八年级数学上册 5.8《三元一次方程组》例题与讲解素材 北师大版 精

三元一次方程组
新版【课后作业】五、P131 问题解决3.
答案：
七年级有231人，八年级有220人，九年级有200人。

【举一反三】
典例：今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗；上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗.上、中、下三等谷子一捆各多少斗？
思路引导：根据三种谷子捆数不同得出斗数不同，列出三元一次方程组，求解即可。

标准答案：解：设上等谷子一捆有x斗，中等谷子一捆有y斗，下等谷子一捆有z斗，根
据题意得，解得，
答：上等谷子一捆有8斗，中等谷子一捆有5斗，下等谷子一捆有5斗.。

北师版八上数学《5.8 三元一次方程组》同步练习一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．下列是三元一次方程组的是（）A．B．C．D．2．三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．3．运用加减法解方程组较简单的方法是（）A．先消去x，再解B．先消去z，再解C．先消去y，再解D．三个方程相加得8x﹣2y+4z=11再解4．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（）A．11支B．9支C．7支D．4支5．三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．6．已知方程组的解是方程x﹣y=1的一个解，则m的值是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）7．方程组的解为．8．已知﹣a x+y﹣z b5c x+z﹣y与a11b y+z﹣x c是同类项，则x=，y=，z=．9．已知，则x+y+z=．10．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为．11．一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为．三、解答题（共5小题，满分54分）12．解方程组：（1）（2）．13．解三元一次方程组：（1）（2）．14．若|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，试求x，y，z的值．15．现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B2件，C1件，共得315元；若售A1件，B2件，C3件，共得285元．问售出A、B、C各一件共得多少元？16．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？北师大新版八年级数学上册《5.8 三元一次方程组》同步练习参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．下列是三元一次方程组的是（）A．B．C．D．【考点】解三元一次方程组．【专题】计算题．【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：为三元一次方程组，故选D【点评】此题考查了三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．2．三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【考点】解三元一次方程组．【分析】把其中一个未知数当已知对待，可用此未知数表示出令外两个未知数，从而解出方程组．【解答】解：由②，得y=5﹣z，由③，得x=6﹣z，将y和x代入①，得11﹣2z=1，∴z=5，x=1，y=0∴方程组的解为．故选A．【点评】主要考查三元一次方程组的解法．3．运用加减法解方程组较简单的方法是（）A．先消去x，再解B．先消去z，再解C．先消去y，再解D．三个方程相加得8x﹣2y+4z=11再解【考点】解三元一次方程组．【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方程联立，首先消去y．【解答】解：，②×3+③，得11x+7z=29④，④与①组成二元一次方程组．故选C．【点评】本题考查了解三元一次方程组的基本思路和方法．4．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（）A．11支B．9支C．7支D．4支【考点】三元一次方程组的应用．【专题】压轴题．【分析】购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，可知钢笔有12支，可设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙三种钢笔有z支，可列方程，得到整数解即可．【解答】解：设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙种钢笔有z支，则，其中x=11，x=9，x=7时都不符合题意；x=4时，y=4，z=4符合题意．故选：D．【点评】考查了三元一次方程组的应用．本题也可设出三个未知数列出方程组求解，得到甲、乙、丙三种钢笔的总支数是解题的关键．5．三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【考点】解三元一次方程组．【专题】计算题．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，把z=2代入②得：x+y=0③，①+③×2得：5x=5，即x=1，把x=1代入③得：y=﹣1，则方程组的解为，故选B．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．已知方程组的解是方程x﹣y=1的一个解，则m的值是（）A．1B．2C．3D．4【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．【分析】根据方程组的解的意义得到x、y满足方程组，解此方程组得，然后把它们代入mx﹣y=5中，再解关于m的方程即可．【解答】解：解方程组得，把代入mx﹣y=5得2m﹣1=5，解得m=3．故选C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解：满足二元一次方程组中各方程的未知数的值叫二元一次方程组得解．也考查了解二元一次方程组．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）7．方程组的解为\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=0}\\{z=3}\end{array}\right.．【考点】解三元一次方程组．【专题】计算题．【分析】方程组，由②﹣③得，2x﹣y=10…④，再由①+④得，3x=15，解得x=5，分别代入①、②即可求出y、z的值，解答出即可；【解答】解：方程组，由②﹣③得，2x﹣y=10…④，由①+④得，3x=15，解得x=5，把x=5分别代入①、②解得，y=0，z=3；∴原方程组的解为：；故答案为：．【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{，”合写在一起即可．8．已知﹣a x+y﹣z b5c x+z﹣y与a11b y+z﹣x c是同类项，则x=6，y=8，z=3．【考点】解三元一次方程组；同类项．【专题】计算题．【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解即可得到x，y，z的值．【解答】解：根据题意得：，①+②得：2y=16，即y=8，②+③得：2z=6，即z=3，把y=8，z=3代入①得：x=6，则方程组的解为，故答案为：6；8；3【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9．已知，则x+y+z= 4.5．【考点】解三元一次方程组．【专题】计算题．【分析】方程组三个方程相加即可求出x+y+z的值．【解答】解：，①+②+③得：2（x+y+z）=9，则x+y+z=4.5，故答案为：4.5【点评】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为\frac{3}{4}．【考点】解三元一次方程组．【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中可得．【解答】解：根据题意得，消元得．【点评】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出k的数值．11．一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为635．【考点】三元一次方程组的应用．【专题】数字问题．【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加．设个位、十位、百位上的数字为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新数表示为：100y+10z+x，故根据题意列三元一次方程组即可求得．【解答】解：设个位、十位、百位上的数字为x、y、z，解得∴原三位数为635．故本题答案为：635．【点评】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解题的关键是消元．三、解答题（共5小题，满分54分）12．解方程组：（1）（2）．【考点】解三元一次方程组．【专题】计算题．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），①+②得：7x+3z=2④，②×5+③得：11x+9z=1⑤，④×3﹣⑤得：10x=5，即x=0.5，把x=0.5代入④得：z=﹣0.5，把x=0.5，z=﹣0.5代入①得：y=﹣1，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，②+③×2得：2x+5y=54④，①×5+④得：27x=54，即x=2，把x=2代入①得：y=10，把y=10代入②得：z=15，则方程组的解为．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．解三元一次方程组：（1）（2）．【考点】解三元一次方程组．【专题】计算题．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），①+②得：5x+2y=16④，②+③得：3x+4y=18⑤，④×2﹣⑤得：7x=14，即x=2，把x=2代入④得：y=3，把x=2，y=3代入③得：z=1，则方程组的解为；（2），②﹣③得：x+3z=5④，④﹣①得：2z=2，即z=1，把z=1代入④得：x=2，把z=1，x=2代入③得：y=4，则方程组的解为．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．14．若|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，试求x，y，z的值．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．【分析】利用非负数的性质，将所给方程转化为三元一次方程组，解方程组即可解决问题．【解答】解：∵|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，∴，①﹣②，得：x﹣3z+8=0 ④，③+④，得：2x﹣2=0，解得：x=1，将x=1代入①，得：1+2y﹣5=0，解得：y=2，将y=2代入②，得：4+3z﹣13=0，解得：z=3，故x=1，y=2，z=3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．15．现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B2件，C1件，共得315元；若售A1件，B2件，C3件，共得285元．问售出A、B、C各一件共得多少元？【考点】三元一次方程组的应用．【分析】设A一件x元，B一件y元，C一件z元，根据题意列出三元一次方程组，根据方程组求x+y+z 的值．【解答】解：设A一件x元，B一件y元，C一件z元，依题意，得，两式相加，得4x+4y+4z=600，即：x+y+z=150，答：售出A、B、C各一件共得150元．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．关键是根据题意列出方程组，利用两个方程变形，得出x+y+z 的值，考查了整体解题思想．16．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？【考点】三元一次方程组的应用．【分析】首先种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金=67万元；②三种农作物所需要的人力=300名职工；③三种农作物的公顷数=51公顷，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得：，解得：，答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．【点评】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．。

*8 三元一次方程组1．三元一次方程及三元一次方程组(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程．(2)三元一次方程组：①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组．如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7等都是三元一次方程组． ②拓展理解：a ．构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；b ．三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2 B.⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋y ＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3 D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A ，B 选项中有的方程不是三元一次方程，C 中含有四个未知数，只有D 符合三元一次概念内涵，故选D.答案：D2．三元一次方程组的解(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解．和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解．(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．它也是三个数．(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解．释疑点 检验三元一次方程组的解三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解．【例2】 判断⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3，z ＝－3是不是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2z ＝5，2x －y ＋z ＝4，2x ＋y －3z ＝10的解．答：__________(填是或不是)．解析：把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3，z ＝－3代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解．答案：是3．三元一次方程组的解法(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．(2)步骤：①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；⑤写出三元一次方程组的解．(3)注意点：①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确．【例3】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7. ①②③分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z ，而①，②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z ，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解．解：①×2＋②，得5x ＋8y ＝7，④解③，④组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝7，5x ＋8y ＝7.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1.把x ＝3，y ＝－1代入①，得z ＝1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1，z ＝1.4．运用三元一次方程组解实际问题(1)方法步骤：①审题：弄清题意及题目中的数量关系；②设：设三个未知数；③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际；⑤答：回答说明实际问题的答案．析规律 列三元一次方程组同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组．【例4】 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数．解：设百位数字为a 、十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为100a ＋10b ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝b ＋1，27 a ＋b ＋c ＝100a ＋10b ＋c ，100a ＋10b ＋c ＋99＝100c ＋10b ＋a .化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝1，－73a ＋17b ＋26c ＝0，a －c ＝－1.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3. 答：原来的三位数是243.5．三元一次方程组的解法技巧解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考．(1)先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程．如：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋2z ＝3，2x ＋y －3z ＝11，x ＋y ＋z ＝12中，y 的系数较简单，先消y 简单．(2)先消某个方程中缺少的未知数．若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解．如：⎩⎪⎨⎪⎧4x －9z ＝17， ①3x ＋y ＋15z ＝18， ②x ＋2y ＋3z ＝2. ③ 因为方程①中缺少y ，所以由②，③组合先消去y 比较简单． (3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数，如： ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＋3z ＝9，3x －2y ＋5z ＝11，5x －6y ＋7z ＝13， 三个方程中y 的系数成倍数关系，因此先消去y 比较简单．(4)整体代入消元，如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝26， ①x －y ＝1， ②2x ＋z －y ＝18. ③将方程③左边变形为(x ＋y ＋z )＋(x－y )－y ＝18，作整体代入便可消元求解．(5)整体加减消元：如：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋z ＝13， ①x ＋y ＋2z ＝7， ②2x ＋3y －z ＝12， ③在三个方程中，根据未知数x ，z 的系数特点，可用②＋③－①整体加减消元法来解得y 的值．再逐步求解．【例5－1】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4z ＝7，①2x ＋3y ＋z ＝9， ②5x －9y ＋7z ＝8. ③分析：因为方程①中缺少未知数y 项，故而可由②，③组合先消去y ，再求解．解：②×3＋③，得11x ＋10z ＝35，④解由①，④组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4z ＝7，11x ＋10z ＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，z ＝－2.⑤把⑤代入②，得y ＝13， 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝13，z ＝－2.【例5－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －15y ＋4z ＝38，①x －3y ＋2z ＝10， ②7x －9y ＋14z ＝58. ③分析：经观察发现①中的5x －15y ＝5(x －3y )，这就与②有了联系，因此，①可化为5(x －3y ＋2z )－6z ＝38，把②整体代入该方程中，可求出z 的值，从而易得x 与y 的值．解：由①，得5(x －3y ＋2z )－6z ＝38，④把②整体代入④，得5×10－6z ＝38.解这个方程，得z ＝2，把z ＝2分别代入①，②中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －15y ＝30，7x －9y ＝30.⑤解⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1，z ＝2.【例5－3】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －z ＝11， ①y ＋z －x ＝5， ②z ＋x －y ＝1. ③分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法．解：①＋②＋③，得x ＋y ＋z ＝17，④再由④分别减去①，②，③各式，分别得z ＝3，x ＝6，y ＝8.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8，z ＝3.6.三元一次方程组的应用归类三元一次方程组的应用和二元一次方程组的应用类似，也主要包括两类：(1)构造方程组，通过解方程组解决问题．主要有以下几种情况． ①根据某些数学概念构造方程组，如：2x 4m y 16－5n 与x 3n ＋6y 2m 是同类项，根据同类项定义列方程求未知数m ，n .②运用非负数的性质构造方程组．如：如果(x ＋y －2)2＋|y ＋z －4|＋|x －y ＋2|＝0，那么x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.根据题意列出三元一次方程组求解．③已知方程的解的情况求未知系数．如：关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解，也是方程3x＋2y ＝17的解，则m 的值是？根据题意构造一个以x ，y ，m 为未知数的三元一次方程组求解． 点评：这类问题的实质是变相的解方程组问题．(2)列方程解应用题，根据实际生活中的情景，列方程组解决实际问题．【例6－1】 如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m 中，x 与y 的和为2，则m 的值是( )．A ．16B ．4C ．2D ．8解析：方法一：因为x 与y 的和为2，即x ＋y ＝2，所以与⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，组成一个三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，x ＋y ＝2.解这个方程组，求出m ＝4.方法二：也可以先解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m .求出x ，y 的值(含m )，再把解得的x ，y 的值代入x ＋y ＝2中，求出m .方法三：把x ＝2－y 代入⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，解含y ，m 的二元一次方程组．答案：B【例6－2】 如果|x －2y ＋1|＋|z ＋y －5|＋(x －z －3)2＝0，那么x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.解析：根据非负数的和为0，各式都为0，列出三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，z ＋y －5＝0，x －z －3＝0.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1，z ＋y ＝5，x －z ＝3.解这个方程组，得x ＝5，y ＝3，z＝2.答案：5 3 27．运用三元一次方程组求代数式的值解三元一次方程组是对消元思想和方法的综合的、全面的运用，另一方面是将来学习二次函数的必备知识，在本章中，经常出现一类求代数式值的问题，如：已知代数式ax 2＋bx ＋c ，当x 分别取1,0,2时，式子的值分别是0，－3，－5，求当x ＝5时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值．解法：分别将x ＝1,0,2代入代数式ax 2＋bx ＋c 中，得到一个三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝－5.解这个三元一次方程组，求出系数a ，b ，c 的值，再将x ＝5回代，再求出当x ＝5时，式子ax 2＋bx ＋c 的值．【例7－1】 已知x ＋2y ＋3z ＝54,3x ＋2y ＋2z ＝47，2x ＋y ＋z ＝31，那么代数式x ＋y ＋z 的值是( )．A ．17B ．22C ．32D ．132解析：将三个三元一次方程组成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋3z ＝54，3x ＋2y ＋2z ＝47，2x ＋y ＋z ＝31.整体求法，将三个式子相加，得6x ＋6y ＋6z＝132，两边都除以6，解，得x ＋y ＋z ＝22.B 正确，故选B.答案：B【例7－2】 在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x 分别取1,2,3时，y 的值分别为3，－1,15.则a ＝__________，b ＝______，c ＝______；当x 取4时，y 的值为______．解析：把x ＝1,2,3分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝－1，9a ＋3b ＋c ＝15.解这个三元一次方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－34，c ＝27.所以等式是y ＝10x 2－34x ＋27，把x ＝4代入y ＝10x 2－34x ＋27中，得y ＝51.答案：10 －34 27 518.含比例方程的方程组的解法三元一次方程组中，有一类方程，含有比例式子，如⎩⎪⎨⎪⎧ x ∶y ＝3∶2， ①y ∶z ＝5∶4， ②x ＋y ＋z ＝66. ③这类方程组的解法有两种方式，一是把方程组根据比例的性质进行化简，化为一般的三元一次方程组，按常规思路进行解决；二是设参数法，如在上面的方程组中设每一份为k ，则x ＝3k ，y ＝2k ，z ＝1.6k ，把它们分别代入③中，得3k ＋2k ＋1.6k ＝66.即6.6k ＝66，解得k ＝10，所以x ＝30，y ＝20，z ＝16.从而解出方程组．【例8】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝y 4＝z 5，7x ＋3y －5x ＝16. ①②分析：方法一：将①化简成两个方程和②组成三元一次方程组，解这个三元一次方程组；方法二：因是比例式，所以设x 3＝y 4＝z 5＝t ，则x ＝3t ，y ＝4t ，z ＝5t ，代入②中即可求出t 的值，解出方程组．解：设x 3＝y 4＝z 5＝t ，则x ＝3t ，y ＝4t ，z ＝5t ，将它们都代入方程②，得7×3t ＋3×4t －5×5t ＝16，解得t ＝2. 所以x ＝6，y ＝8，z ＝10. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8，z ＝10.。