广东2015届高三六校联盟第四次联考试题(数学理科)

2015届广东六校联盟第三次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置） 1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}6 2. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝ 3. 已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ）A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A.xxy e e -=+B.y =C.tan y x =D.1ln1xy x+=- 5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263 B.83π+ C.143π D.73π 6. 已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ） A.44S T >B.44S T <C.44S T =D.44S T ≤7. 已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12 B.13或1- C.13D.1- 8. 已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数： ①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞U AB主视图 侧视图俯视图为有界函数的是（ ） A.②④ B.②③④C.①③D.①③④二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9. 函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________. 10. 在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________. 11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________.12. 已知圆2220x y x +-=上的点到直线:2l y kx =-的最近距离为1，则k =______. 13. 如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的 两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,60PAQ PBA PBQ ∠=∠=∠=︒,可求得P 、Q 两点间的距离为 米.14. 已知(){}:,23p M x y x x ∈+-+；()(){}()222:,10q M x y x y r r ∈-+<>如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是_ .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 16．（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划12的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B,A 1C,A 1D.（1）当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；（2）线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：222121117n b b b +++<. 19.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ，动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤. （1）求动点P 的轨迹C 方程；C 1A BCD A 1B 1D 1（2）若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<， 且()g x 的图像在此两点处的切线互相垂直，求a 的取值范围.六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CBAD DABC二、填空题：9.20x y e --=； 10.3； 11.2n 12.0或者43-； 13. 900；14. r >)r ∈+∞或者直接)+∞均可三、解答题：15. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α= ………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β= …………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分 16.解：设甲组x 名同学，乙组y 名同学，根据题意有：……………………1分1120251110451318450,0x y x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪≥≥⎩ 整理得： 52200542005123600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 可行域如图： 参加活动的总人数z x y =+，变形为y x z =-+，当经过可行域内的点，斜率为1-的直线在y 轴上 截距最大时，目标函数z x y =+取得最大值. 由可行域图像可知，直线y x z =-+经过54200x y +=和512360x y +=的交点A 时，在y 轴上截距最大. ……………8分解方程组54200512360x y x y +=⎧⎨+=⎩得：24,20x y == ……………………………………10分所以max 242044z x y =+=+= …………………………………………………11分答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分 17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边 形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM ⊥A 1C ，所以BMD ∠即为所求二面角的平面角 ……6分因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以1A BC ∆为直角三角形 又11AB AC =，所以11A B BC BM AC ⨯===DM = Ox y54200x y +=52200x y +=512360x y +=y x =- A （24，20）………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分 AB C DA 1B 1C 1DM在∆BMD中，根据余弦定理有：6621cos 2BMD +-∠==- ………………8分因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A 1C-D 的值是120︒. ……………………………………………………9分 ⑵ 若线段A 1C 上存在一点P ，使得 A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD ………………10分 又A 1A ⊥平面ABCD,所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC所以BD ⊥AC ……………………………………………………………………12分底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M此时，21113A B A P AC ===……………………………………………………14分 法二：根据题意可知，AA 1, AB,AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭………………………2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 …………………………………3分所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=，设平面A 1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分同理可得平面A 1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分 所以，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅ ………………8分 又二面角B-A 1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分（也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量）⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ-- ()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP AC BD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分解得：21,3t λ==…………………………………………………………13分 即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分18.解：⑴ 12241233nn n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n nb = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：① 当1n =时，112b =符合通项公式2n nb =；② 假设当n k =时猜想成立，即112k k kb a ==+，21k a k =-那么当1n k =+时12111123113k k k a k k a a k k +----===++-+，1111111211k k k b k a k+++===-+++ 即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n n b =.⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭ 左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分19.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分 法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于rr ≤ …………………………………………………………9分整理得：()()()22222221683444t t rt t r +--≤+-即()()22222816281690t t rtt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2m a x281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r≤≤ ……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r ≤≤成立 ……9分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2m a x281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r≤≤ ……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分20.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ ……1分当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- ………………………………3分 当1(,)x a a a ∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭ ………………………………5分 ⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a ag x a f x a a a x a a x a x aa ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ ……………………6分函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a<<--<<，得：13a -<<-+………………………………………………………………………8分 当1(,)x a a a∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121a k x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2a g x a x a =--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+； ………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aax a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分因为121016a x a x a a a<+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a a a⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：2a -<<综合得：所求a的取值范围是(a ∈-. ………………………………14分。

松昌中学2015届高三第四次统测理科数学试卷参考公式：锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{}{}{}4,2)(,3,1)(,9,8,7,6,5,4,3,2,1==⋃=B C A B A C U U U ，则集合B=A ．{}9,7,5,3,1B ．{}4,3,2,1C ．{}8,6,4,2D ．{}9,8,7,6,52．已知命题:p “∀01,02<-+≥x x x ”的否定是“∃00<x ，01020≥-+x x ”；命题:q 在ABC ∆中“B A ∠>∠”的充要条件是“B A sin sin >”； 则下列命题是假命题的是A .q p ∨B . )(q p ⌝∨C . q p ∨⌝)(D . )()(q p ⌝∨⌝3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上 存在零点的是 A ．1y x=B .lg ||y x =C .xy e -= D .21y x =--4．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A ．11B ．11.5C ．12D ．12.55．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是 A ．αα//,//,//n m n m 则若 B.若γβγα⊥⊥,，则βα//C ．若αα//,//n m ，则n m // D.若αα//,n m ⊥，则n m ⊥ 6. 函数][)(x x f =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，2]1.2[,4]5.3[=-=-.当]3,5.2(-∈x 时，函数)(x f 的值域为A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}2,1,0,1,2,3---C ．{}3,2,1,0,1,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3--- 7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是 .A 24π .B π2 .C 21 .D 22π8．现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各４张，从中任取３张，要求第4题图这３张不能是同一颜色，且红色卡片至多１张，不同的取法为 A ．232种 B ．252种 C ．472种 D ．484种 二、填空题：本大题共6小题，满分30分．9．已知i 为虚数单位，i z i +=⋅-1)1(，则复数z 的模为 *** ． 10．已知随机变量ξ服从两点分布，且2.0)0(==ξP ，则=ξD *** ．11．在平面直角坐标系xOy 中,已知)2,2(),,1(=-=OB t OA ,若︒=∠90ABO ,则实数t 的 值为 *** ．12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积是 *** ．13．已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3， 则=n *** ．14．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。

AB C D2015届广东六校联盟第一次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则 z i ＋i ·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i3. 已知实数x y ，满足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. -24. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是 ( )A.3B.13C. 3-D. 13-5. 已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()()2,4,1,3,AB AC AD BD ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则( )A. 8-B. 6-C.6D.8 6. 已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为y =，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ）A ．95.25万元B ．96.5万元C ．97万元D ．97.25万元7．如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,A B CD 的 中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、直线AB 的平面将正方体分 成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像是（ ）18．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B ；⑤若函数f (x ))ln(2a x +=A ∈，则0>a .其中的真命题有（ ）A ．①③④⑤B ．②③④⑤C ．①③⑤D ．①③④二 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(一)必做题(9～13题)9. 若不等式4|1||4|x x a a+--≥+，对任意的x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_ _. 10. 已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则实数a 的值为___． 11. 已知数组（12345,,,,a a a a a ）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列。

广东省2015届高三五校联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，﹣1，5} C．{﹣1} D．{1，﹣1，﹣5}2．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．4．（5分）下列命题不正确的是（）A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行D．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直5．（5分）已知函数f（x）=则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）的值域为[﹣1+∞）C．f（x）是周期函数D．f（x）是增函数6．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（）A．B．C．2D．7．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）A．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°B．平面α与平面β垂直C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°二、填空题：本大共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（9～13题）9．（5分）复数的值是．10．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=），其前n项和为S n，则=．11．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是．12．（5分）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为．13．（5分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）（坐标系与参数方程）14．（5分）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）．若曲线C l、C2有公共点，则实数a的取值范围．（几何证明选讲）15．如图，点A，B，C是圆O上的点，且，则∠AOB对应的劣弧长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在平面直角坐标系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），．（1）求f（x）的表达式和最小正周期；（2）当时，求f（x）的值域．17．（12分）某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且．（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A﹣CBE的体积，求V（x）的表达式；（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D﹣AB﹣C的大小．19．（14分）已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，其前n项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1（n≥3）．令b n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．20．（14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点A （2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线交于B、C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．（1）求椭圆C1的方程；（2）是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．广东省2015届高三五校联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，﹣1，5} C．{﹣1} D．{1，﹣1，﹣5}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B，然后求解交集即可．解答：解：A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，B={x|x2=1}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1}．故选：C．点评：本题考查集合的交集的运算，是对基本知识的考查．2．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a≥0，则a2+a≥0，是充分条件，若a2+a≥0，解得：a≥0或a≤﹣1，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，本题属于基础题．3．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．解答：解：∵，故可设，则得，∴渐近线方程为，故选C．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．4．（5分）下列命题不正确的是（）A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行D．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，及直线与平面间的位置关系，我们根据空间线与面、面与面的判定及性质定理对四个答案逐一进行分析，即可得到答案．解答：解：如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，由线面垂直的定义，可得该直线与另一个平面垂直，由面面垂直的判定定理我们可得两平面垂直，故A正确；如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则存在两条相交直线与另一个平面平行，由面面平等的判定定理得两平面平行，故B正确；如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，由线面平行的性质定理，那么这条直线和交线平行，故C正确；如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线可能垂直，也可能不垂直，故D错误故选D点评：判断空间线线关系、线面关系、面面关系时，掌握掌握空间线面垂直和平等的判定定理和性质定理，是解决问题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）的值域为[﹣1+∞）C．f（x）是周期函数D．f（x）是增函数考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，分x＞0与x≤0讨论函数在各个部分的取值，从而求函数的值域．解答：解：当x＞0时，f（x）=x2+1＞1，当x≤0时，f（x）=cosx，故﹣1≤cosx≤1，综上所述，f（x）≥﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，+∞）．故选B．点评：本题考查了分段函数的应用及函数的值域的求法，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（）A．B．C．2D．考点：解三角形；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设∠B=θ，由•=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵•=1，设∠B=θ，AB=2，∴2•BC•cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣，又根据余弦定理得：cosθ==，∴﹣=，即BC2=3，则BC=．故选A点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．7．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：压轴题；概率与统计．分析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．解答：解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选C点评：本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．8．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）A．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°B．平面α与平面β垂直C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：设P1是点P在α内的射影，点P2是点P在β内的射影．根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l ﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．解答：解：设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：B点评：本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题．二、填空题：本大共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（9～13题）9．（5分）复数的值是．考点：复数代数形式的乘除运算．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化为a+bi（a、b∈R）的形式即可．解答：解：复数=故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=），其前n项和为S n，则=15．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由递推关系式可知数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，从而可解．解答：解：由题意，数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以，∴，故答案为15．点评：本题主要考查数列递推式，考查等比数列的通项及前n项和公式，属于基础题．11．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是．考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1，然后判断k＜2013是否成立，成立则执行，否则跳出循环，输出S，然后依次判断执行，由执行结果看出，S的值呈周期出现，根据最后当k=2013时算法结束可求得S的值．解答：解：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1．判断1＜2013，执行S=，k=1+1=2；判断2＜2013，执行S=，k=2+1=3；判断3＜2013，执行S=，k=3+1=4；判断4＜2013，执行S=，k=4+1=5；…程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次．而由框图看出，当k=2012时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2013时，跳出循环．又2013=671×3．所以当计算出k=2013时，算出的S的值为．此时2013不满足2013＜2013，跳出循环，输出S的值为故答案为．点评：本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期．是基础题．12．（5分）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为1．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由题意可得A（2，2k+2），B（0，2），C（2，0）∴（d为B到AC的距离）==2k+2=4∴k=1故答案为：1点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题13．（5分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．解答：解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置可以选，有A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种．故答案为：480．点评：本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）（坐标系与参数方程）14．（5分）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）．若曲线C l、C2有公共点，则实数a的取值范围．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：把参数方程化为普通方程，由直线和圆有交点可得圆心到直线的距离小于或等于半径，解不等式求得实数a的取值范围．解答：解：曲线（t为参数）即 x+2y﹣2a=0，表示一条直线．曲线（a为参数）即 x2+（y﹣2）2=4，表示圆心为（0，2），半径等于2的圆．由曲线C l、C2 有公共点，可得圆心到直线的距离小于或等于半径，∴≤2，∴2﹣≤a≤2+，故答案为：．点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法．（几何证明选讲）15．如图，点A，B，C是圆O上的点，且，则∠AOB对应的劣弧长为．考点：弧长公式．专题：计算题；压轴题．分析：利用正弦定理求出∠ACB的大小，然后再求∠AOB，最后求出∠AOB对应的劣弧长．解答：解：由正弦定理可知：，得sin∠ACB=，∴∠AOB=，OB=，∠AOB对应的劣弧长：故答案为：点评：本题考查弧长公式，考查计算能力，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）在平面直角坐标系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），．（1）求f（x）的表达式和最小正周期；（2）当时，求f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先计算两个向量的坐标，再利用向量数量积运算性质计算f（x），将所得f（x）解析式化为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后利用周期公式计算f（x）的最小正周期即可（2）先求内层函数y=2x﹣的值域，再利用正弦函数的图象和性质求y=sin（2x﹣）的值域，最后由y=2t+4的单调性即可得f（x）的值域解答：解：（1）∵A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），∴，∴=（﹣2，2）•（cos2x﹣2，sin2x）=4﹣2cos2x+2sin2x=，∴f（x）═，∴f（x）的最小正周期为，（2）∵∴∴．∴．所以函数f（x）的值域是．点评：本题考察了向量数量积运算的性质和三角变换、三角函数的图象和性质，解题时要能熟练的将函数化为y=Asin（ωx+φ）形式，为利用三角函数的图象和性质求周期和最值创造条件17．（12分）某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；图表型．分析：（1）根据概率之和为1，即频率分布直方图的面积之和为1．（2）根据题意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，所以用每一组数据的中点值代表这一组数的平均数，即可求得．（3）从60名学生中随抽取2人，根据题意总记分可能为0、1、2、3、4．求出相应的概率，即可求得分布列和期望．解答：解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴点评：此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是2015届高考的方向，应引起重视．18．（14分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且．（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A﹣CBE的体积，求V（x）的表达式；（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D﹣AB﹣C的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；综合题；转化思想．分析：（1）欲证平面ACD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，DE⊥平面ADC，DE⊂平面ADE，满足定理所需条件；（2）根据线面所成角的定义可知∠EAB为AE与平面ABC所成的角，在Rt△ABE中，求出BE，在Rt△ABC中求出AC，最后根据三棱锥的体积公式求出体积即可；（3）利用基本不等式可知当V（x）取得最大值时，这时△ACB为等腰直角三角形，连接CO，DO，根据二面角的平面角的定义可知∠DOC为二面角D﹣AB﹣C的平面角在Rt△DCO中求出此角即可．解答：解：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥B E，BC∥DE（1分）∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴DC⊥BC．（2分）∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC⊥平面ADC．∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC（3分）又∵DE⊂平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE（4分）（2）∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角，即∠EAB=θ（5分）在Rt△ABE中，由，AB=2得（6分）在Rt△ABC中∵（0＜x＜2）∴（7分）∴=（0＜x＜2）（8分）（3）由（2）知0＜x＜2要V（x）取得最大值，当且仅当取得最大值，∵（9分）当且仅当x2=4﹣x2，即时，“=”成立，∴当V（x）取得最大值时，这时△ACB为等腰直角三角形（10分）连接CO，DO∵AC=BC，DC=DC∴Rt△DCA≌Rt△DCB∴AD=DB又∵O为AB的中点∴CO⊥AB，DO⊥AB∴∠DOC为二面角D﹣AB﹣C的平面角（12分）在Rt△DCO中∵，∴，∴∠DOC=60°即当V（x）取得最大值时，二面角D﹣AB﹣C为60°．（14分）点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及体积和二面角的定理等有关知识，求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．19．（14分）已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，其前n项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1（n≥3）．令b n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．考点：数列递推式；数列的函数特性；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意知a n=a n﹣1+2n﹣1（n≥3）（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n+1．（Ⅱ）由于=．故T n=b1f （1）+b2f（2）+…+b n f（n）=，由此可证明Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．解答：解：（Ⅰ）由题意知S n﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2n﹣1（n≥3）即a n=a n﹣1+2n﹣1（n≥3）∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1（n≥3）检验知n=1、2时，结论也成立，故a n=2n+1．（Ⅱ）由于b n=，f（x）=2x﹣1，∴=．故T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）==．点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题．仔细解答．20．（14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点A （2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线交于B、C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．（1）求椭圆C1的方程；（2）是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）设出点B，C的坐标，利用A，B，C三点共线即可得出坐标之间的关系，利用导数的几何意义可得切线的斜率，在得出切线的方程，即可得出交点P的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程．由|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x ﹣3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），即可判断出其交点个数．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得解得．∴椭圆C1的方程为；（2）设点B，C，则，，∵A，B，C三点共线，∴．∴，化为2（x1+x2）﹣x1x2=12．①由x2=4y，得．∴抛物线C2在点B处的切线方程为，化为．②同理抛物线C2在点C处的切线方程为．③设点P（x，y），由②③得，而x1≠x2，∴．代入②得，于是2x=x1+x2，4y=x1x2代入①得4x﹣4y=12，即点P的轨迹方程为y=x﹣3．若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x﹣3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），∴直线y=x﹣3与椭圆C1有两个交点，∴满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个（不同于点A）．点评：本题主要考查椭圆、抛物线曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归于转化的数学数学方法，以及推理论证能力、计算能力、创新意识．21．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；导数的概念及应用．分析：（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）令h（x）=f（x）﹣=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；（III）设b﹣a=t＞0，通过作差﹣f（）=，构造函数g（t）=（t＞0），可得g′（t）==（t＞0）．令h（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），利用导数研究其单调性即可．解答：（I）解：函数f（x）=e x的反函数为g（x）=lnx，∵，∴g′（1）=1，∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1；（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）﹣=，则h′（x）=e x﹣x﹣1，h′′（x）=e x﹣1，当x＞0时，h′′（x）＞0，h′（x）单调递增；当x＜0时，h′′（x）＜0，h′（x）单调递减，故h′（x）在x=0取得极小值，即最小值，∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．所以曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点（0，1）．（Ⅲ）设b﹣a=t＞0，则﹣f（）===e a=，令g（t）=（t＞0），则g′（t）==（t＞0）．令h（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则h′（x）=e x﹣1＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，因此g′（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∴＞f（）．点评：本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。

-海珠区2014学年高三综合测试（二）数学（理科）2014.11本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体体积公式Sh V 31=,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为A ．(){}1,3-B ．()3,1-C ．{}3,1-D ．(){}3,1-2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为 A. 4x p =B. 8x p =C. 8x p =-D. 4x p =-4．已知向量,a b 的夹角为120，2a =，且8a b ⋅=-，则b = A ．6B ．7C ．8D ．95．函数ln y x =与y =-在同一平面直角坐标系内的大致图象为6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为A ．0 BCD． 7．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b-=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ， 且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为 A．y =B．y x =C．y x = D．y x = 8．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为A ．8 B． C ．2D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，91028a a +=，则该数列前10项和10S = ． 10．一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边 三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 11．不等式13x x +-≤的解集是 ．12．从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种（用数字作答）． 13．给出下列四个命题：①已知ξ服从正态分布()2,0σN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()2.02=>ξP ； ②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③函数()3132f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-；④命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题．其中正确命题的序号是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相交所得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,已知4A π=，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长.17．（本小题满分12分）甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元. 在（1）的前提下，记X 为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且3BD PD ==,22AC AD ==， （1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足12()n n nS a n S N *++=?． （1）求123,,S S S ； （2）求n S ；（3）设()221n n b n a =+，求证：对任意正整数n ，有121n b b b +++<L ．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，,A B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-，直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点,M N ．（1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数1(0)()e (0)x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，()()F x f x kx =+（k ∈R ）．（1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．海珠区2014学高三综合测试（二）理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1）4cos ,5B =且(0,)B π∈，∴3sin 5B ==．………………1分∴3cos cos()cos()4C A B B ππ=--=- ………………2分 33cos cos sin sin 44B B ππ=+ ………………4分4355= ………………5分= ………………6分 （2）由（1）可得sin C ===． ………………7分 由正弦定理得sin sin a cA C==， ………………8分………………12分17．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有75件. ………………1分 所以元件甲、乙为正品的频率分别为5410080=，4310075=. ………………3分 根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为45，34. ………………4分 （2）随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30， ………………5分 则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=． ………………9分 所以X 的分布列为：10分X 的数学期望为EX 3311150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.……………12分(3,(3,1,1121n n n ⋅==⨯19．解：（1）当1n =时，11112S S S ++=，∴112S =-， ……………1分 当2n ³时，112n n n n S S S S -++=-，∴112n n S S -=-+， ……………2分∴2323,34S S =-=-． ……………4分 (2)由（1）猜想：1n nS n =-+. ……………5分 下面用数学归纳法证明：当1n =，112S =-显然成立； 假设当n k =时命题成立，即1k kS k =-+，那么当1n k =+时， 11112221k k k S k S k k ++=-=-=-++-+， 即1n k =+时命题也成立， 综上可知，1n nS n =-+． ……………9分 （3）由（2）知()1121n n n a S S n n =++=-+， ……………10分∴()()()()()2222222221211121111n n n n n b n a n n n n n n +-+=+===-+++， ………11分∴()()12222222211111111122311n b b b n n n +++=-+-++-=-++L L ，…13分 ∴121n b b b +++<L ． ……………14分 20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ，∴直线AP 的斜率11y k x -=，直线BP 的斜率21y k x+=（0x ≠）， ………2分 又1214k k ⨯=-，∴1114y y x x -+⨯=-， ………………3分 即()22104x y x +=≠． ………………4分（2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-，………………6分由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，得132x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ………………7分 由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ………………8分 由1214k k ⨯=-，∴11213134MN k k k k =-=+≥9分当且仅当1134k k =，即1k = ∴线段MN长的最小值 ………………10分 （3）设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆的任意一点，则0QM QN =，即()()1231220x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………11分 又1214k k ⨯=-， 故以MN 为直径的圆的方程为：()2211342120x k x y k ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭， ………………12分令0x =，得()2212y +=，解得2y =-± ………………13分 ∴以MN为直径的圆经过定点(0,2-+或(0,2--． ………………14分21.解:（1）当1=k 时，1(0)()e (0)x x x F x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤， ………………1分当0>x 时，1()2=+F x x x≥，当且仅当1=x 时，()F x 取最小值2． …………2分 当0x ≤时，()e x F x x =+，()e 10x F x '=+>， ()F x 在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F ≤． ………………3分所以当1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,)-∞+∞． ………………4分（2）由1(0)()e (0)x kx x F x x kx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤，得21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， ………………5分①当0=k 时，21(0)()e (0)x x F x x x ⎧->⎪'=⎨⎪⎩≤，当0>x 时，()0F x '<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减， ………………6分 当0x ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增． ………………7分②当0>k 时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分当0>x 时，令21()0F x k x '=-=，解得x =±，舍去负值，得x =当0x <<时，()0F x '<，()F x在区间上单调递减， ………………9分当x >'()0>F x ，()F x在区间)+∞上单调递增． ………………10分 ③当0k <时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0>x 时，21()0F x k x'=-<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上，令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-<<k ，当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-<<k 时，在(),0-∞上存在极值点ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，()0F x '>，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述：当0>k 时，()F x 在(,0]-∞和)+∞上单调递增，在上单调递减； 当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k 和(0,)+∞上 单调递减；当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分。

2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。

广东省2010届高三六校第四次联考数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：球体的体积公式, 343V R π球＝，其中R 是球体的半径.一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．若复数21i z i =+，则=|z | A ．21 B ．22 C ．1 D ．2 2．抛物线24y x =的焦点坐标为A.(1,0)B.1(0,)16C.(0,1)D.1(,0)83. 等差数列}{n a 中，若12011,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210062010a a a ++等于A ．10B ．15C ．20D ．404. 设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不充要条件5. 右图是2009年我校校园歌手大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为A ．83B ．84C ．85D ．86 6. 平面α的斜线l 与平面α所成的角是45︒，则直线l 与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．60︒7. 已知函数2()2f x x x =-,则满足条件()()0()()0f x f y f x f y +≤⎧⎨-≥⎩的点(,)x y 所在区域的面积为 A ．4π B ．π C ．32π D ．2π7984464793第5题图8. 有一种掷正方体骰子走跳棋的网络游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在第0站，玩家每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，则棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站. 游戏规定：若棋子经过若干次跳动恰跳到第99站，则玩家获胜，游戏结束；若棋子经过若干次跳动最后恰跳到第100站，则玩家失败，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为(,100)n p n N n ∈≤，可以 证明：121233n n n p p p --=+（2≤n≤100），则每次玩该游戏获胜的概率是 A.10032[1()]53- B. 9932[1()]53- C. 10022[1()]53- D. 9922[1()]53-二、填空题：本大题共6小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前题得分.每小题5分，满分30分.（一）必做题（９～１3题）9.作用于同一点的两个力12F F 和的夹角为23π，且123,5,F F ==则12F F +大小为 .10．程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出结果是 . 11．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,B A =+︒ 2b a =，则A = . 12. 二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 （用数字作答）13. 设,,a b c 为正实数，且1a b c ++=，则2ab c 的最大值 为 .（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程）曲线2sin (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)与直线 a x y +=有两个公共点，则实数a 的取值范围是 .15.（几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC BD 、交于点P ,若3,1AB CD ==, 则sin APD ∠= .第15题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）令)g x f x π()=(+12，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由.17.（本题满分12分）2008年金融风暴横扫全球。

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主视图俯视图左视图222广东省六校2012届高三第四次联考试题（理科数学）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 第 Ⅰ 卷一．选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么 （ ）A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21ii =- （ ） A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的面积是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21log 1xy x+=-的图像 （ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是 （）A.B.7.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α⊂，mA α=则l 与m 必为异面直线；B. 若,l l m α则m α；ONMBAC. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂则 αβ；D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥，则l α⊥.其中准确的命题是 （ ）8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ） A. 0B. 1C.2D.3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9.21x dx --=⎰.10.函数2()sin cos 2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ∆中，90=∠C ，30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 CD AB ⋅= .12.若双曲线22219x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相对应最后的输出S 的值是__________.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为图1图22cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15．（几何证明选讲选做题） 如图，点M 为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥， MN 交圆于N ，若2MA =，4MB =，则MN = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积，（1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =-，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+，//a b ，求角B 的度数； （2）若8a =，23B π=，S =b 的值.17 ://wx.jtyjy/（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43假设两人射击是否击中目标，相互 之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. （结果能够用分数表示）18. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC 的中点，2DB =，1,DC =BC =AB AD ==将（图1）沿直线BD 使二面角A BD C --为060（如图2） （1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面ACD 的距离.19（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：212y x =上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 处的切线垂直，直线l 与抛物线C 相交于另一点Q . （1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； （2）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.21. （本小题满分l4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b =(e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有nn n a a 21<<+；(2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .理科数学参考答案一．选择题：1、B ；2、A ；3、C ；4、C ；5、A ；6、B ；7、D ；8、D二、填空题：9.4π； 10. π ； 11. -1 ； 12.13 ； 13. 15；选做题：14. 1 15.三、解答题： 16.解：（1）//a b 24cos sin cos 202BB B ∴⋅+= 21cos 4cos 2cos 102B B B -∴⋅+-= 1cos 2B ∴=0(0,180)B ∠∈ 60B ∴∠=……………………6分（2）83S =1sin 2ac B ∴=7分得 4c =……………………8分2222cos b a c ac B =+-22084284cos120=+-⋅⋅……………………10分b ∴=12分17.解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-32()3=1927答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927；……………………4分 (2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，因为各事件相互独立，故P （A 2）=41×41×43×41+41×41×43×43 =364， 答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364……………………8分（3）根据题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=……………………12分（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅= 123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅=3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅= 161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………12分说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。

-海珠区2014学年高三综合测试（二）数学（理科）2014.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为 A ．(){}1,3- B ．()3,1-C ．{}3,1- D ．(){}3,1-2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为 A. 4x p=B. 8x p =C. 8x p =-D. 4x p =-4．已知向量,a b 的夹角为120 ，2a =，且8a b ⋅=-，则b =A ．6B ．7C ．8D ．95．函数ln y x =与y =-6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为A ．0 BCD． 7．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b-=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为A ．y =B ．7y x =±C ．3y x =±D ．7y x =±8．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为A ．8B ．C ．2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，91028a a +=，则该数列前10项和10S = ．10．一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边 三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 11．不等式13x x +-≤的解集是 ．12．从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种（用数字作答）．13．给出下列四个命题：①已知ξ服从正态分布()2,0σN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()2.02=>ξP ； ②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③函数()3132f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-；④命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题．其中正确命题的序号是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相交所得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,已知4A π=，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长.17．（本小题满分12分）甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元. 在（1）的前提下，记X 为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且3BD PD ==,22AC AD ==，（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足12()n n nS a n S N *++=?． （1）求123,,S S S ； （2）求n S ；（3）设()221n n b n a =+，求证：对任意正整数n ，有121n b b b +++<L ．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，,A B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-，直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点,M N ． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数1(0)()e (0)x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，()()F x f x kx =+（k ∈R ）．（1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．海珠区2014学高三综合测试（二）理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1）4cos ,5B =且(0,)B π∈，∴3sin 5B =．………………1分 ∴3cos cos()cos()4C A B B ππ=--=- ………………2分 33coscos sin sin 44B B ππ=+ ………………4分432525=-+ ………………5分10=-． ………………6分 （2）由（1）可得sin C === ………………7分 由正弦定理得sin sin a cA C=2c=， ………………8分………………12分17．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有75件. ………………1分 所以元件甲、乙为正品的频率分别为5410080=，4310075=. ………………3分 根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为45，34. ………………4分 （2）随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30， ………………5分 则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=． ………………9分 所以X 的分布列为：10分X 的数学期望为EX 3311150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.……………12分19．解：（1）当1n =时，11112S S S ++=，∴112S =-， ……………1分 当2n ³时，112n n n n S S S S -++=-，∴112n n S S -=-+， ……………2分∴2323,34S S =-=-． ……………4分(2)由（1）猜想：1n nS n =-+. ……………5分 下面用数学归纳法证明：当1n =，112S =-显然成立； 假设当n k =时命题成立，即1k kS k =-+，那么当1n k =+时， 11112221k k k S k S k k ++=-=-=-++-+， 即1n k =+时命题也成立， 综上可知，1n nS n =-+． ……………9分 （3）由（2）知()1121n n n a S S n n =++=-+， ……………10分∴()()()()()2222222221211121111n n n n n b n a n n n n n n +-+=+===-+++， ………11分∴()()12222222211111111122311n b b b n n n +++=-+-++-=-++L L ， …13分∴121n b b b +++<L ． ……………14分 20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ，∴直线AP 的斜率11y k x -=，直线BP 的斜率21y k x+=（0x ≠）， ………2分 又1214k k ⨯=-，∴1114y y x x -+⨯=-， ………………3分 即()22104x y x +=≠． ………………4分（2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-，………………6分由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，得132x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ………………7分由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ………………8分 由1214k k ⨯=-，∴11213134MN k k k k =-=+≥=，………9分 当且仅当1134k k =，即1k =时，等号成立， ∴线段MN长的最小值 ………………10分（3）设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆的任意一点，则0QM QN =，即()()1231220x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ………………11分又1214k k ⨯=-， 故以MN 为直径的圆的方程为：()2211342120x k x y k ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭， ………………12分令0x =，得()2212y +=，解得2y =-± ………………13分 ∴以MN为直径的圆经过定点(0,2-+或(0,2--． ………………14分21.解:（1）当1=k 时，1(0)()e (0)x x x F x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤， ………………1分当0>x 时，1()2=+F x x x≥，当且仅当1=x 时，()F x 取最小值2． …………2分 当0x ≤时，()e xF x x =+，()e 10x F x '=+>， ()F x 在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F ≤． ………………3分所以当1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,)-∞+∞ ． ………………4分（2）由1(0)()e (0)x kx x F x x kx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤，得21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， ………………5分 ①当0=k 时，21(0)()e (0)x x F x xx ⎧->⎪'=⎨⎪⎩≤，当0>x 时，()0F x '<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减， ………………6分 当0x ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增． ………………7分②当0>k 时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分 当0>x 时，令21()0F x k x '=-=，解得x =，舍去负值，得x =，当0x <<时，()0F x '<，()F x在区间上单调递减， ………………9分当x >时，'()0>F x ，()F x在区间)+∞上单调递增． ………………10分 ③当0k <时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0>x 时，21()0F x k x'=-<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上，令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-<<k ，当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-<<k 时，在(),0-∞上存在极值点ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，()0F x '>，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述：当0>k 时，()F x 在(,0]-∞和)+∞上单调递增，在上单调递减； 当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k 和(0,)+∞上 单调递减；当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分。

2015届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科综合13.下列说法正确的是①牛顿通过扭秤实验较为精确地测出了万有引力恒量②法拉第发现了电磁感应定律③根据部分电路欧姆定律可得I和U成正比，I和R成反比④质点、位移都是理想化模型⑤在任何单位制中，牛顿第二定律的公式F=kma中的K都等于1⑥放在通电导线周围的小磁针会发生偏转，这种现象属于静电现象A．①②③ B. ②③ C. ②③④ D .以上答案均不对14．如图所示的匀强磁场中有一个矩形闭合导线框．在下列四种情况下，线框中会产生感应电流的是A．如图甲所示，保持线框平面始终与磁感线平行，线框在磁场中左右运动B．如图乙所示，保持线框平面始终与磁感线平行，线框在磁场中上下运动C．如图丙所示，线框绕位于线框平面内且与磁感线垂直的轴线AB转动D．如图丁所示，线框绕位于线框平面内且与磁感线平行的轴线CD转动15．质量为1kg的物体在竖直向上的拉力和重力的作用下运动，规定竖直向上为正方向，其运动的v－t图像如图所示．则A．0～5s内的物体向上运动，10～25s内物体向下运动B．0～5s内拉力做正功，10～20s内拉力也做正功C．0～10s内物体的平均速度为1m/sD．第2.5s末和第15s末，重力的瞬时功率不相同16.如图所示，质量为m的物体在沿斜面向上的拉力F作用下，斜面的倾角为，沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀速上滑，此过程中斜面体保持静止，则以下说法正确的是A．斜面对物体的摩擦力为B. 斜面对物体的作用力大小为mg,方向竖直向上C．地面对斜面的摩擦力为零D．地面对斜面的支持力小于（M+m）g二、双项选择题：（本大题共9小题，每小题6分，共54分；在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求．全部选对的得6分，只选一个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。

）17.如图所示两个内壁光滑、半径不同的半球形碗，放在不同高度的水平面上，使两碗口处于同一水平面．现将质量相同的两个小球（小球半径远小于碗的半径），分别从两个碗的边缘由静止释放（忽略空气阻力），则A. 小球在碗中做匀速圆周运动B. 过最低点时，两小球都处于超重状态C. 过最低点时，两小球的角速度大小相等D. 过最低点时，两小球的机械能相等18.已知地球半径为R，地球自转周期为T，同步卫星离地面的高度为H，万有引力恒量为G，则以下说法正确的是2p（R＋H）A．同步卫星绕地球运动的线速度为TB．同步卫星绕地球运动的线速度为C．地球表面的重力加速度为4p2（R＋H）3D．地球的质量为GT219．如图所示，平行板电容器与直流电源连接，上极板接地.一带负电的油滴位于容器中的P点且处于静止状态．现将下极板竖直向下缓慢地移动一小段距离，则A．带电油滴将竖直向下运动B．带电油滴的机械能将增加C．P点的电势将升高D．电容器的电容增加，极板带电量增加20．如图所示，电动势为E、内阻为r的电源与三个灯泡和三个电阻相接。

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。

2015届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考数学（理科）命题学校：广东广雅中学本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在 答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U =R ，集合{}|124x A x =<<，{}2|10B x x =->，则U AB =ðA ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤<C ．{}|01x x <<D ．{}|01x x <≤ 2．在复平面内，复数21iz i =-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为 A ．()1,1- B ．()1,1- C ．()1,1 D ．()1,1--3．已知变量,x y 满足约束条件121y x y x x y ≤⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则12z x y =+的最大值为A ．14B ．34C ．56D ．534. 下列说法中正确的是A ．x ∃∈R ，使得sin cos 2x x π+=B ．“1a =”是“直线1ax y +=与直线2x ay +=平行”的必要条件C ．命题“0x ∀>，1xe x >+”的否定是“0x ∀>，1xe x ≤+” D ．函数1()lg1xf x x-=+在其定义域内是奇函数5. 已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如下图1所示的程序框图计算该数列的第2015项，则判断框内的条件是A ．2013?n ≤B ．2014?n ≤C ．2015?n ≤D ．2016?n ≤6. 如上图2，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形， 俯视图是一个半径为3的圆（包括圆心），则该组合体的表面积等于 A ．15π B ．18π C ．21π D ．24π7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为45，则以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线的渐近线方程是A ．34y x =±B . 43y x =±C . 169y x =±D . 916y x =± 8. 对任意实数,a b ，定义运算“”：(1)(1)b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设函数2()[(1)(4)]f x x x k =-++，若函数()f x 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是 A ．(1,2]-B ．(2,1)-C ．(0,1)D ．[2,1)-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．61()2x x-的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答） 10. 已知等比数列{}n a 是递增数列，且1418a a +=，2332a a ⋅=，则数列{}n a 的前n 项和n S = .11. 已知a 、b 为非零向量，且a 、b 的夹角为3π，若向量||||=+a bp a b ，则||=p .图2正视图∙侧视图俯视图12. 棱长为2的正方体1111-ABCD A BC D 中，在四边形11ABC D 内随机取一点M ，则90AMB ∠≥︒的 概率为 .13. 已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，且当0x >时，()0F x <. 若对任意的[0,1]x ∈，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎪⎨-<-⎪⎩恒成立，则实数k 的取值范围是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫-⎪⎝⎭作圆4cos ρθ=的切线，则切线的 极坐标方程是 .15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A，且AC =C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ， 若CM MN ND ==，则BD 的长等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且3a =，5b =，23C π=. （1）求c 和sin A 的值； （2）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．（本小题满分12分）某工厂从一批产品中随机抽出40件进行检测. 下图4是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]. （1）求图中x 的值；（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至少有2件产品的净重在[96,98) 的概率；（3）若产品净重在[98,104)为合格产品，其余为不合格产品. 从这40件抽样产品中任选2件，记ξ 表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望. 图3图418．（本小题满分14分）如图5，三棱锥C ABD -中，C 是以AB 为直径的半圆上一点，点E 在直径AB 上，已知10AB =，AC =4CE =，CD =AD DE ==（1）求证：CE ⊥平面ABD ；（2）求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足*131,n n S a n n n +=++∈N ，且218S =，令n n ab n=. （1）求123,,b b b 的值； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）求证：对一切*n ∈N ，有1211112n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）如图6，设P 是抛物线2:16C x y =上异于坐标原点O 的任意一点，过P 作直线:1l y =-的垂线， 垂足为A ，直线PO 与l 相交于点B .（1）若定点D 的坐标为1(5,)4，求PA PD +的最小值；（2）证明：以线段AB 为直径的圆恒过某两个定点M N 、，并求出M N 、的坐标； （3）设Q 为线段AB 的中点，试探究直线PQ 与抛物线C 的位置关系，证明你的结论.21．（本小题满分14分）设0k >，函数21()ln 12f x x x k x =++-. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当函数()f x 有两个极值点，且0θπ<<时，证明：(21)sin (1)sin[(1)]0k k k θθ-+-->.ECBDA图5D 图6。

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x∈R|}，N={x∈R|y=ln（x﹣1）}，则M∩N（）A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1或x＜0} 2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③3．下列四个条件中，p是q的必要不充分件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：a＞b，q：2a＞2bC．p：非零向量与夹角为锐角，q：D．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞04．设函数f（x）=x﹣lnx﹣，则函数y=f（x）（）A．在区间（），（1，e）内均有零点B．在区间（），（1，e）内均无零点C．在区间（）内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间（）内无零点，在区间（1，e）内有零点5．要得到函数y=cosx的图象，需将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的变化正确的是（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度=（）6．已知{a n}是等比数列，a2=，a5=4，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1A．（2n﹣1）B．（2n+4）C．（4n﹣1）D．（4n﹣2）7．如果点P在平面区域，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．2﹣1 C．2 D．﹣18．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时f（x）=2﹣x+m﹣1（m∈R），a=f （log45），b=（log23），c=f（m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．在△ABC中，己知D是AB边上一点，若=λ，=+μ（λ，μ∈R），则λ=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．210．已知函数f（x）=f′（1）x2+2x f（x）dx+1在区间（a，1﹣2a）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（﹣∞，）D．[，+∞）11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．2B．C．D．12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数y=f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）=xe x且f（1）=﹣3，f（2）=0．则函数y=f（x）（）A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值D．既无极小值又无极大值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=3b，且sinAcosC=2cosAsinC，则b=．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*），则数列{na n}项和T n．15．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于，全面积为．16．若不等式（﹣1）n a＜n+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最值．18．等差数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，a2S3=75且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}为递增数列，求证：≤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=AB=BC=4，O是棱AC的中点，G是△AOB的重心，D是PA的中点．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：DG∥平面PBC；（3）求二面角A﹣PC﹣B的大小．20．已知点P是圆O：x2+y2=1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使．（1）求点M的轨迹的方程；（2）过点C（m，0）作圆O的切线l，交（1）中曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x（a∈R）．（1）若a=，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）若存在x0∈[0，+∞），使f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：ACBC=ADAE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程.23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（3，），直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲.24．已知函数f（x）=的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）若实数m的最大值为n，正数a，b满足=n，求4a+3b的最小值．2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x∈R|}，N={x∈R|y=ln（x﹣1）}，则M∩N（）A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1或x＜0}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中，解得x＜0或x≥1，得到M={x|x＜0或x≥1}，由N中y=ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，解得：x＞1，即N={x|x＞1}，则M∩N={x|x＞1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意用线面垂直和面面平行的定理，判断线面和面面平行和垂直的关系．【解答】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；②中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；③中，用线面平行的判定定理知，n可以在α内；故选C．【点评】本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题．3．下列四个条件中，p是q的必要不充分件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：a＞b，q：2a＞2bC．p：非零向量与夹角为锐角，q：D．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对四个选项逐个分析知A．p不是q的充分条件，也不是必要条件；B．p是q的充要条件；C．p是q的充分条件，不是必要条件；【解答】解：A．p不是q的充分条件，也不是必要条件；B．p是q的充要条件；C．p是q的充分条件，不是必要条件；D．正确故选：D．【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件角色，然后两边相互推一下，利用充要条件的定义得出结论．4．设函数f（x）=x﹣lnx﹣，则函数y=f（x）（）A．在区间（），（1，e）内均有零点B．在区间（），（1，e）内均无零点C．在区间（）内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间（）内无零点，在区间（1，e）内有零点【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导数判断f （x ）在（），（1，e ）上均为单调函数，结合f （）＞0，f（1）＜0，f （e ）＞0得答案．【解答】解：由f （x ）=x ﹣lnx ﹣，得f ′（x ）=1﹣=，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（），（1，e ）上均为单调函数，又，f （1）=1﹣ln1﹣=＜0，f （e ）=e﹣lne ﹣=e ﹣＞0，∴函数y=f （x ）在区间（），（1，e ）内均有零点，故选：A ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点判定定理，是中档题．5．要得到函数y=cosx 的图象，需将函数y=sin （2x +）的图象上所有的点的变化正确的是（ ）A ．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B ．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式以及y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=sin （2x +）的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin （x +）=cos [﹣（x +）]=cos （x ﹣）的图象；再把所得图象向左平行移动个单位长度，可得函数y=cosx 的图象，故选：C ．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．6．已知{a n }是等比数列，a 2=，a 5=4，则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=（ ）A ．（2n ﹣1）B ．（2n +4）C ．（4n ﹣1）D ．（4n ﹣2）【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式可得公比q ，再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2=，a 5=4，∴，解得q=2．∴a n ==2n ﹣3，∴a n a n +1=2n ﹣32n ﹣2=22n ﹣5．则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=+2+…+22n ﹣5==．故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7．如果点P 在平面区域，点Q 在曲线x 2+（y +2）2=1上，那么|PQ |的最小值为（ ）A．﹣1 B．2﹣1 C．2 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域以及Q在的曲线，利用圆上的点到区域内点的距离求最小值．【解答】解：P所在的平面区域如图：过圆心（0，﹣2）作直线x+y﹣2=0的垂线，垂直为Q，与圆交于P，则|PQ|所求，由点到直线的距离得到|PQ|=；故选B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，求线段长度的最小值，关键|PQ|的几何意义得到最小值的位置．8．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时f（x）=2﹣x+m﹣1（m∈R），a=f （log45），b=（log23），c=f（m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出m，确定函数y=f（x）是在R上单调递减，0＜log45＜log23，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（0）=0，∴2m﹣1=0，∴m=0，∴当x≤0时f（x）=2﹣x﹣1，单调递减，∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数y=f（x）是在R上单调递减，∵0＜log45＜log23，∴f（0）＞f（log45）＞f（log23），∴c＞a＞b，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．在△ABC中，己知D是AB边上一点，若=λ，=+μ（λ，μ∈R），则λ=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】用表示出，结合已知条件列出方程解出λ．【解答】解：=+=+=+（）=，∴，解得λ=2．故选：D．【点评】本题考查了平面向量加减运算的几何意义，是基础题．10．已知函数f（x）=f′（1）x2+2x f（x）dx+1在区间（a，1﹣2a）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（﹣∞，）D．[，+∞）【考点】定积分．【分析】先设f（x）dx=c，再求导得到f（x）=f′（1）x2+2cx+1，令x﹣1，得到f′（1）=﹣2c，继而得到f（x），再根据定积分的计算，求出c的值，继而求出f（x）=﹣3x2+3x+1，根据二次函数的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：设f（x）dx=c，∴f（x）=f′（1）x2+2cx+1，∴f′（x）=f′（1）2x+2c，∴f′（1）=2f′（1）+2c，∴f′（1）=﹣2c，∴f（x）=﹣2cx2+2cx+1，∴f（x）dx=（﹣2cx2+2cx+1）dx=（﹣cx3+cx2+x）|=﹣c+c+1=c，解得c=，∴f′（1）=﹣2c=﹣3，∴f（x）=﹣3x2+3x+1，∴函数f（x）的对称轴为x=，且开口向下，∴f（x）在（﹣∞，）上单调递增，∵f（x）在区间（a，1﹣2a）上单调递增，∴，解得≤a＜，故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，二次函数的单调性，关键是换元，属于中档题．11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．2B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心．然后求出三角形的边长，再求体积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心．设球的半径为R=1，底面三角形的边长为a，=1⇒a=该正三棱锥的体积：=故选：C【点评】本题考查了正棱锥体积公式、三角形重心定理、球大圆的定义等相关知识点，属基础题．12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数y=f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）=xe x且f（1）=﹣3，f（2）=0．则函数y=f（x）（）A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值D．既无极小值又无极大值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可得在（0，+∞）上是增函数，从而可得f′（x）在（0，+∞）上是增函数，从而解得．【解答】解：∵==＞0，∴在（0，+∞）上是增函数，∵xf′（x）﹣f（x）=xe x，∴f′（x）=+e x，∵y=e x在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）在（0，+∞）上是增函数，又∵f′（1）=﹣3+e＜0，f′（2）=0+e2＞0，故f′（x）在（0，+∞）上先负值，后正值；故函数y=f（x）有极小值，无极大值，故选A．【点评】本题考查了导数的综合应用，关键在于构造函数．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=3b，且sinAcosC=2cosAsinC，则b=9．【考点】正弦定理．【分析】利用正余弦定理求解即可．sinAcosC=2cosAsinC，可得acosC=2ccosA，再由余弦定理：cosC=，cosA=，a2﹣c2=3b，带入即可求解．【解答】解：由余弦定理：cosC=，cosA=，由题意：∵sinAcosC=2cosAsinC，∴acosC=2ccosA，则：=2×∵a2﹣c2=3b，所以有：=b﹣3解得：b=9故答案为9．【点评】本题考查了利用正余弦定理运用能力和计算能力．属于基础题．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*），则数列{na n}项和T n（n ﹣1）2n+1．【考点】数列的求和．【分析】由S n=2a n﹣1（n∈N*），可得：n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为a n=2a n﹣1，利用等比数列的通项公式可得a n，于是na n=n2n﹣1．再利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵S n=2a n﹣1（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}为等比数列，a n=2n﹣1．∴na n=n2n﹣1．则数列{na n}项和T n=1+2×2+3×22+…+n2n﹣1．∴2T n=2+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n2n=﹣n2n=（1﹣n）2n﹣1，∴T n=（n﹣1）2n+1．故答案为：=（n﹣1）2n+1．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于，全面积为2（3++）．【考点】构成空间几何体的基本元素．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积与全面积．【解答】解：（1）根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为正方形的直四棱锥，底面边长为2，高为2，如图所示；∴该四棱锥的体积为V=×22×2=；四棱锥（2）该四棱锥的全面积为=22+×2×2+2××2×+×2×2S全面积=4+2+2+2=．故答案为：，2（3++）．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征是什么，是基础题目．16．若不等式（﹣1）n a＜n+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）．【考点】函数恒成立问题．【分析】按照n为奇数，偶数两种情况讨论，分离出参数a后化为函数最值问题求解即可．【解答】解：①当n为奇数时，设n=2k﹣1（k∈N*）那么（﹣1）n a＜n+转化为：﹣a＜（2k﹣1）+∴﹣a＜2k﹣1+，（k∈N*）a＞1﹣（2k）∵2k，当且仅当k=时取等号，又∵k∈N*∴当k=1时，2k=当k=2时，2k=可见当k=2时，取得最小值．∴a＞1﹣=所以a＞恒成立．②当n为偶数时，设n=2k（k∈N*）那么（﹣1）n a＜n+转化为：a＜2k﹣∴a＜2k+1﹣﹣1，（k∈N*）2k+1﹣≥0，所以a＜﹣1时恒成立．综上所述：a的取值范围是（）故答案为（）【点评】本题考查了函数恒成立，不等式知识点，考查转化思想，分类讨论思想．属于中档题．三、解答题：包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用积化和差和和差化积公式将已知函数转化为正弦函数，由此来求函数f （x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）利用（1）中的结果和正弦函数的单调性进行解答．【解答】解：（1）∵f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=cos2x+sin2x+sin2x﹣cos2x=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴T==π．由2x﹣=+kπ，k∈Z得，x=+，k∈Z，∴对称轴方程为x=+，k∈Z；（2）∵，∴．∵f（x）=sin（2x﹣）在区间[﹣，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，∴当x=时，f（x）max=1．又∵，∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．18．等差数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，a2S3=75且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}为递增数列，求证：≤．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d（d≥0），由已知列式求得首项和公差，则等差数列的通项公式可求；（2）由（Ⅰ）求出等差数列的通项公式，进一步求得前n项和，取倒数后利用裂项相消法求出数列前n项和的倒数和，即可证得不等式右边，再由数列的函数特性证明左边得答案．【解答】（1）解：设数列{a n}的公差为d（d≥0），由已知，则有，∵a n＞0，∴，即，解得，或．a n=5或a n=2n+1；（2）∵数列{a n}为递增数列，∴由（Ⅰ）知a n=2n+1，∴，n∈N*，∴，∴=，记由，则T n关于n递增．∴．综上可得：≤．【点评】本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了利用数列的函数特性求最值，是中档题．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=AB=BC=4，O是棱AC的中点，G是△AOB的重心，D是PA的中点．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：DG∥平面PBC；（3）求二面角A﹣PC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥BC，BC⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB；（2）连结OG并延长交AB于点E，连结DO，DE，证明平面DOE∥平面PBC，即可证明DG∥平面PBC；（3）过点O作OQ∥PC于点Q，连结BQ，证明∠OQB为二面角A﹣PC﹣B的平面角，即可求二面角A﹣PC﹣B的大小．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵底面ABC是直角三角形，AB=BC，∴BC⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB；…（2）证明：连结OG并延长交AB于点E，连结DO，DE∵G是△AOB的重心，∴OE为AB边上的中线，∴E为AB边上的中点，又有D为PA边上的中点，∴DE∥PB，同理可得DO∥PC，且DE∩DO=D，∴平面DOE∥平面PBC，又有DG⊂平面DOE，∴DG∥平面PBC …（3）解：过点O作OQ∥PC于点Q，连结BQ，∵AB=BC且O是棱AC的中点，∴BO⊥AC．∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．又有平面PAC∩平面ABC=AC，且BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面PAC，又有OQ⊥PC，∴由三垂线定理得BQ⊥PC，∴∠OQB为二面角A﹣PC﹣B的平面角．…由已知得OB=OC=2，PC==4，∵△PAC∽△OQC，∴，∴OQ=，∴tan∠OQB=，∴∠OQB=60°，即二面角A﹣PC﹣B的大小为60°．…【点评】本题考查了二面角A﹣PC﹣B的大小，考查了线面平行与线面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．20．已知点P是圆O：x2+y2=1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使．（1）求点M的轨迹的方程；（2）过点C（m，0）作圆O的切线l，交（1）中曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）设点M（x，y），由，可得P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，可得P，把点P代入圆：x2+y2=1即可得出．（2）由题意可知直线l不与y轴垂直，故可设l：x=ty+m，t∈R，A（x1，y1），B（x2，y2），由l与圆O：x2+y2=1相切，可得=1，即m2=t2+1，直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0，利用根与系数的关系可得：=，把根与系数的关系代入化简即可得出S，再利用△OAB基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵，∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴P，∴点P是圆：x2+y2=1上的点，∴有=1，即点M的轨迹E的方程为： +y2=1．（2）由题意可知直线l不与y轴垂直，故可设l：x=ty+m，t∈R，A（x1，y1），B（x2，y2），∵l与圆O：x2+y2=1相切，∴=1，即m2=t2+1，①由消x并整理得：（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0，其中△=4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）=48＞0，又有y1+y2=，y1y2=．②∴=，将①②代入上式得|AB|==，|m|≥1．∴，当且仅当即时，等号成立．∴（S）max=1．△AOB【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x（a∈R）．（1）若a=，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）若存在x0∈[0，+∞），使f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出答案，（2）根据导数和函数的单调性关系，再分类讨论，即可得到函数的单调区间，（3）存在x∈[0，+∞），使x∈[0，+∞）成立”的非命题为“对任意x∈[0，+∞），都有f （x）≥0成立”根据（2）即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）当a=时，f（x）=ln（x+1）+x2﹣x，∴f′（x）=+x﹣1，∴f（0）=0，f'（0）=0，∴切点为（0，0），切线斜率k=f'（0）=0，∴在点（0，f（0））处切线方程为：y=0…（2）由已知得当a≤0时，∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴2ax+2a﹣1=2a（x+1）﹣1≤﹣1＜0，∴x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，此时，f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…当a＞0时，由f'（x）=0得，∵a＞0，∴=…若，则，∴，此时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；…若，则x1＜x2，f（x），f'（x）的变化如下表x （﹣1，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增单调递减单调递增此时f（x）在（﹣1，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．…若a＞则x1＞x2，f（x），f'（x）的变化如下表x （﹣1，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增单调递减单调递增此时f（x）在（﹣1，x2）和（x1，+∞）上单调递增，在（x2，x1）上单调递减…综上所述：当a≤0时，f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；当时，f（x）在（﹣1，0）和上单调递增，在上单调递减；当时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当时，f（x）在和（0，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（3）“存在x∈[0，+∞），使x∈[0，+∞）成立”的非命题为“对任意x∈[0，+∞），都有f （x）≥0成立”由（2）得，当时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，当时，一定存在区间（0，m）⊆[0，+∞）（m＞0），有f（x）在（0，m）上单调递减又有f（0）=0，∴当且仅当对时，“任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥f（0）=0成立”即若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及不等式恒成立的问题和参数的取值范围，属于难题．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：ACBC=ADAE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴ABAC=ADAE．又AB=BC，∴BCAC=ADAE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AFBF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==【点评】本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程.23．（2015秋广东月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（3，），直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（1）由得直线l的普通方程为．又由得圆C的直角坐标方程为即；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即，由于，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，所以，∴t1＞0，t2＞0…又有直线l过点，A、B两点对应的参数分别为t1，t2所以|PA|=t1，|PB|=t2所以．【点评】本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲.24．（2015秋牡丹江校级期末）已知函数f（x）=的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）若实数m的最大值为n，正数a，b满足=n，求4a+3b的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）由函数定义域为R，可得|x+2|+|6﹣x|≥m恒成立，设函数g（x）=||x+2|+|6﹣x||，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=8，变形，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为R．所以|x+2|+|6﹣x|≥m恒成立；设g（x）=|x+2|+|6﹣x|，则g（x）min≥m．又|x+2|+|6﹣x|≥|（x+2）+（6﹣x）|=8，当且仅当﹣2≤x≤6时，g（x）min=8所以m≤8．（2）有（1）可知，n=8，∴，即，有由于a，b均为正数，所以4a+3b=（4a+3b）（+），= [（3a+b）+（a+2b）]（+），= [5++]≥（5+4）=，当且2（a +2b ）=3a +b ，即时，上式等号成立．所以4a +3b 的最小值是．【点评】本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作“珠海一中”等六校2015届高三第四次联考试题数学（文科 ）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． BACDD DABCC 1．设集合(){}lg 32A x y x ==-，集合{}1B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(],1-∞C ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．设,a b 为实数，若复数()()112i a bi i +⋅+=+，则（ ） A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b == 3. 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( C )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 24. 下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．0,3<∈∃x R x B ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件 C ．,20x x R ∀∈> D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题5. 已知奇函数(),0,(),0.f x x yg x x >⎧=⎨<⎩ 如果()x f x a =(0a >且1)a ≠对应的图象如图所示，那么()g x = ( )A ． 1()2x- B ． 1()2x- C ． 2x - D ． 2x -6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7. 已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为12y x =，则该双曲线的离心率为( )A ．25 B ．3 C ．5 D ．28．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥>-+>-+0,0072052y x y x y x ，且x 、y 为整数，则34x y + 的最小值为（ ）A ．14B ．16C ．17D ．199. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是()A ．-1B ．23C ．32D ．4 10．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数：①()()f x x x Z =∈； ②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x-=.其中为“敛1函数”的有( )A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 0.32 12.31010 13. 4114. 1 15. 411．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概率是 ．PM12. 在ABC ∆ 中，4ABC π∠=，2AB = ，3BC = ，则sin BAC ∠=.13. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如右图所示，则侧视图的面积为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为__ __.15． (几何证明选讲选做题)如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、已知函数x x x x f cos sin cos )(2+=． （1）求函数)(x f 的最大值；（2）在ABC ∆中，3==AC AB ，角A 满足1)82(=+πA f ，求ABC ∆的面积. 17、某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (I) 求频率分布直方图中a 的值；(II) 分别求出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； (III) 从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率.18、如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点.(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥；(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q的位置并AOB PCF B xyO ACD M N（第20题）证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.19、已知二次函数2()f x ax bx =++c 的图象通过原点，对称轴为n x 2-=，()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N . （I ）求)(x f 的表达式；（II ）若数列{}n a 满足)('1n n a f a =+，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （III ）若212nn a a n n b -+⋅=，n n b b b S +++= 21，是否存在自然数M,使得当M n >时n n S n -⋅+1250>恒成立?若存在,求出最小的M;若不存在,说明理由.20、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求证：MN ⊥x 轴；（Ⅲ）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0），求证：直线AB 过定点．21、设知函数)(ln 1)(R a x a x xx f ∈+-=（e 是自然对数的底数）． （1）若函数)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设函数)(x f 的两个极值点为1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，是否存在a ，使得2122--≤a e ek ？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．六校2015届高三第四次联考试题数学（文科 ）参考答案一、选择题： BACDD DABCC 二、填空题：11. 0.32 12. 31010 13. 4114. 1 15. 4三、解答题：16解：（1）x x x x f cos sin cos )(2+=x x 2sin 2122cos 1++=…………2分 21)2cos 222sin 22(22++=x x 21)42sin(22++=πx ……… 4分 ∵1)42sin(1≤+≤-πx ，∴)(x f 的最大值为2122+． ……… 6分 （2）∵1)82(=+πA f ， ∴121]4)82(2sin[22=+++ππA ，………7分 即 22)2s i n (=+πA， ∴22cos =A ． …………9分 ∵ A 为ABC ∆的内角， ∴ 22sin =A ． ………………10分 ∵3==AC AB ，∴ ABC ∆的面积429sin 21=⨯⨯⨯=A AC AB S …12分PABC DM QO17【答案】（I ）0.005a =；….3分 （II ）2,3； ……7分（III ）310…………………………..12分 解：法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OCOP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC ,所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥, 又AMDM M =,AM ⊂平面AMD ,DM ⊂平面AMD ,所以PC ⊥平面AMD ,又AD ⊂平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分(Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.…………8分 (Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面A B C D ,即PO 为三棱锥P A C D -的体高.………………9分在Rt POC ∆中,3PO OC ==,6PC =,在PAC ∆中,2PA AC ==,6PC =,边PC 上的高AM =22102PA PM -=, 所以PAC ∆的面积11101562222PAC S PC AM ∆=⋅=⨯⨯=,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得………………11分1133PAC ACD S h S PO ∆∆⋅=⋅,又23234ACD S ∆=⨯=,所以115133323h ⨯⋅=⨯⨯, 解得2155h =,所以点D 到平面PAM 的距离为2155.………………14分 19. （I ）由已知，可得0=c ，()2f x ax b '=+， ……….. 1分∴⎪⎩⎪⎨⎧==n ab nb 222 解之得12a =，n b 2= ………….3分nx x x f 221)(2+=∴ ……… 4分（II ） n a a n n 21+=+…………….5分11223211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n +-+-++-+-=∴---=442)1(24)1321(22+-=+-⨯=+-++++n n n n n ………. 8分 （III ）n n n n n a a n n 2)4(4)1()1(221=+--++-+=-+ n a a n n n b nn 2221⋅=⋅=∴-+ …………………10分n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= （1）1332242322212+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S （2）（1）—（2）得：111212222222+++⋅--=⋅-++=-n n n n n n n S ……12分∴n n S n -⋅+12=50221>-+n ，即5221>+n 当5≥n 时，5221>+n …..13分4=∴M 存在，使得当M n >时，n n S n -⋅+1250>恒成立 ……. 14分20解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由题意的12p=，2p = 所以抛物线的方程为：24y x =（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且120,0y y >>， 由24(0)y x y =>得，2y x =,所以'1y x=所以切线AC 的方程为：'111()y y x x x -=-，即'112()y y x x y -=-整理得：112()yy x x =+，---------（1） 且C 点的坐标为1(,0)x -，同理得切线BD 的方程为：222()yy x x =+，-----------(2) 且C 点的坐标为2(,0)x -，由（1）（2）消去y ，得02(1)yy x =+。