小学数学数学故事赌徒分钱问题

数学极限的小故事在数学的世界里，极限是一个重要的概念。

它描述了一个数列、函数或序列在趋近于某个点或无穷时的行为。

这个概念虽然有些抽象，但可以通过一些小故事来帮助我们更好地理解。

故事一：银行家的故事一个银行家与一个赌徒打赌，赌注是100美元。

他们两人轮流掷骰子，每次掷骰子后，点数可以被6整除的那一局，赌徒都要给银行家1美元。

如果赌徒在掷出6点之前已经欠了银行家超过100美元，那么他就输掉了比赛。

现在，假设赌徒非常幸运，他连续掷出了三个6点。

这时，银行家问他：“你现在欠我多少钱？”赌徒回答说：“我已经欠你3美元了。

”但银行家却说：“不对，你已经欠我100美元了。

”这是因为当赌徒欠的钱达到100美元时，无论他接下来掷出什么点数，他都会输掉比赛。

因此，在这种情况下，赌徒的债务可以看作是“趋近于无穷大”，而银行家的收益则趋近于100美元。

这个故事告诉我们，在现实生活中，我们需要注意极限的概念，因为有时候事物会趋近于某个点或无穷大，这会对我们的决策产生重大影响。

故事二：赛车手的故事在一场赛车比赛中，一个赛车手在赛道上遥遥领先。

当比赛还剩下最后一圈时，他开始减速，准备庆祝胜利。

但这时，他的对手却突然加速并超过了他。

原来，对手在最后一圈时采用了更加激进的驾驶策略，因为他知道在数学上有一个极限叫做“慢动快转”，意思是说在完成比赛之前，你需要在赛道上保持较低的速度，然后在最后关头加速通过终点线。

这个故事告诉我们，极限的概念不仅存在于数学中，它还存在于现实生活中。

在竞争激烈的环境中，了解和利用极限的概念可以帮助我们更好地应对挑战。

故事三：医生和病人的故事一个医生给他的病人开了一剂药方，要求病人每天服用三次，每次两片。

几天后，病人回来复诊，表示药效不够明显。

医生问：“你按照我的要求每天服用三次，每次两片了吗？”病人回答说：“是的，我每天都按时服用。

”这时，医生拿出一盒药片给病人看，里面只剩下三片药了。

原来，这个病人的理解是每天服用三片药片，而不是每次服用两片。

1.富翁打赌有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。

贪财好利是他们的共同特点。

一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。

精明的富翁说：“我可以每天给你一万元，只收回你一分钱。

”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我一万元，别说我给你1分，就是再给你一千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我一分。

”“难道你第二天还要给我一万？”“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的一万，要给我二分。

第三天……”没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我一万，我给你……”“四分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。

”吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我一万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”“我是人人都知道的百万富翁。

”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出三十万，先送你一个月足够了。

但是你给我的钱也一个不能少！”嘿，还当真呢！吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”“不签协议算什么打赌？”精明的富翁说：“咱们还要找几个公证人呢！”吝啬的富翁真是喜出望外。

于是他们签了协议，找来了几个公证人。

协议上写道：甲方每天给乙方一万元，乙方每天给甲方的钱数从一分开始，以后每天都是前一天的两倍。

双方持续时间为30天。

就这样，把手续办好了。

吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼，生怕对方反悔。

不料，天刚亮，对方提着一万元送上门来，按约定他给了对方一分钱。

第二天，对方仍然如约送来了一万元。

他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。

对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱“别忘了，明天给我4分钱！”话休繁叙，当吝啬的富翁拿到十万元时，精明的富翁只得到十元二角三分钱。

但是，他仍高高兴兴地每天如约送来一万。

可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求打赌终止。

对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。

阿凡提智斗财主巴依
有一天，正赶上贪婪狠毒的财主巴依在和老婆下棋的时候，阿凡提从他们的身边走过。

于是巴依就对阿凡提说：“你能不能猜到这盘没有下完的棋会是谁赢呢？你要是能够猜对，那我就赏给你一个元宝；可要是你猜错了，那我就必须打你50皮鞭才行。

”
听了巴依的话，阿凡提连想都没想就答应了他的条件。

于是，阿凡提向巴依要来一张纸，然后在上面写下了“你赢她输”这几个字。

巴依看到阿凡提已经这样写了，所以就故意把棋输给老婆，然后得意地对阿凡提说：“这回你猜错了吧，我可要打你50皮鞭了！”
谁知等到阿凡提把写在纸上面的字念了一遍后，财主巴依立刻就没话说了，只好把一个元宝交给了阿凡提那么，阿凡提是怎样让巴依输得无话可说的呢？。

你想知道答案吗？[ 聪明的阿凡提虽然的确是写下了“你赢她输”四个字，可他却没有为这四个字注上任何的标点，这样他就可以利用读四个字时的不同语气，来表示不同的意思了。

尽管财主巴依故意输给了自己的老婆，可阿凡提却把这四个字读成了：“你赢她？输！”于是，自以为聪明的巴依也就只好认输了。

]。

1.分赌本问题A 、B 二人赌博，各出注金a 元，每局每个人获胜的概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况的分析.由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确.例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配.塔泰格利亚则在1556年怀疑能找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金.法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配.卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=.把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身.这个问题的症结在于：它关乎各人在当时状况下的期望值.从以上这些五花八门的解法中，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系.而与此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率.循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负.假如A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局.因此按二项分布，A 取胜的概率为r r r i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-.注金按B A p p :之比分配给A 和B ，因A ap 2和B ap 2是A 、B 在当时状态下的期望值.这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的.他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）.1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同.后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形.分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过对这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示.有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具.如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等.可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段.2. 巴斯噶与费尔马的通信巴斯噶与费尔马(P. de Fermat ，1601～1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生.巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及.至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数,,,≠xyx z y x xyz≠0和整数3≥n ，使n n n z y x =+) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子内外.费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些偶然——由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封.这几封信全是讨论具体的赌博问题.与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称).与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了.他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了.他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率.3年后，惠更斯改“值”为“期望”(expectation)这就是概率论的最重要概念之一——(数学)期望的形成和命名过程.前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间.这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a 、b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率.这个问题拿现在的标准看也有相当的难度.由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性.有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础.这话有相当的道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有明确陈述并提炼出概率运算的原则性内容.例如，他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理.但未将其作为一般原则凸现出来.促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题.1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决.所提问题并不难，但不知为何巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于2/1（其值为4914.0)36/35(124≈-）.但从另一方面看，投两个骰子只有36种等可能结果，而24占了36的3/2，这似乎有矛盾，如何解释.现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题.巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧.3. 惠更斯的《机遇的规律》惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家.人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式g l T /2π=.他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久.该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文.他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理.基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题.最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明.3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题.前3条如下述：命题1 若某人在赌博中以等概率2/1得a 、b 元，则其期望为2/)(b a +元.命题2 若某人在赌博中以等概率3/1得a 、b 和c 元，则其期望为3/)(c b a ++元.命题3 若某人在赌博中以概率p ,)1(=+q p q 得a 、b 元，则其期望为qb pa +元.看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first principle ，即公理）出发，把其他内容推演出来.惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述.这几个命题是期望概念的一般化.此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中0=b 的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围.惠更斯的命题将其一般化，是这个重要概念定型的决定性的一步.实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率11,,(1)k k p p p p +=得k a a ,,1 元，则其期望为11k k p a p a ++.这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致.余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题4～9是关于2人和多人的分赌本问题.对这些及其他问题，惠更斯都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似.这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”.最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强.现举其一为例：A 、B 二人约定按ABBAABBAABB …掷两颗骰子，即A 先掷一次，然后从B 开始轮流各掷两次.若A 掷出和为6点，则A 胜；若B 掷出和为7点，则B 胜.求A 、B 获胜的概率.A 在一次投掷时掷出和为6的概率36/5=A p ，而B 在一次投掷时掷出和为7的概率6/136/6==B p .记B B A A p q p q -=-=1,1，又记i e 为在第1i -次投掷完时A 、B 都未取胜，求在这一条件下A 最终取胜的概率.利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：14433221,,,e q p e e q e e q e e q p e A A B B A A +===+=.由此容易得出2122(1)10355(1)22631A A B A B p q q e q q +==-，略小于1/2.故此赌法对A 不利.机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用.这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能.但这门学科建立后，既脱离赌博的范围又找到了多方面的应用.这也是一个有趣的例子，表明一种看似无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物.把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作《推测术》的出版，是在惠更斯的《机遇的规律》出版后56年.截至惠更斯这一著作为止，内容基本上限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直到今日而不衰.其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上.有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结与数学概率论的开端.假定有一个事件A.根据某种理论，我们算出其概率为p A P =)(.这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此论理论的推论——p A P =)(是否符合.或者，一开始我们根本就不知道)(A P 等于多少，而希望通过实际观察去估计其值.这些包含了数理统计学中两类重要问题——检验与估计.这个检验或估计概率p 的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题.要构造具体例子，最方便的做法是使用古典概率模型.拿一个缸子，里面装有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个.这时，随机从缸中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A 有概率)/(b a a p +=.如果不知道a 、b 的比值，则p 也不知道.但我们可以反复从此缸内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸中）.设抽了N 次，发现白球出现N X 次，则用N X N /去估计p .这个估计含有其程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数N 愈大，误差一般会愈小.这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不须他人的教诲而理解的”.但对这个命题却无人能给出一个严格的理论证明.伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现.这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义.伯努利把这一研究成果写在他的著作《推测术》的第4部分中，是该著作的精华部分.由于该书在概率统计史上的重要意义，值得对伯努利其人及此书的整个面貌先作一点介绍.4. 伯努利的《推测术》伯努利1654年出生于瑞士巴塞尔.在其家族成员中，对数学各方面做出过不同程度贡献的至少有12人，在概率论方面有5人，其中杰出的除他本人外，还有其弟弟约翰与侄儿尼科拉斯.伯努利的父亲为其规划的人生道路是神职人员.但他的爱好却是数学.他对数学的贡献除概率论外，还包括微积分、微分方程和变分法等.后者包括著名的悬链线问题.他和牛顿、莱布尼兹是同时代人，并与后者有密切的通信联系，因而非常了解当时新兴的微积分学的进展，学者们认为他在这方面的贡献，是牛、莱之下的第一人.此外，他对物理学和力学也做出过贡献.他与惠更斯长期保持通信联系，仔细阅读过惠更斯的《机遇的规律》，由此引发了他对概率论的兴趣.从他与莱布尼兹的通信中，可知他写《推测术》这一著作是在他生命的最后两年.在1705年他去世时，此书尚未整理定稿.由于家族内部的问题，整理和出版遗稿的工作，迟迟未能实现.先是其遗孀因对其弟约翰的不信任，不愿把整理和出版的事委托给他，后来又拒绝了欧洲一位富有学者捐资出版的建议.最后在莱布尼兹的敦促下，才决定由其侄儿尼科拉斯来承担这件事情.尼科拉斯也是当时重要的数学家，与欧拉和莱布尼兹保持通信联系.当时尚无科学期刊，学者的通信是学术交流的一种重要方式.《推测术》一书共239页，分四个部分.第一部分(P 2～71)对《机遇的规律》一书作了详细的注解，总量比惠更斯的原书长4倍.第二部分(P 72～137)是关于排列组合的系统的论述.第三部分(P 138～209)利用前面的知识，讨论了一些使用骰子等的赌博问题.第四部分(P 210～239)是关于概率论在社会、道德和经济等领域中的应用，其中包括了该书的精华、奠定了概率史上不朽地位的，以其名字命名的“伯努利大数定律”——大数定律的名称不是出自该书，首见于泊松1837年的一篇著作中.该书若缺了这一部分，则很可能会像某些早期概率论著作那样湮没无闻，或至多作为一本一般著作被人评价.该书最后有一长为35页的附录，用与友人通信的形式讨论网球比赛中计分问题.5. 伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第4部分.回到前面的缸中抽球模型：缸中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=.假设有放回地从缸中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p .这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缸中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证.例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置.在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具.这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据说是“充分随机”的方法产生的.在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象.伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性.其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η.这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N ).为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效.但他做这一模型限定与所用缸子模型的特殊性有关：必要时把缸中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小.其次，伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事.因为由上式得.11c p N X P N +<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-ε （6）取c 充分大，可使(6)式右边小于η.另外要指出的是：伯努利使用的这个缸子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而有损于结果的普遍性.但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要.伯努利上述对事实上确定性数学的理解，即(5)式，有一个很值得赞赏的地方，即他在概率论的发展刚刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们欲证明的是当N 充分大时，N X N /和p 可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是,lim p N X N N =∞→ （7）而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时N X N /总为1，不能收敛到1<p .或者退一步：要求(7)式成立的概率为1，这一结论是对的，但直到1909年才由波莱尔给予证明，证明的难度比伯努利的提法大得多.设想一下，如果当时伯努利就采用该提法，他也许在有生之年不能完成这一工作.由于波莱尔的结论比伯努利的结论强，现今人们又把他们的结论分别称之为强大数定律和弱大数定律.6. 狄莫佛的研究动因亚伯拉罕•狄莫佛出生在法国一个信教徒家中，19岁那年因宗教信仰的原因曾被捕入狱，并度过了两年铁窗生涯.出狱后为逃避迫害，21岁的他流亡到伦敦，做了一名教师.在那里，他在教书之余继续研习数学，主要是阅读刚出版不久的牛顿的著作《自然哲学的数学原理》.后来，他在数学领域内取得了多方面成就，并于1697年当选为英国皇家学会会员，这一年他刚届而立.狄莫佛的一项广为人知的成果是著名的狄莫佛公式：)sin()cos()sin (cos θθθθn i n i n +=+(但狄莫佛并未把公式写成这种形式).在1718年，狄莫佛出版了《机遇论》(Doctrine of Chances)一书，此书奠定了他在概率史上的地位.该书一共出了三版，分别在1718年、1738年和1756年.人们常说概率史上有三部里程碑性质的著作，狄莫佛的《机遇论》乃其一.另两部为伯努利的《推测术》及拉普拉斯于1812年出版的《概率的分析理论》.有趣的是，吸引狄莫佛投身到二项概率的研究契机，并不是为改进伯努利在该项研究上的结果.事实上，1718年版的《机遇论》一书表明，狄氏对伯努利颇有一番看法.狄莫佛之所以注意到这一问题，与下述偶然情况有关.1721年，一个叫亚历山大•喀明的人向狄氏提出了一个问题：A 、B 二人在甲家赌博，每局A 获胜的概率为p ，B 获胜的概率为p q -=1，共赌N 局.以X 记A 获胜局数.约定：若Np X ≥，则A 付给甲Np X -；若Np X <，则B 付给甲X Np -.问甲所得期望值是多少？按定义，此期望值为∑=-=-=Ni N i p N b Np i Np X E D 1),,,(|||)(|其中N i q p i N i p N b i N i ,,1,0,),,( =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.狄莫佛在Np 为整数条件下得到了),,,(2Np p N b Npq D N ⋅= （8）且他只对2/1=p 的特例给出了证明.不过，其证法易推广到一般的p .狄氏声称此公式他在1721年得到，但证明首次发表是在1730年.现在我们容易在一般情况下证明.1][),,,(2+=⋅=Np p N b q D N μμμ （9）此处及以下的][a 表示不超过a 的最大整数.易验证，当Np 为整数时，公式(8)与(9)一致.(8)与(9)回答了喀明所提出的问题，但在N 较大时，),,(i p N b 的计算不易.因此，狄莫佛想找到一个便于计算),,(i p N b 的近似公式).2exp(2),,(Npq Npq p N b -⋅≈πμ (10)7. 泊松公式、泊松分布与泊松大数定律泊松（Possion ）的名字对学概率论与数理统计的人来说，可谓耳熟能详.原因主要在于泊松近似公式，以及更重要的源于该近似公式的泊松分布，泊松分布的重要性和知名度在离散型分布中仅次于二项分布.泊松的另一个重要工作是把伯努利大数定律推广到每次试验中事件发生的概率可以不同的情况，现称泊松大数定律.继狄莫佛给出二项概率近似计算公式(10)之后，丹尼尔和拉普拉斯也给出了二项概率近似计算公式，但这些公式在现今的教科书上已很少提及，只有泊松近似公式则不然，其形式为,!),,(lim k e k p N b k N λλ-∞→= （11）其中Np N ∞→=lim λ，N k ,,2,1,0 =.公式(11)在教科书上通称为泊松逼近公式、泊松近似公式或泊松公式.它是泊松在1838年于《概率在法律审判的应用》一书中所引进，此公式适用于p 很小，N 很大而Np 又不很大时，这正好填补了狄莫佛公式(10)的不足，因后者只适用于p 不太接近于0和1的时候.不过，从历史上看，狄莫佛早在1712年已做出了这个结果.8. 贝叶斯及其传世之作托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes,1701－1761)其人在18世纪上半叶的欧洲学术界，恐怕不能不算是一个很知名的人物.在他生前，没有发表过片纸只字的科学论著.那时，学者之间的私人通信，是传播和交流科学成果的一种重要方式.许多这类信件得以保存下来并发表传世，而成为科学史上的重要文献，例如前面提到的费尔马和巴斯噶的通信，伯努利与莱布尼兹的通信等.但对贝叶斯来说，这方面材料也不多.在他生前，除在1755年有一封致约翰•康顿的信(其中讨论了辛普森有关误差理论的工作)外，历史上没有记载他与当时的学术界有何重要的交往.但他曾在1742年当选为英国皇家学会会员(相当于科学院院士），因而可以想到，他必定曾以某种方式表现出其学术造诣而为当时的学术界所承认.如今，我们对这个生性孤僻、哲学气味重于数学气味的学术怪杰的了解，是因他的一篇题为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chance(机遇理论中一个问题的解)”的遗作.此文发表后很长一个时期在学术界没有引起什么反响，但到20世纪以来突然受到人们的重视，成为贝叶斯学派的奠基石.1958年，国际权威性的统计杂志《Biometrika 》（生物计量）重新刊载了这篇文章.此文也有中译本(见廖文等译《贝叶斯统计学——原理、模型及应用》的附录4，中国统计出版社1992年版）.此文是他的两篇遗作之一，首次发表于1764年伦敦皇家学会的刊物《Philosophical Transactions 》上.此文在贝叶斯生前已写就，为何当时未交付发表，后来的学者有些猜测，但均不足定论.据文献记载，在他逝世之前4个月，他在一封遗书中将此文及100英镑托付给一个叫普莱斯的学者，而贝叶斯当时对此人在何处也不了然.所幸的是，后来普莱斯在贝叶斯的文件中发现了这篇文章，他于1763年12月23日在皇家学会上宣读了此文，并在次年得以发表.发表时普莱斯为此文写了一个有实质内容的前言和附录.据普莱斯说，贝叶斯自己也准备了一个前言.这使人们无法确切区分：哪些思想属于贝叶斯本人，哪些又是普莱斯所附加的.贝叶斯写作此文的动机，说法也不一.一种表面上看来显然的说法是为了解决伯努利和狄莫弗未能解决的、二项分布概率p 的“逆概率”问题，因为当时距这两位学者的工作发表后尚不久，有人认为他是受了辛普森误差工作的触动，想为这种问题的处理提供一种新的思想.还有人主张，贝叶斯写作此文，是为了给“第一推动力”的存在提供一个数学证明.这些说法现在都无从考证.上面提到“逆概率”这个名词.在较早的统计学著作中这个名词用得较多，现在已逐渐淡出.顾名思义，它是指“求概率这个问题的逆问题”：已知事件的概率为p ，可由之计算某种观察结果出现的概率如何.反过来，给定了观察结果，问由之可以对概率p 做出何种推断.推广到极处可以说，“正概率”是由原因推结果，是概率论；“逆概率”是由结果推原因，是数理统计.9. 拉普拉斯的“不充分推理原则”贝叶斯工作发表后很长一段时期，都没有得到学术界的注意，因而他的这种思想未能及早地发展成为一种得到广泛应用的统计推断方法.但是，也有些学者独立地朝这个方向思考，提出类似的思想并付诸实用，其中最重要的当属拉普拉斯.拉普拉斯在1774年的一篇文章中提出了所谓的“不充分推理原则”（principle of insufficient reasoning ）.他的思想大致如下：如果一个问题中存在若干个不同的原因(cause) n A A A ,,,21 ，则在没有理由认为其中哪一个特别有优势时，概率应各取n /1，即认为各原因有同等机会出现.在统计问题中，。

分赌注问题经过150多年对概率论发展早期史料的收集、整理、考订与研究，目前大多数人已同意此前（1837年）泊松（1781 —1840）作出的论断：“由某广有交游者向严肃的詹森派信徒提出的一个博弈问题乃是概率演算的起源”。

这个博弈问题就是分赌注问题，古代一般称作点数问题。

1.1分赌注问题的由来分赌注问题大意如下：A , B 两个赌徒按某种方式下注赌博，说定先胜s 局者将贏得全部赌注，但进行到A 胜1s 局，B 胜2s 局12(,)s s s s <<时，因故不得不中止,试问如何分配这些赌注才公平合理？这个分赌注问题大概相当古老，因为至少在帕乔利（Pacioli ，1445—1517)出版于1494年的《算术、几何、比与比例集成》的专门论述“稀奇问题”的一节中已经出现，其中126,5,2s s s ===. 这个问题知道的人也应该相当多，因为上述书籍是当时流行的百科全书式数学教科书。

帕乔利把这个问题看作一个比例问题，提出以1s 比2s 分赌注。

其论证思路是：原定的先胜s 局者为贏者的玩法至多在2(1)121s s -+=-局内可完成，因此赌注应按121s s -比221s s -分配。

在这个论证中既没有概率也没有组合。

这个答案受到当时最大的赌徒与数学家卡尔达诺 (Cardano,1501—1576) 的反对，他在发表于1539年的一篇文章中认为“帕乔利按照已经贏得的局数成比例地分配赌金，但没有考虑尚待每个赌徒去贏的局数”。

卡尔达诺虽有概率想法也深通组合理论但对分赌注问题也提不出正确解法。

不过在当时的数学家中只有他意识到分配规则不取决于12(,,)s s s 全体而只与未胜局数1s s -及2s s -的有关。

另—个当时著名数学家塔塔利亚（Tartaglia ，1499一1557)在出版于1556年的《论数学与度量》中也批评帕乔利，他举例说如果A 先胜10点，B 未胜过，难道赌注全归A 所有？并怀疑这个问题是否有数学答案，他认为是一个司法的问题，不过他也提出自己的答案12s s s +-比12s s s -+.1558年Pereron, 1603年Forestani都对此写过文章，但都未提供正确答案。

分赌本问题分赌本问题又称为分点问题，在概率论中是一个极其著名的问题，在历史上它对概率论这门学科的形成和发展曾起过非常重要的作用。

1654年法国有个叫De Mere 的赌徒向法国天才的数学家帕斯卡（Bvlaise Pascal ）提出了如下的分赌本问题：甲、乙两个赌徒下了赌注后，就按某种方式赌了起来，规定：甲、乙谁胜一局就得一分，且谁先得到某个确定的分数就赢得所有的赌本。

但是在谁也没有得到确定的分数之前，赌博因故中止了，如果甲需再得分才赢得所有赌注，乙需再得m 分才赢得所有赌注，那么如何分这些赌注呢？n 帕斯卡为解决这一问题，就与当时享有很高声誉的法国数学家费尔马（Pierre de Fermat ）建立了联系。

当时，荷兰年轻的物理学家惠更斯（C.Huygans 1629—1695）知道了这事后，也赶到巴黎参加他们的讨论。

这样，使得当时世界上很多有名的数学家对概率论产生了浓厚的兴趣，从而使得概率论这门学科得到了迅速的发展。

后来人们把帕斯卡与费尔马建立联系的日子（1654年7月29日）作为概率论的生日，公认帕斯卡与费尔马为概率论的奠基人。

如何解决分赌注问题呢？帕斯卡提出了一个重要的思想：赌徒分得赌注的比例应该等于从这以后继续赌下去他们能获胜的概率。

算例如下：甲乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎。

当甲赢了二次，乙只赢一次时，他们就不愿再赌下去了，问赌本应如何分配呢？这个问题引起了不少人的兴趣，有人建议按已赢次数的比例来分赌本，即甲得全部赌本的32，乙得余下的31。

有人提出异议，认为这完全没有考虑每个赌徒必须再赢的局数，这样不符合事先约定的规则。

1654年帕斯卡提出如下的解决办法：在甲赢得二次而乙只赢得一次时，最多只需再玩二次即可结束这场赌博，而再玩二次可能出现的结果有如下四种，并且这四种情况出现的概率相等：其中前三种结果都使得甲赢得100法郎，其相应的概率为4，而甲得0法郎的概率为41，故甲赢得的数学期望为7541043100=×+×法郎；而乙赢得的数学期望为2541100430=×+×法郎。

统计学基本原理——赌场的故事赌场为什么赚钱？没有任何trick，统计学原理。

?例子。

我有100块钱，你有10块钱，我们扔硬币，头算你赢1块，字算我赢1块。

规则：赌到输完才许结束。

那么问，各自的胜负概率多少？我赢到你的10块钱的几率大于90%！这个就是统计学基本原理。

?赌场。

庄家资金大概是入场赌徒的资金的千倍或者万倍，如果扔硬币，赌徒的胜率会有多少？自己算一下吧，0.00..01%。

因此，庄家允许玩一些花样，一方面提高赌徒的玩兴，一方面允许庄家在每笔小赌中胜率略小于50%：没关系，表面上你赢的多，最后都是我的，嘿嘿，这就是庄家。

?具体庄家胜率能小到多少？跟怎样的赌徒可以玩怎样的胜率？这些是无数赌场百年来经验积累，为什么不用统计学算一下呢？?当然，你可以argue。

?1，我干吗赌完才走？我赢到满意了就走。

这种小赌徒有，但是不输到精光不停才是真正的赌徒，赌场主要生意面向真正的赌徒。

小赢就跑的人毕竟不多，对赌场没有大的损失，反而做了活广告，——“瞧，这家赌场多好玩，还能赚钱，大家以后都去阿~~~”?2，虽然庄家胜率极高极高，但是庄家只有一个，赌徒多阿~~~ ‘人海战术’打败庄家。

统计上说，多次贝努利实验的结果也是很容易算的。

赌徒数线性增长，赌场的胜率减弱却是级数型。

注意：级数增长是很可怕的，但是级数减弱缓慢得让人挠头发火。

人多到把赌场挤爆都不一定能扭转局面，庄家此时已经赚得笑不动了。

?因此，最严谨的科学——数学说：你赢不了赌场；你每次下注赢回的期望值都是正的，但是你每次去赌场回家时口袋里的期望值是零；赌钱就是happy一下，千万别沉迷。

激励我们一生的几个经典故事??? 1、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。

（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的?要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素）??? 2、（一般情况下）不想三年以后的事，只想现在的事（现在有成就，以后才能更辉煌）??? 3、把问题看宽广些，没有解决不了的事。

1.分赌本问题A 、B 二人赌博，各出注金a 元，每局个人获胜概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况。

由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。

例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配。

塔泰格利亚则在1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金。

法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配。

卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=。

把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B 。

他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身。

这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值。

从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。

而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。

循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负。

为A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局。

因此按二项分布，A 取胜的概率为r r r i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-。