为__________15、如图,在四边形ABCD 中,△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形,ππ,22AB BAD CBD ∠=∠=,沿BD 把△ABD 翻折起来,形成二面角A BD C --,且二面角A BD C --为56π,此时,,,A B C D 在同一球面上,则此球的体积为___________.16、,M N 分别为双曲线220916x y -=左、右支上的点,设v 是平行于x 轴的单位向量,则MN v ⋅的最小值为__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：由题得集合{}|12B x x =-<<,所以{}0,1A B ⋂=.故选B.2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：A解析：设直线):1MF y x =-与抛物线联立得22520x x -+=,解得2x =或12,即12N x =1112:1:2121N M x NF FM x ++∴===++,故选:A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,熟记焦半径公式,熟练计算是关键,是中档题.4答案及解析： 答案：B解析：对于函数()log 42a y x =++ (0a >且1a ≠), 令41x +=,求得2,2x y =-=,可得它的图象恒过()3,2A -,则sin αα==,则12sin 22sin cos 13ααα==-, 故选:B .根据对数函数的图象经过的定点坐标,利用任意角的三角函数的定义,求得sin α和cos α的值,再利用二倍角的正弦公式,求得sin 2α的值.本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,任意角的三角函数的定义,二倍角的正弦公式的应用,属于基础题.5答案及解析： 答案：B 解析：6答案及解析： 答案：A解析：因为() f x 的定义域为(),e e -,()()()()2ln e ln e f x x x x f x -=++-=, 所以函数() f x 为偶函数,排除C; 因为当x e →时, ()f x →-∞,排除B,D, 故选A.7答案及解析： 答案：A 解析：8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：A解析：作一个长,宽,高分别为4,3,3的长方体,根据三视图得该几何体为三棱锥A BCD - (如图),因为三棱锥A BCD -的四个顶点,都在同一个长方体中,所以三棱锥A BCD -体积为11433632A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=,故选A10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：D 解析：12答案及解析： 答案：C解析：当0a =时, ()231f x x =-+有两个零点,不符合题意, 故0a ≠.()()2'3632f x ax x x ax =-=-, 令()'0f x =,得0?x =或2x a=, 当0a >时, () f x 在区间()2,0,,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭内单调递增,在区间20,a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减, 又()010f =>,所以() f x 在区间(),0-∞内存在零点,不满足题意; 当0a <时, () f x 在区间()2,,0,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭内单调递减,在区间2,0a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,要使存在唯一的零点0x , 且00x >,则需20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭,解得2a <-, 故选C.13答案及解析：答案：2100⨯++⨯=,故答案为2100. 解析：依题意,所求人数为3000(0.0300.0250.015)10210014答案及解析：解析：15答案及解析：答案：3解析：16答案及解析：答案：6解析：由向量数量积的定义, MN v⋅即向量MN在向量v上的投影与v模长的乘积,故求MN v⋅的最小值,即求MN在x轴上的投影的绝对值的最小值,由双曲线的图像可知MN v⋅的最小值为6.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A. B．2 C．5 D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝e x－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.8．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B. C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. B. C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2. 由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.18．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝i(y i－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s＝＝0.02×≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－(x>0)．因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<<1<x0.又f＝ln－－1＝＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.23．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．祝福语祝你考试成功!。

解答必刷卷(二)三角函数、解三角形考查范围:第16讲~第23讲题组一真题集训1.[2014·全国卷Ⅱ]四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.2.[2018·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos B-π.6(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.3.[2016·四川卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosA+cosB=sinC.a b c(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=6bc,求tan B.5题组二模拟强化4.[2018·湖南三湘名校三联]如图J2-1,a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,∠ABC=π,cos∠ADC=1,c=8,CD=2.37(1)求a的值;(2)求△ADC的外接圆的半径R.图J2-15.[2018·四川内江一模]△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b cos C+c sin B=0.(1)求C;(2)若a=√5,b=√10,点D在边AB上,CD=BD,求CD的长.6.[2018·武汉武昌区5月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,△c,已知ABC的外接圆半径R=√2,且tan B+tanC=√2sinA.cosC(1)求B和b的值;(2)求△ABC面积的最大值.解答必刷卷(二)1.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DA cos A=5+4cos C.②cos A=b +c2-a 2=3, 由①②得 cos C=1,故 C=60°,BD=√7. 2(2)四边形 ABCD 的面积 S=1AB ·DA sin A+1BC ·CD sin C=(1 × 1 × 2 + 1 × 3 × 2)sin 60°=2√3. 22 2 2 2△.解:(1)在 ABC 中,由正弦定理知a =b ,可得 sinA sinB b sin A=a sin B ,又 b sin A=a cos B-π ,所以 a sin B=a cos B-π ,即 sin B=cos B-π ,可得 tan B=√3. 66 6 又因为 B ∈(0,π),所以 B=π. 3(2)在△ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B=π,有 b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故 b=√7. 3由 b sin A=a cos B-π ,可得 sin A=√3. 6√7 因为 a<c ,故 cos A= 2 .√7因此 sin 2A=2sin A cos A=4√3,cos 2A=2cos 2A-1=1. 77所以 sin(2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√3×1-1×√3=3√3. 72 7 2 143.解:(1)证明:根据正弦定理,可设 a = b = c =k (k>0), sinA sinB sinC则 a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C ,代入cosA +cosB =sinC 中,有 ab ccosA + cosB = sinC ,变形可得ksinA ksinB ksinC sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B ).在△ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin(A+B )=sin(π-C )=sin C ,所以 sin A sin B=sin C.(2)由已知,b 2+c 2-a 2=6bc ,根据余弦定理,有 52 2bc5所以 sin A=√1 − cos 2A =4. 5由(1)知,sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B ,所以4sin B=4cos B+3sin B , 55 5故 tan B=sinB =4. cosB4.解:(1)因为 cos∠ADC=1, 7所以 sin∠ADC=sin∠ADB=4√3. 7所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠ABC )=4√3×1-1×√3=3√3, 7 2 7 2 14在△ADC 中,R= ·1 49√3= . 所以 c=5,所以a 2+c 2-b cos B= ==5+25−10 2√5. BC 2所以 =cos B ,所以 CD= a √5== .5 2cosB 2√52× 4 11 π √2因为 △S ABC = ac sin B= ac sin = ac , 所以 △S ABC = ac ≤ ×2(2+√2)=1+√2.√22sinB b=2R sin B=2√2× =2.√2,在△ABD 中,由正弦定理得 BD=csin ∠BAD =3,所以 a=3+2=5. sin ∠ADB(2)在△ABC 中,b=√a 2 + c 2-2accos ∠ABC =7.b 2 sin ∠ADC 245.解:(1)因为 b cos C+c sin B=0,所以由正弦定理知 sin B cos C+sin C sin B=0.因为 0<B<π,所以 sin B>0,于是 cos C+sin C=0,即 tan C=-1.因为 0<C<π,所以 C=3π. 4(2)由(1)结合余弦定理,得 c 2=a 2+b 2-2ab cos∠ACB=(√5)2+(√10)2-2×√5×√10×(- √2)=25, 2 2 2ac 2×√5×5 5 因为在△BCD 中, CD=BD 1 CD 5 6.解:(1)因为 tan B+tan C=√2si nA , cosC所以sinB +sinC =√2sinA , cosBcosC cosC所以 sin B cos C+cos B sin C=√2sin A cos B ,即 sin(B+C )=√2sin A cos B.因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C )=sin A ,又因为 sin A ≠0,所以 cos B=√2,因为 0<B<π,所以 B=π. 24由正弦定理得 b =2R ,得2 (2)由余弦定理,得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以 4=a 2+c 2-√2ac.由基本不等式,得 4=a 2+c 2-√2ac ≥2ac-√2ac (当且仅当 a=c 时取等号),所以 ac ≤ 4 =2(2+√2). 2−√22 2 4 44 4 所以△ABC 面积的最大值为 1+√2.。

小题提速练(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2] C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.∵A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B.2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B ．22C. 2D ．1解析：选B.解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B. 解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝ln|x | C ．y ＝cos xD ．y ＝2－|x |解析：选D.显然函数y ＝2－|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D.4．命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，xx －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1解析：选B.∵x x －1＞0，∴x ＜0或x ＞1，∴x x －1＞0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A ．7，11，18B ．6，12，18C ．6，13，17D ．7，14，21解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.6．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D.由三棱锥C ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD 的侧视图的面积为14，故选D.7．已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B ．3 C.32D ．34解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎨⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎨⎧λ＝x －3y 3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝34，故选D.8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，2 B ．⎣⎡⎭⎫－22，2C.⎣⎡⎭⎫－62，2D ．⎣⎡⎭⎫62，2 解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2，所以A ＝ 2，ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎡⎦⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2，故选B. 9．设{a n }是公比q ＞1的等比数列，若a 2 016和a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 018＋a 2 019＝( )A ．18B ．10C ．25D ．9解析：选A.∵a 2 016，a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＋a 2 017＝2，a 2 016·a 2 017＝34，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016（1＋q ）＝2，a 22 016q ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3或⎩⎨⎧a 2 016＝32，q ＝13，∵q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3，∴a 2 018＋a 2 019＝a 2 016(q 2＋q 3)＝18，故选A.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B ．22 C.28D ．216解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立，得⎩⎨⎧y ＝－ 2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.112π B ．312πC.2 39πD ．36π解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫63a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为2 39π，故选C. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎦⎤－∞，138 D ．⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）n ，n ≥2，－12，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，－12＞2a －4，解得a ＜74，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________________________________________________________________．解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1，0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：解析：设该货运员运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，获得的利润为z 元，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ∈N ，y ∈N ，z ＝8x ＋10y ，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z ＝8x ＋10y 经过点A (4，3)时，目标函数z ＝8x ＋10y 取得最小值，z min ＝62，所以获得的最大利润为62元．答案：6215．已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x （3－2x ），设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x （3－2x ）＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣⎡⎭⎫9，283上是增函数，∴当t＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：y ＝42x ＋93－2x ＝13[2x ＋(3－2x )]·⎝⎛⎭⎫42x ＋93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2 18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，32时取等号)．答案：25316．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x 1≠x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋ax ≥2(a＞0)对任意正实数x 恒成立，又x ＋ax≥2 a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.答案：a ≥1。

小题必刷卷(九)　不等式、推理与证明考查范围:第33讲~第38讲题组一　刷真题角度1　一元二次不等式及其解法1.[2018·全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x 2-x-2>0},则∁R A=( )A .{x|-1<x<2}B .{x|-1≤x ≤2}C .{x|x<-1}∪{x|x>2}D .{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}2.[2014·全国卷] 不等式组的解集为( ){x (x +2)>0,|x |<1A .{x|-2<x<-1}B .{x|-1<x<0}C .{x|0<x<1}D .{x|x>1}3.[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f (x )=x-sin 2x+a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( )13A .[-1,1]B .-1,13C .-,D .-1,-1313134.[2016·江苏卷] 函数y=的定义域是 .3‒2x -x 2角度2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题5.[2014·全国卷Ⅰ] 设x ,y 满足约束条件且z=x+ay 的最小值为7,则a=( ){x +y ≥a ,x -y ≤‒1,A .-5B .3C .-5或3D .5或-36.[2016·浙江卷] 在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB|=( ){x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0A .2B .42C .3D .627.[2018·全国卷Ⅰ] 若x ,y 满足约束条件则z=3x+2y 的最大值为 .{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,8.[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.9.[2016·江苏卷] 已知实数x ,y 满足则x 2+y 2的取值范围是 .{x -2y +4≥0,2x +y -2≥0,3x -y -3≤0,角度3　基本不等式及其应用10.[2018·天津卷] 已知a ,b ∈R ,且a-3b+6=0,则2a +的最小值为 .18b 11.[2017·江苏卷] 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .12.[2017·山东卷] 若直线+=1(a>0,b>0) 过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . x a yb 角度4　推理与证明13.[2017·全国卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩14.[2014·全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市.乙说:我没去过C 城市.丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.[2016·山东卷] 观察下列等式:sin -2+sin -2=×1×2;π32π343sin -2+sin -2+sin -2+sin -2=×2×3;π52π53π54π543sin -2+sin -2+sin -2+…+sin -2=×3×4;π72π73π76π743sin -2+sin -2+sin -2+…+sin -2=×4×5;π92π93π98π943……照此规律,sin -2+sin -2+sin -2+…+sin -2= .π2n +12π2n +13π2n +12nπ2n +1题组二　刷模拟16.[2018·石家庄二中模拟] 已知集合A=x ≥0,B={-1,0,1,2,3},则A ∩B=( )x2‒x A .{-1,0,3}B .{0,1}C .{0,1,2}D .{0,2,3}17.[2018·福建莆田3月质检] “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸称为天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥称为地支.如:公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年,公元1986年农历为丙寅年.则公元2047年农历为( )A .乙丑年B .丙寅年C .丁卯年D .戊辰年18.[2018·甘肃西北师大附中月考] 已知点P (x ,y )在不等式组表示的平面区域内运动,{x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0则z=x-y 的取值范围是( )A .[-2,-1]B .[-2,1]C .[-1,2]D .[1,2]19.[2018·江西赣州模拟] 下列说法正确的是( )A. 若a>b ,则ac 2>bc 2B. 若a 2>b 2,则a>bC. 若a>b ,c<0,则a+c<b+cD. 若<,则a<ba b 20.[2018·郑州三模] 将标号为1,2,…,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片,选出每列标号最小的卡片,将这些卡片中标号最大的数设为a ;选出每行标号最大的卡片,将这些卡片中标号最小的数设为b.甲同学认为a 一定比b 大,乙同学认为a 和b 有可能相等.那么甲、乙两位同学的说法中( )A .甲对乙不对B .乙对甲不对C .甲乙都对D .甲乙都不对21.[2018·安徽宿州一检] 若圆C :x 2+y 2-4x-2y+1=0关于直线l :ax+by-2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小1a 2b 值为( )A .1B .5C .4D .4222.[2018·太原模拟] 已知命题p :∃x 0∈R ,-x 0+1≥0;命题q :若a<b ,则>.则下列为真命题的是x 201a 1b ( )A .p ∧qB .p ∧￿qC .￿p ∧qD .￿p ∧￿q23.[2018·天津一中月考] 已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b 的最小值是( )1a +11b +1A .3B .2C .3D .22224.[2018·辽宁大连二模] 在社会生产生活中,经常会遇到这样的问题:某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分别为4万元、6万元,问怎样设计生产方案,该企业每天可获得最大利润?我们在解决此类问题时,设x ,y 分别表示每天生产甲、乙产品的吨数,则x ,y 应满足的约束条件是( )生产甲产品1吨生产乙产品1吨每天原料限额(吨)原料A 数量(吨)3521原料B 数量(吨)2313A .B .C .D .{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≤21,2x +3y ≥13{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≥21,2x +3y ≤13{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≤21,2x +3y ≤13{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≥21,2x +3y ≥1325.[2018·北京朝阳区一模] 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;小王说:“丁团队获得一等奖”;小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”; 小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位同学的预测结果是正确的,则获得一等奖的团队是( )A .甲B .乙C .丙D .丁26.[2018·河南八市一联] 观察下列关系式:1+x=1+x ;(1+x )2≥1+2x ;(1+x )3≥1+3x ……由此规律,得到的第n 个关系式为 .27.[2018·安徽芜湖五月模拟] 已知实数x ,y 满足约束条件则z=x+y-2的最大值{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,y ≥1,12为 .28.[2018·菏泽一模] 若实数x ,y 满足|x-3|+|y-2|≤1,则z=的最小值是 .yx 29.[2018·重庆调研] 已知实数x ,y 满足若目标函数z=ax+y 在点(3,2)处取得最大值,则{x -3y +3≥0,x +y -1≥0,x -y -1≤0,实数a 的取值范围为 .30.[2018·山东枣庄二模] 已知实数x ,y 满足则的最大值为 . {x ≥0,y ≥0,x +y -1≤0,(x +1)2+y 2小题必刷卷(九)1.B [解析] 因为A={x|x 2-x-2>0}={x|x>2或x<-1},所以∁R A={x|-1≤x ≤2}.2.C [解析] 由得即0<x<1.{x (x +2)>0,|x |<1,{x >0或x <‒2,-1<x <1,3.C [解析] 方法一:对函数f (x )求导得f'(x )=1-cos 2x+a cos x=-cos 2x+a cos x+,因为函数f (x )在R 上单234353调递增,所以f'(x )≥0,即-cos 2x+a cos x+≥0恒成立.设t=cos x ∈[-1,1],则g (t )=4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,4353所以有解得-≤a ≤.{g (-1)=4×(-1)2-3a ×(‒1)‒5≤0,g (1)=4×12-3a ×1‒5≤0,1313方法二:取a=-1,则f (x )=x-sin 2x-sin x ,f'(x )=1-cos 2x-cos x ,但f'(0)=1--1=-<0,不满足f (x )在(-∞,+∞)单13232323调递增,排除A ,B ,D ,故选C .4.[-3,1]　[解析] 令3-2x-x 2≥0可得x 2+2x-3≤0,解得-3≤x ≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].5.B [解析] 当a<0时,作出相应的可行域,可知目标函数z=x+ay 不存在最小值.当a ≥0时,作出可行域如图,易知当->-1,即a>1时,目标函数在A 点取得最小值.由A ,知zmin =1a (a -12,a +12)+=7,解得a=3或-5(舍去).a -12a 2+a26.C [解析] 易知线性区域为图中三角形MNP (包括边界),且MN 与AB 平行,故|AB|=|MN|,易得M (-1,1),N (2,-2),则|MN|=3,故|AB|=3.227.6　[解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线y=-x+经过点A (2,0)时,z 最大,所32z2以z max =3×2+2×0=6.8.216 000　[解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,则即{1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ∈N,y ∈N,目标函数为z=2100x+900y.{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ∈N,y ∈N,作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y 经过点M 时,z 取得最大值.解方程组得M 的坐标为{10x +3y =900,5x +3y =600,(60,100),所以当x=60,y=100时,z max =2100×60+900×100=216 000.9.,13　[解析] 可行域如图中阴影部分所示,x 2+y 2为可行域中任一点(x ,y )到原点(0,0)的距离的平方.45由图可知,x 2+y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方,即2=,最大值为OB 2=22+32=13.|-2|54510.　[解析] 由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a +≥2==(当且仅当a=-3b=-3时取等号).1418b 2a -3b 2231411.30　[解析] 总费用为×6+4x=4≥4×2=240,当且仅当x=30时等号成立,故x 的值是600x (900x +x )90030.12.8　[解析] 由条件可得+=1,所以2a+b=(2a+b )+=4++≥4+2=8,当且仅当=,即b=2a 1a 2b 1a 2b 4a b ba 44ab ba 时取等号,所以最小值为8.13.D [解析] 由于四人中有2位优秀,2位良好,甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩,说明乙、丙2位中优秀、良好各1位,所以甲、丁2位中也是优秀、良好各1位,所以乙看了丙的成绩后一定知道自己的成绩,同样,丁看了甲的成绩后一定知道自己的成绩.14.A [解析] 由甲没去过B 城市,乙没去过C 城市,而三人去过同一城市,可知三人去过城市A ,又由甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只去过A 城市.15.n (n+1)　[解析] 第一个等式中,1=,2=;第二个等式中,2=,3=;第三个等式中,3=433‒123+125‒125+127‒12,4=.由此可推得第n 个等式等于××=n (n+1).7+12432n +1‒122n +1+124316.B [解析] 由≥0,得≤0,解得0≤x<2,因此A ∩B={0,1},故选B .x2‒x xx -217.C [解析] 记公元1984年为第1年,则公元2047年为第64年,即天干循环了6次多4个为“丁”,地支循环了5次多4个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年.故选C .18.C [解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x-y 得y=x-z ,由图可知,当直线y=x-z 经过点C (2,0)时,直线y=x-z 在y 轴上的截距最小,此时z 取得最大值,即z max =2-0=2.当直线y=x-z 经过点A (0,1)时,直线y=x-z 在y 轴上的截距最大,此时z 取得最小值,即z min =0-1=-1.故-1≤z ≤2.故选C .19.D [解析] 选项A 中,当c=0时,ac 2=bc 2,所以A 中说法错误;选项B 中,当a=-2,b=-1时,满足a 2>b 2,但不满足a>b ,所以B 中说法错误;选项C 中,a+c>b+c ,所以C 中说法错误;选项D 中,由0≤<两边a b 平方,得()2<()2,即a<b ,所以D 中说法正确.故选D .a b 20.B [解析] 每列最小数中的最大数的最大值是17,即a ≤17,每行最大数中的最小数的最小值是5,即b ≥,所以乙对甲不对.故选B .521.D [解析] 由题知直线ax+by-2=0(a>0,b>0)过圆心C (2,1),即2a+b=2,因此+=+(2a+b )=1a 2b 121a 2b 122+++2≥×(4+4)=4,当且仅当b=2a=1时取等号,故选D .b a 4a b 1222.B [解析] 当x 0=0时,-x 0+1=1≥0,∴命题p 为真命题.∵-2<2,-<,∴命题q 为假命题.故p ∧￿q 为真命x 201212题,故选B .23.B [解析] ∵a>0,b>0,+=1,∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·+-3=1a +11b +11a +11b +11+2++-3≥3+2-3=2,当且仅当=,即a=,b=时取等号.故选B .2(b +1)a +1a +1b +1222(b +1)a +1a +1b +122224.C [解析] 由原料A 的每天限额为21吨,得3x+5y ≤21,由原料B 的每天限额为13吨,得2x+3y ≤13,又x ≥0,y ≥0,故选C .25.D [解析] 若甲团队获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测结果都正确,与题意不符;若乙团队获得一等奖,则只有小张的预测结果正确,与题意不符;若丙团队获得一等奖,则四人的预测结果都错误,与题意不符;若丁团队获得一等奖,则小王、小李的预测结果都正确,小张、小赵的预测结果都错误,符合题意.故选D .26.(1+x )n ≥1+nx [解析] 左边为等比数列,右边为等差数列,所以第n 个关系式为(1+x )n ≥1+nx.27.8　[解析] 要求目标函数的最大值,只需求t=x+y-2的最小值.画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,在直线x-3y+5=0和直线y=1的交点(-2,1)处,t 取得最小值,即t min =-2+1-2=-3,所以z=x+y-2的最大值为-3=8.121228.　[解析] |x-3|+|y-2|≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示.13z=表示该区域内的点与坐标原点连线的斜率,由图可知,当x=3,y=1时,z=取得最小值.y x y x 1329.-,+∞　[解析] 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.13把目标函数z=ax+y 化为y=-ax+z ,则当直线y=-ax+z 在y 轴上的截距最大时,目标函数取得最大值,直线x-3y+3=0的斜率为,又目标函数z=ax+y 在点A (3,2)处取得最大值,所以由图可知-a ≤,即a ≥-,故实数a 的131313取值范围是-,+∞.1330.2　[解析] 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示.表示可行域内的点到A (-1,0)的距离,由图可知,所求的最大距离为点P (1,0)到点A 的距离,(x +1)2+y 2故的最大值为2.(x +1)2+y 2。

小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D. 优解：设m 2＋i 1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54 C.43D ．53解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝43.∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. 5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c 通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x为增函数，y ＝2－x为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x为奇函数，所以选C.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33π B ．12π C.33π D ．36π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12× 3＝36π，故选D.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选 A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B. 10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x，g (y )＝a y，则g (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－ 4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x2，则l AM ∶y －y A ＝x A2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x Ax －y A，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A＋x B2，x A·x B4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x，则切线l的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 2，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不的纵坐标为2 2，妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 即A (2，2 2)，所以直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由错误!解得错误!或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以c os∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，则cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos∠ADC ＝－cos∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5.答案：5。

解答必刷卷(三)　数列考查范围:第28讲~第32讲题组一　真题集训1.[2018·全国卷Ⅲ] 等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3.(1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.2.[2017·全国卷Ⅲ] 设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.{a n 2n +1}3.[2018·天津卷] 设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6.(1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.题组二　模拟强化4.[2018·重庆八中月考] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列b n =log 2(a n +1),求数列的前n 项和S n .{1b n ·b n +1}5.[2018·长春二模] 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-11.(1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)令b n =|a n |,求数列{b n }的前10项和S 10.6.[2018·吉林梅河口五中月考] 在数列{a n }中,a 1=1,a n+1={13a n+n ,n 为奇数,a n -3n ,n 为偶数.(1)证明:数列a 2n -是等比数列;32(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和,求S 2n .7.[2018·江西九校二联] 已知数列{a n }为等差数列,且a 2+a 3=8,a 5=3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =,设{b n }的前n 项和为S n ,求使得S n >的最小的正整数n.2a n a n +120172018解答必刷卷(三)1.解:(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n =(-2)n-1,则S n =.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.1‒(‒2)n 3若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6.综上,m=6.2.解:(1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n =2,所以a n =(n ≥2).22n -1又由题设可得a 1=2,从而{a n }的通项公式为a n =.22n -1(2)记的前n 项和为S n ,{a n 2n +1}由(1)知==-,a n 2n +12(2n +1)(2n -1)12n -112n +1则S n =-+-+…+-=.1113131512n -112n +12n 2n +13.解:(1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,所以可得q=2,故b n =2n-1.所以T n ==2n -1.1‒2n1‒2设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4.由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n ,所以S n =.n (n +1)2(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+…+2n )-n=-n=2n+1-n-2.2×(1‒2n )1‒2由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.n (n +1)2所以,n 的值为4.4.解:(1)∵a n -a n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *),∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a 2-a 1)+a 1,即a n =2n-1+2n-2+2n-3+…+22+21+1,则a n ==2n -1.1×(1‒2n )1‒2(2)b n =log 2(a n +1)=n ,则==-,1b n ·b n +11n (n +1)1n 1n +1∴S n =-+-+-+…+-=1-=.1112121313141n 1n +11n +1nn +15.解:(1)证明:∵a n =2n-11,∴a n+1-a n =2(n+1)-11-2n+11=2(n ∈N *),∴数列{a n }为等差数列.(2)由(1)得b n =|a n |=|2n-11|,∴当n ≤5时,b n =|2n-11|=11-2n ,当n ≥6时,b n =|2n-11|=2n-11.∴S 10=[55-2×(1+2+3+4+5)]+[2×(6+7+8+9+10)-55]=50.6.解:(1)证明:设b n =a 2n -,则b 1=a 2-=a 1+1-=-,3232133216因为=====,b n +1b n a 2(n +1)-32a 2n -3213a 2n +1+(2n +1)‒32a 2n -3213(a 2n -6n )+(2n +1)‒32a 2n -3213a 2n -12a 2n -3213所以数列a 2n -是以-为首项,为公比的等比数列.321613(2)由(1)得b n =a 2n -=-·=-·,即a 2n =-·+,3216(13)n -112(13)n 12(13)n 32由a 2n =a 2n-1+(2n-1),得a 2n-1=3a 2n -3(2n-1)=-·-6n+,1312(13)n -1152所以a 2n-1+a 2n =-·+-6n+9=-2·-6n+9,12(13)n -1(13)n(13)n故S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2n-1+a 2n )=-2×++…+-6×(1+2+…+n )+9n=-2×-6·13(13)2(13)n13[1‒(13)n ]1‒13+9n=-1-3n 2+6n=-3(n-1)2+2.n (n +1)2(13)n (13)n7.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意有{2a 1+3d =8,a 1+4d =3a 1+3d ,解得从而数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,n ∈N *.{a 1=1,d =2,(2)因为b n ==-,所以S n =-+-+…+-=1-.2a n a n +112n -112n +11113131512n -112n +112n +1令1->,解得n>1008.5,故使得S n >的最小正整数为1009.12n +12017201820172018。

解答必刷卷(二)　三角函数、解三角形考查范围:第16讲~第23讲题组一　真题集训1.[2014·全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C 和BD ;(2)求四边形ABCD 的面积.2.[2018·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b sin A=a cos B-.π6(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin (2A-B )的值.3.[2016·四川卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且+=.cos A a cos B b sin C c (1)证明:sin A sin B=sin C ;(2)若b 2+c 2-a 2=bc ,求tan B.65题组二　模拟强化4.[2018·湖南三湘名校三联] 如图J2-1,a ,b ,c 分别为△ABC 中角A ,B ,C 的对边,∠ABC=,cos ∠ADC=π317,c=8,CD=2.(1)求a 的值;(2)求△ADC 的外接圆的半径R.图J2-15.[2018·四川内江一模] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b cos C+c sin B=0.(1)求C ;(2)若a=,b=,点D 在边AB 上, CD=BD ,求CD 的长.5106.[2018·武汉武昌区5月调研] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知△ABC 的外接圆半径R=,且tan B+tan C=.22sin Acos C (1)求B 和b 的值;(2)求△ABC 面积的最大值.解答必刷卷(二)1.解:(1)由题设及余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos C=13-12cos C ,　①BD 2=AB 2+DA 2-2AB ·DA cos A=5+4cos C.　②由①②得cos C=,故C=60°,BD=.127(2)四边形ABCD 的面积S=AB ·DA sin A+BC ·CD sin C=sin 60°=2.1212(12×1×2+12×3×2)32.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理知=,可得b sin A=a sin B ,a sin Ab sin B又b sin A=a cos B-,所以a sin B=a cos B-,即sin B=cos B-,可得tan B=.π6π6π63又因为B ∈(0,π),所以B=.π3(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=.π37由b sin A=a cos B-,可得sin A=.π637因为a<c ,故cos A=.27因此sin 2A=2sin A cos A=,cos 2A=2cos 2A-1=.43717所以sin (2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=×-×=.43712173233143.解:(1)证明:根据正弦定理,可设===k (k>0),a sin Ab sin Bc sin C 则a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C ,代入+=中,有cos A a cos B b sin Cc +=,变形可得cos A k sin A cos B k sin B sin Ck sin C sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin (A+B ).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin (A+B )=sin (π-C )=sin C ,所以sin A sin B=sin C.(2)由已知,b 2+c 2-a 2=bc ,根据余弦定理,有65cos A==,b 2+c 2-a 22bc 35所以sin A==.1‒cos 2A 45由(1)知,sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B ,所以sin B=cos B+sin B ,454535故tan B==4.sin B cos B 4.解:(1)因为cos ∠ADC=,17所以sin ∠ADC=sin ∠ADB=.437所以sin ∠BAD=sin (∠ADC-∠ABC )=×-×=,4371217323314在△ABD 中,由正弦定理得BD==3,所以a=3+2=5.csin∠BADsin∠ADB (2)在△ABC 中,b==7.a 2+c 2-2accos∠ABC 在△ADC 中,R=·=.12b sin∠ADC 493245.解:(1)因为b cos C+c sin B=0,所以由正弦定理知sin B cos C+sin C sin B=0.因为0<B<π,所以sin B>0,于是cos C+sin C=0,即tan C=-1.因为0<C<π,所以C=.3π4 (2)由(1)结合余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos ∠ACB=()2+()2-2×××=25,510510(-22)所以c=5,所以cos B===.a 2+c 2-b 22ac 5+25‒102×5×5255因为在△BCD 中, CD=BD ,所以=cos B ,所以CD===.12BC CD a 2cos B 52×255546.解:(1)因为tan B+tan C=,2sin A cos C所以+=,sin B cos B sin C cos C 2sin A cos C 所以sin B cos C+cos B sin C=sin A cos B ,即sin (B+C )=sin A cos B.22 因为A+B+C=π,所以sin (B+C )=sin A ,又因为sin A ≠0,所以cos B=,因为0<B<π,所以B=.22π4 由正弦定理得=2R ,得b=2R sin B=2×=2.b sin B 222(2)由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以4=a 2+c 2-ac.2 由基本不等式,得4=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac (当且仅当a=c 时取等号),22 所以ac ≤=2(2+).42‒22 因为S △ABC =ac sin B=ac sin =ac ,1212π424所以S △ABC =ac ≤×2(2+)=1+.242422所以△ABC 面积的最大值为1+.2。

小题必刷卷(二).函数概念与函数的性质考查范围:第4讲~第6讲题组一 刷真题角度1 函数的概念1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x2.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( )A .-74B .-54C .-34D .-143.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a= .4.[2018·江苏卷] 函数f (x )=√log 2x -1的定义域为 .5.[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a= . 角度2 函数的性质6.[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A .y=11−x B .y=cos x C .y=ln (x+1) D .y=2-x7.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ln x+ln (2-x ),则 ( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图像关于直线x=1对称D .y=f (x )的图像关于点(1,0)对称8.[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( )A .-∞,12B .-∞,12∪32,+∞C.12,3 2D.32,+∞9.[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5010.[2018·上海卷]已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.13.[2016·北京卷]函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.14.[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52 +f(2)=.15.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0<x≤2,|x+12|,−2<x≤0,则f(f(15))的值为.题组二刷模拟17.[2018·广西部分重点中学联考]已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是()A.(2,4]B.[2,4)C.[-4,4)D.(6,9]18.[2018·合肥联考]已知函数f(x)与g(x)=a x(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称,则“f(x)是增函数”的一个充分不必要条件是()A.0<a<12B.0<a<1C.2<a<3D.a>119.[2018·洛阳三模]下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=e x+e-x 2C.y=log23−x3+xD.y=x sin x20.[2018·四川南充二模] 设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f (-92)= ( ) A .34B .-34C .14D .-1421.[2019·哈尔滨三中月考] 函数f (x )=|log 3x|在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 ( ) A .2 B .23C .13D .122.[2018·合肥二模] 已知函数f (x )=a -2xa+2x是奇函数,则f (a )= ( )A .-13B .3C .-13或3 D .13或323.[2018·昆明二模] 若函数f (x )={x 2-4x +a,x <1,lnx +1,x ≥1的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)24.[2018·安阳二模] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,则f(x)xg(x)的值为( )A .1B .2C .3D .1225.[2018·湖南郴州二模] 已知函数f (x )=e x -1ex ,其中e 是自然对数的底数,则关于x 的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为 ( )A .(-∞,-43)∪(2,+∞) B .(2,+∞) C .(-∞,43)∪(2,+∞) D .(-∞,2)26.[2018·河南郑州三模] 设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f [f (-4)]= .27.[2018·广西南宁模拟] 若函数f (x )={(a -1)x +2,x ≤1,-5-2lgx,x >1是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .28.[2018·广西梧州二模] 已知函数f (x )是奇函数,定义域为R ,且x>0时,f (x )=lg x ,则满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是 .29.[2018·福州3月质检] 已知函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )+f (-x )=0,f x+32为偶函数,当0<x ≤32时,f (x )=-x ,则f (2017)+f (2018)= .小题必刷卷(二)1.D [解析] y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.A [解析] 因为2x-1-2>-2恒成立,所以可知a>1,于是由f (a )=-log 2(a+1)=-3得a=7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.3.-7 [解析] 由f (3)=log 2(9+a )=1, 得9+a=2,即a=-7.4.[2,+∞) [解析] 要使函数f (x )有意义,必须满足{log 2x -1≥0,x >0,解得x ≥2,则函数f (x )的定义域为[2,+∞).5.-2 [解析] 由函数图像过点(-1,4),得f (-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得a=-2.6.D [解析] 选项A 中函数y=11−x =-1x -1在区间(-1,1)上是增函数;选项B 中函数y=cos x 在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C 中函数y=ln (x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D 中函数y=2-x =12x在区间(-1,1)上是减函数.7.C [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0,2),f (x )=ln x+ln (2-x )=ln (-x 2+2x )=ln [-(x-1)2+1],所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A ,B 错.由于函数y=-(x-1)2+1,x ∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f (x )=ln x+ln (2-x )的图像关于直线x=1对称.故选C .8.C [解析] 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f (2|a-1|)>f (-√2),f (-√2)=f (√2),可得2|a-1|<√2,即|a-1|<12,∴12<a<32.9.C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,且f [-(1-x )]=-f (1-x ),即f (1-x )=-f (x-1),又由f (1-x )=f (1+x )得f (x+1)=-f (x-1),所以f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=-f (x+2)=-[-f (x )]=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=2,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .10.-1 [解析] 因为α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,所以α是奇数且α<0,所以α=-1.11.12 [解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.6 [解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.13.2 [解析] 因为函数f (x )=x x -1=1+1x -1在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f (x )有最大值f (2)=1+1=2.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ),所以f (0)=0.所以f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,f (2)=f (0)=0,所以f (-52)+f (2)=-2. 15.-2 [解析] 由题,f (-x )=ln (√1+x 2+x )+1.∵f (x )+f (-x )=ln (√1+x 2-x )+1+ln (√1+x 2+x )+1=ln (1+x 2-x 2)+2=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=-2.16.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R ),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.17.B [解析] 因为3<x ≤27,所以1<log 3x ≤3,-3≤-log 3x<-1,则2≤f (x )<4.故选B .18.C [解析] 依题意得f (x )=log a x (a>0且a ≠1).当a>1时,f (x )是增函数,所以“2<a<3”是“f (x )是增函数”的充分不必要条件.故选C .19.C [解析] y=x 3+3x 2是非奇非偶函数,y=e x +e -x 2是偶函数,y=log 23−x3+x是奇函数,y=x sin x 是偶函数.故选C .20.B [解析] 因为函数f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),所以f (-92)=f -92+4=f (-12)=-f (12)=-12×1+12=-34,故选B .21.B [解析] 根据函数f (x )=|log 3x|的图像(图略)可知,若函数f (x )在[a ,b ]上的值域为[0,1],则a=13,1≤b ≤3或b=3,13≤a ≤1.易知当a=13,b=1时,b-a 取得最小值23.故选B . 22.C [解析] 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即a -2-xa+2-x =-a -2xa+2x 恒成立,整理可得a 2=1,所以a=±1.当a=1时,函数f (x )=1−2x 1+2x ,f (a )=f (1)=-13;当a=-1时,函数f (x )=-1-2x -1+2x ,f (a )=f (-1)=3.综上可得,f (a )=-13或3.故选C .23.B [解析] 当x ≥1时,y=ln x+1的最小值为1,所以要使f (x )的最小值是1,必有当x<1时,y=x 2-4x+a 的最小值不小于1.因为y=x 2-4x+a 在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,y>a-3,则a-3≥1,即a ≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选B . 24.B [解析] 因为12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以12f (-x )-g (-x )=-12f (x )-g (x )=-x -1x 2+1,可得f (x )=2xx 2+1,g (x )=1x 2+1,所以f(x)xg(x)=2,故选B .25.B [解析] 由指数函数的性质可得f (x )是增函数.因为f (-x )=e -x -1e-x =-e x -1e x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,则不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0等价于f (2x-1)>f (x+1),即2x-1>x+1,解得x>2,故选B . 26.-1 [解析] f (-4)=(-4)2+(-4)-2=10,所以f [f (-4)]=f (10)=-lg 10=-1. 27.[-6,1) [解析] 由题意可得{a -1<0,a -1+2≥-5-2lg1,则-6≤a<1.28.(-1,0) [解析] 作出函数f (x )的图像如图所示.当x>1时,f (x )<0无解;当x<1时,由f (x )>0,得-1<x<0,所以满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是(-1,0).29.-2[解析]因为f x+32为偶函数,所以f x+32=f-x+32,则f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,且图像的对称轴是直线x=32,所以f(2017)+f(2018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=2f(1)=-2.。

小题必刷卷(一)集合与常用逻辑用语考查范围;第1讲~第3讲题组一刷真题角度1集合1.[2018·全国卷Ⅲ]已知集合A={|-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(,y)|2+y2≤3,∈,y∈},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.43.[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A={|<2},B={|3-2>0},则()A.A∩B= .A∩B=⌀C.A∪B= .A∪B=R4.[2015·全国卷Ⅰ]已知集合A={|=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.25.[2018·天津卷]设全集为R,集合A={|0<<2},B={|≥1},则A∩(∁R B)=()A.{|0<≤1}B.{|0<<1}C.{|1≤<2}D.{|0<<2}6.[2017·天津卷]设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}7.[2015·陕西卷]设集合M={|2=},N={|lg ≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]8.[2013·江西卷]若集合A={∈R|a2+a+1=0}中只有一个元素,则a=()A.4B.2C.0D.0或49.[2013·福建卷]若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为()A.2B.3C.4D.16角度2命题、充要条件10.[2014·全国卷Ⅱ]函数f()在=0处导数存在.若p;f'(0)=0,q;=0是f()的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件11.[2018·天津卷]设∈R,则“-12<12”是“3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.[2015·山东卷]设m∈R,命题“若m>0,则方程2+-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程2+-m=0有实根,则m>0B.若方程2+-m=0有实根,则m≤0C.若方程2+-m=0没有实根,则m>0D.若方程2+-m=0没有实根,则m≤013.[2018·北京卷]设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.[2014·广东卷]在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件角度3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词15.[2014·湖南卷]设命题p;∀∈R,2+1>0,则 p为 ()A.∃0∈R,+1>0B.∃0∈R,+1≤0C.∃0∈R,+1<0D.∀∈R,2+1≤016.[2017·山东卷]已知命题p;∃∈R, 2-+1≥0;命题q;若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是 ()A.p∧qB.p∧ qC. p∧qD. p∧ q17.[2018·北京卷]设集合A={(,y)|-y≥1,a+y>4,-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤32时,(2,1)∉A题组二刷模拟18.[2018·西南名校联考]函数y=e的值域为M,函数y=ln 的值域为N,则M∩N= ()A.{y|y>1}B.{y|y≥0}C.{y|y>0}D.{y|y∈R}19.[2018·河北衡水联考]已知命题p;∀∈R,(2-)12<0,则命题 p为()A.∃0∈R,(2-0)12>0B.∀∈R,(2-)12>0C.∀∈R,(2-)12≥0D.∃0∈R,(2-0)12≥020.[2018·佛山二模]已知函数f()=3-3-,a,b∈R,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件21.[2018·南昌4月模拟]已知集合A={|y=,∈N*},B={|=2n+1,n∈},则A∩B=()A.(-∞,4]B.{1,3}C.{1,3,5}D.[1,3]22.[2018·乌鲁木齐二模]若集合A={|(-1)<0},B={y|y=2},则()A.A=BB.A⊆BC.A∪B=RD.B⊆A23.[2018·湖北重点中学联考]已知集合A={∈|-2≤<2},B={y|y=||,∈A},则集合B的子集的个数为()A.7B.8C.15D.1624.[2018·哈尔滨九中二模]设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则()A.∀∈Q,∈PB.∀∉Q,∉PC.∃0∉Q,0∈PD.∃0∈P,0∉Q图1-125.[2018·云南曲靖一测]已知全集U=R,集合A={|y=},集合B=y y=+32,则图1-1中阴影部分表示的集合是()A.1,32B.1,32C.1,32D.32,+∞26.[2018·四川4月联考]已知命题p;“事件A与事件B对立”的充要条件是“事件A与事件B互斥”,命题q;偶函数的图像一定关于y轴对称.下列命题为假命题的是()A.p或qB.p且qC. p或qD. p且q27.[2018·湖南湘潭三模] 已知集合M={|-1<<2},N={|2-m<0},若M ∩N={|0<<1},则m 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .±1D .228.[2018·安徽蚌埠三模] 已知命题p ;∃m ∈R,f ()=2+m 是偶函数,命题q ;若a<b ,则1a >1b.下列命题为真命题的是( )A .p ∧ qB . p ∧qC .p ∧qD . p ∧ q29.[2018·西安一模] 已知集合M={-1,0,1},N={|=ab ,a ,b ∈M 且a ≠b },则集合M 与集合N 的关系是( )A .M=NB .N ⫋MC .M ⊆ND .M ∩N=⌀30.[2018·河北衡水中学月考] 已知数集A={-1,0,1,2,3},B={-1,0,1},设函数f ()是从A 到B 的函数,则函数f ()的值域的可能情况的个数为 ( )A .1B .3C .7D .831.[2018·郑州三模] 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,则“S n <na n 对n ≥2恒成立”是“数列a n 为递增数列”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件32.[2018·太原二模] 若命题“∀∈(0,+∞),+≥m ”是假命题,则实数m 的取值范围是 .小题必刷卷(一)1.C[解析] ∵A={|≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.2.A[解析] 当=-1时,y=-1,0,1;当=0时,y=-1,0,1;当=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.3.A[解析] 由题得,B=,B⊆A,所以A∩B=B=,∪B=A={|<2}.故选A.4.D[解析] 集合A={2,5,8,11,14,17,…},所以A∩B={8,14},所以A∩B中有2个元素.5.B[解析] ∁R B={|<1},所以A∩(∁R B)={|0<<1}.故选B.6.B[解析] (A∪B)∩C={1,2,4,6}∩{1,2,3,4}={1,2,4}.7.A[解析] 由题得集合M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].8.A[解析] 当a=0时,A=⌀;当a≠0时,Δ=a2-4a=0,则a=4,故选A.9.C[解析] A∩B={1,3},子集共有22=4(个),故选C.10.C[解析] 函数在=0处有导数且导数为0,=0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点;反之,若=0为函数的极值点,则函数在=0处的导数一定为0 ,所以p是q的必要不充分条件.11.A[解析] 由-12<12,解得0<<1,可推出3<1,反之不成立,故为充分而不必要条件.12.D[解析] ∵逆否命题是将原命题的条件与结论互换并分别否定,∴命题“若m>0,则方程2+-m=0有实根”的逆否命题是“若方程2+-m=0没有实根,则m≤0”.13.B[解析] 当ad=bc时,例如1×8=4×2,但1,4,2,8不能构成等比数列,故充分性不成立;反之,由等比数列的性质易得必要性成立.14.A[解析] 设R是三角形外接圆的半径,R>0.由正弦定理,得a=2R sin A,b=2R sin B.∵sin A≤sin B,∴2R sin A ≤2R sin B,∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.故选A.15.B[解析] 由全称命题的否定形式可得 p;∃0∈R,+1≤0.16.B[解析] 易知命题p为真命题,命题q为假命题,所以 q为真命题,由复合命题真值表知,p∧ q为真命题,故选B.17.D[解析] 当a=0时,A为空集,排除A;当a=2时,(2,1)∈A,排除B;当a=32时,作出可行域如图中阴影部分所示,由得P2,1),又∵a+y>4,取不到边界值,∴(2,1)∉A.故选D.18.C[解析] 依题意得M={y|y=e}={y|y>0},N={y|y=ln }={y|y∈R},所以M∩N={y|y>0}.故选C.19.D[解析] 含有一个量词的命题的否定写法是“变量词,否结论”,故 p;∃0∈R,(2-0)12≥0.故选D.20.C [解析] 因为y=3为增函数,y=3-为减函数,所以f ()=3-3-为增函数,故a>b ⇔f (a )>f (b ).故选C . 21.B [解析] 由题意可得A={|≤4,∈N *}={1,2,3,4},B={…,-5,-3,-1,1,3,5,…},所以A ∩B={1,3}.故选B . 22.B [解析] 由已知得A={|(-1)<0}={|0<<1},B={y|y=2}={y|y ≥0},所以A ⊆B.故选B . 23.B [解析] 依题意得,A={-2,-1,0,1},B={0,1,2},所以集合B 的子集有23=8(个),故选B . 24.B [解析] 由于P ∩Q=P ,因此不属于集合Q 的元素一定不属于集合P.故选B . 25.A [解析] A={|y=}={|≥1},B=y y=+32=y y ≥32,∁U B=y y<32,题图中阴影部分表示的集合是A ∩(∁UB ),且A ∩(∁U B )=1,32.故选A .26.B [解析] 由于“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件,故命题p 是假命题.显然命题q 为真命题,所以“p 且q ”是假命题.故选B .27.A [解析] 因为M={|-1<<2},M ∩N={|0<<1},显然m>0,所以N={|2-m<0}={|0<<m },则m=1.故选A . 28.A [解析] 当m=0时,f ()=2+m 是偶函数,所以命题p 是真命题.当a<0,b>0时,a<b ,但1a >1b不成立,所以命题q 是假命题,从而 q 是真命题,所以p ∧ q 是真命题.故选A .29.B [解析] 因为M={-1,0,1},N={|=ab ,a ,b ∈M 且a ≠b },所以N={-1,0},于是N ⫋M.故选B .30.C [解析] 函数f ()的值域是B 的非空子集,即{-1},{0},{1},{-1,0},{0,1},{-1,1},{-1,0,1},共7种不同的情况.故选C .31.C [解析] 设{a n }的公差为d ,由S n <na n 得n(a 1+a n )2<na n ,即na 1<na n ,a 1<a n ,所以a 1<a 1+(n-1)d ,因为n ≥2,所以d>0,所以数列{a n }为递增数列;反之,若数列{a n }为递增数列,则d>0,即S n <na n (n ≥2).故选C . 32.(2,+∞) [解析] 原命题的否命题“∃0∈(0,+∞),0+<m ”为真命题,所以m>+min=2,当且仅当=1时取等号,所以m ∈(2,+∞).。

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小题必刷卷(四)导数及其应用考查范围:第13讲~第15讲题组一刷真题角度1导数的运算及几何意义1.[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.[2016·山东卷]若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x33.[2016·四川卷]设直线l1,l2分别是函数f(x)=-图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)4.[2018·天津卷]已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.5.[2018·全国卷Ⅱ]曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.6.[2017·天津卷]已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.7.[2016·全国卷Ⅲ]已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.8.[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.9.[2015·全国卷Ⅱ]已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.角度2导数的应用10.[2017·全国卷Ⅲ]函数y=1+x+的部分图像大致为()A BC D图X4-111.[2017·山东卷]若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x12.[2016·四川卷]已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.213.[2018·江苏卷]若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.14.[2017·江苏卷]已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a 的取值范围是.题组二刷模拟15.[2018·贵州遵义航天中学月考]曲线y=x ln x在点M(e,e)处的切线方程为()A.y=x-eB.y=x+eC.y=2x-eD.y=2x+e16.[2018·湖南五市十校联考]已知函数f(x)=2x-a ln x,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直,则a=()A.1B.2C.-1D.-217.[2018·大连一模]若曲线y=e x在点P(x0,)处的切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(2,+∞)D.18.[2018·四川雅安4月联考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)=16,且f(x)的导函数f'(x)<4x-1,则不等式f(x)<2x2-x+1的解集为()A.{x|-3<x<3}B.{x|x>-3}C.{x|x>3}D.{x|x<-3或x>3}19.[2018·石家庄模拟]曲线y=e x-1+x的一条切线经过坐标原点,则该切线方程为()A.y=2e xB.y=e xC.y=3xD.y=2x20.[2018·安徽安庆二模]已知函数f(x)=2e f'(e)ln x-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-C.1D.2ln 221.[2018·重庆巴蜀中学月考]已知函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=x+sin x,则关于x的不等式f(x)>f(2x-1)的解集为()A.{x|1<x<3}B.{x|x<1}C.x x<或x>1D.x<x<122.[2018·山东德州二模]函数f(x)在实数集R上连续可导,且2f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则以下不等式一定成立的是()A.f(1)>B.f(1)<C.f(-2)>e3f(1)D.f(-2)<e3f(1)23.[2018·郑州三模]已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,若对任意x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒成立,则a的取值范围是()A.[e2,+∞)B.[e,+∞)C.[2,e]D.[e,e2]24.[2018·广东茂名联考]设曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则点P(1,a)到直线y=-的距离为.25.[2018·广西南宁二模]若函数f(x)=x3-3x2-a(a≠0)只有2个零点,则a=.26.[2018·湖南衡阳三模]若函数f(x)=x-2的图像在点(a,a-2)(a>0且a≠1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则log a=.小题必刷卷(四)1.D[解析]因为f(x)为奇函数,所以a-1=0,即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f'(x)=3x2+1.因为f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.2.A[解析]由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为-1.对于A,y'=(sin x)'=cos x,存在x1,x2使cos x1·cos x2=-1.3.A[解析]不妨设P1,P2两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中0<x1<1<x2.由题意可知,f'(x)=-由于l1,l2分别是点P1,P2处的切线,所以l1的斜率为-,l2的斜率为.又l1与l2垂直,且0<x1<x2,所以-·=-1,即x1·x2=1,可以写出l1与l2的方程分别为l1:y=-(x-x1)-lnx1,l2:y=(x-x2)+ln x2.则点A的坐标为(0,1-ln x1),点B的坐标为(0,-1+ln x2),由此可得|AB|=2-ln x1-lnx2=2-ln(x1·x2)=2.联立---解得交点P的横坐标为,故S△PAB=×2×=≤1,当且仅当x1=,即x1=1时,等号成立.而0<x1<1,所以0<S△PAB<1,故选A.4.e[解析]f'(x)=e x ln x+,所以f'(1)=e.5.2x-y-2=0[解析]因为y'=,所以曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线斜率为=2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.6.1[解析]∵f'(x)=a-,∴f'(1)=a-1,又f(1)=a,∴函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),整理得y=(a-1)x+1,∴切线l在y轴上的截距为1.7.2x-y=0[解析]当x>0时,-x<0,∵当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,∴f(-x)=e x-1+x.又∵f(-x)=f(x),∴当x>0时,f(x)=e x-1+x,f'(x)=e x-1+1,即f'(1)=2,∴曲线在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),整理得2x-y=0.8.1[解析]因为f'(x)=3ax2+1,所以函数在点(1,f(1)),即点(1,2+a)处的切线的斜率k=f'(1)=3a+1.又切线过点(2,7),则经过点(1,2+a),(2,7)的直线的斜率k=-,所以3a+1=-,解得a=1.9.8[解析]对函数y=x+ln x求导得y'=1+,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,又该切线也为函数y=ax2+(a+2)x+1的切线,所以由-得ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以Δ=a2-8a=0,得a=8或a=0(舍).10.D[解析]函数y=1+x+的图像可以看成是由y=x+的图像向上平移一个单位长度得到的,并且y'='=1+-,当x→∞时,y'→1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin 1>2,由图像可以排除A,故选D.11.A[解析]令g(x)=e x f(x).对于A,f(x)的定义域为R,g(x)=e x2-x=在R上单调递增,所以f(x)具有M 性质;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)=e x x2,g'(x)=e x x2+2e x x=e x(x2+2x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)=e x3-x=在R上单调递减,所以f(x)不具有M性质;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)=e x cos x,g'(x)=e x cos x-e x sin x=e x(cos x-sin x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质.故选A.12.D[解析]由已知得,f'(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2).于是当x<-2或x>2时,f'(x)>0;当-2<x<2时,f'(x)<0.故函数f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增;在区间(-2,2)上单调递减.于是当x=2时,f(x)取得极小值,故a=2.13.-3[解析]由题意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x∈(0,+∞),f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=,则当x∈0,时,f'(x)<0,当x∈,+∞时,f'(x)>0,因此函数f(x)的单调递减区间是0,,单调递增区间是,+∞,在x=处f(x)取得极小值f=-+1.而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以f=-+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,结合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.14.-[解析]因为f(-x)=-x3+2x+e-x-e x=-f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函数,则f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1-a).又f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2-=3x2≥0,所以f(x)在R上单调递增,则2a2≤1-a,即-1≤a≤.15.C[解析]由题知y'=ln x+1,所以所求切线的斜率k=ln e+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选C.16.A[解析]∵函数f(x)=2x-a ln x,∴f'(x)=2-,∴f'(1)=2-a=1,解得a=1.故选A.17.B[解析]由y=e x求导得y'=e x,∴切线斜率为,切线方程为y-=(x-x0),当x=0时,y=-x0+=(1-x0)<0,得x0>1.故选B.18.C[解析]令g(x)=f(x)-2x2+x-1,则g'(x)=f'(x)-4x+1<0,所以g(x)在R上单调递减.又g(3)=f(3)-2×32+3-1=0,所以原不等式等价于g(x)<g(3),所以x>3,所以不等式f(x)<2x2-x+1的解集为{x|x>3}.故选C.19.D[解析]设切点坐标为(a,e a-1+a),由y'=(e x-1+x)'='+1=e x-1+1,知切线的斜率k=e a-1+1,故切线方程为y-e a-1-a=(e a-1+1)(x-a),又切线过原点,所以-e a-1-a=(e a-1+1)(-a),解得a=1,故切线方程为y=2x.故选D.20.D[解析]因为f'(x)=-,所以f'(e)=-,得f'(e)=,所以f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=2e,所以f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故选D.21.D[解析]由题得当x≥0时,f'(x)=1+cos x>0,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,由于函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.由不等式f(x)>f(2x-1),得|x|>|2x-1|,两边平方,解得<x<1.故选D.22.A[解析]令g(x)=,则g'(x)=-,因为2f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,所以g'(x)<0在R上恒成立,即g(x)在R上单调递减,所以g(1)>g(2),即f(1)>.故选A.23.A[解析]依题意可知,在[0,1]上,f(x)max-f(x)min≤a-2,且a>2,f'(x)=(a x-1)ln a+2x,所以当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,所以f(x)max-f(x)min=a-ln a,所以a-ln a ≤a-2,解得a≥e2.故选A.24.[解析]由y=ax2,得y'=2ax,则切线的斜率k=2a,又切线与直线2x-y-6=0平行,所以2a=2,得a=1.所以点P(1,1)到直线y=-=-的距离d=1+=.25.-4[解析]由函数f(x)的解析式可得f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,可得x1=0,x2=2,由题意可知函数f(x)的极大值或极小值为0,即f(0)=-a=0,得a=0或f(2)=8-12-a=0,得a=-4,因为a≠0,所以a=-4.26.[解析]由题得f'(x)=-2x-3,所以f(x)的图像在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2,令y=0,得x=,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×3a-2×=3,得a=,所以log a=lo=.。