对函数应用的认识和做法
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[收稿日期]2020-03-04; [修改日期]2020-05-20 [基金项目]国家自然科学基金(11726403,11701265) [作者简介]欧阳顺湘(1979-),男,博士,助理教授,从事概率论研究.E m a i l :o u y a n gs h x @h o t m a i l .c o m 第37卷第1期大 学 数 学V o l .37,ɴ.12021年2月C O L L E G E MA T H E MA T I C SF e b .2021示性函数在初等概率论中的应用欧阳顺湘(哈尔滨工业大学(深圳)理学院,广东深圳518055) [摘 要]示性函数在实分析等课程中很基本且应用广泛,但在初等概率论教材里应用不多.本文举例说明示性函数可以帮助学生理解初等概率论中一些基本概念㊁结论并精简其中一些计算.[关键词]概率论;示性函数;期望;概率;事件;分布[中图分类号]O 211.5 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2021)01-0077-051 引 言设A 为集合Ω的子集,则A 的示性函数1A 定义为1A (ω)=1,ωɪA ,0,ωɪ A.在实分析㊁测度论㊁高等概率论等课程中,示性函数处处可见,是构造简单函数,逼近一般可测函数的基石.虽然学生在学习高等数学初期就会了解的著名的D i r i c h l e t 函数就是有理数集的示性函数,但遗憾的是,在教学中,特别是在初等概率论教学中,示性函数的作用没有得到应有的充分重视.有的教材对示性函数仅作简单应用[5],有的教材则对示性函数避而不谈[2].有些作者已经注意到示性函数在初等概率论中的一些应用[1,4,7,8].本文通过多个方面的例子对示性函数在初等概率教学中的应用作进一步说明,着重于它在帮助学生理解某些重要概念,帮助教师精简加深部分教学内容方面的作用.2 例 子2.1 事件之间的关系与运算示性函数的一些基本性质如下.定理1 设事件A ,B 为集合Ω的子集,则(i )1∅=0,1Ω=1;(i i )A =B 当且仅当1A =1B ;(i i i )A ⊂B 当且仅当1A ɤ1B ,也等价于1A 1B =1A ;(i v )A ,B 互斥当且仅当1A 1B =0;(v )A ,B 互为对立事件当且仅当1A +1B =1;(v i )1A ɘB =1A 1B =m i n {1A ,1B };(v i i )1A ɣB =1A +1B -1A 1B =m a x {1A ,1B };(v i i i )1A -B =1A (1-1B ).特别,如果B ⊂A ,则1A -B =1A -1B .易见,借助于示性函数,事件(集合)之间的布尔代数运算被转换为示性函数之间的算术运算.实际87大学数学第37卷教学中,事件的关系与运算往往由集合的关系与运算引入.作为补充,可以应用示性函数来加深学生对事件的关系与运算的理解.下面列举的例子可启发学生领会示性函数之妙.例1设A,B为集合Ω的子集.(i)可以用示性函数证明对偶原理,例如AɘB= Aɣ B.事实上,1AɘB=1-1AɘB=1-1A1B=1-(1-1 A)(1-1 B)=1 A+1 B-1 A1 B=1 Aɣ B.(i i)A,B的对称差定义为AΔBʒ=(AɣB)-(AɘB),则1AΔB=(1A-1B)2.事实上,1AΔB=1AɣB-1AɘB=(1A+1B-1A1B)-1A1B=(1A-1B)2.利用示性函数可以研究事件之间更多的关系与运算.例如,利用对称差的示性函数表示证明AΔB =(A-B)ɣ(B-A),并证明对称差满足结合律㊁交换律等.更多习题,读者可以参考相关文献[6].2.2随机变量的表示及其期望设F是样本空间Ω上的σ代数,(Ω,F)上随机变量X定义为Ω上的函数,且对任意xɪℝ, X-1((-ɕ,x])={ωɪΩʒX(ω)ɤx}ɪF.随机变量是概率论中的基本概念,实际上也是教学中的难点.一些初等概率论教材为降低难度,对可测性条件不作介绍[5].建议教师向学生简单介绍Ω上的σ代数以及随机变量的确切定义,这样概率论中其他重要概念,如事件,作为F上以事件为自变量的函数的概率,以及分布函数等概念才能恰当自然地定义.为介绍随机变量而不加重学生负担,最简单而重要的例子是示性函数.易得如下结论.定理2设(Ω,F,P)为一概率空间,A⊂Ω.则示性函数1A为随机变量当且仅当AɪF,即A是事件.此时,E(1A)=P(A).还可以用示性函数的线性组合来表示离散型随机变量.设X为随机变量,取值范围为x1,x2, ,则X=ðɕi=1x i1{X=x i},其期望为E X=ðɕi=1x i P(X=x i)=ðɕi=1x i(E1{X=x i}).引入示性函数表示随机变量,有利于随机变量的表示,也有利于期望的计算.例如,多重伯努利试验中总的成功次数可表示为各个试验中成功次数之和,因而可以写为示性函数之和.这样的表示有利于总成功次数的期望与方差的计算,还有利于更好地理解为何伯努利大数定律㊁棣莫弗-拉普拉斯定理分别为切比雪夫大数定律㊁林德伯格-莱维中心极限定理的特殊情形.又如,在教学中,离散型随机变量期望的线性性往往放在介绍多维随机变量㊁联合分布等概念之后.实际上,可以利用示性函数来证明这个性质,避免联合分布等概念以提前介绍离散型随机变量的期望及其线性性这两个重要概念.下例来自[5].用示性函数改写其中的证明,更易理解.例2设r人在共n层的某楼的底层进入电梯,每一乘客在任一层下电梯的概率相同.如果某层没有乘客下电梯,电梯不停.求乘客都下完电梯时电梯停车的次数X的数学期望.解用A i表示电梯在第i层停车这一事件.则X=ðn i=11A i.易得E X i=1-1-1n r.所以E X=ðn i=1E X i=n1-1-1n r.下例是经典结论.本质上,其证明思想与常见的对事件的概率进行运算的证明方法相同.它展示了示性函数是如何辅助计算的.例3设X为取值为非负整数的随机变量,则E X=ðɕi=1P(Xȡi).证E X=Eðɕj=1j1{X=j}=Eðɕj=1ðj i=111{X=j}=Eðɕj=1ðj i=11{X=j}=Eðɕi=1ðɕj=i1{X=j}=Eðɕi=1ðɕj=i1{X=j}=Eðɕi=11{Xȡi}=ðɕi=1E1{Xȡi}=ðɕi=1P(Xȡi).2.3 事件的概率的计算等式E (1A )=P (A )揭示了期望与概率的密切联系(事实上,可以通过约定期望应满足的公理将概率论公理化[6]),而示性函数在其中起桥梁作用.由此,概率的性质㊁计算可利用示性函数的期望来计算.下例中用示性函数证明三个事件的并的概率的加法公式.该方法可以推广到有限个甚至可数个事件的并的概率的计算公式.例4 设A ,B ,C 为任意事件,求P (A ɣB ɣC ).解 根据示性函数的性质,有1A ɣB ɣC =1-1A ɣB ɣC =1-1 A ɘ B ɘ C =1-1 A 1 B 1 C=1-(1-1A )(1-1B )(1-1C )=1A +1B +1C -1A 1B -1B 1C -1A 1C +1A 1B 1C=1A +1B +1C -1A ɘB -1B ɘC -1A ɘC +1A ɘB ɘC .从而有P (A ɣB ɣC )=E (1A ɣB ɣC )=E (1A +1B +1C -1A ɘB -1B ɘC -1A ɘC +1A ɘB ɘC )=P (A )+P (B )+P (C )-P (A ɣB )-P (B ɣC )-P (A ɣC )+P (A ɣB ɣC ).下面的问题来自来自教材[5]中习题1的第22题.例5 设A ,B ,C 为任意事件,求证P (A ɘB )+P (A ɘC )-P (B ɘC )ɤP (A ).证 P (A ɘB )+P (A ɘC )-P (B ɘC )=E (1A 1B +1A 1C -1B 1C )=E (1A 1B +1A 1C -[1A +1 A ]1B 1C )=E (1A [1B +1C -1B 1C ]-1 A 1B 1C )ɤE (1A 1B ɣC )ɤE 1A =P(A ).对上述两例中的问题,一般做法是对事件进行较为繁琐的分割.使用示性函数计算较为简洁,另有新意.2.4 分布函数的表示与计算离散型随机变量的分布函数可以用示性函数表示㊁计算.例6 独立投掷两枚均匀骰子所得点数分别为X ,Y .求最大点数M =m a x {X ,Y }的分布列.解 显然,X ,Y 独立同分布,它们的分布函数同为F (z )=161[1,2)+261[2,3)+361[3,4)+461[4,5)+561[5,6)+1[6,+ɕ)(z ).所以,M 的分布函数为F M (z )=P (X ɤz ,Y ɤz )=F (z )2=1361[1,2)+4361[2,3)+9361[3,4)+16361[4,5)+25361[5,6)+1[6,+ɕ)(z ).从F M (z )可得M 的分布列为P (M =i )=2i -136, i =1,2, ,6.该问题是初等概率论中的经典例题,易通过枚举法用古典概率计算(参[2,例2.1.3]).之所以用另外的方法计算,是因为极值分布有一般抽象计算公式[5].该公式是概率论教学中一个较难的知识点.用示性函数应用一般公式进行计算,不很复杂,且计算结果可与用古典概率得到的结果相印证.这样可以使学生更直观地理解极值分布的一般计算方法.2.5 表示分布密度许多分布密度函数是分段函数,可以很自然地用示性函数表示.形式上的表示可给计算和理解带来很多好处.如可利用示性函数来研究独立随机变量之和的概率密度函数的计算[4].我们举两个别有趣味的例子.例7 设Ω为平面上的一个可测区域,μ(Ω)>0,其中μ为平面上的面积度量.服从Ω上的均匀分布的随机变量的概率密度函数可以表示为1Ω/μ(Ω).对平面上任何可测区域A ,其几何概率为P (A )=ʏA 1μ(Ω)1Ωd x d y =1μ(Ω)ʏℝ21Ω1A d x d y =μ(A ɘΩ)μ(Ω).均匀分布㊁几何概率是初等概率论中的重要内容.上述计算可以使学生更清楚地看到几何概率的本质是97第1期 欧阳顺湘:示性函数在初等概率论中的应用均匀分布.例8设总体X服从区间[0,θ]上的均匀分布,其中θ>0为参数.设x1,x2, ,x n>0为样本.求θ的最大似然估计值.解设x(n)=m a x{x1,x2,x3, ,x n}.随机变量X的概率密度函数为f(x;θ)=1θ1[0,θ](x).因此,参数θ的最大似然函数L为L(θ)=ᵑn i=11θ1[0,θ](x i)=1θnᵑn i=11[x i,+ɕ)(θ) =1θn1ɘn i=1[x i,+ɕ)(θ)=1θn1[x(n),+ɕ)(θ)=0,θ<x(n), 1θn,θȡx(n).可见L在θ=x(n)处取到最大值.所以,θ的最大似然估计值为x(n).上例中的问题是最大似然估计理论教学中的基本问题,貌似简单,却是难点.一般教材在处理该问题的论述中常使用语言描述而使学生较为困惑.利用示性函数,将思维过程转换为形式推理,可使学生更容易理解.2.6混合矩计算公式,H o e f f d i n g公式及其他本小节内容都源于如下例子.例9设X,Y为非负随机变量,则有如下混合矩计算公式E(X Y)=ʏɕ0ʏɕ0P(X>x,Y>y)d x d y.(1)解E(X Y)=EʏX0ʏY01d x d y=Eʏɕ0ʏɕ01{X>x}1{Y>y}d x d y=ʏɕ0ʏɕ0E1{X>x,Y>y}d x d y=ʏɕ0ʏɕ0P(X>x,Y>y)d x d y.为简洁起见,在上面的计算中,对一般的随机变量进行统一处理.在初等概率论中,可以分别对离散型㊁连续型随机变量进行证明.在(1)中取Y=1可得用尾概率计算随机变量期望的公式E X=ʏɕ0P(X>x)d x.(2)综合利用(1)和(2)可得计算协方差的H o e f f d i n g公式C o v(X,Y)=ʏɕ0ʏɕ0P(X>x,Y>y)-P(X>x)P(Y>y)d x d y.(3)等式(1),(2),(3)是较为熟知的结论[7].下面强调它们的教学价值.如果非负随机变量X,Y有随机序,即对任意xɪℝ,F X(x)ȡF Y(x),则从(2)可直接得E XɤE Y.许多解析不等式可以从这个观测得到[3].学生可以从中领略概率方法在分析中的应用.从(3)可以清楚地见到独立性与不相关之间的联系与区别:两个(非负)随机变量独立蕴含它们不相关,反之不然.根据熟知的程序,从(2)出发,还可以得到马尔科夫不等式和切比雪夫不等式.由此可见,从利用示性函数证明混合矩计算公式开始,初等概率论中许多重要内容和概念,可如宝珠一样一线串连.3结论通过上述各方面的例子可见,示性函数可用于初等概率论中各个主要方面.它可用于研究事件的关系与运算,表示随机变量及其分布,计算复杂事件的概率㊁随机变量的期望和分布函数,证明与期望相关的重要不等式等.示性函数可用于帮助学生理解随机变量㊁均匀分布等重要概念,还自然地出现在如与伯努利分布相关的数字特征的计算,大数定律与中心极限定理等重要内容中.因此,在初等概率论的08大学数学第37卷教学及教材编著中,示性函数值得系统引入并加以重视.致谢 作者感谢审稿人的有益建议以及哈尔滨工业大学(深圳)本科生熊天晨同学使作者注意到例5的提问.[参 考 文 献][1] 程晓生.示性函数在概率论中的简单应用[J ].江苏科技信息,2014,20(20):91-92.[2] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M ].北京:高等教育出版社,2015.[3] 欧阳顺湘.实变函数论中的概率方法[J ].高等数学研究,2020,23(1):64-66.[4] 司存瑞,梁永吉.用示性函数计算随机变量函数的概率分布[J ].陕西教育学院学报,1994,10(1):74-80.[5] 王勇.概率论与数理统计[M ].3版.北京:高等教育出版社,2004.[6] P E T E R W.P r o b a b i l i t y v i a e x p e c t a t i o n [M ].4t he d .N e w Y o r k :S p r i n ge r ,2000.[7] 张银龙,刘国庆,王勇.妙用示性函数巧解概率问题[J ].大学数学,2010,26(6):199-202.[8] 赵俊,宗序平.示性函数在概率论中的应用[J ].洛阳师范学院学报,2009,28(5):23-24.A p p l i c a t i o n s o f I n d i c a t o rF u n c t i o n s i n I n t r o d u c t a r y P r o b a b i l i t y T h e o r yO U Y A N GS h u n -x i a n g(S c h o o l o f S c i e n c e ,H a r b i n I n s t i t u t e o fT e c h n o l o g y (S h e n z h e n ),S h e n z h e nG u a n g d o n g 518055,C h i n a )A b s t r a c t :I n d i c a t o r f u n c t i o n sa r eu b i q u i t o u s i nc o u r s e ss u c ha sr e a la n a l y s i s ,b u t t h e y a r en o tu s e dv e r y of t e ni n i n t r o d u c t o r yp r o b a b i l i t y t h e o r y .W e s h o wt h a t i n d i c a t o r f u n c t i o n s c a nb e u s e d t o i n t e r p r e t a t e s o m e f u n d a m e n t a l c o n c e p t s ,i d e a s a n d s i m p l i f y s o m e c a l c u l a t i o n i n i n t r o d u c t o r yp r o b a b i l i t y t h e o r y co u r s e .K e y wo r d s :i n d i c a t o r f u n c t i o n ;p r o b a b i l i t y t h e o r y ;e x p e c t a t i o n ;p r o b a b i l i t y ;e v e n t ;d i s t r i b u t i o n 18第1期 欧阳顺湘:示性函数在初等概率论中的应用。
sumif函数的使用例子求平均值在Excel中,SUMIF函数是非常常用且有用的函数之一。
它可以根据指定的条件,对符合条件的单元格进行求和运算。
除了简单的求和功能外,SUMIF函数还有许多其他强大的用途。
在本文中,我们将为你提供一些SUMIF函数的使用例子,并解释如何使用SUMIF函数来求平均值。
首先,让我们来了解一下SUMIF函数的基本语法。
SUMIF函数的语法如下:SUMIF(range, criteria, sum_range)其中,range是要检查的区域,criteria是要满足的条件,sum_range是要求和的区域。
具体来说,range可以是一个单个单元格,也可以是一个单元格区域;criteria可以是一个数值,也可以是一个条件;sum_range可以是一个单个单元格,也可以是一个单元格区域。
接下来,我们将提供一个使用SUMIF函数来求平均值的例子。
假设我们有一个包含学生分数的Excel表格,其中A列为学生姓名,B列为学生成绩。
我们希望根据学生姓名来计算每个学生的平均分。
下面是具体的步骤:1. 首先,在一个空白单元格中输入以下SUMIF函数的公式:=SUMIF(A:A, "学生姓名", B:B)2. 在这个公式中,A:A是要检查的区域,"学生姓名"是要满足的条件,B:B是要求和的区域。
3. 这个公式将根据条件"学生姓名"来检查A列中的单元格,并对满足条件的相应B列中的分数进行求和。
4. 然后,按下回车键,你将得到一个总分。
5. 最后,我们需要将总分除以相应学生的总数,以求得每个学生的平均分。
具体做法是在另一个空白单元格中输入以下公式:=原始总分/学生总数6. 这个公式将用原始总分除以学生总数来求得平均分。
通过以上步骤,你可以使用SUMIF函数来计算每个学生的平均分。
这是一个简单的例子,但它展示了SUMIF函数强大的求和功能以及如何将其应用于更复杂的情况。
教学·视角学科素养导向下的初中数学单元教学———以“一次函数”为例文|陈媛为了保证教学的综合性及学生认知的完整性,初中数学需要更加重视单元教学。
学生数学核心素养的养成,需要教师以学科素养为导向,进行各种有效教学策略的实用性探索。
据此,现结合“一次函数”教学实际,进行学科素养导向下的初中数学单元教学设计分析。
以单元教学目标定位为出发点,重点涉及课前结构分析的准备、课中有效策略的使用、课后鼓励学生总结知识结构等要点。
一、单元教学要素分析(一)教学内容分析一次函数是初中各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点以及函数的研究方法、思维方式、应用模式。
因此,学好一次函数是学好其他函数的前提。
与此同时,数形结合是一次函数学习期间所必须掌握的重要思想,教师在教学中应设置较多应用一次函数图象的实际问题,使学生观察并描点画图,进行变量变化规律的研究,从而深入探讨函数中数和形的对应关系,由此培养学生处理一次函数问题的能力。
此外,因为一次函数的广泛应用性,所以应在具体教学期间,借助生活素材,深化学生对函数现实功能的理解等。
(二)教学目标要求1.帮助学生了解一次函数的概念、图象和性质;可基于函数定义式进行一次函数图象描绘;基于图象确认一次函数的函数式;可完成一次函数实际应用的探索与认知。
2.利用理论教学和实例引导,提高学生的整体认知能力及自主学习能力;培养学生观察、归纳及分析问题的能力;用创设情境的办法帮助学生了解函数的实际运用方式。
3.学生能获得数学基础知识,能获得提高其数学思维能力与解决问题的能力;学生学习数学的兴趣能得到提升;学生拥有更为独立、自主的学习态度。
(三)教学重难点本单元的教学重点在于帮助学生理解一次函数的概念和性质,并掌握一次函数图象描绘、应用的方法。
本单元的教学难点是解决包含一次函数知识的具体实例问题。
二、单元教学流程梳理(一)在课前准备时明确单元的结构特点在探讨一次函数单元结构化特点时可以看到,教材中涉及函数、一次函数,以及正比例函数、一次函数图象、一次函数应用等多个方面的内容。
高中二次函数知识点总结在高中数学学习中,二次函数是一个重要的篇章。
它是形式为f(x)= ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c是实数且a不等于零。
在本文中,我将对高中二次函数的一些重要知识点进行总结,以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、二次函数的图像特性1. 平移变换:对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c,a决定了图像的开口方向,a>0时开口向上,a<0时开口向下。
而b决定了图像的水平平移,正值向左平移,负值向右平移。
2. 最值:当二次函数开口向上时,图像的最小值为顶点,当二次函数开口向下时,图像的最大值为顶点。
顶点的横坐标为-x轴b/2a处,纵坐标为f(-b/2a)。
3. 对称轴:二次函数的对称轴为经过顶点的直线,它与开口方向垂直。
对称轴的方程为x = -b/2a。
二、二次函数的解与方程解法1. 二次函数的解:当二次函数满足f(x) = 0时,函数的解为方程的根。
可以利用因式分解、配方法和求根公式等不同方法来解二次方程。
2. 因式分解法:对于形如f(x) = ax^2 + bx + c = 0的二次方程,可以尝试将其因式分解为两个一次因式的乘积,再分别求解。
例如,当a=1时,可将方程写为(x + m)(x + n) = 0的形式,通过求解m、n来得到方程的根。
3. 配方法:对于一些无法直接因式分解的二次方程,可以通过配方法将其转化为可分解因式的形式。
具体做法是将方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0两边同时乘以一个适当的系数,使得方程右边成为一个完全平方的形式,在进行因式分解。
4. 求根公式:二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以通过求根公式x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a来求解。
其中,sqrt表示平方根。
这个公式可以直接得到二次方程的解,适用于所有形式的二次方程。
三、二次函数在实际问题中的应用1. 最值问题:二次函数在实际问题中常常被用于求解最值问题。
38中学数学研究2020年第7期(下)一个三角函数配角公式及其应用江苏省盱眙中学(211700)董培仁苏教版高中数学必修4第107页有这样的例题:例求函数y =12sin x +√32cos x 的最大值.处理此题最重要的一步是将函数化为一个角的一个三角函数的形式,即:y =sin x cos π3+cos x sin π3=sin (x +π3),然后再求得最大值1.一般地,将a sin x +b cos x (a,b 不全为0)化为r sin (x +φ)或r cos (x −φ)的形式,在三角运算中经常涉及,但教材中并没有把a sin x +b cos x =r sin (x +φ)(或r cos (x −φ))作为公式,通常只是作为一种方法呈现.教学中我们发现,作为公式进行推导并揭示公式的意义,可以促进学生深刻理解并迅速准确地应用.1三角函数配角公式的推导及其配角意义的探讨1.1正弦型配角公式基于两角和的正弦公式sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β,可作以下考虑:设a sin x +b cos x =r sin (x +φ),将式展开,则a sin x +b cos x =r (sin x cos φ+cos x sin φ),所以a =r cos φ,b =r sin φ(其中r >0),则a 2+b 2=(r cos φ)2+(r sin φ)2=r 2(cos 2φ+sin 2φ)=r 2,所以r =√a 2+b 2,于是得到cos φ=a √a 2+b 2,sin φ=b√a 2+b 2.因此有配角公式a sin x +b cos x =√a 2+b 2sin (x +φ),我们称这个公式为三角函数正弦型配角公式,其中√a 2+b 2为系数,φ称为配角,配角φ由sin φ=b √a 2+b 2cos φ=a √a 2+b 2确定.但这样确定φ不直接、不直观,使用起来不方便,也容易出错.代入4a 2−2ab +4b 2−c =0,整理得:24a 2−18ta +4t 2−c =0把这个等式看做关于a 的一元二次式,那么必有∆ 0,即8c −5t 2 0,则t 2 8c5.结合均值不等式知:当且仅当 a =32√c 10b =√c 10或 a =−32√c 10b =−√c 10时3a −4b +5c 取最小值,将a,b 代入得3a −4b +5c =5c ±2√10√c−2.方法二(朗格朗日乘数法求解):构造拉格朗日函数:L (a,b,λ)=(2a +b )2+λ(4a 2−2ab +4b 2−c)∴L a=8a +4b +8λa −2bλ=0,L b =4a +2b +8λb −2aλ=0,L λ=4a 2−2ab +4b 2−c =0,从L a 和L b 中分离出λ,整理得2a =3b ,再代入L λ解得|2a +b |的最大值是√85c ,再令2a =3b =k ,那么c =203k 2,最后代入到3a −4b +5c,解得最小值为−2.实际上使用拉格朗日乘数法解答的题目还有很多,例如2018年的全国高中数学联合竞赛四川省初赛第14题,2012年,2011年浙江省高考,2010重庆高考等等在此不再一一赘述.4思考升华目前双变量甚至多变量问题主要还是依赖于使用均值不等式和柯西不等式进行配方或是利用根的判别式进行计算寻找范围,这样的做法对学生的要求较高,作为一线教育工作者,笔者认为应当积极的去发现探索使用更加高级的工具进行解题辅助,应该帮助学生用更高的眼光去看待问题,解决问题,开阔学生视野,使得学生发现数学的美,这种干净准确的美是其他学科所没有的,进而更进一步激发学生学习数学的兴趣.参考文献[1]华东师范大学数学系,数学分析(第四版上册),北京,高等教育出版社,2010.7.[2]吕荣春,高观点下函数压轴题的系统性解读,成都,电子科技大学出版社,2017.9(2018.3复印).2020年第7期(下)中学数学研究39如何使配角φ的确定变得直接、直观(也就是看到a,b就能迅速准确地确定出φ)呢?考虑到正弦、余弦的规定:当φ的终边经过点(a,b )时,则sin φ=b √a 2+b 2,cos φ=a √a 2+b2.因此,三角函数配角公式a sin x +b cos x =√a 2+b 2sin (x +φ)中的配角φ的终边经过点P (a,b )(与角φ正、余弦定义一致,如图1),√a 2+b 2即为|OP |的值.1.2余弦型配角公式若基于两角差的余弦公式cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β,可作以下考虑:设a sin x +b cos x =r cos (x −φ),则a sin x +b cos x =r (cos x cos φ+sin x sin φ),所以a =r sin φ,b =r cos φ(其中r >0),则a 2+b 2=(r sin φ)2+(r cos φ)2=r 2(sin 2φ+cos 2φ)=r 2,所以r =√a 2+b 2,于是得到sin φ=a √a 2+b 2,cos φ=b √a 2+b 2.因此有配角公式a sin x +b cos x =√a 2+b 2cos (x −φ),我们称这个公式为三角函数余弦型配角公式,其中√a 2+b 2为系数,φ称为配角.配角φ由 sin φ=a √a 2+b 2cos φ=b √a 2+b 2确定,但这样确定的φ没有明显的意义,不能迅速准确地确定φ,必须单独计算,使用起来不方便,也容易出错.一般情况下,不用三角函数余弦型配角公式处理问题.2三角函数配角公式的应用应用三角函数正弦型配角公式a sin x +b cos x =√a 2+b 2sin (x +φ)时,配角φ的终边过(a,b ),我们可以迅速准确地确定一个φ或它的各个三角函数值,为我们解题带来方便.例1化下列各式为一个角的一个三角函数的形式:(1)3sin x +√3cos x ;(2)√2sin x −√2cos x ;(3)√15cos x −√5sinx .解(1)设3sin x +√3cos x =√32+(√3)2sin (x +φ),φ的终边经过点P (3,√3),则很容易取到一个φ=π6(如图2),∴原式=2√3sin (x +π6).(2)设√2sin x −√2cos x =√(√2)2+(√2)2sin (x +φ),配角φ的终边经过点P (√2,−√2),则很容易取到一个φ=−π4(图略)∴原式=2sin (x −π4).(3)由于√15cos x −√5sin x =−√5sin x +√15cos x .设−√5sin x +√15cos x =√(−√5)2+(√15)2sin (x +φ),则配角φ的终边经过点P (−√5,√15),则很容易取到一个φ=2π3(图略),∴原式=2√5sin (x +2π3).例2求下列函数的值域:(1)y =4sin x +3cos x (x ∈[0,π4])的值域;(2)求函数y =cos x −1sinx +2的值域.解(1)由配角公式,可设4sin x +3cos x =√42+32sin (x +φ),φ的终边经过点P (4,3),其中一个φ∈[0,π4].由x ∈[0,π4]可得x +φ∈[0,π2],故y =4sin x +3cos x ,即y =5sin (x +φ)在区间[0,π4]是增函数,则当x =0时,y min =3;当x =π4时,y max =72√2.故函数y =4sin x +3cos x (x ∈[0,π4])的值域是[3,72√2].(3)由y =cos x −1sin x +2得y sin x +2y =cos x −1,即y sin x −cos x =−2y −1.由配角公式,设y sin x −cos x =√y 2+1sin (x +φ),其中φ的终边经过点P (y,−1),则√y 2+1sin (x +φ)=−2y −1,即sin (x +φ)=−2y −1√y 2+1,所以 −2y −1√y 2+11,解得−43y 0.故函数y =cos x −1sin x +2的值域为[−43,0].例3在椭圆x 2100+y225=1上求一点P ,使点P 到直线l :3x +8y +72=0的距离d 最大.解设P (10cos θ,5sin θ),则d =|30cos θ+40sin θ+72|√73=|40sin θ+30cos θ+72|√73=|50sin (θ+ϕ)+72|√73.40中学数学研究2020年第7期(下)最值问题有法可依基本图形彰显魅力—–“最短路径问题”在几何解题中的应用广东省东莞市东华初级中学(523128)胡厚伟摘要本文以数学史中的“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的研究,从问题中抽象出几何基本图形,理清基本图形所蕴含的基本知识、基本原理;借助轴对称、三角形三边关系、平移变换等知识解决几何最值问题;变换不同背景,提升学生的应用知识的能力;回归生活实际,培养和激发学生学习数学的兴趣,从而提升学生思维品质、发展学生核心素养.关键词基本图形;最值;提炼;提升;培养现实生活中经常遇到最短路径问题,数学史中的“将军饮马”就是最典型的最短路径问题之一.初中阶段主要以“两点之间,线段最短”“垂线段最短”为基础知识,借助于轴对称、三角形三边关系、平移变换、数形结合与转化思想进行研究.此类问题只要抓住基本图形,牢牢的抓住这一神器不放手,以不变应万变,几何中的最值问题就迎刃而解.下面,笔者以八年级上册“最短路径问题”为例,谈谈基本图形在几何解题中的魅力所在.1典故引入孕育几何的基本图形情境描述“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗.而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称之为“将军饮马”.这个问题可描述为:如图1,将军从军营A出发先到河边饮马,然后去同侧的B地开会,问:将军应该怎样走才能使路程最短?图1图2分析说明对于八年级的学生而言,“将军饮马”这个典故小学就已经接触过,但小学的老师只是把这个典故讲给学生听,并没有给学生讲明白这个典故中所蕴含的基本原理,涉及到的知识和方法.在日常教学中,以学生非常熟悉的典故引入新课,可以激发学生探究新知的欲望,培养学生学习数学的兴趣.将生活中的“将军饮马”问题抽象为“如图2,在直线l上找一点P使得P A+P B之和最小?”的几何最值问题,然后用相关数学知识来解决问题.2提炼图形理清知识的来龙去脉基本图形A、B两点在直线MN的两侧(如图3)或同侧(如图4)时,基于“两点之间,线段最短”为基础知识,解决求AP+BP之和的最小值问题.图3图440sinθ+30cosθ=√402+302sin(θ+ϕ),其中φ的终边经过点(40,30),则d=|50sin(θ+ϕ)+72|√73(*)且有sinϕ=3050=35,cosϕ=4050=45.由(*)式易知,d最大时sin(θ+ϕ)=1,可得θ+ϕ=π2+2kπ(k∈Z),即θ=π2−ϕ+2kπ(k∈Z),则cosθ=cos(π2−ϕ)=sinϕ=35,sinθ=sin(π2−ϕ)=cosϕ=45,即10cosθ=6,5sinθ=4.故所求的点P为(6,4).参考文献[1]单壿.苏教版普通高中数学课程标准实验教科书数学4(必修)[M].南京:江苏凤凰教育出版社,2012.(6:107)。
第1篇一、活动背景为了提高教师对函数教学的认识,提升课堂教学效果,我校数学教研组于2021年10月15日开展了以“函数教学的有效策略”为主题的教研活动。
本次活动邀请了资深数学教师张老师担任主讲,旨在通过交流、研讨,促进教师对函数教学的理解和实践。
二、活动时间及地点活动时间:2021年10月15日活动地点:学校会议室三、活动参与人员数学教研组全体教师、学校领导四、活动流程1. 开场致辞2. 主讲教师授课3. 教师互动交流4. 总结发言5. 活动结束五、活动内容1. 开场致辞学校领导对本次活动表示了高度重视,强调函数教学在数学教学中的重要性,希望全体教师能够积极参与,认真学习,提升自身教学水平。
2. 主讲教师授课张老师以“一次函数”为例,详细讲解了函数教学的有效策略。
他首先介绍了函数的基本概念、性质和图像,然后结合实例分析了函数在生活中的应用。
张老师强调,函数教学要注重以下几个方面:(1)注重基础知识的学习,让学生掌握函数的基本概念、性质和图像。
(2)强化数学思维能力培养,引导学生从多个角度理解函数。
(3)关注学生个体差异,因材施教,提高课堂教学效果。
(4)结合实际生活,让学生体会函数在生活中的应用。
3. 教师互动交流在主讲教师授课结束后,老师们围绕以下问题进行了互动交流:(1)如何激发学生对函数学习的兴趣?(2)如何在课堂教学中培养学生的数学思维能力?(3)如何根据学生个体差异进行教学?(4)如何将函数教学与实际生活相结合?在交流过程中,老师们各抒己见,分享了自己的教学经验和心得。
大家一致认为,要提升函数教学效果,教师需具备以下能力:(1)深厚的数学功底,能够准确把握函数教学的重难点。
(2)良好的课堂组织能力,能够激发学生的学习兴趣。
(3)关注学生个体差异,因材施教。
(4)善于将函数教学与实际生活相结合。
4. 总结发言教研组长对本次活动进行了总结,肯定了大家在交流过程中的积极态度和所提出的宝贵意见。
第40卷第7期大 学 物 理Vol.40No.72021年7月COLLEGE PHYSICSJuly2021 收稿日期:202-10-10;修回日期:2020-11-05 基金项目:国家自然科学基金(12071021);北京交通大学研究生课程建设项目(134869522)资助 作者简介:郑神州(1965—),男,浙江临海人,北京交通大学理学院教授,博士,博士生导师,主要从事偏微分方程理论和应用研究.狄拉克δ-函数及有关应用郑神州1,康秀英2(1.北京交通大学理学院,北京 100044;2.北京师范大学物理系,北京 100875)摘要:狄拉克δ-函数实际上是离散情况下的Kroneckerδ-函数的连续化,它在数学和物理中都有重要的应用.基于广义函数概念引入狄拉克δ-函数的精确定义,证实狄拉克δ-函数不是通常Lebesgue局部可积意义下的普通函数;文中分别以单位矩形脉冲函数、高斯函数、钟形函数和Sinc函数的序列在弱极限意义下来逼近狄拉克δ-函数.另外,验证了狄拉克δ-函数可以作为Heaviside函数的广义导数,以及其高价广义导数,并给出狄拉克δ-函数的卷积性质、伸缩性质、复合变换性质、正交性和狄拉克梳函数,最后引入了狄拉克δ-函数与广义傅里叶变换的关系,以及其在泊松方程Dirichlet边值问题求解中的应用.关键词:狄拉克δ-函数,广义函数,弱极限,广义傅里叶变换格林函数中图分类号:O4-1 文献标识码:A 文章编号:1000 0712(2021)07 0025 05【DOI】10.16854/j.cnki.1000 0712.200456狄拉克δ-函数是一类“奇怪”的函数,有广泛应用.它按照通常古典的函数定义方式是无法做到,实际上它是非通常意义下的“函数”,更准确地称为“广义函数、Schwarz分布函数或泛函”,它是以英国理论物理学家狄拉克名字命名的,在数学和物理中有着独特的地位[1,2].狄拉克δ-函数可以用来描写物理学中一切点量,如:点质量、点电荷、瞬时源等;数学上可以进行微分和积分变换,为处理数学物理问题带来极大的方便.尤其它在偏微分方程、数学物理方程、傅立叶分析和概率论等领域都离不开这个函数的应用[3-7],有了狄拉克δ-函数,傅立叶变换就不受绝对可积条件限制,通常称为广义傅立叶变换.狄拉克δ-函数具有悠久的历史,这得从Krone ckerδ-函数讲起,Kroneckerδ-函数非常简单:δij=1,i=j0,i≠jp (1)对于一列数{ai},i=1,2,...有 jδijaj=ai,并满足规范化 jδij=1,对称化δij=δji.将离散的序列{ai}转化为连续的函数f(x),将以上式子类似地写成积分式:∫∞-∞f(x)δ(x-x0)dx=f(x0)(2)(简记:(f δ)(x)=f(x),f(x)δ(x)=f(0)δ(x))∫∞-∞δ(x-x0)dx=1(3)δ(x-x0)=δ(x0-x)(4)从离散过渡到连续,自然地从求和过渡到积分;这看起来两种δ-函数很雷同了.所以狄拉克δ-函数就达到类似于Kroneckerδ-函数的选择器效果,对于δ-函数的选择器作用是泊松先提出的,后来Cauchy利用它的选择器性质研究了许多应用问题,进一步地傅里叶给出了其无穷级数表示,在此基础上狄拉克对研究量子力学时发现了连续型的δ-函数重要作用.物理上看,狄拉克δ-函数可以看成一些通常意义下函数列的逼近,但严格的数学理论表明:这不是通常意义下的极限(这是泛函意义下的极限,或称“弱收敛”).事实上,其真正严格意义下的定义方式是在Schwarz分布函数[2](广义函数或泛函)基础上才有的,这表明从此物理上广泛实用的狄拉克δ-函数可做数学严谨的推理了.在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数(狄拉克δ-函数)[3],如:在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况.像这种常用来表示为集中在一点上单位量的质点、点电荷、瞬时力等的密度分布就是狄拉克δ-函数应用的实际背景;其特点是该函数在除了零以外的点取值都等于零,而其在整个定义域上的积分等26 大 学 物 理 第40卷于1.这种对又窄又高的尖峰函数的逼近(脉冲)有着特殊的应用,如:球棒撞击棒球接触的瞬间力作用,其密度分布函数δ(x).物理和工程上的狄拉克δ-函数通常是这样来引入的:δ(x)=∞ x=00 x≠0p ,∫∞-∞δ(x)dx=1,但这种方式定义在数学上有着明显的缺陷,是无法进行严格推理的.实际上,这不能用通常的函数来理解,严格说狄拉克δ-函数不算是一个普通函数;由于它集中在一点上的值为无穷大(无穷大的任意倍数还是无穷大),其通常函数在一点上的积分为0(没有面积).本论述从数学严格的狄拉克δ-函数定义出发,综述其基本性质,以及考虑其在数学和物理学科中的重要应用[3-7];这起抛砖引玉作用,也为狄拉克δ-函数的进一步应用建立起数学理论基础.1 狄拉克δ-函数作为广义函数定义1)广义函数[2,5]:δ-函数的准确定义需要从广义函数有关概念出发:设函数列φ(x),φn(x)∈C∞0(R)(无穷光滑的且具有紧支集),若存在M>0使得|x|>M时对任意自然数n有φ(x)=0,φn(x)=0且对k=0,1,2,..满足limn→∞supx∈[-M,M]φ(k)n(x)-φ(k)(x)=0(5)其中φ(k)(x)表示k阶导数,k=0表示原函数.则称序列φn(x)收敛于φ(x),此时称C∞0(R)为基本空间,记作函数D(R);φ(x)∈D(R)称为试验函数.若f是D(R)上的连续线性泛函,称f是D(R)上的广义函数.对于试验函数φ(x)∈D(R),用〈f,φ〉表示它所对应的泛函值,称为对偶积.D(R)上广义函数全体记成D′(R).2)狄拉克δ-函数定义[1,5]〈δ,φ〉=φ(0), φ∈D(R)(6)它是广义函数.事实上:①δ(x)是线性的:对于任意的α、β∈R以及φ1(x)、φ2(x)∈D(R),有〈δ,αφ1+βφ2〉=αφ1(0)+βφ2(0)=α〈δ,φ1〉+β〈δ,φ2〉(7)②δ(x)是连续泛函:对于φn(x)∈D(R),若limn→∞φn(x)=φ(x),有limn→∞〈δ,φn〉=limn→∞φn(0)=φ(0)=〈δ,φ〉(8)这里要强调的广义函数收敛性一定要在试验函数作用下收敛的,泛函分析中称为弱收敛.3)狄拉克δ-函数不是通常意义下“函数”.首先,普通意义下的函数一定是广义函数,作为一般Lebesgue意义下的局部可积函数可以等同于广义函数.事实上,实轴上局部可积函数Lloc(R)对任意的闭区间[a,b],有∫ba|f(x)|dx<∞.定义对偶积为〈F,φ〉=∫∞-∞f(x)φ(x)dx(9)简单的验证:这是一个线性连续泛函.任一个局部可积函数按以上做法都有唯一的广义函数与之对应,且可证明:不同的局部可积函数对应于不同的广义函数,并保持线性运算不变;这样可以将局部可积函数f等同于与其对应的广义函数F.反之,狄拉克δ-函数不是通常函数,没有局部可积函数与之对应[1,5].事实上,反证法:若存在这样的局部可积函数f(x),有〈f,φ〉=∫∞-∞f(x)φ(x)dx=〈δ,φ〉=φ(0), φ∈D(R)(10)特别地取特殊的试验函数为φ(x)=e-11-x2+1,x≤10,x>1p (11)则φ(nx)∈D(R),且 ∫∞-∞f(x)φ(nx)dx=φ(0)=1, n∈N(12)但另一方面∫∞-∞f(x)φ(nx)dx=∫1n-1nf(x)φ(nx)dx≤∫1n-1nf(x)dx→0, (n→∞)(13)这是一个矛盾,所以狄拉克δ-函数没有局部可积函数与之对应.2 狄拉克δ-函数的逼近方式上面定义的广义函数有点抽象,下面我们从物理直观上,用各种函数列逼近的方式来理解狄拉克δ-函数,这种逼近也不是通常意义下的极限,而是泛函意义下的逼近,是一种弱形式的极限[1,2,5].例如:1)用一个积分值为1矩形脉冲函数序列{Hn(t)}序列的弱极限来逼近.从直观上看,函数序列{Hn(t)}是在区间-1n,1ny r 上一系列均匀地放置单位质量所产生的质量分布密度,当n趋向无穷时,其广义极限(弱极限)就是在原点上放置单位质量第7期郑神州,等:狄拉克δ-函数及有关应用27 所产生的质量分布密度.因此,狄拉克δ-函数就是在原点上放置单位质量所产生的分布密度.数学推导:对任意正整数n,在-1n,1ny r 上均匀地放置单位质量的分布密度Hn(t)=n2,t<1n0,t>1n(14)显然Hn(t)∈Lloc(R)(积分值不超过1).对任意φ(x)∈D(R),有〈Hn,φ〉=∫∞-∞Hn(x)φ(x)dx=n2∫1n-1nφ(x)dx(15)用积分中值定理于φ(x)∈D(R)得到limn→∞〈Hn,φ〉=φ(0)=〈δ,φ〉.所以δ(x)是Hn(t)弱极限.同理可以得到逼近δ(x)的其它常用函数列.2)对于任意φ(x)∈D(R),有:对ρt(x)=12aπ槡te-x24a2t(高斯函数,或称正态分布密度函数), limt→0+〈ρt(x),φ〉=limt→0+∫∞-∞12aπ槡te-x24a2tφ(x)dx=δ(0)=〈δ,φ〉.3)对ρa(x)=aπa2+x2C o (钟形函数),lima→0〈ρa(x),φ〉=〈δ,φ〉.4)ρn(x)=sinnxπx(Sinc函数), limn→∞〈ρa(x),φ〉=〈δ,φ〉.3 广义导数(弱导数)和狄拉克δ-函数先给出广义导数定义:对一个广义函数f∈D′(R),若存在f′使得〈f′,φ〉=-〈f,φ′〉, φ∈D(R)(16)则称为广义函数f有一阶广义导数,其广义导数为f′(见文献[1,2,5]).一般地,定义k-阶广义导数为;若有f(k)使得〈f(k),φ〉=(-1)k〈f,φ(k)〉, φ∈D(R)(17)称f(k)为广义函数f的k-阶广义导数,k=1,2,….注:通常意义下的导数一定是广义导数,其本质就是分部积分公式;反之不对,从定义得知:广义导数不是逐点定义的.例如:Heaviside函数H(x)=1,x≥00,x<0p (18)对于任意φ(x)∈D(R),则有〈H′,φ〉=-〈H,φ′〉=-∫∞-∞H(x)φ(x)dx=-∫∞0φ(x)dx=φ(0)=〈δ,φ〉(19)所以狄拉克δ-函数可看作是Heaviside函数的广义导数.考虑函数|x|的第m阶广义导数(m为不小于1自然数),有〈|x|′,φ〉=-〈|x|,φ′〉=-∫∞-∞|x|φ(x)dx=∫0-∞xφ(x)dx-∫∞0xφ(x)dx=-∫0-∞φ(x)dx+xφ∞0+∫∞0φ(x)dx-xφ0-∞=-∫0-∞φ(x)dx+∫∞0φ(x)dx=∫∞-∞g(x)φ(x)dx=〈g,φ〉(20)其中g(x)=1,x≥0-1,x<0p .所以|x|′=2H(x)-1.一般地|x|(m)=2δ(m-1), m≥2(21)4 狄拉克δ-函数性质和广义傅里叶变换[1,3,5]两个已知函数f1(t)、f2(t)卷积定义:f1(t) f2(t)=∫+∞-∞f1(τ)f2(t-τ)dτ(22)狄拉克δ(x)函数一些重要性质:1)卷积性质 ∫∞-∞f(x)δ(x)dx=f(0),∫∞-∞f(x-x0)δ(x)dx=f(x0)(23)这里若取f(x)=1,则有∫∞-∞δ(x)dx=1.更一般地,∫baf(x)δ(x-x0)dx=f(x0),x0∈(a,b)0,x0(a,b)p .2)积分下作一个变量代换得到伸缩变换:δ(ax)=1aδ(x)(a≠0).一般地,狄拉克δ(x)函数的复合:设an为连续函数f(x)的单零点(即:f(an)=0,f′(an)≠0),则有δ[f(x)]= nδ(x-an)f′(an).事实上,对于试验函数φ(x)∈D(R)和f(x)的单零点an,由于f(an)=0,f′(an)≠0,在每个an存28 大 学 物 理 第40卷在邻域都是一一对应,作局部的变量代换y=f(x)∫∞-∞φ(x)δ[f(x)]dx= i∫ai+εai-εφ(x)δ[f(x)]dx= i∫f(ai+ε)f(ai-ε)φ[f-1(y)]δ(y)dy|f′(x)|= iφ(ai)|f′(ai)|(24)从而δ[f(x)]= nδ(x-an)f′(an)(见[6]).由此f(x)=(x2-a2) δ(x2-a2)=12|a|δ(x-a)+δ(x+a)C o(25)3)正交性:设{ n(x)}是区间(a,b)上函数空间的一个完备正交基函数,n(x)为 n(x)的共轭函数,则对于(a,b)上任意两个内点x,x0∈(a,b),有: nn(x) n(x0)=δ(x-x0).事实上,由狄拉克δ(x)函数的卷积性质,对于任意的f(x)∈C∞0(a,b),所以只要证∫baf(x)nn(x) n(x0)C o dx=f(x0)即可.由于{ n(x)}是完备正交基,f(x)= mcmm(x),cm=∫bam(x)f(x)dx,则A=∫baf(x) nn(x) n(x0)C o dx= ∫bamcmm(x) nn(x) n(x0)C o dx= mcm n∫bam(x) n(x)dxC o n(x0)(26)考虑{ n(x)}是正交基∫bam(x) n(x)dx=δmnA= mcmnδmnn(x0)= mcmm(x0)=f(x0)(27)得证.4)狄拉克梳函数[1,8]:平移狄拉克δ(x)-函数的无穷级数Comba(x)= ∞m=-∞δ(x-ma)称为狄拉克梳函数(a≠0).对此,我们有F[Comba(x)]=Comb1a(ω)(28)即狄拉克梳函数的傅里叶变换仍是狄拉克梳函数.事实上,考虑函数列1a槡e-2πimx/ap i ∞-∞是周期为|a|单位正交基(三角函数正交系),狄拉克梳函数Comba(x)是以|a|为周期的函数,傅里叶级数展开:∞m=-∞δ(x-ma)=1a ∞n=-∞e-2πinx/a.所以,由傅里叶变换的平移性质:F[Comba(x)]=F[ ∞m=-∞δ(x-ma)]=∞m=-∞e-i2πmaω= ∞k=-∞δω-k1aC o=Comb1a(ω)(29)得证.5)三维狄拉克函数:δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z),即:δ(x,y,z)=0, x2+y2+z2≠0∞, x2+y2+z2=0p ,∞-∞δ(x,y,z)dxdydz=1.类似于一维的性质:∞-∞f(x,y,z)δ(x-x0,y-y0,z-z0)dxdydz=f(x0,y0,z0), f(x,y,z)∈C(R3)常见的一些重要函数,如:常数函数,符号函数,单位阶跃函数以及正余弦函数等不满足傅里叶积分定理的绝对可积条件,即不满足条件∫ba|f(x)|dx<∞,所以一般的傅里叶变换不存在;但引入δ(x)-函数可以求它的广义傅里叶变换.按照经典数学函数的定义,功率信号(比如周期信号,最典型的是正弦余弦函数)的傅里叶变换是不存在的,但如果引入了广义函数概念,则可以求得功率信号的广义傅里叶变换,于是我们就可以方便地进行频谱分析了[1,5,8].例如:1)δ(x)函数的傅里叶变换为1,即:F[δ(x)]=1.事实上F[δ(t)]=∫+∞-∞δ(t)e-iωtdt=e-iωtt=0=1.2)Heaviside函数H(x)=1,x≥00,x<0p 定义在x轴上不是绝对可积的,但它却有广义傅里叶变换1iω+πδ(ω).3)又如求正弦函数f(t)=sinω0t的不是绝对可积的,但它的广义傅里叶变换F(ω)=F[f(t)]=∫+∞-∞e-iωtsinω0tdt=第7期郑神州,等:狄拉克δ-函数及有关应用29 12i∫+∞-∞(eiω0te-iωt-ei(-ω0)te-iωt)dt=12i2πδ(ω-ω0)-2πδ(ω+ω0)=iπδ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)(30)一般地,不满足可积性条件函数的广义傅里叶变换,其像函数通常与狄拉克δ-函数有关[8].5 δ-函数在边值问题中的应用基本解和格林函数是由δ-函数来定义的.这里以拉普拉斯算子为例谈论其在线性偏微分方程中边值问题求解中的应用.若在3维空间中坐标原点放置一个单位正电荷,即电荷密度分布函数为δ-函数,这时电位满足方程-ΔΓ=δ(r),这里拉普拉斯算子Δ= 2x2+ 2y2+2z2;则其解(拉普拉斯方程的基本解)为Γ(x,y,z)=14πr,其中r=x2+y2+z槡2.事实上,对方程两边同时作傅里叶变换Γ(ρ)=F[Γ(r)]= R3Γ(r)e-iρ·rdr,则有ρ2Γ=1 Γ=1ρ2,其中ρ=|ρ|;再作傅里叶逆变换Γ(r)=F-1[Γ(ρ)]=18π3 R3Γ(ρ)eiρ·rdρ=14πr.于是对全空间具有电荷分布为f(r)的泊松方程-Δu=f(r),电位u的解为u(r)= R314π|r-r′|f(r′)dr′.而在一个区域Ω R3内放置一个单位正电荷,并保持边界值为零,即满足-ΔG=δ(r), r∈ΩGΩ=0, r∈ Ωp ,这样的解函数称为格林函数.格林函数在偏微分方程中有重要的作用,对于线性问题,不论外力项和边界值,该问题求解统一化为求只与区域形状有关的格林函数,当其区域比较特殊时,利用物理意义(如镜像法)可以解出其格林函数具体表达式.这时-Δu=f(r), r∈Ωu Ω=φ(r), r∈ Ωp 的解就可以表示为:对于任意r∈Ω,有u(r)= ΩG(r,r′)f(r′)dr′+ ΩnG(r,r′)φ(r′)dSr′(31)其中n为 Ω上的外单位法向向量.参考文献:[1] HoskinsRF.Deltafunctions:introductiontogeneralisedfunctions[M].2nded.WoodheadPublishingLimited,2010.[2] L施瓦兹.广义函数论[M].姚家燕,译.北京:高等教育出版社,2010.[3] 梁昆淼.数学物理方法[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.[4] 库朗,希尔伯特.数学物理方法:1、2卷[M].北京:科学出版社,1981.[5] 姜礼尚,陈亚浙,刘西垣,等.数学物理方程讲义[M].3版.北京:高等教育出版社,2007.[6] 姜礼尚.偏微分方程选讲[M].北京:高等教出版社,1997.[7] 谷超豪,李大潜,陈恕行.数学物理方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2012.[8] BradG.Osgood.LecturesontheFouriertransformanditsapplications[M].Providence,RhodeIsland:AmericanMathematicalSociety,2019,33.Diracδ-functionanditsrelatedapplicationsZHENGShen zhou,KANGXiu ying(1.CollegeofScience,BeijingJiaotongUniversity,Beijing100044,China;2.DepartmentofPhysics,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China)Abstract:ItisindicatedthatDiracδ-functionisacontinuationofthediscreteKroneckerδ-function,whichplaysanimportantroleinbothmathematicsandphysics.Inthispaper,theprecisedefinitionofDiracδ-functionisintroducedbasedontheconceptofgeneralizedfunctions,anditisprovedthattheDiracδ-functionisnotausualfunctionintheLebesguesenseoflocalintegrableone.Tothisend,theDiracδ-functionishereapproximatedinthesenseofweaklimitbymakinguseofthesequencesoftheunitrectangleimpulsefunctions,Gaussfunctions,Bell(下转77页)第7期胡 立:硬币“跳舞”的动力学分析77 同时,实验所测得的全过程时间比较短,这是因为实验过程中液膜破裂并不完全,瓶口与硬币的接触部分仍有一部分残留的液膜.倘若在理论模型中的液膜破裂后运动过程也加入部分表面张力,则理论模型的全过程时间会更接近实验测定值.图5 等差地改变放置误差Δx时H与t的理论关系曲线在图5中,等差地改变放置误差Δx,发现硬币所能达到的最大高度Hmax随着Δx的增大而增大.这与我们的物理直觉是相符的,放置误差越大,瓶内压强提供的向上支持力力臂(R+Δx)越大,硬币翘起的角加速度就越大,硬币更容易翘起且翘起更快,进而在液膜破裂时积累了更大的角速度,能够达到的最大高度Hmax也随之增大.3 结论本文通过提出“放置误差”这一重要概念,从动力学的角度,对硬币“跳舞”的过程进行了分析,推导出硬币运动的二阶常微分方程,通过数值计算发现硬币翘起的最大高度与转动全程时间都与放置误差存在密不可分的联系.放置误差越大,硬币翘起的最大高度就越大,转动全程所花的时间越少,并且通过实验验证了理论模型的正确性.参考文献:[1] 庆秉承,刘萍,袁识博,等.置于冷瓶口硬币的弹起现象研究[J].大学物理,2019,38(11):52 56.[2] 陶封邑,庄洋,黄敏,等.一个有趣的热力学问题:硬币何时“翩翩起舞”[J].大学物理,2019,38(12):58 61.[3] 漆安慎,杜婵英.普通物理学教程力学[M].北京:高等教育出版社,1997:201 207.DynamicanalysisofdancingcoinHULi(DepartmentofPhysics,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China)Abstract:Fromtheperspectiveofdynamics,thispaperconductsatheoreticalanalysisonthethirdproblemofthe2018InternationalYoungPhysicists’Tournament(IYPT2018),“DancingCoin”,andobtainsthechangeintheheightofthecoinovertimeduringasinglebeating.Atthesametime,theconceptof“placeerror”ispro posed,andtheinfluenceofcoinplaceerroronthecoin’stiltingheightisfurtherdiscussed.Itisfoundthatthegreatertheplaceerror,thefasterthecoinwillrotateandthegreaterthemaximumheightofthecoinwillbereached.Intheexperiment,theprocessofcoindancingunderdifferentplaceerrorswasrecordedwithahigh-speedcamera,andsoftwaretrackerwasusedtotrack.Thecomparisonbetweentheexperimentalresultsandthetheoreticalmodelverifiesthecorrectnessofthetheoreticalmodel.Keywords:dynamics;IYPT;dancingcoin;placeerror(上接29页)shapedfunctionsandSinc-functions,respectively.Inaddition,itischeckedthattheDiracδ-functionisobtainedasageneralizedderivativeoftheHeavisidefunction,anditshigherderivativeisalsoshown.Moreover,theconvolutions,scales,compoundtransformations,orthogonalityandCombDiracfunctionsarerecalled,respectively.Fi nally,therelationshipbetweenDiracδ-functionandgeneralizedFouriertransformisintroduced,andwepresentanapplicationtosolvetheDirichletboundaryvalueproblemofthePoissonequation.Keywords:Diracδ-function;generalizedfunction;weaklylimits;generalizedFouriertransform;Greenfunc tion。
高一数学教案设计5篇高一数学教案设计【篇1】一教材分析及处理函数是高中数学的重要内容之一,函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用;函数与代数式方程不等式等内容联系非常密切;函数是近一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域,《函数》教学设计。
对函数概念本质的理解,首先应通过与初中定义的比较与其他知识的联系以及不断地应用等,初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数,引导学生以具体函数为依托反复地螺旋式上升地理解函数的本质。
教学重点是函数的概念,难点是对函数概念的本质的理解。
学生现状学生在第一章的时候已经学习了集合的概念,同时在初中时已学过一次函数反比例函数和二次函数,那么如何用集合知识来理解函数概念,结合原有的知识背景,活动经验和理解走入今天的课堂,如何有效地激活学生的学习兴趣,让学生积极参与到学习活动中,达到理解知识掌握方法提高能力的目的,使学生获得有益有效的学习体验和情感体验,是在教学设计中应思考的。
二教学三维目标分析1知识与技能(重点和难点)(1)通过实例让学生能够进一步体会到函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
并且在此基础上学习应用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
不但让学生能完成本节知识的学习,还能较好的复习前面内容,前后衔接。
(2)了解构成函数的三要素,缺一不可,会求简单函数的定义域值域判断两个函数是否相等等。
(3)掌握定义域的表示法,如区间形式等。
(4)了解映射的概念。
2过程与方法函数的概念及其相关知识点较为抽象,难以理解,学习中应注意以下问题: (1)首先通过多媒体给出实例,在让学生以小组的形式开展讨论,运用猜想观察分析归纳类比概括等方法,探索发现知识,找出不同点与相同点,实现学生在教学中的主体地位,培养学生的创新意识。
对函数应用的认识和做法
函数,是大多数学生都认为难学的一个知识,即使是函数的概念,就已经让人望而生畏了,要说到函数的应用,那就更让大多数学生谈之色变了。
作为一名高中数学老师,如何把握这部分内容,让大多数学生学懂学会,不再畏难呢?通过学习培训,我有以下几点体会,愿和大家共同分享:
(1)首先要注意函数的定义域。
只要是和函数有关的问题,一定要“优先考虑定义域”,此点非常重要。
很多问题只要注意到这一点,就能顺利得出
正确结论。
在刚刚结束的2012年高考数学试题中,第10题是一道给出解
析式,判断大致图像的题目,函数f(x)=1/ln(x+1)-x,很多学生不知从何
入手,导致做错。
其实注意到其定义域为{x|x<-1且x不为0},则可直接
排除D,再得出其值域为{y|y<0},则只有B对了。
(2)要注意数形结合在函数问题中的应用。
“数缺形时少直观,形缺数时难入微”这句话说得太形象了!在解答数学选择题或填空题时,经常要用到数形结合,如求方程根的个数问题时,我们往往转化成两个函数的交点的
个数问题,而画两函数图像时,如果不注意描点作图,只凭自己印象作图,往往会画错图像,导致错误,这就是“形缺数时难入微”。
如求方程
sinx=lgx 的交点个数,需注意描出函数y=sinx,和y=lgx的交点,注意
到x=10时,lgx=1,就不至于出错了。
(3)和函数有关的实际应用问题。
通过对简单实际问题的分析,把握利用函数与方程思想分析研究实际问题的一般步骤,明确解实际问题的一般流程.
实际应用问题应先通过读题将实际问题转化为数学模型,这其中读题即审题是关键,一定要审清题意,正确转化为数学问题,再利用函数与方程思想分析研究实际问题的一般步骤,正确解答。
(4)在教学中利用“函数的应用”,培养学生学习数学的兴趣。
在本节内容中,有很多函数原型是从学生熟悉的实例中统计得出的,可利用此点增强
学生的学习兴趣,学以致用。
如购房贷款,等额还款等问题;城市改造中
建新房拆除旧房的问题;或沙漠绿化问题;或家电更新问题、汽车更新问题等;温度变化与用电量的关系等问题。
一、对新增内容“函数的应用”的认识:
1、函数的应用是指用函数的方法将一个表面上非函数问题或非完全的函数问题转化为完全形式的函数问题,并加以解决。
函数的应用包括函数与方程和函数模型及应用,其中函数模型及应用是重点内容。
同时还将学习利用函数的性质求方程的近似解,了解函数的零点与方程根的联系。
2、学习函数的应用目的是:引导学生体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验幂函数、指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实问题中的作用。
3、函数基本模型的应用是本章的重点内容之一。
教科书分别以行程问题、人口增长问题、商品定价问题、未成年人的生长发育问题为例,在丰富的实际背景中对不同的变量
关系进行了研究,分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用,在这个过程中渗透了拟合的思想。
4、设置“函数的应用”的意图:
(1)问题取材广、立意新,以利于增强学生的应用意识。
(2)以函数模型的应用为主线,多视点宽角度地研究问题。
(3)渗透数学思想方法,关注数学文化。
(4)重视信息技术应用。
(5)重视分析、解决问题能力的培养。
二、对新增内容“函数的应用”的处理:
1、教学中注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系。
对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程,教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。
从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手,然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形;在用二分法求方程近似解的过程中,通过函数图象和性质研究方程的解,体现函数与方程的关系;在函数模型的应用过程中,通过建立函数模型以及模型的求解,更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系。
2、注意函数与实际问题的联系,体现数学建模的思想。
学生生活在一个变化多彩的世界里,其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决,这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景。
3、注重以函数模型的应用为主线,带动相关知识的展开。
在处理教科书上,以函数模型的应用这一内容为主线,以几个重要的函数模型为对象或工具,将各部分内容紧密结合起来,使之成为一个系统的整体教学中应当注意贯彻教科书的这个意图,是学生经历函数模型应用的完整过程。
4、恰当使用信息技术。
如何将数学思想贯穿于日常的教学工作中?“数学是思维的体操”,如何让学生学会分析解决数学问题的方法,学会将陌生的问题转化为熟悉的问题,将难题分解为容易题,将复杂问题转化为相应的简单问题,总之如何教会学生将不会的问题转化为会的问题,让学生在学习的过程中,锻炼思维,提高能力,培养素质,这是我多年来一直在思考的问题,在这次培训中,有了一点点领悟,但仍不够透彻,愿和大家共同探讨,共同进步!。