第十八讲中学数学基本能力的培养 (13)

初中数学教学中不要忽视基本能力的培养中午休息和几位教师在办公室闲聊。

忽然一位物理教师问我：“杨老师，现在有了计算机、计算器是不是数学课就不让学生学习约分了？” “要学啊，在小学的分数计算和初中的分式运算中，都对约分进行了专门学习。

怎么有问题吗？” 我十分诧异，于是茫然地问道。

“是这样的，刚才我在辅导学生作业时，发现了一个问题：不管是优秀学生还是后进的学生在完成计算时，无论多么简单的计算问题，无一例外地都是采用列竖式来计算。

比如：计算电阻R时，居然也都是用竖式来进行计算的。

”物理教师听了我的话道出了他心中的疑惑。

物理老师的一番话让我感触很深，数学和语文、英语一样作为工具性的基础学科，在中考中占了120分，高考中占了150分，应该说这充分体现了国家对基础教育中“基础”二字的重视。

然而，在新的数学教育理念和数学教育功利因素的直接或间接影响下，我们大量的数学教师教学中只强调了“高、难、怪、新”，忽视或者说淡化了学生数学基本能力的培养。

数学作为工具性的基础学科，在小学、初中与高中等基础教育中，都以培养学生的良好学习习惯和数学基本能力为主，也只有这样才能完成社会所赋予我们基础教育中数学教育的历史使命。

笔者认为：在基础教育的初中数学教学中，以下几种基本能力的培养是我们所有的数学教师都不容忽视的。

一、约分能力约分是教学大纲中要求学生必须具备的一种基本能力。

小学数学教材中的分数计算和初中数学教材中的分式运算中，对约分都进行了专门的学习。

学会了约分能避免复杂、繁重的乘除运算，同时也能减少运算中出现错误的机会，使学习更加高效、计算更加快捷。

平时我们数学教师教学中，除了在专门学习分数约分和分式约分时，对如何进行约分和约分的条件与学生进行了具体的探究外，以后的教学中也用到了分数、分式的约分。

但我们在用到约分时，往往一笔带过，而没有加以特别的提示和强调，也没有使学生养成约分的良好习惯，从而使学生把约分上升为一种能力，出现前面物理教师所说的24除以100都要用列竖式来计算的奇异现象也就不足为怪了。

论中学数学基本能力的培养中学数学的教学目标就是加强数学基础知识的教学和基础能力的培养，培养学生对数学的学习兴趣、态度和良好的价值观，为终身学习奠定基础。

中学数学基本能力包括运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。

一、运算能力的培养中学数学的运算包括数的计算、式的恒等变形、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值、各种几何量的测量与计算、数列和函数极限及集合、微积分、概率统计的初步计算等。

在培养学生正确迅速的运算能力时应做到：1、加强基础知识的教学。

在教学中要求学生透彻理解和牢固掌握各种运算所需要的数学概念、性质、公式、定理、公理、法则等数学知识，这是提高学生运算能力的基础。

例如，在学习二次根式的运算时，要使学生正确理解二次根式的概念——正数和零的算术平方根；同时要牢固掌握有关运算的各种公式，否则就会造成“（a-2）2=a-2”的错误。

在培养学生运算能力的过程中，不仅要重视算法和结果，还要重视运算的推理过程，在运算练习时，使学生做到“言必有据”。

例如，对任意实数a＜b，则5a﹤5b，有的学生的证明为：因为当a=2、b=3时，5253，所以对任意实数ab有5a5b。

这种证明是错误的，是“偷换论题，以特殊代一般”。

2、加强基本技能和技巧的训练。

口算与速算是数学的基本技能，是提高运算能力的有效手段之一，在教学中加强这方面的训练，可以节省时间和精力，达到迅速运算的目的。

这就要求学生熟悉一些常用的数据和主要结论。

例如在计算152、252、352……时，让学生掌握其速算方法，就是先写上25，在25的前面写上比十位数大1的数与十位数上的数的乘积。

学生掌握了其方法后就能快速地口算出此类数的值。

再如解方程（x-）（x-1）+1=x，常规解法是去分母，去括号，较为繁琐。

从整体上观察方程的结构，把方程右边的x移到左边与1结合，进行因式分解，便得到一元一次方程和一元二次方程，解法就比较简便。

因此在数学教学中，要使学生把主要精力用到掌握运算规律上，对常用的技能技巧给予学生足够的练习，提高运算的迅速性、正确性。

浅谈中学数学教学中学生能力的培养中学数学教学中学生能力的培养是为了提高学生在学习数学知识方面及在实践活动中取得更好的学习成果，从而更好地满足学生的学习需要，本文旨在论述学生能力的培养的重要性以及提出培养学生能力的方法。

首先，可以从学生能力的定义入手，学生能力可以理解为学生在学习中获得结果的能力，它反映出学生的学习水平、思维能力、技能及素养水平等。

培养学生的能力对学生的未来发展至关重要，它不仅为学生提供了一个良好的学习环境，而且可以提高学生学习数学知识的热情，帮助学生发展出良好的学习习惯，培养学生的自主学习能力，使学生能够更好地理解和掌握数学的知识。

其次，在培养学生数学能力的同时也要注意学业的多元化，多元化学业对学生获得全面发展和增长具有重要意义。

学业多元化可以刺激学生发展多方面的能力，提高素质，以实现学生全面发展。

此外，教师也可以采取一些措施来培养学生数学能力，首先教师应在课堂中营造一个舒适的家庭氛围，让学生信任教师，全身心投入学习，使学生对数学拥有更好的热情，从而使学生能够更好地理解数学，激发学生的学习热情，促进学习成果的取得。

其次，教师在课堂中应尽量向学生进行实践演示，使学生能够更深刻地理解其所学的数学知识，可以采取形象的、直观的、具体的方法来让学生更容易理解数学，从而促进数学能力的培养。

最后，可以安排一些数学活动，如数学竞赛、数学游戏、数学谜题等，这些活动有助于学生更有趣地学习数学，从而激发学生的学习兴趣，建立自信心，培养他们更强的分析问题、解决问题的能力，逐步提高他们的解题能力。

综上所述，学生在学习数学过程中，培养学生数学能力对于学生的学习及未来发展很重要，教师及家长在此过程中应尽量促进学生的兴趣，给学生创造良好的学习环境，培养学生多角度的能力，注重学生多方面发展，在课堂上进行实践演示，安排一些实践活动，以激发学生学习数学的热情，帮助学生更好地掌握数学知识，最后为学生的未来发展奠定坚实的基础。

浅析初中数学基本能力的培养中学生的能力是多方面的，可以是运动能力，语言能力 ，生活能力，交际能力等，但在这里我要阐述的是中学生在数学方面的基本能力，学数学是为了更好地用数学，只有掌握了数学方面的基本能力，我们所培养出来的学生才能更好地适应社会，融入社会，建设社会，从而达到建设和谐社会的目的。

下面我从以下几点谈谈如何培养学生好的数学基本能力。

一、运算能力的培养运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．上面都是对运算比较广义的理解，因此我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．所以，培养学生正确和迅速的运算能力是整个初中数学教学中的任务．如何培养学生运算能力,我认为可以从以下几个方面去做1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则，如2010年中考试卷中选择题第2小题：计算x x )2(3的结果正确的是（ ）A ）28xB ）26xC ）38xD ）36x 很明显这里就是考察学生对于整式除法法则的掌握程度。

2、提高记忆能力，加强运算基本功训练。

数学中也有不少需要记忆的定义，定理，规则，这些都要用心去记，通过大量训练达到记忆的效果。

二、 空间想象能力的培养想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中，时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，比如在初中数学第十四章节中说到用图象法求解二元一次方程组中，运用图形为学生的想象提供了一个非常好的平台，把复杂的问题简单化．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：1、学好有关空间形式的基础知识想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．如2010年中考试卷中选择题的第5题：如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是本题目就要求学生能够充分发挥想象去解答，考试现场不会有这些实物的模型供学生参考，所以只有在平时充分培养学生的空间想象能力，才能使他们在考试中展现自我。

中学生数学能力的培养【摘要】:中学生数学能力的培养是中学数学的主要教学目标之一,当前数学的教育改革是以提高学生的数学能力作为主要方向的。

如何提高学生的数学能力也一直是广大基础教育工作者关心的问题。

【关键词】:能力主体性说数学探索数学是一种语言,是认识世界必不可少的方法。

要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,形成用数学的意识,在教学中应培养学生各方面的能力:一、培养学生应用数学的能力数学概念和数学规律大多是由实际问题抽象出来的,因而在进行数学概念和数学规律的教学中,我们不应当只是单纯地向学生讲授这些数学知识,而忽视对其原型的分析和抽象。

我们应当从实际事例或学生已有知识出发,逐步引导学生对原型加以抽象、概括,弄清知识的抽象过程,了解它们的用途和适用范围,从而使学生形成对学数学、用数学所必须遵循的途径的认识。

这不仅能加深学生对知识的理解和记忆,而且激发学生学数学的兴趣、增强学生用数学的意识。

二、培养建立数学模型的能力建立适当数学模型,是利用数学解决实际问题的前提。

建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步。

解应用题,特别是解综合性较强的应用题的过程,实际上就是建造一个数学模型的过程。

在教学中,我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练,也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题(如利息、股票、利润、人口等问题)。

三、培养学生运用数学解决实际问题的能力在教学中,可根据教学内容,组织学生参加社会实践活动,为学生创造运用数学的环境,引导学生亲手操作,如测量、市场调查和分析、企业成本和利润的核算等。

把学数学和用数学结合起来,使学生在实践中体验用数学的快乐,学会用数学解决身边的实际问题,达到培养学生用数学的能力的目的。

四、培养学生的思维能力为了促进学生思维能力的发展,我们必须高度关注学生在数学学习过程中的思维活动,必须研究思维活动的发展规律,研究思维的有关类型和功能、结构、内在联系及其在数学教学中所起的作用。

初中数学教学中如何培养学生的基本能力现代人们在生活和学习中，数学史非常重要的工具。

作为当前的数学教师，在教学中要力求让学生深切体会到数学与生活的密切联系，让学生学会从数学的角度对生活中的现象进行观察和实践，变成实际问题，然后通过假设、推理、实践等方式，培养学生的求知意识，使学生能基本学会运用所学知识和技能解决问题，发展数学应用意识。

在数学课堂中，如何培养学生发现问题并能解决解决问题，现在谈谈我对这个问题谈一些认识和看法。

一、参与社会生活保持密切联系每个学生都有对新异事物进行探究的一种心理倾向，可以推动学生主动积极地观察世界认识世界，这是人的创造性思维的源泉。

数学离不开生活，生活离不开数学。

数学课堂教学必须与学生的现实生活密切联系起来，让课堂生活化，生活课堂化，每个教师都应当应引导学生去感受生活中的数学，找到数学生活的源泉，激发每个学生深入了解和掌握数学知识的兴趣和欲望。

课堂上抓住二者的联系，使学生借助已有的生活实践主动参与课堂并提出问题，通过假设、猜想、判断、动手、回顾等记录信息并进行分析讨论，从生活现象中得到启示并获得知识，学会学习，学会生活。

二、发挥学生的学习积极性和主动性学生学习有明确的目标，态度的端正，主动地习惯是对提高学习积极性、可以促进学生去主动解决问题并能的长时间坚持下去。

教师要尽一切可创设各种社会机会与生活情景，反复向学生进行学习数学的重要性和必要性的教育，充分让学生明确学习数学对自己和对社会的重要意义。

同时，要发挥好情感态度价值观的积极作用，培养学生的兴趣信念和信心。

现在的课堂教学是教师和学生的双向互动，教学过程体现的是知识引导发现和获取的过程，同事也是师生情感交流的过程。

每一位教师要学会营造民主平等的情感氛围，培养良好的师生关系与愉快的课堂教学氛围是使学生敢于参与的课堂先决条件，学生只有在轻松愉快的课堂的氛围下，在喜欢所教老师的前提下，才会乐于参与该科目学习并取得学习成果。

此外，教师要正确合理地评价学生的问题解决的过程。

浅谈数学课堂教学中学生数学能力的培养一、激发学生的兴趣激发学生对数学的兴趣是培养学生数学能力的第一步。

数学课堂应该设计生动有趣的教学内容，通过引入生活、激发好奇心，让学生主动地探索数学的奥妙。

教师可以在课堂上设置趣味性的数学问题，引导学生思考，让学生在思考和探索中产生愉悦感，从而培养他们对数学的积极态度和浓厚的兴趣。

数学教师应该注重培养学生的自主学习意识，让学生在课后自行去探索、思考和学习。

可以鼓励学生自主构建数学模型、设计数学实验等，让学生在实际的操作中感受数学的魅力，培养学生探索、思考和解决问题的能力。

二、培养学生的数学思维能力数学思维是数学能力的核心。

在数学课堂教学中，教师要注重培养学生的数学思维能力，引导学生多角度思考问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

数学教师可以通过举一反三的教学方法，引导学生进行启发式学习，让学生在解决问题中不断地思考、总结和归纳，从而提高他们的数学思维能力。

数学课堂上还可以注重培养学生的创新意识，鼓励学生运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生的发现问题、解决问题的能力。

教师可以给学生一些开放性的问题，让学生自由发挥，鼓励他们多种解法，培养他们的创新思维。

三、注重实践应用数学是一门既抽象又实际的学科。

在数学课堂教学中，教师应该注重实践应用，让学生了解数学在实际生活中的应用价值，培养学生的实际问题解决能力。

教师可以通过案例分析、真实问题的拓展、实验探究等方式，让学生将所学的数学知识与实际生活相结合，增强学生对数学的实际应用能力。

四、强化基础知识数学是一个层层递进的学科，基础知识是学习数学的关键。

在数学课堂教学中，教师应该注重强化学生的数学基础知识，打好数学基础，培养学生的数学思维能力。

只有在扎实的基础知识上，学生才能更好地提高数学能力。

教师可以通过系统化的知识点讲解、图表案例展示、错题讲解等方式，帮助学生打牢数学基础，从而提高他们的数学能力。

五、评价方式和激励机制在数学课堂教学中，教师要注重评价方式和激励机制的建立，激励学生积极学习数学，提高他们的数学能力。

中学数学教育中能力的培养当今人们在教育的实践中实现了认识上的转变，而在能力的培养方面应该注重学生的观察能力、直觉思维能力、想象力和自信力的培养。

现在教育由于对这些能力长期得不到重视，导致学生在学习数学的过程中对数学的本质造成了误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的信心，从而丧失数学学习的兴趣。

1直觉思维能力的培养数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟与洞察。

一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。

徐利治教援指出“数学直觉是可以后天培养的。

”1.1扎实的基础是产生直觉的源泉。

直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。

若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。

1.2重视解题教学。

教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维能力。

2自学能力的培养我们知道兴趣是激发学生学习最好的老师，由其对B层次班，培养学生学习兴趣能把学生潜在学习积极性充分调动起来，把“要我学”变成“我要学”就能减少厌学面，提高教学质量。

因此，在教学中我重视这方面的能力培养。

例如，在讲解“整式的加减”时，我没有急于给学生讲解例题，讲解法则应用，而是利用直观教具、采取数形结合。

首先从教材中的引例入手，让学生用火柴棍摆成“小屋子”给学生建立单项式、多项式的概念，教师再引导学生自己根据生活中的感悟，利用生活中的实例知道单项式与多项式之间存在什么联系。

教师再结合教材。

让学生自己学习例题，从中自己总结出“整式加减”运算实质上就是去括号，移项合并同类项。

通过这样学习，探索运算性质的过程，不仅培养学生观察能力，分析能力，知识衔接能力，而且让学生亲自尝试第一步运算推理过程，加深学生对法则的理解和记忆，训练学生有条理的思考和语言的表达能力，增强学生知识迁移的能力。

3自信力的培养学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅力，其二是数学本身的魅力。

浅谈初中学生数学基本能力的培养1.加强基础知识教学。

数学的理论是数学运算的基础，只有正确理解有关的数学概念，切实掌握有关的数学定理、公式、法则，才能为运算指明方向、开拓思想、提供依据，才有可能取得正确迅速的运算结果。

2.加强基本技能的训练。

⑴加强口算与速算的训练。

⑵熟记一些常用数据。

⑶养成验算的习惯。

⑷讲究训练的层次。

⑸掌握运算的通用法则。

一般应当要求学生掌握运算程序通则。

数学运算，大多是混合进行，在混合运算中，学生必须记牢以下程序通则：①先行高级后低级，如四则混合运算中要求先乘除后加减；②先内层后外层，如运算含有多层括号的算式，应该先脱内层括号，再脱外层括号；③先局部后整体；④先化简再代值。

二、逻辑思维能力的培养1.让学生观察问题、发现问题。

所谓观察是指在自然条件下按照客观事物本身的现象和特征，研究和确定它们的性质和关系的思维方法。

观察是思维的起点，是学生增长知识的重要途径，是认识事物的基础。

观察可开拓思路，启发和活跃思维。

观察能力是一种重要的数学能力。

2.让学生学会联想。

①接近联想，即形态或性质相近的事物，可由一种事物联想到另一种事物，如一元一次方程和一元一次不等式、一元二次方程和一元二次不等式，在形式与结构方面比较接近。

②类比联想，如在学习代数分式的意义和性质时，可联想到分数的意义和性质；学习三角形相似的判定时，可联想到三角形全等的判定。

3.让学生学会通过变式发展思维。

变式是指变换问题的条件，而问题的实质不变，它是思维不断深化的重要方法之一，有式子变式、图形变式两种。

①式子变式：是改变问题的已知条件或结论，而问题实质不变。

如求解二次方程x2+y2＝0的解后，要求学生解x+y+1＋x-y+1＝0。

②图形变式：图形由标准位置可以改变为非标准位置，可由标准图形改变为非标准图形。

如学习等腰三角形的概念，可画出多种位置的等腰三角形让学生观察。

第一图形是标准位置，其它几种不是标准位置，可让学生从不同的方向、位置来认识等腰三角形，从本质上去掌握它的概念。

数学基本能力的培养作者：陈彪来源：《新课程·中旬》2012年第03期培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和猜想能力，逐步形成运用数学来分析和解决实际问题的能力是中学数学教学目标的重要组成部分。

要求通过数学基础知识的教学和基本技能的训练来培养学生的基本能力，并使学生逐步掌握数学中的一些思想、方法，培养学生把实际问题转化为数学问题并加以合理解决的能力。

另外，由于数学科技发展速度的加快，特别是电子计算机的应用日益广泛，致使数学教学内容更新的速度也要加快。

适应这种发展趋势，需要加强对学生基本能力的培养，即要求遵循认识规律，通过恰当的教学和训练，不仅使学生获得知识和技能，而且能培养学生的数学基本能力，从而有助于学生更快地去获得和运用知识。

培养学生的基本能力是一件长期、细致的教学工作。

下面谈谈我的做法。

一、逻辑思维能力的培养逻辑思维包括概念、判断、推理等基本思维形式和证明等思维过程。

逻辑思维能力是能进行正确、合理的思考的能力。

由于逻辑思维能力是数学中其他能力的核心，运算、想象、观察、记忆等都离不开逻辑思维能力。

因此，必须重视逻辑思维能力的培养。

又因为数学本身就是逻辑性强、结构严谨的学科，也为培养这种能力提供了有利条件。

此外，也要注意到从形象思维到逻辑思维是青少年心理发展的一个特征，教学时还必须与学生的年龄特征结合起来，既利用他们的心理特征又要注意提高他们的心理素质。

下面，就培养学生逻辑思维能力问题谈几点看法。

1．平面几何是一门比较“典型”的逻辑模型结合教材内容，有机地结合形式逻辑中的有关部分，进行逻辑思维的培养是有利的，也是可行的。

为此，教学中应注意以下几点：（1）要有意识地从初一代数教学就开始培养学生的逻辑思维能力，到学几何时就有了一定的基础，这样做也有利于解决学几何的“开头难”问题。

（2）要注意解决几何开头难的问题，其中要特别注意解决语言难在解决推理难的过程中的作用。

（3）教学中要适当地渗透一些有关逻辑学的基本知识。

初中数学教学能力的培养数学是一门重要的学科，对于学生的综合素质和学习能力的培养具有重要作用。

而初中数学教师作为学生数学学习的引路人，其教学能力的培养显得尤为重要。

本文将探讨如何培养初中数学教师的教学能力，并提供一些实用的方法和策略。

一、拓宽数学知识面毫无疑问，作为数学教师，掌握扎实的数学知识是必不可少的。

初中数学教师应该具备全面、扎实的数学知识背景，包括数学基本原理、定律、公式等。

因此，初中数学教师需要不断学习和提高自己的数学知识，及时了解数学领域的新理论、新发展，拓宽自己的数学知识面。

二、提高教学设计能力教学设计是数学教师教学工作的核心。

初中数学教师要善于设计教学内容、教学方法、教学手段等，使学生在有效的学习环境中发展数学思维，提高数学素养。

因此，初中数学教师需要具备良好的教学设计能力，包括合理设置教学目标、选择适当的教学方法、设计富有启发性的教学活动等。

三、激发学生的学习兴趣学生的学习兴趣直接影响他们对数学的学习态度和学习效果。

因此，初中数学教师需要善于激发学生的学习兴趣，使数学变得有趣而有意义。

初中数学教师可以通过布置有趣的数学问题、引导学生自主探究数学知识、设计数学游戏等方式，积极培养学生对数学的兴趣，提高他们的学习积极性。

四、注重实践教学理论学习和实践教学相结合是培养初中数学教师能力的有效方式。

初中数学教师需要通过实践教学使自己的教学理念与实际教学紧密结合，不断调整和改进教学方法和策略。

同时，初中数学教师可以通过参加教学研讨会、观摩优秀教师课堂等方式，借鉴他人的教学经验，提高自身的教学水平。

五、关注个性化教学不同的学生有不同的学习特点和能力水平，因此初中数学教师需要关注个性化教学。

初中数学教师可以通过分层次、分组等方式，根据学生的实际情况进行分组教学，满足学生个性化学习需求。

同时，初中数学教师还可以通过提供不同形式的辅导材料、使用多媒体教学手段等，满足学生的多样化学习需求。

总之，培养初中数学教师的教学能力是一项重要而复杂的任务。

第十八讲中学数学基本能力的培养教学目的：通过学习，使学生掌握在教学中如何培养三种能力，即如何培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力等。

教学内容：1、运算能力的培养。

2、空间想象能力的培养。

3、分析和解决实际问题的能力培养。

4、逻辑思维能力的培养。

教学重、难点：三种能力的培养既是重点又是难点。

教学方法：讲授法教学过程：一、运算能力的培养18．1.1 什么是运算能力运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．因此，培养学生正确和迅速的运算能力是整个中学数学教学中的任务．18.1.2 培养学生运算能力的基本途径怎样才能使学生具有正确迅速的运算能力呢？在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算，由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好.总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练，即精心选择一部分习题，让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径．1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习，常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准”．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”，“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性，也形成不了什么运算能力．例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现523121=+之类的笑话．因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．例2 如化简()10tan 3150sin +⋅，则需要灵活运用和角三角函数公式来进行推理，计算如下： 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=10cos 10sin 60cos 60sin 150sin 10cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 50sin +=()10cos 60cos 1060cos 50sin -⋅=10cos 2150cos 50sin =110cos 10cos 10cos 100sin ===这里，三角函数公式的应用，恒等变形的使用都给培养正确的、迅速的运算能力提供了前提．例3 如解方程()21lg 2=-x ，首先应该知道方程的解域是1≠x ，再进行同解变形得()100lg 1lg 2=-x 从而有（x -1）2＝100，解此方程得x ＝11或x = -9但要注意，如果把原方程变为：()()11lg 21lg 2=-⇒=-x x由于未知数取值范围缩小为x ＞1，于是产生减根．显见这种解法是错的．在例2和例3的运算过程中，每步推导都是依理进行的．事实上，在培养运算能力的过程中，逻辑思维能力的培养也在其中了．例4 实系数方程013=++mx x 的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则m 的值的是：（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 答案（ ）解 因为三点不可能都在实数轴上，所以方程至少有一个虚根，又因为实系数为一元三次方程，故必有一个实根．设三根为α，a+bi ，a-bi （α、a 、b ∈R ，α≠0）它们的对应点分别为A （α,0），B （a,b ），C （a,-b ），其中A 在实轴上．由韦达定理，可得α+（a+bi ）（a-bi ）＝0所以：α＝-2a故A 与B 、C 位于y 轴两侧．设B 、C 连线交x 轴于D 点，则有|OD|=|a||OA|＝|-2a|＝2|a|所以O 为ΔABC 的中心．|OB|＝2|a|，a 2+b 2＝4a 2 ∴b ＝±3a所以三根为-2|a|，a （1+3i ），a （1-3i ）又因为（-2a ）a （1+3i ）a （1-3i ）＝-1解得a=21，则α＝-2a ＝-1 将α＝-1代入原方程，得（-1）3＋m （-1）＋1＝0，故m=0，故选择（B ）．本题推理丝丝入扣，逻辑严谨．各步判断有根有据，然而各步判断均和计算结果直接相关．由此可见运算能力的培养有助于推理判断能力的培养．除此，运算能力的培养在运算型的证明题中也能得到较好的体现．总而言之，在运算过程中，“言之有据”是应该遵循的重要原则之一．下面再举一例，以说明在逻辑运算中，也必须弄通算理，才能使运算达到正确迅速．例5 某年级先后举行数、理、化三种竞赛，学生中至少参加一科的：数学201人，物理177人，化学163人；参加两科的：数学、物理141人，数学、化学114人，物理、化学95人；三科都参加的87人．问参加竞赛的学生总数是多少？解 这是一道涉及到逻辑运算的运算题．如学生弄不通算理，如学生弄不通算理，不懂逻辑运算法则，还照以往代数中的运算一样去运算，即将各类竞赛者一加求和了事，那就出现错误了．所以说，一些与运算相关的新的数学概念、法则、公式的引入都需要加以格外留意，以免在运算过程中，因算理不通，铸成谬误．对本题可作如下解答：设A 、B 、C 分别表示参加数学、物理化学每一科竞赛学生的集合（如图5-1）,并且以n （S ）表示有限集合S 的元素个数．则有 n （A ∪B ∪C ）=n （A ）+n （B ）+n （C ）-n （A ∩B ）-n （A ∩C ）-n （B ∩C ）+n （A ∩B ∩C ）=201+177+163-141-114-95+87=2782、提高记忆能力，加强运算基本功训练 培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．（1）在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i ）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；ii ）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：5.021=、25.041=、75.043=、125.081=等等． （2）在初中阶段，作为运算的基本功主要是：i ）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运A ∩CA ∩BB ∩C A ∩B ∩C B A C 图18-1算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．ii ）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：a 、多位数与一位数相乘，直接得积；b 、1－20的平方数，1－10的立方数．c 、将被开方数化为质因数乘积求方根；d 、特殊角的三角函数值；角度制与弧度制互换．e 、乘法公式．（3）在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算；还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：i ）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．ii ）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度．例如：1log =a a ，01log =a ，（0>a 且1≠a ）；()βαβαβα +=+sin cos cos sin sin ； e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ；1sin lim 0=→x x x ； 微积分基本公式等．为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．下面选一组指数、对数的基础练习和一组心算练习题，供参考．i ）化简计算：①()()()222314.3----- π； ②843333⋅⋅；③113243--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-； ④8lg 3236.0lg 23lg 38lg 2+++．ii ）比较大小 ①π⎪⎭⎫ ⎝⎛21，13.321⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②25.0log ，55.0log ；③ 80cos ，1lg ； ④8log 2，3； ⑤32log 32，234-⎪⎭⎫ ⎝⎛-； ⑥12log 3，12log 10． iii ）求函数的定义域； ①4lg -=x y ； ②()x y lg lg =；③()x y +=1log 12； ④13log 2-=x y ． iv ）求值：①已知lg x ＝6，lg y ＝3，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅322lg y x x y 的值． ②已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求318lg 的值．③已知ΔABC 中，∠C ＝90°，三边长a 、b 、c ，求()()b c c b a a -++log log ． v ）解方程：①x x x 36124=+； ②102tan 2x x x =-． 心算练习题：①a 为实数，a 2永远为正数，对吗？②代数式2+x 2的值，最小可能是几？③代数式1－y 2的值，最大可能是几？ ④211x +的值能否大于1？为什么？ ⑤下列哪些式子相等，哪些不相等；a 、62·64与68；b 、（24）3与212；c 、（2·3·5）2与22·32·52；d 、（-7·14）4与-74·144．⑥“a 加b 平方”与“a 与b 和的平方”意思一样吗？分别写出表达式来． ⑦若3x <x ，x 的值会怎样？⑧想出一个数c ，使c 2＞c 而2c <c ．⑨方程11616-+=-+x x x x 与166+=+x x 是否同解？ ⑩为什么方程组⎩⎨⎧=+=+3221y x y x 无解？ 练好运算的基本功，并使运算具有一定的速度，是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的．3、加强运算练习，培养学生的运算能力我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的，提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧，而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率，即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．例如计算()()41022551025++⋅-+． 有观察习惯的人绝不一见题就用乘法分配律展开，而是对55、22都含有11具有“好奇心”，并接着会想从第一个因式中提取公因式5，从第二个因式中提取公因式2，看它们会变成什么样子？即 原式＝()()225112112255++⋅-+至此，就容易进一步想到用乘法公式作进一步的化简了．由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解”之中一般总有较为简捷的解法．经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解”的训练，可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了，行动上才能“迅速”起来；只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求，才能使学生学到运算技能和技巧，得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力，进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，而对教师来说是可能感知过的．在低年级，一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算”而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法”，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较，看哪种解法最为简捷．例6 化简3181434313128⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⋅⋅⋅--a x a x a ．分析 这是一道根指数，分数指数的综合运算题，首先要确定统一成哪种指数形式进行运算较为简捷． 原式＝18616161213111=⋅⋅+--+--x a ．例7 已知直角三角形两直角边的长分别为5cm 和12cm ，求斜边上的高． 解 若用射影定理计算高就繁了．所以先求斜边长，得1312522=+，再由面积相等求出斜边上的高为138413512=⨯． 例8 已知51-=x ，求314524+--x x x 的值．分析 若用51-=x 直接代入求值就太繁了．所以，我们改变一个角度，由51-=x 得51=-x ，所以5122=+-x x ，422+=x x ，所以1616424++=x x x ，把它代入原式，则问题就解决了．解 由51-=x ，得51=-x ，所以422+=x x ，1616424++=x x x ，所以原式31451616422+--++=x x x x151********=+++-=++-=x x x x ．以上三例都显示了简捷运算的优点．但这种简捷运算的获得，是经过认真分析，进行选择的结果，这个过程，一题多解的思想已包含在其中了．采用多样化方法解题，不但可以发展学生的思维能力与运算能力，而且还可以提高学生的学习积极性，培养创造精神．为了提倡“一题多解”，在教学中教师要经常进行“一题多解”的典型示范，同时引导学生判断哪种方法较简捷，从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．对于学生有创见的解法，也要善于引导，爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．例9 计算 15sin 15cos +． 解①原式＝2630cos 45sin 275sin 15sin ==+ ； ②原式＝()264515sin 215cos 2115sin 212=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ； ③原式＝()2630sin 115cos 15sin 2115cos 15sin 2=+=+=+ ； ④原式＝432432230cos 1230cos 1++-=++-()()()()264132413281381322=++-=++-=． 显然解法①是最简捷的，但解法③也很巧妙．例5 已知ax 4+bx 3+1能被（x -1）2整除，求a 、b 之值．解法一用竖式除法，即得余式为 （3b +4a ）x +（1-2b -3a ）＝0解得 a =3，b =-4解法二用比较系数法．令()()r qx px x bx ax ++-=++223411 将等号右边展开，两边比较系数，解方程组得：a =3，b ＝-4，p ＝3，q ＝2，r ＝1，例4、例5 在完成运算之后可知有较简捷算法存在，而例1、例2、例3是在未完成运算之前就作出合理选择，从而采用了简捷算法，实质上，前3例也进行了“一题多解”的思维过程，只不过表述成文字的是一种简捷的算法．运算能力形成的重要性，不仅仅在于它能够从事一系列的运算，甚至具有一定的技能技巧，而更重要地在于它能帮助人们去开拓新知识领域．例10 计算 1＋2＋3＋……＋100这是历史上很有名的一道题．据说高斯在六岁的时候，就以老师不敢相信的速度得出了正确的答案5050．高斯是如何进行运算的呢？我们可以推测，他可能是观察之后，发现了1＋100＝2＋99＝……＝50＋51，然后利用加法的交换律、结合律及乘法的定义进行运算的，即1＋2＋3＋……＋100＝（1＋100）+（2＋99）+……+（50＋51）＝101＋101＋……＋101＝101×50＝5050所用知识是有限的，是人所共知的，然而他将这些知识选择，组合的方法是别有洞天的．再朝前走一步，自然数列求和公式不就应运而生了吗？例11 求自然数倒数平方的级数和：++++16191411…… 解 这是数学家伯努利（Bernoulli ，1654－1705）的一个级数求和难题，伯努利是17世纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人，对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献，但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数和．于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未见到有人解出此难题．这个难题过了数十年之后才由欧拉解答出来．在这里欧拉巧妙地利用了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出了伯努利所未能找到的级数和．首先，对于只含偶数次项的2n次代数方程-+-4221xbxbb……()012=-+nnn xb，（0≠b）假设有2n个互不相同的根：,,,,2211ββββ--……nnββ-,,．则得-+-4221xbxbb……()nnn xb21-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22221211ββxxb……⎪⎪⎭⎫⎝⎛-221nxβ把乘积展开出来，易见x2项的系数为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=222211111nbbβββ以上所述为一般代数方程式论中的初等知识．欧拉又考虑了三角方程：+-+-=!7!5!31sin642xxxxx 0=他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方程．由于此方程含有相异根π±，π2±，π3±……于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n次多项式分解成乘积的形式，把这里出现的所谓无限次多项式也照样分解成因式乘积形式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=πππ91411sin22222xxxxx……这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来，再把右边的乘积展开，便发现x2项的系数是：++++=222216191411!31ππππ……即++++16191411……62π=．奇迹出现了．在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的．二、空间想象能力的培养18．2．1、什么是空间想象能力想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中，时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，例如导数和定积分概念就是这样，特别是复数的几何意义的获得，对复数的研究更起了重大的作用．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．空间想象能力的培养应当包括哪些要求？一般认为大体上包括下列三个方面的要求：1、对于客观存在的空间形式，能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念．2、能将空间形式，按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式．3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题．18.2.2 培养学生空间想象能力的基本途径如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：1、学好有关空间形式的基础知识想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．对于某一图形所反映的空间形式，怎样使学生形成关于它的空间概念呢？一般认为，大致需要经过如下过程．（1）运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．（2）通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念的形象“具体化”．（3）研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性．（4）根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．例如：在“直线和平面”这一章的教学中，为了有步骤地培养学生的空间想象能力，首先要着重向学生指出现在研究的图形是在空间里，是空间图形，它和平面几何中学习的图形有着本质的区别．其次在教学中，应尽可能多地利用模型实物的直观性，并结合模型绘制草图；往后则逐渐有意识地减弱模型的作用，增强图形的作用；再后则完全不要模型，只利用图形，以培养学生通过图形来想象实际各种元素在空间的位置关系．最后，再进一步既不用模型，也不用图形，而能解决一些比较简单的问题（包括计算题、证明题和作图题），从而不断发展学生的空间想象能力．2、从事数学实习活动通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的重要途径．人们以现实世界中客观事物为观察研究对象，通过抽象，通过抽象概括，舍弃了诸多的特性，保留了数量关系和空间形式，这种数量关系和空间形式在人们给出了相应的表达方式之后，使人们能够见数、形就能想象出客观事物．或者见到客观事物可抽象出数、形．人们经常从事这种数学实习活动，无疑会加强空间想象能力．例如，在立体几何教学中，对物体或模型的直观分析，在机械制图的教学中通过活动影片来分析视图的性质，在解三角形的教学中测量不可及物体的“高深远近”，凡此种种，对培养学生的空间想象能力都会收到良好的效果．3、加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力在中学数学课里，不仅要研究图形及其性质，还要研究作图方法，而且要研究图形之间的联系以及数、形之间的联系．这些研究不仅要在一维空间中进行，而且要在二维、三维或高维抽象空间中进行．因此对学生加强下面的训练，将可以发展学生的空间想象能力．（1）研究同类图形之间的联系，丰富学生的空间想象能力在平面几何课里，最重要的图形是三角形和圆，在立体几何里最重要的基本图形是直线和平面．在教学中，在同类图形之间，研究其线面位置和量的关系，会有助于培养学生的空间想象能力．事实上，对各种位置和量的关系理解得越清楚，空间想象能力就越强．现举例如下：例12 延长等边△ABC的各边BA、CB、AC到D、E、F，使AD＝CF＝BE．求证：△DEF也为等边三角形（如图5－2所示）证因为AB＝BC＝CA， AD＝BE＝CF，所以AF＝BD＝CE， AD＝BE＝CF，又因为∠DAF＝∠EBD＝∠FCE＝180°－60°＝120°所以△DAF≌△EBD≌△FCE （SAS）所以DF＝ED＝EF，即△DEF为正三角形．E F图18-2例13 已知两圆相切，求证连心线垂直于过切点的公切线． 已知：如图5－3，⊙O 1和⊙O 2外切于P 点．AB 为过P 点的公切线． 求证：O 1O 2⊥AB ．证 分别连O 1P ，O 2P ，因为P 为切点，所以O 1P ⊥AB ，O 2P ⊥AB ，所以∠O 1PA+ ∠O 2PA=180°，故O 1，P ，O 2共线，所以O 1O 2⊥AB讨论：本题两圆相内切的情形，读者可以自己证明．例14 多面体中，线面间的位置和量的关系． 解 ①正棱柱a 、上下底面是对应边互相平行的全等的正多边形．b 、侧面是全等的矩形．c 、侧棱互相平行且相等．d 、两底面中心连线垂直于底面． ②平行六面体 a 、对面平行且平等．b 、对角线交于一点且在这点互相平分．c 、对角线的平方和等于各棱的平方和． ③长方体a 、对角线的平方等于长宽高的平方和．b 、体积等于长宽高之积． ④正棱锥 a 、各侧棱相等．b 、侧面为全等的等腰三角形．c 、斜高都相等．d 、顶点和底面中心的连线段和底面垂直．e 、高上任一点到底面各顶点、到各侧面的距离分别相等．f 、相邻侧面所成二面角都相等．g 、侧面和底面所成二面角都相等．h 、侧棱、高、底面半径组成一个以侧棱为弦的直角三角形．图18-3i 、斜高、高、底面边心距组成一个以斜高为弦的直角三角形． j 、侧棱、斜高、底面边长之半组成一个以侧棱为弦的直角三角形． ⑤正棱台a 、上下底面是相似正多边形．b 、侧棱都相等．c 、侧面为全等的等腰梯形．d 、斜高都相等．e 、两个底面中心连接线段和两底面垂直．f 、侧棱、高、上下底面半径组成一个直角梯形．g 、斜高、高、上下底面边心距组成一个直角梯形．h 、侧棱、斜高、上下底面边长之半组成一个直角梯形． （2）研究不同类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力圆和多边形的联系是平面几何中最主要的内容之一，大量的习题都与它们有关，在数学教学中应当引导学生重视这类问题的分析，并加以训练．例 15 已知：如图5－4所示，四边形ABCD 内接于⊙O ． 求证：AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC证 如图，作∠DAE ＝∠BAC ，E 在BD 上．在△DAE 和△CAB 中，∠DAE ＝∠CAB ，又因为∠EDA ＝∠BCA ，所以△DAE ∽△CAB ，所以CBDEAC AD =，即 AC ·DE=AD ·BC （1）在△ABE 和△ACD 中，∠ABE ＝∠ACD ，∠BAC ＝∠DAE ， 所以∠BAE ＝∠CAD ，所以△ABE ∽△CAD ，所以DCBEAC AB =，即 AC ·BE=AB ·CD （2）（1）＋（2）得AC （DE ＋BE ）＝AB ·CD ＋AD ·BC所以 AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC本题证明过程中，同弧上的圆周角相等这种关系的应用是十分重要的． 例16 直线a 和平面内α内的直线b 垂直，直线a和平面α的位置关系如图18-4。