初中奥数提高班第5讲一元一次方程

第5讲一元一次方程一重要知识点回顾方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．3）一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．二.典型例题分析:例1解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．例2：已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．例3：已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．例4 已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．三.拓展练习(一).填空题1.若关于x 的方程x+2=a 和2x －4=3a 有相同的解,则 a= .2.一个三位数,三个数位上的数字和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3倍,这个三位数是 ．3．关于ｘ的方程19x －a=0的解为19－a,则a=__________.4.若关于x 的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________5.若关于x 的方程 ︳2x －1 ︳+m=0无解,则m=____________.(二).选择题6.若2a 与1－a 互为相反数,则a 等于( )A. 0B. －1C. 1D. －27.当3＜a ＜8时,关于x 的方程3x －8=a(x －1)的解是( )A. 无解B.正数C. 零D.负数8.要使方程ax=a 的解为1,则( )A.a 可取任何有理数B.a ＞0C. a ＜0D.a ≠09.关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a 的值为( )A. 2B. 3C.1或2D.2或310.关于x 的方程3x －4=a －bx 有无穷多个解,则a. b 的值应是( )A. a=4, b=－3B.a=－4, b=－3C. a=4 , b=3D.a .b 可取任意数(三)解答题11.解关于x 的方程(1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d12.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.13.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.1314.若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.15．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．四.课后作业1.解关于x的方程(1)ax=1+x2.已知关于x的方程a(2x－1)=4x+3b,当a、b为何值时:(1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?3.(1)关于x的方程4k(x+2)－1=2x无解,求k的值;(2)关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.。

七年级上册奥数竞赛题动点动角一元一次方程七年级上册奥数竞赛题中的动点动角和一元一次方程问题是一个经典而有趣的数学题型。

通过分析这类题目的具体操作方法以及推理论点，我们可以得出实践导向的结论，并进一步阐释相关问题。

本文将围绕这个主题，通过举例说明具体操作方法，分析性循序推理论点，并给出实践导向的结论，同时还会添加更多细节和深入相关信息。

动点动角问题是指在一个平面上，给定一个动点和一个初始角度，根据一定的规则，求解该动点在不同时间点上的位置。

在七年级上册的奥数竞赛中，常常出现这样的问题：已知一个动点以一定的角速度和初始角度在平面上运动，求解该动点在某个特定时间点上的位置坐标。

举一个例子，假设一个小车以每秒30度的角速度顺时针旋转，并且初始角度为0度。

那么在经过2秒后，我们可以通过一元一次方程来计算小车的位置坐标。

首先，我们可以设小车的初始坐标为原点O，然后根据角速度和时间的关系，可以得出小车在经过t秒后的角度A为A=30t。

接下来，我们需要利用三角函数的知识来求解小车的位置坐标。

在平面直角坐标系中，我们可以将小车的位置坐标表示为(x, y)，其中x表示小车与y轴的距离，y表示小车与x轴的距离。

根据三角函数的定义，我们可以得出x=cosA和y=sinA。

代入A=30t，我们可以得到x=cos(30t)和y=sin(30t)。

因此，小车在经过2秒后的位置坐标可以表示为(x, y)=(cos(30*2), sin(30*2))。

通过这个例子，我们可以看出动点动角问题与一元一次方程的关联。

在解决这类问题时，我们需要将动点的运动过程转化成角度的变化，并利用三角函数的知识求解其位置坐标。

这就涉及到了一元一次方程的运用，即将时间作为未知数，通过角速度和初始角度的关系来建立方程，从而求解所需的位置坐标。

通过分析这类问题，我们可以得出以下实践导向的结论：在解决动点动角问题时，我们需要熟练掌握角速度和初始角度的概念，以及角度与位置坐标之间的关系。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性更快、更高、 更强。

国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命 题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入 学考试。

奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维 和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比 普通数学要深奥一些。

下面是 1．等式与等量用"="号连接而成的式子叫等式注意"等量就能代 入"！ 2．等式的性质 等式性质 1 等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得 结果仍是等式； 等式性质 2 等式两边都乘以或除以同一个不为零的数，所得结果 仍是等式 3．方程含未知数的等式，叫方程 4．方程的解使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注 意"方程的解就能代入"！ 5．移项改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项移项 的依据是等式性质 1 6．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 7．一元一次方程的标准形式+=0 是未知数，、是已知数，且≠0 8．一元一次方程的最简形式=是未知数，、是已知数，且≠0 9．一元一次方程解法的一般步骤整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为 1……检验方程的解 10．列一元一次方程解应用题 1 读题分析法…………多用于"和，差，倍，分问题" 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如"大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----"，利用这些关键字 列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程2 画图分析法…………多用于"行程问题" 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读 题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图 形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系可把未知数看做已知量，填入有关的代数式是获 得方程的基础 11．列方程解应用题的常用公式 1 行程问题距离=速度·时间； 2 工程问题工作量=工效·工时； 3 比率问题部分=全体·比率； 4 顺逆流问题顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 5 商品价格问题售价=定价·折·，利润=售价-成本，； 6 周长、面积、体积问题圆=2π，圆=π2，长方形=2+，长方形=，正方形=4， 正方形=2，环形=π2-2,长方体=，正方体=3，圆柱=π2，圆锥=π2【初一奥数知识点一元一次方程】。

一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由题意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-．再去中括号得：1112224433x x x-+=-．移项，合并得：5111212x-=-．系数化为1，得：115x=．解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-．去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=．解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-．去中括号，得1112(1)(1)(1) 2243x x x-+--=-．移项、合并，得51(1)122x--=-．解得115x=．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭．去大括号111110 16842x----=．移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--=⎪⎝⎭．移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=．移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边同乘以4，得110 5x-=．移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】解：原方程可化为6x﹣=，两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移项合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为：223x = ． 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-，所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-．【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k-≠原方程的解为：64xk=-为正整数，∴4k-应为6的正约数，即4k-可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x 2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.【解析】解：①x 2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a bc c =++. C ．在等式b ca a=两边都除以a ，可得b ＝c.D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。

《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，方程就像是一座神秘的桥梁，连接着已知和未知。

而一元一次方程，则是这座桥梁中较为基础和常见的一种。

一元一次方程，简单来说，就是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。

我们可以用一个通用的形式来表示一元一次方程：ax ＋ b ＝ 0 （其中a ≠ 0 ）。

这里的“x”就是我们要寻找的未知数，“a”是未知数的系数，“b”则是常数项。

比如说，3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。

在这个方程中，未知数是 x ，系数是 3 ，常数项是 5 和 14 。

二、一元一次方程的求解接下来，让我们一起来探索如何求解一元一次方程。

求解一元一次方程的基本思路就是通过一系列的运算，将方程变形，最终求出未知数的值。

以方程 2x ＋ 7 ＝ 15 为例，我们的目标是让 x 单独在等号的一边。

首先，我们要把常数项 7 移到等号的右边，这时候要注意，移项时要变号，所以得到 2x ＝ 15 7 ，即 2x ＝ 8 。

然后，将方程两边同时除以系数 2 ，得到 x ＝ 4 。

再来看一个稍微复杂一点的方程，比如 5(x 3) ＋ 2 ＝ 17 。

第一步，先把括号展开，得到 5x 15 ＋ 2 ＝ 17 。

接着，合并同类项，5x 13 ＝ 17 。

然后，把－13 移到等号右边，5x ＝ 17 ＋ 13 ，即 5x ＝ 30 。

最后，两边同时除以 5 ，解得 x ＝ 6 。

三、一元一次方程的应用一元一次方程在我们的日常生活中有着广泛的应用。

比如，购物时计算折扣和价格。

假设一件商品原价为 x 元，打 8 折后的价格是 160 元，那么可以列出方程 08x ＝ 160 ，解得 x ＝ 200 ，就知道这件商品的原价是 200 元。

再比如，行程问题。

如果一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶，行驶了 x 小时后，总共行驶了 300 千米，那么可以列出方程 60x ＝300 ，解得 x ＝ 5 ，也就是这辆汽车行驶了 5 小时。

初一奥数题知识点归纳总结在初一阶段，学生们逐渐接触到了奥数（奥林匹克数学）题目，这些题目旨在培养学生的逻辑思维、数学推理和解题能力。

以下是初一奥数题的常见知识点的归纳总结。

1. 四则运算在初一的奥数题中，四则运算是基础且重要的知识点。

包括加法、减法、乘法和除法。

初一的奥数提高了题目的难度，通常会涉及到多步运算，要求学生们能够熟练灵活地运用四则运算解题。

2. 代数运算代数运算是初一奥数题中的重要内容之一。

学生们需要掌握各种代数表达式的化简、展开和因式分解等技巧。

此外，还要学会使用代数式表示实际问题，并从中提取出关键信息进行推理和计算。

3. 几何图形几何图形也是初一奥数题中常见的知识点。

学生需要熟悉各种平面图形的性质，包括正方形、长方形、圆形、三角形等。

同时，学生还需要了解平行线、垂直线、相交线等基本概念，并能灵活运用这些概念解决几何题目。

4. 百分数与分数在初一的奥数题中，百分数和分数经常出现。

学生需要掌握百分数和分数之间的转换关系，能够将一个数转化为百分数或分数，并能灵活运用这些知识解题。

5. 方程与不等式方程和不等式是初一奥数题中较难的知识点之一。

学生们需要学会解一元一次方程、一元一次不等式，并能运用这些知识解决实际问题。

6. 数据统计数据统计也是初一奥数题中常见的知识点。

学生们需要学会收集和整理数据，并能够运用图表（如柱状图、折线图、饼图等）对数据进行分析和解读。

综上所述，初一奥数题的知识点主要包括四则运算、代数运算、几何图形、百分数与分数、方程与不等式以及数据统计。

掌握这些知识点对于提高学生的数学水平和解题能力非常重要。

同学们在学习过程中要注重理论与实践相结合，多做习题，巩固知识，提高解题能力。

祝愿大家在初一奥数的学习中取得优异成绩！。

初一复习一元一次方程综合提高讲义Revised by Petrel at 2021复习一元一次方程综合提高相关概念及性质：一元一次方程的定义1．一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且未知数的系数不等于0的方程叫做一元一次方程。

2．一元一次方程的形式标准形式：0ax b+=（其中0a≠，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．最简形式：方程ax b=（0a≠，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．【注意】任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．等式的概念用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．1.在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．2.等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b=，则a m b m±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b=，则am bm=，a bm m=(0)m≠．【注意】（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．（2）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=．②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=．一元一次方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．【注意】不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．【注意】不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．【注意】①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成ax b=的形式．【注意】字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（0a≠），得到方程的解b x a =． 【注意】不要把分子、分母搞颠倒．2、一元一次方程实际应用提升练习 题型一：1.下列各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x =；⑤213x x ++=；⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程＿＿＿＿。

第五章一元一次方程（提高）方程的意义（提高）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x ＝0中，两边加上得x ＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．（2018秋•盘锦校级月考）下列各式不是方程的是（ ）A.3B.m+2n=0C.x=-3 D.4y ＞3【思路点拨】根据方程的定义进行判断.【答案】D【解析】解：A 、含有未知数且是等式，故本选项是方程；B 、含有未知数且是等式，故本选项是方程；C 、含有未知数且是等式，故本选项是方程；D 、含有未知数但不是等式，故本选项错误．故答案为D.【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，方程一定是等式，但等式不一定是方程． 2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )．A ．2x-1＝3 (2，-1)B ． (3，-3) C. (x-1)(x-2)＝0 (1,2) D ．2(y-2)-1＝5 (5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．举一反三：【变式】若是关于的方程的解，则的值为__________.【答案】-1． 类型二、一元一次方程的相关概念3．已知下列方程：①；②x ＝0；③；④x+y ＝0；⑤；⑥0.2x ＝4．其中一元一次方程的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ． 5245x +=5118x x +=-210x +=13x x +=623x x =-【答案】B【解析】方程①中未知数x 的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x ，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程.方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）．举一反三：【变式】(1)已知关于x 的一元一次方程，求得m ＝________． (2)已知方程(m-4)x+2＝2009是关于x 的一元一次方程，则m 的取值范围是________．(3)若是关于x 的一元一次方程，则m 的值为( )A ．±2B ．-2C ．2D ．4【答案】(1) (2)m ≠4 (3)B 类型三、等式的性质4．（2019春•建湖县校级月考）下列各式中，变形正确的是（ ）A ．若a=b ，则a+c=b+cB ．若2x=a ，则x=a ﹣2C ．若6a=2b ，则a=3bD ．若a=b+2，则3a=3b+2【思路点拨】根据等式的性质对各选项进行进行逐一判断即可．【答案】A.【解析】解：A 、正确，符合等式的基本性质（1）；B 、错误，若2x=a ，则x=；C 、错误，若6a=2b ，则a=b ；D 、错误，若a=b+2，则3a=3b+6．故选A ．【总结升华】本题主要考查了等式的基本性质．（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．举一反三：【变式】（2018•河北模拟）已知x=y≠﹣，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y ﹣3； ②=；③=；④2x+2y=0，其中一定正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B解：①③正正确；32105m x +=||1(2)5m m x --=13m =-类型四、等式或方程的应用5．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．……(2)通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．【答案与解析】解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n 个图形每条线上应该是n 个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n 个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n 个图形看作n 个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系．举一反三：【变式】某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A. B.C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289【答案】A.方程的意义（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列各式是方程的是( )()22891256x -=()22561289x -=A ．B ．2m-3＞1C ．25+7＝18+14D ． 2. 若x ＝1是方程2x-a ＝0的解，则a 为( )．A ．1B ．-1C ．2D ．-23．（2019春•卧龙区期中）已知（3﹣2a ）x+2=0是关于x 的一元一次方程，则|a ﹣|一定（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定4．（2018•秦淮区一模）如果用“a=b”表示一个等式，c 表示一个整式，d 表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c=b±c”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（ ）A. a•c=b•d，a÷c=b÷dB. a•d=b÷d，a÷d=b•dC. a•d=b•d，a÷d=b÷dD. a•d=b•d，a÷d=b÷d （d≠0）5．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x ，则列出的方程应是( )．A ．2x+(70-x)＝196B ．2x+4(70-x)＝196C ．4x+2(70-x)＝196D ．2x+4(70-x)＝ 6.已知关于的方程与的解相同，则的值是 （ ）A ．9B ．-9C ．7D ．-87. 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）A ．x ·40%×=240B ．x （1+40%）×=240C ．240×40%×=x D ．x ·40%=240× 8. 将的分母化为整数，得( )． A ． B ． C ． D ． 二、填空题533x y +73852t t -=+1962y 324y m +=41y +=m 108x 108108108108103.001.05.02.0=+-x x 1301.05.02=+-x x 1003505=+-x x 100301.05.020=+-x x 13505=+-x x9.（2019春•浦东新区期中）若关于（k ﹣2）x|k ﹣1|+5=0是一元一次方程，那么k= ． 10．(2018春.山西期中)已知方程2x m-3+3=5是一元一次方程，则m=________.11.若，则 . 12.将方程的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x －3)这种变形的根据是_____ _.13.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是，求原数，则可列方程为____________________.14. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为________．三、解答题15.（1）若关于的方程是一元一次方程，求的值. （2）若关于的方程是一元一次方程，求的值. 16. （2018秋•忠县校级月考）下列方程的变形是否正确？为什么？（1）由3+x=5，得x=5+3．（2）由7x=﹣4，得x=．（3）由，得y=2． （4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3．17.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费14元，问老李家六月份用水多少吨？ 请你为解决此题建立方程模型．18.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示；0)2(432=-+-y x =+y x 63242-=+x x x x 22(2)10()a a x x ---+=a x 5413524n x -+=n(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满足了就是方程．A、B不是等式；C中没有未知数．2.【答案】C.【解析】把x＝1代入方程得2×1-a＝0，解得a＝2．3.【答案】A.【解析】解：由题意得，3﹣2a≠0，解得，a≠，则|a﹣|＞0，故选：A．4.【答案】D .5.【答案】B【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196．6.【答案】A【解析】由得，将其代入可得：．7.【答案】B【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率．8.【答案】D【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质．二、填空题9. 【答案】0【解析】解：由关于（k﹣2）x|k﹣1|+5=0是一元一次方程，得|k﹣1|=1且k﹣2≠0．解得k=0．故答案为：0．10.【答案】4 .11.【答案】【解析】考查平方和绝对值的非负性，由题意得：，，即可求出．12.【答案】12, 等式的性质2；13.【答案】41y+=3y=-324y m+=9m=41143=-x02=-yxx+=++40098)410(3【解析】 原数应表示为：，再根据题意即可得出答案 ．14.【答案】 (n+2)2-n 2＝4(n+1)【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字都是4的倍数．即：32-12＝4×2，42-22＝4×3，52-32＝4×4，62-42＝4×5，…．设n(n ≥1)表示自然数，把第一个等式中的l 换成n ，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)2-n 2＝4(n+1)，就是第n 个等式．三、解答题15.【解析】（1）∵ 是一元一次方程 ∴ ，且，可得：∴ 的值为．（2）∵ 是一元一次方程 ∴ 可得：∴ 的值为．16.【解析】解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确，∵方程左边减3，方程的右边加3，∴变形不正确；（2）由7x=﹣4，得x=，变形不正确， ∵左边除以7，右边乘，∴变形不正确；（3）由，得y=2，变形不正确， ∵左边乘2，右边加2，∴变形不正确；（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确，∵左边加x 减3，右边减x 减3，∴变形不正确．17.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，∴ 老李家六月份用水超过了20吨．设老李家六月份用水x 吨，根据题意得0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14．18.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n 个等式，首起数字是n ，第2个数的分子是n ，分母比分子大1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加1份，其中空白1份．如图所示：104x +22(2)10()a a x x ---+=20a -=(2)0a --≠2a =-a 2-5413524n x -+=541n -=1n =n1． (2) 一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2.含字母的一元一次方程555566⨯=-11n n n n n n ⨯=-++b x a =ax b c +=0c <0c =0ax b +=0c >ax b c +=ax b c +=-此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．（2018秋•新洲区期末）关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x+2=m 有相同的解，则m 的值是（ ）A.10B.-8C.-10D.8【答案】B ．【解析】解：由2x ﹣4=3m 得：x=；由x+2=m 得：x=m ﹣2 由题意知=m ﹣2 解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x ＝2+5，合并得10x ＝7．，系数化为1得． 【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x 移到方程左边应变为-7x ，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x ＝5-2， 合并得-4x ＝3，系数化为1得． 类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：． 【答案与解析】解法1：先去小括号得：． 再去中括号得：． b x a =710x =34x =-112[(1)](1)223x x x --=-11122[]22233x x x -+=-1112224433x x x -+=-移项，合并得：． 系数化为1，得：． 解法2：两边均乘以2，去中括号得：． 去小括号，并移项合并得：，解得：． 解法3：原方程可化为： ． 去中括号，得． 移项、合并，得． 解得． 【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：．【答案与解析】解法1：(层层去括号) 去小括号． 去中括号． 去大括号． 移项、合并同类项，得，系数化为1，得x ＝30． 5111212x -=-115x =14(1)(1)23x x x --=-51166x -=-115x =112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=-51(1)122x --=-115x =1111111102222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭111111102242x ⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭11111102842x ⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭11111016842x ----=115168x =解法2：(层层去分母) 移项，得．两边都乘2，得．移项，得． 两边都乘2，得． 移项，得，两边都乘2，得．移项，得，系数化为1，得x ＝30． 【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做． 举一反三： 【变式】解方程．【答案】解：方程两边同乘2，得．移项、合并同类项，得．两边同乘以3，得． 移项、合并同类项，得．两边同乘以4，得． 移项，得，系数化为1，得x ＝5． 类型三、解含分母的一元一次方程111111112222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭1111112222x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111113222x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111622x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭111722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11142x -=1152x =111116412345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭1111642345x ⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111162345x ⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1116645x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭111045x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1105x -=115x =4．（2019春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x 系数化为1，即可求出解．【答案与解析】 解：原方程可化为6x ﹣=，两边同乘以6，得36x ﹣21x=5x ﹣7， 移项合并，得10x=-7 解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三： 【变式】解方程．【答案】 解：原方程可化为． 去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y ＝15． 移项、合并同类项，得2y ＝3．系数化为1，得． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为： ． 当x ≥0时，得，解得：， 当x ＜0时，得，解得：， 所以原方程的解是x ＝或x ＝． 0.40.90.30.210.50.3y y++-=4932153y y++-=32y =223x =223x =13x =223x -=13x =-1313-【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解． 举一反三：【变式】（2018秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于的方程： 【答案与解析】解：原方程可化为：当，即时，方程有唯一解为：； 当，即时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论． 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值. 【答案】解：∵原方程有解，∴ 原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，6 ∴为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，10.【巩固练习】一、选择题 1．（2018秋•榆阳区校级期末）关于x 的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（ ）ax b c +=ax b +x 1mx nx -=()1m n x -=0m n -≠m n ≠1x m n=-0m n -=m n =ax b =x a 40k -≠64x k =-4k -4k -kA.-2B.C.2D. 2．下列说法正确的是( ) ．A ．由7x ＝4x-3移项得7x-4x ＝-3B ．由去分母得2(2x-1)＝1+3(x-3) C ．由2(2x-1)-3(x-3)＝1去括号得4x-2-3x-9＝4D ．由2(x-1)＝x+7移项合并同类项得x ＝5 3．将方程去分母得到方程6x-3-2x-2＝6，其错误的原因是( ) ． A ．分母的最小公倍数找错B ．去分母时，漏乘了分母为1的项C ．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误D ．去分母时，分子未乘相应的数 4．解方程，较简便的是( )． A ．先去分母 B ．先去括号 C ．先两边都除以D ．先两边都乘以 5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：■，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是，于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )．A ．1B ．2C ．3D ．46.（2019春•龙海市期中）已知a ≠1，则关于x 的方程（a ﹣1）x=1﹣a 的解是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=﹣1 D ．无解7. “△”表示一种运算符号，其意义是，若，则等于（ ）．A ．1B ．C ．D ．2 8.关于的方程无解，则是（ ）． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 二、填空题9.已知方程，那么方程的解是 .4343-213132x x --=+211123x x ---=4530754x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭454511222y y -=+53y =2a b a b ∆=-(13)2x ∆∆=x 1232x (38)70m n x ++=mn ||x 2=10. 当x= _____ 时，x －的值等于2． 11．已知关于x 的方程的解是4，则________． 12．若关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a 的值是 ．13．（2018秋•高新区校级期末）如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x ﹣2的值是 ． 14．a 、b 、c 、d 为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时，则x ＝______． 三、解答题 15．（2019春•宜宾校级月考）解方程： （1）5x+3（2﹣x ）=8 （2）=1﹣（3）+=（4）[x ﹣（x ﹣1）]=（x ﹣1） 16. 解关于的方程：；（2） （3） 17.（2018•裕华区模拟）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=a﹣2b ，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x ﹣3）⊕（x+1）=1，求x 的值．【答案与解析】 一、选择题1.【答案】C ．【解析】解第一个方程得：x=﹣，解第二个方程得：x=∴=﹣解得：k=2.2.【答案】A【解析】由7x ＝4x-3移项得7x-4x ＝-3；B ．去分母得2(2x-1)＝6+3(x-3)；C ．把2(2x-1)-3(x-3)＝1去括号得4x-2-3x+9＝1；D ．2(x-1)＝x+7，2x-2＝x+7，2x-x ＝7+2，x ＝931x+3322xa x -=+2()2a a --=ab ad bc c d=-241815x =-x ()148x b ax +=-(1)(1)(2)m x m m -=--(1)(2)1m m x m --=-213132x x --=+【解析】把方程去分母，得3(2x-1)-2(x-1)＝6，6x-3-2x+2＝6与6x-3-2x-2＝6相比较，很显然是符号上的错误．4．【答案】B 【解析】 因为与互为倒数，所以去括号它们的积为1. 5．【答案】B【解析】设被污染的方程的常数为k ，则方程为，把代入方程得，移项得，合并同类项得-k ＝-2，系数化为1得k ＝2，故选B ．6．【答案】C【解析】解：∵a ≠1，∴在（a ﹣1）x=1﹣a 中，x=，又∵a ﹣1和1﹣a 互为相反数， ∴x=﹣1． 故选C ．7．【答案】B【解析】由题意可得：“△”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：，而，解得： 8．【答案】B【解析】原方程可化为：，将“”看作整体，只有时原方程才无解，由此可得均为零或一正一负，所以的值应为非正数．二、填空9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】24【解析】把x ＝4代入方程，得，解得a ＝6，从而(-a)2-2a ＝24． 211123x x ---=455411222y y k -=+53y =1015326k -=+5110623k -=+-132131∆=⨯-=-(13)(1)212x x x ∆∆=∆-=+=12x =(38)7m n x +=-38m n +380m n +=,m n mn 1222x x ==-，213=x 344322a -=+【解析】由题意，求出方程的解为：,,，因为解为正整数，所以，即或． 13.【答案】-6.【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0，解得：x=﹣4， ∴x﹣2=﹣6．14．【答案】3【解析】由题意，得2×5-4(1-x)＝18，解得x ＝3． 三、解答题 15. 【解析】 解：（1）去括号得：5x+6﹣3x=8， 移项合并得：2x=2， 解得：x=1；（2）去分母得：3（2x ﹣1）=12﹣4（x+2）， 去括号得：6x ﹣3=12﹣4x ﹣8， 移项合并得：10x=7， 解得：x=0.7； （3）方程整理得：+=，去分母得：15x+27+5x ﹣25=5+10x ， 移项合并得：10x=3， 解得：x=0.3；（4）去括号得：x ﹣（x ﹣1）=（x ﹣1）， 去分母得：6x ﹣3（x ﹣1）=8（x ﹣1）， 去括号得：6x ﹣3x+3=8x ﹣8， 移项合并得：5x=11， 解得：x=2.2．16. 【解析】解：(1)原方程可化为： 当时，方程有唯一解：； 当，时，方程无解；当，时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解． (2)当，即时，方程有唯一的解：．314-=-x ax 2)4(-=-x a 42--=a x 214a --=-或2a =3(4)8a x b -=+4a ≠84b x a +=-4a =8b ≠-4a =8b =-(1)(1)(2)m x m m -=--10m -≠1m ≠2x m =-当，即时，原方程变为．原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．(3)当时，原方程有唯一解：； 当时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解； 当时，原方程无解． 17.【解析】 解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7； （2）已知等式变形得：x ﹣3﹣2（x+1）=1， 去括号得：x ﹣3﹣2x ﹣2=1， 移项合并得：﹣x=6， 解得：x=﹣6．一元一次方程应用（一）--水箱变高了与打折销售（提高）知识讲解【学习目标】1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、水箱变高了（等积变形问题） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式：10m -=1m =00x ⋅=(1)(2)1m m x m --=-1,2m m ≠≠12x m =-1m =2m =−−−→分析抽象−−−→求解检验长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长圆的周长公式：C=；面积公式：；圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥=×底面积×高 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.要点三、打折销售（利润问题） (1) (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑． 要点四、方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】类型一、水箱变高了（等积变形问题）1．（2018•厦门校级一模）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．【思路点拨】可设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x ）平方米，根据甲、乙两种作物的总产量的比为3：4，列出方程求解即可． 【答案与解析】解：设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x ）平方米，依题意有x ：[2（100×50﹣x ）]=3：4， 解得x=3000， 100×50﹣x =5000﹣3000 =2000．故种植作物甲的面积是3000平方米，种植作物乙的面积是2000平方米，使甲、乙两种作物2d r ππ=2S r π=13-=100%=100%⨯⨯利润售价成本利润率成本成本的总产量的比为3：4．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，得出两部分面积之比．类型二、打折销售（利润问题）2．（2019春•盐城校级月考）某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了 元． 【思路点拨】根据题意分别求出两个随身听的进价，进而求出答案．【答案】34．【解析】解：设一个的进价为x 元，根据题意可得：x （1+20%）=132，解得：x=110，设另一个的进价为y 元，根据题意可得：y （1+10%）=132，解得：x=120，故该商店在这笔交易中共赚了：132+132﹣120﹣110=34（元）．故答案为：34．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理清进价与利润之间的关系是解题关键．举一反三：【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）【答案】解：设此商品的进货价为x 元，依题意，得：(900×0.9-100)-x=10%x ，得：x= ∴ x≈645. 答：此商品的进价约为645元.3．商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A 型冰箱打几折，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．【思路点拨】本题主要是根据两种电冰箱使用10年所耗电量的费用相同来列方程.【答案与解析】解：设商场A 型冰箱打x 折，依题意，买A 型冰箱需2190×元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B 型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：56451111010x。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

下⾯是为⼤家带来的初⼀年级奥数知识点：解⼀元⼀次⽅程重点讲解，欢迎⼤家阅读。

1.⼀元⼀次⽅程：只含有⼀个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式⽅程是⼀元⼀次⽅程。

2.⼀元⼀次⽅程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。

3.条件：⼀元⼀次⽅程必须同时满⾜4个条件：(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.4.等式的性质：等式的性质⼀：等式两边同时加⼀个数或减去同⼀个数或同⼀个整式，等式仍然成⽴。

等式的性质⼆：等式两边同时扩⼤或缩⼩相同的倍数(0除外)，等式仍然成⽴。

等式的性质三：等式两边同时乘⽅(或开⽅)，等式仍然成⽴。

解⽅程都是依据等式的这三个性质等式的性质⼀：等式两边同时加⼀个数或减同⼀个数，等式仍然成⽴。

5.合并同类项(1)依据：乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成⼀项;常数计算后合并成⼀项(3)合并时次数不变，只是系数相加减。

6.移项(1)含有未知数的项变号后都移到⽅程左边，把不含未知数的项移到右边。

(2)依据：等式的性质(3)把⽅程⼀边某项移到另⼀边时，⼀定要变号。

7.⼀元⼀次⽅程解法的⼀般步骤：使⽅程左右两边相等的未知数的值叫做⽅程的解。

⼀般解法：(1)去分母：在⽅程两边都乘以各分母的最⼩公倍数;(2)去括号：先去⼩括号，再去中括号，最后去⼤括号;(记住如括号外有减号的话⼀定要变号)(3)移项：把含有未知数的项都移到⽅程的⼀边，其他项都移到⽅程的另⼀边;移项要变号(4)合并同类项：把⽅程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系数化成1：在⽅程两边都除以未知数的系数a，得到⽅程的解x=b/a.8.同解⽅程如果两个⽅程的解相同，那么这两个⽅程叫做同解⽅程。

专训2特殊一元一次方程的解法技巧名师点金：解一元一次方程潜存着许多解题技巧，只要在解题过程中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则就可以达到事半功倍的效果．分子、分母含小数的一元一次方程技巧1巧化分母为14x－1.63x－5.4 1.8－x1．解方程：－＝.0.50.20.12x＋1x－22．解方程：－＝－10.0.250.5技巧2巧化同分母x0.16－0.5x3．解方程：－＝1.0.60.06技巧3巧约分去分母4－6x0.02－2x4．解方程：－6.5＝－7.5.0.010.02分子、分母为整数的一元一次方程技巧1巧用拆分法x－12x－36－x5．解方程：－＝.263x x x x6．解方程：＋＋＋＝1.261220技巧2巧用对消法x x －236－3x 7．解方程：＋＝3－.35715技巧3巧通分x ＋3x ＋2x ＋1x ＋48.解方程：－＝－.7564含括号的一元一次方程技巧1利用倒数关系去括号32x ⎫⎤－1－2－x ＝2.9．解方程：⎡3⎛2⎣⎝4⎭⎦技巧2整体合并去括号111x －（x －9）⎤＝(x －9)．10．解方程：x －⎡⎦93⎣3技巧3整体合并去分母1211．解方程：(x －5)＝3－(x －5)．33技巧4不去括号反而添括号112x －（x －1）⎤＝(x －1)．12．解方程：⎡⎦32⎣2技巧5由外向内去括号111x －1⎫－6⎤＋2＝0.13.⎡4⎛3⎭⎦3⎣⎝技巧6由内向外去括号21⎫⎤3414．2⎡3x －⎛⎝3x －2⎭⎦＝4x.⎣答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8.29系数化为1，得x ＝－.152．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18.系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1.0.1x 0.16－0.5x 0.063．解：化为同分母，得－＝.0.060.060.06去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06.11解得x ＝.304－6x 0.01－x 4．解：原方程可化为＋1＝.0.010.01去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x.4解得x ＝.5x 1x 1x 5．解：拆项，得－－＋＝2－.22323x 移项、合并同类项，得＝2.2系数化为1，得x ＝4.x x x x x x x x －⎫＋⎛－⎫＋⎛－⎫＋⎛－⎫＝1.6．解：拆项，得⎛⎝2⎭⎝23⎭⎝34⎭⎝45⎭x 5整理得x －＝1.解得x ＝.54x x －224x －27．解：原方程可化为＋＝＋，3575x 2472即＝.所以x ＝.3776－3x x －2点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－＝，两边消去这一项可避免去155分母运算．5（x ＋3）－7（x ＋2）2（x ＋1）－3（x ＋4）8．解：方程两边分别通分后相加，得＝.3512－2x ＋1－x －10化简，得＝.3512362解得x ＝－.11点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．x 9．解：去括号，得－1－3－x ＝2.43移项、合并同类项，得－x ＝6.4系数化为1，得x ＝－8.323点拨：观察方程特点，由于与互为倒数，因此让乘括号内的每一项，则可先去中括232号，同时又去小括号，非常简便．11110．解：原方程可化为x －x ＋(x －9)－(x －9)＝0.3992合并同类项，得x ＝0.3系数化为1，得x ＝0.1211．解：移项，得(x －5)＋(x －5)＝3.33合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．11212．解：原方程可化为[(x －1)＋1－(x －1)]＝(x －1)．2231112去中括号，得(x －1)＋－(x －1)＝(x －1)．22435111移项、合并同类项，得－(x －1)＝－.解得x ＝.122511x －1⎫－2＋2＝0.13．解：去中括号，得⎛3⎝⎭1211去小括号，得x －＝0.361211移项，得x ＝.3612系数化为1，得x ＝3.21⎤3421314．解：去小括号，得2[x －x ＋]＝x ，即2⎡⎣3x ＋2⎦＝4x.332443去中括号，得x ＋1＝x.347移项、合并同类项，得x＝－1.1212系数化为1，得x＝－.7。