数学建模野兔汇总.

饿狼追兔问题数学建模数学建模饿狼追兔问题摘要本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。

首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。

其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。

再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。

最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。

并将两种方法做相应比较。

结论：野兔可以安全回巢关键词：算法高阶常微分方程§1.1问题的提出在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。

图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（100，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。

建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度我v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。

建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。

（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼渔业突地运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，60）-野兔巢穴的上面还是下面。

兔子繁殖问题数学模型
兔子繁殖问题是一个经典的斐波那契数列问题。

在数学上，斐波那契数列是这样定义的：第一个数和第二个数分别是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。

斐波那契数列的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13，依次类推。

兔子繁殖问题的数学模型可以表示为以下递归关系式：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
其中，F(n)表示第n个月的兔子对数。

这个模型基于以下假设：
1. 每对兔子在出生后的第三个月开始繁殖。

2. 每对兔子每月繁殖出一对新的兔子。

3. 兔子总是雌雄成对出生。

通过这个模型，可以计算出兔子在任意月份的对数。

当n趋近于无穷大时，斐波那契数列的值将趋于一个无限大的极限，这就是著名的斐波那契数列的性质。

在实际应用中，斐波那契数列及其衍生问题广泛应用于生物学、经济学、计算机科学等领域。

例如，在计算机科学中，斐波那契数列常用于解决动态规划问题、回溯算法等问题。

数学建模一周论文野兔生长问题姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：2009年1月4日摘要：通过观察表格中野兔在连续九年的数量，利用所学数学知识分析得出野兔的生长规律，从而预测出第十年野兔的数量。

分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。

在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。

因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律。

模型里所给出的主要微分方程中有两个参数需要给出。

在给参数的过程中我们发现某些量值之间存在着线性函数关系式，利用计算机我求出了线性比例因子从而确定了所给出的参数。

在模型求解过程中，我们发现，对 logistic 模型赋予不同的参数会导模型的解在一定程度上的变化。

于是我们想知道参数在一定范围内的改变到底对解函数产生多大的影响？这个问题的探讨实际上是对解的可靠性的探讨，对题本身有较强的实践意义。

我们最终把这个问题归结为含参数的初值问题的微方程对初值的依赖性与对参数的依赖性问题。

在对问题的探讨中，我们避免了纯粹的数学理论，而是利用计算机给出模型的解函数在不同的初值条件下、不同参数下的表现，并利用Matlab绘制成图像，直观且清晰地反映出模型的解函数对参数与初值不同选取的表现。

在解决这个问题的途中，我们还利用到了计算方法课程所学到的知识，通过观察数据，利用插值法描出图像，近似得出函数，再得出第十年的野兔数量。

野兔生长模型1、问题重述这是一个关于野兔生长状态的模型。

我们知道研究一定空间内某一生物物种的种群数量随时间变化的规律是很有实践意义的。

通过发现规律，我们可以更有效的了解一个种群发展变化的趋势、种群对自然世界的依赖程度和种群自身的成长结构，对人类了解并掌握自然规律，利用与控制生物资源有较大意义。

人类自身作为地球上的一个物种，也在不断的探求自己的命运。

数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。

这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。

并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。

对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。

Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。

它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。

之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。

通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。

该结果比较符合客观规律。

利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。

实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。

问题重述1、兔子的自然死亡。

2、兔子天敌的种群变化。

3、各种疾病的蔓延。

4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。

野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。

《数学建模》(2014春)课程期末论文摘要（一）对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。

猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。

（二）对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。

关键词微分方程导数的几何意义猎狗追兔子数学建模数学软件一、问题重述如图1所示，有一只猎狗在B 点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m 的地方O 处，此时兔子开始以8m/s 的速度正向正西北方向，距离为150m 的洞口A 全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。

请回答下面的问题：⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ ⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程 是少？⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30m 时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半， 而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下回答前面两个问题。

二、问题分析与假设在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。

1.假设兔子的运动是匀速的。

2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。

3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。

4.猎狗运动时总是朝向兔子。

三、模型的建立及求解3.1 符号规定1.（x ，y ）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。

2. t ：从开始到问题结束经过的时间。

3. a:猎狗奔跑的路程。

4. v:猎狗的奔跑速度。

3.2 模型一的建立与求解猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹在OA 要有交点以OA 为y 轴，以OB 为x 轴建立坐标系，则由图有O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0点,而猎狗初始位置是B 点，t （s ）后猎狗到达了C （x ，y ），而兔子到达了D （0，8t ），则有CD 的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有：NW8dy y tdx x-=dav dt =da =三式联立消去t ，得到;228d y x dx v =设：8q v=若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB 之间运动时此方程有解，设：dyp dx = 22d y dp dxdx = 得到：dpdxq x =(250)0p =得到：()250qx p +=250()qp x -=-两式联立相加得到：1250[()()]2250q qdy x dx x =-(250)0y =1.如果q=1即v=8 m/s 得到21250[250ln()]2500250x x y -=-0,x y →→∞ 所以此情况无交点，所以v=8m/s 猎狗无法追上兔子； 2.如果q<1即v>8m/s 得到12250112502[()()]2125011q q x q y q q x q -=-++--22500,1qx y q →→- 此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要y<=150;解得到：1q ≤< 即8v ≥>所以这种情况下能够追上的最小速度是/s.3.如果q>1 利用上式得到0,x y →→∞，所以这种情况不能追上兔子。

一、问题重述和分析（二）野兔生长问题预测T=10 时野兔的数量。

根据数据中野兔生长数量增长规律， 对于生物增长模型， 我们可以考虑到logistic 模型，因为此种模型曲线是单调递增的，但是表格中明显不是单调的，于是可以分三段讨论，由统计数据可以客观得到如下结果：T=0、1、2、3时种群数量单调上升，对于生物增长模型可考虑到logistic 模型 T=3、4、5、6时种群数量单调递减，是一种反常现象，仍可考虑logistic 模型 T=6、7、8、9时种群数量单调上升，对于生物增长模型可考虑到logistic 模型野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。

然而通过读数据的观察发现。

野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。

第三年到第六年野兔的增长有异常现象，这四年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。

我们探讨了其中的因素：1、兔子的内部矛盾，兔子之间因为食物的减少而引发争斗2、天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁3、疾病的侵扰，在野兔种群中蔓延并流行疾病4、人类的捕杀与破坏。

二、模型的假设上述野兔生长问题，我们作出以下假设：1.假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的2.假设兔子没有受到传染性疾病的影响3.假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响4.假设野兔性别比接近1：1，且采用措施维持这个比列三、符号说明：)(1t x 连续三年中第一年兔子的数量：)(2t x 连续三年中第二年兔子的数量：)(3t x 连续三年中第二年兔子的数量x ： 表示兔子的数量 a ： 表示兔子的出生率b: 表示兔子的死亡率t ： 表示年份模型的分析与建立对于生物模型，首先考虑的是logistic 模型，考虑到logistic 模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。

数学建模一周论文（论文题目）姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：年月日摘要：根据某地区野兔连续十年统计量的曲线分布和野兔增长的一般规律，先找出野兔增长中的异常点，然后排除异常点，建立野兔增长的理论模型，然后应用理论于实际，基于现实问题进行运用和对t=10的推测。

首先，利用三次样条插值做出其原始图像，在假设条件下，遵循自然规律分析图像，找出并去除t=4,t=5,t=6这三个异常点；然后，利用微分方程分析法，先对t 到tt∆+年兔子增量和增长率a的关系进行分析，列出其微分方程，考虑到自然因素对野兔增长的影响，在前模型的基础上增加竞争项2bx-，重新建立模型；对其进一步分析并用原始值与理论之进行比较，进一步发现其中的问题：曲线不能很好地反映断层后野兔的增长趋势；最后，为了更好地反映t=7以后的野兔的增长规律，提出分段表示其增长趋势的思路：把异常点所在的年份作为“断层”，在其两侧分别采用微分方程对其建模，在异常点采用了多次连续“断层”的拟合方法对其求解，即先用三次多项式拟合其断层，并进一步对其函数，特别是其两端进行修正，以保证整个函数的连续性。

从而画出分段函数的图像，得出该地区野兔的生长规律，并以此预测第十年野兔的数量。

最后，函数以分段形式表示如下：()()(())771555.09688.235624.09949.1)3402.09285.2(4439.00255.030971.02885.15059.10234586.40<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+++-++≤≤+=--ttexxxtet ytt并由此计算出t=10年时野兔的数量为y= 10.6864万只。

关键字：微分方程分析法竞争项多次连续“断层”的拟合1问题的重述测T=10 时野兔的数量。

2问题的分析在自然界中野兔的增长受很多因素的影响，水、食物、或是自然灾害等都会对其产生一定的影响，这其中水和食物会对其产生恒久的制约作用，但不会影响其大体的增长趋势，它会使野兔增长到一定数量之后因为彼此的竞争而使其数量趋于一个稳定值；自然灾害则有可能对其产生致命的打击，导致其增长产生异常现象，而我们在研究其生长问题时应将其排除在外。

数学建模算法汇总数学建模常用的算法分类全国大学生数学建模竞赛中，常见的算法模型有以下30种：1.最小二乘法2.数值分析方法3.图论算法4.线性规划5.整数规划6.动态规划7.贪心算法8.分支定界法9.蒙特卡洛方法10.随机游走算法11.遗传算法12.粒子群算法13.神经网络算法14.人工智能算法15.模糊数学16.时间序列分析17.马尔可夫链18.决策树19.支持向量机20.朴素贝叶斯算法21.KNN算法22.AdaBoost算法23.集成学习算法24.梯度下降算法25.主成分分析26.回归分析27.聚类分析28.关联分析29.非线性优化30.深度学习算法一、线性回归：用于预测一个连续的输出变量。

线性回归是一种基本的统计学方法，用于建立一个自变量（或多个自变量）和一个因变量之间的线性关系模型，以预测一个连续的输出变量。

这个模型的形式可以表示为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε其中，y 是因变量（也称为响应变量），x1， x2， ...， xp 是自变量（也称为特征变量），β0，β1，β2， ...，βp 是线性回归模型的系数，ε 是误差项线性回归的目标是找到最优的系数β0, β1, β2, ...,βp，使得模型预测的值与真实值之间的误差最小。

这个误差通常用残差平方和来表示：RSS = Σ （yi - ŷi）^2其中，yi 是真实的因变量值，ŷi 是通过线性回归模型预测的因变量值。

线性回归模型的最小二乘估计法就是要找到一组系数，使得残差平方和最小。

线性回归可以通过多种方法来求解，其中最常用的方法是最小二乘法。

最小二乘法就是要找到一组系数，使得残差平方和最小。

最小二乘法可以通过矩阵运算来实现，具体地，系数的解可以表示为：β = （X'X）^（-1）X'y其中，X 是自变量的矩阵，包括一个截距项和所有自变量的值，y 是因变量的向量。

线性回归在实际中的应用非常广泛，比如在金融、医学、工程、社会科学等领域中，都可以使用线性回归来预测和分析数据。

实验报告一．实验名称：狐狸与野兔二．实验内容：在一个封闭的大草原生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足下列微分方程组 ：kx xy x dtdxxy x dt dxy xy dt dy--=-=-=02.0402.049.0001.0 (k>=0) (1).建立上述微分方程的轨迹线方程: F(x,y)=0 dx/dt=f(x,y)(2).在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态(3).建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果?对狐狸进行捕猎又会产生什么后果?三．实验目的：学习熟悉Mathmatica 的使用,理解人口模型与捕猎问题的建模与求解过程,了解在捕猎过程中两种生物的数量的变化以及其是怎么样达到平衡的.四．问题分析与建模方向: 用matlab 求解人们对野兔进行捕猎的问题。

当封闭(即不考虑人类因素)时:xy x dtdx y xy dt dy02.049.0001.0-=-=运用matlab 直接求解 当有人类干涉时:x k xy x dtdxy k y xy dtdy1202.049.0001.0--=--=）（人们对兔子进行捕猎，是人类捕猎狐狸的速度是人类捕猎野兔的速度022121==k k k k(只对狐狸进行捕猎的情况类此)在一小段时间内△y=△t(0.001xy-0.9y) △x=△t(4x-0.02xy) 则y=y+△y=y+△t(0.001xy-0.9y) x=x+△x=x+△t(4x-0.02xy)运用循环连续求解画出狐狸y,野兔x 与时间t 的曲线图五.算法与求解function sim_hulituzi_ex x0=920; y0=180; a=0.001; b=-0.9; c=4;e=20;f=0.5;delta_t=0.01;x=x0;y=y0;k=0;vec_t=delta_t:delta_t:100for cur_t=vec_t,k=k+1;y=y+(a*x*y+b*y-f*y)*delta_t;x=x+(c*x+d*x*y-e*x)*delta_t;vx(k)=x;vy(k)=y;if vx(end)<1 | vy(end)<1,disp (sprintf('结束时间：t=%10.2f,x=%6.0f,y=%6.0f',cur_t,x,y)) breakendendt=[0,delta_t:delta_t:cur_t]len1=length(t)len2=length([x0,vx])plot(t,[x0,vx],'r-*',t,[y0,vy],'k-o')xlabel('t(unit:day)')hold ontext(t(end)+delta_t*2,vx(end),'X') text(t(end)+delta_t*2,vy(end),'Y') hold offfigureplot(vx,vy,'-*')xlabel('Troop X')xlabel('Troop Y')六.结果以上情况为该草原在自然状况的图形关系，y为兔子，x为狐狸（狐狸初始为180，兔子为92）。

数学建模实验项目八狐狸与野兔问题数学建模实验项目八狐狸与野兔问题一、实验目的：1、认识微分方程的建模过程；2、认识微分方程的数值解法。

二、实验要求：1、熟练应用Matlab 的符号求解工具箱求解常微分方程；2、掌握机理分析建立微分方程的方法和步骤；3、提高Matlab 的编程应用技能。

三、实验内容及要求（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组 0.0010.940.02dy xy y dt dx x xy dt =-=- （1）建立上述微分方程的轨线方程；（2）在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3）建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？四、实验步骤及过程1.建立一个名为“0*级计算第08次作业*******”（********表示自己的学号）的文件夹。

2. 打开Matlab 软件，练习实验指定的内容。

3. 将所得结果保存到文件夹中，并上存到天空教室。

莆田学院期末考试试卷2011 ——2012 学年第 2学期课程名称：数学建模适用年级/专业： 09数学试卷类别开卷（√ ）闭卷（）学历层次本科考试用时《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题正文要求：（1）写清建模分析过程、建立的模型、模型求解及其结果、并对结果给予简单的分析；（2）要求每人独立完成一份；（3）试卷打印格式参照教务处有关规定执行；（4）在下列二题中选做一题。

一、借贷问题某地银行对个人住房25年贷款期限的贷款条件通常为：年利率为0.12，而且是月均等额还款。

小叶夫妇要买房还缺6万元，正在考虑到银行去错6万元。

正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以在年利率0.12的前提下，帮你提前三年还清借款，但是，（1）每半个月还一次款（2）由于每半个月就要开一张收据，文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款。

数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题姓名1：李坤鹏学号：1020560132姓名2：方扬学号：1020560113姓名3：谭小丁学号：1020560114专业：材料化学班级：10205601指导教师：樊健秋2012年06年08 日摘要本题研究的是某地区的野兔生长问题，题目已给出连续十年的统计数据，分析数据可得野兔的生长规律。

题目要求指出哪些年野兔的增长有异常现象并预测T=10时野兔的数量。

假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下（即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响），该种群的成长曲线应该为对数型增长。

但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓，变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。

对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。

Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。

由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。

根据逻辑斯蒂方程，以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10时，野兔数量为10.8156十万只。

关键字：logistic生物模型预测生长规律预测数量一、问题的重述在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下分析该数据，得出野兔的生长规律。

并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。

首先，野兔是生长在自然环境中的。

自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。

我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈对数增长的。

现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。

狼追兔子的问题1.1 摘要：数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。

针对此题是高阶常微分方程问题。

此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。

狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。

如今随着数学学科的发展和应用软件的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。

由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。

建立二者的运动微分方程，计算它们的运动轨迹，用软件MATLAB求解微分方程模型。

计算出兔子是否安全回到自己的巢穴。

1.1.1 问题的来源及意义：(一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。

假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

问题是兔子能否安全回到巢穴？（二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。

导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。

将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法建模和求解。

1.1.2问题的分析：饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。

兔子它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

1.1.3 模型假设：狼在追击过程中始终朝向兔子；狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P 的轨迹看作一条曲线，曲),(y x 线方程表示为。

神奇的斐波那契兔子----黄金分割率同学们，假设学校的数学兴趣小组在校园围墙里饲养了一对兔子，如果它们每个月生一对小兔子，新生的小兔子在第二个月后长大了，也开始每个月生一对小兔子，你知道一年后校园中一共有多少对兔子吗？下面，我们先用穷举法先来尝试一下吧：第一个月是最初的一对兔子生下一对小兔子，校园中共有2对兔子。

第二个月最初的一对兔子又生下一对小兔子，上个月刚出生的小兔子还没有长大，所以校园中共有3对兔子。

第三个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子。

继续推下去，第12个月时最终共有377对兔子。

我们把这一年中，兔子数量填入下表，不难看出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得。

该问题记载于公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》（1202-1228年修订本）中，感兴趣的同学可以接着计算一下第24个月、第36个月校园中兔子的数量，看看什么时候校园里会挤满了兔子，呵呵……同学们，千万不要小看这个数列，它不仅仅只是用来做数学游戏的，它的作用可大咧！这个数列后来被命名为“斐波那契级数”，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有着广泛的应用。

美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，用来专门研究斐波那契数列。

这个级数与大自然动植物的关系极为密切。

科学家发现，一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上，都非常符合著名的斐波那契数列这一个神奇的规律，几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字：蓟的头部几乎呈球状。

在下图中，你可以看到两条不同方向的螺旋。

我们可以数一下，顺时针旋转的（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。

此外还有菊花、向日葵、松果、菠萝等都是按这种方式生长的。

仔细观察向日葵花盘，你会发现2组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此相嵌。

虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数。

野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下T=0T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=91 2.31969 4.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。

并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。

二．问题分析年份T=0T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9数量1 2.319694.508536.905696.005125.564955.328077.561018.93929.5817增长量\ 1.139692.188832.39715-0.90056-0.44017-0.236882.232941.378190.6425增长率\ 31.97%94.36%53.17%-13.04%-7.33%-4.26%41.91%18.23%7.19%地球上有限的资源和环境条件下使野兔总数受到限制。

而有图表可知增长率随着野兔数量的增加而减小，设m N 表示自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数，假设野兔的增长速度与现有野兔数成正比，但增长的比例N(t)的增加而减小。

四． 符号说明m N ————自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数 0r ————T 属于[0,3]时的增长率 1r ————T 属于[4,6]时的增长率 2r ————T 属于[7,9]时的增长率五． 模型建立由于在T=4，T=5，T=6出现反常情况，所以我们将年份分为三段[0,3],[4,6],[7,9]满足 )())(1()(t N N t N r dtt dN m-= （其中r 为常数） (1)将（1）式改写为 r d t dN N N N m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11 两边积分得 c rt NN Nm +=-ln 即rt m Ae NN N=- （其中A 为待定常数）当t 属于[0,3]时,设N(0)=0N 代入上式可得 N(t)=tr m me N NN )0(00)1(1+--+ 。