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江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案
2012年05月23日亲，很高兴访问《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》一文，也欢迎您访问店铺（）的高考频道，为您精心准备了2011高考数学日常练习的相关模拟考试试题内容！同时，我们正在加紧建设高考频道，我们全体编辑的努力全是为了您，希望您能在本次高考中能获得好的名次，以及考上满意的大学，也希望我们准备的《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》内容能帮助到您。
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7 8 994464732011年江苏高考数学模拟试卷1．为虚数单位，计算2. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论 . 4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是5．已知，则6．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是7．设是边长为1的正三角形, 则=8．已知函数的定义域集合是,函数的定义域集合是，若，那么实数的取值范围9. 方程的实根个数是10．在括号内填一个实数，使得等式成立，这个实数是11、若集合{}|2A x x=≤，{}|B x x a=≥满足{2}A B =，则实数a= ．12、函数)3(sin12π+-=xy的最小正周期是．13、下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 .14、某算法的伪代码如右：则输出的结果是 .15、若复数iaiz3)1(+=- (i是虚数单位，a是实数)，且zz=（的共轭复数）为zz，则=a．16、已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则212baa-的值为_____________．17、已知椭圆的中心在原点、焦点在y轴上，若其离心率是12，焦距是8，则该椭圆的方程为．18、已知抛物线y2=4x的准线与双曲线222xy1a-=交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 _____________．19、函数2cosy x x=+在区间[0,]2π上的最大值是．15、（本小题满分14分）s←2i←1While s≤400i←i+2s←s×iEnd WhilePrint i第4题在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()sin ,12A -. （1）求m ·n 取得最大值时的角A 的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值.16、（本小题满分14分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。
- 1 - 2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I
参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑ （2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A 答案：{}1－，2 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 答案：+∞1（－）2 3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 答案：1
4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ 答案：3
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 答案：13
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s
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9的最大正整数n 的值为 。
江苏南京市2011届高三第二次模拟考试数学一、填空题（每题 5分，共70分）1、 已知复数 乙=3-4i , Z 2= 4 + bi （b € R , i 为虚数单位），若复数Z i *Z 2是纯虚数，则b 的 值为___________ 。
2 __________________________________________________2、 已知全集U = R , Z 是整数集，集合 A ={ x | x-x-6 > 0,x € R },则ZA QA 中元素的个数 为 。
3、 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形（第3题）4、某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重（单位kg ）。
所得数据都在区间［50,75］中，其频率分布直方图如图所示。
若图中从左到右的前 3个小组的频率之比为1 : 2: 3,则体重小于60 kg 的高三男生人数为 ____________ 。
（第 4题）5、 已知向量a,b 的夹角为120°，且| a | =3, | a | =1,则| a-2b | = _______________6、 下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是 __________ 。
（第 6 题）7、若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为 3，则M 到该抛物线焦点的距离为& 若直线y=kx-3与y=2Inx 曲线相切，则实数 K= ________________ 。
9、 已知函数 f （x ）=2sin （3 x+Y ）（ co >0）,若 f （ — ）=0, f （ — ）=2,则实数3 的最小值为 _ 。
3 2110、已知各项都为正数的等比数列 {a n }中，a 2*a 4=4, a 1+a 2+a 3=14,则满足a n +a n+1+a n+2>一动点，则当 AM+MC i 最小时，△ AMC i 的面积为11、3x 已知集合P= (x, y) | 4x 4y3y3 0 6, Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2< r 2(r>0),若“点 M12、€ P 堤“点M € Q”的必要条件, 则当 r 最大时ab 的值是如图，直三棱柱 ABC-AB i C i 中, AB=1, BC=2, AC= . 5，AA 1=3，M 为线段 BBi 上的13、14、(第12题)定义：若函数f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应的函数与 f(x)的值域相同，则称变换T 是f(x)的同值变换。
江苏省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编第 10 部分 :圆锥曲线一、填空题：2．(2011 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三数学教课状况检查一)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 8kx 2ky28的渐近线方程为 ；2．y22x【分析】由题知8x 2 y 20 即 y2 2x .x 2 y 21 a,bb2011 年 1 月高三调研 ) 若双曲线a 2b2的离心率为2 ，则 a= ▲ .2. (江苏省苏州市c1 b22, b 23,b3.2.3【分析】aa 2a 2ax 2y 2 1(a 0,b 0))已知双曲线 C:a 2b 29. (江苏省南京市 2011 届高三第一次模拟考试的右极点、 右焦点分别为 A 、F,它的左 准线与 x 轴的交点为 B ，若 A 是线段 BF 的中点，则双曲线 C 的离心率为.Ba 2 ,0 , A a,0 , F c,02aca9．2 1【分析】由题意知：c，则c，即e 2 2e 1 0 ，解得 e2 1x 2y 2 1(a 0,b 0))双曲线 a 2b 210．( 江苏省徐州市 2011 届高三第一次调研考试的两条渐近线将平面区分为 “上、下、左、右 ”四个地区（不含界限） ，若点(1,2)在“上 ”地区内，则双曲线离心率e的取值范围是▲ ．10．1,5x 2y 2 1yb x ，点 1,2【分析】双曲线 a 2b 2 的一条渐近 线为a在该直线的上方，由线性规划知识，知：2be 21 ( b )25e1,5a，因此a，故4. (江苏省苏北四市 2011 届高三第一次调研 )若抛物线的焦点坐标为(2,0) ，则抛物线的标准方程是▲ ．y2p24．【分析】依据焦点坐标在x 轴上，可设抛物线标准方程为 2 px ，有 2，p4，抛物线标准方程为 y 28 xx 2y 2 11. (江苏省泰州市 2011 届高三年级第一次模拟 )双曲线3的离心率是。
盐城中学2011届高三年级第二次模拟考试数学试题数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．．1.设i 是虚数单位，则复数i 2)i 1(⋅+=z 所对应的点落在第 ▲ 象限. 2.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是 ▲ . 3.为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则n = ▲ .4.在等比数列{}n a 中，12236,12,n a a a a S +=+=为数列{}n a 的前n 项和，则22010log (2)S += ▲ .5.已知2cos()3cos()02x x ππ-+-=，则tan 2x = ▲ .6.右图是一个算法的流程图，最后输出的=x ▲ .7.设b a ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列条件中能推得b a ⊥的条件是 ▲ . （把你认为所有正确命题的序号都填上）①,α⊂a b ∥β，βα⊥；②βαβα⊥⊥⊥,,b a ； ③,α⊂a β⊥b ，α∥β；④α⊥a ，b ∥β，α∥β.8.若,x y 满足不等式组2201x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，则2x y +的取值范围是▲ .9.设F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点A 在抛物线上，O 为坐标原点，若120OFA ∠=，且8FO FA ⋅=-，则抛物线的焦点到准线的距离等于 ▲ .10.已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足2,CP CB CA =+则PA PB ⋅= ▲ .11.如右图，设矩形()ABCD AB CD >的周长为20，把ABC∆沿AC 折起来，AB 折过去后交DC 于点,F 设,AB x =则ADF ∆的面积最大时的x 的值为 ▲ .（第3题） C12.椭圆2212516x y +=的左，右焦点分别为12,,F F 弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆的周长为,π,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 则21||y y -= ▲ .13.已知函数32()f x x x =-在1x =处切线的斜率为b ，若()ln a g x b x x=-，且()g x 2x <在(1,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .14.设,a b 均为大于1的自然数，函数()(sin ),()cos ,f x a b x g x b x =+=+若存在实数m ，使得()(),f m g m =则a b +的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别为11,CC AA 的中点，AC BC ⊥,点F 在线段AB 上，且AF AB 4=．（Ⅰ）求证:D C BC 1⊥；（Ⅱ）若M 为线段BE 上一点，ME BE 4=求证：1//C D 平面1B FM ．16（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,sin .23C A B π-== （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设AC =求ABC ∆的面积.17．（本小题满分14分）第15题ABC1B1A1CD E F某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
南京市2011届高三第二次模拟考试全解析版数 学(满分160分，考试时间120分钟)2011．03一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知复数z 1＝3－4i ，z 2＝4＋b i(b ∈R ，i 为虚数单位)．若复数z 1·z 2是纯虚数，则b 的值为________．答案：－3解析：z 1·z 2＝12＋4b ＋(3b －16)i 为纯虚数⎩⎪⎨⎪⎧12＋4b ＝03b －16≠0b ＝－3.2. 已知全集U ＝R ，Z 是整数集，集合A ＝{x |x 2－x －6≥0，x ∈R }，则Z ∩∁U A 中元素的个数为__________．答案：4解析：A ＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，∴ ∁U A ＝(－2,3)，∴ Z ∩C U A ＝{－1,0,1,2}．∴ 元素个数为4.3. 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是__________．答案：14解析：设两种不同颜色为a 、b 、则所有可能为(a ，a ，a )，(a ，a ，b )，(a ，b ，a )，(a ，b ，b )，(b ，a ，a )，(b ，a ，b )，(b ，b ，a )，(b ，b ，b )．其中满足条件的有(a ，b ，a )，(b ，a ，b )，∴ 概率为14.4. 某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示．若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则体重小于60 kg 的高三男生人数为________．(第4题)答案：180解析：设50～55kg 的频率为a .∵ 65～75kg 的频率为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25， ∴ a ＋2a ＋3a ＋0.25＝1⇒a ＝0.125.∴ 50～60kg 的频率为0.375⇒所求人数为0.375×480＝180人．5. 已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a|＝3，|b|＝1，则|a －2b|＝__________. 答案： 19解析：|a －2b |＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝19. 6. 右图是一个算法的流程图，则输出i 的值是__________．(第6题)答案：5 解析：0＋log 221log 232＋log 243log 254＝log 25>2.7. 若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为__________．答案： 32解析：设M ⎝⎛⎭⎫y 22，y ，则OM 2＝y 44＋y 2＝3，解得y ＝ 2.∴ M (1，2)．又焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，∴ M 到焦点距离为32.8. 若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝__________.2e 解析：对y ＝2ln x 求导得y ′＝2x，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2ln x ＝kx －3k ＝2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2e x ＝e －12，即实数k ＝2 e.9. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，则实数ω的最小值为________．3 解析：[f (x )]max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，当ω最小时，T ＝2πω最大，此时T 4＝π2－π3＝π6⇒T ＝23π， ∴ ωmin ＝2πT3.10. 已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为__________．4 解析：∵ {a n }为等比数列，a 2·a 4＝4⇒a 3＝2， 又a 1＋a 2＋a 3＝142q 2 ＋2q ＝12q ＝12，∴ a n ·a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫123n －9>19，∴ n 最大值为4.11. 已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3≥0，4x ＋3y －6≤0，y ≥0，Q ＝{(x ，y )|(x －a )2＋(y －b )2≤r 2，r ＞0}，若“点M ∈P ”是“点M ∈Q ”的必要条件，则当r 最大时，ab 的值是__________．14解析：如图，当Q 为三角形区域内切圆时，r 最大．此时r ＝12，a ＝12，b ＝12，∴ ab ＝14.12. 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为__________．(第12题)3 解析：将其侧面展开，当如图所示时，AM ＋MC 1最小．此时AM ＝2，MC 1＝22，又AC 1＝14，∴ S △AMC 1＝ 3.13. 定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应的函数与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：① f (x )＝(x －1)2，T ：将函数f (x )的图象关于y 轴对称； ② f (x )＝2x －1－1，T ：将函数f (x )的图象关于x 轴对称； ③ f (x )＝xx ＋1，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称；④ f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称． 其中T 是f (x )的同值变换的有__________(写出所有符合题意的序号)．13. ①③④ 解析：分别作出图象：①②③④对于④，原函数值域为[－1,1]，关于(－1,0)对称后由图知值域仍为[－1,1]．故符合题意．综上所述．同值变换有①③④.14. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是______________．⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析：f (x )≥3恒成立⇒a ≥－x －8x ＋3对x ∈N *恒成立．由双钩函数性质知，当x ＝3时，x ＋8x 有最小值3＋83，∴ a ≥－3－83＋3＝－83. ∴ a ∈⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本题满分14分)已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)． (1) 若a ∥b ，试求sin α的值；(2) 若a ⊥b ，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解：(1) 因为a ∥b ，所以5cos α4＝－4tan α3.(2分)所以15cos 2α＋16sin α＝0，即15sin 2α－16sin α－15＝0.(4分) 解得sin α＝－35或sin α＝53舍去)．所以sin α＝－35.(6分)(2) 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 即12－20cos α·tan α＝0.所以12－20sin α＝0，即sin α＝35.(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝45. 所以sin2α＝2sin αcos α＝2425， cos2α＝1－2sin 2α＝725.(11分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝cos2α·cos π4＋sin2α·sin π4＝725×22＋2425×22＝31250.(14分)16. (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2BC ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面P AD ；(2) 若点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，求证：平面P AC ⊥平面PDE .16. 证明：(1) (方法1)取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形， E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA . 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以EF ∥AM .(5分)又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面P AD .(7分)(方法2)连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形， 所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ， ∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ， 所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE . 又F 为PC 的中点， 所以EF ∥NP .(5分)又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(7分)(方法3)取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ . 在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD . 又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ，所以EQ ∥平面PAD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ， 所以FQ ∥平面PAD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ， 所以平面EQF ∥平面PAD .(5分)因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .(7分) (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中， 因为AB ＝2BC ， E 为AB 的中点， 所以DA AE ＝CDDA＝ 2. 又∠DAE ＝∠CDA ， 所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD .(9分) 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面PAC ， 所以DE ⊥平面PAC ，(12分)又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .(14分) 17. (本题满分14分)如图，椭圆C ：x 216＋y 241的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S (不同于B )，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．证明：(1) 由题意，得A (4,0)，B (0,2)，D (0，－2)，E (2,0)，P (4,1)． 所以直线DE 的方程为y ＝x －2， 直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.(2分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝65，所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫165，65.(4分)因为⎝⎛⎭⎫165216＋⎝⎛⎭⎫6524＝1，所以点⎝⎛⎭⎫165，65在椭圆x 216＋y24＝1上．即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上．(6分) (2) 直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝－16k11＋4k21，y ＝2－8k211＋4k 21，所以点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21.(9分) 因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1.直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－14k 1＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝16k11＋4k21，y ＝8k 21－21＋4k 21.所以点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21.(12分)(若写成“同理可得点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”，不扣分)所以R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O 18. (本题满分16分)如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB 的圆心角为2π3，半烃OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段BD 组成，其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO .设∠AOC ＝θ.(1) 用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 当θ为何值时，观光道路最长？解：(1) 在△OCD 中，由正弦定理，得 CD sin ∠COD ＝OD sin ∠DCO ＝COsin ∠CDO .(3分)又CD ∥AO ，CO ＝1，∠AOC ＝θ， 所以CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝cos θ＋13sin θ，OD ＝23sin θ.(6分) 因为OD ＜OB ，所以sin θ＜32，所以0＜θ＜π3. 所以CD ＝cos θ＋13sin θ，θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π3.(8分)(2) 设道路长度为L (θ)， 则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长 ＝1－23sin θ＋cos θ＋13sin θ＋θ＝cos θ－13sin θ＋θ＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(11分) L ′(θ)＝－sin θ－33cos θ＋1， 由L ′(θ)＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32. 又θ∈(0，π3)，所以θ＝π6.(14分)列表所以当θ＝π6L (θ)达到最大值，即当θ＝π6时，观光道路最长．19. (本题满分16分)已知函数f (x )＝x |x 2－3|，x ∈[0，m ]，其中m ∈R ，且m ＞0. (1) 若m ＜1，求证：函数f (x )是增函数；(2) 如果函数f (x )的值域是[0,2]，试求m 的取值范围； (3) 如果函数f (x )的值域是[0，λm 2]，试求实数λ的最小值． (1) 证明：当m ＜1时，f (x )＝x (3－x 2)＝3x －x 3. 因为f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x 2)＞0. 所以f (x )是增函数．(3分) (2) 解：令g (x )＝x |x 2－3|，x ≥0.则g (x )＝{ 3x －x 3，0≤x ≤3， x 3－3x ，x ＞ 3. 当0≤x ≤3时，由g ′(x )＝3－3x 2＝0得x ＝1， 所以g (x )在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数． 当x ＞3时，由g ′(x )＝3x 2－3＞0， 所以g (x )在[3，＋∞]上是增函数．(5分)所以当x ∈[0，3]时，函数g (x )的最大值是g (1)＝2，最小值是g (0)＝g (3)＝0. 从而0＜m ＜1均不符合题意，且1≤m ≤3均符合题意．(7分)当m ＞3时，在x ∈[0，3)时，f (x )∈[0,2]； 在x ∈[3，m ]时，f (x )∈[0，f (m )]．这时f (x )的值域是[0,2]的充要条件是f (m )≤2， 即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3＜m ≤2.综上所述，m 的取值范围是[1,2]．(10分)(3) 解：据(2)知，当0＜m ＜1时，函数f (x )的最大值是f (m )＝3m －m 3，由题意知，3m －m 3＝λm 2，即λ＝3m －m ，是减函数，故λ的取值范围是(2，＋∞)；(12分)当1≤m ≤2时，函数f (x )的最大值是f (1)＝2，由题意知，2＝λm 2，即λ＝2m 2，是减函数，故λ的取值范围是[12，2]；(14分)当m ＞2时，函数f (x )的最大值是f (m )＝m 3－3m ，由题意知，m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3m ，是增函数，故λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 综上所述，λ的最小值是12，且此时m ＝2.(16分)20. (本题满分16分)(1) 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n .若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列．① 求a n ；② 令b n ＝qS n (q ＞0)，若对一切n ∈N *，都有b 2n ＋1＞2b n b n ＋2，求q 的取值范围；(2) 是否存在各项都是正整数的无穷数列{c n }，使c 2n ＋1＞2c n c n ＋2对一切n ∈N *都成立？若存在，请写出数列{c n }的一个通项公式；若不存在，说明理由. 解：(1) ① (方法1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 1a 1＝a 1a 1＝1，S 2a 2＝2＋d 1＋d ＝1＋11＋d ， S 3a 3＝3＋3d 1＋2d ＝1＋2＋d 1＋2d. 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列，所以2×S 2a 2＝S 1a 1＋S3a 3，即2⎝⎛⎭⎫1＋11＋d ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋2＋d 1＋2d ，解得d ＝0或d ＝1.(4分)因为d ≠0，所以d ＝1.此时S n a n ＝n ＋12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列．所以a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2.(6分)(方法2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(1－d )，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛1－d 2n .因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列，所以可设S n a n ＝S 1a 1＋(n －1)p ＝pn ＋(1－p )，所以d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2ndn ＋(1－d )＝pn ＋(1－p )，即d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d2n ＝[dn ＋(1－d )][pn ＋(1－p )]对任意的n ∈N *恒成立．故d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2n ＝dpn 2＋[d (1－p )＋p (1－d )]n ＋(1－p )(1－d )恒成立．所以⎩⎨⎧d 2dp ， 0＝(1－p )(1－d )， 1－d2＝p (1－d )＋d (1－p ).(4分)因为d ≠0，所以d ＝1，p ＝12.所以a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2.(6分)② 由①得，b n ＝q n (n ＋1)2，所以b 2n ＋1b n b n ＋2＝[q(n ＋1)(n ＋2)2]2q n (n ＋1)2q(n ＋2)(n ＋3)2＝1q，因为b 2n ＋1＞2b n b n ＋2，所以1q ＞2，所以0＜q ＜12.(9分)(2) 假设存在各项都是正整数的无穷数列{c n }，使c 2n ＋1＞2c n c n ＋2对一切n ∈N *都成立，则c n ＋1c n ＞2c n ＋2c n ＋1， 所以c 2c 1＞2c 3c 2＞22c4c 3＞…＞2n －1c n ＋1c n ，所以c n ＋1c n ＜c 2c 1×12n －1.(11分) 若c 2c 1＜1，则c 2c 1×12n －1＜1，所以当n ∈N *时，c n ＋1c n ＜1，即c n ＋1＜c n . 因为c n ∈N *，所以c n ＋1－c n ≤－1. 令c 1＝M ，所以c M ＋2＝(c M ＋2－c M ＋1)＋(c M ＋1－c M )＋(c M －c M －1)＋…＋(c 2－c 1)＋c 1 ≤－(M ＋1)＋M ＝－1＜0，与c M ＋2∈N *矛盾．(13分)若c 2c 1≥1，取N 为log 2c2c 1＋2的整数部分，则 当n ≥N 时，c 2c 1×12n －11，所以c n ＋1c n＜1，即c n ＋1＜c n . 因为c n ∈N *，所以c n ＋1－c n ≤－1. 令c N ＝M ，所以c N ＋M ＋1＝(c N ＋M ＋1－c N ＋M )＋(c N ＋M －c N ＋M －1)＋(c N ＋M －1－c N ＋M －2)＋…＋(c N ＋1－c N )＋c N ≤－(M ＋1)＋M ＝－1＜0，与c N ＋M ＋1∈N *矛盾． 综上，假设不成立．即不存在各项都是正整数的无穷数列{c n }，使c 2n ＋1＞2c n c n ＋2对一切n ∈N *都成立．(16分)南京市高三数学附加题试卷 第页(共2页)南京市2011届高三第二次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD ∥BC ，过C 作该圆的切线，交AD 的延长线于E ，求证：△ABC ∽△EDC .证明：因为CE 为圆的切线，所以∠DCE ＝∠DAC .(3分) 因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠BCA .所以∠DCE ＝∠BCA .(6分) 因为梯形ABCD 为圆内接四边形，所以∠EDC ＝∠ABC . 所以△ABC ∽△EDC .(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换 已知α＝⎣⎡⎦⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知[] 1 a －1 4[]2 1＝λ[]2 1，(4分) 所以{ 2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.(7分) 因此A ＝[] 1 2－1 4，所以A 2＝[] 1 2 －1 4[] 1 2 －1 4＝[]－110 －5 14.(10分)C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线D的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4t ，y ＝3t －2(t 为参数)．若曲线C 、D 有公共点，求实数m 的取值范围．解：曲线C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 曲线D 的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0.(4分)因为曲线C 、D 有公共点，所以|3m ＋2|52，|3m ＋2|≤10.(8分)解得－4≤m ≤83，即m 的取值范围是[－4，83]．(10分)D. 选修4-5：不等式选讲已知a 、b 都是正实数，且ab ＝2.求证：(1＋2a )(1＋b )≥9. 证明：方法1：因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2， 所以2a ＋b ≥22ab ＝4.(5分)所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9.(10分) 方法2：因为a 、b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2]≥(1＋2ab )2.(7分) 又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9. 所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分) 方法3：因为ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝⎛⎭⎫1＋2a ＝5＋2⎝⎛⎭⎫a ＋1a .(5分) 因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2a ·1a＝4. 所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分) 方法4：因为a 、b 都是正实数，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )⎝⎛⎭⎫1＋b 2＋b 2 ≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b 24.(8分)又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分)【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝1，D 为A 1C 1的中点，线段B 1C 上的点M 满足B 1M →＝λB 1C →.若向量AD →与BM →的夹角小于45°，求实数λ的取值范围．解：以AC 的中点O 为坐标原点，OB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系O —xyz ，则 A (0，－1,0)，D (0,0,1)，B (3，0,0)， B 1(3，0,1)，C (0,1,0)． 所以AD →＝(0,1,1)，BB 1＝(0,0,1)， B 1C →＝(－3，1，－1)，所以BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋λB 1C →＝(－3λ，λ，－λ＋1)．(4分) 因为向量AD →与BM →的夹角小于45°，所以cos 〈AD →，BM →〉∈⎝⎛⎦⎤22，1，即22＜12×4λ2＋(－λ＋1)2≤1，(8分)解得0＜λ＜25.所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，25.(10分)23. 某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12.(1) 若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X 的概率分布和数学期望； (2) 假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？解：(1) X 的概率分布列为(2分)E (X )＝0×116＋2×14＋4×38＋6×14＋8×116＝4.(或E (X )＝8×12＝4)(4分)(2) ① 连续3次投篮未中，不同投法为1＋C 16＋C 26＋(C 36－4)＋(C 13＋C 13)＝44(种)；② 只因累计7次投篮未中，不同投法为C 13＋1＝4(种)．所以该同学恰好投篮10次，被停止投篮测试的概率为P ＝481 024＝364.(10分)。
