下载文档原格式
第三课 不等式[核心速填]1．比较两实数a ，b 大小的依据a －b >0⇔a >b .a －b ＝0⇔a ＝b .a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质3.Ax ＋By ＋C (B >0)⎩⎪⎨⎪⎧>0<0表示对应直线⎩⎪⎨⎪⎧上下方区域．4．二元一次不等式组表示的平面区域每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域． 5．两个不等式[题型探究]一元二次不等式的解法[探究问题]1．当a >0时，若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：借助函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |x <α或x >β}．2．若[探究1]中的a <0，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？ 提示：解集为{x |α<x <β}．3．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：当a >0时，不等式的解集为R ；当a <0时，不等式的解集为∅.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围.【导学号：91432361】思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不 等式，取交集判断．[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2.对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k. ∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k <2.母题探究：.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a ∈R ，解关于x 的不 等式ax 2－2x ＋a <0”．[解] (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}． (2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅. (3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为错误!. ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为(x ＋1)2>0， ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为错误!；当a ＝－1时，原不等式的解集 为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R . [规律方法] 不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法.①将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式； ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确 定一元二次不等式的解集.,(2)含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考 虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.不等式恒成立问题已知不等式mx 2－mx －1<0.(1)若x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立，求实数x 的取值范围.【导学号：91432362】思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题． [解] (1)①若m ＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m ≠0，则不等式mx 2－mx －1<0 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4,0]． (2)令f (x )＝mx 2－mx －1，①当m ＝0时，f (x )＝－1<0显然恒成立； ②当m >0时，若对于x ∈[1,3]不等式恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f3<0即可，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－1<0，f3＝9m －3m －1<0，解得m <16，∴0<m <16.③当m <0时，函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝12，若x ∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f (1)<0即可，解得m ∈R ，∴m <0符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16. (3)令g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，若对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g－2<0，g 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－x －1<0，2x 2－x －1<0，解得1－32<x <1＋32.∴实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.[规律方法] 对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： 1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元． 2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． 1．设f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，(1)若对于m ∈[－2,2]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)依题意，设g (m )＝(x 2－x ＋1)m －6，则g (m )为关于m 的一次函数，且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以g (m )在[－2,2]上递增， 所以欲使f (x )<0恒成立，需g (m )max ＝g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 解得－1<x <2.(2)法一：要使f (x )＝m (x 2－x ＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 则有m <6x 2－x ＋1在[1,3]上恒成立，而当x ∈[1,3]时， 6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67， 所以m <⎝⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67，因此m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 法二：①当m ＝0时，f (x )＝－6<0对x ∈[1,3]恒成立，所以m ＝0. ②当m ≠0时f (x )的图象的对称轴为x ＝12，若m >0，则f (x )在[1,3]上单调递增， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (3)<0即7m －6<0， 所以0<m <67.若m <0，则f (x )在[1,3]上单调递减， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (1)<0即m <6， 所以m <0.综上可知m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.线性规划问题已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.【导学号：91432363】思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m ，故需讨论m 的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m 的值.1 [作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，目标函数z ＝x ＋my 可看作动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.] [规律方法]1．线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．[跟踪训练]2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解]设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，目标函数z＝x＋0.5y.画出可行域如图中阴影部分．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4，y＝6，即M(4,6)．此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.利用基本不等式求最值设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值.【导学号：91432364】思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． [解] (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f (x )取等号，此时f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．f (x )在[0，＋∞)上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝a .3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．。
学必求其心得，业必贵于专精§7。
1 不等关系与不等式的性质1．两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（a，b∈R）；(2）作商法错误!(a∈R，b〉0）．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a〉b⇔b<a⇔传递性a>b，b〉c⇒a〉c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc学必求其心得，业必贵于专精3(1）倒数的性质①a〉b，ab〉0⇒错误!<错误!.②a〈0〈b⇒错误!<错误!。
③a>b〉0,0<c<d⇒ac〉错误!。
④0〈a〈x<b或a<x〈b<0⇒错误!〈错误!<错误!。
(2）有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m〉0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m〉0）．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）a>b⇔ac2〉bc2。
( )（2)1a>错误!⇔a<b（ab≠0）．( )(3)a〉b，c>d⇒ac〉bd。
( ）（4)若错误!〈错误!<0，则|a｜>|b｜.（)(5)若a3〉b3且ab<0,则错误!>错误!.（)答案：（1）×（2)×(3）×（4)×（5）√1．（教材改编)下列四个结论，正确的是( ）①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d;②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒错误!〉错误!；④a>b〉0⇒错误!〉错误!.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．若a<0，－1〈b<0，那么下列不等式中正确的是( )A．a<ab2<ab B．ab2〈a〈abC．a〈ab〈ab2D．ab2<ab〈a解析：选A.因为－1<b<0，所以b<0<b2<1，于是a<ab2<ab.3．若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是（)A．a－b>1－b B．a－1〉b－1C．a－1〉1－b D．1－a〉b－a解析:选C.由a>1知a－b>1－b，故A正确;由a〉b知a－1>b－1，故B正确；由1>b知1－a〉b－a，故D正确，C项错误，如当a＝3，b＝－3时,不成立．4．x＋y<2m的一个充分不必要条件是( )A．x<m或y<m B．x<m且y〈mC．x<m且y〉m D．x〈m或y>m解析:选B。
