第二章 随机变量及其分布习题2.11． 口袋中有5个球，编号为1, 2, 3, 4, 5．从中任取3只，以X 表示取出的3个球中的最大号码．（1）试求X 的分布列；（2）写出X 的分布函数，并作图． 解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）X 的全部可能取值为3, 4, 5，且事件“X = 3”所含样本点个数为k 1 = 1，有1.0101}3{===X P ， 事件“X = 4”所含样本点个数为31223232=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3.0103}4{===X P ， 事件“X = 5”所含样本点个数为61234243=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有6.0106}5{===X P ， 故X 的分布列为6.03.01.0543P X；（2）因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 3, 4, 5，当x < 3时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当3 ≤ x < 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} = 0.1，当4 ≤ x < 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4，当x ≥ 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1;54,4.0;43,1.0;3,0)(x x x x x F2． 一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数．（1）试求X 的分布列； （2）写出X 的分布函数． 解：样本点总数n = 62 = 36，（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6，且事件“X = 1”所含样本点个数为k 1 = 62 − 52 = 11，有3611}1{==X P ， 事件“X = 2”所含样本点个数为k 2 = 52 − 42 = 9，有369}2{==X P ，事件“X = 3”所含样本点个数为k 3 = 42 − 32 = 7，有367}3{==X P ，事件“X = 4”所含样本点个数为k 4 = 32 − 22 = 5，有365}4{==X P ，事件“X = 5”所含样本点个数为k 5 = 22 − 1 = 3，有363}5{==X P ， 事件“X = 6”所含样本点个数为k 6 = 1，有361}6{==X P ， 故X 的分布列为3613633653673693611654321PX ； （2）因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 1, 2, 3, 4, 5, 6，当x < 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当1 ≤ x < 2时，3611}1{}{)(===≤=X P x X P x F ， 当2 ≤ x < 3时，36203693611}2{}1{}{)(=+==+==≤=X P X P x X P x F ， 当3 ≤ x < 4时，36273673693611}3{}2{}1{}{)(=++==+=+==≤=X P X P X P x X P x F ，当4 ≤ x < 5时，36323653673693611}{}{)(41=+++===≤=∑=k k X P x X P x F ， 当5 ≤ x < 6时，36353633653673693611}{}{)(51=++++===≤=∑=k k X P x X P x F ， 当x ≥ 6时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=.6,1;65,3635;54,3632;43,3627;32,3620;21,3611;1,0)(x x x x x x x x F 3． 口袋中有7个白球、3个黑球．（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列；（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X 的概率分布列如何． 解：（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4，且107}1{==X P ，30797103}2{=×==X P ，12078792103}3{=××==X P ， 1201778192103}4{=×××==X P ， 故X 的概率分布列为120112073071074321PX ；（2）X 的全部可能取值仍为1, 2, 3, 4，且7.0107}1{===X P ，24.0108103}2{=×==X P ，054.0109102103}3{=××==X P ， 006.01010101102103}4{=×××==X P ，故X 的概率分布列为006.0054.024.07.04321P X ．4． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．以X 表示所取到的白球数． （1）试求X 的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子”，（1）X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3，且P {X = 0} = P (A 1) P {X = 0 | A 1} + P (A 2) P {X = 0 | A 2} + P (A 3) P {X = 0 | A 3}610301304031353331353431=++=×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=， P {X = 1} = P (A 1) P {X = 1 | A 1} + P (A 2) P {X = 1 | A 2} + P (A 3) P {X = 1 | A 3}2130330630635221331352312313524131=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=， P {X = 2} = P (A 1) P {X = 2 | A 1} + P (A 2) P {X = 2 | A 2} + P (A 3) P {X = 2 | A 3}10330630303512233135132231031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×=， P {X = 3} = P (A 1) P {X = 3 | A 1} + P (A 2) P {X = 3 | A 2} + P (A 3) P {X = 3 | A 3}30130100353331031031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×+×=， 故X 的概率分布列为30110321613210PX ； （2）所求概率为3130********}3{}2{}2{==+==+==≥X P X P X P ． 5． 一批产品共有100件，其中10件是不合格品．根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验． （1）试求5件产品中不合格品数X 的分布列； （2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？解：样本点总数7528752012345969798991005100=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， （1）X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，且事件“X = 0”所含样本点个数为439492681234586878889905900=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 事件“X = 1”所含样本点个数为25551900123487888990104901101=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 事件“X = 2”所含样本点个数为5286600123888990129103902102=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 3”所含样本点个数为48060012899012389102903103=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 4”所含样本点个数为18900901234789101904104=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 5”所含样本点个数为252123456789105105=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，则583752.07528752043949268}0{===X P ，339391.07528752025551900}1{===X P ，070219.0752875205286600}2{===X P ，006384.075287520480600}3{===X P ，000251.07528752018900}4{===X P ，000003.075287520252}5{===X P ，故X 的分布列为000003.0000251.0006384.0070219.0339391.0583752.0543210P X ；（2）所求概率为P {X > 0} = 1 − P {X = 0} = 1 − 0.583752 = 0.416248． 6． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P {X < 3}，P {X ≤ 3}，P {X > 1}，P {X ≥ 1}． 解：X 的全部可能取值为其分布函数F (x ) 的分段点0, 1, 3, 6，且41041)00()0(}0{=−=−−==F F X P ，1214131)01()1(}1{=−=−−==F F X P ， 613121)03()3(}3{=−=−−==F F X P ，21211)06()6(}6{=−=−−==F F X P ，故X 的概率分布列为2161121413210PX ； 且31)03(}3{=−=<F X P ；21)3(}3{==≤F X P ；32311)1(1}1{1}1{=−=−=≤−=>F X P X P ； 43411)01(1}1{1}1{=−=−−=<−=≥F X P X P ．7． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.e ,1e;1,ln ;1,0)(x x x x x F试求P {X < 2}，P {0 < X ≤ 3}，P {2 < X < 2.5}．解：P {X < 2} = F (2 − 0) = ln 2；P {0 < X ≤ 3} = F (3) − F (0) = 1 − 0 = 1；P {2 < X < 2.5} = F (2.5 − 0) − F (2) = ln 2.5 − ln 2 = ln 1.25．8． 若P {X ≥ x 1} = 1 − α ，P {X ≤ x 2} = 1 − β ，其中x 1 < x 2 ，试求P {x 1 ≤ X ≤ x 2}．解：P {x 1 ≤ X ≤ x 2} = P {X ≤ x 2} − P {X < x 1} = P {X ≤ x 2} + P {X ≥ x 1} − 1 = 1 − β + 1 − α − 1 = 1 − α − β ． 9． 从1, 2, 3, 4, 5五个数字中任取三个，按大小排列记为x 1 < x 2 < x 3 ，令X = x 2 ，试求（1）X 的分布函数；（2）P {X < 2}及P {X > 4}．解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）X 的全部可能取值为2, 3, 4，且事件“X = 2”所含样本点个数为k 1 = 3，有3.0103}2{===X P ， 事件“X = 3”所含样本点个数为k 2 = 2 × 2 = 4，有4.0104}3{===X P ，事件“X = 4”所含样本点个数为k 3 = 3，有3.0103}4{===X P ，因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 2, 3, 4， 当x < 2时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当2 ≤ x < 3时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} = 0.3，当3 ≤ x < 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} + P {X = 3} = 0.3 +0.4 = 0.7， 当x ≥ 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(x x x x x F（2）P {X < 2} = P (∅) = 0，P {X > 4} = P (∅) = 0．10．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤−−=.,0;11|,|1)(其他x x x p试求X 的分布函数．解：分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = −1, 0, 1，当x < −1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当−1 ≤ x < 0时，21221122)](1[)()(22121++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−−==−−∞−∫∫x x x x u u du u du u p x F xxx， 当0 ≤ x < 1时，xxxu u u u du u du u du u p x F 021200122)1()](1[)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−+−−==−−∞−∫∫∫21202211022++−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=x x x x ， 当x ≥ 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++−<≤−++−<=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22x x x x x x x x x F11．如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0;21,2;10,)(其他x x x x x p试求P {X ≤ 1.5}． 解：16132325.13021222)2()(}5.1{25.112125.11105.1=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+==≤∫∫∫∞−x x x dx x xdx dx x p X P ． 12．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.2π||,0;2π||,cos )(x x x A x p 试求（1）系数A ；（2）X 落在区间 (0, π /4) 内的概率． 解：（1）由密度函数正则性知122πsin 2πsinsin cos )(2π2π2π2π==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−===−−∞+∞−∫∫A A A xA xdx A dx x p ， 故21=A ；（2）所求概率为4204πsin 21sin 21cos 21}4π0{4π04π=−===<<∫x xdx X P ．13．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求（1）系数A ；（2）X 落在区间 (0.3, 0.7) 内的概率； （3）X 的密度函数．解：（1）由连续随机变量分布函数的连续性知A A x F F F x =⋅==−==−→211)(lim )01()1(1，故A = 1； （2）所求概率为P {0.3 < X < 0.7} = F (0.7) − F (0.3) = 0.7 2 − 0.3 2 = 0.4；（3）密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，F (x ) = 0，有p (x ) = F ′(x ) = 0，当0 ≤ x < 1时，F (x ) = x 2，有p (x ) = F ′(x ) = 2x ， 当x ≥ 1时，F (x ) = 1，有p (x ) = F ′(x ) = 0，故X 的密度函数为⎩⎨⎧<≤=.,0;10,2)(其他x x x p 14．学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时．它的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.,0;5.00,)(2其他x x cx x p （1）确定常数c ；（2）写出X 的分布函数；（3）试求在20min 内完成一道作业的概率； （4）试求10min 以上完成一道作业的概率． 解：（1）由密度函数正则性知1812423)()(5.00235.002=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=∫∫∞+∞−c x x c dx x cx dx x p ，故c = 21； （2）分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 0, 0.5，当x < 0时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 0.5时，2727)21()()(2302302x x u u du u u du u p x F xxx+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+==∫∫∞−，当x ≥ 0.5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=;5.0,1;5.00,27;0,0)(23x x x x x x F（3）所求概率为5417181277312131731}316020{23=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==≤F X P ；（4）所求概率为1081037212167161216171611}616010{23=−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==≥F X P ． 15．设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A = {X > a }和B = {Y > a }独立，且P (A ∪B ) = 3/4，求常数a ． 解：由于事件A 和B 独立，且显然有P (A ) = P (B )，则43)]([)(2)()()()()()()()(2=−=−+=−+=A P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P ∪， 可得21)(=A P 或23)(=A P （舍去）， 显然0 < a < 2，有218181d 83}{)(32322=−===>=∫a x x x a X P A P a a ， 故34=a ．16．设连续随机变量X 的密度函数p (x ) 是一个偶函数，F (x ) 为X 的分布函数，求证对任意实数a > 0，有（1）∫−=−=−adx x p a F a F 0)(5.0)(1)(；（2）P {| X | < a } = 2F (a ) − 1；（3）P {| X | > a } = 2[1 − F (a )]． 证：（1）因p (x ) 为偶函数，有∫∫+∞−∞−=a a dx x p dx x p )()(且5.0)(0=∫∞−dx x p ，则∫∫∫∫+=+==∞−∞−a aa dx x p dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)()()()(，故∫∫∫∫−=−=−===−∞−+∞−∞−a aadx x p a F dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)(1)(1)()()(；（2）P {| X | < a } = P {−a < X < a } = F (a ) − F (−a ) = F (a ) − [1 − F (a )] = 2 F (a ) − 1； （3）P {| X | > a } = 1 − P {| X | ≤ a } = 1 − P {| X | < a } = 1 − [2 F (a ) − 1] = 2 − 2 F (a )．习题2.21． 设离散型随机变量X 的分布列为3.03.04.0202P X −试求E (X ) 和E (3X + 5)．解：E (X ) = (−2) × 0.4 + 0 × 0.3 + 2 × 0.3 = −0.2；E (3X + 5) = (−1) × 0.4 + 5 × 0.3 + 11 × 0.3 = 4.4． 2． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为04.009.013.031.033.010.0543210P X试求顾客在商店平均购买服装件数．解：平均购买服装件数为E (X ) = 0 × 0.10 + 1 × 0.33 + 2 × 0.31 + 3 × 0.13 + 4 × 0.09 + 5 × 0.04 = 1.9． 3． 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布002.0006.0026.0087.0216.0362.0301.06543210P X试求该地区发生重大交通事故的月平均数． 解：月平均数E (X ) = 0 × 0.301 + 1 × 0.362 + 2 × 0.216 + 3 × 0.087 + 4 × 0.026 + 5 × 0.006 + 6 × 0.002 = 1.201． 4． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了．若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E (X )．解：样本点总数125970820=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，且事件“X = 0”所含样本点个数64358150=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0511.01259706435}0{===X P ， 事件“X = 1”所含样本点个数32175715151=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有2554.012597032175}1{===X P ， 事件“X = 2”所含样本点个数50050615252=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3973.012597050050}2{===X P ， 事件“X = 3”所含样本点个数30030515353=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有2384.012597030030}3{===X P ， 事件“X = 4”所含样本点个数6825415454=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0542.01259706825}4{===X P ， 事件“X = 5”所含样本点个数455315555=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0036.0125970455}5{===X P ， 故X 的分布列为0036.00542.02384.03973.02554.00511.0543210PX且E (X ) = 0 × 0.0511 + 1 × 0.2554 + 2 × 0.3973 + 3 × 0.2384 + 4 × 0.0542 + 5 × 0.0036 = 2． 5． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码：（甲）1, 2, 2, 5, 10（g ）；（乙）1, 2, 3, 4, 10（g ）；（丙）1, 1, 2, 5, 10（g ），称重时只能使用一组砝码．问：当物品的质量为1g 、2g 、…、 10g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？ 解：设X 1 , X 2 , X 3分别表示使用甲、乙、丙组砝码称重时需要的砝码个数，当物品的质量为1g 、2g 、…、10g 时，有X 1 = 1、1、2、2、1、2、2、3、3、1，即P {X 1 = 1} = 0.4，P {X 1 = 2} = 0.4，P {X 1 = 3} = 0.2， X 2 = 1、1、1、1、2、2、2、3、3、1，即P {X 2 = 1} = 0.5，P {X 2 = 2} = 0.3，P {X 2 = 3} = 0.2， X 3 = 1、1、2、3、1、2、2、3、4、1，即P {X 3 = 1} = 0.4，P {X 3 = 2} = 0.3，P {X 3 = 3} = 0.2，P {X 3 = 4} = 0.1，则平均砝码数E (X 1 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 = 1.8，E (X 2 ) = 1 × 0.5 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 = 1.7， E (X 3 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2， 故用乙组砝码称重所用的平均砝码数最少．6． 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望．解：设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为0, 1, 2，则54108}0{===X P ，45898102}1{=×==X P ，4518891102}2{=××==X P ， 故9245124581540)(=×+×+×=X E ．7． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格．设产品的数量很大，可以认为每次查到不合格品的概率都是p ．问每批产品平均要查多少件？解：设X 表示检查一批产品要查的件数，X 的全部可能取值为1, 2, …, a – 1, a ，则P {X = 1} = p ，P {X = 2} = (1 – p )p ，…，P {X = a – 1} = (1 – p ) a − 2 p ，P {X = a } = (1 – p ) a − 1， 即E (X ) = 1 ⋅ p + 2 (1 – p ) p + … + (a – 1) (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1，有(1 – p )E (X ) = 1 ⋅ (1 – p ) p + 2 (1 – p )2 p + … + (a – 2) (1 – p ) a − 2 p + (a – 1) (1 – p ) a − 1 p + a (1 – p ) a ， 得E (X ) – (1 – p )E (X ) = p + (1 – p ) p + … + (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1 – (a – 1) (1 – p ) a − 1 p – a (1 – p ) a ，即)]1()1([)1()1(1])1(1[)(11p a p a a p p p p X pE a a −−−−−+−−−−=−−= 1 – (1 – p ) a − 1 + (1 – p ) a − 1 ⋅ p = 1 – (1 – p ) a − 1 ⋅ (1 – p ) = 1 – (1 – p ) a ，故pp X E a)1(1)(−−=．8． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位：h ），其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e 02.0)(02.0t t t p t 试求平均维修时间． 解：平均维修时间5002.0e e e )e (e 02.0)(002.0002.0002.0002.0002.0=−=+−=−=⋅=+∞−∞+−∞+−∞+−∞+−∫∫∫tttt t dt t d t dt t T E ．9． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间 (0, 1) 上取值的随机变量，它的密度函数为⎩⎨⎧<<−=.,0;10,)1(4)(3其他x x x p 试求平均市场占有率．解：平均市场占有率∫∫−+−=−⋅=143213)412124()1(4)(dx x x x x dx x x X E5154342105432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=x x x x ．10．设随机变量X 的密度函数如下，试求E (2 X + 5)．⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x 解：7e 25e 2e )52()e )(52(e )52()52(0=−=++−=−+=+=++∞−+∞−+∞−+∞−+∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x X E ．11．设随机变量X 的分布函数如下，试求E ( X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x解：因分布函数F (x ) 是连续函数，有X 为连续型，密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，2e )()(xx F x p =′=，当0 < x < 1时，p (x ) = F ′(x ) = 0，当x > 1时，)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ，∫∫∞+−−∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+⋅=1)1210][e 21)(e 21x x d x d x 则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(210e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ，因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x ， 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ，故1641)1(21)(=×+−×=X E ．12．某工程队完成某项工程的时间X （单位：月）是一个随机变量，它的分布列为1.02.03.04.013121110P X（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；（2）设该工程队所获利润为Y = 50(13 – X )，单位为万元．试求该工程队的平均利润； （3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间X （单位：月）的分布为1.04.05.0121110P X则其平均利润可增加多少？解：（1）平均月数E (X ) = 10 × 0.4 + 11 × 0.3 + 12 × 0.2 + 13 × 0.1 = 11．（2）平均利润为E (Y ) = E [50 (13 – X )] = 150 × 0.4 + 100 × 0.3 + 50 × 0.2 + 0 × 0.1 = 100（万元）； （3）因E (Y 1) = E [50 (13 – X 1)] = 150 × 0.5 + 100 × 0.4 + 50 × 0.1 = 120，有E (Y 1) – E (Y ) = 20，故平均利润增加20万元．13．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π;0,2cos 21)(其他x x x p 对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π /3的次数，求Y 2的数学期望．解：Y 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4，因216πsin 2πsin2sin2cos 21}3π{π3ππ3π=−===>=∫x dx x X P p ， 则161)1(}0{4=−==p Y P ，164)1(14}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ，166)1(24}2{22=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ， 164)1(34}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ，161}4{4===p Y P ， 故5168016141643166216411610)(222222==×+×+×+×+×=Y E ．14．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 试求21X 的数学期望． 解：438383112020222==⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫dx dx x x X E ．15．设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明∑+∞=≥=1}{)(k k X P X E ．证：)(}{}{}{}{11111X E n X nP n X P n X P k X P n n nk k kn k =======≥∑∑∑∑∑∑+∞=+∞==+∞=+∞=+∞=．16．设连续随机变量X 的分布函数为F (x )，且数学期望存在，证明∫∫∞−+∞−−=0)()](1[)(dx x F dx x F X E ．证：设X 的密度函数为p (x )，有p (x ) = F ′(x )，故∫∫∫∫∞−∞−+∞+∞∞−+∞+−−−−=−−000)]([)()](1[)](1[)()](1[x F xd x xF x F xd x F x dx x F dx x F)()()()()(0)]([00000X E dx x xp dx x xp dx x xp dx x xp dx x p x ==+=+−−−=∫∫∫∫∫+∞∞−∞−+∞∞−+∞．习题2.31． 设随机变量X 满足E (X ) = Var (X ) = λ ，已知E [(X − 1) (X − 2)] = 1，试求λ ． 解：因E (X ) = Var (X ) = λ ，有E (X 2) = Var (X ) + [E (X )]2 = λ + λ 2 ，则E [(X − 1) (X − 2)] = E (X 2 – 3X + 2) = E (X 2) – 3E (X ) + 2 = λ + λ 2 – 3λ + 2 = λ 2 – 2λ + 2 = 1， 得λ 2 – 2λ + 1 = 0，即 (λ – 1)2 = 0， 故λ = 1．2． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差．解：设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为0, 1, 2，则54108}0{===X P ，45898102}1{=×==X P ，4518891102}2{=××==X P ， 得9245124581540)(=×+×+×=X E ，且154451245124581540)(2222==×+×+×=X E ， 故4058892154)]([)()Var(222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=X E X E X ． 3． 已知E (X ) = –2，E (X 2) = 5，求Var (1 – 3X )．解：因Var (X ) = E (X 2) – [E (X )]2 = 5 – (–2) 2 = 1，故Var (1 – 3X ) = (–3)2 Var (X ) = 9 × 1 = 9． 4． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x试求Var (X )．解：因分布函数F (x ) 是连续函数，有X 为连续型，密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，2e )()(xx F x p =′=，当0 < x < 1时，p (x ) = F ′(x ) = 0， 当x > 1时，)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ，则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(21e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ，因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x ， 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ，可得1641)1(21)(=×+−×=X E ，且∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)1(212021)1(2120222e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x p x X E x x x x因2e 202e e )(e e 00020202=−=⋅−⋅=⋅=∫∫∫∫∞−∞−∞−∞−∞−dx x xdx x d x dx x x x xx x ，∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=⋅−=1)1(211)1(2121)1(2121)1(2122e2e2][e2exdx x d x dx x x x x x26642e421)1(21=×+=+=∫∞+−−dx x x ，可得2152641221)(2=×+×=X E ，故2131215)]([)()Var(222=−=−=X E X E X ．5． 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<−≤<−+=.,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var (3X + 2)．解：因061613232)1()1()()(13201321001=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x xp X E ， 且611211214343)1()1()()(1043014310201222=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x p x X E ， 则61)]([)()Var(22=−=X E X E X ， 故23619)Var(9)23Var(=×==+X X ．6． 试证：对任意的常数c ≠ E (X )，有Var (X ) = E (X – E (X ))2 < E (X – c )2．证：因E (X – c )2 = E (X 2 – 2cX + c 2) = E (X 2) – 2c E (X ) + c 2 = E (X 2) – [E (X )]2 + [E (X )]2 – 2c E (X ) + c 2= E (X – E (X ))2 + [E (X ) – c ]2 > E (X – E (X ))2 = Var (X )．7． 设随机变量X 仅在区间[a , b ]上取值，试证a ≤ E(X) ≤ b ，22)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤a b X ．证：因X ≥ a ，有X – a ≥ 0，得E (X – a ) = E (X ) – a ≥ 0，即E (X ) ≥ a ，又因X ≤ b ，同理可得E (X ) ≤ b ，故a ≤ E (X ) ≤ b ；因a ≤ X ≤ b ，有222a b b a X a b −≤+−≤−−，得2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X ， 则022222222≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E a b b a X E ，即2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E ， 故22222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=a b b a X E X E X E X ．8． 设随机变量X 取值x 1 ≤ … ≤ x n 的概率分别是p 1 , …, p n ，11=∑=nk k p ．证明212)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤x x X n ．证：因x 1 ≤ X ≤ x n ，有222111x x x x X x x n n n −≤+−≤−−，得212122⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−x x x x X n n ，故2121212222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=x x x x E x x X E X E X E X n n n ．9． 设g (x ) 为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E (g (X )) 存在，证明：对任意的ε > 0，有)())((}{εεg X g E X P ≤>．注：此题应要求g (ε ) ≠ 0．证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，因g (x ) 为非负不减函数，当x > ε 时，有g (x ) ≥ g (ε ) > 0，即1)()(≥εg x g ， 故)())(()()()()()()()()()(}{εεεεεεεg X g E g X g E dx x p g x g dx x p g x g dx x p X P =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=>∫∫∫∞+∞−∞+∞+． 10．设X 为非负随机变量，a > 0．若E (e aX)存在，证明：对任意的x > 0，有axaX E x X P e )(e }{≤≥．证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，故ax aX ax aX ax au xax auxE E du u p du u p du u p x X P e )(e e e )(e e )(e e )(}{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=≥∫∫∫∞+∞−∞+∞+． 11．已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3 × 10 9，标准差是0.7 × 10 9．试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2 × 10 9至9.4 × 10 9之间的概率的下界． 解：设X 表示“每升血液中的白细胞数”，有E (X ) = 7.3 × 10 9，Var (X ) = (0.7 × 10 9) 2 = 0.49 × 10 18，则P {5.2 × 10 9 ≤ X ≤ 9.4 × 10 9} = P {–2.1 × 10 9 ≤ X – 7.3 × 10 9 ≤ 2.1 × 10 9} = P { | X – E (X ) | ≤ 2.1 × 10 9}989111041.41049.01)101.2()Var(1181829=−=××−=×−≥X ，故所求概率的下界为98．习题2.41． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率． 解：设X 表示“取到的不合格品个数”，有X 服从二项分布b (3, 0.1)，故所求概率为972.09.01.0139.0}1{}0{}1{23=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==+==≤X P X P X P ． 2． 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件一级品的概率． 解：设X 表示“检查到的一级品个数”，有X 服从二项分布b (5, 0.8)，故所求概率为99328.02.08.0152.01}1{}0{1}2{45=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ． 3． 某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3．试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率．解：设X 表示“三次射击所中的10环次数”，有X 服从二项分布b (3, 0.7)，故所求概率为784.07.03.07.023}3{}2{}2{32=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P ．4． 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%．如今餐厅有50个座位，但预定给了52位 顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：设X 表示“到时来到餐厅的顾客人数”，有X 服从二项分布b (52, 0.8)，故所求概率为0001279.08.02.08.05152}52{}51{}51{5251=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P ．5． 设随机变量X ~ b (n , p )，已知E (X ) = 2.4，Var (X ) = 1.44，求两个参数n 与p 各为多少？ 解：因X ~ b (n , p )，有E (X ) = np = 2.4，Var (X ) = np (1 – p ) = 1.44，有6.04.244.11==−p ， 故p = 0.4，64.04.2==n ． 6． 设随机变量X 服从二项分布b (2, p )，随机变量Y 服从二项分布b (4, p )．若P {X ≥ 1} = 8/9，试求P {Y ≥ 1}．解：因X 服从二项分布b (2, p )，有98)1(1}0{1}1{2=−−==−=≥p X P X P ，即32=p ，故8180311)1(1}0{1}1{44=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−==−=≥p Y P Y P ．7． 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品．分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算． 解：设X 表示“发现的不合格品个数”，有X 服从二项分布b (40, 0.02)，（1）所求概率为1905.098.002.014098.01}1{}0{1}2{3940=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ；（2）因n = 40较大，p = 0.02很小，取λ = np = 0.8，有)8.0(~P X ，故查表可得所求概率为191.0809.01}1{1}2{=−=≤−=≥X P X P ． 8． 设X 服从泊松分布，且已知P {X = 1} = P {X = 2}，求P {X = 4}． 解：设X 服从泊松分布P (λ )，有λ > 0，则λλλλλ−−=====e 2}2{e 1}1{21P X P ，得22λλ=，即λ = 2，故查表可得P {X = 4} = P {X ≤ 4} – P {X ≤ 3} = 0.947 – 0.857 = 0.090．9． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为λ 的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为λ p 的泊松分布． 证：设Y 表示“该商场一天内购买商品的顾客人数”，Y 的全部可能取值为0, 1, 2, …，有∑∑∞=−−∞=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅======rk rk r k rk p p r k k k X r Y P k X P r Y P )1(!e }|{}{}{λλ ∑∑∑∞=+−∞=−−∞=−−−=−−=−−⋅⋅=0!)1(!e )!()1(!e )1()!(!!!e n nr n r rk rk k r rk rk r k n p r p r k p r p p p r k r k k λλλλλλpr p r n n r r r p r p n p r p λλλλλλλλ−−−−∞=−=⋅=−=∑e !)(e !e )(!)]1([!e )1(0， r = 0, 1, 2, …， 故Y 服从参数为λ p 的泊松分布．10．从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋子中返回地摸球，直到摸到白球时停止．试求取到黑球数的期望． 解：设X 表示“取到的黑球数”，有X + 1服从参数为n m mp +=的几何分布，有mn m p X E +==+1)1(， 故mnm n m X E =−+=1)(． 11．某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列：121}{+==k k X P ，k = 0, 1, …，求此种产品上的平均缺陷数．解：因X + 1服从参数为21=p 的几何分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛21Ge ，有21)1(==+p X E ，故E (X ) = 2 – 1 = 1． 12．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤ 1/2}出现的次数，试求P {Y = 2}．解：因412}21{212210===≤∫x xdx X P ，有Y 服从二项分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛41,3b ， 故649434123}2{2=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ．13．某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检查，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备．若检验员每天检查4次，试问每天平均要调整几次设备． 解：设X 表示“所取10件中的不合格品数”，有X 服从二项分布b (10, 0.1)，则需要调整设备的概率为2639.09.01.01109.01}1{}0{1}2{910=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ， 设Y 表示“每天调整设备的次数”，有X 服从二项分布b (4, 0.2639)， 故E (X ) = 4 × 0.2639 = 1.0556，即每天平均要调整1.0556次设备．习题2.51． 设随机变量X 服从区间 (2, 5)上的均匀分布，求对X 进行3次独立观察中，至少有2次的观察值大于3的概率． 解：设Y 表示“X 大于3的次数”，有Y 服从二项分布b (3, p )，且322535}3{=−−=>=X P p ， 故所求概率为272032313223}2{32=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≥Y P ． 2． 在 (0, 1)上任取一点记为X ，试求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−081432X X P ．解：因X 服从区间 (0, 1)上的均匀分布，且021*******≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−X X X X ，即41≤X 或21≥X ，故432110412141081432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−X X P X X P 或．3． 设K 服从 (1, 6)上的均匀分布，求方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根的概率．解：因方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根，有判别式 ∆ = K 2 – 4 ≥ 0，即K ≤ – 2或K ≥ 2，故所求概率为5416260}22{=−−+=≥−≤K K P 或． 4． 设流经一个2 Ω 电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间．试求此电阻上消耗的平均功率，其中功率W = 2I 2．解：因电流I 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,119,21)(其他x x p故平均功率36023212)(2)2()(1193119222==⋅===∫∫∞+∞−x dx x dx x p x I E W E ． 5． 某种圆盘的直径在区间 (a , b )上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积． 解：设d 表示“圆盘的直径”，S 表示“圆盘的面积”，有2π41d S =， 因直径d 密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,,1)(其他b x a ab x p 故平均面积)(4π)(4π1π41)(π41π41)(223222b ab a a b x dx a b x dx x p x d E S E ba b a ++=−=−⋅==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∞+∞−． 6． 设某种商品每周的需求量X 服从区间 (10, 30)上的均匀分布，而商店进货数为区间 (10, 30)中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元．为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量．解：因X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,3010,201)(其它x x p 并设每周进货量为a 单位商品，商店所获利润为Y 元，当X ≤ a 时，Y = 500X − 100 (a − X ) = 600X − 100a ；当X > a 时，Y = 500a + 300 (X − a ) = 300X + 200a ，即⎩⎨⎧>+≤−==,,200300,,100600)(a X a X a X a X X g Y则∫∫∫++−==+∞∞−3010201)200300(201)100600()()()(a adx a x dx a x dx x p x g Y E5250350215)10215()515(2302102++−=++−=a a ax x ax x a a ，要使得92805250350215)(2≥++−=a a Y E ，有040303502152≤+−a a ，可得26362≤≤a ，故a 可取21, 22, 23, 24, 25, 26，即最少进货量为21单位商品． 7． 已知X ~ Exp (λ )，试在λ = 0.1下求P {5 ≤ X ≤ 20}．解：因X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−,0,0,0,e )(x x x p x λλ 故4712.0e e )e (e 1.0e }205{25.02051.02051.0205=−=−===≤≤−−−−−∫∫x x x dx dx X P λλ．8． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布．试求P {50 ≤ T ≤ 100}．解：因T 服从指数分布，且2411)(==λT E ，有T 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 2411)(241t t t p t故1523.0ee)e(e 2411}10050{241100241501005024110050241=−=−==≤≤−−−−∫x t dt T P ．9． 若一次电话通话时间X （单位：min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间． 解：因X 服从参数为λ = 0.25的指数分布，故一次通话的平均时间41)(==λX E ．10．某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年．制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换．如果设备制造厂每售出一台设备可盈利100元，而调换一台设备需花费300元．试求每台设备的平均利润．解：因X 服从指数分布，且41)(==λX E ，有X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 41)(4x x x p x设Y 表示“每台设备的利润”，当X ≤ 1时，Y = 100 − 300 = −200；当X > 1时，Y = 100．故平均利润∫∫∞+−−+−=>+≤−=14104e 41100e 41200}1{100}1{200)(dx dx X P X P Y E xx 6402.33200e 300e100)e 1(200)e (100)e (2004141411414=−=+−−=−+−−=−−−+∞−−x x．11．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=−.,0,0,e 51)(5其他x x p x某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未。
