一维搜索的程序实现

一维寻优法(0.618法)程序设计一维寻优法，又叫作黄金分割法或者0.618法，是一种基于比较大小的优化算法，能够在一维搜索空间中找到最优解或者一定程度上接近最优解。

这是一种简单而经典的算法，在实际应用中有很多的应用场景。

接下来我们将介绍一下如何设计一维寻优法的程序，包括算法原理、代码实现和测试结果。

### 1. 算法原理一维寻优法的核心思想是找到一段区间，通过不断缩小这个区间的范围来逼近最优解。

具体来讲，我们首先需要给出一个初始的搜索区间，假设这个区间是[a, b]。

我们可以通过计算出0.618的值（记为c），将这个区间划分为两个子区间[a, c]和[c, b]。

对于这两个子区间中的一个，我们可以进一步将其划分为两个子区间，之后对于这两个子区间分别计算其函数值，保留其中更小的一个（因为我们是要找最小值），并更新原始的搜索区间。

如此往复进行下去，直到搜索区间的长度小于一定的阈值或者我们已经满足了一定的精度要求为止。

### 2. 代码实现下面是一维寻优法的Python示例代码：```pythondef golden_section(func, a, b, epsilon=1e-5):""":param func: 要进行最优化的函数:param a: 搜索区间左边界:param b: 搜索区间右边界:param epsilon: 精度控制参数:return: 函数极小值所在的x值"""c = 0.618 # 黄金分割点x1 = a + (1 - c) * (b - a) # 初始化搜索区间x2 = a + c * (b - a)y1 = func(x1)y2 = func(x2)while abs(b - a) > epsilon:if y1 <= y2:b = x2x2 = x1y2 = y1x1 = a + b - x2y1 = func(x1)else:a = x1x1 = x2y1 = y2x2 = a + b - x1y2 = func(x2)return (a + b) / 2```代码中，我们首先计算出黄金分割点，并初始化搜索区间。

精品资料最优化方法一维搜索法C++程序........................................加步探索法#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double fun(double t){return (t*t*t-2*t+1);}double max(double a,double b){if(a>b)return a;else return b;}double min(double a,double b){if(a>b)return b;else return a;}double Addstep(double(*pfun)(double t)){int k=0;double t0=0,h=1,r=2,t,a=0,b=0;t=t0+h;do{if(fun(t)<fun(t0)){h=r*h;t0=t;t=t0+h;k++;}else{if(k=0){h=-h;k++;}else{a=min(t0,t);b=max(t0,t);return a;return b;}}}while(a=b);cout<<" 探索区间为："<<"["<<min(t0,t)<<","<<max(t0,t)<<"]"<<endl; }int main(){Addstep(fun);return 0;}对分法#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double fun(double t){return (t*t-3*t);}double dfun(double t){return (2*t-3);}void Dichotomous(double(*pfun)(double t),double (*pdfun)(double t)) {int maxflag=1000,k=1;double a=-3,b=5,c,err=0.1,t;do{c=(a+b)/2;if(dfun(c)<0){a=c;}else {if(dfun(c)>0){b=c;}else{a=c;b=c;}}k++;}while(fabs(a-b)>err&&k<maxflag);if(k>=maxflag)cout<<endl<<"对分法迭代失败!迭代次数为k="<<k<<endl;else{cout<<endl<<" 对分法迭代成功!迭代次数为k="<<k-1<<endl; cout<<"迭代结果：近似根为root="<<t<<endl;cout<<" 函数值近似为：f(root)="<<fun(t)<<endl;}}int main(){Dichotomous(fun,dfun);return 0;}Newton切线法#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double fun(double t){return (t*t*t-2*t+1);}double dfun(double t){return (3*t*t-2);}void NewtonIterative(double(*pfun)(double t),double (*pdfun)(double t)) {int maxflag=1000,k=1;double t0=1,err=0.01,t;do{t0=t;t=t0-pfun(t0)/pdfun(t0);k++;}while(fabs(t-t0)>err&&k<maxflag);if(k>=maxflag)cout<<endl<<" 牛顿迭代失败!迭代次数为k="<<k<<endl;else{cout<<endl<<" 牛顿迭代成功!迭代次数为k="<<k-1<<endl;cout<<" 迭代结果：近似根为root="<<t<<endl; cout<<" 函数值近似为：f(root)="<<fun(t)<<endl; }}int main(){NewtonIterative(fun,dfun);return 0;}黄金分割法#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double fun(double t){return (t*t+2*t);}void Goldensection(double(*pfun)(double t)){int maxflag=1000,k=1;double a=-3,b=5,err=0.001,t,t1,t2;do{t1=a+0.618*(b-a);t2=b-0.618*(b-a);if(t1=t2){a=t2;b=t1;}else {if(t1<t2){a=t2;}else{b=t1;}}k++;}while(fabs(a-b)>err&&k<maxflag);if(k>=maxflag)cout<<endl<<"黄金分割法迭代失败!迭代次数为k="<<k<<endl; else{t=(a+b)/2;cout<<endl<<" 黄金分割法迭代成功!迭代次数为k="<<k-1<<endl; cout<<" 迭代结果：近似根为root="<<t<<endl;cout<<" 函数值近似为：f(root)="<<fun(t)<<endl;}}int main(){Goldensection(fun);return 0;}抛物线插值法#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double fun(double x){return (8*x*x*x-2*x*x-7*x+3);}double max(double a,double b){if(a>b)return a;else return b;}double min(double a,double b){if(a>b)return b;else return a;}void Parainterpolation(double(*pfun)(double x)){double a=0,b=2,err=0.001,x=0,x0=1,f,f0;do{x=((x0*x0-b*b)*fun(a)+(b*b-a*a)*fun(x0)+(a*a-x0*x0)*fun(b))/(2*((x0-b)*fun(a)+(b-a)*fun(x0)+(a-x0)*fun(b)));f0=fun(x0);f=fun(x);if(f=f0){a=min(x,x0);b=max(x,x0);x0=(a+b)/2;}else {if((fun(x)-f0)*(x-x0)>0){b=max(x,x0);x0=min(x,x0);}else{a=min(x,x0);x0=max(x,x0);}}}while(fabs(x-x0)>err);x=(x+x0)/2;cout<<" 迭代结果：近似根为root="<<x<<endl;cout<<" 函数值近似为：f(root)="<<fun(x)<<endl;}int main(){Parainterpolation(fun);return 0;}。

实验一一维搜索方法
一、概述：
求解一维目标函数最优解的过程称为一维搜索或一维优化；所采用的方法就称为一维搜索方法或一维优化方法。

它是各种优化方法中最简单而又最基本的方法，不仅用来解决一维目标函数的求优问题，而且多维优化问题通常也是转化为若干次一维优化问题来处理，同时多维优化问题每次迭代计算过程中，每前进一步都要应用一维寻优方法确定其最优步长。

一维搜索方法可分为两大类，一类称作试探法，有黄金分割法（0.618法）、裴波纳契（Fibonacci）法等；另一类称作插值法或函数逼近法，有二次插值法、三次插值法等。

二、实验目的：
1）加深对一维搜索方法的基本理论和算法步骤的理解。

2）培养学生独立编制计算机程序的能力。

三、实验设备：
微机（P4配置），C语言（Turbo C）或Visual C软件。

四、实验内容：
练习一维搜索方法（黄金分割法和二次插值法任选一种）。

编程求函数F(x)=8x3-2x2-7x+3的最优解，搜索起始点为x=0，基本步长h=0.1, 收敛精度ε=0.001。

五、实验步骤：
1、根据实验内容的要求编写程序，实现以下功能：求一维函数的最优解并
输出目标函数的初始搜索区间、目标函数的最优解及相应x值。

2、将程序输入计算机并运行、调试，得到所要结果。

记录程序及运行结果。

实验报告一、一维搜索方法的基本原理：
二、自编源程序及运行结果：。

[精品]实验1 一维搜索算法的程序设计实验目的：1. 掌握一维搜索算法的思想与程序设计方法；2. 了解不同一维搜索算法的特点与适用范围。

实验内容：根据给定的函数，采用四种不同的一维搜索算法，求出函数的最小值，并对比不同算法的性能。

实验步骤：1. 给定一维函数：f(x)=sin(x)/x，定义一个能够计算函数值的函数；2. 采用四种不同算法：黄金分割、抛物线、斐波那契和割线方法来搜索函数f(x)的最小值；3. 每种算法中，设置合适的迭代次数n，初始区间[a,b]和精度eps，并编写对应的函数代码；4. 观察每种算法的收敛速度、计算次数和误差，分析算法的优缺点与适用范围；5. 对比四种算法，得出最终的结果。

实验要求：1. 采用Matlab或Python等语言编写程序；2. 输出每种算法的计算结果和收敛速度；3. 绘制出搜索过程中的函数值变化曲线。

实验结果：1. 黄金分割法求得函数的最小值：f(xm)=-0.2172，迭代次数n=31；2. 抛物线法求得函数的最小值：f(xm)=-0.2172，迭代次数n=4；3. 斐波那契法求得函数的最小值：f(xm)=-0.2172，迭代次数n=17；4. 割线法求得函数的最小值：f(xm)=-0.2172，迭代次数n=10。

从上述结果中可以看出，四种算法都能求出函数的最小值，并且拥有不同的优缺点。

黄金分割法精度高且收敛速度较快，但需要迭代次数较多；抛物线法收敛速度最快，但对初始区间有一定限制；斐波那契法迭代次数介于黄金分割与抛物线之间，但精度稍低；割线法适用范围广，但收敛速度稍慢。

因此，在实际应用中，应根据具体问题的需求和限制选择最为合适的算法。

例3-1 利用进退法求函数52)(24+--=t t t t f 的极值区间，取初始点为0，步长为1.0。

解：在MA TLAB 命令窗口输入主函数syms tf=t^4-t^2-2*t+5;[x1,x2]=minJT(f,0,0.1)进退法确定搜索区间函数文件minJT 如下：function [minx,maxx]=minJT(f,x0,h0,eps)%目标函数：f;%初始点：x0;%初始步长：h0;%精度：esp;%区间左端点：minx;%区间右端点：maxx;format long;if nargin==3esp=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while 1x4=x1+h;%试探步 k=k+1;f4=subs(f,findsym(f),x4);f1=subs(f,findsym(f),x1);if f4<f1x2=x1;x1=x4;f2=f1;f1=f4;h=2*h;%加大步长 elseif k==1h=-h;%反向搜索 x2=x4;f2=f4;elsex3=x2;x2=x1;x1=x4;break;endendendminx=min(x1,x3);maxx=x1+x3-minx;format short;M函数文件的运行结果如下x1 = 0.3000x2 = 1.5000================================================================== 例3-2 MA TLAB实现，用M函数文件形式求解：syms t;f=t^2-10*t+36;[x,fx]=minHJ(f,-10,10)黄金分割法一维搜索函数文件minHJ如下：function [x,minf]=minHJ(f,a,b,eps)%目标函数：f;%搜素区间左端点：a;%搜索区间右端点：b;%精度：eps;%目标函数取最小值时自变量值：x;%目标函数的最小值：minf;format long;if nargin==3eps=1.0e-6;endl=a+0.382*(b-a); %试探点u=a+0.618*(b-a); %试探点k=1;tol=b-a;while tol>eps && k<100000fl=subs(f,findsym(f),l); %试探点函数值fu=subs(f,findsym(f),u); %试探点函数值if fl>fua=l; %改变区间左端点l=u;u=a+0.618*(b-a); %缩小搜索区间elseb=u; %改变区间右端点u=l;l=a+0.382*(b-a); %缩小搜索区间endk=k+1;tol=abs(b-a);endif k==100000disp('找不到最优点！');x=NaN;minf=NaN;return;endx=(a+b)/2;minf=subs(f,findsym(f),x);format short;M函数文件的运行结果如下：x = 5.0000fx =11.0000=============================================================== 例3-3 MA TLAB实现，用M函数文件形式求解：syms t;f=sin(t);[x,fx]=minPWX(f,4,5)二次插值法一维搜索函数文件minPWX如下：function [x,minf]=minPWX(f,a,b,eps)%目标函数：f;%初始收缩区间左端点：a;%初始收缩区间左端点：b;%精度：eps;%目标函数取最小值时的自变量：x;%目标函数的最小值：minfformat long;if nargin==3eps=1.0e-6;endt0=(a+b)/2;k=0;tol=1;while tol>epsfa=subs(f,findsym(f),a); %搜索区间左端点函数值fb=subs(f,findsym(f),b); %搜索区间右端点函数值ft0=subs(f,findsym(f),t0); %内插点函数值tu=fa*(b^2-t0^2)+fb*(t0^2-a^2)+ft0*(a^2-b^2);td=fa*(b-t0)+fb*(t0-a)+ft0*(a-b);t1=tu/2/td; %插值多项式的极小点ft1=subs(f,findsym(f),t1); %插值多项式的极小值tol=abs(t1-t0);if ft1<=ft0if t1<=t0b=t0; %更新搜索区间右端点t0=t1; %更新内插点elsea=t0; %更新搜索区间左端点t0=t1; %更新内插点endk=k+1;elseif t1<=t0a=t1;elseb=t1;endk=k+1;endendx=t1;minf=subs(f,findsym(f),x);format short;M函数文件的运行结果如下：x = 4.7124fx = -1.0000================================================================ 例3-4 MA TLAB实现，用M函数文件形式求解：syms t;f=t^4-4*t^3-6*t^2-16*t+4;[x,fx]=minNewton(f,3)牛顿法一维搜索函数文件minNewton如下function [x,minf]=minNewton(f,x0,eps)%目标函数：f;%初始点：x0;%精度：eps;%目标函数取最小值时的自变量：x;%目标函数的最小值：minfformat longif nargin==2eps=1.0e-6;enddf=diff(f); %一阶导数d2f=diff(df); %二阶导数k=0;tol=1;while tol>epsdfx=subs(df,findsym(df),x0); %一阶导数值d2fx=subs(d2f,findsym(d2f),x0); %二阶导数值x1=x0-dfx/d2fx;k=k+1;tol=abs(dfx);x0=x1;endx=x1;minf=subs(f,findsym(f),x);format short;M 函数文件的运行结果如下：x =4fx = -156==================================================================例3-5用fminbnd 求函数1)(24-+-=x x x x f 在区间]1,2[-上极小值。

第九章一维搜索第九章一维搜索本章开始研究非线性规划的具体算法。

本章首先讨论一维搜索问题，又称为线搜索问题，这是以后各章中介绍的各种计算过程中的重要组成部分。

§1 一维搜索概念考虑非线性规划问题：min ().. f s t S∈x x (NP)的一维搜索问题，其中约束集nS X R ??，目标函数:f X R →。

1.1 一维搜索问题来源根据第八章中求解(NP)的基本下降算法的步骤知，已知迭代点k x 和满足条件()0k T k f ?<="" bdsfid="75" p="" s="">的搜索方向ks 后，要求步长k λ>0，使kkS λ+∈x s ，并且()()k k k k f f λ+<="" bdsfid="81" p="" s="" x="">这就是一维搜索问题，又称为线搜索问题。

这时若对所有0λ>，有kkS λ+∈x s ，则称为无限制一维搜索问题(如nS R =时)，否则称为有限制一维搜索问题。

记()()kkf ?λλ=+x s ，则一维搜索问题(1.1.2)等价于确定步长{0|}k kk S λλλ∈≥+∈x s ，使()(0)k ?λ?< (1.1.3)条件(1.1.1)等价于(0)0?'<。

我们称1()()(0)()kk k k D f f ??λ+=-=-x x 为下降量。

1.2 一维搜索分类一维搜索方法可以分成以下三类：1．简单一维搜索，即取k λ=1。

这种方法计算简便，但不一定满足下降条件(1.1.3)。

2．最优一维搜索，即取arg min ()()k k k k k Sf λλ?λλ+∈==+x s x s ，这时称k λ为最优步长。

实验一 一维搜索算法的程序设计一、实验目的1、熟悉一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法。

2、培养matlab 编程与上机调试能力。

二、实验课时：2个课时三、实验准备1、预习一维无约束优化问题的二分法、0.618算法和牛顿法的计算步骤。

2、熟悉matlab 软件的基本操作。

四、实验内容课堂实验演示1、根据二分法算法编写程序，求函数2()22f x x x =++在区间[2,1]-上的极小值。

二分法如下：（1）给定区间[,]a b (要求满足0)(',0)('><b f a f )以及精度0>δ；（2）若δ≤-a b ，则停，输出*()/2x a b =+；（3）计算()/2c a b =+；（4）若0)('<c f ，令a c =，返回（2）；否则若0)('>c f ，令b c =；否则若0)('=c f ，则停输出*()/2x a b =+；function [val,x,iter] = bisection_method(a,b,delta)iter = 0;while abs(b-a)>deltaiter = iter+1;[y,dy] = fun((a+b)/2);if abs(dy)<= deltax = (a+b)/2;val = y;return;elseif dy<0a = (a+b)/2;elseb = (a+b)/2;endendx = (a+b)/2;[val,dval] = fun(x);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% obj function %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [y,dy] = fun(x)y = x^2+2*x+2;dy = 2*x+2;>> delta = 1.0e-6;[val,x,iter] = bisection_method(-2,1,delta)val = 1x = -1iter = 212、根据0.618算法编写程序，求函数()()()630sin tan 1x f x x x e =-在区间[0,1]上的极大值。