第一部分实数复习

初中数学知识复习 第一讲：实数 一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0，a=-b 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。

四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。

五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

实数(单元复习)标准教案一、教学目标：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。

2. 掌握实数的运算规则，包括加、减、乘、除、乘方和开方等。

3. 能够运用实数解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。

二、教学内容：1. 实数的定义及分类2. 有理数和无理数的特点3. 实数的运算规则4. 实数在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：实数的定义及分类，实数的运算规则，实数在实际问题中的应用。

2. 教学难点：实数的运算规则，特别是乘方和开方运算。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数的定义、分类和运算规则。

2. 运用案例分析法，分析实数在实际问题中的应用。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。

4. 利用信息技术手段，如PPT、网络资源等，辅助教学。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾实数的定义及分类，引导学生思考实数在生活中的应用。

2. 讲解实数的运算规则，通过例题展示运算过程，让学生熟练掌握。

3. 开展小组讨论：让学生运用实数解决实际问题，分享解题心得。

4. 总结课堂内容：回顾本节课所学，强调实数的重要性。

5. 布置作业：设计适量作业，巩固课堂所学。

6. 课后反思：根据学生作业完成情况，总结教学效果，调整教学策略。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业评价：检查学生作业的完成质量，评估学生对实数运算规则的掌握程度。

3. 测试评价：组织单元测试，评估学生对实数知识的整体掌握情况。

七、教学资源：1. 教材：实数相关章节教材，用于引导学生学习。

2. PPT：制作精美PPT，辅助讲解实数概念和运算规则。

3. 网络资源：收集相关实数应用案例，供学生课后拓展学习。

4. 练习题库：准备各类实数练习题，巩固学生所学知识。

八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解实数的定义及分类。

2. 第3-4课时：讲解实数的运算规则。

第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。

如：2π是 数，不是 数， 722是 数，不是 数。

2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。

a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。

【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。

1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。

其中a 的取值范围是 。

2、近似数和有效数字：⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。

【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。

实数(单元复习)标准教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。

（2）掌握实数的性质，如相反数、绝对值、平方等。

（3）学会实数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方等。

2. 过程与方法：（1）通过复习实数的定义和性质，提高学生的逻辑思维能力。

（2）运用实数运算方法，培养学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）实数的定义及分类。

（2）实数的性质和运算方法。

2. 教学难点：（1）实数分类的理解和运用。

（2）实数运算的灵活应用。

三、教学过程：1. 导入新课：回顾实数的定义，引导学生思考实数的分类和性质。

2. 知识讲解：（1）讲解实数的分类，包括有理数和无理数。

（2）阐述实数的性质，如相反数、绝对值、平方等。

（3）介绍实数的运算方法，如加、减、乘、除、乘方等。

3. 例题解析：选取典型例题，讲解实数的运算方法和应用。

4. 课堂练习：设计练习题，让学生巩固实数的分类、性质和运算方法。

5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调实数在数学中的重要性。

四、课后作业：1. 复习实数的定义、分类和性质。

2. 练习实数的运算方法，解决实际问题。

3. 总结实数在实际生活中的应用。

五、教学评价：1. 学生对实数的定义、分类和性质的掌握程度。

2. 学生实数运算方法的运用能力。

3. 学生解决实际问题的能力。

4. 学生对数学学科的兴趣和积极性。

六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的性质和运算方法。

2. 通过小组讨论，培养学生合作学习的能力。

3. 利用信息技术辅助教学，如数学软件、网络资源等。

4. 设计富有挑战性的数学问题，激发学生的创新思维。

七、教学实践与拓展：1. 结合实际生活中的问题，让学生运用实数知识和方法解决问题。

2. 开展数学竞赛，提高学生的学习积极性。

第一章 实数复习题一、选择题1. （2011贵州贵阳， 3分）如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，O A 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（第6题图）（A ）2.5 （B ）2 2 （C ） 3 （D ） 52. （2011湖北黄冈，10，3分）计算()221222-+---1（-）=（ ）A ．2B ．－2C ．6D ．103. （2011山东菏泽， 3分）定义一种运算☆，其规则为a ☆b =1a＋1b，根据这个规则、计算2☆3的值是 A ．56B ．15C ．5D ．64. （2011四川南充市， 3分） 下列计算不正确的是（ ）（A ）31222-+=- （B ）21139⎛⎫-= ⎪⎝⎭（C ）33-= （D = 5. （2011浙江温州， 4分）计算：（一1）+2的结果是( ) A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．36. （2011四川广安， 3分）下列运算正确的是（ ）A ．(1)1x x --+=+B =C 22-=-D ．222()a b a b -=-7. （2011贵州安顺，2，3分）已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（保留三个有效数字）（ ）A ．3.84×104千米B ．3.84×105千米C ．3.84×106千米D ．38.4×104千米8. （2011山东烟台，1,4分）（－2）0的相反数等于（ ）A.1B.－1C.2D.－29. （2011贵州贵阳，1，3分）如果“盈利10%”记为+10%，那么“亏损6%”记为 （A ）-16% （B ）-6% （C ）+6% （D ）+4%10. （2011贵州贵阳，2，3分）2011年9月第九届全国少数民族传统体育运动会将在贵阳举行，为营造一个清洁、优美、舒适的美好贵阳，2011年3月贵阳启动了“自己动手，美化贵阳”活动，在活动过程中，志愿者们陆续发放了50000份倡议书．50000这个数用科学记数法表示为（A ）5×105 （B ）5×104 （C ）0.5×105 （D ）0.5×104二、填空题1. （2010湖北孝感，17，3分）对实数a 、b ，定义运算★如下：a ★b=(,0)(,0)b b a a b a a a b a -⎧>≠⎪⎨≤≠⎪⎩，例如2★3=2-3=18.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]2. （2011湖南湘潭市，16，3分）规定一种新的运算：ba b a 11+=⊗，则=⊗21____.3. （2011湖南怀化，11，3分）定义新运算：对任意实数a 、b ，都有a b=a 2-b,例如，32=32-2=7，那么21=_____________.4. （2011山东日照，13，4分）计算sin30°﹣2-= ．5. （2011四川南充市，11，3分）计算(π－3)0= .6. （2011湖北黄冈，1，3分）12-的倒数是________．7. （2011宁波市，13，3分）实数27的立方根是三、解答题1. （2011四川成都，15（1）,6分）(1)计算：30cos 2°20110)1()2010(33-+---+π.2. （2011江苏南通，19①，5分）计算：22＋(－1)4＋－2)0－3-；3. （2011湖北黄石，16，7分）计算：（－2011）0+（22）－1－22-－2cos604. （2011贵州安顺，19，8分）计算：23860tan 211231-+-+︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛---5. （2011湖南永州，17，6分）计算：1)31(8|2|45sin 2-+--︒+6. （2011江苏盐城，19（1），4分）计算：(3)0 - (12)-2+tan45°；7. （2011浙江金华，17，6分）计算：|－1|－128－（5－π）0+4cos45°.。

九年级中考总复习（1）实数& 代数式内容概要1.1 实数1.2 代数式1.3 因式分解1.4 分式1.5 二次根式正分数复习笔记1、实数的分类（1）实数的常见两种分类如下：①实数 ②实数（2）无理数：无限不循环小数即为无理数．2、相关概念（1）相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数．0的相反数为0． （a ，b 互为相反数，则a b =-或0a b +=）（2）倒数：如果两个数乘积为1，那么称其中一个数为另一个数的倒数．（a ，b 互为倒数，则1a b=或1a b ⋅=）（3）平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．正数的平方根有两个，0的平方根为0．（4）算术平方根：正数的正平方根和0的平方根，统称算术平方根． （5）立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．3、数轴与绝对值（1）数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．实数与数轴上的点一、一对应． 数轴三要素：原点、正方向和单位长度．整数负无理数负分数自然数正实数 0 负实数（2）绝对值：绝对值的几何意义：x 表示数轴上x 到原点的距离．绝对值的代数意义：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值为0．即：0||000x x x x xx ⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎩． （3）数轴上A 、B 两点之间的距离公式：||||AB a b =-．4、准确数与近似数（1）与实际完全符合的数称为准确数．例如，班里有50名同学，50是一个准确数．与实际接近的数称为近似数．例如，化学老师体重为100公斤，100是一个近似数． （2）科学计数法：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．（3）有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字．（4）精确到**位： 例如，6045.012这个近似数各个数位如下，最后一位是千分位，即精确到到千分位．（注意“带单位”题型）5、实数运算六则运算运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算从左向右．有括号的先算括号里面的，绝对值运算优先级等同于括号．课堂例题1、现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于－1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有__________个．2、如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是m ，n ，则下列式子中成立的是（ ） A ．m −1 < n −1 B ．−m < −n C ．|m |−|n | > 0 D ．m ＋n < 03、实数a 满足||0a a +=，且1a ≠-，那么11a a -+的值等于__________．4、已知a ，b ，c 为有理数，且0a b c +-=，0abc <，则b c a c a ba b c--+++的值为__________．5、PM 2.5是指大气中直径小于或等于32.510-⨯毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把32.510-⨯用小数形式表示正确的是（ ）A ．0.000025B ．0.00025C ．0.0025D ．0.0256、关于近似数32.410⨯，下列说法正确的是（ ）A ．精确到十分位，有2个有效数字B ．精确到百位，有4个有效数字C ．精确到百位，有2个有效数字D ．精确到十分位，有4个有效数字7、如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数，例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3，且6=1+2+3，所以6是完全数；大约2200多年前，欧几里德提出：若2n －1是质数，则2n －1（2n －1）是一个完全数（n 为正整数），请根据这个结论写出6之后的下一个完全数是__________．8、一般的，如果a x =N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ．例如：由于23=8，所以3是以2为底8的对数，记作log 28=3；由于a 1=a ，所以1是以a 为底a 的对数，记作log a a =1． 对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log a （M •N ）=log a M +log a N ； （2）log aMN=log a M －log a N ； （3）log a M n =nlog a M ．根据上面的运算性质，计算log 2（47×25）+log 26－log 23的结果是__________．9、下列说法中：①1的算术平方根是±1；②只有正数才有平方根；③任何数都有立方根；④正数a 的算术平方根一定小于a ；⑤a 的立方根与a 的乘积一定是非负数．其中正确的是__________．（填写正确结论的序号）10=__________．11、已知实数a ，b ，c 满足b －c 的平方根等于它本身，则a __________．12232，小数部分为2)． （1a ，那么a =__________；（2）如果10b c -=+，其中b 是整数，且01c <<，那么b =__________，c =__________．13、我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax +b =0，其中a 、b 为有理数，x 为无理数，那么a =0且b =0．运用上述知识，解决下列问题：（1）如果(30a b -+=，其中a 、b 为有理数，那么a =__________，b =__________；（2）如果(2(15a b -=，其中a 、b 为有理数，求a+2b 的值．14、定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2=－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a +bi （a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i ）+（3－5i ）=（2+3）+（1－5）i =5－4i ； （1+i ）×（2－i ）=1×2－i +2×i －i 2=2+（－1+2）i +1=3+i ； 根据以上信息，下列各式：①i 3=－1； ②i 4=1； ③（1+i ）×（3－4i ）=－1－i ； ④i +i 2+i 3+i 4+……+i 2019=－1． 其中正确的是__________（填上所有正确答案的序号）．课堂练习1、数轴上A 、B 、C 三点所代表的数分别是a ，1，c 且|1||1|||c a a c ---=-．若下列选项中，有一个表示A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系，则此选项为（ ） A ．B ．C ．D ．2、受“乡村旅游第一市”的品牌效应和2015年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响，2016年湖州市在春节黄金周期间共接待游客约2800000人次，同比增长约56%，将2800000用科学记数法表示应是（ ） A ．28×105B ．2.8×106C ．2.8×105D ．0.28×1053、我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．84B ．336C ．510D ．13264、十进制数278，记作278（10），其实278（10）=2×102+7×101+8×100，二进制数101（2）=1×22+0×21+1×20．有一个k （0＜k ≤10为整数）进制数165（k ），把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561（k ）是原数的3倍，则k =__________．5、取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m 恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值有__________．6、实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B （如图），若AM 2=BM •AB ，BN 2=AN •AB ，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b −a =2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m −n =__________．7、根据下列材料，解答问题． 等比数列求和：概念：对于一列数a 1，a 2，a 3，…a n ，…（n 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即1k k aa -=q （常数），那么这一列数a 1，a 2，a 3，…a n ，…成等比数列，这一常数q 叫做该数列的公比．例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和， 解：令S =1+3+32+33+…+3100 则3S =3+32+33+…+3100+3101因此，3S －S =3101－1，所以S =101312-即1+3+32+33…+3100=101312- 仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为__________．8、把下列各数分别填入相应的集合里：3.1415926，3.131331333133331…(每两个1之间依次多一个3)，2270.1010010001……0.3，2π-，0． 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 正实数集合：｛ ｝； 整数集合： ｛ ｝．9、以下四个命题：①若aaa 是整数，a__________．（填写正确结论的序号）10、已知a －1=20172+20182=__________．11、在平面直角坐标系中，任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），定义一种运算：A *B =[（3－c ，若A （9，－1），且A *B =（12，－2），则点B 的坐标是__________．12、b 2的整数部分，若关于x 的方程3（x +4）=2a +5的解大于x 的方程(41)(34)43a x a x +-=的解，求a +b 的取值范围是__________．13、若a 、b 均为整数，当x 1时，代数式x 2+ax +b 的值为0，则a b 的算术平方根为__________．14、小数可分为有限小数和无限小数．无限小数中有循环小数和不循环小数，其中无限不循环小数即为无理数，那么无限循环小数又是什么呢？其实所有的循环小数都是可以化为分数的． 下面提供一种方法：比如0.40.44444....∙=，令0.4x ∙=，那么10 4.4 4.44444....x ∙==，104x x -=，那么94x =，49x =． 请你用类似的方法解决，把下列循环小数化为分数． （1）0.13∙∙（2）1.24∙复习笔记1、代数式（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把__________或表示__________连接而成的式子叫做代数式．（2）代数式的值：用__________代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的叫做代数式的值．2、整式（1）单项式：由数与字母的__________组成的代数式叫做单项式（单独一个数或__________也是单项式）．单项式中的__________叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的__________叫做这个单项式的次数．（2）多项式：几个单项式的__________叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的__________，其中次数最高的项的__________叫做这个多项式的次数．不含字母的项叫做__________． （3）整式：__________与__________统称整式．（4）同类项：在一个多项式中，所含__________相同并且相同字母的__________也分别相等的项叫做同类项．合并同类项的法则是____________________．3、整式的乘法&除法（1）单项式乘以单项式：把单项式的系数和字母分别相乘．（2）单项式乘以多项式/多项式乘以多项式：根据乘法分配律，分别进行单项式乘以单项式的运算，最后把所得的积相加．（3）单项式除以单项式：把__________、__________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．（4）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． （5）乘法公式：平方差： ()()a b a b +-=____________________． 完全平方： 2()a b +=____________________；2()a b -=____________________．4、幂的运算幂：求几个相同因数的积的运算叫做乘方；n个a相乘表示为n a，乘方的结果叫做幂．在n a中，a叫做底数，n叫做指数．课堂例题1、如果21(2)213axy a y xy ---+是三次三项式，则a =__________，最高次项是__________，常数项是__________，二次项系数是__________．2、若322255(21)()3x ax x x ax x b --+=+--+，其中a ，b 为整数，则a b +之值为__________．3、若关于x 的多项式22251x ax bx x -++--的值与x 无关，则a b +的值__________．4、当1x =时，代数式31342ax bx -+的值是7，则当1x =-时，这个代数式的值是__________．5、若x ，y 满足224250x y x y +--+=，则23x y x -的值是__________．6、（1）若25n a =，216n b =，则()n ab =__________；（2）已知9n +1−32n =72，则n =__________； （3）(3+x )2－x =1，则x =__________；（4）已知6x =192，32y =192，则（－2017）(x －1)(y －1)－2=__________．7、灵活运用完全平方公式222()2a b a ab b +=++和222()2a b a ab b -=-+等，可以实现ab ，a b +，a b -，22a b +的转换（知二得四）：比如，已知m 为正实数，且13m m -=，则221m m+=__________．8、（1）若x +y =10，xy =1，则x 3y +xy 3的值是__________；（2）已知(2019)(2018)2017a a --=，则22(2019)(2018)a a -+-=__________．9、如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP =a ，BP =b ，且a +b =10，ab =20．则图中阴影部分的面积为__________．10、已知x =，y =，求代数式226x xy y ++的值．11、当多项式x 2－4xy +5y 2－6y +13取最小值时，代数式(－x －y )2－(－y +x )(x +y )－2xy 的值为__________．12、一般情况下2323m n m n++=+不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m =n =0时，我们称使得2323m n m n++=+成立的一对数m ，n 为“相伴数对”，记为（m ，n ）． （1）若（m ，1）是“相伴数对”，则m =__________； （2）若（m ，n ）是“相伴数对”，则代数式154m －[n +12（6－12n －15m ）]的值为__________．13、设52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++．求下列式子的值： （1）0a ；（2）12345a a a a a ++++； （3）135a a a ++．14、把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个长为m，宽为n的长方形内，该长方形内部未被卡片覆盖的部分用阴影表示．（1）能否用只含n的式子表示出图②中两块阴影部分的周长和？__________（填“能”或“不能”）；（2）若能，请你用只含n的式子表示出图②中两块阴影部分的周长和，若不能，请说明理由．15、观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1=a+b各项系数之和1+1=2=21（a+b）2=a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1=4=22（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1=8=23．①请补全下面展开式的系数：（a－b）6=a6+_____a5b+15a4b2+_____a3b3+15a2b4－6ab5+b6；②请写出（a+b）10各项系数之和：__________；（2）设（x+1）17=a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值；（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．课堂练习1、在下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．22()()x y y x x y ---+=--B ．2223(1)4x x x --=--C ．111x x-=- D ．1()x y y x --=-2、已知当32x =时，代数式53ax bx cx x +++的值为1，那么当32x =-时，该代数式的值是__________．3、若237a b -=，2ab =，则代数式23a b +的值是__________．4、若实数x 满足x 2−−1=0，则221x x +=__________．5、若13x x +=，则221x x+=__________，2421x x x ++=__________．6、已知x =，y =，则22x xy y ++的值为__________．7、若关于x 的多项式26x px --含有因式3x -，则实数p 的值为__________．8、在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）=x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：____________________________________________________________，证明上述速算方法的正确性．上课笔记1、因式分解的定义：就是把一个多项式化为几个整式的__________的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2、因式分解的方法： 示例提公因式法： ()ma mb mc m a b c ++=++公 式 法： 22()()a b a b a b -=+- 2222()a ab b a b ±+=±分组分解法： 1()(1)(1)(1)(1)(1)ab a b ab a b a b b a b +++=+++=+++=++十字相乘法： 2()()()11x p q x pq x p x q q p+++=++3、因式分解的步骤：一般来说，因式分解的步骤为一提（公因式），二用（公式），三分组（分组分解）． 对于形如二次三项式的可以考虑十字相乘法进行因式分解．课堂例题1、对下列各式进行因式分解：21222x x ++=__________； 44x -=__________（实数范围内）； 4244x x -+=__________； 2222x y x y -++=__________；2221x y x -++=__________； 232793a a a +--=__________．2、已知29x mx -+是完全平方式，则m =__________．3、若a =2019x +2017，b =2019x +2018，c =2019x +2019，则a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值为__________．4、设219918a =⨯，2288830b =-，221053747c =-，则数a ，b ，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________．5、若多项式x 2－mx +n （m 、n 是常数）分解因式后，有一个因式是x －3，则3m －n 的值为__________．6、若a 3+3a 2+a =0，则363261a a a ++=__________．7、已知a ，b ，c 分别是∆ABC 的三边长，且满足2a 4+2b 4+c 4=2a 2c 2+2b 2c 2，则∆ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8、给出三个多项式：①2x2＋4x−4 ；②2x2＋12x＋4 ；③2x2−4x，请把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．9、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2−（a−b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0；②a@（b+c）=a@b+a@c；③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③课堂练习1、若2916x ax ++是完全平方式，则a =__________．2、若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是__________．（写出一个即可）3、已知x 2+x =3，则2018+2x +x 2－2x 3－x 4=__________．4、已知∆ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足等式3（a 2+b 2+c 2）=（a +b +c ）2，则该三角形是__________三角形．5、已知x 、y 均为实数，且满足xy +x +y =17，x 2y +xy 2=66，则x 4+x 3y +x 2y 2+xy 3+y 4=__________．6、设y =kx ，是否存在实数k ，使得代数式2222222(43)4()x y x y x x y +--)(-能化简为4x ？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由．7、设681×2019−681×2018=a ，2015×2016−2013×2018=b c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＜c ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a8、发现与探索．（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：a2－6a+5=a2－6a+9－9+5=（a－3）2－4=（a－5）（a－1）①a2－12a+20=__________________________________________________________________________；②（a－1）2－8（a－1）+7=______________________________________________________________；③a2－6ab+5b2=__________________________________________________________________________．（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式（a－3）2+4无论a取何值（a－3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a－3）2+4大于等于4，则（a－3）2+4有最小值为4．①说明：代数式a2－12a+20的最小值为－16．②请仿照小丽的思考解释代数式－（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式－a2+12a－8的最大值．复习笔记1、分式的定义：（1）分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含__________，那么称AB 为分式． （2）分式有无意义：若__________，则A B 有意义；若__________，则AB无意义；若__________，则AB ＝0．2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的___________． 用式子表示为______________________________．约分：把一个分式的分子和分母的__________约去，这种变形称为分式的约分．公分母：通分时一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母． 通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为__________的分式，这一过程称为分式的通分.3、分式的基本运算：分式的运算类似于分数的运算．分式的加减：①同分母分式加减：分母不变，分子相加减；②异分母分式加减：找公分母，化为同分母，再进行①同分母的运算． 分式的乘除：①分式相乘，分子、分母分别相乘；②分式相除，化为乘法——乘以除数的倒数，再进行①的运算．4、比例：成比例：若::a b c d =，则称a 、b 、c 、d 成比例．其中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫做比例內项，d 叫做第四比例项．基本性质：两内项之积等与两外项之积．合比性质：若a c b d =，则有a kb c kd b d ++=，特别地，有a b c d b d ++=和a b c d b d --=． 等比性质：若==a c e k b d f ==，则有+e a c a ck b d f b d++===++（其中0b d f +++≠），特别地， 若a c b d =，则有a c ab d b+=+（其中0b d +≠）．课堂例题1、已知关于x 的分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝__________，当6a <时，使分式无意义的x 的值共有__________个．2、当11112,3,4......,2018,,,,......,2342018x =时，可分别算出代数式221x x +的值，则所得的结果的和是__________．3、已知a ，b ，c 满足a +b +c =0，abc =8，那么1a +1b +1c的值是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．正、负不能确定4、a ，b ，c 均不为0，若x y a -=y z b -=z xc-=abc <0，则P （ab ，bc ）不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+++-，然后在0、1、2、3中选一个你喜欢的a 值，代入求值．6、已知a b c a b d a c d b c dm d c b a++++++++====，则m 值为__________．7、在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如1112323=-⨯，5112323=+⨯．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如111(1)1x x x x =-++，仿照上述方法，若分式232xx x --可以拆分成12A B x x ++-的形式，那么（B +1）－（A +1）=__________．8、阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为－x 2+1，可设－x 4－x 2+3=（－x 2+1）（x 2+a ）+b则－x 4－x 2+3=（－x 2+1）（x 2+a ）+b =－x 4－ax 2+x 2+a +b =－x 4－（a －1）x 2+（a +b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b -=⎧⎨+=⎩，∴a =2，b =1．∴42231x x x --+-+=222(1)(2)11x x x -+++-+=2222(1)(2)111x x x x -+++-+-+=x 2+2+211x -+． 这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式（x 2+2）与一个分式211x -+的和．解答：（1）将分式422681x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）试求422681x x x --+-+（ | x |<1 ）的最小值；（3）如果211x x -+的值为整数，求x 的整数值．课堂练习1、化简：221()4a ab b a b -÷=__________．2、化简求值：22421441a a a a a -+÷--++，并选择一个自己喜欢的数代入求值．3、已知123x y -=，分式4322x xy yx xy y+-+-的值为__________．4、若实数a ，b ，c 满足条件1a +1b +1c =1a b c++，则a ，b ，c 中（ ）A ．必有两个数相等B ．必有两个数互为相反的数C ．必有两个数互为倒数D ．每两个数都不等5、已知22(1)20(1)(2)x xy x y -+-=++，则1xy +1(1)(1)x y +++……+1(2018)(2018)x y ++的值是__________． 6、已知x b c a +-=y c a b +-=za b c+-，则（b －c ）x +（c －a ）y +（a －b ）z 的值为__________．7、已知a ，b ，c 为非零实数，且a +b +c ≠0，当a b c a b c a b c c b a +--+-++==时，求()()()a b b c c a abc+++的值．8、（1）已知A =11a ++11b +，B =1a a ++1b b +，若A =B ，求a 、b 之间的关系式； （2）已知a 、b 、c 都是正数，P =11a ++11b ++11c +，Q =1bc bc ++1ac ac ++1abab +，若P =Q ，那么a 、b 、c之间有什么关系？试证明你的结论．复习笔记1、二次根式的定义：0)a ≥，a 可以是数也可以是式子．2、二次根式的性质：（1）2a =；（2(0)(0)aa a aa ≥⎧==⎨-<⎩．3、最简二次根式：、不含开的尽方的因数或因式的二同类二次根式：化为最简二次根式后，根号内的部分相同，则为同类二次根式．0)a ≥等．4、二次根式的计算：（1）乘除计算：=0a ≥，0b >）； ②步骤：定符号→内乘内，外乘外→化简（目标最简二次根式）． （2）加减计算：步骤：化为最简二次根式→合并同类二次根式．5、2(),||,三个“非负”的式子．显然，若2()||0+，那么每一项必定为0．课堂例题1a 的值是__________．2、无论x m 的取值范围为__________．3、（1）当－1＜a ＜0时，则=__________；（2）若a b =0且ab ≠0，则ab的值为__________．42=__________．5、已知m ，n 是两个连续自然数（m ＜n ），且q =mn ．设p p （ ） A ．总是奇数 B ．总是偶数C ．有时是奇数，有时是偶数D ．有时是有理数，有时是无理数6、若实数a ，b ，c |2|a b +-=abc =__________．7、已知a 、b 3a =+1a b =-+，则ab 的值为__________．8、若|2017－m m ，则m －20172=__________．9=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是__________．10、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB =2，DE =1，BD =8，设CD =x ．（1）用含x 的代数式表示AC +CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC +CE 的值最小；（3）根据（211m 、n ，是m 2+n 2=x 且mnx ±变成m 2+n 2±2mn =（m ±n ）2解：∵3+2+）2+2×1=（2请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1；（2．12、公元3ra +得到近似值．他的算法是：先131212≈+=⨯，由近似值公式得到131********-≈+=⨯； (577)408时，近似公式中的a 是__________，r 是__________．课堂练习1、已知∆ABC 的三边a ，b ，c 满足2|2|1025a a =+，则∆ABC 为（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形2、（121440b b -+=，则221a b ++=__________； （2）已知x ，y 都是有理数，并且满足2217x y +=-__________．3__________．4、已知：2x __________．5、已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，求a b +的值为__________．6、设正整数a ，m ，n a ，m ，n 的取值（ ） A ．有一组 B ．有二组 C ．多于二组 D ．不存在7、若x ＞0，y ＞0=的值是__________．8、古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么三角形的面积S 与a ，b ，c 之间的关系式是S P =+2a b c+．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为__________．20181)≥⨯的n 可以取得的最小整数是__________．。

实数(单元复习)标准教案第一章：实数的概念与分类一、教学目标：1. 理解实数的定义及其分类；2. 掌握有理数和无理数的特点；3. 能够正确区分各种实数类型。

二、教学内容：1. 实数的定义；2. 有理数的概念及其分类；3. 无理数的概念及其分类；4. 实数的性质。

三、教学重点与难点：1. 实数的分类；2. 有理数与无理数的区别；3. 实数的性质。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解实数的定义、分类及性质；2. 案例分析法：分析具体案例，引导学生理解实数的分类；3. 讨论法：组织学生讨论实数的性质。

五、教学步骤：1. 引入实数的概念，让学生回顾实数的定义；2. 讲解有理数的概念及其分类，让学生通过实例理解有理数的性质；3. 讲解无理数的概念及其分类，让学生通过实例理解无理数的性质；4. 组织学生讨论实数的性质，总结实数的特点；5. 布置练习题，巩固所学内容。

第二章：实数的运算一、教学目标：1. 掌握实数的运算方法；2. 能够熟练进行实数运算；3. 理解实数运算的性质。

二、教学内容：1. 实数的加减乘除运算；2. 实数的乘方与开方运算；3. 实数运算的性质。

三、教学重点与难点：1. 实数运算的规则；2. 实数运算的性质。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解实数的运算方法及性质；2. 练习法：让学生通过练习题巩固实数运算的方法；3. 小组合作法：组织学生分组讨论实数运算的问题。

五、教学步骤：1. 复习实数的运算方法，让学生回顾加减乘除运算的规则；2. 讲解实数的乘方与开方运算，让学生理解乘方与开方的意义；3. 组织学生进行实数运算的练习，让学生熟练掌握运算方法；4. 讲解实数运算的性质，让学生理解运算的规律；5. 布置练习题，巩固所学内容。

第三章：实数与函数一、教学目标：1. 理解实数与函数的关系；2. 掌握函数的定义及性质；3. 能够运用实数解决函数问题。

二、教学内容：1. 实数与函数的关系；2. 函数的定义及其性质；3. 函数的图像与实数的关系。