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北师大必修2——圆的标准方程

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2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法2．几种特殊位置的圆的方程
条 件 圆心在原 点
方程形式
x2＋y2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋ b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
圆心在x 轴上 圆心在y 轴上 圆心在x 轴
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
3．确定圆的方程的方法 (1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准式， 即列出 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或直接求出圆心(a，b) 和半径 r，一般步骤为： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； ③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，整理后就得到所 求．
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝ 1 |P1P2|＝ 2 3＋12＋6－22＝2 2. 1 2
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2.结合图形 易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 距离的最大值为 2 2＋2，最小值 为 2 2－2.(12 分)
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
自学导引 1．确定圆的条件 一个圆的 圆心 位置和 半径 一旦给定，这个圆就确定了，如 图所示．
2．圆的标准方程 (1)圆的定义：到定点的距离等于 定长 的点的集合叫圆，定点 叫做圆的 圆心 ，定长 称为圆的半径． (2)方程：圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程

北师大版高中数学必修二课件：2.2.1圆的标准方程

北师大版高中数学必修二课件：2.2.1圆的标准方程

仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不��

《圆的标准方程》课件3 (北师大版必修2)

《圆的标准方程》课件3 (北师大版必修2)

思考题：
圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 是关于x、y的二元二次方程。
那么是否二元二次方程均可化为圆方程？ 怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
-10.5≈14.36-10.5=3.86(m
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y 思考
利用圆的几 何性质，你能否 用直线方程求出 圆心坐标？进而 写出圆的方程？
x
C1
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
r
d
用r 表示圆的半径，d 表示圆心到直线的距离，则 （1）直线和圆相交 d<r
（2）直线和圆相切 （3）直线和圆相离
d=r d>r
课外思考题
O
1.圆的切线有哪些性质？ 2.求切线方程的关键是什么？ 3.切线的斜率一定存在吗？
x
4.除了课本解法，你还能想到哪些方法？
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k= -
1 kOM
.
kOM =
y0 x0
,
k =-
x0 . y0
y
经过点M 的切线方程是
x0 y - y0 = - y (x x0 ), 0
§ 4.1 圆的方程

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)


根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式 有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的 方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)


(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径就可
以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定 该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点 坐标代入圆的方程判断．
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
与两坐标轴都相切 (|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·
(x1，y1)，(x2，y2)
(y－y2)＝0
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2

第二章 2 2.1 圆的标准方程


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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理]
一、确定圆的条件 1．几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． 2．定圆的条件：圆心和半径．
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二、圆的标准方程
[解析] (1)由已知得圆心坐标为 C(2，－1)，半径 r＝1.所以圆的方程为(x－2)2＋(y
＋1)2＝1. 因为|AC|＝ 5－22＋4＋12＝ 34>1， |BC|＝ 1－22＋0＋12＝ 2>1， 所以 A，B 两点都在圆外．
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(2)由于点 P(－2,4)在圆外， 所以有(－2＋1)2＋(4－2)2>m， 解得 m<5.又方程表示圆，所以 m>0， 因此实数 m 的取值范围是 0<m<5.
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判断点与圆的位置关系主要的两种方法： (1)几何法：根据圆心到该点的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，点在圆内．
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因考虑不全面致使所求圆的方程漏解 [典例] 已知某圆圆心在 x 轴上，半径为 5，且与 y 轴的一个交点是(0,4)，则圆 的标准方程是( ) B．(x＋3)2＋y2＝25 D．(x± 3)2＋y2＝5

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)


(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
将所给点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 作比较： 若|CM|＝r，则点 M 在圆 C 上； 若|CM|＞r，则点 M 在圆 C 外； 若|CM|＜r，则点 M 在圆 C 内． 利用圆的标准方程来判定： 点 M(m，n)在圆 C 上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点 M(m，n)在圆 C 外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2； 点 M(m，n)在圆 C 内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.
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四、教学目标
1. 知识与能力：通过本节知识的学习，我们将通过圆的本身特性，用代数的语言描述它，用 代数的工具解决它的问题。进一步体现解析几何的思想和待定系数法的应用。 2. 过程与方法：本节内容通过对直线的方程的回忆基础上，引导我们用方程语言刻画圆的特 征，然后通过具体例题，思考、探究、练习中的问题，再用所学的知识解决一个实际问题。做 到学以致用。 3. 情感、态度与价值观：通过本节知识的学习，将培养我们联系旧知识、提出问题、解决问 题的探究能力，进一步培养我们学习数学的兴趣。
五、教学重难点
1. 教学重点：圆的标准方程的求法及其应用. 2. 教学难点：待定系数法的掌握和应用
六、教学过程
O
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
问题： ① 圆有什么特 点？ 回忆圆的垂径定 理
学生回忆所学知识： ①是平面内的点到定点 通过回顾复习， 让 的距离等于定长的点的集合， 确定圆的要素 学 生 对本 课有 一 是定点和半径。 个知识的准备。] ②C 为弦 AB 的中点，则 ① OC⊥AB ② OC2+CB2=OB2
的标准方程，求圆的标准方程教师展示问题后，学生思考练习，教师进行评讲总结，有效地训练了学生的思维方 法和习惯，知识落得实；三、教学评价突出了学生的认知过程评价和目标达成评价，符合新课改理念，有一定的 理论高度，教学反思也比较深刻。但教学设计中，教学目标、教材分析的一些语言需要进一步规范，尽量使用准 确的数学语言和新课改的名词术语，另外圆是解析几何的重点内容，初步体现轨迹法、坐标法的思想，另外圆是 一种最优美的曲线，在教学中如果能进行数学思想方法的提炼和数学美的教育就更好了。
这 道 题是 一道 综 合题， 用到了数形 结 合 的思 想和 两 点间的距离公式。 采 用 男女 生分 开 讨论的方法， 既培 养 了 学生 团结 合 老师总结：判断 作精神， 又能形成 2 2 竞争意识。 最后老 点与圆的位置关 （x—5） +（y—6） =10 师 和 学生 一起 总 系只需判断（x0 结， 掌握题目的本 女生展开讨论：点要是在圆内的话，则点到 2 质。 —a） +（y0—b） 圆心的距离＜r 点要是在圆外的话，则点到 2 与 r2 的关系。 圆心的距离＞r 点要是在圆上的话，则点到 圆心的距离=r
八、教学反思
这堂课我觉得上的很轻松，学生也投入。他们通过独立思考，相互讨论，交流合作，终于发现 了知识，品尝到了成功的喜悦。教学不仅应向学生传授知识，而更重要的在于让学生参与获得 知识的活动。教师应使学生在解决问题的过程中积极思考，使其在动手、动口，动脑的过程中 懂得如何学习数学，体会数学知识的来龙去脉，从而培养其主动获取数学知识的能力。
九、板书设计
圆的标准方程 方程的推导
例1
例2
例3
专家点评（高新一中 党效文）
本节教学设计语言简洁，突出重点，环节齐全，内容全面。主要的特点有以下几个方面:一、教学过程设计条 理清楚，能较好的把握圆的标准方程的推导与认识和求圆的标准方程两大重点内容展开教学，过程简洁，思路清 晰；二、教学活动中突出学生的主体参与，圆的标准方程利用初中圆的定义复习和两点间距离，由学生推导出圆
x
已知点 A （4， 9） ， 学生甲：AB 的长度为圆的半径； B（ 6 ， 3 ） ，求以 线段 AB 为直径 1 的圆的方程，并 学生乙：以线段 AB 为中点， |AB|为半径 2 判断点 M （6， 9） ， 的圆。 N（3，3） ，Q（5， 3）与圆的位置关 系。 1 圆心（5，6） ，r=2 4+36 = 10
二、学情分析
圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的 基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运 用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等 方面有待加强.
三、教学资源与策略
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－是站在学生思维的最近发展区上.通过推导圆的标准方程，加深对用 坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程， 理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个 圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.
C 学生讨论分析： 根据定义圆上的点到圆心的 0
将几何知识用代 数的式子表示出 距离为定长， 老师引导我们通常建立平面坐 来是一个难点， 所 标系，画出圆的图象：学生通过观察，分析 以老师要进行适 得：
y O x
当的引导， 采用师 （x-a）2+（y-b）2 生共同探讨的教 学方法。
教学活动 例 1． 写出列圆的 学生口答：①圆心（5，—4） ，r=1 圆心与半径 ②圆心（—5，4） ，r=|b| ① （ x — 5 ） 2+ （y+4）2=1 ②（ x+5 ） 2+ （ y —4）2=b2（b≠0）
MO= 1+9 = 10 =r，∴M 在圆上。
NO= 4+9 = 13 ＞r，∴M 在圆外。
作业布置有梯度，
布置作业 布置作业
不能一刀切。 布置 QO= 0+4 = 4 ＜r，∴M 在圆外。 一些思考题， 使学 有 作业题目略
七、教学评价
1. 能实现教学目标的多元化；能结合认知过程，恰当培养数学能力；教学活动设计体现目标 多元化 2. 根据教学内容恰当运用教材，重应用理解教学内容展示能基本满足学生认知需求，有利于 个性化学习，符合学生认知规律；数学语言准确严密，无科学性错误。 3. 过程设计能以关注学生为重点，自然流畅；对学生在活动过程中的表现有较明确预期，又 能恰当体现教学的灵活性。在教学过程中，运用教学机智处理突发状况
学生对圆已有了 初步的认识， 进而 掌握圆的圆心和 半径
教学活动
例 2． 写出圆的标 学生很容易得到① x2+y2=36 学生分析圆心 这 是 本节 课的 第 准方程： 二个重点， 题目设 已 知 还 缺 半 径 求 得 ② r= 9+4 = 13 计从难到易， 逐层 2 2 ① 圆心再圆点， x +y =36 深入， 通过一系列 半径为 6 的 题目的变化， 使学 圆。 生 掌 握圆 的标 准 ② 经过原点，圆 同理③圆心（2，—2） 方程。 ，r= 25+16 = 41 心为 （2， —3） 的圆。 ③ 经过点 P（6， （x—2）2+（y+2）2=41 3） ，圆心为 （2，—2）的 ⑤ 给学生时间讨论，并引导学生结合在坐 圆。 标系中的图象？ ④ 以点（— 1 ， —5）为圆心， 观察图象得，r=|—1|=1 y 并且与 y 轴相 切的圆。 （x+1）2+（y+5）2=1 O 拓展：与 y 轴相 切与 x 轴相切， 学生自己画图，观察分析：与 y 轴相切 与 x，y 轴都相切 时 r=|a|；与 x 轴相切时 r=|b|；与 x，y 轴都 的圆 相切时 r=|a|=|b| 例 3． 分组交流： 男生做前半题， 女生思考后半题。
教学活动
如果把直线放在 直角坐标系下， 那么其对应的方 程是二元一次方 程，那么如果把 一个圆放在坐标 下，其方程有什 么特征，下面来 看实例：湖北省 赵州桥，是世界 上历史悠久的石 拱桥，如何写出 这个圆的所在的 方程，设（a，b） 为圆心，r 为半径 的圆。 而P （x， y） 为圆上的任意一 点。 （x—a）2+（y—b）2=r2 x2+y2=r2 单位圆 即（x—a）2+（y—b）2=r2 老师总结：圆的 标准方程 =r
北师大必修 2——圆的标准方程 姓名 课型 是否采用 多媒体 讲授 赵亮 课时 单位 2 是 陕西神木中学 教学对象 高二（8）
一、教材分析
本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程。同时，本节课的研究方法为以后 学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。