专题4-7 正弦定理和余弦定理的应用测-2018年高考数学理一轮复习讲练测 含解析 精品

2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形总第25期
§55 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,c点的俯角为70°，则∠BAc=
答案130°
2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为
答案 =
3在△ABc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinAcsB,则△ABc是三角形
答案等边
4已知A、B两地的距离为10 ,B、c两地的距离为 =5，
∴AB= ()∴A、B之间的距离为
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 ，从B到c方位角是110°，距离是3 ，从c到D,方位角是140°，距离是（9+3 ）试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）解示意图如图所示，连接Ac，在△ABc中，
∠ABc=50°+(180°-110°)=1(70°+30°)=14cs
∴=S△Pc+S△PcD= ×1×2sin + （5-4cs ）=2sin( - )+
∴当 - = ，即 = 时，ax=2+
所以四边形PDc面积的最大值为2+
巩固练习
1某观测站c在A城的南偏西60°)=sin cs60°-cs sin60°。

4.7 正弦定理和余弦定理A 组 基础题组1.在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,若a,b,c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为32,则b=( )A.1+√32B.1+√3C.2+√32D.2+√3答案 B 由条件知12acsin B=32,得ac=6,又a+c=2b,则由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accos B=(a+c)2-2ac-√3ac,即b 2=4b 2-12-6√3,解得b 1=b 2=1+√3.2.如图,正三棱锥P-ABC 的所有棱长都为4.点D,E,F 分别在棱PA,PB,PC 上,则满足DE=EF=3,DF=2的△DEF 的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C 令PD=x,PE=y,PF=z,则{x 2+x 2-xy =9,x 2+x 2-zy =9,x 2+x 2-xz =4,当x=z 时,{x =x =2,x =1+√6,当x≠z 时,有两解.3.(2017浙江镇海中学模拟)在△ABC 中,BC=2,AC=2√2,则A 的最大值是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B 由余弦定理,知cos A=x 2+8-42x ×2√2=14√2(x +4x )≥√22(当且仅当c=2时,取等号),故A 的最大值为45°,故选B.4.(2017浙江台州调研)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-√3c=2acos C,sin C=√32,则△ABC 的面积为( ) A.√32 B.√34 C.√32或√34 D.√3或√32答案 C 由正弦定理知,2sin B-√3sin C=2sin Acos C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos A=√32,故A=30°.因为sin C=√32,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=90°,由x sin x =xsin x,得c=√3,故S=12×√3×1×1=√32;当C=120°时,B=30°,此时b=a=1,故S=12×1×1×sin 120°=√34.故选C.5.(2018杭州高三期末)设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动,设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ,当点P 不与B,C 重合时( )A.λ先变小再变大B.当M 为线段BC 中点时,λ最大C.λ先变大再变小D.λ是一个定值答案 D 设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1,r 2,则2r 1=xx sin∠xxx ,2r 2=xxsin∠xxx ,因为∠APB+∠APC=180°,所以sin∠APB=sin∠APC,所以x 1x 2=xxxx ,所以λ=x 12x 22=xx 2xx 2.故选D.6.已知a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 所对的边,其面积满足S △ABC =14a 2,则xx 的最大值为( ) A.√2-1 B.√2C.√2+1D.√2+2答案 C 根据题意,有S △ABC =14a 2=12bcsin A,应用余弦定理,可得b 2+c 2-2bccos A=2bcsin A,令t=xx ,于是t 2+1-2tcos A=2tsin A.于是2tsin A+2tcos A=t 2+1,所以2√2sin (x +π4)=t+1x ,从而t+1x ≤2√2,解得t的最大值为√2+1.7.(2017浙江测试)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若a=2√3,C=π3,tan A=34,则sinA= ,b= . 答案 35;4+√3解析 由tan A=34得sin A=35,cos A=45,由正弦定理,得c=sin xsin x a=5,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∴b=acos C+ccos A=4+√3.8.(2017浙江名校协作体)已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,S 为△ABC 的面积.若a=4,b=5,C=2A,则c= ,S= . 答案 6;15√74解析 由题意可知,x sin x =x sin x =x sin(π-3x )=xsin3x , 所以asin 3A=bsin A, 即4(3sin A-4sin 3A)=5sin A, 整理得7=16sin 2A, 从而cos 2A=916,即cos A=34.由正弦定理得,c=sin xsin x ·a=2cos A·a=6. ∴S=12bcsin A=12×5×6×√74=15√74. 9.(2018杭州七校高三联考)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c,若△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2,则sin x1-cos x = . 答案 4解析 因为△ABC 的面积为S,且S=a 2-(b-c)2=a 2-b 2-c 2+2bc=12bc·sin A, 所以由余弦定理可得-2bc·cos A+2bc=12bc·sin A, 所以4-4cos A=sin A, 所以sin x1-cos x =4-4cos x1-cos x =4.10.(2017浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知csin A=√3acos C,则C= ;若c=√31,△ABC 的面积为3√32,则a+b= .答案π3;7解析 由正弦定理可得sin Csin A=√3sin Acos C, 因为sin A≠0,所以tan C=√3,所以C=π3. 由12absin C=3√32,得ab=6.又由余弦定理得(√31)2=a 2+b 2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 所以a+b=7.11.(2017浙江台州质量评估)已知在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=√2a,√3cos B=√2cos A,c=√3+1,则△ABC 的面积为 . 答案√3+12解析 由√3cos B=√2cos A,得 √3·x 2+x 2-x 22xx =√2·x 2+x 2-x 22xx, 又b=√2a,c=√3+1,所以上式可化简为a 2=√3-√3+1c 2=2, 所以a=√2,b=2. 所以cos B=x 2+x 2-x 22xx=√22,所以sin B=√1-cos 2B =√22.故△ABC 的面积S=12acsin B=12×√2×(√3+1)×√22=√3+12. 12.(2017浙江宁波期末)已知△ABC 的三边分别为a,b,c,且a 2+c 2=b 2+ac,则边b 所对的角B 为 ;此时,若b=2√3,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 答案π3;6+4√3解析 由余弦定理得cos B=x 2+x 2-x 22xx =12,∴B=π3,由正弦定理得c=x sin xsin x=4sin C. ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bccos A=8√3sin Ccos A,又C=2π3-A,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8√3(√32cos x +12sin x )cos A=12cos 2A+4√3·sin Acos A=6(1+cos 2A)+2√3sin 2A=6+4√3sin (2x +π3).∵0<A<2π3,∴π3<2A+π3<5π3,故当2A+π3=π2,即A=π12时,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值,最大值为6+4√3.13.(2017浙江金华十校调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3. (1)求角B 的大小;(2)若S △ABC =√3,asin A+csin C=5sin B,求b.解析 (1)2cos 2B-4cos B=-3⇒4cos 2B-4cos B+1=0,所以cos B=12,故B=π3.(2)S △ABC =√3=12acsin B ⇒ac=4. 由asin A+csin C=5sin B 得a 2+c 2=5b,由b 2=a 2+c 2-2accos B 得b 2-5b+4=0,解得b=1或4. 又a 2+c 2=5b≥2ac=8,所以b≥85,所以b=4.14.(2017湖州期末)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知sin Asin C=34,b 2=ac. (1)求角B 的值;(2)若b=√3,求△ABC 的周长.解析 (1)由b 2=ac 得,sin 2B=sin Asin C, 因为sin Asin C=34,所以sin 2B=34,因为sin B>0, 所以sin B=√32,因为三角形ABC 为锐角三角形,所以B=π3. (2)已知b=√3,则3=a 2+c 2-2accos π3 =a 2+c 2-ac=(a+c)2-3ac, 所以a+c=2√3,所以三角形ABC 的周长为3√3.15.已知f(x)=sin x·(cos x+sin x)-1,x∈R. (1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知f(A)=0,a=1,求a 2+b 2+c 2的取值范围. 解析 (1)f(x)=sin xcos x+sin 2x-1=12sin 2x+1-cos2x2-1=√22sin (2x -π4)-12.令π2+2kπ≤2x -π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得3π8+kπ≤x≤kπ+7π8(k∈Z).故函数f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ](k∈Z).(2)由f(A)=0得sin (2x -π4)=√22.∵A∈(0,π2),∴2A -π4∈(-π4,3π4),∴2A -π4=π4,∴A=π4. 易得bc=(x sin x )2sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(π-A)=√22+cos(B-C),又在锐角△ABC 中,A=π4,故B-C∈(-π4,π4),bc∈(√2,1+√22], 又cos A=x 2+x 2-x 22xx,∴b 2+c 2-a 2=√2bc, ∴a 2+b 2+c 2=√2bc+2∈(4,3+√2].B 组 提升题组1.(2018金华东阳二中高三调研)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A 的值是( )A.-2√2B.-√2C.2√2D.√2 答案 C 在△ABC 中,由余弦定理得ccos A+acos C=c×x 2+x 2-x 22xx +a×x 2+x 2-x 22xx=b.所以3bcos A=ccos A+acos C=b, 两边约去b,得3cos A=1,所以cos A=13>0,所以A 为锐角,且sin A=√1-cos 2A =2√23,因此,tan A=sin xcos x =2√2.2.若满足条件AB=√3,C=π3的三角形ABC 有两个,则边BC 的长的取值范围是( ) A.(1,√2) B.(√2,√3) C.(√3,2)D.(√2,2)答案 C 设BC=a,∵C=π3,AB=√3, 由正弦定理得xx sin x =xx sin x ,即√3√32=x sin x ,∴sin A=x 2. 由题意得,当A∈(π3,2π3)且A≠π2时,满足条件的△ABC 有两个,∴√32<x2<1,解得√3<a<2,即BC 的取值范围是(√3,2).3.(2017浙江镇海中学模拟)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且acos B+bcos A=c 2,C=π3,则a+b 的取值范围是( ) A.[1,2] B.(1,2]C.[√3,2]D.(√3,2]答案 D 由正弦定理,知sin Acos B+sin Bcos A=sin C·c,即sin(A+B)=csin C,所以c=1. 又x sin x =x sin x =xsin x ,所以a+b=(sin xsin x +sin xsin x )·c=√3sin x +sin (23π-x )]=√3(32sin x +√32cos x )=2sin (x +π6).因为{0<x <π2,0<23π-x <π2,所以π6<A<π2, 所以π3<A+π6<2π3,所以a+b∈(√3,2],故选D.4.(2017浙江绍兴质量检测)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A=π4,b=√6,△ABC 的面积为3+√32,则c= ,B= .答案 1+√3;π3解析 由三角形的面积公式,知3+√32=12×√6×√22×c,所以c=1+√3.由正弦定理得,sin x sin x =xx ,即sin (34π-x )sin x=x x ,所以√6·(√22cos x +√22sin x )=(1+√3)sin B, 所以√3cos B=sin B,即tan B=√3,所以B=π3.5.(2017浙江杭州二模)设a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 的对边,且S △ABC =12c 2.若ab=√2,则a 2+b 2+c 2的最大值是 . 答案 4解析 由S △ABC =12c 2,知12absin C=12c 2,所以c 2=√2sin C;由c 2=a 2+b 2-2abcos C,可知a 2+b 2=c 2+2abcos C=√2sin C+2√2cos C. 所以a 2+b 2+c 2=2√2(sin C+cos C)=4sin (x +π4)≤4,当且仅当C=π4时,取等号.故a 2+b 2+c 2的最大值为4.6.已知在△ABC 中,M,N 分别为AC,AB 的中点,|AB|∶|AC|=2∶3,当△ABC 在上述条件下变化时,若|BM|≤λ|CN|恒成立,则λ的最小值为 . 答案 78解析 设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,不妨设c=2,b=3,a=x(1<x<5).易求得|BM|2=x 22+x 22-x 24,从而|BM|=√2x 2-12.同理,|CN|=√2x 2+142,∴λ≥√2x 2-12x 2+14(1<x<5),从而λ≥78.7.已知△ABC 的面积为1,∠A 的平分线交对边BC 于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k= 时,边BC 的长度最短. 答案2√105解析 由题可设在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,则c=2b,AD=kb.由角平分线定理知,S △ACD =13=12sin x2·kb 2,又1=12b·2b·sin A,两式联立,消去b 2,得cos x 2=34k.又a 2=b 2+(2b)2-2×b×2bcos A=b 2(5-4cos A)=5-4cos x sin x,所以a 2sin A+4cos A=5,利用辅助角公式,知√x 4+16sin(A+φ)=5(tan x =4x 2),所以a 4+16≥25,即a 2≥3(当sin x =35,cos x =45时,取等号),此时cos x2=√1+cos x 2=3√1010,故k=43cosx 2=25√10.8.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案√217;3 解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由x sin x =x sin x 得sin B=xx sin A=√217, 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得c 2-2c-3=0,解得c=3(舍负).9.(2017杭州四校期中)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+32=2cos A.(1)求角A 的大小;(2)若a=1,求△ABC 的周长l 的取值范围. 解析 (1)由题意得2cos 2A+12=2cos A, 即4cos 2A-4cos A+1=0, ∴(2cos A -1)2=0,∴cos A=12.又∵0<A<π, ∴A=π3.(2)根据正弦定理x sin x =x sin x =xsin x ,得b=√3sin B,c=√3sin C,∴l=1+b+c=1+√3(sin B+sinC),∵A=π3,∴B+C=2π3,∴l=1+√3sin x +sin (2π3-B )]=1+2sin (x +π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴l∈(2,3].10.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=π3. (1)若△ABC 的面积等于√3,求a,b;(2)若sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求△ABC 的面积. 解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理及三角形面积公式得 {4=x 2+x 2-ab,√3=12ab ×√32,即{4=x 2+x 2-ab,xx =4,解得a=b=2. (2)3sin 2A=sin C+sin(B-A) =sin(B+A)+sin(B-A),化简得6sin Acos A=2sin Bcos A,又A 为△ABC 的内角,所以cos A≠0,所以sin B=3sin A, 即b=3a,由余弦定理可得a 2=47,故△ABC 的面积S=12absin C=3a 2×√34=3√37. 11.(2017温州中学月考)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且 a=2,2cos 2x +x2+sin A=45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,求b 的取值范围; (2)当△ABC 的周长取最大值时,求b 的值. 解析 由2cos2x +x2+sin A=45,得1+cos(B+C)+sin A=45,所以sin A-cos A=-15,又0<A<π,且sin 2A+cos 2A=1,所以{sin x =35,cos x =45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个,则有a=bsin A 或a≥b, 则b 的取值范围为(0,2]∪{103}. (2)设△ABC 的周长为l,则l=a+b+c. 由正弦定理得l=a+xsin x(sin B+sin C) =2+103[sin B+sin(A+B)]=2+103(sin B+sin Acos B+cos Asin B) =2+2(3sin B+cos B) =2+2√10sin(B+θ),其中θ为锐角,且sin θ=√1010,cos θ=3√1010,所以l max =2+2√10,且当cos B=√1010,sin B=3√1010时取到. 此时b=xsin x sin B=√10.。

正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、2、7、10三角形面积问题 4判定三角形的形状3、9实际应用题6、11综合应用5、8、12一、选择题1.(2013河南郑州质检)已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶,则此三角形的最大内角的度数是( B )(A)60° (B)90° (C)120°(D)135°解析:依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶,且c最大.设a=k,b=k,c=k(k>0),由余弦定理得,cos C==0,又0°<C<180°,所以C=90°.故选B.2.(2013唐山模拟)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C )(A)有一解(B)有两解(C)无解 (D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得=,∴sin B===>1.∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C.3.(2013湖南十校联考)若==,则△ABC是( C )(A)等边三角形(B)直角三角形,且有一个角是30°(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形,且有一个角是30°解析:在△ABC中,将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入==得==,所以==1.所以tan B=tan C=1,所以B=C=45°.所以△ABC是等腰直角三角形.故选C.4.(2013天津模拟)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于( C )(A)(B)(C)(D)2解析:∵A、B、C成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60°.又a=1,b=,∴=,∴sin A==×=,∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=×1×=.故选C.5.(2013年高考陕西卷)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C 的最小值为( C )(A)(B)(C)(D)-解析:由余弦定理,知cos C===≥=,当且仅当a=b时,cos C取得最小值.故选C.6. 如图所示,我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于B,D处,已知△ABD为边长等于a的正三角形,当目标出现于C处时,测得∠BDC=45°,∠CBD=75°,则炮击目标的距离AC为( D )(A)2 a (B) a (C) a (D) a解析:在△BCD中,由正弦定理得=,所以BC= a.在△ABC中,由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,所以AC=a,即炮击目标的距离AC为 a.故选D.二、填空题7.(2013年高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .解析:在△ABC中,由b2=a2+c2-2accos B及b+c=7知,b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×.整理得15b-60=0,∴b=4.答案:48.(2012安徽淮南质检)在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且a⊥b,则B= .解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为sin A≠0,故cos B=,因此B=.答案:9.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的形状为.解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sin Bcos A=2sin Acos A.∴cos A=0或sin A=sin B.∵0<A、B<π,∴A=或A=B,∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题10.(2013年高考大纲全国卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.解:由B=π-(A+C),得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C,由已知得sin Asin C=.①由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.②由①②得sin2C=,于是sin C=-(舍去),或sin C=.又a=2c,所以C=.11. (2013银川质检)在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中cos θ=,0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由. 解:(1)由题知AB=40,AC=10,∠BAC=θ,0°<θ<90°,cos θ=,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2A B·ACcos θ,得BC==10,所以船的行驶速度为=15(海里/小时).(2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得,cos B===,从而sin B===,在△ABQ中,由正弦定理得,AQ===40,所以AE=55>40=AQ,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P,在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-B)=15×=3<7.所以船会进入危险水域.12.已知A、B是直线y=0与函数f(x)=2cos2+cos-1(ω>0)图象的两个相邻交点,且AB=.(1)求ω的值;(2)在锐角△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=-,c=3,△ABC的面积为3,求a的值.解:(1)f(x)=cos ωx+cos ωx-sin ωx=cos ωx-sin ωx=-sin,由函数的图象及AB=,得到函数的周期T==2×,解得ω=2.(2)∵f(A)=-sin=-,∴sin=.又∵△ABC是锐角三角形,∴-<2A-<,∴2A-=,即A=,由S△ABC=bcsin A=×=3,得b=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=42+32-2×4×3×=13, ∴a=.。

正弦定理和余弦定理及其应用考纲要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数一解两解 一解 一解 无解(1)S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．4．测量中的几个术语 (1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解．1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ．3．在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔ cos A <cos B ．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比． (3)已知三角时，不可求三边．(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 不一定为锐角三角形．2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则cos B ＝( ) A.1116 B ．1316C ．1114D ．1314答案 A解析 由余弦定理知cos B ＝22＋42－322×2×4＝1116.3.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522m答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得 AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA，又∠CBA ＝180°－45°－105°＝30°， ∴AB ＝AC sin ∠ACBsin ∠CBA ＝50×2212＝502(m)．4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B ．π3C ．π4D ．π6答案 C解析 因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1. 又C ∈(0，π)，故C ＝π4.5．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A. 5 B ．2 5 C ．4 5 D ．8 5答案 C解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，得AB ＝3，所以AB ＝BC .过点B 作BD ⊥AC ，交AC 于点D ，则AD ＝12AC ＝2，BD ＝32－22＝5，所以tan ∠ABD ＝AD BD ＝25＝255，所以tan ∠ABC ＝2tan ∠ABD1－tan 2∠ABD＝4 5.故选C.6．(2019·浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________. 答案1225 7210解析 如图，易知sin ∠C ＝45，cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC，∴BD ＝BC ·sin ∠Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( ) A ．2B ．3C ． 2D ． 3答案 (1)75° (2)D解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，所以B ＝45°或135°，因为b <c ，所以B <C ，故B ＝45°，所以A ＝75°.(2)由正弦定理及b sin 2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得ab ＝ 3.故选D.感悟升华 利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 【训练1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则 sin C 的值为________．答案 (1)B (2)66解析 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵0°<B <180°，A ＝45°，b >a ，∴B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有2个． (2)设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ， ∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a3. 在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33， ∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC ，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.考点二 正弦定理、余弦定理的应用角度1 判断三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形． 角度2 三角形面积的计算【例3】 (2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．答案 6 3解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，解得c ＝23，所以a ＝43，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.角度3 以平面几何为背景解三角形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ， AB ＝3k ，k >0.又BD ＝7，∠DAB ＝π3，所以在△ABD 中，由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，所以AD＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， 所以sin ∠DBC ＝277，在△BCD 中，因为BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC ，所以CD ＝7×27732＝433.感悟升华 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化． 3．求解几何计算问题要注意(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示． (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【训练2】 (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．(2)(2021·西安模拟)如图，在锐角△ABC 中，D 为边BC 的中点，且AC ＝3，AD ＝322，O 为△ABC 外接圆的圆心，且cos ∠BOC ＝－13.①求sin ∠BAC 的值； ②求△ABC 的面积． 解 ①如图所示，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴cos ∠BOC ＝cos2∠BAC ＝1－2sin 2∠BAC ＝－13，∴sin 2∠BAC ＝23，sin ∠BAC ＝63.②延长AD 至E ，使AE ＝2AD ，连接BE ，CE ， 则四边形ABEC 为平行四边形，∴CE ＝AB ， 在△ACE 中，AE ＝2AD ＝32，AC ＝3， ∠ACE ＝π－∠BAC ， cos ∠ACE ＝－cos ∠BAC ＝－1－⎝⎛⎭⎫632＝－33，由余弦定理得，AE 2＝AC 2＋CE 2－2AC ·CE ·cos ∠ACE ，即(32)2＝(3)2＋CE 2－2×3·CE ×⎝⎛⎭⎫－33， 解得CE ＝3，AB ＝CE ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC＝12×3×3×63＝322. 解三角形应用举例一、测量距离问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 【例1】如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.答案 900解析 由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°， 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°， ∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ， ∴PQ ＝P A .在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 二、测量高度问题测量高度问题一般涉及方位角、仰角、俯角等，因而所画图形为立体图形．在画图时，要注意运用空间想象力，解题时要尽可能地寻找其中的直角三角形，利用直角三角形中的特征关系解决问题，避免复杂的运算．【例2】如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.答案30＋30 3解析在△P AB中，∠P AB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．三、测量角度问题与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角，解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，利用正、余弦定理将这些边、角联系起来从而求解．【例3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°答案 B解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ， 又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝3052＋20102－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A ．1 B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B ． 5C ．25或 5D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B ．13C ．12D ．23答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，又B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析 如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．6．(2021·郑州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( ) A.π12 B ．π6C ．π4D ．π3答案 B解析 由题意得A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ，又a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，故cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π2－π6＝π6. 二、填空题7．(2021·北京西城区模拟改编)在锐角三角形ABC 中，若a ＝2，b ＝3，A ＝π6，则cos B ＝________. 答案74解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin Aa ＝3×122＝34，又△ABC 为锐角三角形，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－916＝74. 8.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足AD ＝3BD ，AD ＋AC ＝BD ＋BC ＝2，CD ＝2，则cos A ＝________.答案 0解析 设BD ＝x (x >0)，则AD ＝3x ，AC ＝2－3x ，BC ＝2－x ， 易知cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC . ∴9x 2＋2－2－3x 22×2×3x＝－x 2＋2－2－x22×2x，解得x ＝13，故AD ＝1，AC ＝1，∴cos A ＝AD 2＋AC 2－CD 22·AD ·AC＝0.9．(2020·长春二模改编)在△ABC 中，C ＝30°，cos A ＝－23，AC ＝15－2，则AC 边上的高为________． 答案5解析 依题意得sin A ＝1－cos 2A ＝53，则sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53×32－23×12＝15－26. 由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC ·sin A sin B ，所以AC 边上的高为BC ·sin C ＝AC ·sin A ·sin C sin B＝15－2×53×1215－26＝ 5.三、解答题10．(2020·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. (1)若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； (2)若sin A ＋3sin C ＝22，求C . 解 (1)由题设及余弦定理， 得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°， 解得c ＝－2(舍去)或c ＝2，从而a ＝2 3. 因此△ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ， 所以sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )， 故sin(30°＋C )＝22. 而0°<C <30°，所以30°<30°＋C <60°， 所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.11．(2021·成都诊断)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a －c )sin(A ＋B )＝(a －b )(sin A ＋sin B )． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，求a ＋c 的最大值．解 (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴(a －c )sin C ＝(a －b )(sin A ＋sin B )． 由正弦定理，得(a －c )c ＝(a －b )(a ＋b )，整理，得c 2＋a 2－b 2＝ac . ∴c 2＋a 2－b 22ac ＝12，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵b ＝4，∴a 2＋c 2－16＝ac ， 即(a ＋c )2－16＝3ac . ∵ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴(a ＋c )2－16≤3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴14(a ＋c )2≤16， ∴a ＋c ≤8，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴a ＋c 的最大值为18.B 级 能力提升12．(2021·西安一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝a tan A ＋btan B ，则角C ＝( ) A.π6 B ．π4C ．π3D ．π2答案 D 解析 ∵a ＋b ＝a tan A ＋b tan B， ∴a ＋b ＝a cos A sin A ＋b cos Bsin B ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝sin A cos A sin A ＋sin B cos Bsin B，即sin A －cos A ＝cos B －sin B ， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－B ， ∴A －π4＝π4－B 或A －π4＋π4－B ＝π，即A ＋B ＝π2或A －B ＝π(舍)，∴C ＝π2，故选D.13．(2020·太原调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ，则a ＋c 的最大值为________． 答案 8解析 由cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ， 得(1－sin 2C )－(1－sin 2B )＝sin 2A ＋sin A sin C ， 即sin 2B －sin 2C ＝sin 2A ＋sin A sin C ，结合正弦定理，得b 2－c 2＝a 2＋ac ，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ， 所以由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3，则A ＋C ＝π－B ＝π3，C ＝π3－A ，且0<A <π3.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由条件得πR 2＝16π， 解得R ＝4，所以由正弦定理，得a sin A ＝c sin C＝2R ＝8， 所以a ＝8sin A ，c ＝8sin C ，所以a ＋c ＝8sin A ＋8sin C ＝8sin A ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝8sin A ＋8⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＝4sin A ＋43cos A ＝8sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为π3<A ＋π3<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝1， 即A ＝π6时，a ＋c 取得最大值8.14．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC中线AD 的长．解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵在△ABC 中f (A )＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17且B ∈(0，π)，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32， ∴a ＝7，∴BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝⎛⎭⎫722－2×5×72×17＝1294， 因此△ABC 的中线AD ＝1292.。

第七节正弦定理、余弦定理的应用举例【最新考纲】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)若点P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.()(4)方位角与方向角的实质均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°解析：如下图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin 160°＝AB sin 10°. ∴AD ＝AB·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 答案：C3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析： 如下图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A 在点B 的北偏西15°.答案：B4．如下图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．503mB．253mC．252mD．502m解析：因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知ACsin B＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m.答案：D5．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 m。

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝错误!，BC＝错误!，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin A＝错误!,又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案C2．已知a，b,c是△ABC三边之长,若满足等式（a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,则角C的大小为（)．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)（a＋b＋c）＝ab，得(a＋b）2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－错误!，∴C＝120°。

答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B,C依次成等差数列，且a＝1，b＝错误!，则S△ABC＝( ）．A.错误!B.错误!C。

错误!D．2解析∵A，B,C成等差数列，∴A＋C＝2B,∴B＝60°。

又a＝1，b＝错误!，∴错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!。

答案C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（)．A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理,得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°,即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0,∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×错误!＝错误!，故选B.答案B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a＝λ，b＝错误!λ（λ〉0），A＝45°，则满足此条件的三角形个数是（）A．0 B．1C．2 D．无数个解析直接根据正弦定理可得错误!＝错误!,可得sin B＝错误!＝错误!＝错误!〉1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0。

2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.7 正弦定理和余弦定理真题演练集训 理 新人教A 版1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1 ，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2D ．1答案：B解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12， 又AB ＝1 ，BC ＝2，所以sin B ＝22， 所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 3解析：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°. ∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案：2113解析：解法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513， 所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝35×513＋45×1213＝6365. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 解法二：因为cos A ＝45，cos C ＝513， 所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113. 解法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213， 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013. 从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113. 解法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613. 故b ＝AD ＋DC ＝2113. 4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ，C ∈(0，π)． 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.课外拓展阅读转化与化归思想在解三角形中的应用[典例] [2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [审题视角] (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab ，再结合余弦定理联立方程求出a ＋b ，进而求得△ABC 的面积．[解] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ，①2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7. 故a 2＋b 2＝13，从而a ＋b 2＝25.②所以△ABC 的周长为5＋7.满分心得1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．(2)题中②处不能结合余弦定理将(a ＋b )视为整体进行求解而走入误区．2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．。

高考数学讲练测【新课标版】【练】第四章三角函数和解三角形第 07 节正弦定理和余弦定理的应用A 基础稳固训练1．如图，从地面上C，D 两点望山顶 A ，测得它们的仰角分别为45°和 30°，已知 CD ＝100米，点 C 位于 BD 上，则山高AB 等于 ()A．米B．米C．米D．100米【答案】 A2．一艘客轮自北向南航行，上午8 时在灯塔P的北偏东15地点，且距离灯塔34 海里，下午 2 时在灯塔P的东南方向，则这只船航行的速度为海里 /小时 .【答案】17 66【分析】设上午8时为 M, 下午 2时为 N，则MN34MN 17 6 ，即这只sin120sin 45船航行的速度为17 6海里/小时. 63.如图，设 A、 B 两点在河的两岸，一丈量者在 A 的同侧，选定一点C，测出 AC 的距离为50 m ，∠ ACB＝45°，∠ CAB＝ 105 °，则 A、B 两点的距离为 ()A． 50 2 m B． 50 3 mC． 25 2 m D.2522m【答案】 A2【分析】由正弦定理得AB＝ AC·sin ∠ACB＝50×2＝ 50 2(m)．sin B124．以下列图，A,B两点都在河的对岸（不行抵达），为了丈量A, B 两点间的距离，选用一条基线 CD ，测得： CD200m, ADBACB300 , CBD600，则AB（）200 3A ．m B． 200 33C．100 2m D．数据不够，没法计算【答案】 A5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了丈量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东30°行进 100 m 抵达点B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是 ()A ． 50 mB ． 100 mC． 120 m D ． 150 m【答案】 A【分析】设水柱高度是h m，水柱底端为 C，则在△ ABC 中， A＝60°， AC＝ h， AB＝ 100，BC ＝ 3h，依据余弦定理得， (3h)2＝h2＋ 1002－ 2·h·100·cos 60 °，即 h2＋ 50h－ 5 000＝0，即 (h－ 50)(h ＋ 100) ＝ 0，即 h＝ 50，故水柱的高度是50 m.B能力提高训练1． [2016届广东华南师大附中]] 如图，为了丈量河对岸、两点之间的距离，察看者找到一个点 C ，从C 点能够察看到点、；找到一个点 D ，从 D 点能够察看到点、 C ；找到一个点，从点能够察看到点、C ；并丈量获得一些数据：CD 2 ，C 2 3 ，D 45，CD105，C48.19，C75，60，则、两点之间的距离为．（此中cos48.19取近似值2 ）3【答案】 AB102．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点 C ，使在 C 塔底B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为60，再由点C 沿北偏东15，方向走10 米到地点 D ，测得BDC45，则塔AB的高度为（）A．10 米B．102 米C．10 3 米D．106米【答案】 D【分析】由题设可知BCD 1050 ,BDC450 ,CD10,故CDB300,运用正弦定理可得 BC10 2,则AB3BC10 6,因此应选 D.3．轮船 A 和轮船 B 在正午12 时走开海港 C，两艘轮船航行方向的夹角为120 °，轮船 A 的航行速度是 25 海里 /小时，轮船 B 的航行速度是 15 海里 /小时，下午 2 时两船之间的距离是()A ．35 海里B ．35 2海里C． 35 3海里D． 70 海里【答案】 D【分析】设轮船 A、 B 航行到下午 2 不时所在的地点分别是E、 F，则依题意有 CE＝ 25×2＝50，CF＝15×2 ＝ 30 ，且∠ECF ＝ 120°， EF ＝CE2＋ CF 2－ 2CE·CF cos120°＝502＋ 302－ 2×50×30cos120°＝ 70.4 ．有一长为 1 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A ． 1B ．2sin10°C． 2cos10 °D． cos20 °【答案】 C5．【 2016 宁夏模拟】如图，为了丈量 A 、C两点间的距离，选用同一平面上 B 、 D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB 5 ，BC8， CD 3 ，DA 5 ，且 B 与D互补，则AC 的长为_______ km．【答案】 7【分析】设 AC x，由余弦定理得 52 82x23252x2，解得 x 7 ．8030C思想扩展训练1. 如图： D，C，B 三点在地面同向来线上，DC ＝a，从C，D 两点测得 A 点仰角分别是，()，则 A 点离地面的高度AB等于()（A） a sin sin)（ B） a sin sin)sin(cos(（C） a sin cos)（ D）acos sinsin(cos()【答案】 A【分析】由于 DC DB CB AB AB，因此tan tana AB AB, AB acos acoscosa sin sin a sin sintan tan11sin cos sinsin()tan tan sin sin.2.一个大型喷水池的中央有一个强盛喷水柱，为了丈量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点 A 向北偏东30°行进 100 m 抵达点B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是 ()A ． 50 mB ．100 m C． 120 m D ． 150 m【答案】 A3.【资阳市高中某丈量者在点2011 级高考模拟考试数学（理）】如图，已知A，B 两点分别在河的两岸，A 所在的河岸边另选定一点C，测得 AC 50 m，ACB 45 ，CAB 105 ，则 A、 B 两点的距离为（A ） 50 3 m （B ） 25 3 m （C） 25 2 m （D ） 50 2 m【答案】 D【分析】由于ACB45 ， CAB105 因此 B 30 ,正弦定理AC AB得sin B sin CAB= 50 2 m4.【 2014浙江高考理第17 题】如图，某人在垂直于水平川面ABC 的墙眼前的点A处进行射击训练 .已知点A到墙面的距离为AB ，某目标点 P 沿墙面的射击线CM 挪动，这人为了正确对准目标点P，需计算由点A察看点P的仰角的大小.若AB 15m, AC25m, BCM30 ,则 tan 的最大值.【答案】539【分析】由勾股定理可得，BC 20，过P作 PP'BC，交 BC于P'，连接AP'，则tan PP 'BP 'x，则 CP ' 20x ，由BCM30 得，，设AP 'PP 'CP 'tan 30320 x ，在直角ABP ' 中，AP'152x2225 x2，故3320x320x20xtan3，225x23225，令y225x2x2225x220x12xx2225x 220 x12xy '225x222252225 x2225x220x225y '0 得， x 45，代入 tan320x225x2，令得，x222543225x2tan320x53，故 tan的最大值为53 ．x23225995.【2014南京盐城高三数学二模数学试卷】如图，经过乡村 A 有两条夹角为60°的公路 AB，AC ，依据规划拟在两条公路之间的地区内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个库房M、N(异于乡村 A)，要求 PM ＝ PN＝ MN＝ 2(单位：千米 )．怎样设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 (即工厂与乡村的距离最远 )．【答案】设计∠AMN 为 60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．2当且仅当2θ＋ 150°＝270°，即θ＝ 60°时， AP 获得最大值12，即 AP 获得最大值 2 3．。

正弦定理和余弦定理及应用一、选择题1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()A．－223 B.223C．－63 D.632．(德州市一模) ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3 bc，sin C＝23sin B，则A＝()A.56π B.23πC.π3 D.π63．(合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32 B. 3C．2 3 D．24．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2b cos C，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()A.32 B.22C.12D．－126．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于( )A.217 B.2114 C.32114 D.2128二、填空题7．(惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3 ac ，则角B 的值为________．8．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.9．(2014·四川高考)如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)10．(广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin C sin A 的值为________．三、解答题11．(2014·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．12．(福建莆田质检)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.将角α的终边绕原点逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ，过B 作BC ⊥y 轴于点C .(1)若点A 的纵坐标为32，求点B 的横坐标； (2)求△AOC 的面积S 的最大值．正弦定理和余弦定理及应用一、选择题1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63D.63解析：由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63. 答案：D2．(德州市一模) ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A.56πB.23πC.π3D.π6解析：由题意得，c ＝23b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝π6.答案：D3．(合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3 C ．2 3D ．2解析：S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3.答案：B4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因此三角形一定是等腰三角形．答案：C5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12解析：由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12. 所以选C.答案：C6．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于( )A.217B.2114C.32114D.2128解析：如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20， ∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 答案：B 二、填空题7．(惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3 ac ，则角B 的值为________．解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.答案：π3或2π38．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________. 解析：设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.答案：4或59．(2014·四川高考)如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)解析：AC ＝92，BC ＝AC sin B ·sin A ＝92sin 67°·sin 37°＝920.92×0.60＝60 (m)． 答案：6010．(广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin C sin A 的值为________．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C sin A ＝3. 答案：3 三、解答题11．(2014·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝63，B ＝A ＋π2，∴A 必为锐角，sin A ＝33，sin B ＝cos A ＝63 由正弦定理知：b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)∵B ＝A ＋π2，∴B 为锐角，cos B ＝－33∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝32 2. 12．(福建莆田质检)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.将角α的终边绕原点逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ，过B 作BC ⊥y 轴于点C .(1)若点A 的纵坐标为32，求点B 的横坐标； (2)求△AOC 的面积S 的最大值． 解：由定义得A (cos α，sin α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，依题意可知sin α＝32，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，所以α＝π3，所以点B 的横坐标为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos 2π3＝－12.(2)解法1：因为|OA |＝1，|OC |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，∠AOC ＝π2－α，所以S ＝12|OA |·|OC |·sin ∠AOC ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos αcos α ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin αcos α＋32cos 2 α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14sin 2α＋32·1＋cos 2α2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α＋38＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋38.又因为α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，4π3，当2α＋π3＝5π6，即α＝π4时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3取得最大值为12，所以S 的最大值为1＋38. 解法2：因为|OC |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，△AOC 的OC 边上的高为点A 的横坐标为cos α，所以S ＝12|OC |·cos α＝12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos α.(余下同解法1)。

2019年高考数学讲练测【新课标版】【测】第四章三角函数与解三角形第07节正弦定理和余弦定理的应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.海上两小岛,A B到海洋观察站C的距离都是10km，小岛A在观察站C的北偏东20︒，小岛B在观察站C的南偏东40︒，则A与B的距离是( )A. 10kmB.C.D. 20km【答案】CAB=海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的2．一船沿北偏西45方向航行，正东有两个灯塔A,B, 10南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船的速度是每小时（）A. 5海里B.C. 10海里D. 海里【答案】B【解析】如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10.△AOC中,sin30OC=︒，∴OC=，∴v==，∴这艘船的速度是每小时海里，本题选择D选项.3．如图，有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要加长（）A. 0.5kmB. 1kmC. 1.5kmD. 32km【答案】B【解析】设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，如图∵∠ABD=20︒，∠C=10︒，∴∠BAC=10︒.∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km.故选B.4．如图，在海岸线上相距千米的A 、C 两地分别测得小岛B 在A 的北偏西α方向，在C 的北偏西-2πα方向，且cos α=BC 之间的距离是A. 千米B. 30千米C. 千米D. 12千米 【答案】D6.如图，在三角形ABC 中，点 在边上，，，,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，根据条件知为等边三角形，则，，由余弦定理，得，即，由正弦定理，得，则，故正确答案为D.7．【山东省青岛市2018年春季高考二模】如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为A ．B ．C ．D ．【答案】A8.【2018届湖北省稳派教育第二次联考】如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足3,AD BD AD AC BD BC =+=+2,cos CD A ===A ．13B ．C ．14D ． 0 【答案】D【解析】设BD =x ,则AD =3x ,AC =2-3x ,BC =2-x ,易知cos cos ADC BDC ∠=-∠,由余弦定理可得22=13x =，故AD =1,AC =1， 222cos 02AD AC CD A AD AC +-==⨯.本题选择D 选项.9.【2018届广西二模】我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D10.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，，当时，，从而可得的取值范围.当时，，为锐角三角形，，的取值范围为，故选A.二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【2018届安徽省示范高中（皖江八校）5月联考】如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．【答案】【解析】分析：根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.详解：如图，已知（尺），（尺），，∴，解得，因此，解得，故折断后的竹干高为尺.12.【2018届吉林省吉大附中四模】为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．【答案】13.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75 ，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为__________海里/小时.【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，68sin120sin45MN ===，则这艘船的航行速度v ==(海里/小时). 14.【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》三】如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ， B 测得山顶的仰角分别为α， β，且该两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α， β， l 的式子表达）．【答案】()sin sin sin h l αββα⋅=-【解析】如图在ABC ∆中有()()sin sin AC l πββα=--，则()sin sin AC l ββα=-．在ACD ∆中， sin hACα=，则 ()sin sin sin sin h AC l αβαβα⋅=⋅=-故高度： ()sin sin sin h l αββα⋅=- ．故答案为： ()sin sin sin h l αββα⋅=-15．【2018年衡水金卷调研卷三】某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是__________小时． 【答案】3.5 【解析】16. 如图，一栋建筑物的高为(30－，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________ m.【答案】6017.【2018届四川省绵阳市三诊】如图，在ABC ∆中， 2BC =， 3ABC π∠=， AC 的垂直平分线DE与,AB AC 分别交于D E ，两点，且DE =，则2BE =__________．【答案】52【解析】分析：连接CD ，因为DE 是中垂线，所以AD CD =.在BCD ∆中，由正弦定理得到CD 与角A 的关系.在直角三角形DCE 中， sin DE CD A =，两者结合可得A 的大小，从而在ABC ∆中利用正弦定理求得AB ，最后在ABE ∆中利用余弦定理求得2BE ..因此ADE ∆为等腰直角三角形，所以AE DE ==在ABC ∆中， 75C =︒，所以2sin75sin45AB =︒︒，故1AB =，在ADE ∆中， ))22251212BE =++-⨯+=+. 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.【河北省邯郸市2017-2018学年高二下期末】如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度. （2）求的值.【答案】（1）14海里/小时；（2）.【解析】分析：（1）由题设可以得到的长，在中利用余弦定理可以得到的长，从而得到舰艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.19. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.【答案】（1）4；（2）.【解析】试题分析：(1)利用张角相等的相似性即可确定点P的位置；(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意.试题解析：（1）张角相等，∴，∴(2)设，∴，∴，，，设，，，，∴，，当且仅当时，等号成立，此时，即20.如图，在某海滨城市附近的海面上正形成台风。

课时作业 A 组 基础对点练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( ) A.π6 B ．π4 C.π6或3π4D ．π4或3π4解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a22bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝3bc .又b 2＝a 2＋bc ，所以c 2＋bc ＝3bc ，即c ＝(3－1)b ＜b ，则a ＝2－3b ，所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，解得C ＝π4.故选B. 答案：B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( ) A ．a ＝c B ．b ＝c C ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B. 答案：B3．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B ．π3 C.π4D ．π6解析：先根据正弦定理化边为角，然后根据诱导公式、倍角公式等化简．∵b ＝c ，∴B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2. 由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )， 即sin 2A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )， 即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )， 即4sin 2A 2cos 2A 2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0， 即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0， ∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4. 答案：C4．(2017·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4. 答案：D5．(2017·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb ＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：根据正弦定理得c b ＝sin Csin B ＜cos A ，即sin C ＜sin B cos A ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＜sin B cos A ，整理得sin A cos B ＜0，又三角形中sin A ＞0，∴cos B ＜0，π2＜B ＜π.∴△ABC 为钝角三角形． 答案：A6．(2016·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析：先利用余弦定理建立关系式，再将所给条件代入求解即可． 在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴bc ＝1. 答案：17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________．解析：因为b 2＋c 2＝2a 2，则由余弦定理可知a 2＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 22bc ＝12×b 2＋c 22bc ≥12×2bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，即cos A 的最小值为12. 答案：128．在△ABC 中，A ＝π3，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 解析：由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得2332＝4sin B ，解得sin B ＝1，B ＝π2，所以△ABC为直角三角形，所以AB ＝AC 2－BC 2＝2，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×23＝2 3. 答案：2 39．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.(1)求cos A 的值；(2)若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径R 的大小． 解析：因为a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以可设a ＝7k ，b ＝5k ， c ＝3k (k ＞0)．(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22·5k ·3k ＝－12. (2)由(1)知cos A ＝－12，因为0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝32. 又△ABC 的面积为453，所以12bc sin A ＝453，即12×5k ×3k ×32＝453，解得k ＝23或k ＝－23(舍去)． 由正弦定理得a sin A ＝2R ，得2R ＝7k sin A ＝14332＝28，即R ＝14.10．(2017·武汉武昌区调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解析：(1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理，得b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3. ∴△ABC 的面积的最大值为 3.B 组 能力提速练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( ) A.π6 B ．π4 C.π3D ．π2解析：易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－(7)22×3×2＝12，又A ∈()0，π，∴A ＝π3，故选C. 答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( ) A.π6或5π6 B ．π3或2π2 C.π6D ．2π3解析：由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6，故选A. 答案：A3．(2017·南京模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°解析：法一：∵sin C ＝23sin B ，∴由正弦定理得， c ＝23b .又a 2－b 2＝ 3 bc ，∴由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－3bc 2bc ＝32，∴A ＝30°.选D.法二：由a 2－b 2＝3bc ，得sin 2A －sin 2B ＝3sin B sin C ， ∵sin C ＝23sin B ，∴sin A ＝7sin B ，∴c ＝23b ，a ＝7b ， 由余弦定理得cos A ＝12b 2＋b 2－7b 22×23b ×b ＝32，∴A ＝30°，选D.答案：D4．(2016·高考四川卷)在△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos Aa ＋cos Bb ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tanB ．解析：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k ＞0)． 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin Cc 中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B ＝4. 5．(2016·高考北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解析：(1)由余弦定理及题设得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又因为0＜∠B ＜π，所以∠B ＝π4. (2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0＜∠A ＜3π4， 所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.。

2017年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第四章 三角函数与解三角形第06节 正弦定理和 余弦定理【课前小测摸底细】1. 【教材改编】在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063 D ．5 6【答案】C【解析】由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：asin A ＝c sin C ， 即1032＝c 22. ∴c ＝1063. 2. （2016全国甲理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = 【答案】2113解法一：由题可知3sin 5A =，12sin 13C =.由正弦定理sin sin a c A C =可得2013c =.由射影定理可得21cos cos 13b a Cc A =+=.解法二：同解法一，可得2013c =.又()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=1665.由余弦定理可得2113b ==.解法三：因为4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+=63sin cos +cos sin 65A C A C =.由正弦定理得sin sin b aB A=，解得2113b =．3. 【2016甘肃兰州实战】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若sin 3sin b A c B =， 3a =，2cos 3B =，则b =（ ） A ．14 B ．6 C【答案】D.【解析】由题意得，sin 3sin 331b A c B ab bc a c c =⇒=⇒=⇒=，∴22222cos 9123163b ac ac B b =+-=+-⋅⋅⋅=⇒=D ． 4.【基础经典试题】设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，若co s C c o s B a s i n A b +=，则ABC 的形状为（ ）A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不确定【答案】A【解析】因为bcosC ccosB asinA +=，由正弦定理可得：sinBcosC sinCcosB sinAsinA +=，所以2sin B C sin A +=（），即2sinA sin A =，A 为三角形内角，所以sinA =1，A =2π，所以三角形是直角三角形．故选A ．5. 【高考题改编】在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为.2B C .4D【答案】B【考点深度剖析】高考对正弦定理和余弦定理的考查，会以选择和填空的形式考查正弦定理和余弦定理在三角形中边和角的应用；也会以大题的形式考查与平面向量和三角恒等变换的结合，试题难度不大，主要考查灵活运用公式求解计算能力． 【经典例题精析】 考点1 正弦定理 【题组全面展示】【1-1】ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ．若3,60a A ===︒，则边c =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】C【解析】2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．【1-2】若满足 c =cos sin a C c A =的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【1-3】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，则C ＝________. 【答案】15°【解析】由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )， 即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°.故填15°.【1-4】 (2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( ) A ．－19B.13 C ．1 D.72【答案】D【解析】由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin A ＝2sin 2B sin A －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.故选D .【课本回眸】正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【方法规律技巧】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b【新题变式探究】【变式1】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =则B =A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】C【解析】由正弦定理得B a A b c o s 3s i n ⋅=⋅，B A A B cos sin 3sin sin ⋅=⋅，由于0s i n ≠A ，3tan cos sin ==B BB ，3π=∴B ，故答案为C.【变式2】在中，已知，，则为（ ）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角非等边三角形D.钝角三角形 【答案】B【解析】由正弦定理得,在三角形中.，,整理的，，又，，，，，，，()π,0,∈B A π=++C B A，所以ABC ∆是等腰直角三角形.考点2 余弦定理【 2-1】在△ABC 中，C ＝60°，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________．【答案】1【2-2】(2016·东北三校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sin B ＝513，cos B ＝12ac，则a ＋c 的值为________．【答案】37【解析】由a ，b ，c 成等比数列知b 2＝ac ， ∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213，∴ac ＝b 2＝13.余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝1213，∴(a ＋c )2＝63，∴a ＋c ＝37.【2-3】【2016山东潍坊一模】已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC= ．【答案】【课本回眸】余弦定理：2222cos a b c ab C+-= ，2222cos b c a ac A +-= ，2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理． 【方法规律技巧】已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=求角C ，在有解时只有一解.已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边. 【新题变式探究】【变式1】【2014年高考江西】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3BCD ．【答案】C【解析】 由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-；由3C π=及余弦定理可得222a b c ab +-=，所以6ab =，所以1sin 2ABC S ab C ∆=3sin 3π==． 【变式2】ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba cc a b ，则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ【答案】A 【解析】由1≥+++ba cc a b ，得()()()()b a c a c a c b a b ++≥+++，整理得bc a c b ≥-+222，由余弦定理得2122cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴3,0πA . 考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用以及判断三角形形状【3-1】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状.方法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形．【3-2】在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，aS 为ABC ∆的面积，则cos S B C 的最大值为（ ）（A ）1 （B 1 （C （D ）3【答案】C【解析】∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设ABC ∆外接圆的半径为R，则22sin sin 3a R A ===，∴1R =，∴1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C =+=sin cos )B C B C B C -，故c o sc o s S B C 的最大值为C ．【3-3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2220a b c ab +--=．若ABC ∆的，则ab 的最小值为（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．4 【答案】 D【课本回眸】【方法规律技巧】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．提醒：1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B⇔a＞b.2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．【新题变式探究】【变式1】在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx＋y cos A＋cos B ＝0与ax＋y cos B＋cos A＝0平行，则△ABC一定是 ( )A ．锐角三角形 B.等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】C解法二由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0，由余弦定理，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意，故a 2＋b 2＝c 2，即△ABC 是直角三角形.【变式2】(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .① ∵A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，∴B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即4＝a 2＋c 2－2ac cos π4，又a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【变式3】(2014·课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【答案】3【解析】由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝π3. 在△ABC 中，由余弦定理得4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3.故填3. 三、易错试题常警惕易错典例：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高． 易错分析：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．四、学科素养提升之交汇创新系列【典例】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C ． 根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ．因为sin A >0，所以cos B ＝22， 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.1.三角形与三角恒等变换、平面向量、数列、基本不等式等知识交汇命题时，一般先将所给条件和待求(证)结论依据相关知识作等价变换，转化为纯三角函数内容，按三角函数的知识方法解答．2．在三角形问题中，若给出的条件式中既有边又有角，一般先依据正(余)弦定理化边为角或化角为边，再按转化后的表达式特点选择变形解答方法．。

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】所以，选A.2.【2018届云南省师范大学附属中学月考一】已知分别是的三条边及相对三个角，满足，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B3.已知中，的对边分别为若且，则（）A.2 B．4＋ C．4— D．【答案】A【解析】由可知,，所以，由正弦定理得,故选A4.设是的重心，且，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知在中，，则的形状是( )A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得，∴，∴.∵在三角形中有，∴.∴.∵，∴，即.故为直角三角形．选A.6. 中，角所对的边长分别为，，且，则=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，即，又，。

7.已知中，内角,,所对的边长分别为,,，若，，，则的面积等于A． B． C． D．【答案】C8.在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则（ )（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由由余弦定理得所以①在中，，所以②由①②得因为在中，，所以，所以，故答案选9.【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC最短为（ ）B. 2米 【答案】D10.已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设三边分别为，最大角大于，因此最大角是，由余弦定理得，解得（舍去），因此三边长为，三角形的周长，故答案为A ． 11.设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，.则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由题意可知：，所以，由余弦定理可得：即，所以，所以.12.在中，角A ，B，C所对的边分别为a，b，c满足，，，则b+c的取值范围是（）A.B. C. D.【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

专题4.7 正余弦定理应用1. 如图，某人为了测量某建筑物两侧A.B 间的距离(在A ，B 处相互看不到对方)，选定了一个可看到A 、B 两点的C 点进行测量，你认为测量时应测量的数据是________．【答案】a ，b ，γ【解析】测出a ，b ，γ就可以利用余弦定理求出AB 的距离．2.在同一平面内中，在A 处测得的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为 . 【答案】19【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 . 【答案】50 m4.如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙壁AC 上，060=∠ABC ，若AB 滑动至DE 位置， 且)23(-=AD 米，问木棒AB 中点O 所经过的路程为 米．【答案】12π 【解析】设AB 的中点为P ，DE 的中点为P '，连接CP 、CP '，如图，．5.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=o ，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=o ，则tan OPQ ∠的值为 _________.【答案】233【解析】设物体运动的速度为v ，依题意=,RQ=2,PQ v v 在ROQ ∆中，由正弦定理得，2sin 30sin v OQR=∠，故4sin R OQ v =∠，又0R OQP 30∠=∠-，故04sin(OQP 30)OQ v =∠-，在Rt OPQ ∆中，sin O OQPQ v∠=04sin(O 30)QP =∠-,展开得，sin O =23sin O 2cos O PQ QP QP ∠∠-∠，又sin O cos O QP PQ ∠=∠，cos O sin O QP PQ ∠=∠，则有3sin O =23cos O PQ PQ ∠∠，即sin O 23tan O cos O 3PQ PQ PQ ∠∠==∠. 6.一艘船上午9：30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东300处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东750，且与它相距82海里，则此船的航速是_________.【答案】32海里/小时.[【解析】经计算030A ∠=，045S ∠=，sin 16sin SAB BS A==海里，速度为32海里/小时.[ 7.甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 . 【答案】1507分钟8.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是 . 【答案】70海里【解析】设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E 、F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°，EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120°＝502＋302－2×50×30cos120°＝70. 9.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为 . 【答案】2cos10°10如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km) .【答案】6.6【解析】∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032 m.∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km.∴山高为18－11.4＝6.6 km.11.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m,25m,30AB AC BCM ==∠=o,则tan θ的最大值 .【答案】5312.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】3【解析】如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．13.某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米．【答案】16914. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分14分)如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB ＝x 公里，AC ＝y 公里． （1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域； （2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【答案】（1）y ＝1x x -,{x |54≤x ≤5}（23【解析】解：(1)由S ΔABD ＋S ΔACD ＝S ΔABC得12x sin60º＋12y sin60º＝12xy sin120º …………… 2分 所以x +y =xy ，所以y ＝1xx - …………… 4分又0＜y≤5，0＜x≤5，所以54≤x≤53平方公里的养殖区．…………14分。