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考点二十 概率、随机变量及其分布一、选择题1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面” B ．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面” C ．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面” D ．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案 C解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C.2．随机向边长为10π，10π，12π的三角形中投一点M ，则点M 到三个顶点的距离都不小于π的概率是( )A ．π95B ．1πC ．9596D ．196答案 C解析 分别以三角形的三个顶点为圆心，π为半径作圆，则在三角形内部，且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于π的部分，所以所求概率P ＝1－12×π×(π)212×12π×8π＝9596，故选C.3．(2019·四川成都七中5月模拟)据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为( )A ．15B ．25C ．45D ．35 答案 C解析 由题意知，基本事件的总数有5×5＝25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，故所求事件的概率为1－525＝2025＝45.4. (2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC ＝15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角△CDE 中(阴影部分)的概率是()A ．32B ．34C ．23D ．22答案 C解析 在直角△BCE 中，a ＝c cos15°，b ＝c sin15°，则P ＝S △CDES 梯形ABCD ＝12c212(a ＋b )2＝c 2c 2(cos15°＋sin15°)2＝11＋sin30°＝23，故选C. 5．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A ．23B ．25 C ．12 D ．15答案 C解析 依题意，从5种物质中任取2种，共有C 25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.6．(2019·广东潮州二模)一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为( )A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.21答案 B解析 ∵x ～N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，所以P (x >110)＝0.2，∴P (90<x <110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X ～B (10,0.3)，则X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1，故选B.7．将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 B解析 A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法．当A ，C 之间是B时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率为4＋224＝14，故选B.8．(2019·湖北武汉4月调研)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A ．34B ．58C ．716D ．916答案 B解析 第2球投进的概率为P ＝34×34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×14＝58.故选B.二、填空题9．已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________． 答案 0.75解析 4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371,6011,7610,1417,7140，∴所求概率P ＝1－520＝1520＝0.75.10．在棱长为4的一个正方体内，有一根细线系在上底面的中心处，下方悬挂了一个半径为1的球，且球位于正方体内，已知球面是网状的，小虫可以自由地出入．若一只小虫在某一时刻可以位于正方体内的任意一个位置，则小虫飞入网状球面球体内的概率为________．答案 π48解析 小虫飞入网状球面球体内的概率为43π·1343＝π48.11．(2019·辽宁沈阳东北育才学校八模)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率为________．答案 15解析 记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ，“甲解答不正确”为事件B ，则P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027，P (AB )＝13×23×23＝427， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝15. 12．(2019·山东郓城一中三模)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为________．答案 18解析 设包含7块板的正方形边长为4，其面积为4×4＝16，则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块，其面积为S ＝2×1＝2，所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为P ＝216＝18.三、解答题13．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各1名，求至少有1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设“随机抽取2名，其中男、女各1名，至少有1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示事件“随机抽取2名，其中男、女各1名，都倾向于选择网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.所以至少有1名倾向于选择实体店的概率为1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120.所以X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.14．(2019·江西赣州3月摸底)现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立．根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4,0.8,0.5，能通过面试的概率分别为0.8,0.4,0.64.根据这些数据我们可以预测：(1)甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率； (2)甲、乙、丙三名学生能获得该校优惠加分的人数X 的数学期望．解 (1)记事件A ：甲通过第一轮笔试，事件B ：乙通过第一轮笔试，事件C ：丙通过第一轮笔试，事件D ：至少有两名学生通过第一轮笔试，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.8，P (C )＝0.5.P (D )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＋P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.4×0.8×0.5＋0.4×0.2×0.5＋0.6×0.8×0.5＋0.4×0.8×0.5＝0.6，所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为0.6.(2)因为甲、乙、丙三名学生中每个人获得优惠加分的概率均为0.32，所以X ～B (3,0.32)，故E (X )＝3×0.32＝0.96.一、选择题1．已知实数m ∈[0,1]，向量a ＝(2，－2)，b ＝(1,1)，则|m a |>|b |的概率是( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．23答案 C解析 m a ＝(2m ，－2m )，若|m a |>|b |，则(2m )2＋(－2m )2>12＋12，得m <－12(舍去)或m >12.所以|m a |>|b |的概率是P ＝1－121－0＝12.故选C.2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312答案 A解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C 230.62×0.4＋0.63＝0.648.故选A.3．(2019·山东临沂二模)某人连续投篮6次，其中4次命中，2次未命中，则他第1次和第5次两次均命中的概率是( )A ．12B ．25 C ．14 D ．15答案 B解析 基本事件总数n ＝C 46C 22＝15，他第1次和第5次两次均命中包含的基本事件个数m ＝C 22C 24C 22＝6，则他第1次和第5次两次均命中的概率是P ＝m n ＝615＝25，故选B.4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12答案 C解析 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25，故选C. 5．(2019·河南郑州第三次质检)关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x ，y )(0<x <1,0<y <1)；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值．那么可以估计π的值约为( )A ．m nB ．n －m nC ．4(n －m )nD ．4m n答案 C解析 由题意，实数对(x ，y )(0<x <1,0<y <1)，即面积为1.且卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，即满足x 2＋y 2＞1，且⎩⎨⎧0<x <1，0<y <1，所以面积为1－π4，所以x ，y 能与1构成锐角三角形的概率为1－π4，由题，n 张卡片上交m 张，即m n ＝1－π4⇒π＝4(n －m )n ，故选C.6．(2019·湖南师大附中模拟三)若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为( )A ．0.18B ．0.32C ．0.36D ．0.64答案 C解析 设305路车和202路车的进站时间分别为x ，y ，设所有基本事件为W ：⎩⎨⎧0≤x ≤10，0≤y ≤10，“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则A ＝{(x ，y )|0≤x ≤10，0≤y ≤10，|x －y |≤2}，画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则S ＝10×10－8×8＝36，则P (A )＝S A S Ω＝36100＝0.36，故选C.7. (2019·北京师大附中模拟三)剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分)，构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．2－33π B ．4－63π C ．33π D ．63π答案 B解析 设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为S 弓形＝16πr 2－12·r 2·sin π3＝16πr 2－34r 2.∴所求的概率为P ＝24S 弓形S 圆＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2πr 2＝4－63π，故选B.8．(2019·武汉4月调研)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展，现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教，将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排1名的概率为( )A ．425B ．25 C ．1425 D ．45答案 C解析 由题意，将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少2名毕业生，基本事件的总数为N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫C 26＋C 36C 33A 22×A 22＝50种，每所学校男女毕业生至少安排1名共有：一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有C 12C 14A 22＝16种；二是其中一个学校安排一女两男，另一个学校有一女两男，有C 12C 24＝12种，共有16＋12＝28种，所以概率为P ＝2850＝1425.二、填空题9．(2019·河北石家庄二中二模)甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为34，乙猜对每个谜语的概率为23，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为________．答案 512解析 若甲猜对2个，乙猜对1个，则有34×34×C 12×23×13＝14，若甲猜对1个，乙猜对2个，则有C 12×34×14×23×23＝16，∴比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为14＋16＝512.10．某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．答案 25解析 如下图，利用隔板法．该问题相当于把下面七个圆圈(○○○○○○○)分成三份(每个圆圈代表1元)，其中有6个空档，需要插入2个隔板，共有C 26＝15种方法．甲领取的钱数不少于其他任何人，则有如下情况：如下图，甲领到5元，有1种， ○○○○○|○|○如下图，甲领到4元，有2种， ○○○○|○|○○ ○○○○|○○|○如下图，甲领到3元，有3种， ○○○|○|○○○○○○|○○○|○ ○○○|○○|○○所以所求概率P ＝1＋2＋315＝25.11．从区间[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是________．答案 14解析 令t ＝2x ，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎨⎧Δ≥0，t 1＋t 2>0，t 1t 2>0⇒a ≥1，又a ∈[－2,2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1,2]，故P ＝14.12．某个部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．答案 38解析 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000，502)，所以每个电子元件的使用寿命超过1000 h 的概率均为p ＝12.因为各个元件能否正常工作相互独立，所以P (该部件的使用寿命超过1000小时)＝p ×[1－(1－p )2]＝38.三、解答题13．(2019·辽宁沈阳质量监测三)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)(1) (2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 解 (1)设事件A 为“顾客获得半价”，则P (A )＝34×24×14＝332， 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫29322＝1831024.(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270(元)． 若选择方案二，记付款金额为X 元， 则X 可取的值为160,224,256,320. P (X ＝160)＝332，P (X ＝224)＝34×24×34＋34×24×14＋14×14×24＝1332， P (X ＝256)＝34×24×34＋14×24×34＋14×24×14＝1332， P (X ＝320)＝14×24×34＝332，∴E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×332＝240. 所以方案二更为划算．14．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i ＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0＝0，p 8＝1，p i ＝ap i －1＋bp i ＋cp i ＋1(i ＝1,2，…，7)，其中a ＝P (X ＝－1)，b ＝P (X ＝0)，c ＝P (X ＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)为等比数列； ②求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性． 解 (1)X 的所有可能取值为－1,0,1.P (X ＝－1)＝(1－α)β，P (X ＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P (X ＝1)＝α(1－β)． 所以X 的分布列为(2)因此p i ＝0.4p i －1＋0.5p i ＋0.1p i ＋1， 故0.1(p i ＋1－p i )＝0.4(p i －p i －1)， 即p i ＋1－p i ＝4(p i －p i －1)．又因为p 1－p 0＝p 1≠0，所以{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p 1的等比数列．②由①可得p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0 ＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－13p 1. 由于p 8＝1，故p 1＝348－1，所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝44－13p 1＝1257.p 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。
考点八 导数及其应用一、选择题1．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y答案 B解析 依题意，在同一坐标系下画出曲线y ＝x 2与直线y ＝x 的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为⎠⎛01(x －x 2)d x ，选B.2．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x ) 的图象如图所示，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 如图，在区间(a ，b )内，f ′(c )＝0，且在点x ＝c 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，所以函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内只有1个极小值点，故选A.3．(2019·天津南开区模拟)过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4答案 B解析 因为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以斜率k ＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)．因为f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0，所以f (x )max ＝f (0)＝2.故选C.5．已知偶函数f (x )的定义域为R ，且当x <0时，f (x )＝ln (－3x ＋1)＋e －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．14＋eB ．12＋eC ．34＋eD ．32＋e 答案 C解析 由题意得，偶函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f ′(1)＝－f ′(－1)，当x <0时，f ′(x )＝－31－3x－e －x ，∴f ′(－1)＝－34－e ，则f ′(1)＝34＋e ，故选C. 6．(2019·辽宁丹东质量测试二)若x ＝1是函数f (x )＝13x 3＋(a ＋1)x 2－(a 2＋a －3)x 的极值点，则a 的值为( )A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－3或2答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2(a ＋1)x －(a 2＋a －3)，又f ′(1)＝0，∴1＋2(a ＋1)－(a 2＋a －3)＝0，即a ＝3或a ＝－2，当a ＝3时，f ′(x )＝x 2＋8x －9＝(x ＋9)(x －1)，显然x ＝1是函数f (x )的极值点；当a ＝－2时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.7．已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，3]答案 B解析 ∵f (x )＝x 3－ax ，∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减，∴3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3，故选B.8．(2019·黑龙江哈尔滨六中二模)牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义x k (k ∈N )是函数零点近似解的初始值，过点P k (x k ，f (x k ))的切线为y ＝f ′(x k )(x －x k )＋f (x k )，切线与x 轴交点的横坐标x k ＋1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f (x )＝x 2－2，满足x 0＝2应用上述方法，则x 3＝( )A ．32B ．1712C ．141100D ．577408答案 D解析 因为f ′(x )＝2x ，x 0＝2，y 0＝2，切线斜率k 0＝4，切线方程y －2＝4(x －2)，令y ＝0，得x 1＝32；x 1＝32，y 1＝14，切线斜率k 1＝3，切线方程为y －14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令y ＝0，得x 2＝1712；x 2＝1712，y 2＝1144，切线斜率k 2＝176，切线方程为y －1144＝176⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1712，令y ＝0，得x 3＝577408，故选D. 二、填空题9．函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.10．已知函数f (x )＝e x ＋ax 的图象在点(0，f (0))处的切线与曲线y ＝－ln x 相切，则a ＝________.答案 －2解析 因为f ′(x )＝e x ＋a ，所以f ′(0)＝1＋a ，又f (0)＝1，所以切线方程为y ＝(1＋a )x ＋1，又y ＝－ln x 的导函数y ′＝－1x ，令切点坐标为(t ，－ln t )，则－1t ＝1＋a ＝－ln t －1t，解得t ＝1，a ＝－2.11．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0>0，则x 0＝________.答案3解析 依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx | 30＝3(ax 20＋b )，即3ax 20＝9a (a ≠0)，x 20＝3(x 0>0)，由此解得x 0＝ 3.12．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋43x ＋6在R 上有极值，则实数m 的取值范围是________．答案 m >4或m <－1解析 由题意可知，f ′(x )＝0有不等根，即方程3x 2＋2mx ＋m ＋43＝0有不等根，所以Δ>0，即4m 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋43>0，解得m >4或m <－1.三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b 的值；(2)当a >0时，求曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程． 解 (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 经检验都符合题意．(2)当a >0时，由(1)得f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f ′(x )＝3x 2＋6x －9. f (－2)＝31，f ′(－2)＝－9.∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)， 即9x ＋y －13＝0.14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝32－ax (a 为实常数)．(1)当a ＝1时，求函数φ(x )＝f (x )－g (x )在x ∈[4，＋∞)上的最小值； (2)若方程e 2f (x )＝g (x )(其中e ＝2.71828…)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，函数φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln x －32＋1x ，∴φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. ∵x ∈[4，＋∞)，∴φ′(x )>0.∴函数φ(x )＝f (x )－g (x )在x ∈[4，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝4时，φ(x )min ＝2ln 2－54.(2)方程e 2f (x )＝g (x )可化为x 2＝32－ax . ∴a ＝32x －x 3.设y ＝32x －x 3，则y ′＝32－3x 2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴函数y ＝32x －x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递减．∵x ＝12时，y ＝58；x ＝22时，y ＝22；x ＝1时，y ＝12， ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22.一、选择题1．已知函数f (x )＝x ·2x ，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最大值 B ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最小值 C ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最大值 D ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值 答案 D解析 由题意知，f ′(x )＝2x＋x ·2xln 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2，又当x <－1ln 2时，f ′(x )<0；当x >－1ln 2时，f ′(x )>0.∴当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值．2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．0B ．－5C ．－10D ．－37答案 D解析 由题意知，f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f (0)＝m ＝3，∴f (2)＝－5，f (－2)＝－37，∴最小值为－37.3．(2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)若函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋1在区间(0，＋∞)内有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1,2)答案 B解析 f ′(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．①当a ≤0时，若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点；②当a >0时，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝1>0，若函数f (x )在区间(0，＋∞)内有两个零点，有f (a )＝2a 3－3a 3＋1＝1－a 3<0，得a >1，故选B.4．(2019·江西吉安一模)过点P (1,1)且与曲线y ＝x 3相切的直线的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 若直线与曲线切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，则k ＝y 0－1x 0－1＝x 30－1x 0－1＝x 20＋x 0＋1，又∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20，∴2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，∴过点P (1，1)与曲线C ：y ＝x 3相切的直线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝( )A ．－43B ．－23C ．23D ．43答案 D解析 依题意得，⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 3| 10＋ln x | e1＝13＋1＝43. 6．曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3 D ． 3答案 A 解析 当y ′＝22x －1＝2时，x ＝1，则点(1,0)到直线2x －y ＋8＝0的距离是曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离，即最短距离为2＋85＝25，故选A.7．(2019·广东揭阳二模)以下四个数中，最大的是( ) A ．ln33B ．1e C ．ln ππ D ．15ln 1530答案 B解析 由题意，令f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，∴x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(e ，＋∞)上单调递减，又由e<3<π<15，∴f (e)>f (3)>f (π)>f (15)，则ln e 1e>ln313 >ln π1π >ln (15)115， ∴1e >ln 33>ln ππ>1530ln 15，故选B.8．(2019·江西景德镇二检)定义在R上的函数f(x)满足对任意x∈(0，＋∞)，都有f′(x)<f′(－x)，非零实数a，b满足f(a)－f(b)>f(－b)－f(－a)，则下列关系式中正确的是()A．a>b B．a<bC．a2>b2D．a2<b2答案 D解析记g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g′(x)＝f′(x)－f′(－x)，因为当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<f′(－x)，即g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又因为g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，因为f(a)－f(b)>f(－b)－f(－a)⇔f(a)＋f(－a)>f(b)＋f(－b)⇔g(a)>g(b)，所以|a|<|b|，即a2<b2，故选D.二、填空题9．(2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为________．答案2ln 2－2解析∵f′(x)＝2f′(1)x－1，∴f′(1)＝2f′(1)1－1，f′(1)＝1，因此f(x)＝2ln x－x.令f′(x)＝2x－1＝0，得x＝2，∴当x＝2时，f(x)取得极大值2ln 2－2.10．(2019·江西新八校第二次联考)若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1对x∈R恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．答案10x＋4y－5＝0解析∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②联立①②，得f(x)＝－12x3－x＋14，则f′(x)＝－32x2－1，∴f′(1)＝－32－1＝－52，又f (1)＝－12－1＋14＝－54，∴切线方程为y ＋54＝－52(x －1)，即10x ＋4y －5＝0.11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使体积最大，则高为________ cm.答案2033解析 设高为h cm ，则底面半径r ＝400－h 2(cm)，所以体积V ＝π3r 2h ＝π3h (400－h 2)，则V ′＝π3(400－3h 2)．令V ′＝π3(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033.即当高为2033 cm 时，圆锥的体积最大．12．若函数f (x )＝13x 3－3x －2ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．答案 1<t <2解析 依题意，f ′(x )＝x 2－3－2x ＝x 3－3x －2x ＝(x －2)(x ＋1)2x ，可以验证x ＝2为极小值点，故t <2<t ＋1，解得1<t <2.三、解答题13．(2019·河北邯郸一模)已知函数f (x )＝ax －ln xx . (1)若f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若y ＝f (x )的图象与y ＝a 相切，求实数a 的值．解 (1)由f (x )≥0得ax －ln x x ≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln x x 2. 设g (x )＝ln xx 2，则g ′(x )＝1－2ln x x 3(x >0), 所以当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值，g (e)＝12e ，故a 的取值范围是a ≥12e .(2)设y ＝f (x )的图象与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (t )＝a ，f ′(t )＝0.因为f ′(x )＝a －1－ln x x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ at －ln t t ＝a ，a －1－ln t t 2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0，令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h ′(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝1t －2ln t －1，显然h ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h ′(1)＝0，所以0<t <1时，h ′(t )>0，h (t )单调递增；t >1时，h ′(t )<0，h (t )单调递减，所以当且仅当t ＝1时，h (t )＝0，故a ＝1.14．(2019·山西考前适应性考试)已知函数f (x )＝(kx －1)e x －k (x －1)．(1)若f (x )在x ＝x 0处的切线斜率与k 无关，求x 0；(2)若∃x ∈R ，使得f (x )＜0成立，求整数k 的最大值．解 (1)f ′(x )＝(kx ＋k －1)e x －k ，即f ′(x )＝k [(x ＋1)e x －1]－e x ，由已知得(x 0＋1)e x 0－1＝0.令φ(x )＝(x ＋1)e x －1，则φ′(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈(－∞，－2)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，∵x <－2，∴x ＋1<－1，∴(x ＋1)e x <0，∴(x＋1)e x－1<0，因此φ(x)<0；当x∈(－2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．又φ(0)＝0，所以φ(x)只有唯一零点，故x0＝0.(2)f(x)<0，即k(x e x－x＋1)<e x.当x≥0时，∵e x－1≥0，∴x(e x－1)≥0，∴x(e x－1)＋1>0；当x<0时，∵e x－1<0，∴x(e x－1)>0，∴x(e x－1)＋1>0.∴x(e x－1)＋1>0.∴k(x e x－x＋1)<e x可等价转化为k<e xx e x－x＋1.设g(x)＝e xx e x－x＋1，由题意k<g(x)max.又g′(x)＝e x(2－e x－x)(x e x－x＋1)2，令h(x)＝2－e x－x，则h′(x)＝－e x－1<0，∵h′(x)<0，∴h(x)在R上单调递减，又∵h(0)>0，h(1)<0，∴∃x0∈(0,1)，使得h(x0)＝0，即e x0＝2－x0.当x∈(－∞，x0)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减．∴g(x)max＝g(x0)＝e x0x0 e x0－x0＋1＝2－x0x0(2－x0)－x0＋1＝1x0－2＋1x0－2＋3.令t＝x0－2[t∈(－2，－1)]，则y＝t＋1t ＋3∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1，∴g(x)max∈(1,2)，故整数k的最大值为1.。
考点六 不等式及线性规划一、选择题1．若a <b <0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1aC ．ac >bcD ．a 2<b 2答案 A解析 由a <b <0得1a －1b ＝b －a ab ＞0，故A 正确；由a <b <0，得a <a －b <0，即1a －b <1a ，故B 错误；当c >0时，由a <b <0，得ac <bc ，故C 错误；由a <b <0得|a |>|b |，即a 2>b 2，故D 错误．故选A.2．(2019·安徽六安舒城中学模拟)集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3>0，Q ＝{x |y ＝4－x 2}，则P ∩Q ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．[1,2) 答案 A解析 因为P ＝{x |x <－3或x >1}，Q ＝{x |4－x 2≥0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以P ∩Q ＝(1,2]．3．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案 B解析 由题意可得(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以－7<a <24.故选B. 4．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( )A ．－81B ．81C ．－64D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0， 其解集为{x |1<x <3}，所以1,3是方程x 2－ax －b ＝0的根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．(6,0)B ．(3,0)C ．(0,6)D ．(2,2) 答案 B解析作出⎩⎨⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0表示的可行域(如图，三角形ABC 内部及边界即为所作可行域)，由图知平移y ＝－x ＋z 至B 点处达到最小值，联立⎩⎨⎧ y ＝0，2x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，即B (3,0)，目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的最优解是(3,0)．故选B.6．下列函数中，最小值是4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 当x ＜0时，y ＝x ＋4x ≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ≤1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4，但sin x ＝4sin x 无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x ＝4e x ，即e x ＝2时成立．∴x ＝ln 2，C 正确；若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D.故选C.7．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 答案 D解析 对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，所以⎩⎨⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0， 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.8．(2019·安徽宣城期末)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≤3，x ＋2y ≤6，则(x ＋1)2＋y 2的最小值为( )A ．2 2 B.10 C ．8 D ．10 答案 C解析 作出可行域如图中阴影部分所示，(x ＋1)2＋y 2的几何意义为可行域内的动点与定点(－1，0)的距离的平方，由图可知，最小值为点(－1，0)到直线x ＋y ＝3的距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－1－3|22＝8.故选C.二、填空题9．已知变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，x －2y ＋1≤0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．答案 3解析 画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则直线y ＝－12x ＋z2经过A 点时z 最小，由⎩⎨⎧x ＝1，x －2y ＋1＝0，得A (1,1)，所以z min ＝1＋2×1＝3.10．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]解析 x ＋5(x －1)2－2≥0等价于(2x ＋1)(x －3)(x －1)2≤0等价于⎩⎨⎧(2x ＋1)(x －3)≤0，x －1≠0等价于－12≤x ≤3且x ≠1.所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]．11．(2019·江苏沭阳期中调研)有下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④a ＋b 2≥ab .其中恒成立的有________个．答案 2解析 因为2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立，①正确；因为a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，所以②正确；当a ，b 同号时，有a b ＋b a ≥2，当a ，b 异号时，a b ＋ba ≤－2，所以③错误；ab ＜0时，a ＋b2≥ab 不成立．其中恒成立的个数是2个．12．已知f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．答案 [5,10]解析 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 则⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)，又∵1≤f (－1)≤2， 2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎨⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图中阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f (－2)≤10.三、解答题13．已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b为常数)．(1)若b＝1，解不等式f(x－1)<0；(2)若a＝1，当x∈[－1,2]时，f(x)>－1(x＋b)2恒成立，求b的取值范围．解(1)∵f(x)＝x＋ax＋b，b＝1，∴f(x)＝x＋ax＋1，∴f(x－1)＝(x－1)＋a(x－1)＋1＝x－1＋ax，∵f(x－1)<0，∴x－1＋ax<0，等价于x[x－(1－a)]<0，①当1－a>0，即a<1时，不等式的解集为(0,1－a)；②当1－a＝0，即a＝1时，不等式的解集为∅；③当1－a<0，即a>1时，不等式的解集为(1－a,0)．(2)∵a＝1，f(x)>－1 (x＋b)2，∴x＋1x＋b>－1(x＋b)2⇔(x＋b)(x＋1)>－1，(※)显然x≠－b，易知当x＝－1时，不等式(※)显然成立；当－1<x≤2时，b>－1x＋1－x＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋x＋1，∵x＋1>0，∴1x＋1＋(x＋1)≥21x＋1·(x＋1)＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，故b>－1.∵x＋b≠0，∴x≠－b，而－b∉[－1,2]，故b<－2或b>1.综上所述，b>1.14．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .将z ＝60x ＋25y 变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一组平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大． 解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．一、选择题1．(2019·河北石家庄模拟一)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，x －2y ＋2≤0，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．8C ．4D ．3 答案 C解析由约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，x －2y ＋2≤0，y ≥2作出可行域如图中阴影部分所示．联立⎩⎨⎧y ＝2，x ＋2y －2＝0，解得A (－2,2)，化目标函数z ＝x ＋3y 为y ＝－x 3＋z 3，由图可知，当直线y ＝－x 3＋z 3过A 时，直线y ＝－x 3＋z3在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4.故选C.2．(2019·广东六校第四次联考)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥0，y ＋1≤0，y ≥2x －6，则|x －y |的最大值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 答案 A解析 不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，当直线y ＝x －z 经过点B (2，－2)时，直线的纵截距－z 最小，|－z |＝4，当直线过点A (1，－1)时，纵截距－z 最大，|－z |＝2，故选A.3．(2019·安徽合肥第三次质检)若直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎨⎧2y －x ≤4，3x －y ≤3，2x ＋y ≥2表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[0,2]C ．[－2,1]D ．(－2,2] 答案 B解析画出不等式组⎩⎨⎧2y －x ≤4，3x －y ≤3，2x ＋y ≥2表示的平面区域，如图中阴影部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点A (－1,0)，要使得直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎨⎧2y －x ≤4，3x －y ≤3，2x ＋y ≥2表示的平面区域有公共点，则0≤k ≤k AC ，∵k AC ＝2－00－(－1)＝2，∴k ∈[0,2]．故选B.4．(2019·河南重点高中4月联合质检)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y －4≤0，y <2，4x ＋y －4≥0，则目标函数z ＝2y －3x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－203，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－203，52 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，52 答案 A解析 作出约束条件⎩⎨⎧2x －y －4≤0，y <2，4x ＋y －4≥0表示的可行域如图中阴影区域所示，求得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，由z ＝2y －3x ，得y ＝32x＋z 2，平移直线y ＝32x ，当直线z ＝2y －3x 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，z ＝2×2－3×12＝52，当直线z ＝2y －3x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43时，z ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43－3×43＝－203，所以z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－203，52.故选A.5．(2019·河北衡水质检四)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．2x －y ＋1≥0 D.y －1x 的最小值为1 答案 D解析 可行域如图阴影部分，其中A (2,3)，显然A ，B ，C 选项都不成立，y －1x 表示可行域内点到点(0,1)的斜率，由图可得最小值为1，故选D.6．(2019·福建龙岩质检)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 答案 C解析 由x ＋y ＝(x ＋1)＋y －1＝[(x ＋1)＋y ]·1－1＝[(x ＋1)＋y ]·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋1＋x ＋1y －1≥3＋4y x ＋1·x ＋1y＝7.当且仅当x ＝3，y ＝4时取得最小值7.故选C.7．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为( )A ．{2，－1}B ．{a ∈R |a ≠2}C ．{a ∈R |a ≠－1}D ．{a ∈R |a ≠2且a ≠－1} 答案 D解析 不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝－ax ＋y 得y ＝ax ＋z ，若a ＝0，直线y ＝ax ＋z 可化为y ＝z ，此时取得最大值时的最优解有且只有一个，满足条件．若a >0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠2.若a <0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠－1.故选D.8．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有4个，则ba －1的取值范围为( ) A ．(3,4] B ．(3,4) C ．(2,3] D ．(2,3) 答案 A解析 整理不等式得[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0，因为整数解只有4个，且1＋a >0，可得1－a <0，所以a >1.其解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b1－a ，b 1＋a ，又0<b <1＋a ，所以b 1＋a <1，欲使解集中的整数只有4个，则－4≤b 1－a <－3，所以ba －1∈(3,4]． 二、填空题9．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意得，a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥f (x )max ，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.10．(2019·河北衡水中学模拟)已知实数x ，y满足⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，y ≤x ＋1，且m ＝x ＋3y ＋4x ＋1，则实数m 的取值范围为________． 答案 [2,7]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．m ＝x ＋3y ＋4x ＋1＝x ＋1＋3(y ＋1)x ＋1＝1＋3·y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1可看作(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，观察图象可知，k PC ≤y ＋1x ＋1≤k PB ，即13≤y ＋1x ＋1≤2，所以2≤m ≤7.11．已知正数a ，b 满足a 2＋ab －3＝0，则4a ＋b 的最小值为________． 答案 6解析 因为正数a ，b 满足a 2＋ab －3＝0，所以3a ·(a ＋b )＝9，则4a ＋b ＝3a ＋(a ＋b )≥23a ·(a ＋b )＝29＝6，当且仅当3a ＝a ＋b 时等号成立．此时由⎩⎨⎧ 3a ＝a ＋b ，a 2＋ab －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以4a ＋b 的最小值为6.12．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，B 的利润之和的最大值为________元．答案 216000解析 设生产产品A ，B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么⎩⎨⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.①目标函数z ＝2100x ＋900y ，二元一次不等式组①等价于⎩⎨⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域如图中阴影部分：将z ＝2100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z 900，当直线y ＝－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得点M (60,100)．所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2100×60＋900×100＝216000. 故生产产品A ，B 的利润之和的最大值为216000元． 三、解答题13．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x －1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x (x 2＋x )＝96000x ＋240x －160. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，所以0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x ＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96000x ＋240x －160≥296000x ·240x －160＝2×4800－160＝9440， 当且仅当96000x ＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元． 14．(2019·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (2x )－f (x ＋1)≥2的解集；(2)若a >0，b >0且a ＋b ＝f (3)，求证：a ＋1＋b ＋1≤2 2.解 (1)因为f (x )＝|x －1|， 所以f (2x )－f (x ＋1)＝|2x －1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，1－3x ，0<x <12，x －1，x ≥12，由f (2x )－f (x ＋1)≥2， 得⎩⎨⎧x ≤0，1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－3x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －1≥2，得x ≤－1或x ≥3，所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)证明：a ＋b ＝f (3)＝2，又a >0，b >0， 所以2·a ＋1＝a ＋32，2·b ＋1≤b ＋32， 故2·a ＋1＋2·b ＋1≤a ＋32＋b ＋32＝4， 所以a ＋1＋b ＋1≤22成立．。
考点六 不等式及线性规划一、选择题1．若a <b <0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( ) A ．1a >1bB ．1a －b >1aC ．ac >bcD ．a 2<b 2答案 A解析 由a <b <0得1a －1b ＝b －a ab ＞0，故A 正确；由a <b <0，得a <a －b <0，即1a －b <1a ，故B错误；当c >0时，由a <b <0，得ac <bc ，故C 错误；由a <b <0得|a |>|b |，即a 2>b 2，故D 错误．故选A.2．(2019·安徽六安舒城中学模拟)集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3>0，Q ＝{x |y ＝4－x 2}，则P ∩Q ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．[1,2)答案 A解析 因为P ＝{x |x <－3或x >1}，Q ＝{x |4－x 2≥0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以P ∩Q ＝(1,2]． 3．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案 B解析 由题意可得(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以－7<a <24.故选B. 4．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集为{x |1<x <3}，所以1,3是方程x 2－ax －b ＝0的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．(6,0)B ．(3,0)C ．(0,6)D ．(2,2)答案 B解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0表示的可行域(如图，三角形ABC 内部及边界即为所作可行域)，由图知平移y ＝－x ＋z 至B 点处达到最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即B (3,0)，目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的最优解是(3,0)．故选B.6．下列函数中，最小值是4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81答案 C解析 当x ＜0时，y ＝x ＋4x ≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ≤1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4，但sin x ＝4sin x 无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x ＝4ex ，即e x＝2时成立．∴x ＝ln 2，C 正确；若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D.故选C.7．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，22 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 答案 D解析 对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1<0，fm ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0. 8．(2019·安徽宣城期末)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≤3，x ＋2y ≤6，则(x ＋1)2＋y 2的最小值为( )A ．2 2B ．10C ．8D ．10答案 C解析 作出可行域如图中阴影部分所示，(x ＋1)2＋y 2的几何意义为可行域内的动点与定点(－1，0)的距离的平方，由图可知，最小值为点(－1，0)到直线x ＋y ＝3的距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－1－3|22＝8.故选C.二、填空题9．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，x －2y ＋1≤0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．答案 3解析 画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则直线y ＝－12x ＋z2经过A 点时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －2y ＋1＝0，得A (1,1)，所以z min ＝1＋2×1＝3. 10．不等式x ＋5x －12≥2的解集是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 解析x ＋5x －12－2≥0等价于2x ＋1x －3x －12≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1x －3≤0，x －1≠0等价于－12≤x ≤3且x ≠1.所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]． 11．(2019·江苏沭阳期中调研)有下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④a ＋b 2≥ab .其中恒成立的有________个．答案 2解析 因为2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立，①正确；因为a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，所以②正确；当a ，b 同号时，有a b ＋b a ≥2，当a ，b 异号时，a b ＋b a≤－2，所以③错误；ab ＜0时，a ＋b2≥ab不成立．其中恒成立的个数是2个．12．已知f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________． 答案 [5,10]解析 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)，又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图中阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f (－2)≤10.三、解答题 13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ，b 为常数)． (1)若b ＝1，解不等式f (x －1)<0； (2)若a ＝1，当x ∈[－1,2]时，f (x )>－1x ＋b2恒成立，求b 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝x ＋a x ＋b ，b ＝1，∴f (x )＝x ＋ax ＋1， ∴f (x －1)＝x －1＋a x －1＋1＝x －1＋ax，∵f (x －1)<0， ∴x －1＋ax<0，等价于x [x －(1－a )]<0， ①当1－a >0，即a <1时，不等式的解集为(0,1－a )； ②当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式的解集为∅； ③当1－a <0，即a >1时，不等式的解集为(1－a,0)． (2)∵a ＝1，f (x )>－1x ＋b2，∴x ＋1x ＋b >－1x ＋b2⇔(x ＋b )(x ＋1)>－1， (※)显然x ≠－b ，易知当x ＝－1时，不等式(※)显然成立； 当－1<x ≤2时，b >－1x ＋1－x ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋x ＋1，∵x＋1>0，∴1 x＋1＋(x＋1)≥21x＋1·x＋1＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，故b>－1.∵x＋b≠0，∴x≠－b，而－b∉[－1,2]，故b<－2或b>1.综上所述，b>1.14．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万) 甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0，y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.将z ＝60x ＋25y 变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一组平行直线，z25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．一、选择题1．(2019·河北石家庄模拟一)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －2y ＋2≤0，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．8C ．4D ．3答案 C解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －2y ＋2≤0，y ≥2作出可行域如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x ＋2y －2＝0，解得A (－2,2)，化目标函数z ＝x ＋3y 为y ＝－x 3＋z3，由图可知，当直线y ＝－x 3＋z 3过A 时，直线y ＝－x 3＋z3在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4.故选C.2．(2019·广东六校第四次联考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，y ＋1≤0，y ≥2x －6，则|x －y |的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 A解析 不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，当直线y ＝x －z 经过点B (2，－2)时，直线的纵截距－z 最小，|－z |＝4，当直线过点A (1，－1)时，纵截距－z 最大，|－z |＝2，故选A.3．(2019·安徽合肥第三次质检)若直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －x ≤4，3x －y ≤3，2x ＋y ≥2表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[0,2]C ．[－2,1]D ．(－2,2]答案 B解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －x ≤4，3x －y ≤3，2x ＋y ≥2表示的平面区域，如图中阴影部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点A (－1,0)，要使得直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2y －x ≤4，3x －y ≤3，2x ＋y ≥2表示的平面区域有公共点，则0≤k ≤k AC ，∵k AC ＝2－00－－1＝2，∴k ∈[0,2]．故选B.4．(2019·河南重点高中4月联合质检)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，y <2，4x ＋y －4≥0，则目标函数z ＝2y －3x 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－203，52B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－203，52C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，52D ．⎝⎛⎭⎪⎫－5，52 答案 A解析 作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，y <2，4x ＋y －4≥0表示的可行域如图中阴影区域所示，求得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，由z ＝2y －3x ，得y ＝32x ＋z 2，平移直线y ＝32x ，当直线z ＝2y －3x 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，z ＝2×2－3×12＝52，当直线z ＝2y －3x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43时，z ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43－3×43＝－203，所以z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－203，52.故选A.5．(2019·河北衡水质检四)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．2x －y ＋1≥0D ．y －1x的最小值为1 答案 D解析 可行域如图阴影部分，其中A (2,3)，显然A ，B ，C 选项都不成立，y －1x表示可行域内点到点(0,1)的斜率，由图可得最小值为1，故选D.6．(2019·福建龙岩质检)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9答案 C解析 由x ＋y ＝(x ＋1)＋y －1＝[(x ＋1)＋y ]·1－1＝[(x ＋1)＋y ]·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫2＋yx ＋1＋x ＋1y －1≥3＋4yx ＋1·x ＋1y＝7.当且仅当x ＝3，y ＝4时取得最小值7.故选C. 7．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为( )A ．{2，－1}B ．{a ∈R |a ≠2}C ．{a ∈R |a ≠－1}D ．{a ∈R |a ≠2且a ≠－1}答案 D解析 不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝－ax ＋y 得y ＝ax ＋z ，若a ＝0，直线y ＝ax ＋z 可化为y ＝z ，此时取得最大值时的最优解有且只有一个满足条件．若a >0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠2.若a <0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠－1.故选D.8．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有4个，则ba －1的取值范围为( )A ．(3,4]B ．(3,4)C ．(2,3]D ．(2,3)答案 A解析 整理不等式得[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0，因为整数解只有4个，且1＋a >0，可得1－a <0，所以a >1.其解集为⎝⎛⎭⎪⎫b 1－a ，b 1＋a ，又0<b <1＋a ，所以b 1＋a <1，欲使解集中的整数只有4个，则－4≤b1－a <－3，所以ba －1∈(3,4]．二、填空题9．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意得，a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥f (x )max ，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.10．(2019·河北衡水中学模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，y ≤x ＋1，且m ＝x ＋3y ＋4x ＋1，则实数m 的取值范围为________．答案 [2,7]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．m ＝x ＋3y ＋4x ＋1＝x ＋1＋3y ＋1x ＋1＝1＋3·y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1可看作(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，观察图象可知，k PC ≤y ＋1x ＋1≤k PB ，即13≤y ＋1x ＋1≤2，所以2≤m ≤7.11．已知正数a ，b 满足a 2＋ab －3＝0，则4a ＋b 的最小值为________． 答案 6解析 因为正数a ，b 满足a 2＋ab －3＝0， 所以3a ·(a ＋b )＝9，则4a ＋b ＝3a ＋(a ＋b )≥23a ·a ＋b ＝29＝6， 当且仅当3a ＝a ＋b 时等号成立．此时由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝a ＋b ，a 2＋ab －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以4a ＋b 的最小值为6.12．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，B 的利润之和的最大值为________元．答案 216000解析 设生产产品A ，B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.①目标函数z ＝2100x ＋900y ，二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域如图中阴影部分．将z ＝2100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z 900，当直线y ＝－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得点M (60,100)．所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2100×60＋900×100＝216000. 故生产产品A ，B 的利润之和的最大值为216000元． 三、解答题13．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，所以0<x ≤240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x ≤240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．14．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1， 故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3c ＋a3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.。
解答题(一)17．(2019·安徽皖南八校第三次联考)党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：品，①求这5件产品中，优等品和合格品各有多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位应选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫？解(1)①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品有3件，合格品有2件．②记3件优等品分别为A，B，C,2件合格品分别为a，b，从中随机抽取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，设“这2件中恰有1件是优等品”为事件M，则事件M发生的情况有6种，所以P(M)＝610＝35.(2)根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品．设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为T1元，乙种生产方式每生产100件所获得的利润为T2元，可得T1＝60×(55－15)＋40×(25－15)＝2800(元)，T2＝80×(55－20)＋20×(25－20)＝2900(元)，由于T1＜T2，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，故该扶贫单位应选择乙种生产方式来帮助该扶贫村脱贫．18．已知等差数列{a n}的公差d>0，其前n项和为S n，且S5＝20，a3，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为S 5＝5a 1＋a 52＝20，所以a 1＋a 5＝8，所以a 3＝4，即a 1＋2d ＝4， ①因为a 3，a 5，a 8成等比数列，所以a 25＝a 3a 8， 所以(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简，得a 1＝2d ， ②联立①和②，得a 1＝2，d ＝1， 所以a n ＝n ＋1. (2)因为b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ＝1n ＋1n ＋2＋n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n ，所以T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＋n n ＋12＝n 2n ＋2＋n n ＋12＝n 3＋3n 2＋3n2n ＋2. 19．(2019·广东梅州总复习质检)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′－EC －B 是直二面角．(1)证明：BE ⊥CD ′；(2)求点E 到平面BCD ′的距离．解 (1)证明：∵AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点， ∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥EC .又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，平面D ′EC ∩平面BEC ＝EC ，BE ⊂平面BEC ，∴BE ⊥平面D ′EC ，∵CD ′⊂平面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′. (2)由已知及(1)得，BE ⊥平面D ′EC ，BE ＝2， ∴V B －D ′EC ＝13BE ·S △D ′EC ＝13×2×12×1×1＝26.ED ′⊂平面D ′EC ，∴BE ⊥ED ′，ED ′＝1，∴BD ′＝ 3.在△BD ′C 中，BD ′＝3，CD ′＝1，BC ＝2.∴BC 2＝(BD ′)2＋(CD ′)2，∠BD ′C ＝90°. ∴S △BD ′C ＝12BD ′·CD ′＝32.设点E 到平面BCD ′的距离为d . 则V B －D ′EC ＝V E －BCD ′＝13d ·S △BCD ′，∴13×32d ＝26，得d ＝63. 所以点E 到平面BCD ′的距离为63. 20．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知函数f (x )＝x －11＋x ，g (x )＝(ln x )2－2a ln x＋13a . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若存在x 1∈[0,1]，使得对任意的x 2∈[1，e 2]，f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1＋11＋x2>0，又x ≠－1，故f (x )在(－∞，－1)为增函数，在()－1，＋∞也为增函数．(2)由(1)可知，当x ∈[0,1]时，f (x )为增函数，f (x )max ＝f (1)＝12，由题意可知g (x )＝(ln x )2－2a ln x ＋13a ≤12对任意的x ∈[0,2]恒成立．令t ＝ln x ，则当x ∈[1，e 2]时，t ∈[0,2]，令h (t )＝t 2－2at ＋13a －12，问题转化为h (t )≤0对任意的t ∈[0,2]恒成立，由抛物线h (t )的开口向上，知⎩⎪⎨⎪⎧h0≤0，h2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧13a －12≤0，4－4a ＋13a －12≤0，解得2122≤a ≤32.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，32.21．(2019·安徽蚌埠第三次质检)已知点E (－2,0)，F (2,0)，P (x ，y )是平面内一动点，P 可以与点E ，F 重合．当P 不与E ，F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为－14.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围． 解 (1)当P 与点E ，F 不重合时，k PE ·k PF ＝－14，得y x ＋2·yx －2＝－14，即x 24＋y 2＝1(y ≠0)， 当P 与点E ，F 重合时，P (－2,0)或P (2,0)． 综上，动点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S ＝8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y ＝kx ＋m ，则其对边方程为y ＝kx －m ，另一边所在直线方程为y ＝－1k x ＋n ，则其对边方程为y ＝－1kx －n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝0， 即4k 2＋1＝m 2. 矩形的一边长为d 1＝|2m |k 2＋1，同理，4k 2＋1＝n 2， 矩形的另一边长为d 2＝|2n |1k2＋1， S ＝d 1·d 2＝|2m |k 2＋1·|2n |1k2＋1＝|4mnk |k 2＋1 ＝44k 2＋1k 2＋4k 2＋12＝44k 4＋17k 2＋4k 2＋12＝44＋9k 2k 2＋12＝44＋9k 2＋1k2＋2∈(8,10]． 综上，S ∈(8,10]．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ(t 为参数)，θ∈[0，π)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)在直角坐标系xOy 中，求圆C 的圆心的直角坐标；(2)设点P (1，3)，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求证：|PA |·|PB |为定值，并求出该定值．解 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝43sin θ＋4cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 则圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0， 圆心坐标为C (2，23)．(2)证明：将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ代入圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0，得t 2－(23sin θ＋2cos θ)t －12＝0，设点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－12， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12.23．(2019·四川广安、眉山毕业班第一次诊断性考试)已知不等式|2x ＋1|＋|x －1|<3的解集为M .(1)求M ；(2)若m ，n ∈M ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1.解 (1)当x <－12时，不等式即为－2x －1－x ＋1<3，解得－1<x <－12；当－12≤x ≤1时，不等式即为2x ＋1－x ＋1<3，解得－12≤x <1；当x >1时，不等式即为2x ＋1＋x －1<3，此时无解． 综上可知，不等式的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：m ，n ∈(－1,1)，欲证⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1，需证|m －n |<|mn －1|，即证(m －n )2<(mn －1)2， 即m 2＋n 2－2mn <m 2n 2－2mn ＋1， 即证(m 2－1)(n 2－1)>0， 因为m ，n ∈(－1,1)，所以(m 2－1)(n 2－1)>0显然成立． 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1成立．解答题(二)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解 (1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .由余弦定理可得a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)∵cos B ＝14(B ∈(0，π))，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14. ∴b ＝4.18．(2019·河北唐山一模)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把△AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PB ＝BE .(1)证明：BC ⊥平面PBE ； (2)求点F 到平面PEC 的距离．解 (1)证明：因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF ∥BC ，因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ，又因为BE ∩PE ＝E ，所以EF ⊥平面PBE ，所以BC ⊥平面PBE .(2)如图，取BE 的中点O ，连接PO ，由(1)知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ，所以平面PBE ⊥平面BCFE ，因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ，所以PO ⊥平面BCFE, 在Rt △POC 中，PC ＝PO 2＋OC 2＝25，在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝25， 在△PEC 中，PC ＝EC ＝25，PE ＝2，所以S △PEC ＝19，又S △ECF ＝2，设点F 到平面PEC 的距离为d ，由V F －PEC ＝V P －ECF 得S △PEC ·d ＝S △ECF ·PO ，即19×d ＝2×3，所以d ＝25719.即点F 到平面PEC 的距离为25719.19．(2019·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表： 消费金额(单位：元) [0,200] (200,400](400,600](600,800](800,1000]购物单张数252530？？的频率分布直方图所估计出的每单消费金额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：(1)估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费金额超过800元的概率； (2)为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为121.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，预测商场今年国庆期间采购奖品的开销．解 (1)因消费金额在区间[0,400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400.设所求概率为p ，而消费金额在(0,600]的概率为0.8，故消费金额在区间(600,800]内的概率为0.2－p .因此消费金额的平均数可估计为100×0.25＋300×0.25＋500×0.3＋700×(0.2－p )＋900×p .令其与中位数400相等，解得p ＝0.05.(2)设等比数列公比为q (q ＞0)，根据题意121＋q 21＋q 221＝1，即q 2＋q －20＝0，解得q ＝4.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121，421，1621.今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000.其中具有抽奖资格的单数为21000×(0.15＋0.05)＝4200， 故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200,800,3200.于是，采购奖品的开销可估计为200×500＋800×200＋3200×100＝580000(元)． 20．在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，动直线l ′垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l ′于点P ，设点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)以曲线C 上的点Q (x 0，y 0)(y 0>0)为切点作曲线C 的切线l 1，设l 1分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，且l 1恰与以定点M (a,0)(a >2)为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求△ABF 与△QAM 面积的比．解 (1)由题意得|PH |＝|PF |，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到定点F (1,0)的距离，∴点P 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线，∴点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：由y 2＝4x ，当y >0时，y ＝2x ， ∴y ′＝1x，∴以Q 为切点的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，∴以Q (x 0，y 0)(y 0>0)为切点的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y －y 0＝2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 204，整理得4x －2y 0y ＋y 20＝0.令x ＝0，则y ＝y 02，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02， 令y ＝0，则x ＝－y 204＝－x 0，∴A (－x 0,0)， 点M (a,0)到切线l 1的距离d ＝y 20＋4a 2y 20＋4＝y 20＋42＋2a －2y 20＋4≥2a －1(当且仅当y 0＝2a －2时，取等号)．∴当点Q 的坐标为(a －2,2a －2)时，满足题意的圆M 的面积最小． 此时A (2－a,0)，B (0，a －2)．S △ABF ＝12|1－(2－a )||a －2|＝12(a －1)a －2， S △AQM ＝12|a －(2－a )||2a －2|＝2(a －1)·a －2.∴S △ABF S △AQM ＝14，∴△ABF 与△QAM 面积之比为1∶4. 解法二：由题意知切线l 1的斜率必然存在， 设为k ，则l 1：y －y 0＝k (x －x 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0，y 2＝4x ，得y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2－x 0，即y 2－4k y ＋4ky 0－y 20＝0，由Δ＝0，得k ＝2y 0，∴l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0. 以下解答同解法一．21．(2019·河北中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝e x－x －a (a ∈R )． (1)当a ＝0时，求证：f (x )＞x ； (2)讨论函数f (x )零点的个数．解 (1)证明：当a ＝0时，f (x )＝e x－x ，令g (x )＝f (x )－x ＝e x－x －x ＝e x－2x ，则g ′(x )＝e x－2，当g ′(x )＝0时，x ＝ln 2；当x ＜ln 2时，g ′(x )＜0，x ＞ln 2时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以x ＝ln 2是g (x )的极小值点，也是最小值点，即g (x )min ＝g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln e2＞0，故当a ＝0时，f (x )＞x 成立．(2)f ′(x )＝e x－1，由f ′(x )＝0得x ＝0，当x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以x ＝0是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，即f (x )min ＝f (0)＝1－a .当1－a ＞0，即a ＜1时，f (x )没有零点，当1－a ＝0，即a ＝1时，f (x )只有一个零点，当1－a ＜0，即a ＞1时，因为f (－a )＝e －a－(－a )－a ＝e －a＞0，所以f (x )在(－a,0)上只有一个零点．由(1)，得e x＞2x ，令x ＝a ，则得e a＞2a ，所以f (a )＝ea－a －a ＝e a－2a ＞0，于是f (x )在(0，a )上有一个零点．因此，当a ＞1时，f (x )有两个零点．综上，当a ＜1时，f (x )没有零点；当a ＝1时，f (x )只有一个零点； 当a ＞1时，f (x )有两个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．直线l 与x 轴交于点A .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线l ′：θ＝π6(ρ≥0)，直线l 与射线l ′交于点B . (1)求B 点的极坐标；(2)若点P 是椭圆C ：x 2＋y 23＝1上的一个动点，求△PAB 面积的最大值及面积最大时点P的直角坐标．解 (1)l ：y ＝3(x －3)＝3x －3， 则l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ－3. 令θ＝π6得ρ＝3，∴B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6.(2)∵|AB |＝|OA |＝3，∴S ＝3d2. 设P 点坐标为(cos α，3sin α)，l ：3x －y －3＝0.∴d ＝|3cos α－3sin α－3|2＝32|(cos α－sin α)－3|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－3. 当α＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )时，d max ＝3＋62，∴S max ＝33＋324.此时cos α＝cos 3π4＝－22，sin α＝sin 3π4＝22，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，62.23．设函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|. (1)求函数f (x )的最小值；(2)若直线y ＝a 与曲线y ＝f (x )围成的封闭区域的面积为9，求a 的值． 解 (1)①当x ≥2时，f (x )＝3x －3≥3； ②当－1<x <2时，f (x )＝5－x ∈(3,6)； ③当x ≤－1时，f (x )＝3－3x ≥6， ∴f (x )min ＝3.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ≥2，5－x ，－1<x <2，3－3x ，x ≤－1，f (x )的图象如图所示：y ＝6与y ＝f (x )围成的三角形面积为S ＝12×[3－(－1)](6－3)＝6<9，∴a >6.故y ＝f (x )，y ＝6，y ＝a 围成的梯形面积为3. 令f (x )＝3x －3＝a ⇒x 1＝a ＋33；令f (x )＝3－3x ＝a ⇒x 2＝3－a3，故梯形面积为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋33－3－a 3(a －6)＝3，∴a ＝3 5.解答题(三)17．已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n . (1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2， ∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2.∵a n ＋1－a n ＝b n ， ∴a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2， a 4－a 3＝b 3，…a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)，a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2)＝21－2n1－2－2(n －1)＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)．∵a 1＝2＝21＋1－2×1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．18．(2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面ABC 是等边三角形，侧面AA ′C ′C ⊥底面ABC ，D 是棱BB ′的中点．(1)求证：平面DA ′C ⊥平面ACC ′A ′；(2)求平面DA ′C 将该三棱柱分成上、下两部分的体积比．解 (1)证明：如图，取AC ，A ′C ′的中点O ，F ，连接OF 与A ′C 交于点E ，连接DE ，OB ，B ′F ，则E 为OF 的中点，OF ∥AA ′∥BB ′，且OF ＝AA ′＝BB ′，所以BB ′FO 是平行四边形．又D 是棱BB ′的中点，所以DE ∥OB .侧面AA ′C ′C ⊥平面ABC ，且OB ⊥AC ，所以OB ⊥平面ACC ′A ′，则DE ⊥平面ACC ′A ′，又DE ⊂平面DA ′C ，所以平面DA ′C ⊥平面ACC ′A ′.(2)连接A ′B ，设三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积为V .故四棱锥A ′－BCC ′B ′的体积V A ′－BCC ′B ′＝V －13V ＝23V ，又D 是棱BB ′的中点，△BCD 的面积是BCC ′B ′面积的14，故四棱锥A ′－B ′C ′CD 的体积V A ′－B ′C ′CD ＝34V A ′－BCC ′B ′＝34×23V ＝12V ，故平面DA ′C 将该三棱柱分成上、下两部分的体积比为1∶1.19．(2019·江西南昌第一次模拟)市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换(用频率估计概率)．(1)根据频率直方图估算B 型节能灯的平均使用寿命；(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p ，那么n 支灯管估计需要更换np 支．若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由． 解 (1)由图可知，各组中值依次为3100,3300,3500,3700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B 型节能灯的平均使用寿命为3100×0.1＋3300×0.3＋3500×0.4＋3700×0.2＝3440小时．(2)由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B 型节能灯需更换的支数为5×0.8＝4.(3)若选择A 型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元； 若选择B 型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元． 因为967.5＞870，所以该商家应选择A 型节能灯．20．(2019·河北石家庄模拟一)已知函数f (x )＝ln x －4ax ，g (x )＝xf (x )． (1)若a ＝18，求g (x )的单调区间；(2)若a ＞0，求证：f (x )≤14a－2.解 (1)由a ＝18，g (x )＝x ln x －12x 2(x ＞0)，g ′(x )＝ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，h ′(x )＝1－xx，故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (1)＝0，从而当x ＞0时，g ′(x )≤0恒成立，故g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：f ′(x )＝1x －4a ＝1－4ax x ，由a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝14a ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，＋∞上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＝ln 14a －1，只需证明ln 14a －1≤14a －2，令t ＝14a＞0，即证ln t －t ＋1≤0(*)，由(1)易知(*)式成立，故原不等式成立．21．(2019·广东深圳适应性考试)在平面直角坐标系xOy 中，离心率为63的椭圆C ：x2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，63. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线x ＋y ＋m ＝0上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3b 2，又1a 2＋23b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得G (±3，±1)．②当过点G 的椭圆C 的切线的斜率均存在时，设G (x 0，y 0)，x 0≠±3，切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，代入椭圆方程得(3k 2＋1)x 2－6k (kx 0－y 0)x ＋3(kx 0－y 0)2－3＝0，Δ＝[6k (kx 0－y 0)]2－4(3k 2＋1)·[3(kx 0－y 0)2－3]＝0，化简得(kx 0－y 0)2－(3k 2＋1)＝0，则(x 20－3)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y 20－1x 20－3. 因为两条切线相互垂直，所以y 20－1x 20－3＝－1，即x 20＋y 20＝4(x 0≠±3)，由①②知点G 在圆x 20＋y 20＝4上，又点G 在直线x ＋y ＋m ＝0上， 所以直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4有公共点，所以|m |1＋1≤2，所以－22≤m ≤2 2.综上所述，m 的取值范围为[－22，22]．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2. (1)写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA →·PB →的取值范围．解 (1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)．直线l 的直角坐标方程为x＋y －2＝0.(2)由直线l 的方程x ＋y －2＝0可得点A (2,0)， 点B (0,2)．设点P (x ，y )，则PA →·PB →＝(2－x ，－y )·(－x,2－y )＝x 2＋y 2－2x －2y .由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，则PA →·PB →＝4sin θ＋2cos θ＋4＝25sin(θ＋φ)＋4，其中tan φ＝12.因为θ∈R ，所以4－25≤PA →·PB →≤4＋2 5. 23．已知函数f (x )＝|x －a |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a .(1)当a ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈[1,2]时，求证：f 2(x )＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤5.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|， 所以|x －1|－|x ＋1|≥0， 得(x －1)2≥(x ＋1)2，解得x ≤0. 所以定义域为(－∞，0]．(2)证明：f 2(x )＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x －a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x ＋1a ≤2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≤5(a ∈[1,2])，当且仅当a ＝2时等号成立．解答题(四)17．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4. 因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.18．(2019·北京人大附中信息卷二)某绿色有机水果店中一款有机草莓，味道鲜甜．店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收．(1)若水果店一天购进17斤草莓，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：斤，n ∈N )的函数解析式；(2)水果店记录了100天草莓的日需求量(单位：斤)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数1422141615136元)的平均数；②若水果店一天购进17斤草莓，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于150元的概率．解 (1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝17×10＝170；当日需求量n ≤16时，利润y ＝10n －8(17－n )＝18n －136.所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧18n －136，n ≤16，n ∈N *，170，n ≥17，n ∈N *.(2)①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，则日需求量为14斤时，利润为116；日需求量为15斤时，利润为134；日需求量为16斤时，利润为152；日需求量不小于17时，利润为170.故这100天的日利润(单位：元)的平均数为 y －＝1100×(14×116＋22×134＋14×152＋16×170＋15×170＋13×170＋6×170)，解得y －＝152(元)．②利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤．以频率预估概率，得当天的利润不少于150元的概率为p ＝0.14＋0.16＋0.15＋0.13＋0.06＝0.64.19．(2019·江西省名校5月联考)已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为13的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并证明；(2)求点B 到平面AEC 的距离．解 (1)如图所示，分别取BC 和BD 的中点H ，G ，作直线HG ，则HG 为所求直线．证明如下：因为点H ，G 分别为BC 和BD 的中点，所以HG ∥CD ，分别取CD ，BC 的中点O ，H ，连接EO ，AH ，则EO ⊥CD ，AH ⊥BC ，因为平面CDE ⊥平面BCD ，且EO ⊥CD ，∴EO ⊥平面BCD ，又平面ABC ⊥平面BCD ，AH ⊥BC ，则AH ⊥平面BCD ，所以EO ∥AH ，又AH ⊄平面CDE ，EO ⊂平面CDE ，所以AH ∥平面CDE .因为GH ∥CD ，GH ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以GH ∥平面CDE ，因为AH ，GH ⊂平面AGH ，AH ∩GH ＝H ，则平面AHG ∥平面CDE ，所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行．(2)由(1)可得EO ∥AH ，即EO ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离和点O 到平面ABC 的距离相等，连接DH ，则DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，则DH ⊥平面ABC .记点E 到平面ABC 的距离为d ，则d ＝12DH ＝32，又△ABC 的面积S ＝12×2×13－1＝23，△ACE 的面积S 1＝12×13×32＝394，因为V E －ABC ＝V B －ACE ，设点B 到平面AEC 的距离为h ，所以13×23×32＝13×394×h ， 解得h ＝43913.即点B 到平面AEC 的距离为43913.20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 上的点M (2，y 0)到F 的距离为3. (1)求抛物线C 的方程；(2)斜率存在的直线l 与抛物线相交于相异两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，若AB 的垂直平分线交x 轴于点G ，且GA →·GB →＝5，求直线l 的方程．解 (1)由抛物线定义知|MF |＝2＋p2，所以2＋p2＝3，p ＝2，所以，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：设AB 中点坐标(2，m )，直线l 的斜率存在，所以m ≠0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2m，所以直线AB 的方程为y －m ＝2m(x －2)．即2x －my ＋m 2－4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝my －m 2＋4，y 2＝4x ，得y 2－2my ＋2m 2－8＝0，其中Δ>0得到m2<8，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ， ①y 1y 2＝2m 2－8， ②AB 的垂直平分线方程为y －m ＝－m2(x －2)，令y ＝0，得x ＝4，所以G (4,0)，GA →＝(x 1－4，y 1)，GB →＝(x 2－4，y 2)， 因为GA →·GB →＝5，所以(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝5，x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝5，y 21y 2216－4×4＋16＋y 1y 2＝5. ③把②代入③得(m 2－4)2＋8(m 2－4)－20＝0， (m 2＋6)·(m 2－6)＝0，m 2＝6<8，m ＝± 6.所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0. 解法二：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 消y 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0或消x 得ky 2－4y ＋4m ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk ＋4k 2＝4，x 1x 2＝m 2k 2，y 1y 2＝4m k，Δ＝16－16km >0，即2k 2＋mk ＝2. ①AB 中点坐标为(2,2k ＋m )，AB 的垂直平分线方程为y －(2k ＋m )＝－1k(x －2)．令y ＝0，x G ＝2k 2＋mk ＋2＝4，所以GA →·GB →＝(x 1－4，y 1)·(x 2－4，y 2)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝m 2k2－16＋16＋4m k＝5，m 2k 2＋4mk－5＝0. 解得m ＝k 或m ＝－5k ，分别代入①得3k 2＝2(符合Δ>0)或3k 2＝－2(舍去)． 所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0.21．(2019·安徽皖南八校联考三)已知函数f (x )＝a ln x －(a 2＋1)x ＋12ax 2，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )＋x ＞0对x ＞1恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)由题意，得f ′(x )＝a x－a 2－1＋ax ＝ax －1x －ax(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，没有单调递增区间． 当0＜a ＜1时，当a ＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜a 或x ＞1a时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为(0，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a .当a ＝1时，f ′(x )≥0对x ＞0成立，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．当a ＞1时，当1a＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜1a或x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，a .(2)f (x )＋x ＞0，即a ln x －a 2x ＋12ax 2＞0，当a ＞0时，ln x －ax ＋12x 2＞0，a ＜ln x x ＋12x ，令g (x )＝ln x x ＋12x ，x ≥1，则g ′(x )＝1－ln x x 2＋12＝2－2ln x ＋x22x 2，令h (x )＝2－2ln x ＋x 2，则h ′(x )＝2x －2x，当x ≥1时，h ′(x )≥0，h (x )是增函数，h (x )≥h (1)＝3＞0，∴g ′(x )＞0.∴当x ≥1时，g (x )是增函数，g (x )的最小值为g (1)＝12，∴0＜a ≤12.当a ＝0时，显然f (x )＋x ＞0不成立，当a ＜0时，由g (x )的最小值为12，且g (x )没有最大值，得a ＞g (x )不成立，综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 22．在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为(ρcos φ＋k )2＋(ρsin φ－2)2＝k 2＋25(φ为参数，k ∈R )．(1)写出C 1，C 2的直角坐标方程；(2)是否存在曲线C 2包围曲线C 1？请说明理由． 解 (1)C 1：x 236＋y 29＝1，C 2：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0.(2)若k ≥0，由62＋02＋12k －0－21＝15＋12k >0可知点(6,0)在曲线C 2外； 若k <0，(－6)2＋02－12k －0－21＝15－12k >0可知点()－6，0在曲线C 2外．综上，无论k 取何值，曲线C 2都不能包围曲线C 1. 23．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x ＋1|.(1)在图中画出f (x )和g (x )的图象，并写出不等式f (x )>g (x )的解集； (2)若|f (x )－2g (x )|≤a (a ∈R )恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )，g (x )的图象如图，不等式f (x )>g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >0或x <－23.(2)|f (x )－2g (x )|＝||2x ＋1|－2|x ＋1||＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >－12或x <－1，|4x ＋3|，－1≤x ≤－12，所以|f (x )－2g (x )|≤1，所以a ≥1.解答题(五)17．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．某共享单车公司为了更好地服务用户，在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对该公司的车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中较为详细的评价信息里随机选出200条进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计 对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意40 30 70 合计14060200(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系？(2)为了回馈用户，该公司通过APP 向用户随机派送骑行券．用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP 转赠给好友．某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券．现该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的2张中至少有1张是一元券的概率．参考数据：P (K 2≥k 0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)由2×2列联表的数据，得K 2的观测值 k ＝200×100×30－40×302130×70×140×60＝200×18213×7×14×6＝5400637≈8.48<10.828. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系．(2)把2张一元券分别记作A ，B ，其余3张券分别记作a ，b ，c ，则从5张骑行券中随机选取2张的所有情况有：{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{A ，B }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，共10种．记“选取的2张中至少有1张是一元券”为事件M ，则事件M 包含的基本事件个数为7， 所以P (M )＝710，所以该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，选取的2张中至少有1张是一元券的概率为710.18．已知△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝42，点D 在线段AC 上，∠DBC ＝π4.(1)若△BCD 的面积为24，求CD 的长；(2)若C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且c ＝122，tan A ＝13，求CD 的长．解 (1)由S △BCD ＝12·BD ·BC ·22＝24，解得BD ＝12.在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos45°， 即CD 2＝32＋144－8×12，解得CD ＝4 5.(2)因为tan A ＝13，且A ∈(0，π)，可以求得sin A ＝1010，cos A ＝31010.由正弦定理，得asin A ＝c sin C ，即421010＝122sin C， 解得sin C ＝31010.因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos C ＝1010，故sin ∠BDC ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝255.在△BCD 中，由正弦定理可得CDsin ∠DBC＝BCsin ∠BDC，解得CD ＝2 5.19．(2019·广东天河区毕业综合测试二)如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，∠FBD ＝60°，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2.(1)若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (2)求六面体ABCEF 的体积．解 (1)证明：如图，连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且∠FBD ＝60°，∴△DBF 为等边三角形． ∵M 为BF 的中点， ∴DM ⊥BF ，∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，又D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC .∵平面BDEF ∩平面ABC ＝BD ，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF . 又BF ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥BF ，由DM ⊥BF ，AC ⊥BF ，DM ∩AC ＝D ，∴BF ⊥平面AMC .(2)∵S 菱形BDEF ＝2·12·BD ·BF ·sin60°＝32，又AC ⊥平面BDEF ，D 是AC 的中点，∴V 六面体ABCEF ＝2V 四棱锥C －BDEF ＝2×13S 菱形BDEF ·CD＝2×13×32×1＝33.∴六面体ABCEF 的体积为33. 20．(2019·湖南株洲二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得的线段的长度为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA →＋OB →＝OD →，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝－1或x ＝1，此时四边形OADB 的面积为 6.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1 ⇒(1＋2k 2)x2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，Δ＝8(4k 2＋2－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－41＋2k2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·2 2 4k 2＋2－m21＋2k 2， 又点O 到直线AB 的距离是d ＝|m |1＋k2，由OA →＋OB →＝OD →，得x D ＝－4km 1＋2k 2，y D ＝2m 1＋2k 2. 因为点D 在曲线C 上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1＋2k 222＝1，整理得1＋2k 2＝2m 2，由题意知四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为 S OADB ＝|AB |d ＝1＋k 22 2 4k 2＋2－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝22|m |4k 2＋2－m21＋2k2. 由1＋2k 2＝2m 2得S OADB ＝6， 故四边形OADB 的面积是定值，其定值为 6. 21．(2019·河南洛阳第二次统一考试)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＞0，函数f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12x 2－a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax.①当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a ，f ′(x )＜0得0＜x ＜a . 即f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)当a ＞0时，由(1)知f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， ①若a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )在(1，e)上单调递增，f (1)＝12，f (x )在区间(1，e)上无零点．②若1＜a ＜e ，即1＜a ＜e 2时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝12a (1－ln a )．∵f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝12＞0，f a ＝12a 1－ln a ＜0，fe ＝12e 2－a ＞0，∴e ＜a ＜12e 2.③若a ≥e，即a ≥e 2时，f (x )在(1，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝12e 2－a ＜0，则f (x )在区间(1，e)上有一个零点．综上，f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点时a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，12e 2. 22．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)解法一：由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点.综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.解法二：因为C 2：(x ＋1)2＋y 2＝4，所以C 2是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆． 又因为C 1：y ＝k |x |＋2是关于y 轴对称的曲线，且C 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0，显然，若k ＝0时，C 1与C 2相切，此时只有一个交点； 若k >0时，C 1与C 2无交点． 若C 1与C 2有且仅有三个公共点，则必须满足k <0且y ＝kx ＋2(x >0)与C 2相切，所以圆心到射线的距离为d ，则d ＝|2－k |1＋k2＝2，所以k ＝0或k ＝－43，因为k <0，所以k ＝－43，所以C 1：y ＝－43|x |＋2.23．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.解答题(六)17．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＋2a cos B ＝c . (1)求证：B ＝2A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求a 的取值范围． 解 (1)证明：因为a ＋2a cos B ＝c ，由正弦定理知sin A ＋2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A ＝cos A sin B －sin A cos B ＝sin(B －A )．因为A ，B ∈(0，π)，所以B －A ∈(－π，π)， 且A ＋(B －A )＝B ∈(0，π)，所以A ＋(B －A )≠π， 所以A ＝B －A ，B ＝2A .(2)由(1)知A ＝B 2，C ＝π－A －B ＝π－3B2.由△ABC 为锐角三角形得⎩⎪⎨⎪⎧0<B 2<π2，0<B <π2，0<π－3B 2<π2，得π3<B <π2. 由a ＋2a cos B ＝2，得a ＝21＋2cos B∈(1,2)．18．(2019·安徽江淮十校第三次联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点，点E 在侧棱CC 1上，DE ∥平面AB 1C 1.。
2020 年高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型重点】 解不等式的常有策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次 ”之间的关系，借助相应二次函数图象，确立一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负 ”这一符号法例，转变为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转变为整式不等式(一般为一元二次不等式 )求解．(3)解含 “f ”的函数不等式，第一要确立 f(x)的单一性，而后依据函数的单一性去掉“f ”转化为往常的不等式求解．(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，重点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．x －12e ， x<1【例 1】已知函数 f(x)＝，则 f(f(x))<2 的解集为 ()x 3 ＋x ， x ≥1A ． (1－ ln 2，＋ ∞)B ． (－ ∞， 1－ ln 2)C ．(1－ ln 2,1)D ． (1,1＋ ln 2)【分析】由于当3x－1等x ≥1时， f(x)＝ x ＋ x ≥2，当 x<1 时， f(x)＝ 2e <2，所以 f(f(x))<2x －1<1 ，解得 x<1－ ln 2，所以 f(f(x))<2 的解集为 (－∞，1－ ln 2) ，应选 B.价于 f( x)<1 ，即 2e【答案】B－ x 2＋ 2x ， x ≤0，【例 2】．已知函数 f(x)＝若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()ln x ＋ 1 ， x ＞ 0.A ．(－∞，0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ －2,1]D ． [－ 2,0]【分析】 当 x ≤0时，f(x) ＝－ x 2＋ 2x ＝－ (x － 1) 2＋ 1≤0，所以 |f(x)| ≥ax 化简为 x 2－2x ≥ax ，即 x2≥(a＋ 2)x，由于所以 |f( x)| ≥ax 化简为式|f(x)| ≥ax 恒成立．x≤0，所以 a＋ 2≥x 恒成立，所以 a≥－ 2；当 x＞ 0 时，f(x)＝ ln(x＋ 1)＞0， ln( x＋ 1) ≥ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，当－ 2≤a≤0时，不等【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax2－ bx＋ c>0 的解集是1 ,2 ，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；2④a＋ b＋ c>0；⑤ a－ b＋c>0，正确的选项是 ()A ．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．③④⑤【分析】ax2－ bx＋ c>0 的解集是1,2 ，故 a<0，且 ax2－ bx＋c＝ 0 的两根为－1，2 22.由根与系数的关系得2－1＝b>0,2 × 1 ＝c<0，故 b<0，c>0. 所以，②③正确，①错误．设2 a 2 af(x)＝ ax2－ bx＋ c，依据 f(－ 1)<0，f(1)>0 ，可知 a＋ b＋ c<0 ，a－ b＋ c>0 ，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x－ 2)＝ f(x＋ 2)，当 0＜ x＜ 2 时，f(x)＝1－ log2(x ＋1)，则当 0 ＜x＜ 4 时，不等式 (x－ 2)f(x) ＞0 的解集是 ( )A ． (0,1) ∪ (2,3) B． (0,1)∪ (3,4)C．(1,2) ∪(3,4) D． (1,2)∪ (2,3)【分析】当 0＜ x＜ 2 时，x－ 2＜ 0，不等式可化为x－ 2＜ 0，x－ 2＜ 0，即1－ log2 x＋1 <0 ，f x ＜ 0，解得 1＜ x＜2，x－ 2＞0，当 2＜x＜ 4 时， x－ 2＞ 0，不等式可化为f x ＞ 0，由函数 f(x)是奇函数，得f(－ x)＝－ f(x) ，又 f(x－ 2)＝ f(x＋2) ，则 f(x) ＝f(x－ 2＋2) ＝f(x－ 2－ 2)＝－ f(4－ x)，由于 0＜ 4－ x＜ 2，不等式可化为x－ 2＞ 0，，解得 2＜ x＜ 3，－1＋ log2 5－ x ＞0则原不等式的解集为(1,2)∪ (2,3)，应选 D.【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型重点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是知最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形剖析．x＋y≤4【例 3】已知 P(x， y)为不等式组x－y≤0表示的平面地区M 内随意一点，若目标函x－a≥0数 z＝ 5x＋ 3y 的最大值等于平面地区M 的面积，则a＝ ________.【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：由 z ＝ 5x ＋3y 得 y ＝－ 5x ＋ z，3 35z平移直线 y ＝－ 3x ＋ 3，由图象知当直线 y ＝－5 z z 最大，x ＋ ，经过点 A 时，直线的截距最大，此时33x ＋y ＝ 4 由，解得 x ＝ y ＝2，即 A(2,2)，x －y ＝ 0此时 z ＝5×2＋ 3×2＝ 16，x ＋y ＝ 4 由.解得 x ＝ a ，y ＝ 4－ a ，即 B(a,4－a)，x ＝ax －y ＝ 0由，解得 x ＝ y ＝a ，即 C(a ， a)，x ＝a∴ BC ＝ 4－a － a ＝ 4－2a ， △ ABC 的高为 2－ a ，1 2∴ S △ABC ＝ 2×(2－ a)(4－ 2a)＝ (2－ a) ＝ 16，解得 a ＝－ 2， a ＝ 6(舍去 )，【答案】－ 2x ≥0，则x ＋2y ＋ 3的取值范围是 ()【例 4】．设 x ， y 知足拘束条件 y ≥x ，4x ＋ 3y ≤ 12， x ＋ 1A ． [1,5]B ． [2,6]C ．[3,10]D ． [3,11]【分析】依据拘束条件画出可行域如图暗影部分所示．∵x ＋2y ＋ 3＝ 1＋2 y ＋1，令 k ＝y ＋1，即为可行域中的随意点(x ，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋1y)与点 ( －1，－ 1)连线的斜率．由图象可知，当点 (x ，y)为 A(0,4)时， k最大，此时 x ＋ 2y ＋ 3的最大值为 11，当点 (x ，y)在线段 OB 上时， k 最x ＋ 1小，此时x ＋ 2y ＋ 3的最小值为 3.应选 D.x ＋ 1【答案】D题组训练二 简单的线性规划问题y ≤x － 1，则 x 21．已知实数 x 、y 知足 x ≤3的最小值是 () x ＋5y ≥4yA ． 1B ． 2C ．3D ． 4【分析】作出不等式组所对应的平面地区：2由图象可知 x ＞ 0，y ＞ 0，设 z ＝ x，则 x 2＝ zy ，对应y的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝ x － 1 与抛物线相切时，此时 z 获得最小值，将 y ＝ x － 1 代入抛物线 x2＝ z y ，得 x 2－ zx ＋ z ＝ 0，由 ＝ 0? z ＝ 4， z ＝ 0(舍 )所以选择 D.【答案】 Dx ≥0，2．已知点 P(x ， y)知足条件 y ≤x ，若 z ＝ x ＋3y 的最大值为 8，则实数 k ＝2x ＋ y ＋ k ≤0，________.【分析】依题意 k<0 且不等式组表示的平面地区如下图．易得，Bkk113 , 3 .目标函数 z ＝x ＋ 3y 可看作直线 y ＝－ 3x ＋ 3z 在 y 轴上的截距的 3倍，明显当直线过点B 时截距最大，此时 z 获得最大值．所以 z max ＝－ k3＋ 3×k＝－4k3＝ 8，解得 k ＝－ 6.3【答案】－ 6题型三基本不等式的应用【题型重点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式构造的函数以及含有两个变量的函数，特别适适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值 )、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3) 方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式b化为ax＋x(ab＞0) 的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．【例 5】已知二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导数为 f′(x)， f′(0)＞ 0，对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，则f 1的取值范围是 ()f′0A. 3 , B． [2，＋∞)2C. 5 , D． [3，＋∞)2【分析】∵ f′(x)＝ 2ax＋ b，∴ f′(0)＝b＞ 0.又∵对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，∴ a＞0 且 b2－ 4ac≤0，∴ b2≤4ac，∴ c＞ 0，∴f 1 ＝f′0a＋ b＋ c a＋ c 2 acb ＝ b ＋ 1≥b＋ 1≥2.【答案】 B1＋2＝ 1，则 2 ＋1的最小值为 ()2．若正数 a， b 知足：a b a－ 1 b－ 23 2A ． 2 B. 253 2C.2D ．1＋ 4【分析】 由 a ，b 为正数，且 1＋ 2＝ 1，得 b ＝2a2 ＋ 1a ba － 1>0，所以 a － 1>0，所以 a － 1b － 2＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋ a －1 2a － 1＝2，当且仅当 2 ＝ a － 1和1＋ 2＝ 1 同时成 a － 1 2a － 2 a － 1 2 ≥2 a － 1 · 2 a － 1 2a b a － 1立，即 a ＝b ＝ 3 时等号成立，所以2 ＋ 1的最小值为 2，应选 A.a － 1b － 2【答案】 A题组训练三 基本不等式的应用1．若直线 l ： ax ＋ by ＋ 1＝0(a ＞ 0，b ＞ 0)把圆 C ： (x ＋ 4)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16 分红面积相等的两部分，则当 ab 获得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是 ( )A ． 4B ．8 178 17 C ．2D. 17【分析】由题意，圆心 (－4，－ 1)代入直线 l ： ax ＋by ＋ 1＝ 0，可得 4a ＋ b ＝ 1,4a ＋ b＝1≥4ab ，∴ ab ≤1 ，当且仅当 a ＝ 1，b ＝1时， ab 获得最大值，坐标原点到直线 l 的距离16 82是1＝8 17，应选 D.641＋1417【答案】D2．设正实数1，不等式 4x 2y 2≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ()x ，y 知足 x> ，y>1＋2y － 1 2x － 1A ．2 2B ． 4 2C ．8D ． 162222【分析】依题意得， 2x － 1>0 ， y － 1>0，4x＋ y ＝ [ 2x － 1 ＋ 1] ＋ [ y －1 ＋1]y － 1 2x － 1 y － 12x － 14 2x－ 1 4 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2 2＝8，即4x ＋y ≥8，当且仅当≥＋≥ 4×2×y－1 2x－ 1 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2x－12x－ 1＝ 1y－ 1＝1 x＝ 1 2 2时，取等号，所以4x ＋y 的最小值是8， m≤8，m 的最，即2x－ 1 y－ 1 y＝ 2 y－ 1 2x－1y－ 1 ＝2x－ 1大值是8，选 C.【答案】 C题型四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题【题型重点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形联合判断所过的定点，也能够把界限端点的坐标代入目标函数，找寻最值，研究可行域与其余函数的关系时，可用界限端点确立出答案．x≥0，【例 7】记不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)与 D 有3x＋ y≤4公共点，则 a 的取值范围是________．3x＋ y＝ 4，【分析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，成立的不等式，由x＝ 0得(0,4) ，x＋3y＝ 4，由得 (1,1)．3x＋ y＝ 4地区 D 的上界为 (0,4)，下界为 (1,1)，∴ y＝ a(x＋ 1)与 D 有公共点，则有2a≥1，a≤41∴2≤a≤ 4.法二：直线y＝ a(x＋ 1)为经过定点P(－ 1,0)且斜率为a，作出可行域后数形联合可知．不等式组所表示的平面地区 D 为如下图暗影部分(含界限 )，且 A(1,1)，B(0,4) ，C4，0,31直线 y＝a(x＋ 1)恒过定点 P(－ 1,0)且斜率为a，由斜率公式可知k BP＝ 4， k AP＝2，若直线 y ＝a(x＋1)知地区 D 有公共点，数形联合可得12≤a≤ 4.【答案】1 ,4 2题组训练四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题3x＋ 4y－ 10≥0，已知不等式组x≤4，表示地区D，过地区 D 中随意一点P 作圆 x2＋y2＝1 的两y≤3条切线且切点分别为A， B，当∠ PAB 最小时， cos∠ PAB＝ ()3 B.1A. 2 23D．－1C．－2 23x＋ 4y－ 10≥0，【分析】作出不等式组x≤4，表示的平面地区D，如下图：y≤3要使∠ APB 最大，则∠ OPB 最大．∵sin∠ OPB＝|OB|＝1，|OP| |OP |∴只需 OP 最小即可，即点 P 到圆心 O 的距离最小即可．由图象可知当|OP|垂直于直线3x－ 4y－ 10＝0，|－ 10|此时 |OP|＝＝2，|OA|＝1.2 23 ＋ 4αα OA 1，设∠ APB＝α，则∠ APO＝，即 sin ＝＝2 2 OP 22 α此时 cos α＝ 1－ 2sin2＝1－2×122＝1－12＝12，即 cos∠ APB＝1，∴∠ APB＝60°， 21∴△ PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB＝ 60°为最小，且cos∠PAB＝2.应选 B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f(x) ＜ 0 的解集为x x1 1或 x3A ． { x|x＜－ 1 或 x＞－ ln 3} B．{ x|－ 1＜ x＜－ ln 3} C．{ x|x＞－ ln 3}D． { x|x＜－ ln 3}x的解集为 ()，则 f(e )＞ 01【分析】f(x)＞0 的解集为x1x3xx1则由 f(e )＞ 0 得－ 1＜ e ＜ ，解得 x ＜－ ln 3 ，即 f(e x )＞ 0 的解集为 { x|x ＜－ ln 3} ．【答案】 D2＋ 1＝ 1， x ＋ 2y ＞m 2－ 2m 恒成立，则 m 的取值范围是 ()2．已知 x ＞ 0， y ＞0， x y 3A ． [－ 6,4]B ． [－ 4,6]C ．( －4,6)D ． (－ 6,4)2 12 1 2 【分析】∵ x ＋ y ≥2 xy ，即3≥2xy， 解得 xy ≥72，∵ 2＋ 1＝ 1，∴ 6＋ 3＝ 1，xy 3x y1即 3x ＋6y ＝ xy ，∴ x ＋2y ＝ 3xy ≥ 24，∴ m 2－ 2m ＜24 恒成立，解不等式 m 2－2m －24＜ 0得－ 4＜ m ＜ 6.应选 C.【答案】 C3．设 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥a 7，则 a ＝ ()，且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为x － y ≤－1A ．－ 5B ． 3C ．－5或 3D ．5 或－ 3【分析】依据拘束条件画出可行域如图中暗影部分所示：可知可行域为张口向上的V 字型．在极点处 z 有最小值，极点为 a 1 , a 1 ，则 a－ 12 2 2＋a a 1＝7，解得 a＝ 3 或 a＝－ 5.当 a＝－ 5 时，如图 2，2图 2虚线向上挪动时 z 减小，故 z→－∞，没有最小值，故只有a＝ 3 知足题意．选 B. 【答案】 B4．已知 g(x)是R上的奇函数，当 x＜ 0x3， x≤0，时，g(x) ＝－ ln(1 － x)，函数 f(x)＝g x ，x＞0，若 f(2－ x2)＞ f(x)，则实数 x 的取值范围是 ( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞ ) B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(1,2) D． (－ 2,1)【分析】设 x＞0，则－ x＜ 0，所以 g(－ x)＝－ ln(1 ＋ x)，由于 g(x)是R上的奇函数，x3， x≤0，易知 f(x)是R上的单一递所以 g(x)＝－ g(－x)＝ln(1 ＋ x)，所以 f(x)＝ln 1＋ x ， x＞ 0，增函数，所以原不等式等价于2－ x2＞ x，解得－ 2＜ x＜ 1.应选 D.【答案】 D2x－ y≤0，5．已知实数x， y 知足x＋ y－ 5≥0，若不等式a(x2＋ y2) ≥(x＋ y)2恒成立，则实数a 的y－ 4≤0，最小值是 ________．【分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部 (图略 )，此中 A(2,4)，B(1,4)，C5 ,10，3 3所以 y∈ [k OA ， k OB ] ＝ [2,4] ，由于 y ＋ x在 [2,4] 上单一递加，所以y ＋ x ∈5 ,17，不等式 a(x 2xxyx y2 422x y 299＋y ) ≥(x ＋ y) 恒成立等价于 a ≥ x2y 2 5? a min ＝ 5.max【答案】9 52x －y － 2≥06．已知实数 x ，y 知足 x ＋y － 1≤0 ，z ＝ mx ＋ y 的最大值为 3，则实数m 的值是 ( )y ＋ 1≥0A ．－ 2B ． 3C ．8D ． 22x － y － 2≥0【分析】由实数 x ， y 知足 x ＋ y － 1≤0 作出可行域如图，y ＋ 1≥02x － y － 2＝0 ，解得A1, 1，联立y ＋ 1＝ 0 22x － y － 2＝0，解得 B(1,0)，同理 C(2，－ 1)联立x ＋ y － 2＝0化目标函数 z ＝ mx ＋ y 为 y ＝－ mx ＋ z ，当直线 z ＝ mx ＋ y 经过 C 点时，获得最大值3；∴ 3＝ 2m － 1，解得 m ＝ 2.应选 D.【答案】 D1＋ 4的最小值为 ()7．已知函数 f(x) ＝cos πx(0<x<2)，若 a ≠b ，且 f(a)＝ f(b)，则 a b 9A. 2 B ． 9【分析】函数 f( x)＝ cosπx(0< x<2) ，轴为 x＝ 1，若 a≠b，且 f(a)＝ f( b)，所以 a＋ b＝ 2131 4＝1 4 1 1 b 4a所以＋a b (a＋ b) ×＝25ba b 2 a 1 9 2 4 1 ≥ (5＋ 4)＝，当 a＝，b＝时取等号，故a 2 2 3 3＋4b的最小值为92，应选 A.【答案】 A2x－ y＋ 6≥08．已知实数 x，y 知足 x＋ y≥0，若目标函数 z＝－ mx＋ y 的最大值为－ 2m＋ 10，x≤2最小值为－ 2m－ 2，则实数 m 的取值不行能是 ( )A ． 3 B． 2C．0 D．－ 12x－ y＋ 6≥0【分析】由拘束条件x＋ y≥0作出可行域如图，x≤2联立方程组求得A(－ 2,2)， B(2，－ 2)， C(2,10) ，化目标函数z＝－ mx＋ y 为 y＝ mx＋ z，若 m≥0，则目标函数的最大值为 2m＋ 2，最小值为－ 2m－2，－2m＋ 10＝2m＋2由，可知 m＝ 2；－2m－ 2＝－ 2m－ 2若 m＝ 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为－ 2，切合题意；若 m＝－ 1，则目标函数的最大值为－ 2m＋ 10，最小值为－ 2m－ 2，切合题意．∴实数 m 的取值不行能是 3.应选 A.【答案】 A－ ln x－x， x＞ 0，1 ＜ ln 1－ 2 的解集为9．已知函数f(x)＝则对于 m 的不等式 f－ ln －x ＋ x， x＜ 0. m 2()A. 0,1B ． (0,2)2C.1,0 ∪ 0,1D ． (－ 2,0)∪ (0,2)22【分析】函数 f(x)的定义域 ( －∞， 0)∪ (0，＋ ∞)对于原点对称，∵ x ＞ 0 时，－ x ＜ 0，f(－ x)＝－ ln x － x ＝ f(x)，同理： x<0 时， f(－ x)＝ f(x) ，∴ f(x)为偶函数．∵ f(x)在(0 ，＋ ∞)上为减函数，且 f(2) ＝－ ln 2 － 2＝ ln 1 －2.2∴当 m ＞ 0 时，由 f1＜ ln 1－ 2，得 f 1 ＜ f(2)，m2m∴ 11m ＜0 时，得－1 ＞ 2，解得 0＜ m ＜ .依据偶函数的性质知当＜ m ＜ 0.m 22【答案】Cx ≥2，时，z ＝ x ＋ y10．已知 x ，y 知足 y ≥2， (a ≥b ＞ 0)的最大值为 2，则 a ＋ b 的最小值为 ()x ＋ y ≤8 a bA ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ． 8x ≥2，【分析】由拘束条件y ≥2，作出可行域如图，x ＋ y ≤8x ＝ 2， 联立，x ＋ y ＝ 8解得 A(2,6)，化目标函数 x y bz ＝ ＋ 为 y ＝－ x ＋ bz ，a b ab由图可知，当直线y＝－a x＋ bz 过点 A 时，2 6直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为＋＝2，即1＋3＝1. a b所以 a＋ b＝ (a＋ b) 1 3a bb ＋3a b 3a＝ 4＋b ≥4＋ 2 ·＝4＋2 3.a a b1＋3＝ 1，当且仅当 a b 即 a＝ 3＋ 1， b＝ 3＋3时取等号．b＝3a，【答案】 A11．若函数 f(x)＝ x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1 的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围是 () A．(2，＋∞ ) B． (1，＋∞)C．( 3－1，＋∞) D． (2－ 1，＋∞)2 2【分析】x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1>0 恒成立，当x＝ 0 时， a∈R，当 x≠0时， a> －x4＋ 4x3－ 4x＋ 1 2 4 1 2 2 1 x2 ＝－ (x ＋4x－x＋x2)＝－ (t ＋ 4t＋ 2) ＝－ (t＋ 2) ＋ 2，此中t＝ x－x∈R，由于－( t＋ 2)2＋ 2≤2，进而 a>2，所以实数 a 的取值范围是 (2，＋∞)，选 A.【答案】 A二、填空题2x＋ y－ 4≥012．已知点 M 的坐标 (x，y)知足不等式x－ y－ 2≤0，N为直线y＝－2x＋2上任一点，y－ 3≤0则|MN|的最小值是 ()5 2 5A. 5B. 5C. 5D. 5 102x ＋ y － 4≥0【分析】点 M 的坐标 ( x ， y)知足不等式组 x － y － 2≤0 的可行y －3≤0域如图： N 为直线 y ＝－ 2x ＋2 上任一点，则 |MN |的最小值，就是两条|－ 2＋4|25 平行线 y ＝－ 2x ＋ 2 与 2x ＋ y － 4＝0 之间的距离： d ＝＝，故选 B.【答案】Ba ba13．设 a>b>c>0 ，若不等式 log2018＋ log 2018 ≥dlog2018 对全部知足题设的 a ，b ， cbcc均成立，则实数 d 的最大值为 ____________．a b a lg2018 lg2018 lg2018【分析】log b 2018＋ log c 2018 ≥dlog c 2018?a ＋b ≥d a ，由于 a>b>c>0 ，lg b lg clg ca ba ab a 1 1)(x ＋ y)的最小值，所以 lg >0 ，lg>0，lg >0 ，设 x ＝ lg ，y ＝ lg ，则 lg＝ x ＋ y ，所以 d ≤(＋bccbccx y1 1 y x y xd ≤4，即实数 d 的而( ＋ )( x ＋ y)＝ 2＋＋ ≥2＋2·＝ 4，当且仅当 x ＝ y 时取等号，进而x y x yx y最大值为 4.【答案】 4x ＋y ≥2，14．已知点 O 是坐标原点，点A(－ 1，－ 2)，若点 M(x ， y)是平面地区 x ≤1，上y ≤2，→ → →1的一个动点， OA ·(OA －MA )＋ m ≤0恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【分析】→ →由于 OA ＝ ( －1，－ 2)，OM ＝ (x ， y)，→ → → → →所以 OA ·(OA － MA )＝ OA ·OM ＝－ x － 2y.→ → → 1 1 1恒成立．所以不等式 OA ·(OA － MA )＋ ≤0恒成立等价于－ x － 2y ＋m≤0，即 ≤x ＋ 2ym m设 z ＝ x ＋ 2y ，作出不等式组表示的可行域如下图，当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点 D(1,1)时获得最小值， 最小值为 1＋ 2×1＝3；当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点B(1,2)时获得最大值，最大值1＋ 2×2＝ 5.1所以 x ＋2y ∈ [3,5] ，于是要使 m ≤x ＋ 2y 恒成立，只需 11m 的取值范围是 (－ ∞， 0)∪ 1≤3，解得m ≥ 或 m ＜0，即实数 ,m33【答案】 (－∞，0)∪1,3。
